Линейно-степенная задача оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кронин, Григорий Вадимович

• Кронин, Григорий Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кронин, Григорий Вадимович

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ

2. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА. ПОСТАНОВКА И МОТИВИРОВКА

3. ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ЗАДАЧА

3.1. Линейно-квадратичная задача на конечном интервале времени

3.2. Линейно-квадратичная задача на бесконечном интервале времени

4. ЗАДАЧА (Р,1) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

4.1. Задача(рД) на конечном интервале-формулировка результата. Связь с уравнениями Лурье-Риккати

4.2. Доказательство теоремы о регуляторе для задачи Ря(р, 1,а,Т)

5. ЗАДАЧА (Р,Р) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

5.1. Задача (р,р) на конечном интервале - формулировка результата. Отличие от задачи (1,Р)

5.2. Регулятор для задачи (р,р) на конечном интервале

5 .3. Частный случай: одномерное пространство состояний

6. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

6.1. Решение задачи Рк(р,р,а,+оо) - доказательство теоремы

6.2. частный случай задачи Рк(Р,Р,А,+оо): одномерное пространство состояний

6.3. Частный случай задачи Ря(р,1,а,+оо): одномерное пространство состояний

•

7. ДИСКРЕТНАЯ ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

7.1. Постановка дискретной линейно-степенной задачи

7.2. Дискретная линейно-степенная задача: построение регулятора

7.3. Дискретная линейно-степенная задача: формулировка результата

8. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

8.1. Примеры

8.2. Численное решение уравнения (5.5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейно-степенная задача оптимального управления»

Введение.

Раздел теории управления, изучающий конструирование оптимальных регуляторов - направление, возникшее исторически сравнительно недавно. В 60-е годы как в нашей стране, так и за рубежом появилась серия работ [1][2][3][4][12][13], заложивших основу и предвосхитивших многие глубокие результаты. Столь большая популярность теории конструирования регуляторов объясняется, на наш взгляд, двумя причинами:

- практической значимостью результатов,

- глубиной и нетривиальностью математического аппарата, созданного для их получения.

Методы решения задач математической теории оптимального управления столь общие и затрагивают столь широкий спектр математических дисциплин, что бывает нелегко провести границу там, где кончается математический и функциональный анализ и начинается теория управления, решающая задачи, возникающие в электродинамике, механике, экономике, химии, .... Таким образом, в этой отрасли

4С 55

математики счастливо сочетаются как красота чистои математики, так и

СС 55 г-> с/

польза прикладной. За последние несколько десятилетии эта теория стала инструментом решения инженерных задач. Многие специалисты-"техники", а вовсе не математики, хорошо владеют её результатами и применяют их в своей работе. Этим, в свою очередь, объясняется повышенный интерес самих математиков к теории конструирования регуляторов. Это - один из тех разделов математики, где "придумывание и доказательство новых теорем" может принести вполне реальную экономическую отдачу.

В диссертации получен ряд результатов о существовании оптимальных процессов и оптимальных регуляторов для большого класса задач, для которых автор взял на себя смелость ввести термин "линейно-степенные", то есть задач с линейным (непрерывным или дискретным) уравнением объекта и функционалом качества, содержащим возведение в степень (которая обычно предполагается большой). Хорошо

известна линейно-квадратичная задача о минимизации квадратичного функционала от процесса, удовлетворяющего линейному дифференциальному уравнению. В разных вариантах постановки линейно-квадратичной задачи её решение получено [2][3][4][12][13] в виде оптимального регулятора, не зависящего от начального условия. Диссертация посвящена исследованию задачи, в которой вместо квадратичного функционала фигурирует степенной, то есть содержащий

под интегралом возведение в степень (простейший пример:

т

|(|х(1)|2р+|и(0|2р)с!1). Постановка задачи восходит к линейно-квадратичной

о

задаче [14] [22] и при изложении (там, где это возможно) будет прослежена связь с линейно-квадратичной задачей. Оказывается, имеют место некоторые результаты, аналогичные (хотя и не полностью) теоремам о линейно-квадратичной задаче. Помимо того, что изучение минимизации степенного функционала представляет самостоятельный интерес, задача эта тесно связана с задачей минимизации максимального отклонения, часто встречающейся на практике. При больших степенях р в степенном функционале оптимальный процесс, как правило, близок к некоторому оптимальному или почти оптимальному процессу для минимаксной задачи. Подробнее мотивировка линейно-степенной задачи обсуждается в главе 2.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней вводятся необходимые обозначения, используемые в диссертации. Большинство из них являются традиционными в теории оптимального управления.

В главе 2 обсуждается постановка задачи оптимального управления с минимизацией степенного функционала. Указана связь этой задачи с задачей минимизации максимума модуля выходного сигнала, в том числе с практическими задачами, рассмотренными рядом исследователей.

Поскольку тематика настоящей диссертации во многом связана с линейно-квадратичной задачей, то в главе 3 кратко приводится её постановка и решение для конечного и бесконечного ("частотная

теорема") интервала времени, сформулированное в виде, удобном для сопоставления с решением линейно-степенной задачи.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Кронин, Григорий Вадимович

Заключение.

В диссертации рассмотрена задача управления линейным объектом с минимизацией функционала, содержащего возведение в степень. Получены результаты о существовании и единственности оптимального процесса при определённых условиях. Особое внимание уделено задаче с квазиоднородным степенным функционалом на конечном интервале времени — в частности, для неё получено уравнение в частных производных (аналогичное уравнению Лурье-Риккати), которое может быть использовано для построения решения линейно-степенной задачи оптимального управления в виде оптимального регулятора. Проведено компьютерное моделирование. Основной вывод, который можно сделать из результатов диссертации - возможность содержательного обобщения результатов линейно-квадратичной задачи для функционалов более сложного вида, чем квадратичные.

Автор благодарит научного руководителя В.А.Якубовича за постановку и обсуждение задачи, а также за моральную поддержку при подготовке диссертации. Благодарность Н.Н.Уральцевой, Л.А.Оганесяну,

A.С.Матвееву, любезно согласившимся разобраться в работе и высказать важные замечания и уточнения. Полезные консультации и помощь при работе с литературой оказали также А.Б.Куржанский (Москва);

B.Н.Фомин, В.Ф.Демьянов, С.В.Гусев, Н.Докучаев, А.С.Ширяев, (С-Петербург); Н.Ю.Лукоянов (Екатеринбург).

Работа поддержана стипендией Президента РФ №2114/26 от 17.10.1998, грантом Мэрии и Правительства Санкт-Петербурга М97-2.К-549 на 1997 год, грантом французского математического общества и фондом ProMathematica.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кронин, Григорий Вадимович, 1998 год

Литература.

[1] А.И.Лурье. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Москва, Гостехиздат, 1951.

[2] А.М.Летов. Аналитическое конструирование регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1960, т.21, № 6, с.5-14.

[3] R.E.Kalman. Contribution to the theory of optimal control. Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana, 1960, № 5, p. 102-119.

[4] R.E.Kalman. Lyapunov function for the problem of Lur'e in automatic control. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1963, v.49, №2, p.201-205.

[5] В.Г.Болтянский. Математические методы оптимального управления. М.1969.

[6] Н.Н.Красовский. Дополнение IV в книге: И.Г.Малкин. Теория устойчивости движения. М., Наука, 1976.

[7] Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М.1976.

[8] А.А.Первозванский. Курс теории автоматического управления. Москва, "Наука", 1986.

[9] А.А.Красовский. Справочник по теории автоматического управления. Москва, "Наука", 1987.

[10] А.Х.Гелиг, Г.А.Леонов, В.А.Якубович. Устойчивость нелинейных систем с неединственпым состоянием равновесия. Москва, 1978.

[11] Ph. Hartman. Ordinary Differential Equations. New York, London, Sydney, 1964.

[12] В. А. Якубович. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 6, с. 1304-1307.

[13] В.А. Якубович. Частотные условия абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. В книге "Тр. межвуз. конф. по прикл. теории устойчивости и аналит. механике (Казань, 1962)". Казань, КАИ, 1964, с.135-142.

[14] В.А. Якубович. Частотная теорема в теории управления. Сиб. мат. журн., 1973, т. 14, № 2, с.384-420.

[15] В.А.Якубович. Частотная теорема и теория аналитического конструирования регуляторов для периодических систем. В книге "Метод функций Ляпунова в исследовании динамических систем", Новосибирск, 1987, стр.281-290.

[16] В.А.Якубович. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем I. Сиб. мат. журн., 1986, т.27, № 4, с. 181-200.

[17] А.С.Матвеев, В.А.Якубович. Абстрактная теория оптимального управления. Санкт-Петербург, 1994.

[18] В.А.Якубович. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем II. Сиб. мат. журн., 1990, т.31, № 6, с. 176-191.

[19] В.А. Якубович. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы. Доклады Академии Наук, 1994, т.337, № 3, с.323-327.

[20] В.А. Якубович. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных стохастических колебаний в линейной системе. Доклады Академии Наук, 1994, т.338, № 1, с. 19-24.

[21] A.Lindquist, V.A.Yakubovich, 1997. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems. IEEE Transactions on Automatic Control. June 1997, v.42, № 6, pp.786-802.

[22] А.С.Матвеев, В.А.Якубович. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. СПб, 1999 (ещё не опубликовано).

[23] J.C.Willems. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Aut. Contr., 1971, v. AC-16, pp.621-634.

[24] В.Ф.Демьянов. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. Ленинград, 1982.

[25] G.V.Kronin. The optimal control problem with p-degree quality functional. Proc. of International Conference of students and post-graduates "Lomonosov-97", Moscow State University, Moscow, 1997, April 6-11.

[26] G.V.Kronin. The optimal control problem with p-degree quality functional. Proc. of "Control of Oscillations and Chaos", St-Petersburg, 1997, vol.1, p. 92-95.

[27] G.V.Kronin. Optimal control problem with linear object equation and non-quadratic homogenous gain functional. Proc. of "Tools for Mathematical modeling", St-Petersburg, 3-6 Dec. 1997, p.39-40.

[28] G.V.Kronin. Optimal regidators for the control problem with non-quadratic quality functional. Russian-Swedish Control Conference, Stockholm, 11-13 May 1998.

[29] T.Ohtsuka, H.A.Fujii. Shaping of System Responces with Minimax Optimization in the Time Domain. J.of Guidance, Control and Dynamics, vol.16, № 1, 1993, pp. 40-46.

[30] T.Ohtsuka, H.A.Fujii. Computational method for minimax optimization in the time domain. J.of Guidance, Control and Dynamics, vol.17, №3, 1994, pp. 473-479.

[31] E.N.Barron, H.Ishii. The Bellman equation for minimizing maximum cost. Nonlinear Analysis, Methods and Applications, v. 13, № 9, 1989, p. 1067-1090.

[32] G.J.Michael. Computation of Chebysheff Optimal Control AIAA Journal, vol. 9, №5, 1971, pp.973-975.

[33] C.D.Johnson. Optimal control with Chebyshev Minimax Performance Index. Joint Automatic Control Conference., AIAA New York, 1966, pp.345-358.

[34] R.T.Rocafellar. Convex Analysis, Princeton University press: Princeton, New Jersey, 1970.

[35] A.E.Taylor. Introduction to Functional Analysis. Wiley, New York, 1958, p.ll.

[36] J.Ackermann. Robust Control. Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Yerlag, 1993, pp.9-19.

[37] J.Ackermann. Robust Control. Systems with Uncertain Physical Parameters. Appendix A. Springer-Verlag, 1993.