Математические модели и методы оценки вероятностных характеристик реальных объектов при малых объемах экспериментальных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Голушко, Сергей Иванович

• Голушко, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голушко, Сергей Иванович

Введение.

1. Глава 1. Состояние вопроса, постановка задачи построения моделей и методов оценки вероятностных характеристик реальных объектов.

1.1. Выбор аппроксимирующего распределения.

1.2. Оценка значимости числа моментов, по которым проводится аппроксимация.

1.3. Методы оценки аппроксимирующего распределения и его параметров.

1.4. Методы получения точечных оценок.

1.5. Методы получения интервальных оценок.

1.6. Оценка характеристик генеральной совокупности по малым выборкам.

1.7. Эмпирические распределения, гистограммы и полигоны.

1.8. Выводы к главе 1.

2. Глава 2. Свойство монотонности и оценка генеральных моментов реального распределения по малой выборке.

2.1. Свойство монотонности выборочных моментов.

2.2. Экстраполяция значений выборочных моментов.

2.3. Многокритериальный выбор аппроксимирующих гипербол.

2.4. Погрешности оценки генеральных моментов по малым выборкам.

2.5. Выводы к главе 2.

3. Глава 3. Аппроксимация реальных распределений по К моментам обобщённым гиперэрланговским распределением.

3.1. Метод моментов для обобщённого гиперэрланговского распределения.

3.2. Решение задачи аппроксимации перебором в условиях избыточности параметров.

3.3. Приближённое решение задачи аппроксимации по двенадцати моментам направленным перебором.

3.4. Выбор наилучшего по множеству аппроксимирующего распределения по критерию согласия.

3.5. Принцип аналогий и уточнение результатов аппроксимации.

3.6. Выводы к главе 3.

4. Глава 4. Методика оценки вероятностных характеристик реальных объектов.

4.1. Методика аппроксимации реальных распределений положительно определённых случайных величин по малым выборкам.

4.2. Исследование точности и области применимости аппроксимации по двенадцати моментам.

4.3. Аппроксимация обобщённым распределением реальных распределений по малым выборкам.

4.4. Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы оценки вероятностных характеристик реальных объектов при малых объемах экспериментальных данных»

На практике многие реальные объекты характеризуются случайными величинами, значения которых получаются в экспериментах. Число экспериментов может быть ограничено или из-за их сложности и стоимости, или ограничено из-за длительного времени проведения эксперимента. Количество значений случайной величины, полученных в эксперименте, назовём выборкой. Таким образом, мы сталкиваемся со случайными величинами, о которых можем судить лишь по выборкам их значений. Полная характеристика случайной величины распределение вероятностей, но, как правило, это распределение, которое мы будем называть реальным, нам неизвестно. Причин тому много, но основная из них это недостаточность объёма выборки значений случайной величины. Мы исключаем те немногие случаи, при которых вид распределения случайной величины известен на основании предыдущего опыта или, исходя из физических законов. В данной постановке, о случайной величине ничего не известно, кроме ограниченной выборки её значений. Мы аппроксимируем, реальное распределение распределением заданного вида, но каким должно быть это аппроксимирующее распределение мы в точности не знаем, поэтому для аппроксимации мы выбрали обобщённое распределение, включающее в себя сразу несколько распределений пуассоновского типа: экспоненциальное, Эрланга к порядка, гиперэкспоненциальное и обобщённое Эрланга к порядка. Это распределение имеет К свободных параметров, что позволяет проводить аппроксимацию по К начальным моментам, при этом К может достигать значения в несколько десятков и сотен. В диссертационной работе рассматриваются только положительно определённые случайные величины. Такие задачи, как нам известно, ранее не ставились. Известно, что распределения Пирсона образуют семейство непрерывных распределений двенадцати типов, но все они однозначно определяются четырьмя начальными моментами и не обладают избыточностью параметров. Мы исследовали достаточность четырёх моментов в задачах массового обслуживания и, оказалось, что на среднюю длину очереди влияют первые семь начальных моментов времени обслуживания и времени поступления заявок. Отбрасывание моментов старше второго, третьего или четвёртого приводит к недопустимо большим погрешностям для средней длины очереди. Поэтому мы поставили задачу аппроксимации по возможно большему числу моментов, исходя из того, что чем по большему числу моментов проводится аппроксимация тем она точнее. Аппроксимация по К моментам, как известно, составляет не разрешённую в общем виде, проблему моментов Чебышева. Эта проблема была решена нами алгоритмически для частного случая обобщённого распределения и положительно определённых случайных величин. Чтобы аппроксимировать реальные распределения, необходимо знать его К генеральных моментов. По ограниченным выборкам, мы находим только выборочные моменты. Выборочные моменты, как известно, случайны и зависят от конкретной выборки, ноэтому мы ноставили задачу оценки генеральных моментов реального раснределения но малым выборкам, нолагая, что объём выборок не позволяет достоверно оценить генеральные моменты, во всяком случае, традиционными методами. Для малых выборок задача оценки генеральных моментов может решаться только при условии отдельных допущений и соглашений. В качестве таковых мы принимаем, что малые выборки объёмом в 10-30 значений статистически устойчивы, что в свою очередь требует, чтобы коэффициенты вариаций не превышали существенно значение 1. Для оценки генеральных моментов определено и доказано общее свойство монотонности выборочных моментов. Использована гиперболическая экстраполяция генеральных моментов. Применён многокритериальный выбор экстраполирующих гипербол и, наконец, процедура уточнения оценки генеральных моментов на основании принципа аналогий. Таким образом, для решения задачи аппроксимации реальных распределений по малым выборкам, имеющих большое прикладное значение, нами разработаны специальные модели и методы, которые оказались пригодными и в общих случаях и дали хорошие результаты там, где их вообще было получить крайне затруднительно. Решение этой задачи оказалось возможным только при условии применения быстродействующей вычислительной техники и разработки соответствующего программного обеспечения. Целью диссертационной работы является разработка методов оценки значений К генеральных моментов реального распределения по малым выборкам с допустимой погрешностью. Аппроксимация реального распределения по К моментам многими обобщёнными гиперэрланговскими распределениями. Выбор из множества аппроксимирующих распределений наилучщего по критерию согласия. Объект исследования. Положительно определённые случайные величины, имеющие выборочный коэффициент вариации в пределах от 0.1 до 1.4. Методы исследований. Методы теории вероятностей, математической статистики, теории массового обслуживания, методы статистического имитационного моделирования и другие. Научная ценность работы состоит в том, что найдено алгоритмическое решение проблемы моментов Чебышева, для частного случая обобщённого гиперэрланговского распределения. Определено и доказано общее свойство монотонности выборочных моментов для положительно определённых случайных величин, а также методика гиперболической экстраполяции генеральных моментов, включающая в себя многокритериальный выбор экстраполирующих гипербол, что позволяет достоверно определить интервалы значений К генеральных моментов реальных распределений. Практическая значимость работы заключается в том, что все разработанные методики позволяют достоверно прогнозировать вероятности реальных событий по малым выборкам, объёмы которых не позволяют сделать достоверный прогноз при использовании традиционных подходов. В работе рассмотрены статистические материалы численности грызунов в прикаспийской низменности, любезно предоставленные РосНИПЧИ "Микроб" и статистические материалы производства и продаж печатной продукции ЗАО ЛА "Научная книга" В диссертации также представлены обширные статистические материалы проведения машинных экспериментов в рамках рассматриваемых методик аппроксимации и оценок. Автор защищает: обобщённое многопараметрическое гиперэрланговское распределение, имеющее К свободных начальных моментов; методику аппроксимации по К моментам, дающую точные и приближённые значения параметров обобщённого распределения; свойство монотонности выборочных моментов; методику гиперболической экстраполяции, с учётом многокритериального выбора экстраполирующих гипербол; модель оценки генеральных моментов по выбранным сечениям; принцип аналогий, компенсирующий погрешность экстраполяции. Результаты работы внедрены в ЗАО "Научная книга". Работа написана в СГТУ на кафедре "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем".

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Голушко, Сергей Иванович

4.4. Выводы к главе четвертой

1. Разработана эффективная методика аппроксимации по двенадцати моментам обобщённым распределением по малым выборкам, включающая в себя прогноз генеральных моментов реального распределения по малым выборкам. Прогноз основывается на использовании свойства монотонности, построении экстраполирующих гипербол, выборе наилучшей гиперболы по эвристическим критериям. Последующая аппроксимация по двенадцати моментам даёт наилучшее по множеству приближение по моментам к реальному распределению.

2. Установлен критерий оценки достоверности аппроксимации в каждом отдельном случае, основывающийся на величине погрешности приближённой аппроксимации по отношению к оценкам генеральных моментов.

3. Установлен критерий применимости принципа аналогий, уточняющего результаты, основывающийся на величине погрешности приближённой аппроксимации по отношению к оценкам генеральных моментов.

4. Установлены границы применимости данной методики, как по объёмам выборок, так и по допустимым значениям коэффициентов вариаций аппроксимируемых распределений, определяемых по малым выборкам.

5. Исследована аппроксимация реальных распределений, заданных малыми выборками. Показана эффективность разработанной методики для выборок объёмом не менее 20 значений случайной величины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аппроксимация реальных распределений по малым выборкам представляет актуальную задачу, решение которой существенно улучшит количественные оценки случайных величин, описывающих реальные объекты.

Поскольку вид реального распределения во многих случаях нам не известен, то для аппроксимации необходимо обобщённое распределение, включающее в себя множество других распределений, нашедших достаточно широкие области применения. В качестве такого обобщённого распределения нами выбрано обобщённое гиперэрланговское распределение, имеющее К свободных моментов, которые могут изменяться независимо друг от друга в широких пределах.

Попытки применить для решения задачи аппроксимации методы наименьших квадратов и оценки набольшего правдоподобия не увенчались успехом из-за сложности математической модели, требующей решения нелинейных алгебраических систем высокого порядка, в которых треть неизвестных являются целочисленными величинами. Мы не смогли найти способы получения стабильных решений нелинейных систем в этих случаях.

Метод моментов оказывается единственным, работающим стабильно, который нам удалось реализовать на сегодняшний день. Но это потребовало введения избыточности в задаче аппроксимации, которая привела к множественности аппроксимирующих распределений, имеющих общие начальные моменты. По этой причине нами была решена задача выбора наилучшего по множеству допустимых решений аппроксимирующего распределения по критерию согласия Колмогорова, что оправдало себя на практике.

Аппроксимация проводилась нами по К начальным моментам, мы исходили из того, что чем по большему числу моментов проводится аппроксимация, тем она точнее. С учётом возможностей современной вычислительной техники аппроксимация проводилась нами по 12 моментам. Это существенно лучше, чем аппроксимация по двум или даже четырём моментам. Кроме того, как это было показано, в задачах анализа систем массового обслуживания с произвольно распределёнными временами поступления и обслуживания заявок необходимо учитывать до семи моментов распределений. Таким образом, аппроксимация по 12 моментам оказывается достаточной как минимум в задачах массового обслуживания.

Практическое использование метода моментов требует знания генеральных моментов искомого распределения. Для малых выборок выборочные моменты существенно отличаются от генеральных моментов и фактически не позволяют получить достоверное решение. Поэтому нами предлагается методика оценки значений генеральных моментов искомого распределения по малым выборкам.

Эта оценка основывается на установленном нами свойстве монотонности выборочных моментов, которое справедливо для произвольных выборок и в свою очередь позволяет применить экстраполяцию значений генеральных моментов.

В качестве экстраполирующей функции нами была выбрана равнобокая гипербола, которая по своим свойствам больше всего подходит в данном случае.

Для оценки генеральных моментов необходимо построить две гиперболы, которые дают равносильные результаты, и выбрать из них наилучший. Выбор оказался возможным на основе девяти критериев, затрагивающих геометрические параметры экстраполирующих кривых: длину, кривизну, и, кроме того, величины перепада значений моментов и коэффициентов вариаций вдоль кривых. Эти эвристические критерии были оценены статистически. Они позволяют в своей совокупности выбирать экстраполирующую кривую одну из двух с лучшей оценкой генерального момента с вероятностью не хуже 0,93 в зависимости от порядка оцениваемого момента. Причём для первого момента вероятность правильного выбора приближается к 1, а для старших моментов она возрастает более 0,93. Это позволяет выбрать наилучшую оценку из сечения Т2, которая имеет наименьшую дисперсию по отношению к другим сечениям.

Оценки генеральных моментов полученные по малым выборкам всегда лучше выборочных моментов, подсчитанных по исходной выборке.

Полученные оценки моментов лучшие для каждого момента в отдельности, но в совокупности по 12 моментам они противоречивы, так как получены по разным выборкам. Поэтому используется приближённая аппроксимация по 12 моментам, которая даёт наилучшее приближение по множеству рассмотренных, которое составляет при программной реализации 23 миллиона вариантов. Моменты аппроксимирующего распределения не противоречивы и в совокупности они всегда ближе к значениям генеральных моментов, чем ранее сделанные оценки.

Как показали многочисленные эксперименты, погрешность приближённой аппроксимации по отношению к оценкам, позволяет судить о том, насколько удачно были сделаны оценки генеральных моментов. Если погрешность менее 15%, то генеральные моменты найдены примерно с такой же погрешностью. Если погрешность менее 10%, то значения генеральных моментов могут быть уточнены в соответствие с принципом аналогий. При этом погрешность уменьшается на 10-30%.

Достоверность аппроксимации напрямую зависит от малой выборки, которая может быть удачной или нет. Рассмотренная методика позволяет оценить достоверность полученных результатов в каждом отдельном случае. Результаты достоверны, если погрешность приближённой аппроксимации не более 15%. В противном случае необходимы выборки большего объёма.

Машинные эксперименты, поставленные для наиболее неблагоприятных условий, показали, что примерно в половине случае эта методика даёт как минимум приемлемые результаты. А в 20% случаев хорошие, при которых погрешность по всем 12 моментам не превосходит 6%.

Для реальных случайных величин, которые по своей природе ближе к регулярной модели, результаты значительно лучше. Хорошие результаты были получены в 18 случаях из рассмотренных 19.

В целом аппроксимация реальна по выборкам более 20 значений случайной величины, если выборочный коэффициент вариации не превосходит 1.4. Для меньших выборок так же возможна успешная аппроксимация, но это будет определяться качеством самой выборки.

Таким образом, нами в целом предложена новая методика аппроксимации реальных распределений по 12 моментам, которая во многих случаях позволяет достичь достоверных результатов, которые нельзя получить традиционными методами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голушко, Сергей Иванович, 2005 год

1. Архипов Г.К. Гиперэрланговское распределение в теории массового обслуживания. В сб. "Применение вычислительной техники к решению некоторых инженерных задач". Тула, ТПИ. 1973 г.

2. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. -М.: Мир, 1965 г.

3. Сайкин А.И., Голушко С.И. Аппроксимация по N-моментам реальных распределения законами пуассоновского типа в задачах машинного моделирования стохастических систем. Саратов, СГТУ, Деп. в ВИНИТИ 08.07.2003, № 1309 В2003.

4. Сайкин А.И., Голушко С.И. Исследование обобщённого гиперэрланговского распределения. Саратов, СГТУ, Деп. в ВИНИТИ 26.07.2002, № 1416 -В2002.

5. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. М.: Наука, 1961 г.

6. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966г.

7. Сайкин А.И., Махарджан Р. Исследование влияния асимметрии и эксцесса распределений на характеристики систем массового обслуживания. Саратов, СГТУ. Деп. в ВИНИТИ 22.05.2001, № 1309 В2001 г.

8. Сайкин А.И., Голушко С.И. Имитационное моделирование обобщённого гиперэрланговского распределения при аппроксимации реальных распределений по К моментам. Саратов. СГТУ, Деп. в ВИНИТИ 08.07.2003 г, №1310 -В2003.

9. Голушко С.И. Метод моментов при аппроксимации распределениями пуассоновского типа// Теория и практика общественными институтами и процессами в России. Сб. научных трудов ПАГС, -Саратов, 2003, с.252

10. Сайкин А.И., Голушко С.И. Статистическое моделирование систем массового обслуживания дискретными рядами. // Моделирование и управление в сложных системах. Сб. научных статей. Саратов. СГТУ, 2003 г.

11. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск: ООО "Новое знание", 2000 г.

12. Крем ер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Юнити, 2002 г.

13. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: "Арис пресс", 2004 г.

14. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: "Большая российская энциклопедия", 1999 г.

15. Каган A.M. Проблемы передачи информации. -М.: Связь, 1976 г.

16. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. -М.: ФМ, 1962 г.

17. Козлов М.В., Прохоров A.B. Введение в математическую статистику. М.: МГУ, 1987 г.

18. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: ВШ, 2001.

19. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969 г.

20. Сайкин А.И., Голушко С.И. Прогноз N моментов генеральной совокупности гиперболической экстраполяцией по ограниченным выборкам./Сложные системы. Анализ, моделирование, управление. -Саратов: ООО Издательство "Научная книга", 2005. -118 с.

21. Сайкин А.И., Голушко С.И. Методика прогноза генеральных моментов по малым выборкам с учётом свойства монотонности// Динамика технологических систем. Сборник трудов VII Международной научно-технической конференции (ДТС-2004). Саратов, СГТУ, 2004 г.

22. Сайкин А.И., Голушко С.И. Равновероятностная дискретизация непрерывных распределений с коррекцией выделенных точек по критерию моментов. Сарат. Гос. Техн. ун-т. Саратов, 2004. Деп в ВИНИТИ 20.04.2004. №645-В2004.

23. Сайкин А.И., Голушко С.И., Журавлёва Е.Ю. Свойство монотонности в задачах оценки моментов генеральной совокупности по малым выборкам.; Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2004. - 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.09.04, №1502-В2004 г.

24. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

25. Бара Ж.-Р. Основные понятия математической статистики. М.: Мир, 1974.

26. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. -3-е изд. М.: Наука, 1983.

27. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. -М.: Наука, 1972.

28. Ван дер Варден Б.А. Математическая статистика / Пер. с нем. М.: ИЛ, 1960.

29. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Л. - М.: Гостехиздат, 1949.

30. Иванов Г.А., Чешкин Ю.Р. Исследование статистических критериев, используемых для построения математической модели при аппроксимации опытных данных. В сб.: Некоторые вопросы теории случайных процессов. Киев: ИМ АН УССР, 1984, с. 133-140.

31. Карлин С. Основы теории случайных процессов, М.: Мир, 1970.

32. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений / Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

33. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика / Пер. с англ. М.: Мир, 1978.

34. Колмогоров А.Н. Интегрирование и экстраполирование случайных последовательностей. Изв. АН СССР, сер. мат., 1941.

35. Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ. 2-е изд. -М.: Мир, 1975.

36. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. -М.: Мир. Т. 1-2, 1980.

37. Джессен Р. Методы статистических обследований / Пер. с англ.; Под ред. и с предисл. Е.М.Четыркина. -М.: Финансы и статистика, 1985.

38. Енюков И. С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика, 1986.

39. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. Учебник. -М.: Финансы и статистика, 1998.

40. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Наука, 1965.

41. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Выщэйшая школа, 1996.

42. Яглом A.M. Экстраполирование, интерполировании и фильтрация стационарных процессов с рациональной спектральной плотностью. Тр. Моск. мат. об-ва, 1955, с. 333-374.

43. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, 1956, 1,№2, с. 127-238.

44. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. -М.: Физматгиз, 1962.

45. Гихман И.И. Предельные теоремы для последовательностей серий случайных величин. Теория случайных процессов. Респ. межвед.сб. Киев: Наук, думка, 1974, вып. 2, с. 37-47.

46. Сазонов В.В. О скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Теория вероятностей и ее применение, 1968, №1, с. 191-194.

47. Большев J1.H. Асимптотические пирсоновские преобразования. -Теория вероятностей и ее применение, 1963, №8, с. 129-155.

48. Боровков A.A., Сычева Н.М. О некоторых асимптотических оптимальных непараметрических критериях. Теория вероятностей и ее применение, 1968, №13, с. 385-418.

49. Гихман И.И., Гнеденко Б.В., Смирнов Н.В. Непараметрические методы статистики. Тр. 3 Всесоюз. матем. съезда, Т. 3. - М.: Изд-во АН СССР, с.320-334.

50. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение некоторых статистических оценок в гладком случае. Теория вероятностей и ее применение, 1972, №17, с. 469-486.

51. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. О моментах обобщённых байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия. Теория вероятностей и ее применение, 1973, №3, с. 535-546.

52. Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин. Успехи матем. наук 10, 1944, с. 65-144.

53. Гихман И.И. О некоторых предельных теоремах для условных распределений и о связанных с ними задачами статистики. Укр. матем. журн. 5, 1953, с. 413-433.

54. Дынкин Е.Б. Некоторые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями. Изв. АН СССР, 1955, с.247-266.

55. Кац М. О некоторых связях между теорией вероятностей, дифференциальными и интегральными уравнениями. Математика (сб. переводов), №2, 1957, с.95-124.

56. Рогозин Б.А. О распределении некоторых функционалов, связанных с граничными задачами для процессов с независимыми приращениями. -Теория вероятностей и ее применение, 1966, №11, с. 656-670.

57. Мартин Дж. Вычислительные сети и распределенная обработка данных: Программное обеспечение, методы и архитектура. Т.1. М.: Финансы и статистика, 1986. - 269 с.

58. Костин А. Е., Илюшечкин В. М., Шальгин В. Ф. Язык сетевого моделирования вычислительных систем // Алгоритмическое обеспечение и проектирование микропроцессорных управляющих систем: Сб. науч. тр. -М.: МИЭТ, 1981.-С. 67-79.

59. Костин А. Е., Илюшечкин В. М., Шаньгин В. Ф. Принципы организации диалоговой системы имитационного моделирования ВС // Алгоритмическое обеспечение и проектирование микропроцессорных управляющих систем: Сб. науч. тр. ~М.: МИЭТ, 1981. С. 3-10.

60. Бахтин Ю.Ю., Данилов A.B., Канцель A.B., Червоненкис А.Я., Метод восстановления поля условных распределений по эмпирическим данным. Автоматика и телемеханика, 2000, N12, с.75-86.

61. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. М., Изд-во МГУ, 1992, 400с.

62. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. -М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998.

63. Беляев Ю.К.,Чепурин Е.В. Основы математической статистики. М., Изд-во МГУ, ч. 1 -1982, 200 е.; ч.2 1983; 148 с.

64. Цареградский И.П. Курс теории вероятностей и математической статистики для студентов Химического факультета Московского университета, издано на ротапринте Химфака МГУ, 1970; 132 с.

65. Королев М. А., Фигурнов Э. Б. Статистика и экономический анализ в управлении народным хозяйством. М.: Экономика, 1977.

66. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. -Мн.:,Выш. шк., 1976.

67. Свирид Г.П., Макаренко Я.С., Шевченко Л.И. Решение задач по математической статистике на ПЭВМ. Мн.: Выш. шк., 1996.

68. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Выш. шк., 1993.

69. Кузнецов A.B. Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов. -Мн.: БГИНХ, 1991.

70. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982., ч. 2.

71. Войтенко М.А. Руководство к решению задач по теории вероятностей / ВЗФЭИ. М.: 1988.

72. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982.

73. Общая теория статистики. Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. A.A. Спирина, О.Э. Башиной. М.: Финансы и статистика, 1996.

74. Колесникова И.И. Социально-экономическая статистика: Учеб. пособие. Мн.: Новое знание, 2002.

75. Практикум по социально-экономической статистике /Под ред. И.Е. Теслюка. Мн: БГЭУ, 1997.

76. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1995.

77. Ефимова М. Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1998.

78. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.

79. Майков Е.В. Математический анализ: Числовые ряды. М.: Изд-во МГУ, 1999.

80. Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Анализ данных на компьютере. М.: Инфра-М и Финансы и статистика, 1995.

81. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1965.

82. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов /В.Е. Гмурман.-8-е изд. стер.-М.: Высш. шк., 2002. 479 с.

83. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей : учеб. для втузов / В.П. Чистяков.- 2-е изд., переработ, и доп. -М.: Наука, 1982., 255 с.

84. Теория вероятностей: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко.- 3-е изд., испр. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004., 456 с.

85. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика. Основы эконометрики: В 2-х т. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

86. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 270 с.

87. Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей: Пер. с нем. СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2001. - 608 с.

88. Дубров А. М. Компонентный анализ и эффективность в экономике: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2002. - 352 с.

89. Дубров А. М., Мхитарян В. С., Трошин JI. И. Многомерные статистические методы: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2000. - 352 с.

90. Жуковская В. М., Мучник И. Б. Факторный анализ в социально-экономических исследованиях. М.: Статистика, 1976. - 151 с.

91. Калинина В. Н. Многомерный статистический анализ в управлении: Учеб. пособие / МИУ. М., 1987. - 80 с.

92. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. М.: ИНФРА-М, 2001. - 302 с.

93. Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1991.-400 с.

94. Куперштох В. JI., Миркин Б. Г., Трофимов В. А. Сумма внутренних связей как показатель качества классификации // Автоматика и телемеханика. 1976. -№3.

95. Харман Г. Современный факторный анализ: Пер. с англ. М.: Статистика, 1972. -486 с.

96. Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник. В 2-х ч. / Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск, 1992. -422с.

97. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. №7 Стр. 62-71.

98. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Применение непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез // Автометрия. 2001. -№2.-Стр. 88-102.

99. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О правилах проверки согласия опытного распределения с теоретическим // Методы менеджмента качества. Надежность и контроль качества. 1999. № 11.- Стр. 34-43.

100. Бондарев Б.В. О проверке сложных статистических гипотез // Заводская лаборатория 1986 №10 - стр. 62-63.

101. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. 1998. Т.64. №3. Стр. 61 -72 .

102. Тимофеева JI.К., Суханова Е.И. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: УМиИЦ «Учебная литература», 1998. -182 с.

103. Тимофеева JI.K., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994.

104. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. -М.: Статистика, 1974.

105. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

106. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 5161006. (Справочное пособие.). Вып. 2. -М.: Сов. радио, 1976.

107. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Т. 1. -М.: Наука, 1973.

108. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Пер. с нем. под ред. Г.Гроше и В.Циглера. -М.: Наука, 1981.

109. Вазов В.Р., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных / Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

110. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. Изд. 2. М.: Высшая школа, 1990.

111. Кнут Д.Е. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

112. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Пер. с англ. под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1978.

113. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т. 1. Минск: Вышэйшая школа, 1972.

114. Ортега Дж., Рейнболд В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими неизвестными / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

115. Теория вероятностей и математическая статистика/Под. ред. Колемаева В.А.: Учебное пособие для эконом, спец. вузов. М.: Высшая школа, 1992.

116. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1980.

117. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

118. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров / Пер. с англ. М., Наука, 1972.

119. Численные методы. Учебник для техникумов. / Под ред. Данилина Н.И., Дубровской Н.С., Кваши О.П. и др. М.: Высшая школа, 1976.

120. Дорот B.JL, Троицкий В.А., Шелест В.Д. Элементы вычислительной математики. JL: Изд-во ЛПИ им. Калинина, 1977.

121. Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его применение и обобщения / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1966.

122. Белашов В.Ю. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. -М.: Магадан, 1997.

123. Число нереализованных печатных листов за период с 2000 по 2004 годы с разбивкой по кварталам.

124. Данные представлены Саратовской фирмой ЗАО ЛА "Научная книга"1. Юридическая редакция -1

125. Редакция научно-популярной литературы 21. Вузовская педагогика 41. Школьная педагогика 3

126. I 28 56 300 56 110 68 15 10 20 461. 56 82 120 280 15 200 19 5 46 892001 I 75 53 153 76 25 53 26 56 110 761. 24 86 186 110 56 180 35 53 153 49

127. I 85 50 143 75 58 65 26 45 200 831. 26 52 53 72 54 63 40 36 45 1602002 I 45 53 59 86 52 68 45 86 86 461. 39 58 86 59 68 62 18 49 89 110

128. I 58 54 88 53 64 63 6 75 56 1501. 75 59 78 53 68 64 35 110 83 452003 I 100 53 73 58 69 76 36 45 53 731. 45 59 46 54 86 75 32 76 46 85

129. I 48 46 50 48 100 79 40 45 20 491. 53 58 59 120 15 73 42 48 25 562004 I 85 100 52 163 46 80 41 53 35 431. 46 89 51 200 49 150 25 65 58 53

130. I 86 53 86 49 43 100 28 58 20 861. 28 75 55 58 42 85 29 89 35 54

131. Численность фоновых видов грызунов прикаспийского песчаного очагаза 1946 -1989 годы

132. Данные Яндыковского противочумного отделения) Численность зверьков на 1 га1. Ландшафтные районы

133. Ильмено-Придельтовый Приморский Чёрные земли

134. Дисперсии оценки генеральных моментов, оцениваемых по малым выборкам на основе свойствамонотонности.