Транспортные и оптические свойства квантовых проволок и сужений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Галкин, Николай Георгиевич

• Галкин, Николай Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галкин, Николай Георгиевич

Введение

Обозначения

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Баллистический электронный транспорт в наноструктурах

1.2. Квазибаллистический и диффузный механизмы электронного транспорта в наноструктурах

1.3. Оптические свойства наноструктур

1.4. Фотокондактанс наноструктур

Глава 2. Баллистический электронный транспорт в трехмерном микросужении

2.1. Кондактанс квантового сужения

2.2. Диагонализация гамильтониана

2.3. Разложение кондактанса в ряд Фурье

2.4. Аналитическое исследование кривой кондактанса

2.5. Обсуждение результатов .'".•.

Глава 3. Квазибаллистический электронный транспорт в трехмерном микросужении

3.1. Электронные состояния и функции Грина невозмущенного гамильтониана

3.2. Функция Грина и состояния гамильтониана с примесью

3.3. Коэффициенты прохождения.

3.4. Кондактанс квантового сужения с примесью.

3.5. Обсуждение результатов

Глава 4. Оптические свойства квантовой проволоки

4.1. Поглощение электромагнитного излучения квантовой проволокой

4.2. Обсуждение результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Транспортные и оптические свойства квантовых проволок и сужений»

В последние годы физические свойства квантовых наноструктур привлекают к себе все большее внимание, что обусловлено следующими двумя основными причинами. Во-первых, в данной области физики конденсированного состояния был открыт целый ряд необычных физических эффектов, таких, например, как целый [1] и дробный [2]-[3] квантовые эффекты Холла, эффект Ааронова-Бома [4], квантование кондактанса [5]-[6] в двумерных каналах. Это дает надежду обнаружить в наноструктурах и другие важные с точки зрения фундаментальной физики эффекты. Во-вторых, исследование наноструктур имеет и важное практическое значение. Успехи в области нанотехнологий позволяют надеяться применить различные типы наноструктур для создания новых типов электронных устройств. Некоторые типы наноструктур, такие как сверхрешетки, квантовые ямы и проволоки уже применяются в современных полупроводниковых технологиях. Другие пока используются для создания прототипов устройств, изготовление которых планируется в будущем. Открытие в наноструктурах баллистического транспортного режима позволяет рассчитывать, что в ближайшем будущем будет возможно миниатюризировать транзисторы, применяемые в современных компьютерных технологиях. Ожидается, что основу компьютера будущего будут составлять устройства, изготовленные из массивов наноструктур, обладающих квантовыми когерентными свойствами. Это должно существенно ускорить работу вычислительных устройств, а также сильно их миниатюризировать, что вызовет переворот в компьютерной индустрии. Очевидно, что электронные свойства наноструктур должны быть исследованы до появления технологии их массового изготовления. В связи с этим исследование физических свойств электронов в наноструктурах является весьма актуальной задачей.

Создание высокоподвижных полупроводниковых гетероструктур и успехи в литографической технике позволили создавать электронный кон-файнмент в наноструктурах разной геометрии. К числу таких структур нужно отнести в первую очередь квантовые ямы, точки и кольца, а также неплоские структуры, такие как квантовые цилиндры и браслеты, которые научились изготавливать с помощью оригинальной методики сворачивания напряженных слоев СаАв/ 1пАв в криволинейные нанообъ-екты с радиусами порядка от нескольких десятков до нескольких сотен ангстрем [7]. Это дает новые возможности для их экспериментального и теоретического исследования. Необходимо также упомянуть и о другом важном типе наноструктур с необычными физическими свойствами - углеродных нанотрубках, в которых также может осуществляться двумерная проводимость и к описанию равновесных и транспортных свойств которых можно применять модель электронного газа [8].

Наноструктуры представляют собой как бы мост между микрообъектами, такими как атомы и молекулы, и макроскопическими твердыми телами - традиционным объектом изучения физики конденсированного состояния. Эти системы очень интересны для теоретического изучения, так как с одной стороны к ним уже не всегда можно применить методы исследования, характерные для макроскопических твердых тел, а с другой стороны, наноструктуры все еще слишком сложны, чтобы начинать их исследование с микроскопической модели. Другими словами, для изучения таких систем нужно комбинировать статистические методы с методами квантовой механики. Многие интересные с физической точки зрения эффекты в наноструктурах обусловлены наличием дискретной составляющей в электронном энергетическом спектре, которая в свою очередь обусловлена наличием потенциального или (и) геометрического электронного конфайнмента.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование электродинамических свойств электронов в наноструктурах является довольно сложной проблемой, особенно, если система помещена в магнитное поле. Поэтому многие теоретические исследования, как правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми выражениями для известных формул, а далее применяется численное моделирование. Этот подход не всегда позволяет выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности.

В связи с этим возникает проблема диссертационного исследования: подобрать подходящие модели для описания геометрического и потенциального конфайнмента в наноструктурах, получить удобные для дальнейшего анализа формулы для электродинамического отклика, проанализировать транспортные и оптические свойства электронной системы и сравнить их с экспериментом, исследовать зависимость электродинамического отклика от величины и направления магнитного поля, химического потенциала и параметров потенциала конфайнмента, изучить влияние гибридизационных эффектов на физические свойства систем, а так же получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, высота ступеней и ширина плато квантования кондактанса, положение и форма изломов, положение и высота резонансных и осцил-ляционных пиков).

В первых разделах диссертации рассматриваются транспортные свойства квантовых микросужений, причем исследуется как баллистический режим, так и квазибаллистический. Далее в диссертации исследуются электронные оптические переходы в квантовой проволоки. Находится явное выражение для коэффициента поглощения квантовой проволоки внешнего электромагнитного излучения. И наконец исследуется, как влияет электромагнитное излучение на транспортные свойства квантовой проволоки. Во всех случаях рассматривались системы, помещенные в магнитное поле. Это поле может изменять электронный конфайнмент и, следовательно, изменять физические свойства наноструктур.

Для описания потенциала конфайнмента в диссертации во всех случаях используется параболический потенциал, который имеет ряд преимуществ. Во-первых, строго доказано, что для высокоэнергетичных уровней любой потенциал хорошо аппроксимируется параболическим [10]. Во-вторых, в соответствии с [114], электрон-электронное взаимодействие не влияет в этом случае на электронные переходы, что существенно для исследования электродинамического отклика. В-третьих, даже в присутствии внешнего магнитного поля параболический потенциал приводит к квадратичному гамильтониану, спектр которого можно получить алгебраически, что, в свою очередь, дает возможность получения явных формул и детального исследования полученных зависимостей.

Во всех разделах для описания электронных состояний в наноструктурах используется модель невзаимодействующих электронов и приближение эффективной массы. Эта простая модель широко используется в теоретически х исследованиях. Хотя полученные в результате расчетов численные значения физических величин, как правило, согласуются с экспериментом лишь по порядку величины, они часто бывают полезны для глубокого понимания физических свойств реальных систем. Например, использование Ландау [9] модели свободных электронов, находящихся в однородном магнитном поле позволило обеспечить основу для понимания широкой области физических явлений, таких, как осцилляции в термодинамических и транспортных свойствах металлов и полупроводников. Следует, однако, заметить, что подобный подход не применим, например, к системам с сильным электрон-электронным взаимодействием.

Важно отметить, что в наноструктурах, по-видимому, определяющую роль играет геометрия системы, а не конкретный вид потенциала кристаллической решетки. В частности, результаты, полученные в работе [11] в приближении сильной связи для исследования намагниченности углеродной нанотрубки оказались в хорошем соответствии с результатами, полученными в [14] в приближении эффективной массы.

В диссертации для исследования кондактанса наноструктур используется аналог подхода, предложенный Л.Д.Ландау и основанный на методе представления рассматриваемых величин в виде ряда Фурье. Этот метод позволил получить простые формулы для кондактанса в виде однократного ряда Фурье, а в ряде случаев, при низких температурах, и чисто функциональные зависимости, что позволило провести детальное аналитическое исследование кривых зависимости кондактанса от магнитного поля, химического потенциала, температуры и параметров потенциала конфайнмента. Для нахождения электронного энергетического спектра квантового сужения в случае произвольно направленного внешнего магнитного поля используется метод канонического преобразования фазового пространства системы.

Для изучения квазибаллистического электронного транспорта в микросужении использовался метод, основанный на технике теории самосопряженных расширений гамильтонианов электронных систем. Такой метод обеспечил явное нахождение коэффициентов прохождения и кондактанса системы.

Для исследования внутризонных оптических переходов и фотокондак-танса используется стандартный метод, основанный на теории возмущений.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими основными результатами теоретического исследования.

1. Дано объяснение экспериментально наблюдаемого квантования кон-дактанса в микросужениях даже при комнатных температурах.

2. Показано существование осцилляций типа де Гааза-Ван Альфена и Ааронова-Бома в кондактансе, и подробно изучены особенности этих осцилляций в зависимости от величины и направления магнитного поля и температуры.

3. Найдены аналитические выражения для характеристик квазибаллистического электронного транспорта и выявлены эффекты, обусловленные особенностями амплитуды рассеяния. Показано наличие характерных изломов на графике зависимости кондактанса от энергии электронов.

4. Изучен резонансный характер поглощения электромагнитного излучения электронной системой квантовой проволоки.

5. Выявлено, что в случае низких температур резонансные пики внутри-зонного поглощения в случае вырожденного электронного газа содержат изломы.

6. Установлено, что внешнее оптическое излучение нелинейно уменьшает кондактанс квантовой проволоки.

Полученные в диссертации результаты позволяют описать и объяснить ряд экспериментальных данных по электронному транспорту и электродинамическому отклику: квантования кондактанса в микросужении при относительно высоких температурах, наложение осцилляций типа Ааронова-Бома и де Гааза-ван Альфена в квантовых микросужениях, различное число резонансных пиков на кривых поглощения электромагнитного излучения квантовой проволокой. Результаты исследования могут использоваться также для оценки параметров электронного конфай-нмента в наноструктурах и электронного энергетического спектра. Разработанные методы могут быть применены и для исследования других равновесных и транспортных характеристик.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15]-[18], а так же докладывались на международной конференции "Fullerenes and Atomic Clusters" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на "32 совещании по физике низких температур" (Казань, 2000 г.), на второй международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 2001 г.), на Всероссийском совещании "Нанофотоника" (Нижний Новгород, 2002 г.), а так же на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2002 г.).

Личный вклад автора в работу заключается в решении поставленных задач, а так же в анализе полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

В Главе 1 приводится литературный обзор работ, связанных с областью диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена изучению баллистического электронного транспорта в квантовом микросужении. Для этой наноструктуры получены удобные для дальнейшего исследования аналитические выражения для кон-дактанса. Показано, что в случае относительно высоких температур возможно квантование кондактанса в микросужении. Исследованы особенности осцилляций типа де Гааза-Ван Альфена и Ааронова-Бома в кон-дактансе, и подробно изучены характеристики этих осцилляций в зависимости от величины и направления магнитного поля. Рассмотрена температурная зависимость кондактанса.

11

В Главе 3 исследован квазибаллистический транспорт трехмерного микросужения в продольном магнитном поле, в случае когда примесь расположена в узком горле сужения. Показано, что зависимость кондак-танса от энергии содержит изломы на пороге тех ступеней, для которых существенно рассеяние примесью. Изучено влияние температуры на кон-дактанс.

Глава 4 посвящена изучению оптических свойств электронного газа в квантовой проволоке. Получены явные формулы для коэффициента внутризонного поглощения. Исследован случай, когда внешнее магнитное поле направлено вдоль оси проволоки. Для вырожденного газа показано существование изломов кривой поглощения.

В главе 5 исследуется влияние электромагнитного излучения на квантование кондактанса в квантовой проволоке. Изучены как случай, когда внешнее магнитное поле отсутствует, так и случай когда поле направлено вдоль оси проволоки. Получено, что на кривой зависимости кондактанса возникают провалы, величина, которых уменьшается с увеличением температуры.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В.А.Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, а так же соавторам работ: A.B. Шорохову, В.А.Гейлеру. Особая благодарность аспиранту Д.В.Булаеву за техническую помощь при оформлении диссертации.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Галкин, Николай Георгиевич

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Получены аналитические выражения зависимости кондактанса квантового микросужения при баллистическом и квазибаллистическом транспортном режиме от величины магнитного поля, химического потенциала, температуры и параметров потенциала конфайнмента; зависимости коэффициента поглощения квантового проволоки от величины магнитного поля, параметров потенциала конфайнмента и частоты электромагнитной волны; зависимости фотокондактанса квантовой проволоки от химического потенциала, величины магнитного поля и частоты электромагнитного излучения.

2. Исследована ширина плато ступеней и высота порогов квантования кондактанса квантового микросужения в зависимости от геометрических параметров системы, величины и направления магнитного поля. Изучены осцилляции кондактанса как функции магнитного поля. Выяснено, что в случае продольного магнитного поля зависимость кондактанса от величины поля имеет осциллирующий характер. В слабом поле имеются осцилляции Ааронова-Бома с периодом равным двум квантам потока. Эти осцилляции хорошо проявляются в длинных сужениях. В случае сильного поля осцилляции Ааронова-Бома также имеют место. Их период равен одному кванту потока. В сильном поле имеются также осцилляции

Шубникова-Де Гааза с амплитудой в несколько раз больше, чем осцилляции Ааронова-Бома. С ростом поля амплитуда осцилляции Ааронова-Бома уменьшается и в области достаточно сильных полей они полностью размывается температурой. Осцилляции Ааронова-Бома в области сильных полей накладываются на осцилляции Шубникова-Де Гааза и дают тонкую структуру максимумов этих осцилляций. Для случая слабого поперечного поля осцилляции по магнитному полю очень малы и легко размываются температурой и рассеянием, которое определяется эффективной длиной микросужения. В сильном поперечном поле осцилляций типа Ааронова-Бома нет, а осцилляции Шубникова-Де Гааза малы.

3. Объяснен экспериментально наблюдаемый эффект - наличие ступенчатой структуры кривой кондактанса при относительно высоких температурах.

4. Исследовано влияние точечной примеси, находящейся в микросужении на квантование кондактанса. Показано, что кривая зависимости кондактанса от энергии электрона содержит скачки на порогах тех ступеней, для которых существенно рассеяние.

6. Показан резонансный характер поглощения электромагнитного излучения квантовой проволокой. Выяснено, что на кривой зависимости коэффициента поглощения возникает серия пиков, имеющих в общем случае дублетную структуру. Установлено, что пики составляющие дублетную структуру, будут асимметричны.

7. Исследованы скачки на кривой поглощения электромагнитного излучения, связанные с вырождением газа.

8. Исследован фотокондактанс квантовой проволоки в зависимости от геометрических параметров системы, величины магнитного поля и частоты электромагнитного излучения. Получено, что на кривой зависимости возникают провалы, величина, которых уменьшается с увеличением тем

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено теоретическое исследование транспортных и оптических свойств двух наноструктур: квантовой параболической проволоки и квантового микросужения. Изучен кондактанс квантового микросужения при баллистическом и квазибаллистическом транспортном режиме. Исследовано внутризонное поглощения электромагнитного излучения и влияние электромагнитного излучения на транспортные свойства трехмерной квантовой проволоки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галкин, Николай Георгиевич, 2002 год

1. K.von Klitzing, G.Dorda, M.Pepper. // Phys.Rev.Lett. - 1980. - Vol.45. -P.494.

2. D.C.Tsui, H.L.Stormer, A.C.Gossard. // Phys.Rev.Lett. -1982. Vol.48. -P. 1559.

3. R.B.Laughlin. // Phys.Rev.Lett. 1983. - Vol.50. - P.1395.

4. Y.Aharonov, D.Bohm. // Phys.Rev. 1959. - Vol.115. - P.485; Phys.Rev.- 1961. -Vol.123. P.1511.

5. R.Landauer. // IBM J.Res.Dev. 1957. - Vol.1. P.223; IBM J.Res.Dev. -1988. - Vol.32. - P.306.

6. M. Biittiker. // Phys.Rev.Lett. 1986. - Vol.57. - P. 1761.

7. V.Ya.Prinz, D.Grutzmacher, A. Beyer, C.David, B.Ketterer and E.Deccard. // 9th Int.Symp."Nanostructures: Physics and Technology": Abstracts. St.Petersburg, 2001. - P.74.

8. JI.H.MarapHJiJi, A.B.HanjiHK. // >K9T<J>. 1999.- T.115. - C.1478.

9. L.Landau. // Z.Phys. 1930. - Vol.64. - P.629.

10. H. I. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, and B. Simon, Schrddinger Operators. With Application to Quantum Mechanics and Global Geometry.- Berlin: Springer, 1987.

11. H.Ajiki and T.Ando. // J.Phys.Soc.Jpn. 1993. - Vol.62. - P.1255.

12. M.B.Nardelli. // Phys.Rev.B. 1999. - Vol.60. - P.7828.

13. Y. B. Levinson, M. I. Lubin and E. V. Sukhorukov. // Phys. Rev.B. -1992. Vol.45. - P.11976.

14. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. // ЖЭТФ. 1999. - Т.115. - N 4. - С. 1450-1462.

15. Н.Г.Галкин, В.А.Гейлер, В.А.Маргулис. Электронный транспорт через микросужение в произвольно ориентированном однородном магнитном поле.// ЖЭТФ,- 2000,- Т.117,- С.593-603

16. Н.Г.Галкин, В.А.Гейлер, В.А.Маргулис. Квазибаллистический электронный транспорт в трехмерном микросужении.// ЖЭТФ.- 2000.-Т.118.- С.223-231

17. Н.Г.Галкин, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми наноструктурами с параболическим потенциалом конфайнмента. //ФТТ.- 2001 Т.43.- С.511-519

18. Н.Г.Галкин, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Электродинамическая восприимчивость квантовой нанотрубки в параллельном магнитном поле// ФТТ,- 2002.- Т.44,- С.466-467

19. N.G.Galkin, V.A.Margulis, A.V.Shorokhov. Electrodynamic response of quantum nanotubes in a parallel magnetic field. // 5th International Workshop "Fullerenes and Atomic Clusters": Abstracts. Санкт-Петербург. - 2001. - С. 124

20. Н.Г.Галкин, В.А.Гейлер, В.А.Маргулис. Квазибаллистический электронный транспорт в трехмерном микросужении. //32 Всероссийскоесовещание по физике низких температур: Тезисы докладов. Казань.- 2000. С.78.

21. Н.Г.Галкин, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Фотокондактанс квантовой проволоки // Всероссийское совещание "Нанофотоника": Тезисы докладов. Нижний Новгород. - 2002. - С. 242-244.

22. М. И. Любин. // Письма в ЖЭТФ. 1993. - Т.57. - С.346.

23. D. Н. Gobden, N. К. Patel and М. Pepper. // Phys. Rev.В. 1991. -Vol.44. - P. 1938.

24. A. B. Fowler, G. L. Timp, J. J. Wainer, R. A. Webb. // Phys.Rev.Lett.- 1986.-Vol.57.-P.138.

25. M. Naito, M. R. Beasley. // Phys.Rev.B. 1990. - Vol.42. - P.1492.

26. A. K. Geim, T. J. Foster, A. Nogaret, N. Mori, P. T. McDounel, N. La Scala, P. C. Main, L. Guves. // Phys.Rev.B. 1994. - Vol.50. -P.8074.

27. B.J. van Wees, H. van Houten, C.W.J. Beenakker, J.G. Williamson, L.P.Kouwenhoven, D. van der Marel, and C.T. Foxon. // Phys.Rev.Lett. -1988. Vol.60. - P.848.

28. D.A.Wharam, T.J.Thornton, R.Newbury, M.Pepper, H.Ahmed, J.E.F.Frost, P.G.Hasko, D.C.Peacock, D.A.Ritchie and G.A.C.Jones. // J.Phys.C. 1998. - Vol.21. - P.209.

29. E.W.Fenton. // Phys.Rev.B. 1993. - Vol.47. - P.10135.

30. H.Totland, O.L.Bo, Y.M.Galperin. // Physica B. 1998. - Vol.249-251.- P. 147.

31. Л.И.Магарилл, Д.В.Романов, А.В.Чаплик, // ЖЭТФ. 1998. - Т.113.- С.1411.

32. A.V.Chaplik, L.I.Magarill, D.A.Romanov. // Physica В. 1998. - Vol. 249-251. - P. 177.

33. H.A.Fertig and B.I.Halperin. // Phys.Rev.B. 1987. - Vol.36. - P.7969.

34. M.Biittiker// Semicond. Semimet.- 1992,- Vol.35.- P.19

35. C.W.J.Beenakker, H.Van Houten in: H.Ehrenrech, D.Turnbull (Eds.)// Solid State Physics.- Academic Press, New York,: 1991.- Vol.44.- P.83

36. J.Voit// Rep.Prog.Phys.- 1995.- Vol.58.- P.997

37. S.Tarucha et al.// Sol.Stat.Comm.- 1995,- Vol.94.- P.413

38. D.L.Masol and M.Store// Phys.Rev.B.- 1995,- Vol.52.- P.R5536

39. V.V.Ponomarenko// Phys.Rev.B.- 1995.- Vol.52.- P.R8666

40. L.I.Glazman et al.// Phys.Rev.B.- 1992,- Vol.45.- P.8454

41. В.Б.Шикин// ЖЭТФ,- 1992,- Т.101,- C.1599

42. В.Б.Шикин// Письма в ЖЭТФ.- 1989,- Т.50.- С.188

43. В.Б.Шикин, Т.Демель, Д.Т.Хайтман// ЖЭТФ,- 1989,- Т.96.- С.1406

44. C.S.Chu, R.S.Sorbello// Phys.Rev.B.- 1989,- Vol.40.- P.5941

45. Т.Martin and S.Feng// Phys.Rev.Lett.- 1990,- Vol.64.- P. 1971

46. C.J.Ford, S.Washburn, M.Buttiker et al.// Phys.Rev.Lett.- 1989.-Vol.62.- P.2724

47. E.N.Bogachek, A.G.Scherbakov and U.Landman// Phys.Rev.- 1997.-Vol.B56.- P. 14916

48. E.Tekman and S.Ciraci// Science and Engineering of One and Zerodimensional Semiconductors. / Ed: Beaumomp et.al.// Plenum Press.-N.Y.,: 1991,- etc.99

49. W.B.Jian et al.// Phys.Rev.B.- 1999,- Vol.59.- P.3168

50. A.G.Scherbakov, E.N.Bogachek and U.Landman// Phys. Rev.- 1996.-Vol.B53.- P.4054

51. A.G.Scherbakov, E.N.Bogachek and U.Landman// Phys.Rev.- 1998.-Vol.B57 P.6654

52. Л.И. Глазман, Г.Б. Лесовик и др. // Письма в ЖЭТФ,- 1988,- Т.48.-С.218

53. T.Costyrko, M.Bartowiak, G.D.Mahan// Phys.Rev.B.- 1999.- Vol.59.-P.3241

54. H.J.Choi and J.Ihm// Solid State Comrmrn.- 1999.- Vol.111.- P.385

55. U.Landman, W.D.Luedtke et al.// Science.- 1990.- Vol.248.- P.454

56. E.H.Богачек, А.М.Загоскин и И.О.Кулик// ФНТ,- 1990.- Т.16,-С.1404

57. L.Olesen, E.Laegsgaard et al.// Phys.Rev.Lett.- 1994.- Vol.72.- P.2251

58. N.Agrait, J.G.Rodrigo and S.Vieira// Phys.Rev. В.- 1993,- Vol.47.-P.12345

59. M.Buttiker// Phys.Rev.- 1990.- Vol.B40.- P.7906

60. L.Chico, L.X.Benedict et al.// Phys.Rey.B.- 1996.- Vol.54.- P.2600

61. Y.Hrayma et al.// Phys.Rev.B.- 1989,- Vol.39.- P.5535

62. J.Faist, P.Gueret and H.Rothuizen// Phys.Rev.- 1986,- Vol.B42.- P.3217

63. G.L.Timp and R.E.Howard// Proc.IEEE.- 1991,- Vol.79.- P. 1188

64. J.Masck and B.Ramor// Z.Phys.B.- 1989.- Vol.75.- P.37

65. J.Masck et al.// J.Phys.Cond.Matt.- 1989,- Vol.1.- P.6395

66. D.van Marel and E.G.Haanapel// Phys.Rev.B.- 1989,- Vol.39.- P.7811

67. I.Kandler et al.// Phys.Rev.B.- 1990.- Vol.41.- P.12941

68. A.Kumar and R.F.Bagwell// Phys.Rev.B.- 1991,- Vol.43.- P.9012

69. A.Kumar and R.F.Bagwell// Sol.Stat.Comm.- 1990.- Vol.75.- P.949

70. A.Mixson et al.// Phys.Rev.B.- 1991.- Vol.43.- P.12638

71. S.A.Gurvitz and Y.B.Levinson// Phys.Rev.B.-1993.- Vol.47.- P.10578

72. E.V.Sukhorukov et al.// Phys.Rev.B.- 1994.- Vol.49.- P.17191

73. A.Haque and A.N.Khonder// Phys.Rev.B.- 1995.- Vol.52.- P.11193

74. C.S.Chu and M.H.Chou// Phys.Rev.B.- 1994,- Vol.50.- P.14212

75. P.L.McEuen, B.W.Alphenaur et al.// Surf.Sci.- 1990,- Vol.312.- P.229

76. P.F.Bagwell// Phys.Rev.- 1990,- Vol.B41.- P.10354

77. A.Kumar and P.F.Bagwell// Phys.Rev.- 1991.- Vol.44.- P.1747

78. М.Б.Левинсон, М.И.Любин, Е.В.Сухоруков// Письма в ЖЭТФ,-1991,- Т.54.- С.405

79. Y.B.Levinson, M.I.Lubin and E.V.Sukhorukov// Phys.Rev.B.- 1992.-Vol.45.- P. 11976

80. M.W.Dellow, P.H.Beton et al.// Phys.Rev.Lett.- 1992,- Vol.68.- P.1754

81. А.И.Ансельм, Б.М.Аскеров // ФТТ,- 1961.- T.3.- C.3668

82. E.Adams and T.Holstein// J.Phys.Chem.Solids.- 1959,- Vol.10.- P.254

83. В.Г.Скобов// ЖЭТФ,- I960.- Т.38,- C.1305

84. В.Г.Скобов// ЖЭТФ,- 1959.- T.37.- C.1467

85. C.B.Пелетминский// ФММ,- 1965,- Т.20,- С.777

86. П.С.Зырянов, М.И.Клингер// Квантовая теория явлений электронного переноса в кристаллических полупроводниках.- М.: Наука, 1976

87. Т.Андо, А.Фаулер, Ф.Стерн// Электронные свойства двумерных систем,- М.: Мир, 1985

88. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц// Квантовая механика М.: Наука, 1989

89. J.Williamson// Amer.J.Math.- 1936,- Vol.58.- P.141

90. Q.P.Li, K.Karai et al.// Phys.Rev.B.- 1991,- Vol.43.- P.5151

91. J.I.Pascual, J.Mendez et. al.// Phys.Rev.Lett.- 1993.- Vol.71.- P.1852

92. J.I.Pascual, J.Mendez, et. al.// Science.- 1995,- Vol.267.- P.1793; J.Vac.Sci.Technol. В.- 1995,- Vol.13.- P.1280

93. И.Б. Левинсон//Письма в ЖЭТФ,- 1988.- Т.48,- С.273

94. A.Szafer, A.D. Stone// Phys.Rev.Lett.- 1989.- Vol.62.- P.300

95. B.J. van Wees et al.// Phys.Rev.- 1989,- Vol.40.- P.2793

96. Справочник по специальным функциям.- Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган// М.: Наука, 1979

97. N.Kokiantonis, D.P.L.Castrigiano// J.Phys.A: Math.Gen.- 1985.-Vol.18.- P.45

98. L.F.Urrutia, C.Manterola// Intern.J.Theor.Phys. 1986,- Vol.25.- P.75

99. V.A.Geyler and V.A.Margulis// Phys.Rev.B.- 1997,- Vol.55.- P.2543

100. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, И.И.Чучаев// ФТТ.- 1995.- Т.37,- С.837

101. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, И.В.Чудаев, И.И.Чучаев// ЖЭТФ,-1995.- Т.107.- С. 187

102. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, И.И.Чучаев// Письма в ЖЭТФ.- 1993.-Т.58- С.668

103. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис// ЖЭТФ,- 1997.- Т.Ш.- С.2215

104. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, Л.И.Филина// ЖЭТФ,- 1998,- Т.113,-С.1376

105. А.И.Базъ, Я.Б.Зельдович, А.М.Переломов// Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике М.: Наука, 1971

106. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис// ТМФ,- 1984,- Т.58,- С.461

107. К.Karrai, H.D.Drew, M.W.Lee, M.Shayegan. // Phys.Rev.B. 1989. -Vol.39. - P. 1426.

108. Yu. В. Vasilyev, К. V. Klitzing, К. Eberl. // Physica E. 1998. - Vol.2. - P.116.

109. А. H. MacDonald, C. Kallin. // Phys. Rev. В. 1989. - Vol.40. - P.5795.

110. L. Brey, N. Johnson, and B. J. Halperin. // Phys. Rev. B. 1989. -Vol.40. - P.10647.

111. H.Frölüh. // Adv. in Phys. 1954. - Vol.3. - P.325.

112. OT.Bacc, M.B.JIeBHHCOH. // >K3TO. 1965. - T.49. - C.914.

113. Q.P.Li, K.Karrai, S.K.Yip, S.Das Sarma, H.D.Drew. // Phys.Rev.B. -1991. Vol.43. - P.5151.

114. S.J.Allen, Jr., H.L.Stormer, and J.C.M.Hwang. // Phys.Rev.B. 1983.- Vol.28. P.4875.

115. J.Alsmeier, E.Batke, and J.P.Kottaus. // Phys.Rev.B. 1990. - Vol.41.- P.1699.

116. B. Meurer, D. Heitmann, and K. Ploog. // Phys. Rev. Lett. 1992. -Vol.68. - P. 1371.

117. T. Demel, D. Heitmann, P. Grambow, and K. Ploog. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.64. P.788.

118. C.T.Liu, K.Nakamura, D.C.Tsui, K.Ismail, D.A.Antoniadis, H.I.Smith. // Appl.Phys.Lett. 1989. - Vol.55. - P.168.

119. D.Huang, G.Gumbs, N.J.M.Horing. // Phys.Rev.B. 1994. - Vol.49. -P.11463.

120. C.Dahl, F.Brinkop, A.Wixforth, J.P.Kotthaus, J.H.English, and M.Sandaram. // Sol. State Comm. 1991. - Vol.80. - P.673.122. 3.n.CHH5iBCKHH, A.M.PycaHOB. // OTT. 1998. - T.40. - C.1126.

121. H.n.HnaTOBa, A.IO.MacjioB, O.B.ripomHHa. // OTT. 1995. -T.37. -C.1819.

122. Е.А.Мазур. // ФТТ. 1987. - Т.21. - С.694.

123. М.Д.Блох, О.М.Лешко, Е.М.Шервгий. // Письма в ЖЭТФ. 1988.- Т.48. С.215.

124. L.Wendler, V.G.Grigoryan. // Physica В. 1998. - Vol.245. - P. 127.

125. Б.С.Монозон. // ФТТ. 1993. - Т.35. - С.3068.

126. В.Д.Кревчик, Р.В.Зайцев. // ФТТ. 2001. - Т.43. - С.504.

127. V.Ya.Demikhovskii, D.I.Kamenev, G.A.Luna-Acosta. // Phys.Rev.E. -1995. Vol.52. - P.3351.

128. V.Ya.Demikhovskii, D.I.Kamenev. // Physics Letters A. 1997. -Vol.228. - P.391.

129. А.В.Песчанский, В.Г.Песчанский. // ЖЭТФ. 2000. - T.118. - C.475.

130. F. Hekking and Y.V. Nazarov. // Phys. Rev. В. 1991,- Vol.44. - P.ll 506

131. Q. Hu. // Appl. Phys. Lett. 1993,- Vol.62. - P.837

132. R.A. Wyss, C.C. Eugster, J.A. del Alamo, and Q. Hu. // Appl. Phys. Lett.- 1993.- Vol.63. P.1522

133. L. Fedichkin, V. Ryzhii, and V. V'yurkov. jj j Phys.: Condens.Matter.- 1993. Vol.5. - P.6091

134. T.J.B.M. Janssen, J.C. Maan, J. Singleton, N.K. Patel, M. Pepper, J.E.F. Frost, D.A. Ritchie, and G.A.C. Jones. // J. Phys.: Condens. Matter.- 1994,- Vol.6. P.L163

135. L.Y. Gorelik, A. Grincwajg, V.Z. Kleiner, R.I. Shekhter, and M. Jonson. // Phys. Rev. Lett. 1994,- Vol.73. - P.2260

136. A. Grincwajg, L.Y. Gorelik, Y.Z. Kleiner, and R.I. Shekhter. // Phys. Rev. B.- 1995.- Vol.52. P.12168

137. F.A. Maao la and L.Y. Gorelik. // Phys. Rev. B.- 1996.- Vol.53. -P. 15885

138. C.S. Chu and C.S. Tang. // Solid State Commun. 1996.- Vol.97. -P.119

139. Q. Hu, S. Verghese, R.A. Wyss, Th. Schapers, J. del Alamo, S. Feng, K. Yakubo, M.J. Rooks, M.R. Melloch, and A. Forster. // Semicond. Sci. Technol. 1996.- Vol.11. - P.1888

140. Ola Tageman, L.Y. Gorelik, R.I. Shekter, and M. Jonson.// J. Appl. Phys. 1996,- Vol.81. - P.285

141. Ola Tageman and L.Y. Gorelik. // J. Appl. Phys. 1997,- Vol.83. -P.1513

142. S. Feng and Q. Hu. // Phys. Rev. B.- 1993.- Vol.48. P.5354

143. P.F. Bagwell and R.K. Lake. // Phys. Rev. B.- 1992.- Vol.46. P.15329

144. C.S. Tang and C.S. Chu. // Phys. Rev. B.- 1996,- Vol.53. P.4838

145. C.S. Tang and C.S. Chu. // Phys. Rev. B.- 1999,- Vol.60. P.1830

146. M. Wagner and W. Zwerger. //Phys. Rev. B.- 1997.- Vol.55. P.R10217

147. A.G.Scherbakov, E.N.Bogachek and U.Landman. // Phys. Rev. B.-1998.- Vol.58. P. 16305