Магнитный и электродинамический отклик в наноструктурах с геометрическим и потенциальным конфайнментом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Шорохов, Алексей Владимирович

• Шорохов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитный и электродинамический отклик в наноструктурах с геометрическим и потенциальным конфайнментом»

Обозначения . 12

Глава 1. Литературный обзор 13

1.1. Осцилляции магнитного момента. 13

1.2. Квантование кондактанса в наноструктурах . 23

1.2. Оптические свойства наноструктур . 28

Глава 2. Магнитный отклик квантовых наноструктур с цилиндрической симметрией 36

2.1. Магнитный отклик двумерного квантового цилиндра. 36

2.2. Магнитный отклик квантового "браслета" . 42

2.3. Температурная зависимость магнитного отклика квантового цилиндра и браслета . 49

2.5. Магнитный отклик квантового кольца ненулевой ширины . 54

2.5.1. Вычисление магнитного отклика . 55

2.5.2. Осцилляции магнитного момента . 66

Глава 3. Кондактанс квантовых наноструктур с цилиндрической симметрией 73

3.1. Кондактанс двумерного квантового цилиндра. 73

3.2. Кондактанс квазидвумерного квантового цилиндра . 77

Глава 4. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми наноструктурами с параболическим потенциалом конфайнмента 83

4.1. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовым цилиндром конечной толщины . 83

4.2. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения асимметричной квантовой ямой . 89

4.2.1 Диагонализация гамильтониана . 91 3

4.2.2 Электродинамический отклик . 101

Заключение 113

Приложение А 116

Приложение В 123

Список литературы 126

Введение

В последние годы физические свойства квантовых наноструктур привлекают к себе все большее внимание, что обусловлено следующими двумя основными причинами. Во-первых, в данной области физики конденсированного состояния был открыт целый ряд необычных физических эффектов, таких, например, как целый [1] и дробный [2]-[3] квантовые эффекты Холла, эффект Ааронова-Бома [4], квантование кондактанса [5]-[6] в двумерных каналах. Это дает надежду обнаружить в наноструктурах и другие важные с точки зрения фундаментальной физики эффекты. Во-вторых, исследование наноструктур имеет и важное практическое значение. Успехи в области нанотехнологий позволяют надеяться применить различные типы наноструктур для создания новых типов электронных устройств. Некоторые типы наноструктур, такие как сверхрешетки, квантовые ямы и проволоки уже применяются в современных полупроводниковых технологиях. Другие пока используются для создания прототипов устройств, изготовление которых планируется в будущем. Открытие в наноструктурах баллистического транспортного режима позволяет рассчитывать в ближайшем будущем миниатюризировать транзисторы, применяемые в современных компьютерных технологиях. Ожидается, что основу компьютера будущего будут составлять устройства, изготовленные из массивов наноструктур, обладающих квантовыми когерентными свойствами. Это должно существенно ускорить работу вычислительных устройств, а также сильно их миниатюризировать, что вызовет переворот в компьютерной индустрии. Очевидно, что электронные свойства наноструктур должны быть исследованы до появления технологии их массового изготовления. В связи с этим исследование физических свойств электронов в наноструктурах является весьма актуальной задачей.

Создание высокоподвижных полупроводниковых гетероструктур и успехи в литографической технике позволили создавать электронный кон-файнмент в наноструктурах разной геометрии. К числу таких структур нужно отнести в первую очередь квантовые ямы, точки и кольца, а также неплоские структуры, такие как квантовые цилиндры и браслеты, которые научились изготавливать с помощью оригинальной методики сворачивания напряженных слоев GaAsj In As в криволинейные нанообъекты с радиусами порядка от нескольких десятков до нескольких сотен ангстрем [7]. Это дает новые возможности для экспериментального и теоретического исследования. Необходимо также упомянуть и о другом важном типе наноструктур с необычными физическими свойствами - углеродных нано-трубках, в которых также может осуществляться двумерная проводимость и к описанию равновесных и транспортных свойств которых можно применять модель электронного газа [8].

Наноструктуры представляют собой как бы мост между микрообъектами, такими как атомы и молекулы, и макроскопическими твердыми телами - традиционным объектом изучения физики конденсированного состояния. Эти системы очень интересны для теоретического изучения, так как с одной стороны к ним уже не всегда можно применить методы исследования, характерные для макроскопических твердых тел, а с другой стороны, наноструктуры все еще слишком сложны, чтобы начинать их исследование с микроскопической модели. Другими словами, для изучения таких систем нужно комбинировать статистические методы с методами квантовой механики. Многие интересные с физической точки зрения эффекты в наноструктурах обусловлены наличием дискретной составляющей в электронном энергетическом спектре, которая в свою очередь обусловлена наличием потенциального или (и) геометрического конфайнмента.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование магнитных и электродинамических свойств электронов в наноструктурах является довольно сложной проблемой, особенно, если система помещена в магнитное поле. Поэтому многие теоретические исследования, как правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми выражениями для известных формул, а далее применяется численное моделирование. Этот подход не всегда позволяет выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности.

В связи с этим возникает проблема диссертационного исследования: подобрать подходящие модели для описания геометрического и потенциального конфайнмента в наноструктурах, получить удобные для дальнейшего анализа формулы для магнитного и электродинамического отклика, проанализировать эффекты, возникающие в магнитном и электродинамическом отклике электронной системы и сравнить их с экспериментом, исследовать зависимость магнитного и электродинамического отклика от величины магнитного поля, химического потенциала и параметров потенциала конфайнмента, изучить влияние гибридизационных эффектов на физические свойства систем, а так же получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, высота ступеней и ширина плато квантования кондактанса, положение и форма изломов, положение и высота резонансных и осцилляционных пиков).

Начиная исследование с квантовых наноструктур, конфаймент в которых является чисто геометрическим (квантовый цилиндр и браслет) в диссертации делается переход к более сложным структурам (квантовое кольцо конечной ширины и квантовый цилиндр с конечной толщиной стенок), имеющим смешанный геометрический и потенциальный кофайнмент и, наконец, рассматривается анизотропная квантовая яма - система с чисто потенциальным конфайнментом. Во всех случаях рассматривались системы, помещенные в магнитное поле. Это поле может изменять электронный конфайнмент и, следовательно, изменять физические свойства наноструктур.

Для описания потенциала конфайнмента в диссертации во всех случаях используется параболический потенциал, который имеет ряд преимуществ. Во-первых, строго доказано, что для высокоэнергетичных уровней любой потенциал хорошо апроксимируется параболическим [9]. Во-вторых, в соответствии с [10], электрон-электронное взаимодействие не влияет в этом случае на электронные переходы, что существенно для исследования электродинамического отклика. В-третьих, даже в присутствии внешнего магнитного поля параболический потенциал приводит к квадратичному гамильтониану, спектр которого легко получить алгебраически, что, в свою очередь, дает возможность получения явных формул и детального исследования полученных зависимостей.

Во всех разделах для описания электронных состояний в наноструктурах используется модель независимых электронов в приближении эффективной массы. Эта простая модель широко используется в теоретических исследованиях. Хотя полученные в результате расчетов численные значения физических величин, как правило, согласуются с экспериментом лишь по порядку величины, они часто бывают полезны для глубокого понимания физических свойств реальных систем. Например, использование модели свободных электронов, находящихся в однородном магнитном поле (Л.Д.Ландау, [11]) позволило обеспечить основу для понимания широкой области физических явлений, таких, как осцилляции в термодинамических и транспортных свойствах металлов и полупроводников. Следует, однако, заметить, что подобный подход не применим, например, к системам с сильным электрон-электронным взаимодействием.

Важно отметить, что в наноструктурах, по-видимому, определяющую роль играет геометрия системы, а не конкретный вид потенциала кристаллической решетки. В частности, результаты, полученные в работе [12] в приближении сильной связи для исследования намагниченности углеродной нанотрубки оказались в хорошем соответствии с результатами, полученными в Главе 2 данной диссертации в приближении эффективной массы.

В диссертации для исследования магнитного отклика и кондак-танса наноструктур используется подход, предложенный Л.Д.Ландау и осно ванный на методе представления рассматриваемых величин в виде ряда Фурье. Этот метод позволил получить простые формулы для магнитного отклика и кондактанса в виде однократного ряда Фурье, а в ряде случаев, при низких температурах, и чисто функциональные зависимости, что позволило провести детальное аналитическое исследование кривых зависимости магнитного момента и кондактанса от магнитного поля, химического потенциала, температуры и параметров потенциала конфайнмента.

Для исследования внутризонных оптических переходов используется стандартный метод, основанный на теории возмущений. Для нахождения электронного энергетического спектра анизотропной квантовой ямы в случае приложенного магнитного поля и для нахождения матричного элемента оператора электромагнитного возмущения используется метод канонического преобразования фазового пространства системы, позволяющий сильно упростить задачу.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими основными результатами теоретического исследования. 1. Показано, что эффекты гибридизации спектра приводят к ряду новых физических эффектов, в частности, обнаружена сильная зависимость периодов осцилляции магнитного момента и кондактанса, ширины плато и высоты ступеней квантования кондактанса, положения и интенсивности пиков поглощения электромагнитного излучения от величины и направления магнитного поля и параметров потенциала конфайнмента.

2. Исследованы различные осцилляционные эффекты в магнитном и электродинамическом отклике (осцилляции типа Ааронова-Бома, де Гааза-ван Альфена и осцилляции смешанного типа). Детально исследован характер этих осцилляций.

3. Показано наличие характерных изломов на графике зависимости магнитного момента от магнитного поля.

4. Изучен резонансный характер поглощения электромагнитного излучения электронной системой квази-2.0 цилиндра, а так же трехмерной анизотропной квантовой ямой.

5. Выявлено, что в случае низких температур резонансные пики внутри-зонного поглощения в случае вырожденного электронного газа содержат изломы на крыльях пиков.

6. Разработан подход для нахождения матричного элемента оператора электрон-фотонного взаимодействия, основанный на каноническом преобразовании фазового пространства.

Полученные в диссертации результаты позволяют описать и объяснить ряд экспериментальных данных по магнитному и электродинамическому отклику: наложение осцилляций типа Ааронова-Бома и де Гааза-ван Альфена в квантовых кольцах, различное число резонансных пиков на кривых поглощения электромагнитного излучения квантовой ямой и расщепление пиков в наклонном поле, зависимость параметров ступеней квантования кондактанса от величины магнитного поля и температуры. Результаты исследования могут использоваться также для оценки параметров электронного конфайнмента в наноструктурах и электронного энергетического спектра. Разработанные методы могут быть применены и для исследования других равновесных и транспортных характеристик.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]-[25], а так же докладывались на международных конференциях "Physics at the Turn of the 21st Century" (Санкт-Петербург, 1998 г.), "Trends in magnetism" (Екатеринбург, 2001 г.), "Fullerenes and Atomic Clusters" (Санкт Петербург, 2001 г.), на V Российской конференции по физике полупроводников (Нижний Новгород, 2001 г.), на "32 совещании по физике низких температур" (Казань, 2000 г.), на второй международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 2001 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета "Огаревские чтения" (Саранск, 1998 г., 1999г.), а так же на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2001 г.).

Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов исследования и решении поставленных задач, а так же в интерпретации полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

В Главе 1 приводится литературный обзор наиболее важных работ, сделанных в области диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена изучению магнитных свойств наноструктур, обладающих цилиндрической симметрией, таких как квантовый цилиндр, квантовый браслет и квантовое кольцо конечной ширины. Для всех типов наноструктур получены явные аналитические выражения для магнитного отклика. Показано, что в случае квантового цилиндра и браслета осцилляции магнитного момента с изменением магнитного поля будут иметь характер осцилляций Ааронова-Бома. В случае квантового кольца конечной

11 ширины период осцилляций будет сильно зависеть от соотношения размерного и магнитного квантования. Для всех типов наноструктур исследованы особенности на кривых зависимости магнитного момента от магнитного поля. Исследована температурная зависимость магнитного отклика.

В Главе 3 изучается кондактанс двумерного квантового цилиндра и квантового цилиндра конечной толщины. В обоих случаях получены явные формулы для кондактанса. Исследованы форма и положение ступенек на кривой зависимости кондактанса от химического потенциала. Изучены осцилляции кондактанса как функции магнитного поля. Рассмотрена температурная зависимость формы ступенек квантования кондактанса.

Глава 4 посвящена изучению оптических свойств электронного газа в квантовом цилиндре ненулевой толщины и анизотропной параболической квантовой яме. Получены явные формулы для коэффициента поглощения. Для квантовой ямы исследован наиболее общий случай как произвольного направления вектора поляризации электромагнитного излучения, так и произвольного направления магнитного поля. В случае вырожденного газа изучены изломы кривой поглощения.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В.А.Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, а так же всем соавторам работ: аспирантам Н.Г.Галкину, М.П.Трушину, математикам В.А.Гейлеру и И.И.Чучаеву за консультации и помощь в расчетах. Особая благодарность аспиранту Д.В.Булаеву за техническую помощь при оформлении диссертации.

12

Обозначения

На протяжении всей работы мы придерживаемся следующих обозначений: с - скорость света в вакууме е - заряд электрона rriQ - масса свободного электрона т* - эффективная электронная масса

Т - температура р - импульс электрона

Н - постоянная Планка

В - вектор индукции магнитного поля

Nf - число фотонов в единице объема цв = еБ/2тос - магнетон Бора

Ф = BS - поток магнитного поля через площадь S. ф0 = ch/e - квант магнитного потока

А - векторный потенциал электромагнитного поля

I - химический потенциал шс = еВ/тп*с - циклотронная частота о - электронная функция распределения е{ш) - вещественная часть диэлектрической проницаемости f - волновой вектор фотона

Go = 2e2//i - квант кондактанса

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Шорохов, Алексей Владимирович

Заключение

В диссертации проведено теоретическое исследование магнитного отклика квантовых нанострукур с цилиндрической симметрией, таких как квантовый двумерный цилиндр, квантовый браслет, квантовое кольцо конечной ширины; кондактанса квантового двумерного и квази-двумерного цилиндров и внутризонного поглощения электромагнитного излучения квантовым квази-двумерным цилиндром и трехмерной анизотропной квантовой ямой. В частности:

1. Получены аналитические выражения зависимости магнитного отклика двумерного квантового цилиндра, квантового браслета, квантового кольца конечной ширины, кондактанса двумерного и квази-двумерного цилиндров от величины магнитного поля, химического потенциала, температуры и параметров потенциала конфайнмента; зависимости коэффициента поглощения квантового цилиндра конечной толщины и трехмерной анизотропной квантовой ямы от величины и направления магнитного поля, параметров потенциала конфайнмента, направления ветора поляризации электромагнитной волны.

2. Исследованы осцилляции типа Ааронова-Бома для наноструктур с цилиндрической симметрией, обладающих чисто геометрическим конфайн-ментом (квантовый цилиндр и браслет). Показано, что периоды осцилля-ций магнитного момента квантового кольца конечной ширины благодаря гибридизационным эффектам будут сильно зависеть как от геометрических параметров системы, так и от величины магнитного поля. Исследованы периоды осцилляций магнитного момента кольца в разных предельных случаях. В частности, в случае сильного размерного квантования осциллирующая часть магнитного момента кольца будет представлять собой наложение двух периодичных по квадрату поля осциллирующих слагаемых, в случае же сильного магнитного квантования осциллирующая часть магнитного момент кольца будет представлять собой наложение осцилляций Ааронова-Бома на осцилляции де Гааза-ван Альфена. Причем амплитуда осцилляций де Гааза-ван Альфена много больше амплитуды осцилляций Ааронова-Бома. Монотонная часть магнитного отклика будет линейной функцией поля во всех случаях.

3. В случае двумерных наноструктур с цилиндрической симметрией на кривой зависимости магнитного момента от магнитного поля обнаружены характерные изломы серповидной формы. Причем в случае квантового браслета и квантового кольца конечной ширины будут существовать дополнительные треугольные изломы.

4. Исследована ширина плато ступеней и высота порогов квантования кон-дактанса квантовых двумерного и квази-двумерного цилиндров в зависимости от геометрических параметров системы и величины магнитного поля. Изучены осцилляции кондактанса как функции магнитого поля. Выяснено, что в случае сильного магнитного квантования кондактанс квазидвумерного цилиндра как функция магнитного поля будет испытывать осцилляции типа Шубникова-де Гааза.

5. Разработан подход для вычисления матричного элемента оператора возмущения электромагнитного излучения, основанный на каноническом преобразовании фазового пространства.

6. Показан резонансный характер поглощения электромагнитного излучения квантовым квази-2£> цилиндром и трехмерной анизотропной квантовой ямой. Выяснено, что в случае квантового цилиндра будет существовать только один резонансный пик, соответствующий преходу между соседними

115 гибридными уровнями. Установлено, что поглощение электромагнитного излучения квантовой ямой будет сильно зависеть как от величины и направления магнитного поля так и от направления вектора поляризации, причем в общем случае будет существовать три резонансных пика, однако, при некоторых значениях параметров системы возможно исчезновение одного или двух пиков. Исследованы частные случаи фарадеевской и фо-хтовской геометрии.

7. Исследованы изломы на кривой поглощения электромагнитного излучения, связанные с вырождением газа.

8. Проведено сравенение полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. г .ал d res\p = —г—\ = lim — a p->-if dp

2\ 1 exp(pb)(p2a2 - a2) (p2 — ia/a)2 sin(7rp) i exp(—iab/a)a2 4sinh(7ro;/(2)a2 о7 л 9 ,cosh(7ra/a) -2a 6 + 2a m— v ' ' r r .a, a b reslp = г—1+reslp = —i—\ = . -— a a sinh(7ra/a) sin ab/a)■ sinh(7ra/a) 7ra2 cosh(7ro;/a) sinh2(7ra/a)

Тогда окончательное выражение для интеграла при b > 0: cos (ax)dx 1 .nexp(—nb)(n2a2 — a2)

1+exp(ax-b) = ' (n2 + a2/a2)2

7Г2 cosh(7ra/o) oo / exp((

7Г Ь sin(ab/a) + a2sinh(7ra;/a) ""'V""'"v 1 a2 sinh2(7ra/a) Окончательное выражение для интеграла при b < 0: cos (ab/a) oo

1 + ехр(аж — b) dx 1 n=l exp(—nb)(n2a2 — a2) (n2 + a21 a2)2

III. Интегралы вида

A.16) cos (ab/a) (A.17)

A.18)

A.19)

00 г cos(a;£)ch + ехр(аж — 6)

Вычислим сначала значение интеграла для b > 0. Воспользуемся следующей формулой гоо

1 1 Г

1 + ехр(аж — Ь) 2г J exp(—pax) exp(pb)dp fi—ioo sin(7TJ9)

Тогда oo г cos(a^)d!:r + ехр(аж — b)

А.20)

А.21)

2 г /

P+ioo со /З+ioo exp(pb)dp f ( A f хл a f exp(pb)pdp

J exp(— pax) cos(ax)dx = ^ J sin(7г£>) J — J (p2a2 + a2)2 sm(-Kp)

З—ioо 0 (3—ioo res ещ)(рЬ)р p2a2 + a2) sin(7rj9)' Где была использована формула а а р = —п,р = г—,р = —г— а а

А.22) оо / ехр(— pax) cos(ax)dx = pa р2а2 + а2

А.23)

Вычет в точке — п: ехр(—п6)п (р + п) exp (~nb)n res\p = -n] = — v | ' ; = "С"1) гг2а2 + о? sin(7rp) v ir(n2a2 + а2)

Теперь найдем сумму вычетов в точках р = г^,р = —г^-.

Г .а, г .а, exp (ia>b/a)(ia/a) exp (—iab/a)( res[p = г-]+res\p = -г- = FV . ' ' -т^т a a azsm{ma/a){2ia/a) ai sm( —ma/a){ sin(aib/a) a2 sinh(mr/a)

Тогда окончательное выражение для интеграла при Ь > 0:

А.24) га/а) оо cos (ax)dx оо

1 + ехр(аж — 6) пехр(—пб)

71=0 n2a2 + а2

7Г sin(a6/a) asinh(7ra;/a)

Окончательное выражение для интеграла при Ь < 0: оо cos (ax)dx

00

1 + exp(a# — 6)

Ьт—Ен)"

72=0 п ехр(ггб) n2a2 + о;2

2га/а) (А.25)

А.26)

А.27)

А.2 Вычисление интегралов второго типа cos(2nkx) оо г ехр ( ^

А.28)

Сделаем замену переменных yJe/Tx = у, dx = д/T/edy, —/л/Т = а и применим теорию вычетов exp(2iriky/T/£z) res

R=1

С& = 7гг х/Туё ^ res

1 + exp(a + £2)

- ^

А.29)

121 где z± = ±хп + iyn, хп = + [а2 + (2 п - 1 JV]1/2}1/2, уп = + [а2 +

2п - 1)Ч2]1'2}1/2 res [/(*),**] = "M^kVTT^i) = iyn) ехр(2liky/TR**) п

2z±

2к

А.30) х res [/(2), = -г^фп=1 П=1 ' п ' х[?/п сов(2ък\/Т/ехп) - хп sin(2пку/Т/ех^}] (А.31)

В результате получим

Си = ttv^E 6ХР( [хп sin(2 жк^тГехп)-уп со8(2тг ку/Т^хп)] п= 1

Воспользуемся следующей формулой [133] sin/?

00 gexp(-ai) em(0fc) = 2(coshacos/?) ft—1

Eexpf—cos(7Ш = ——a- 1

2 (cosh a — cos f3) 2

A.32)

A.33)

A.34)

Откуда

У] cos(27ткг]) exp(— £xn)-yncos(27rky/T/sxn)] = k=1 1 xnsin2/к(у/Тг/ехп + rj) - yns\nh2ir(y/Tjeyn) ~ 4 cosh 2ъ(у/Т]1уп) - cos 2*(y/T]exn + rj) 1 xn sin 2k(y/f/exn - rj) - yn sinh 2n(^T/£yn) у„ 4 coBh2ir(y/Tjeyn)--со82тг(у/Т/ёхп - rj) 2

A.35)

Введем J hft (2n - 1)2тг2Г2

LS V £2 £2

1/2 (3n - -цап (A.36)

123

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шорохов, Алексей Владимирович, 2001 год

1. К.von Klitzing, G.Dorda, M.Pepper. // Phys.Rev.Lett. 1980. - Vol.45. -P.494.

2. D.C.Tsui, H.L.Stormer, A.C.Gossard. // Phys.Rev.Lett. -1982. Vol.48. -P.1559.

3. R.B.Laughlin. // Phys.Rev.Lett. 1983. - Vol.50. - P.1395.

4. Y.Aharonov, D.Bohm. // Phys.Rev. 1959. - Vol.115. - P.485; Phys.Rev.- 1961. -Vol.123. P.1511.

5. R.Landauer. // IBM J.Res.Dev. 1957. - Vol.1. P.223; IBM J.Res.Dev. -1988. - Vol.32. - P.306.

6. M. Buttiker. // Phys.Rev.Lett. 1986. - Vol.57. - P.1761.

7. V.Ya.Prinz, D.Grutzmacher, A. Beyer, C.David, B.Ketterer and E.Deccard. // 9th Int.Symp."Nanostructures: Physics and Technology": Abstracts. St.Petersburg, 2001. - P.74.

8. Л.И.Магарилл, А.В.Чаплик. // ЖЭТФ. 1999.- T.115. - C.1478.

9. H. I. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, and B. Simon, Schrddinger Operators. With Application to Quantum Mechanics and Global Geometry. Berlin: Springer, 1987.

10. Q.P.Li, K.Karrai, S.K.Yip, S.Das Sarma, H.D.Drew. // Phys.Rev.B. -1991.- Vol.43. P.5151.

11. L.Landau. // Z.Phys. 1930. - Vol.64. - P.629.

12. H.Ajiki and T.Ando. // J.Phys.Soc.Jpn. 1993. - Vol.62. - P.1255.

13. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Магнитный отклик двумерного вырожденного электронного газа в наноструктурах с цилиндрической симметрией.// ЖЭТФ. 1999. - Т.115. - N 4. - С. 1450-1462.

14. V.A.Geyler, V.A.Margulis, A.V.Shorokhov. Hybrid resonances in the optical absorption of a three-dimensional anisotropic quantum well. // Physical Review B. 2001. - V.63. - 245316.

15. V.A.Margulis, A.V.Shorokhov, M.P.Trushin. Ballistic conductance of a quantum cylinder in a parallel magnetic field. // Physics Letters A. 2000.- V.276. P. 180-186.

16. Н.Г.Галкин, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми наноструктурами с параболическим потенциалом конфайнмента. // ФТТ. 2001. - Т.43. - N.3.- С. 511-519.

17. И.И.Чучаев, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов, С.Е.Холодова. Магнитный момент квантового цилиндра. // ФТТ. 1999. - Т.41. - N.5. - С. 856859.

18. V.A.Margulis, A.V.Shorokhov, M.P.Trushin. Magnetic response of an electron gas in a quantum ring of non-zero width. 2001. // Physica E.- V. 10. P. 518-527.

19. I.I.Chuchaev, V.A.Margulis, A.V.Shorokhov, and S.E.Kholodova. Magnetic moment of the quantum cylinder. // International Conference "Physics at the Turn of the 21st Century": Summaries. Санкт-Петербург. - 1998. - С. 49.

20. V.A.Margulis, A.V.Shorokhov, M.P.Trushin. Magnetic response of an electron gas in the quantum ring of non-zero width. // Euro-Asiansymposium "Trends in magnetism": Abstract book. Екатеринбург. -2001. - С. 342.

21. N.G.Galkin, V.A.Margulis, A.V.Shorokhov. Electrodynamic response of quantum nanotubes in a parallel magnetic field. // 5th International Workshop "Fullerenes and Atomic Clusters": Abstracts. Санкт-Петербург. - 2001. - С. 124

22. В.А.Маргулис, М.П.Трушин, А.В.Шорохов. Баллистический кондак-танс квантового цилиндра //32 Всероссийское совещание по физике низких температур: Тезисы докладов. Казань. - 2000. - С.78.

23. В.А.Маргулис, М.П.Трушин, А.В.Шорохов. Магнитный отклик квазидвумерного электронного газа в квантовом цилиндре.// V Российская конференция по физике полупроводников: Тезисы докладов. Нижний Новгород. - 2001. - С.342.

24. А.В.Шорохов. Магнитный момент квантового браслета, помещенного в продольное магнитное поле. // Научная конференция Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (XXVII Огаревские чтения): Тезисы докладов. Саранск. - 1998. - С. 113-114.

25. W.J. de Haas and P.M. van Alphen. // Leiden Commun. 1930. - Vol.A212. - P.215.

26. И.М.Лифшиц, А.М.Косевич. // ЖЭТФ. 1955. - T.29. - C.730.

27. А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, Москва: Наука, 1987.129

28. H.-F.Cheung, Y.Gefen, E.K.Riedel and W.-H.Shin // Phys.Rev.B. 1988.- Vol.37. 6050.

29. Y.Meir, O.Entin-Wohlman, Y.Gefen. // Phys.Rev.B. 1990. - Vol.42. -P.8351.

30. S. A. J. Wiegers, M. Specht, L. P. Levy, M. Y. Simmons, D. A. Ritchie, A. Cavanna, B. Etienne, G. Martinez, P. Wyder. // Phys. Rev. Lett. -1997. Vol.79. P.3238.

31. Yn N. Ovchinnicov, W. Lehle and A. Schmid. // Ann.Phys. 1997. - Vol.6.- P.489.

32. Y. Meyr, O. Entin-Wohlman and Y. Gefen. // Phys. Rev. B. 1990. -Vol.42. - P.8531.

33. R. Merlin. // Sol.State Comm. 1987. - Vol.64. - P.99.

34. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, И.В.Чудаев. // ЖЭТФ. 1996. - Т.109. -С.762.

35. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, О.Б.Томилин. // Письма в ЖЭТФ. 1996.- Т.63. С.549.

36. V.A.Geyler and V.A.Margulis. // Phys.Rev.B. 1997. - Vol.55. - P.2543.

37. R.E.Peierls. // Phys.Z. 1933. - Vol.81. P.186.

38. W.Zawadzki. // Solid State Comm. 1983. - Vol.47. - P.317.

39. G.Ihm, M.L.Falk, S.K.Noh, J.I.Lee, S.J.Lee. // Phys.Rev.B. 1992. -Vol.46. - P.15530.

40. Ю.П.Гайдуков, Н.П.Данилова. // Письма в ЖЭТФ. 1972. - Т.15. -С.592.

41. Н.Б.Брандт, Д.В.Гицу, А.А.Николаева, Я.Г.Пономарев. // ЖЭТФ. -1977. Т.72. - С.2332.

42. Э.Н.Богачек, Г.А.Гогадзе. // ЖЭТФ. 1972. - Т.бЗ. - С.1840.

43. Э.Н.Богачек, Г.А.Гогадзе, И.О.Кулик. // Физика Низких Температур.- 1976. Т.2. - С.461.

44. Б.Л.Альтшулер, А.Г.Аронов, Б.З.Спивак. // Письма в ЖЭТФ. 1981.- Т.ЗЗ. С.101.

45. Б.Л.Альтшулер, А.Г.Аронов, Б.З.Спивак, Д.Ю.Шарвин, Ю.В.Шарвин. // Письма в ЖЭТФ. 1982. - Т.35. - С.476.

46. B.L.Altshuler, Y.Gefen, and Y.Imry. // Phys.Rev.Lett. 1991. - Vol.66. -P.88.

47. L.P.Levy, G.Dolan, J.Dunsmuir, H.Bouchiat. // Phys.Rev.Lett. 1990. -Vol.64. - 2074.

48. И.О.Кулик. // Письма в ЖЭТФ. 1970 Т.Н. - С.407.

49. M.F.Lin and К. W.-K. Shung. // Phys.Rev. В. 1995. - Vol.52. - P.8423.

50. К. Richter, D. Ullmo, R. A. Jalabert. // Physics Reports. 1999. - Vol.276, P.l.

51. Yn N. Ovchinnicov, W. Lehle and A. Schmid. // Ann.Phys. 1997. - Vol.6.- P.489.

52. Ф.В.Кустамаров. // Письма в ЖЭТФ. 1991. - Т.53. - С.27.

53. Л.И.Магарилл, А.В.Чаплик. // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т.70. - С.607.

54. Y. Avishai, М. Kohmoto. // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol.71. - P.279.

55. W.- C. Tan, J. C. Inkson. // Phys. Rev. B. 1999. - Vol.60. - P.5626.131

56. Y. Avishai, Y.Hatsngai and M. Kohmoto. // Phys. Rev. B. 1993. - Vol.47.- P.9501.

57. G.Bouzerar, D.Poilblanc and G. Montambaux. // Phys. Rev. B. 1994. -Vol.49. - P.8258.

58. G.Kurczenow. // Superlattices Microstract. 1994. - Vol.14. - P.237.

59. G. Montambaux, H.Bouchiat, D.Sigeti and R.Friesner. // Phys. Rev. B. -1990. Vol.42. - P.7647.

60. D.Eliyahu, R.Berkovits, M.Abraham and Y.Avishai. // Phys. Rev. B. -1994. Vol.49. - P.14448.

61. T. Chakraborty, P. Pietilainen. // Phys. Rev. B. 1994. - Vol.50. - P.8460.

62. L.P.Levi, G.Dolan, J.Dunsmuir, H.Bouchiat. // Phys.Rev.Lett.B. 1990. -Vol.64. - P.2074.

63. D.Mailly, C.Chapelier and A.Beroit. // Phys.Rev.Lett. 1993. - Vol.70. -P.2020.

64. V. Chandrasekhar, R.A.Welb, M.J.Brady at al. // Phys.Rev.Lett. 1999.- Vol.67. P.3578.

65. J. Hajdu, B. Shapiro. // Europhys. Lett. 1994. - Vol.28. - P.61.

66. A.S.Aleksandrov and A.M.Bratkovsky. // Phys.Rev.Lett. 1996. - Vol. 76.- P. 1308.

67. R.A.Shepherd, M.Elliot, W.G.Herrenden-Harker, M.Zervos, P.R.Morris, M.Beck, M.Ilegems. // Phys.Rev.B. 1999. - Vol.60. - P.11277.

68. M.F.Lin. // Physica B. 1999. - Vol.269. -P.43.

69. P.D.Grigoriev, I.D.Vagner. // Письма в ЖЭТФ. 1999. - T.69. - C.139.

70. M.M.Fogler, E.I.Levin, and B.I.Shklovskii. // Phys.Rev.B. 1994. - Vol.49. - P. 13767.

71. C.W.Beenaker. // Rev.Mod.Phys. 1997. - Vol.69. - P.731.

72. F. von Oppen. // Phys. Rev. B. 1994. - Vol.50. - P.17151.

73. R.B.Dingle. // Proc.R.Soc. London A. 1951. - Vol.211. - P.517 (1951)

74. D.Shoenberg, Magnetic Interection in a 2D Electron Gas, Symposium in memory of T.D.Holstein, Condensed Matter Physics. Berlin: Springer,1987.

75. Ю.Б.Румер. // ЖЭТФ. 1948. - T.18. - C.1081.

76. B.J. van Wees, H. van Houten, C.W.J. Beenakker, J.G. Williamson, L.P.Kouwenhoven, D. van der Marel, and C.T. Foxon. // Phys.Rev.Lett. -1988. Vol.60. - P.848.

77. D.A.Wharam, T.J.Thornton, R.Newbury, M.Pepper, H.Ahmed, J.E.F.Frost, P.G.Hasko, D.C.Peacock, D.A.Ritchie and G.A.C.Jones. // J.Phys.C. 1998. - Vol.21. - P.209.

78. W.B.Jian et al. // Phys.Rev.B. 1999. - Vol.59. - P.3168.

79. A. G. Scherbakov, E. N. Bogachek and U. Landman. // Phys. Rev.B. -1996. Vol.53. - P.4054.

80. J.Voit. // Rep.Prog.Phys. 1995. - Vol.58. - P.997.

81. S.Tarucha et al. // Sol.Stat.Comm. 1995. - Vol.94. - P.413.

82. D.L.Masol and M.Store. // Phys.Rev.B. 1995. - Vol.52. - P.5536.

83. V.V.Ponomarenko. // Phys.Rev.B. 1995. - Vol.52. - P.8666.

84. L.I.Glazman et al. // Phys.Rev.B. 1992. - Vol.45. - P.8454.

85. В.Б.Шикин. // ЖЭТФ. 1992. - Т.101. - С.1599.

86. В.Б.Шикин. // Письма в ЖЭТФ. 1989. - Т.50. - С.188.

87. В.Б.Шикин, Т.Демель, Д.Т.Хайтман. // ЖЭТФ. -1989. Т.96. - С.1406.

88. C.S.Chu, R.S.Sorbello. // Phys.Rev.B. 1989. - Vol.40. - P.5941.

89. T.Martin and S.Feng. // Phys.Rev.Lett. 1990. - Vol.64. - P.1971.

90. C. J. Ford, S. Washburn, M. Buttiker et al. // Phys.Rev.Lett. 1989. -Vol.62. - P.2724.

91. E. N. Bogachek, A. G. Scherbakov and U. Landman. // Phys.Rev.B. -1997. Vol.56. - P.14916.

92. Y. B. Levinson, M. I. Lubin and E. V. Sukhorukov. // Phys. Rev.B. 1992.- Vol.45. P. 11976.

93. M. И. Любин. // Письма в ЖЭТФ. 1993. - Т.57. - С.346.

94. D. Н. Gobden, N. К. Patel and M. Pepper. // Phys. Rev.B. 1991. - Vol.44.- P. 1938.

95. A. B. Fowler, G. L. Timp, J. J. Wainer, R. A. Webb. // Phys.Rev.Lett. -1986. Vol.57. - P.138.

96. M. Naito, M. R. Beasley. // Phys.Rev.B. 1990. - Vol.42. - P.1492.

97. A. K. Geim, T. J. Foster, A. Nogaret, N. Mori, P. T. McDounel, N. La Scala, P. C. Main, L. Guves. // Phys.Rev.B. 1994. - Vol.50. -P.8074.

98. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис. // ЖЭТФ. 1997. - T.lll. - C.2115.

99. E.W.Fenton. // Phys.Rev.B. 1993. - Vol.47. - P.10135.

100. H.Totland, O.L.Bo, Y.M.Galperin. // Physica B. 1998. - Vol.249-251. -P.147.

101. H.A.Fertig and B.I.Halperin. // Phys.Rev.B. 1987. - Vol.36. - P.7969.

102. M. Buttiker. // Phys.Rev.B. 1990. -Vol.41. - P.7906.

103. Л.И.Магарилл, Д.В.Романов, А.В.Чаплик, // ЖЭТФ. 1998. - Т.113.- С.1411.

104. A.V.Chaplik, L.I.Magarill, D.A.Romanov. // Physica В. 1998. - Vol. 249-251. - P. 177.

105. M.B.Nardelli. // Phys.Rev.B. 1999. - Vol.60. - P.7828.

106. В.Б.Шикин. // Письма в ЖЭТФ. 1989. - Т.50. - С.150.

107. K.Karrai, H.D.Drew, M.W.Lee, M.Shayegan. // Phys.Rev.B. 1989. -Vol.39. - P.1426.

108. Yu. B. Vasilyev, К. V. Klitzing, K. Eberl. // Physica E. 1998. - Vol.2. -P.116.

109. A. H. MacDonald, C. Kallin. // Phys. Rev. B. 1989. - Vol.40. - P.5795.

110. L. Brey, N. Johnson, and B. J. Halperin. // Phys. Rev. B. 1989. - Vol.40.- P.10647.

111. T. Demel, D. Heitmann, P. Grambow, and K. Ploog. // Phys. Rev. Lett.- 1990. Vol.64. P.788.

112. H.Froluh. // Adv. in Phys. 1954. - Vol.3. - P.325.

113. Ф.Г.Басс, И.Б.Левинсон. // ЖЭТФ. 1965. - T.49. - C.914.

114. S.J.Allen, Jr., H.L.Stormer, and J.C.M.Hwang. // Phys.Rev.B. 1983. -Vol.28. - P.4875.

115. J.Alsmeier, E.Batke, and J.P.Kottaus. // Phys.Rev.B. 1990. - Vol.41. -P.1699.

116. В. Meurer, D. Heitmann, and K. Ploog. // Phys. Rev. Lett. 1992. -Vol.68. - P.1371.

117. C.T.Liu, K.Nakamura, D.C.Tsui, K.Ismail, D.A.Antoniadis, H.I.Smith. // Appl.Phys.Lett. 1989. - Vol.55. - P.168.

118. D.Huang, G.Gumbs, N.J.M.Horing. // Phys.Rev.B. 1994. - Vol.49. -P.11463.

119. C.Dahl, F.Brinkop, A.Wixforth, J.P.Kotthaus, J.H.English, and M.Sandaram. // Sol. State Comm. 1991. - Vol.80. - P.673.

120. Э.П.Синявский, А.М.Русанов. // ФТТ. 1998. - T.40. - C.1126.

121. И.П.Ипатова, А.Ю.Маслов, О.В.Прошина. // ФТТ. 1995. -Т.37. -С.1819.

122. Е.А.Мазур. // ФТТ. 1987. - Т.21. - С.694.

123. М.Д.Блох, О.М.Лешко, Е.М.Шервгий. // Письма в ЖЭТФ. 1988. -Т.48. - С.215.

124. L.Wendler, V.G.Grigoryan. // Physica В. 1998. - Vol.245. - Р.127.

125. Б.С.Монозон. // ФТТ. 1993. - Т.35. - С.3068.

126. В.Д.Кревчик, Р.В.Зайцев. // ФТТ. 2001. - Т.43. - С.504.

127. V.Ya.Demikhovskii, D.I.Kamenev, G.A.Luna-Acosta. // Phys.Rev.E. -1995. Vol.52. - P.3351.

128. V.Ya.Demikhovskii, D.I.Kamenev. // Physics Letters A. 1997. - Vol.228. - P.391.

129. A.В.Песчанский, В.Г.Песчанский. // ЖЭТФ. 2000. - Т.118. - С.475.

130. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. Москва: Наука, 1974.136

131. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Статистическая физика, 4.1. Москва: Наука, 1995.

132. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. -Москва: Наука, 1981.

133. А.И.Ансельм. Введение в теорию полупроводников. Наука, Москва, 1978.

134. Г.Бейтман, А.Эрдейн. Высшие трансцендентные функции. Москва: Наука, 1973. - Т.1.

135. А.А.Быков, А.К.Бакаров, Л.В.Литвин, А.И.Торопов. // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т.72. - С.300.

136. C.Dekker. // Physics Today. 1999. - Vol.5. - P.22.