Кратчайшие замкнутые бильярдные траектории в выпуклых телах в нормированных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Балицкий, Алексей Михайлович

• Балицкий, Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Балицкий, Алексей Михайлович

Введение......................................................................................3

Глава 1. Бильярдная динамика в нормированном пространстве ............11

1.1. Определение бильярдной траектории..............................................11

1.2. Теорема Бездеков....................................................................15

1.3. Следствия из теоремы Бездеков....................................................20

1.4. Симплектическая ёмкость и гипотеза Витербо..................................22

Глава 2. Существование замкнутых бильярдных траекторий................26

2.1. Существование замкнутых бильярдных траекторий в евклидовом случае . . 27

2.2. Обобщения на неевклидов случай..................................................33

Глава 3. Связь с гипотезой Витербо и неравенства изопериметрического

типа ..........................................................................................35

3.1. Связь гипотезы Малера с гипотезой Витербо....................................37

3.2. Комбинаторика пермутоэдра ......................................................41

3.3. Случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами..........47

3.4. Случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с графическими зонотопами 53

3.5. Бильярдные неравенства изопериметрического типа............................57

3.6. Характеристики на границе произведения тел Ханнера........................61

Заключение ..................................................................................72

Список литературы ........................................................................73

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кратчайшие замкнутые бильярдные траектории в выпуклых телах в нормированных пространствах»

Актуальность темы и степень её разработанности.

Главный объект изучения в диссертации — следующая дискретная динамическая система: выпуклое тело (бильярдный стол), в котором рассматриваются замкнутые бильярдные траектории. Приведём примеры вопросов, которые изучались в литературе.

1. Для данного бильярдного стола и традиционной бильярдной динамики отражений от границы стола (угол падения равен углу отражения): существует ли хотя бы одна замкнутая бильярдная траектория? если да, то как много? сколько траекторий обладают наперёд заданными характеристиками (количество звеньев, число вращения на плоскости и т.п.)?

2. Как «физически корректно» определить бильярдную динамику в среде с неевклидовыми свойствами, например в однородной анизотропной среде?

3. Существует ли кратчайшая замкнутая бильярдная траектория? Если да, то сколько в ней звеньев? Можно ли охарактеризовать тела, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория, скажем, двузвенная?

4. Каковы свойства метрической характеристики £(К) выпуклого тела К, определяемой как инфимум длин замкнутых бильярдных траекторий в теле К? Как она связана с другими метрическими характериками, например, объёмом vol К тела К? В частности, интересна задача минимизации изопериметрического отношения к.

5. Вопросы, касающиеся внешних бильярдов, свойств каустик, и другие, которых мы не касаемся.

Первый вопрос, по крайней мере для случая гладкого строго выпуклого бильярдного стола К С Rra, — топологический. Первый такой результат был доказан в 1960 г. Дж. Биркгофом [17]; он доказал (и в доказательстве прослеживаются простейшие идеи теории Морса), что в плоском случае п = 2 для любого фиксированного числа звеньев т и для любого числа вращения р существуют хотя бы две замкнутых траектории с таким числом звеньев и таким числом вращения. В размерностях п > 3 нижние оценки (в терминах т,п) на количество траекторий для некоторых т даны в работах [23, 25, 24, 33]

(все — в случае евклидовой бильярдной динамики). Обобщение на финслеровы бильярды дано в работе [18].

Для случая гладкого невыпуклого бильярдного стола К С Кга существование замкнутой бильярдной траектории с не более чем (п +1) отражениями от границы установлено Бенчи и Джианнони [14] аналитическими методами. Обращаем внимание, что в невыпуклом случае двузвенная замкнутая бильярдная траектория не обязана существовать, в отличие от выпуклого случая, где двукратный обход ширины тела даёт тривиальный пример такой траектории. При помощи аналитических и симплектических методов удаётся доказать существование (< п + 1)-звенной замкнутой бильярдной траектории длины, ограниченной сверху в терминах объёма [45], диаметра [5] или радиуса вписанного шара [32].

В негладком случае можно рассматривать бильярдные траектории двух типов: классические (не отражающиеся в негладких точках границы бильярдного стола) и обобщённые (для которых доопределены корректные отражения в негладких точках границы). Зачастую получающиеся задачи обретают дискретный комбинаторный характер. Наибольший интерес вызывает изучение классических замкнутых бильярдных траекторий. Чаще всего рассматривают случай, когда бильярдный стол К — симплекс. Из решения задачи Фаньяно, известной с XVIII века, следует, что в остроугольном треугольнике (в случае евклидовой геометрии отражений) существует классическая трёхзвенная бильярдная траектория, образованная основаниями его высот. Однако для общего тупоугольного треугольника неизвестно, существует ли в нём классическая бильярдная траектория (хоть какого-нибудь периода). Лучший результат в этом направлении — использующее компьютер доказательство Р. Шварца [42] для треугольников с углом меньше 100°. В размерностях три и больше рассматривались явные примеры классических траекторий в правильном симплексе евклидова пространства [13] и пространства Лобачевского [10]. В главе 2 этой диссертации излагается совместный результат автора с А. Акопяном [2], доказывающий существование классических замкнутых бильярдных траекторий в негладких выпуклых телах, все негладкие точки которых удовлетворяют некоторому условию «остроугольно-сти». Из этого следует существование классических замкнутых бильярдных траекторий в симплексе евклидова пространства, все двугранные углы которого острые. Метод доказательства - исследование задачи минимизации длины обобщённой траектории (методом Бездека-Бездека, описанным ниже) и проверка того, что минимизатор в ней оказывается классической траекторией (в предположении «остроугольности» бильярдного стола).

Бильярдная динамика в нормированной геометрии Минковского (или, более общо, в финслеровой геометрии) отвечает в физическом контексте распространению света в однородной анизотропной (соответственно, в неоднородной анизотропной) среде; при этом отражения от границы тела подчиняются принципу Гюйгенса (см. работу Гуткина и Табачникова [30], где вводится финслерова бильярдная динамика и объясняется бильярдная двойственность).

Как уже было отмечено, определение бильярда можно обобщить, определив корректные отражения в негладких точках границы бильярдного стола. Для таких обобщённых траекторий вопрос существования замкнутой траектории становится значительно проще. К. Бездек и Д. Бездек доказали [15] (следуя идеям из [16]), что в любом выпуклом теле К С Кга инфимум £ (К) длин обобщённых замкнутых бильярдных траекторий достигается на некоторой обобщённой траектории, в которой не более (п + 1) звеньев. Их идея состояла в том, чтобы рассмотреть другую оптимизационную задачу — минимизировать длину ломаной, которую нельзя параллельным переносом сдвинуть во внутренность бильярдного стола. Из теоремы Бездека-Бездека следует, что кратчайшая обобщённая замкнутая бильярдная траектория существует, и можно задавать вопросы про количество звеньев в ней и про её длину £ (К). Обобщение теоремы Бездека-Бездека на случай произвольного нормированного пространства (и даже на случай пространств с несимметричной нормой, или калибровкой) дано в статье [3] и излагается в этой диссертации в главе 1.

Вопрос о характеризации всех выпуклых тел, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория двухударная, поставлен Зельдичем [46] в контексте обратных спектральных задач. Из теоремы Гоми [27] следует, что таких свойством обладают выпуклые тела, в которых максимальный вписанный шар касается границы тела в двух антиподаль-ных точках (например, центрально симметричные тела). Другие классы плоских областей, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория двузвенная, рассматривались в работах [15] (там рассматриваются пересечения кругов, центры которых расположены достаточно близко) и [11] (там приведён аргумент А. Заславского для тел постоянной ширины на плоскости).

Симплектический подход Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островера [9] к бильярдной динамике состоит в том, что они выражают £ (К) через так называемую симплектическую ёмкость Экланда-Хофера-Цендера лагранжева произведения тела К на евклидов шар (их результат распространяется также на бильярды в анизотропной среде). Ёмкость Эк-

ланда-Хофера-Цендера принадлежит семейству симплектических инвариантов, изучение которых началось с теоремы М. Громова о несжимаемости [28]: шар В2п(г) симплекто-морфно вкладывается в цилиндр Z2n(R) = В2(R) х М2"-2 (расщепление симплектическое, т.е. оба множителя лежат в дополнительных симплектических подпространствах) если и только если г < R. Теорема Громова позволяет определить нижнюю и верхнюю симплек-тическую ёмкость выпуклого множества X С R2ra:

с(Х) = sup{^r2 : В2п(г) ™ X} < с(Х) = inf{nR2 : X ™ Z2n(R)}.

Нижняя и верхняя ёмкости Громова зажимают между собой целое семейство симплек-тических инвариантов, среди которых для нас наиболее важна ёмкость Хофера-Цендера chz('), определяемая в терминах гамильтоновой динамики. Частный случай результата Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островера тогда гласит, что £ (К) = chz (К х Вп(\)) (расщепление лагранжево, т.е. оба множителя лежат в дополнительных лагранжевых подпространствах), а в более общем случае Chz (К х Т) может быть проинтерпретировано в терминах анизотропной бильярдной динамики. Другой полезный взгляд на ёмкость Хо-фера-Цендера происходит из двойственности Кларка [20], представляющей ёмкость как решение задачи оптимизации квадрата (неевклидовой) длины замкнутой кривой на выпуклой поверхности уровня гамильтониана при фиксированной величине гамильтонова действия.

Величина £(К) обладает рядом неочевидных свойств, таких как монотонность относительно вложения тел, или неравенство типа Брунна-Минковского, которые впервые были показаны Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островером [9] при помощи симплектического подхода. В данной диссертации эти и некоторые другие свойства объясняются элементарно с позиции обобщённой теоремы Бездека-Бездека. Некоторые другие неравенства, связывающие бильярдные свойства тел К и К — К, доказаны в [11], [4], [37]. Очень интересный результат, связывающий симплектические инварианты с выпуклой геометрией посредством бильярдной динамики, был доказан Ш. Артштайн-Авидан, Я. Островером и Р. Карасёвым [7]: они свели давнюю гипотезу Малера [35] о произведении объёмов полярных тел к симплектической гипотезе Витербо [45] (неравенству изопериметрического типа между объёмом выпуклого тела и его симплектической ёмкостью). Другой частный случай гипотезы Витербо может быть проинтерпретирован как неравенство изопериметрическо-го типа между объёмом выпуклого тела и длиной его кратчайшей замкнутой бильярдной траектории (возможно, в неевклидовой норме). Из результатов В. Мильмана, Ш. Арт-

штайн-Авидан и Я. Островера [8], которые доказывают гипотезу Витербо с точностью до некоторого множителя, следует, например, что изопериметрическое отношение

М) > с

для любого выпуклого тела К С Кга, где сп = с^/п для некоторой абсолютной константы с. Однако минимум изопериметрического отношения (максимально возможное значение сп), так же как и соответствующее «критическое» тело К, остаются неизвестными даже в случае п = 2 [38]. Конкретная оценка сверху (по-видимому, улучшаемая) на величину с2 следует из результатов работы [16].

Основные результаты диссертации так или иначе связаны с частными случаями гипотезы Витербо (интерпретируемыми как бильярдные изопериметрические неравенства), а также случаями равенства в ней. Эти основные результаты автора, опубликованные в [11, 12], изложены в главе 3. В частности, предъявлены новые случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами и, более общо, с графическими зонотопами. Для этого вычислена их ёмкость Хофера-Цендера при помощи бильярдной техники. Комбинаторные свойства пермутоэдра и графических зонотопов существенным образом используются в доказательствах. Доказаны неулучшаемые изопериметрические бильярдные неравенства в 1\-норме и в калибровке с единичным телом-симплексом. Описаны бильярдные траектории в многогранниках Ханнера в случае, когда единичным телом нормы является тот же многогранник Ханнера.

Цели и задачи работы.

— исследование существования решения задачи минимизации длины классической бильярдной траектории в негладких телах, и, как следствие, существования замкнутых классических бильярдных траекторий в негладких телах;

— обнаружение новых и исследование известных минимизаторов изопериметрического отношения Витербо (объём, поделённый на степень ёмкости) в связи с комбинаторно-геометрическими свойствами пермутоэдров и графических зонотопов;

— решение задач минимизации изопериметрического отношения Витербо в частных случаях некоторых норм (интерпретируемых как изопериметрические неравенства, связывающие объём бильярдного стола и длину кратчайшей замкнутой бильярдной траектории).

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории бильярдных

динамических систем, физике анизотропных сред с отражающими поверхностями, дискретной и комбинаторной геометрии.

Методология и методы исследования. В работе используются различные методы дискретной математики, в частности, методы комбинаторики пермутоэдров, зонотопов и ориентированных матроидов; методы комбинаторной и выпуклой геометрии; методы оптимизации кусочно-гладких функций на конфигурационных многообразиях; методы элементарной топологии на дискретных структурах.

Положения, выносимые на защиту.

1. На случай (возможно, несимметричного) нормированного пространства обобщена теорема Бездека-Бездека, характеризующая кратчайшие замкнутые бильярдные траектории в терминах ломаных, которые невозможно параллельным переносом поместить во внутренность бильярдного стола. (Доказательство проведено автором и опубликовано в статье [3] в соавторстве с А. Акопяном, Р. Карасёвым, А. Шарипо-вой.)

2. Доказано существование классических замкнутых бильярдных траекторий в негладких выпуклых телах, все негладкие точки которых удовлетворяют некоторому условию «остроугольности» (доказательство проведено в статье [2] в соавторстве с А. Акопяном, которому принадлежит основная идея, а автору — детали реализации). Из этого следует существование классических замкнутых (евклидовых) бильярдных траекторий в симплексе, все двугранные углы которого острые. Доказано (лично автором), что если кратчайшая обобщённая замкнутая бильярдная траектория имеет максимальное число звеньев (п +1 в размерности п), то она избегает негладкие точки границы бильярдного стола. Доказаны (лично автором) обобщения этих результатов на неевклидов случай.

3. Обнаружены (лично автором [12]) ранее неизвестные случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами и графическими зонотопами.

4. Доказаны (лично автором [12]) неулучшаемые изопериметрические бильярдные неравенства в ¿1-норме и в калибровке с единичным телом-симплексом.

5. Описаны (лично автором [11]) классические бильярдные траектории в многогранниках Ханнера в случае, когда единичным телом нормы является тот же многогранник

Ханнера. Доказано, что все они имеют одну и ту же длину, и что они плотны в фазовом пространстве.

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты строго доказаны. Результаты, изложенные в диссертации, в разное время докладывались и обсуждались на

• конференции «Информационные технологии и системы», Нижний Новгород, 2014.

• конференции «Встреча поколений», Москва, 2015;

• конференции «Intuitive Geometry, LFT Centennial», Будапешт (Венгрия), 2015;

• конференции «Geometry and Symmetry», Веспрем (Венгрия), 2015;

• девятой конференции по дискретной геометрии и алгебраической комбинаторике, остров South Padre (США), 2017;

• межкафедральном семинаре МФТИ по дискретной математике, 2014;

• математическом семинаре в Institute Science and Technology, Австрия, 2016;

• воркшопе по экстремальной комбинаторике и комбинаторной геометрии, Долгопрудный, 2016;

• научном семинаре кафедры высшей математики МФТИ, Долгопрудный, 2018;

• научном семинаре «Алгебраическая и другая комбинаторика» под руководством Ф. Петрова в Санкт-Петербургском государственном университете, Санкт-Петербург, 2018.

Основные результаты работы опубликованы в четырёх работах [11, 3, 2, 12]; все четыре — в международных изданиях, индексируемых в Scopus и Web of Science. Основные результаты диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад соискателя в работах с соавторами, в частности, в [3] — доказательство обобщённой теоремы типа Бездека-Бездека в несимметричных нормированных пространствах, в [2] — доказательство теоремы о существовании замкнутой классической бильярдной траектории в остроугольных телах и теоремы о том, что обобщённая замкнутая бильярдная траектория максимального периода — классическая.

В заключение я хочу выразить искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Р.Н. Карасёву за всестороннюю поддержку, терпение и помощь. Автор также признателен А. Акопяну за плодотворные обсуждения.

Глава 1

Бильярдная динамика в нормированном пространстве

В этой главе определяется бильярдная динамика (параграф 1.1), доказывается харак-теризация Бездека-Бездека кратчайшей замкнутой бильярдной траектории для заданного бильярдного стола и заданной геометрии нормированного пространства (параграф 1.2), а также её простые следствия (параграф 1.3). В параграфе 1.4 вводятся базовые определения симплектической геометрии, необходимые, чтобы определить бильярдную динамику на гамильтоновом языке, и связать длины бильярдных траекторий с симплектическими инвариантами.

1.1. Определение бильярдной траектории

Везде далее рассматривается n-мерное вещественное векторное пространство V = R, и его сопряжённое (двойственное) пространство V*. Через int А и дА будем обозначать соответственно внутренность и границу множества А С X. Через (р, q) обозначим значение функционала р Е V* на векторе q Е V. Если в пространстве V зафиксировать скалярное произведение, то сопряжённое пространство отождествляется с исходным, и спаривание (•, •) : V* х V ^ R задаётся скалярным произведением.

Телом в R будем называть связное компактное множество К, для которого int К = К. Мы будем работать только с выпуклыми телами, которые можно эквивалентно определить как выпуклые компактные множества с непустой внутренностью. Для тела К С V полярное тело К° С V* определяется как К° = [р Е V* : (p,q) < 1 V q Е К}. Для тела Т С V* полярное т,ело Т° С V определяется как Т° = [q Е V : (p,q) < 1 V р Е Т}.

Пусть в двойственном пространстве выбрано выпуклое тело Т С V*, содержащее начало координат в своей внутренности. Если Т центрально симметрично относительно начала координат, то пространство V можно наделить нормой с единичным шаром Т°. Будем обозначать эту норму || • . По определению, = max(p,q) (фактически, это

рЕТ

есть опорная функция тела Т). В дальнейшем мы отказываемся от требования симметричности тела Т, позволяя «норме» быть несимметричной (т.е. позволяя нарушаться условию |Ы|т = || — qht). Иногда в таких случаях говорят о калибровках, но мы продолжим использовать слово «норма». В противовес евклидову случаю (когда тело Т — эллипсоид)

норму с неевклидовым единичным телом называют нормой Минковского.

Для определения бильярдной траектории потребуем дополнительно гладкость тел К и Т (чуть позже мы откажемся от этого требования).

Определение 1.1.1. Пусть точки дгеЛ е дК,дзЫН е К,депЛ е К,дзЫН = дгеЛ = депЛ, таковы, что функционал

Р(о) = \\Qend - д\\т + II? - ЯзганЦт

имеет локальный условный минимум в точке д = дге/1 при условии д е Н, где Н — опорная гиперплоскость к телу К в точке дге{1. Тогда говорят, что траектория д3ган ^ ^ Ч_епЛ имеет бильярдное отражение в точке дге^.

Замкнутая (периодическая) траектория д1 ^ д2 ^ ... ^ дт ^ д1 (где д1,... ,дт е дК) называется бильярдной, если во всех точках ^ она имеет бильярдное отражение.

Множество всех бильярдных траекторий в теле К с геометрией, задаваемой телом Т, обозначим ат (К).

Пользуясь гладкостью тел К, Т, можно переформулировать правило бильярдного отражения в дифференциальном виде.

Для этого определим импульсы р,р' е V* в траектории д3ган ^ Я ^ ЦепЛ до и после удара о дК в точке д; они выбираются в дТ так, что скорость V = д определяется как

V = с1\\р\\т°, V е дТ°.

Нормаль к телу К в точке д е дК определим как функционал

ПК(я) = (1\\д\\Ко, пк(д) е дК

Здесь мы пользуемся гладкостью Т, чтобы определить скорости, и гладкостью К, чтобы определить нормали к К.

Запишем функцию Лагранжа для поиска экстремумов функционала ^(д) при условии

д е дК:

= \\Qend - д\\т + \\д - Яз1,а,н\\т + - 1).

Дифференцируя по д, получим правило отражения в виде

р' - р = -Хпк(д), ^ > 0.

(1.1.1)

Рис. 1.1. Пример замкнутой бильярдной траектории в евклидовом случае

Рис. 1.2. Пример фрагмента бильярдной траектории в неевклидовом случае

(Условие Л > 0 следует из того, что тело К выпуклое, и траектория qstart ^ Qrefi ^ qend не лежит полностью на границе тела К.)

Длина замкнутой ломаной q1 ^ q2 ^ ... ^ qm ^ q1 определяется так:

т

lT(qi,...,qm) = \\®+i -,

г=1

где индексация полагается циклической (по модулю т).

Можно расширить определение бильярдной траектории, дополнительно рассматривая скользящие вдоль границы траектории (см., например, [9]). Однако основным объектом нашего исследования будут являться минимальные по длине бильярдные траектории, а скользящие траектории заведомо неминимальны.

Определение 1.1.2. Для пары гладких выпуклых тел К С V, Т С V* (таких, что 0 £ int К, 0 £ int Т) определим величину

£т (К )= min lT (Q),

где Q = (д1,... ,дт), т > 2, пробегает множество 0,т (К) всех замкнутых бильярдных траекторий в теле К с геометрией, задаваемой телом Т.

По умолчанию непонятно, почему этот минимум вообще достигается. Это верно, и это следует из характеризации минимальных по длине бильярдных траекторий, которая приведена в следующем параграфе.

Другое направление обобщения — определение бильярда, не использующее гладкость тел К и Т.

Будем говорить об обобщённом бильярдном отражении траектории д31ан ^ Цге^ ^ Цепй (где различные точки qrefl е дК, дзЫН е К, депа е К) в точке дге11, если

р(о) = \\Qend - д\\т + \\д - ЯзганЦт

имеет локальный условный (д е Н) минимум в точке д = дге$1, где Н — какая-то опорная гиперплоскость к телу К в точке дге$1. Это определение отличается от данного выше тем, что опорная гиперплоскость в точке q_re.fi может быть неединственной и выбирается произвольно.

Конус Ык (о) внешних нормалей к телу К в точке д е дК определяется так:

NК (я) = [п е V * : (п, д' - д}< 0 Уд' е К}.

Если граница тела К является гладкой в окрестности точки д, то конус внешних нормалей состоит только лишь из лучей, сонаправленных с классической внешней нормалью

пк (д).

Аналогично, конус (р) внешних нормалей к телу Т в точке р е ВТ определяется

как

Мт(р) = [V е V : (р' - р,у} < 0 Ур' е Т}.

Импульсом р £ дТ С V* фрагмента q ^ q' назовём линейный функционал, достигающий максимума в точке q' — q. Обратите внимание, что если Т не является строго выпуклым, или, эквивалентно, если Т° не является гладким, то импульс р определяется неоднозначно; в этой ситуации любой из подходящих функционалов мы будем называть импульсом. Импульс может быть эквивалентно определён из следующего свойства:

q' — q £ NT(р) \{0}. (1.1.2)

Наконец, обобщённый закон отражения устроен следующим образом:

р' — р £—Nk (q) \{0}, (1.1.3)

где р и р' обозначают импульсы на участках траектории до и после отражения в точке q.

Можно наблюдать некоторую симметрию между определением импульса (1.1.2) и законом отражения (1.1.3).

Имея обобщённый закон отражения, так же как и в гладком случае мы определяем множество всех обобщённых замкнутых (периодических) бильярдных траекторий (К) и длину ^т (К) кратчайшей из них.

1.2. Теорема Бездеков

Основной объект нашего исследования — длина ^т(К) кратчайшей замкнутой бильярдной траектории в теле К с геометрией, определяемой телом Т. Заведомо неочевидно, почему кратчайшая траектория существует. Для того, чтобы объяснить это, а также чтобы дать эффективный способ вычисления (К), имеет смысл, следуя [15], рассмотреть другую экстремальную задачу: минимизировать длину ломаной, которая не может быть параллельно перенесена внутрь тела К. Итак, рассмотрим семейство ломаных

Vm(K) = {(q1,... , qm) : {q1,... , qm} не может быть вложено в (int К + t) при t £ V}.

Среди всех таких ломаных можно выбрать кратчайшую. Действительно, минимум

ßm = min Iт (Q) достигается из соображений компактности. Аргумент, использую-

Qerm(K)

щий теорему Хелли или теорему Каратеодори, позволяет показать, что инфимум чисел ßm,™ ^ 2, достигается на каком-то 2 < m < п +1 (это рассуждение приведено ниже). Оказывается, что ^т(К) = minßm. Это утверждение было доказано [15] К. Бездеком и

т>2

Д. Бездеком в еклидовом случае (когда Т — евклидов шар), и обобщено на неевклидов случай в статье [3].

Теорема 1.2.1. Для любых выпуклых т,ел К С V, Т С V*, таких что 0 Е int К, 0 е int Т, выполнено

Ст (К) = min min 1т (Q),

m>2 Q€Pm(K)

причём внешний минимум достигается при т < п +1.

Более того, из доказательства мы увидим, что ломаная, доставляющая минимум в правой части, оказывается (после подходящего параллельного переноса и ещё неких незначительных поправок) кратчайшей замкнутой бильярдной траекторией. Тем самым будет показано, что кратчайшая бильярдная траектория существует.

Приведём подробное доказательство теоремы Бездеков. Изложение следует идеям доказательства из оригинальной статьи [15], но включает в себя необходимые уточнения для неевклидового случая из статьи [3].

Для начала нам понадобится вспомогательная характеризация множества Vm(K). Для гиперплоскости Н = {q Е V : (n,q) = с} с нормалью п будем использовать следующие обозначения для полупространств, ограничиваемых ею: Н + = {q Е V : {n,q) > с}, Н- = {q Е V : {п, q) < с}.

Лемма 1.2.2. Ломаная с узлами в точках q1,...,qm принадлежит Vm(K) тогда и только тогда, когда существует такое подмножество из s < п +1 точек (для удобства будем считать, что это точки q1,...,qs), такой набор гиперплоскостей Hi = {q Е V : {ni,q) = с{},г = 1,...,s, а также такой сдвиг t Е V, что выполняются следующие условия:

1. q% Е Н+, 1 < г < s;

2. К + t С П И-;

i=l

3. 0 Е conv{n1,..., ns}.

Замечание 1.2.3. Условие 3 эквивалентно следующему свойству почти ограниченности

s

множества Р| Н-: это множество можно зажать между двумя параллельными гиперплос-

i=1

костями, т.е. существует такая нормаль п Е V* и такие числа a,ß Е R, что для всех

s

q Е Р| Н- выполнено а < {п, q) < ß .В доказательстве это не понадобится, но для геомет-

i=1

рической интуиции это полезно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балицкий, Алексей Михайлович, 2018 год

- я— -

Пг

1 Qi — 4i-i\ 1 Qi+i — (Ii\'

Это внешние нормали к опорным гиперплоскостям Hi,... , Hn+i в точках qi,... , qn+i соответственно. Заметим, что существует положительная комбинация векторов п^ равная нулю.

Для начала рассмотрим случай, когда линейная оболочка п — собственное подпространство Rn. Тогда один из векторов п может быть выброшен с сохранением условия 0 Е сопу{п^ (по теореме Каратеодори). Выбросим также соответствующее qi из траектории. Таким образом мы укоротили ломаную, но её всё ещё нельзя параллельно перенести в int К — противоречие с теоремой 1.2.1. Поэтому можно считать, что 0 Е intconv^}.

Далее, пусть а ^ q ^ b — фрагмент кратчайшей обобщённой траектории возле негладкой точки q Е дК, причём а^,Ь не лежат на одной прямой по лемме 2.1.11. Нормальный конус Nk (q) нетривиален и содержит лучи отличные от луча р, противоположного биссектрисе угла aqЬ. Незначительно повернём р и получим р Е Nk(q),ß = р. Рассмотрим опорную гиперплоскость H в точке q с внешней нормалью р.

Как показано ниже в лемме 2.1.14, точка q может быть сдвинута вдоль H, так что мы получим точку q Е H такую, что \а — q\ + \q — b\ < \а — q\ + \q-b\. Остаётся проверить, что если заменить фрагмент а ^ q ^ b на а ^ q ^ b в траектории, то полученную ломаную всё ещё нельзя параллельно сдвинуть в int К. После замены одна из внешних нормалей в вершинах ломаной немного повернулась (р заменяется на р). Открытое условие 0 Е int conv {п-j} останется выполнено, если поворот малый. Лемма 1.2.2 влечёт тогда, что новую ломаную нельзя параллельно сдвинуть в int К. □

Лемма 2.1.14. Пусть точки а^,Ь Е Rn лежат не на одной прямой, H — гиперплоскость, такая что q Е H и а, b лежат в одном замкнутом полупространстве, ограни-

чиваемом Н. Пусть известно, что Н не ортогональна биссектрисе угла адЪ. Тогда д не доставляет минимум выражения \а — г \ + \г — Ъ\ при условии г Е Н.

Доказательство. Отразим точку Ь относительно Н, получим точку Ь'. По предположению леммы а,д,Ь' не лежат на одной прямой, поэтому \а — д\ + \д — Ь\ можно уменьшить, если передвинуть д в точку [а, Щ П Н. □

2.2. Обобщения на неевклидов случай

В этом параграфе теорема 2.1.13 обобщается на неевклидов случай, т.е. когда является произвольным выпуклым телом. Для этого нам понадобится обобщить лемму 2.1.14 на неевклидов случай.

Лемма 2.2.1. Пусть точки а,д,Ь Е Еп лежат не на одной прямой, Н — гиперплоскость с нормалью п Е V*, такая что д Е Н и а,Ь лежат в одном замкнутом полупространстве, ограничиваемом Н. Пусть длины измеряются посредством нормы с единичным шаром Т°, причём Т строго выпуклое. Пусть р,р' Е дТ — (однозначно определённые) импульсы фрагментов траектории а ^ д,д ^ Ь. Предположим, что п,р' — р Е V* линейно независимы. Тогда д не доставляет минимум выражения ||а — г\\т + ||г — Ъ\\т при условии Е Н.

Доказательство. Если бы д доставляло минимум ||а — г \\т + ||г — Ъ\\т при условии г Е Н, то из обобщённого закона отражения 1.1.3 следовало бы, что р'—р пропорционально п. □

Теорема 2.2.2 ([2]). Пусть длины измеряются посредством нормы с единичным шаром Т°, причём Т гладкое и строго выпуклое. Если кратчайшая обобщённая замкнутая бильярдная траектория в теле К С Еп имеет период ровно п +1, то она классическая.

Доказательство. Пусть точки ... , дп+1 образуют кратчайшую обобщённую замкнутую бильярдную траекторию в К С Кп.

Пусть Рг — импульс фрагмента траектории дг-1 ^ дг (индексация циклическая). Рассмотрим опорные гиперплоскости Н1,... , Нп+1 к телу К в точках д1,... , дп+1 с нормалями У1 = Р1 — Р2, У2 = Р2 — Рз,... , У-п+1 = Рп+1 — Р1 соответственно.

Возможны два случая: либо (ко)векторы щ,... , ип+1 содержатся в гиперплоскости, либо их линейная оболочка равна всему V*. Первая ситуация невозможна по тем же причинам, что и в доказательстве теоремы 2.1.13. В этом случае мы можем выбросить одну

из вершин qi, сохраняя условиеО Е int conv{щ}; полученная ломаная будет строго короче (здесь используется строгая выпуклость Т°, которая следует из гладкости Т), но её нельзя параллельно перенести в int К (по лемме 1.2.2). Это противоречит теореме 1.2.1.

Далее, пусть а ^ q ^ b — фрагмент кратчайшей обобщённой траектории возле негладкой точки q Е дК, причём а,ц_,Ъ не лежат на одной прямой по лемме 2.1.11 (см. замечание 2.1.12). Нормальный конус Nk(q) нетривиален и содержит лучи отличные от луча р, противоположного (ко)вектору р' — р, где р и р' — (однозначно определённые) импульсы фрагментов траектории а ^ q и q ^ Ь. Незначительно повернём р и получим р Е Nk(q),ß = р. Рассмотрим опорную гиперплоскость H в точке q с внешней нормалью Р.

По лемме 2.2.1 точка может быть сдвинута вдоль H, так что мы получим точку q Е H такую, что ||а — Щт + \\q — Щт < ||а — q\\r + \\q — Ъ\\т. Остаётся проверить, что если заменить фрагмент а ^ q ^ b на а ^ q ^ b в траектории, то полученную ломаную всё ещё нельзя параллельно сдвинуть в int К. После замены одна из опорных плоскостей в вершинах ломаной немного повернулась (так как её нормаль р заменяется на р). Открытое условие О Е int conv{щ} останется выполнено, если поворот малый. Применение леммы 1.2.2 завершает доказательство. □

Глава 3

Связь с гипотезой Витербо и неравенства изопериметрического типа

Клод Витербо [45] предположил изопериметрическое неравенство (1.4.1), частный случай которого мы изучаем в этой главе:

снг (К х Т)п

уо1( К хТ) >

п!

где К С Кп, Т С (Кп)* - выпуклые тела, и произведение лагранжево. Определение ёмкости Хофера-Цендера снг было дано в параграфе 1.4, но для наших целей её можно интерпретировать геометрически в бильярдных терминах. Для тел вида К х Т ёмкость

лагр.

Хофера-Цендера имеет простую геометрическую интерпретацию (см. замечание 1.4.5):

сн2 (К хТ )= & (К),

где т( К) обозначает, как и ранее, длину кратчайшей замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле К С V с геометрией измерения длин, заданной выпуклым телом Т С V*.

Если взять К центрально симметричным относительно начала координат, и если положить Т = К°, то неравенство Витербо даст неравенство

снг (К х К°)п

уо1( К х К°) >

п!

эквивалентное (как показано в [7]) известной открытой гипотезе Малера из выпуклой геометрии. Эта одна из причин, почему гипотеза Витербо может рассматриваться трудной и интересной. В параграфе 3.1 мы вычисляем снг (К х К°) и объясняем это сведение элементарно, следуя [3]. Там же мы рассматриваем аналогичный подход к несимметричной версии гипотезы Малера, который, хоть и оказывается неудачным, всё же представляет геометрический интерес и даёт начало серии замечательных примеров конфигураций К х Т, изучаемых нами.

Первая серия результатов, доказанных автором, касается случаев равенства в гипотетическом неравенстве Витербо. Мы не знаем про эти примеры, являются ли они сим-плектическими шарами, но некоторые свойства симплектических шаров они имеют. Одно семейство примеров состоит из тел вида X = Н х Н°, где Н — многогранник Ханнера

(эти многогранники известны тем, что доставляют равенство в гипотезе Малера). Некоторые бильярдные свойства таких тел X мы излагаем в параграфе 3.6, следуя [11]. Другое семейство примеров было описано в [12], и в параграфах 3.3 и 3.4 мы воспроизводим чуть более общий результат. В частности, будет показано, что

ус1(Рп х АП) = (Рп * Лп)п.

п!

Здесь Лп обозначает правильный п-мерный симплекс, центрированный в начале координат; Л°п — его полярный симплекс; Рп обозначает так называемый п-мерный пермутоэдр, о котором можно думать как о сумме Минковского всех рёбр Лп. Например, пермутоэдр Р2 — правильный шестиугольник; пермутоэдр Р3 — усечённый октаэдр, шестиугольные грани которого правильные (см. рисунок 3.1). Определение и свойства пермутоэдров обсуждаются в параграфе 3.2.

Рис. 3.1. Пермутоэдр Р3 — усечённый октаэдр

В параграфе 3.5 излагаются результаты статьи [12], касающиеся некоторых частных случаев гипотезы Витербо. Неравенство Витербо будет доказано для ёмкости Снг тел вида К х (симплекс Лп) и К х (параллелотоп □), где К С Кп — выпуклое тело, а произведения лагранжевы:

(К хЛп)п

ус1(К х Лп) > —

п!

^^снг (К х Пп)п ус1(К х □) > —

п!

Последнее неравенство можно интерпретировать как неулучшаемое неравенство изопери-метрического типа для бильярдных траекторий в 1х-норме:

(К) < (2пп! ус1(К))1/п .

Аналогичный вопрос естественно задать и про другие нормы: хотелось быть уметь выписать точное неравенство, ограничивающее £т(К) в терминах уо1К для фиксированного Т и произвольного К. Например, для евклидовой нормы (когда Т = Вп — единичный евклидов шар) неравенство

(К) < Сп уо1(К)1/п

верно для любого выпуклого тела К С Кп. Оно следует из результатов статьи [8] с множителем сп = с у/и для некоторой абсолютной константы с. Однако оптимальное значение множителя Сп, так же как и соответствующее «критическое» тело К, остаётся неизвестным даже в случае п = 2.

3.1. Связь гипотезы Малера с гипотезой Витербо

Как было отмечено во введении к этой главе, представляет интерес следующий частный случай неравенства Витербо:

си?(К х К°)п 4п уо1(К х К°) > Снг(К х ^ ) = ^, (3.1.1)

п! п!

где К = —К С Еп.

Вычисление снг(К х К°) = 4 впервые было проведено в [7], а затем заметно упрощено в [3]. Упрощённый аргумент приведён ниже в теореме 3.1.1. Нижняя оценка (3.1.1) на объём уо1( К х К°) известна как гипотеза Малера [35], не решённая с 1939 года. Равенство в гипотезе Малера (а потому и в неравенстве Витербо) достигается на произведении гиперкуба на кроссполитоп, а также на некоторых других многогранниках, рассматриваемых в параграфе 3.6.

Теорема 3.1.1 ([7]).

( К) = 4

для любого выпуклого центрально симметричного относительно начала координат тела К С Еп.

Доказательство. Пусть дана ломаная длины менее 4 (измеренной в норме || • ||к°). Отметим на неё произвольно точку х, а затем точку у так, чтобы поделить длину ломаной пополам. Также отметим точку о — середину отрезка [х, у].

Для произвольной точки ломаной в силу неравенства треугольника выполнено ||х — г\\к° + \\г — у\\к° < 2. Тогда \\х — о\\к° < 1 (чтобы в этом убедиться, надо достроить

Рис. 3.2. Иллюстрация к доказательству теоремы 3.1.1

параллелограмм ххуЬ с центром о и ещё раз применить неравенство треугольника). Получаем, что вся ломаная накрывается открытым шаром радиуса 1 с центром в , а значит, по теореме 1.2.1 минимальная замкнутая бильярдная траектория имеет длину хотя бы 4.

Легко проверить, что любая хорда К, проходящая через центр симметрии, даёт пример двузвенной бильярдной траектории длины 4.

Теорема 3.1.1 влечёт, что в центрально симметричных телах кратчайшая бильярдная траектория двузвенная (при условии, что норма симметрична). Это обобщает основной результат [27]. Напомним, что вписанный радиус и ширина тела К относительно нормы | • \\т определяются как

Гт (К) = шах{р € К | рТ° С К + £ для некоторого Ь Е V},

тт(К) = шт ( шах(р, д) — тт(р, дн .

рет V деК деК I

Следствие 3.1.2. Если тело Т центрально симметрично относительно начала координат в V *, то

Ст (К) > 4 гт (К).

Если дополнительно ещё и К центрально симметрично в V, то

Ст (К ) = 2,^т (К), и кратчайшая бильярдная траектория двузвенная.

Доказательство. Рассмотрим наибольший гомотет L тела Т°, умещающийся в теле К. Коэффициент гомотетии равен Гт(К), и из теоремы 3.1.1, вместе со свойством монотонности (1.3.1), мы заключаем, что

£т (К) > fr (L) > 4 гт (К).

В случае центрально симметричного К тело L касается дК как минимум в двух противоположных точках q и — q таких, что — (—q)\\T = Wt(К). (Действительно, если предположить, что ширина Wt (К) реализуется на паре точек q1, q2 Е дК, то из выпуклости и симметричности легко вывести, что результат параллельного переноса отрезка [ qi, q2], сдвигающего его середину в начало координат, по-прежнему лежит в К.) В силу теоремы 3.1.1 и свойства монотонности 1.3.1 имеем

£т (К) > fr (L) = 4 гт (К) = 2\\q — (—д)\\т = 2wt (К).

Теперь осталось заметить, что двузвенную ломаную q ^ — q ^ q длины 2Wt(К) нельзя перенести во внутренность К, поэтому характеризация Бездека-Бездека влечёт равенство & (К) = 2Wt (К). □

Также в [3] был получен несимметричный случай теоремы 3.1.1.

Теорема 3.1.3 ([3]).

£к° (К) > 2 + 2/п

для любого выпуклого т,ела К С R, содержащего начало координат в своей внутренности. Равенство достигается на симплексе.

Набросок доказательства. Рассмотрим ломаную Q = (q1,..., qm), т < п +1, которая не может быть перенесена во внутренность тела К. Подберём v1,..., vm Е дК сонаправленны-ми с q2 — q1,... , q1 — qm соответственно. Если теперь заменить К на L = conv{i> 1,... , vm}, то длина ломаной сохранится, и её по-прежнему нельзя будет перенести в int L. Если теперь 0 Е int L, т.е. 0 Е dL, то можно применить индукцию по размерности. Иначе мы можем считать, что т = п + 1 и что начало координат принадлежит внутренности симплекса L. Напомним, что индексацию мы везде полагаем циклической по модулю т = п + 1, и Q = (qo,... , qn). Если какие-то из точек ^ не лежат на dL, то можно гомотетично сжать Q и сдвинуть её так, чтобы все узлы попали на dL (можно воспринимать это иначе: можно гомотетично раздувать L, сохраняя расположение начала координат относительно L). После этой операции длины только уменьшатся.

Назовём Гг — грань симплекса, не содержащую вершину уг. По построению

Яг+1 - Яг = иУг, к > 0. (3.1.2)

Другими словами, есть проекция дг+1 на грань Гг. Композиция проекций поочерёдно на Кп,..., Г0 есть линейное отображение, которое переводит грань Г в её относительную внутренность, и потому имеющее ровно одну неподвижную точку. Таким образом, ломаная Q определяется однозначно условиями (3.1.2). Приведём явно в барицентрических координатах выражения для точек, удовлетворяющих условиям (3.1.2), они вынужденно совпадут в точками ,... , ц_п.

Пусть (т0,... , тп) — барицентрические координаты начала координат в Ь. Положим

М = ^ тк тг,

0<к< 1<п

из шуровской выпуклости элементарных симметрических функций следует, что М принимает максимальное значение при т0 = ... = тп = п+ц и поэтому М < 2ПП+2. Положим

3-1

]=г к=г

ф = М .

Видим, что Е Гг. Непосредственно проверяется, что

з-1 з-1 ^ ^ т^ткУу - ^^ т^ткУу ^ тгт^г - ^ т^т^^ _ 3=г+1 к=г+1 з=г к=г _ ]=г ]=г _ тг

<1г+1 - ф = М = М = М

Здесь использовано, что

Т,т^3 = 0 ^ ^3=гтЗт^З = -т2 ^ ^т^ = 1 ^ тгт^г + т2Уг = тгУг.

Итак, искомые точки построены. Наконец,

^ М М > п

Отсюда следует требуемая оценка на длину ломаной Q. □

Несимметричный аналог гипотезы Малера (в котором крайним случаем предполагается симплекс с центром тяжести в начале координат) выглядит так:

(п ± 1)п+1

уо1 К • уо1 К ° >

(п!)2

Рис. 3.3. Траектории, доставляющие равенство в теореме 3.1.3

Чтобы вывести его из гипотезы Витербо, как было сделано в симметричном случае, нужна оценка

Правая часть асимптотически равна е > 2 + 1/п по формуле Стирлинга, поэтому эта оценка неверна, и несимметричная гипотеза Малера не следует из гипотезы Витербо. С другой стороны, внимательный анализ доказательства теоремы 3.1.3 подсказывает, как на самом деле можно построить несимметричные минимизаторы в неравенстве Витербо. Например, в двумерном случае равенство в теореме 3.1.3 достигается на треугольнике. Однако кратчайшие бильярдные траектории в нём не заметают всё тело, и можно отрезать углы этого треугольника (сохраняя трегольную норму), уменьшая объём произведения К х Т, но сохраняя симплектическую ёмкость. Таким образом получается пример на рисунке 3.7, подробнее рассмотренный в параграфе 3.6. Аналогичная идея в старших размерностях даёт семейство замечательных конфигураций, которые будут построены в параграфах 3.3 и 3.4.

3.2. Комбинаторика пермутоэдра

В этом параграфе собраны все сведения про пермутоэдры, которые будут использованы в дальнейшем.

Классическое определение пермутоэдра таково:

Определение 3.2.1. Пермутоэдром размерности п называется выпуклая оболочка точек

(а(1),а(2),...,а(п + 1)) Е Rra+1

по всем перестановкам а : {1, 2,... ,п + 1} ^ {1, 2,... ,п + 1}.

Для доказательства теоремы 3.3.1 наиболее удобным будет следующее определение (его можно найти в [47, Lecture 7.3]):

Определение 3.2.2. Рассмотрим правильный симплекс Ап = conv{v0,... , vn} С Rn, центрированный в начале координат и нормализованный так, что все его рёбра имеют единичную (евклидову) длину. Пермутоэдр Pn С Rn определяется как сумма Минковского рёбер симплекса:

рп = Y1 [vi, vi

0< i<j<n

Для доказательства теоремы 3.5.1 полезным будет следующее определение (его можно найти в [21, Chapter 21]):

Определение 3.2.3. Пермутоэдр Рп определяется как (содержащая начало координат) ячейка Вороного решётки

А*п =| (хо,... , Хп) Е Zn+1 : ^ Xi = 0, Хо = ... = х-п (mod п + 1) | ,

лежащей в {(х0,...,хп) Е Rn+1 : ^xi = 0} ^ Rn

Замечание 3.2.4. Заметим, что решётка A*n порождается векторами

ai = (-1,п,-1,...,-1) ,...,an = (-1,-1, -1,...,п)*. 4--'

n+1

Также она содержит вектор

а0 = (п, -1, -1,..., -1)4 = -a1 - ... - an.

4-ч/-1

n+1

Вектора а0, a1,...,an — все вектора кратчайшей ненулевой длины в An, как нетрудно проверить напрямую.

Все три определения описывают один и тот же многогранник с точностью до подобия. Ширина Pn равна п{v0-v1, en) = \J(п2 + п)/2, а ширина Pn равна |а0| = л/п2 + п (тот факт, что эти длины действительно действительно отвечают ширине, будет объяснён ниже, в части (3) Предложения 3.2.7). Сравнивая ширины, мы видим, что Pn в л/2 раз больше, чем Pn.

Предложение 3.2.5. В обозначениях определения 3.2.2

vol Рп

(п + 1)

п-1/2

2п/2

Доказательство. Имеем:

2п/2 vol Рп = vol Рп = det АП = det r(ai,..., ап)1/2 =

п2 + п —п — 1 —п — 1 —п — 1 п2 + п —п — 1 —п — 1 —п — 1 п2 + п

i/2

Эта п х п-матрица Грама имеет собственный вектор к = (1,... , 1)4, отвечающий простому собственному значению п ±1. Все остальные собственные вектора, ортогональные к, отвечают (п — 1)-кратному собственному значению (п± 1)2, как легко проверить напрямую.

Поэтому det Г(а1,..., ап) = (п + 1)2п 1, и результат следует

□

В дальнейшем нам понадобится описание комбинаторной структуры пермутоэдра и комбинаторной структуры замощения R пермутоэдрами (разбиение Вороного относительно решётки А*п ). Следующий факт по существу есть переформулировка предложения [39, Proposition 2.6], где оно формулируется в терминах определения 3.2.1, а мы приводим его в терминах определения 3.2.3.

Предложение 3.2.6. Пусть Рп — ячейка Вороного решётки Ап, содержащая начало координат,, как в определении 3.2.3. Зафиксируем числа yi = п — h 0 < г < п.

1. d-мерные грани Рп находятся в однозначном соответствии с упорядоченными разбиениями множества {0,1,... ,п} на п +1 — d (непересекающихся) подмножеств. Разбиение {0,1,... ,п} = В0 UB1U... иВп-а отвечает d-грани Рп, состоящей из всех точек (х0,..., хп) G Еп+1, удовлетворяющих по всем I Ç {0,1,... ,п} неравенствам

\i\-i

Xх < X Уз

iei j=o

и таких что равенство достигается (хотя бы) для I = В0, I = В0 U В1, ..., 1 = Во иВ1 U ... U Вп-d.

2. В частности, вершины Рп находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными разбиениями на одноэлементные множества. Каждому такому разбиению В0 U В1 U ... U Вп сопоставим перестановку ж множества

{0,1,...,п}, заданную так: ж(г) = если г Е В^. Для данной перестановки ж : {0,1,...,п} ^ {0,1,...,п} через будем обозначать соответствующую вершину Рп. Тогда имеет координаты (уж(0), Уж(1),..., Уж(п)).

3. Грань, отвечающая разбиению Б, содержит грань, отвечающую разбиению Б', тогда и только тогда, когда Б' есть измельчение Б.

Дадим подробное комбинаторное описание гиперграней пермутоэдра (т.е. граней коразмерности 1 или фасет).

Предложение 3.2.7. Пусть Рп — ячейка Вороного решётки АП, содержащая начало координат, как в определении 3.2.3.

1. Гиперграни Рп находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными парами множеств ( Б, {0,1,... ,п}\ Б), 0 = Б С {0,1,... ,п}. Будем писать Рв для гиперграни, соответствующей паре ( Б, {0,1,... ,п}\ Б).

2. Для любого Б внешняя нормаль к Рв может быть выбрана из решётки АП. Например,

является внешней нормалью к Рв. Расстояние от начала координат до Рв равно

3. Ближайшие к началу координат гиперграни характеризуются следующим образом: Они конгруэнтны (п — 1)-мерному пермутоэдру, а соответствующее множество Б имеет мощность |Б| = 1 или |Б| = п. Ширина Рп равна |ао|.

4. Пусть — вершина Рп, принадлежащая гиперграни Рв (так что ж(Б) = {0,..., |Б| — 1}). Тогда (— ) — другая вершина Рп, а соответствующая ей перестановка ж' получается из ж посредством левого циклического |Б 1-сдвига значений (так что ж (Б) = {п — |Б | + 1,... ,п}). Другими словами, ж'(г) = ж (г) — |Б | (mod п +1).

Доказательство. 1. Следует из предложения 3.2.6, часть (1).

2. Любая гипергрань Рв пермутоэдра Рп является также гипергранью соседней ячейки Вороного. Вектор из начала координат в центр этой соседней ячейки ортогонален грани Р$ и делится ею пополам. Этот вектор принадлежит решётке А*п и может быть

2

1 ая I

выбран в качестве внешней нормали к Fs. Мы хотим показать, что он совпадает с

вектором as = аг. С одной стороны, непосредственно из предложения 3.2.6 мы по-ie s

лучаем, что все вектора вида ai — aj, где либо i,j G S, либо i,j G S, параллельны Fs. Среди этих вектора ai — aj, найдутся (п — 1) линейно независимых векторов, порождающих подпространство, параллельное Fs. Все эти вектора ортогональны ^2ieS ai, как показывает прямой подсчёт (с использованием (ai, aj) = —п — 1 + (п + 1)26^). С

другой стороны, вектор as = ai — примитивный вектор решётки в том смысле,

ie s

что as = г A для г > 1, A G А*п. Результат следует.

3. Расстояние от начала координат до гиперграни Fs равно 1 |as |. Утверждение теперь следует из замечания 3.2.4: кратчайшие ненулевые вектора решётки А*п суть в точности a0,a1,..., an.

4. Пусть уж G Fs. Координаты ьж равны (уж(0), Уж(1),..., Уж(п)). Тогда г-я координата (0 < г < п) вектора vn — as равна

\ Уж(ъ) —п + IS1 — iGS, (vn — as )i = <

[ Уж{%) + lS I i G S.

Это в точности координаты v^, где 'к'(г) = 'к(г) — |S| (mod п + 1).

Теперь используем это комбинаторное описание, чтобы установить лемму, которая понадобится в параграфе 3.5.

Рассмотрим вектора и0,... ,ип, такие что |и0| = ... = lun | = 1, а направления ui равноугольные, т.е. концы векторов и0,... ,ип образуют правильный симплекс в Rn. Рассмотрим

п

решётку Л, порождённую векторами и1,... , ип. Так как и0 = — ui, то и0 G Л. Пусть Р —

i=l

ячейка Вороного решётки Л, прилежащая к началу координат. Заметим, что Л представляет собой отмасштабированную копию АП, поэтому, сравнивая |и0| = 1 с |a0| = у/п2 + п, мы получаем, что многогранник Р конгруэнтен ^г2+пРп. Мы будем использовать старые обозначения (такие как уж, Fs) предложений 3.2.6, 3.2.7 применительно к Р.

Рассмотрим разбиение Т пространства R, двойственное к разбиению Вороного относительно Л. Разбиение Т известно как разбиение Делоне (см., например, [29, Chapter 32]). Оно устроено следующим образом. Вершины Т — это в точности вектора решётки Л. Вершины A0, A1,... ,Ad G Л, 0 < d < п, образуют d-мерную грань Т, если и только если Ячейки

Вороного с центрами Х^ имеют общую (п — ^)-мерную грань. На самом деле Т оказывается триангуляцией (т.е. соответствующий полиэдральный комплекс — симплициальный). Это может не быть очевидно априори, и это будет доказано как часть следующей леммы.

Лемма 3.2.8. Любая полноразмерная клетка разбиения Т — симплекс. Любой (полноразмерный) симплекс а разбиения Т обладает следующим свойством: найдётся замкнутая ориентированная ломаная Qa, такая что

• Qa проходит вдоль рёбер а и посещает каждую вершину а ровно однажды; в частностиI, еопу Qa = а;

• отрезки ломаной Qa имеют единичную длину, а множество их направлений совпадает с множеством {и0,... ,ип}.

Доказательство. Пусть а — полноразмерная клетка разбиения Т, отвечающая вершине

V замощения пермутоэдрами (разбиения Вороного). Мы покажем, что V инцидентна ровно (п +1) пермутоэдрам разбиения Вороного. Менее чем (п + 1) их быть не может — иначе V не может быть вершиной полиэдрального разбиения пространства Кп. Пусть Р' и Р'' — два таких пермутоэдра, имеющие общую гипергрань Р, и пусть Х, Х" Е Л — их центры. Заметим, что V — Х является вершиной Р, ячейки Вороного, содержащей начало координат. Мы нумеровали вершины Р перестановками в предложении 3.2.6. Пусть ж' — перестановка, отвечающая V — Х Е Р. Аналогично введём ж''. Как связаны ж1 и ж''? Во-первых, они различны, потому что = V — Х = V — Х' = . Во-вторых, если Р — Х = Рв', то Х' — Х является внешней нормалью к гиперграни Р$> многогранника Р, построенной в доказательстве предложения 3.2.7, части (2). Нам известно, что уп> — ( Х' — Х) = IV, и, используя часть (4) предложения 3.2.7, мы заключаем, что ж'' получается из ж' посредством какого-то циклического сдвига значений. Поэтому все пермутоэдры разбиения Вороного, прилежащие к V, отвечают разным сдвигам одной перестановки {0,1,... , п}. Их не более п + 1, а значит, мы доказали, что а — симплекс.

Построим теперь Qa для симплекса а, взятого из триангуляции Делоне Т. Пусть

V — вершина замощения пермутоэдрами, соответствующая а. Пусть Х Е Л — вершина а. Мы хотим показать, что среди рёбер а, инцидентных Х, ровно два имеют единичную длину, одно из них направлено вдоль какого-то и^, а другое направлено против какого-то другого Uj. Пусть ж — перестановка {0,1,... ,п}, отвечающая вершине V — Х пермутоэдра Р. В соответствии с частью (3) предложения 3.2.7 существуют ровно две гиперграни

Р, содержащие vж и конгруэнтные (п — 1)-мерному пермутоэдру. Они отвечают парам ({т(0)}, [т(1),... , т(п)}) и ({т(0),... , т(п — 1)}, [т(п)}). Эти две гиперграни соответствуют кратчайшим рёбрам а, направленным, скажем, вдоль ui и вдоль —Uj. Из части (4) предложения 3.2.7 мы заключаем, что вершины ьж — щ и ьж + Uj пермутоэдра Р отвечают левому и правому циклическому сдвигу т. Отметим все такие (ориентированные вдоль ±Uo,... , ±un) найденные нами рёбра а, по всем вершинам Л симплекса а. Они образуют семейство ориентированных циклов, проходящих через каждую вершину Л Е а ровно единожды. Мы утверждаем, что это семейство состоит из одного цикла. Чтобы это увидеть, пройдём по одному из циклу семейства, следя за перестановкой т , отвечающей текущей вершине а. Эти перестановки циклически сдвигаются, как было описано выше. Поэтому этот цикл состоит из (п +1) отрезков, и лемма доказана. □

3.3. Случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами

Следующее неравенство представляет собой частный случай гипотезы Витербо:

для любых выпуклых тел К, Т. В этом параграфе будут предъявлены примеры многогранников К,Т, для которых неравенство (3.3.1) обращается в равенство. Гипотетически все эти примеры могут оказаться симплектическими шарами, однако ни одно такое утверждение доказано пока не было.

Первая серия примеров происходит из гипотезы Малера. Как мы видели в параграфе 3.1, симметричная версия гипотезы Малера следует из неравенства (3.3.1), поэтому любой минимизатор К в гипотезе Малера автоматически порождает минимизатор (К, Т = К°) в гипотезе Витербо. Известные минимизаторы в гипотезе Малера — многогранники Ханнера, определение которым будет дано в параграфе 3.6. Здесь же мы обсудим другое, несимметричное семейство примеров.

Рассмотрим правильный симплекс Ап = еопу{ у0,..., уп} С Кп, центрированный в начале координат и нормированный так, что все его рёбра имеют единичную (евклидову) длину. Рассмотрим также пермутоэдр Рп С Кп в соответствии с определением 3.2.2:

(3.3.1)

0<i<j<n

Главный результат этого параграфа — следующая

Теорема 3.3.1 ([12]). В конфигурации Рп х А° кратчайшая обобщённая бильярдная траектория имеет длину ( Рп) = (п +1)2. Более того, X = Рп х АП доставляет равенство в гипотезе Витербо (когда Рп и А°п лежат в лагранжевых подпространствах).

Заметим, что эта теорема следовала бы немедленно из утвердительного ответа на такой вопрос:

Вопрос 3.3.2. Является ли Рп х А°п симплектическим шаром? А именно, является ли внутренность Рп х Ап симплектоморфным образом евклидова шара подходящего объёма?

Мы не знаем ответа уже в случае п = 2.

Чтобы доказать теорему 3.3.1, мы непосредственно вычислим £до ( Рп) = снг(Рп х А°п) и проверим равенство:

Л( Р V Л°) (Рп хАп)п уо!( Рп х Ап) =-

п!

Объём симплекса vol Ап = 20+1 подсчитать легко; малеровское произведение объ-

1 Л 1 Ло (п+1)п+1 п л о 2п/2(п+1)п+1/2 ^ ■■

ёмов vol Ап • vol Ап = (J)2— хорошо известно; поэтому vol Ап = -~п\-. Объём

vol Рп = (п+11/2 1 уже был вычислен (предложение 3.2.5). Необходимо подсчитать ёмкость в правой части.

Предложение 3.3.3. В обозначениях выше

CHZ (Рп х Ап) = (п +1)2.

В доказательстве будем пользоваться характеризацией Бездека-Бездека. Пермутоэдр рассматривается как бильярдный стол, а геометрия длин и отражений задана несимметричной нормой с единичным телом А п.

Рассмотрим следующую 2-периодическую траекторию: возьмём центры т1,т2 двух противоположных гиперграней Рп, конгруэнтных Рп-1. Замкнутая двухзвенная ломаная т1 ^ т2 ^ т1 не может быть перенесена во внутренность пермутоэдра, так как является двукратным обходом его ширины. Нормированная Ап-длина этой ломаной равна (п + 1)2, и мы получаем оценку на ёмкость сверху: chz(Рп X Ап) < (п + 1)2.

Чтобы доказать оценку снизу, рассмотрим произвольную замкнутую ломаную, не помещающуюся в int Рп и покажем, что её Ап-длина не может быть меньше (п + 1)2.

Заменим каждый отрезок [ д, д'] этой ломаной на фрагмент той же Д„-длины, но со звеньями, направленными вдоль у0, ... , Уп. Это может быть сделано следующим образом. Рассмотрим тот выпуклый конус

С] = ров{{ Ьо, ..., у,п} \ {V] }},

в котором лежит вектор д' — д. Такой конус С] существует, потому что многогранный веер

п

и Сг покрывает всё К2п. Затем разложим д' — д = ^ акУк, где а к > 0. Заменим

г=0 0<к<п, к=]

[ д, д'] на ломаную со звеньями, конгруэнтными а^. Её Д„-длина равна Д„-длине д' — д, потому что функция нормы линейна на С].

Теперь мы имеем ломаную, использующую не более п + 1 направлений. Пусть её звенья конгруэнтны а1 У]1,... ,атУ]т. Суммарная Дп-длина всех звеньев фиксированного

направления уг пропорциональна У] а к. Заметим, что ^ уг = 0 — единственная линейная

]к=г г

т

зависимость между направлениями, поэтому соотношение ^ акУ]к = 0 получается из

к=1

= 0 умножением на число. В этой связи суммарная Дп-длина отрезков ломаной вдоль г не зависит от . Предположим противное к той оценке на длину, которую мы доказываем: пусть суммарная длина звеньев вдоль уг меньше п + 1. Необходимо показать, что такая ломаная вмещается в меньший гомотет Рп, это приведёт нас к противоречию. Сформулируем это как лемму.

Лемма 3.3.4. Предположим, что замкнутая ломаная состоит из звеньев, направленных только лишь вдоль у0,..., уп. Предположим также, что суммарная Дп-длина всех звеньев вдоль уг равняется п +1 для каждого г = 0,1,... ,п. Такая ломаная не может, быть накрыта сдвигом Рп.

Доказательство. Доказательство индукцией по п. База п =1 очевидна.

Выберем ортонормированный базис (е 1,... , еп) с вектором еп, направленным к точке у0. Будем считать, что базисный вектор еп смотрит «наверх», а ортогональные еп гиперграни будем считать «горизонтальными». Заметим, что верхняя горизонтальная грань Р пермутоэдра Рп конгруэнтна копии Рп-1, положенной горизонтально в Кп. В явном виде:

Р = пУо + ^ [уг, V] ].

1< г<]]<п

Пусть Q = д0 ^ д1 ^ ... ^ дт-1 ^ дт = д0 — ломаная как в условии леммы, и пусть д0 — верхний (имеющий наибольшую координату вдоль еп) узел Q. Введём параметриза-

цию д : [0, п + 1] ^ < так, что точка д(Ь) пробегает < с постоянной скоростью (п + 1). Без потери общности д(0) = д(п + 1) = д0.

Рассмотрим линейное преобразование, заданное в базисе (е0,..., еп) матрицей

И+Г 0

0 А

0 0

\

V

0 0

-+г 0

п+1

0

1

/

и обозначим через Q образ Q при этом стягивании. Пусть ?(•) — параметризация (<, отвечающая параметризации д(Ь) ломаной Пусть г!^ — образ у.1. Заметим, что (п +1)г^ = ^ — у0 при 1 < г < п.

Теперь рассмотрим сумму Минковского

я = р + < = и (р +

*е[о,п+1]

Утверждается, что < может быть накрыта множеством Я (см. рисунок 3.4). Мы предъявим ^ € Кп такой, что д({) € Р + э + для всех ¿. Вертикальная компонента (в, еп) = — п+т |определяется соотношением д(Ь) € Р + 5 + ?(£). Нужно подобрать горизонтальную компоненту 5, чтобы удовлетворить соотношению д(Ь) € Р + 5 + ?(£).

Пусть Н = Мп-1 х {0} — горизонтальное подпространство Кп. Пусть ж : Кп ^ Н — ортогональная проекция. Наделим Н нормой с единичным телом Ап-1 = сопу{ж(?; 1),... ,ж(ьп)}. Отождествим Рп-1 с ж (Р) = ^ [ж(Юу)] С Н. Рас-

1<i < ]<п

смотрим ломаную д(Ь) — д(Ь), где Ь € [0, п +1]. Когда д(Ь) движется вдоль направления 1 < г < п, д(Ь) — движется вдоль ж(Когда д(Ь) движется вдоль направления ь0, д(Ь) — д(Ь) стоит на месте. Суммарное время, в течение которого д(Ь) движется вдоль у0 равно 1 (из п + 1). Заменим параметризацию ломаной д(Ь) — д^), пропуская все отрезки времени, в течение которых точка д(Ь) — д(Ь) неподвижна. Таким образом мы получим ломаную д'(Ь), где Ь € [0,п]. Несколько наблюдений:

д'(Ь) € Н для всех Ь € [0, п];

• если мы измеряем длины в Н посредством Ап-1-нормы, то д'^) движется с постоянной скоростью п;

• </(£) движется только вдоль выделенных направлений ж(у1),... , ж(ип).

Следовательно, мы можем применить индукционное предположение: существует й' Е Н такое, что (/(¿) Е Рп-1 + 5' для всех Ь Е [0,п]. Поэтому, q(t) — Е Рп-1 + 5' для всех г Е [0,п + 1].

Наконец, положим s = s' — п+гу0 Е Rn. Тогда получим

п + 1

q(t) Е Рп-Х + s' + q(t) = F--— Vq + s' + q(t) = F + s + q(t)

так что Q С R + s.

Рис. 3.4. R покрывает Q

Следующий шаг — покрыть множество R сдвигом Рп (см. рисунок 3.5). Чтобы сделать это, рассмотрим координаты ((¡1(t),..., qn(t)) точки q(t) в базисе щ,... ,vn. Сдвинем QQ (и R = F + Q соответствующим образом) так, что для любого %

min (¡i (t) = 0.

te[0,n+i]

Утверждается, что R С Рп после такого сдвига. В самом деле, любая точка R может быть записана в виде

п

/ + №) = / + ^ Ш^, i=1

для некоторых Ь € [0,п + 1] и / € Р. Из предположений леммы следует, что € [0, п + 1].

Значит, точка ^ принадлежит сумме Минковского негоризонтальных отрезков

i=1

£[°, (п + 1)^] = £(К Vi] - Vо)

i=1

i=1

Следовательно,

/ + £ (ii(t)iJi eF + £«» 0, Vi ] - *o)= £ bi, Vj ]+£[v0, Vi ] = pn,

i=1

что и требовалось.

i=1

1<i < j<n

i=1

□

Рис. 3.5. Pn покрывает R

Замечание 3.3.5. Анонимный рецензент статьи [12] обратил внимание, что пример дву-звенной траектории в конфигурации Pn х АП даёт оценку сверху не только на ёмкость Хофера-Цендера, но и на цилиндрическую ёмкость (верхнюю ёмкость Громова) c(Pn х АП) (детали этого рассуждения можно найти в [7, Remark 4.2]). В силу цепочки неравенств

(п + 1)2 < CHZ(Pn х А°п) < c(Pn х А°п) < (п + 1)2,

все ёмкости в диапазоне между cHZ и с совпадают на лагранжевом произведении Pn х An. Следовательно, равенство в (3.3.1) достигается на X = Pn х An и любой симплектической ёмкости больше, чем ёмкость Хофера-Цендера.

3.4. Случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с графическими зонотопами

В этом параграфе мы немного обобщаем семейство примеров «пермутоэдр х симплекс», описанных в параграфе 3.3. Пермутоэдр будет заменён на более общее семейство графических зонотопов. Эти зонотопы возникают как ячейки Вороного так называемых кографических зонотопальных решёток, важных в теории ориентированных матроидов (см. [44, Section 3.5]). В частности, графические зонотопы являются параллелоэдрами, то есть допускают замощение пространства параллельными переносами. В размерности три графические зонотопы перечисляют все пять типов зонотопов-параллелоэдров (параллелепипед, шестиугольная призма, ромбододекаэдр, удлинённый ромбододекаэдр, усечённый октаэдр), однако в размерностях > 4 графических зонотопов строго меньше, чем зоното-пов-параллелоэдров.

Определение 3.4.1. Рассмотрим правильный симплекс Ап = conv{v0,... , vn} С Rn, центрированный в начале координат и нормированный так, что все его рёбра имеют единичную (евклидову) длину. Зафиксируем произвольный связный граф G = (V, Е) на множестве вершин V = {0,1,...,п}. Графический зонотоп PG С Rn определяется как сумма Минковского тех рёбер симплекса, которые присутствуют в графе G:

Из условия связности С следует, что зонотоп Рс полноразмерный. Если С — дерево, то Рс — параллелотоп (многомерный параллелепипед). Если С — клика, то Рс — пермутоэдр. Случай пермутоэдра универсален в том смысле, что любой графический зонотоп может быть получен из пермутоэдра стягиванием рёбер. Мы докажем, что любой графический зонотоп можно (лагранжево) умножить на подходящий симплекс, так что произведение будет доставлять равенство в гипотезе Витербо. Доказательство для пермутоэдра уже было дано в параграфе 3.3, и в текущем параграфе мы укажем, как скорректировать то доказательство для случая общего графического зонотопа.

Определим симплекс Дс С Кп как выпуклую оболочку векторов

Легко проверить, что симплекс Д с имеет своим центром тяжести начало координат. В частности, его можно рассматривать как единичное тело несимметричной нормы || • ||до .

PG = Y1 V3

{i ,i}eE

Если С — клика, то Дс = (п + 1)Дп, и в этом случае мы уже знаем из теоремы 3.3.1, что Рс х Дс доставляет равенство в гипотезе Витербо.

Теорема 3.4.2. Пусть С — произвольный связный граф на множестве вершин {0,1,...,п}. Лагранжево произведение X = Рс х Дс графического зонотопа на подходящий симплекс доставляет равенство в гипотезе Витербо, то есть

снг(Рс х Д°с)п с(Рс х Д°с)п

ус1( Рс х Дс)

п! п!

Вначале мы вычислим снг(Рс х Дс)п = (Рс) = п +1. Как и ранее, окажется, что есть пример двузвенной бильярдной траектории минимальной длины, и отсюда будет следовать результат про верхнюю ёмкость (см. замечание 3.3.5).

Без потери общности будем считать, что удаление вершины 0 (с инцидентными рёбрами) из графа С не разрушает связность (иначе перенумеруем вершины, чтобы 0 стал листом любого остовного дерева графа С). Иными словами, будем полагать связным граф С\0, определённый как индуцированный подграф графа С на вершинах {1,... ,п}. Будем считать, что вектор у0 смотрит «наверх», а ортогональные у0 гиперграни будем считать «горизонтальными». Верхняя горизонтальная грань Р зонотопа Рс конгруэнтна копии графического зонотопа Рс\п, положенной горизонтально в Кп. В явном виде:

Р = ¿Ьо + ^ [Ьг, ],

{г ¿}еЕ,г^>0

где й = degс 0 — степень вершины 0 в графе С. Пример двузвенной траектории, доказывающей оценку ( Рс) < п +1, строится как двукратный обход отрезка [/ — и0, /], где / Е Р — любая точка в верхней грани. Достаточно заметить, что / — и0 лежит в нижней грани зонотопа Рс, и что ||и0||д£ = 1, || —и0 ||д^ = п (так как начало координат находится в центре тяжести Дс).

Теперь нужно показать, что любая замкнутая ломаная Дс-длины меньше п+1 может быть помещена внутрь Рс при помощи параллельного переноса. Совершенно аналогично тому, как это было сделано в параграфе 3.3, можно ограничиться случаем, когда все звенья ломаной направлены лишь вдоль направлений и0,... ,ип. Остаётся доказать аналог леммы 3.3.4.

Лемма 3.4.3. Предположим, что замкнутая ломаная Ц состоит из звеньев, направленных только лишь вдоль и0,... ,ип. Предположим также, что суммарная Дс-длина

всех звеньев вдоль щ равняется 1 для каждого i = 0,1,... ,п. Такая ломаная не может быть накрыта сдвигом Pg.

Доказательство. Введём параметризацию q : [0, п +1] ^ Q ломаной так, что точка q(t) пробегает Q с постоянной единичной скоростью. Без потери общности q(0) = q(n + 1) — самый верхний узел ломаной.

Рассмотрим следующее преобразование (нелинейное на этот раз), которое принимает на вход ломаную Q и возвращает ломаную Q с параметризацией ?(•). Когда q(t) движется вдоль направления и0, заставим q(t) тоже двигаться вдоль и0. Когда q(t) движется вдоль направления щ, 1 < г < п, {0, г] Е Е, заставим q(t) двигаться вдоль направления vi — v0. Когда q(t) движется вдоль направления щ, 1 < г < п, {0, г] Е Е, заставим q(t) стоять на месте. Скорость движения q(t) на каждом участке выбирается такой, чтобы q(t) — q(t) имела фиксированную вертикальную координату. Это определяет Q с точностью до выбора значения д(0).

Утверждается, что Q можно накрыть сдвигом множества

R = F + Q = U (F +

ie[o,n+i]

Для этого точно так же, как и в лемме 3.3.4, можно показать, что ломаная q(t) — q(t) (лежащая в горизонтальном подпространстве) по предположению индукции накрывается сдвигом грани F, которая конгруэнтна зонотопу Pg\0. Для этой цели длины в горизонтальном подпространстве нужно измерять посредством нормы с единичным телом △ g\0 = conv{и1,... ,и'п], где Щ = (vi — vj) — направляющие вектора звеньев

1<j<n:{i ,j}e E

ломаной q(t) — q(t).

Следующий шаг — покрыть множество R сдвигом Pq. Рассмотрим координаты (q1(t),... ,qn(t)) точки q(t) в базисе (v 1 — v0,... , vn — 0). Сдвинем Q (и R = F + Q соответствующим образом) так, что для любого

min qdt) = 0. te[o,n+i]

Утверждается, что R С Pq после такого сдвига. В самом деле, любая точка R может быть записана в виде

n

/ + ?(*) = / + X ^ ( f)(v i — vo), i=1

для некоторых t Е [0, n +1] и f Е F. Из предположений леммы следует, что 0 < cfi(t) < 1. Более того, gi(i) = 0, если {0, i] Е Е (согласно конструкции ?(•)). Значит, точка

У] qi(t)(Vi — Vq) принадлежит сумме Минковского

i=1

У] [0, Vi — Vq] = ([^q, Vi] — Vq).

i:{0,i}eE i:{0,i}eE

Следовательно,

¡ + — уо) е Р + ([*>о, — ^о) = ^ К, ] + ^К, = Рс,

г=1 %:{0,%}£Е {г,]}£Е,г,]>0 г=1

что и требовалось. □

Для завершения доказательства теоремы 3.4.2 нужно вычислить объём произведения Рс х Дс.

Предложение 3.4.4.

(п + 1)п

vol(Рс х А°с)

п!

Доказательство. Для случая полного графа Кп+1 это вычисление уже было проведено в параграфе 3.3. Потому достаточно доказать, что

vol Рс vol Ас

vo1 ркп+1 vo1 АКп+1

для любого связного графа G.

Рассмотрим линейное преобразование А пространства Rn, отправляющее vi — vq в ui, 1 < i < п. (Здесь, как и ранее, vi обозначают вершины Ап = п+1Акп+1, а ui — вершины Ас.) Оно переводит Ап — vq в симплекс conv{0,M1,... ,ип}, объём которого равен n+i vol Ас, так как 0 — центр тяжести в Ас. Имеем:

vol Ас vol Ас det А

vol Акп+1 (п +l)n vol Ап (п +1)п-1' Если А = (ау)пj=1 в базисе (v]_,..., ьп), то

deg с г, если г = j; П3 = —1, если г = j, {г, j} Е Е; 0, если г = j, {г, j} Е Е.

Заметим, что эта матрица получается из лапласиана графа G вычеркиванием столбца и строки, отвечающих вершине 0. Из матричной теоремы Кирхгофа следует тогда, что det А равен количеству остовных деревьев в графе G. Известно, что графический зонотоп

можно разрезать на параллелотопы одинакового объёма, параметризуемые остовными деревьями графа (см. [43, Exercise 4.32] или [22, Section 2.3]). Поэтому объём графического зонотопа пропорционален количеству остовных деревьев в соответствующем графе. По теореме Кэли полный граф Кп+1 имеет (п + 1)п-1 остовных деревьев, и мы заключаем, что

vol PG _ det А vol РКп+1 _ (п +1)п-1 '

3.5. Бильярдные неравенства изопериметрического типа

В этом параграфе мы доказываем следующие очень частные случаи гипотезы Витер-

бо.

Теорема 3.5.1 ([12]). Пусть К С V = Еп — выпуклое тело. Пусть Ап С V* — симплекс. Тогда

1 tir (К хАп)П

vol( К х Дп) > —

п!

где К и Ап лежат в лагранжевых дополнительных подпространствах.

Теорема 3.5.2 ([12]). Пусть К С V = Еп — выпуклое тело. Пусть Пп С V* — параллелотоп (аффинный образ гиперкуба). Тогда

сНг (К х Пп)п

vol( К х Пп) >

П!

где К и Пп лежат в лагранжевых дополнительных подпространствах.

Последнюю теорему можно истрактовать как неулучшаемое неравенство изопериметрического типа для бильярдных траекторий в 1^-норме; равенство достигается на кросспо-литопе К = Пп:

(К) < 2 (п! уо1(К))1/п.

Аналогичным образом, первая теорема даёт неулучшаемое изопериметрическое неравенство для бильярдных траекторий в несимметричной || • ||дп-норме; равенство в нём достигается на пермутоэдре (и графических зонотопах).

В доказательстве теоремы 3.5.1 понадобится простое топологическое наблюдение.

Лемма 3.5.3. Пусть Т — триангуляция Мп с диаметрами симплексов, равномерно ограниченными сверху. Пусть Л — множество вершин в Т. Предположим, что всякий симплекс Т может быть накрыт сдвигом выпуклого тела К С Мп. Тогда любой сдвиг К задевает Л.

Доказательство. Пусть й Е М — оценка сверху на диаметры клеток триангуляции Т. Предположим, найдётся сдвиг К + t тела К, избегающий Л. Определим непрерывное векторное поле р : Мп ^ Мп следующим образом. Для каждой вершины Л Е Л положим у(Л) равным любому единичному вектору, который, будучи отложенным от точки Л, смотрим в направлении от К + t наружу. А именно, выберем любую гиперплоскость Н Э Л, не пересекающую К + £, и положим ъ>(Л) равным той нормали к Н, которая смотрит в полупространство, не содержащее К + 1 (см. рисунок 3.6, на котором проиллюстрирован двумерный случай). Затем продолжим ъ> аффинно на всё М п.

Рис. 3.6. Построение векторного поля у

Возьмём теперь большой шар В с центром в любой точке тела К +1, скажем, радиуса 100(й + ШашК). Тогда отображение -Щ\дв : дВ ^ Бп-1 имеет степень 1, а следовательно, существует х Е В такое, что и(х) = 0. Если х лежит в симплексе о триангуляции Т с вершинами у0,..., ип, то найдутся неотрицательные множители а0,... ,ап, не все равные нулю, такие что ^ агу (уг) = 0. Интуитивно это значит, что К + £ «заблокировано» внутри «клетки» о с «прутьями» . Покажем строго, что о не может быть накрыто сдвигом К.

Тело К + Ь на покрывает ни одну из вершин а. Выбор и(ьг) влечёт (и — уг, и(уг)) < 0 для всех и Е К + ¿. Предположим, найдётся сдвиг К + Ь + в, накрывающий а. Умножая в на и(ьг), получаем

п

^«¿(з, и(ьг)) = 0.

г=0

Отсюда (в, и(иг)) < 0 для какого-то г. Противоречие получается так:

0 = (ьг - Ьг, и(уг)) = ((^ - 5 ) — Ьг, V(+ (¿>, и(ьг)) < 0.

ек+г

Доказательство теоремы 3.5.1. Обе части неравенства, которые мы хотим доказать, «аффинно инвариантны» в следующем смысле:

• они инвариантны относительно параллельных переносов в V и V*;

они инвариантны относительно преобразований вида А х (А*) , действующих на V х V*, где А — линейное преобразование V.

Любой симплекс аффинно эквивалентен правильному, поэтому можем считать, что А°п = convjwo,... ,ип} — правильный симплекс, центрированный в начале координат, и |и0| = ... = l^nl = 1. Далее, отмасштабируем К так, чтобы chz(К х Ап) стало равно (п +1) (обе части доказываемого неравенства умножатся на одно и то же число).

Рассмотрим решётку Л, порождённую векторами и0,... ,ип; вспомним, что Л — гомотетичная копия А^, а её ячейка Вороного Р (с центром в нуле) конгруэнтна ^г1>+пРп (см. определение 3.2.3). Мы докажем, что vol К > volP. Этого будет достаточно:

chz (Р X Ап)п (п + 1)га chz (к х Ап)п

vol( К х Ап) > vol(Р х Ап)

П! П! П!

Здесь использованы результаты параграфа 3.3. Заметим, что при нашем выборе масштаба Р равно в (п + 1) раз сжатой сумме Минковского рёбер А^, следовательно chz(Р х Ап) = п + 1 и то1(Р х Ага) = CHZ(р*Ап)п.

Итак, чтобы доказать vol К > volP, покажем, что

U ( Л + К) = R.

лел

Отсюда следует, что объём К не меньше объёма фундаментальной области Л, то есть vol Р.

Рассмотрим триангуляцию Делоне Т пространства Кп относительно Л. Для каждого симплекса о триангуляции Т мы привлекаем лемму 3.2.8, чтобы найти ломаную Qa длины п +1. Так как снг (К х Дп) = п +1, такая Qa может быть накрыта сдвигом К (по теореме 1.2.1). Следовательно, любой симплекс разбиения Т может быть накрыт транслятом К.

Предположим, что и ( Л+К) = Мп, то есть найдётся такой х Е Кп, что (х+Л)ПК = 0. лел

Таким образом мы нашли транслят К — х тела К, не задевающий Л, в то время как любой симплекс разбиения Т можт быть накрыт транслятом тела К. Это вступает в противоречие с леммой 3.5.3. □

Теорема 3.5.2 будет доказана индуктивно при помощи следующей леммы.

Лемма 3.5.4. Пусть Ь С Еп-1 — выпуклое тело. Предположим, уже установлено неравенство