Конечные геометрии, графы, их расширения и автоморфизмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Нирова, Марина Сефовна

• Нирова, Марина Сефовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нирова, Марина Сефовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Однородные расширения частичных геометрий и обобщенных четырехугольников

§ 1. Расширения частичных геометрий

§ 2. Вполне регулярные локально CQ(4, t) - графы

Глава 2. Графы с малыми значениями Ъг и локально циклические дистанционно регулярные графы

§ 3. Графы с Ь± = 6

§ 4. Сильно регулярные графы с Ь1 < 24

§ 5. Автоморфизмы дистанционно регулярных графов с не более

1000 вершинами

§ 6. Дистанционно регулярные графы с ц=1 и не более

вершинами

Глава 3. Плотные сферические схемы, 4-изорегулярные графы и их

автоморфизмы

§ 7. Сильно регулярные подграфы из Izo (г)

§ 8. Автоморфизмы сильно регулярных подграфов из Izo (г)

Глава 4. Вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно

регулярны с собственным значением 2, и небольшие сильно регулярные графы

§ 9. Графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2

§ 10. Автоморфизмы небольших сильно регулярных графов

Глава 5. Дистанционно регулярные графы с Х=2 и не более 4096 вершинами

§ 11. Графы с ц=1

§ 12. Графы с ц>1

Литература

Ь

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные геометрии, графы, их расширения и автоморфизмы»

Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а,Ь — вершины графа Г, то через (1(а,Ь) обозначается расстояние между а и Ь, а через Г\(а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии г от вершины а. Подграф Г^а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а1 обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Регулярным графом степени к называется граф Г, такой что для любой вершины и € Г выполняется равенство |Г(и)| = к. Реберно регулярным графом с параметрами (у, к, X) называется регулярный граф степени А; на у вершинах, любое ребро которого лежит точно в А треугольниках. Вполне регулярным графом с параметрами (у, к, А, ¡л) называется реберно регулярный граф с параметрами (у, к, А), в котором любые две вершины и, и) £ Г на расстоянии 2 имеют ровно /л общих соседей. Сильно регулярным графом с параметрами (у, к, А, называется реберно регулярный граф с параметрами (у, к, А), в котором любые две несмежные вершины «, ш 6 Г имеют ровно /л общих соседей.

Если вершины и, и) находятся на расстоянии г в Г, то через ¿¡(и, го) (через сг(и,и1)) обозначим число вершин в пересечении (в пере-

сечении Г,_1(«)) с [ги]. Дистанционно регулярным графом называется граф, в котором параметры Ь,(и, ш) и ш) не зависят от вершин и>, а зависят только от расстояния на котором эти вершины находятся в графе Г.

Заметим, что сильно регулярный граф с ц > 0 является дистанционно регулярным графом диаметра 2, а дистанционно регулярный граф с с1> 2 — вполне регулярным графом с к = Ьо, А = к — — 1 и /х = С2-

Поскольку каждый дистанционно регулярный граф является вполне регулярным графом (в частности, реберно регулярным графом), то некоторые результаты об этих классах графов могут быть использованы в теории дистанционно регулярных графов.

Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется

а-частичной геометрией порядка (б,£), если каждая прямая содержит ровно 5+1 точку, каждая точка лежит ровно на I + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем но одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой Ь, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих Ь (обозначение ¿)). Если а = 1, то геометрия назы-

вается обобщенным четырехугольником и обозначается ССд(з^). Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (коллинеарны). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии £) сильно регулярен с параметрами:

V = (з + 1)(1 + 84/а), к = + 1), Л = (б--1) +(а-1)4, // = а(£ + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел а, в, £ называется псевдогеометргтеским графом для £).

В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп автоморфизмами конечных геометрий. Перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивно на некоторой геометрии, и геометрии этого класса можно классифицировать. Например, класс билдиштш Титса характеризует группы лиева типа [1|. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов

И-

Пусть С? — транзитивная группа подстановок на множестве П. Если стабилизатор Ср точки р € Г2 имеет г орбит, то говорят, что С—группа ранга г. Пусть г = 3 и соответствующие 3 орбиты—это {р}, Д,Е. Если А и £ содержат разное число элементов, то на множестве можно построить сильно регулярный граф Г. Для этого положим Г(р) = А, и для каждого д € С вершина рд смежна со всеми вершинами из А9. Если вместо А здесь взять Е, то мы получим дополнительный сильно регулярный граф.

Д. Хигмен (см. [3], [4]) развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, причем они действуют транзитивно как на множестве вершин и ребер, так и на множестве пар различных несмежных вершин. Такие графы являются дистанционно транзитивными графами диаметра 2.

Грае}) Г диаметра <1 называется дистанционно транзитивным, если для любого г € {0,..., (1} группа Ai.it Г действует транзптпвно на {(и,и;) | //, (/; € Г и (1{и,11>) = ¿}. Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Около половины спорадических групп могут

быть представлены как группы автоморфизмов графов ранга 3 [5|.

Пусть задан класс графов Т. Мы скажем, что граф Г является локально Т-графом, если для любой вершины а £ Г имеем Г(а) G Т. Можно поставить задачу описания локально ^"-графов. Если граф Г вер-шинно транзитивен, то окрестности всех его вершин изоморфны, и граф Г является локально ^-графом, где Т состоит из графов, изоморфных некоторому графу Д. В этом случае назовем Г локально А-графом. В более общем случае Т может быть классом графов, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, класс связных, реберно регулярных графов — это в точности класс связных, локально регулярных графов.

Определим несколько сильно регулярных графов, которые будут фигурировать в диссертации, а также являются примерами локально Д-графов.

Пусть М и N—конечные множества порядка т и п, соответственно. Два элемента из М х N будем считать смежными, если они различаются точно в одной координате. Полученный граф называется т х п-решеткой; при т — п он сильно регулярен с параметрами (п2, 2(п — 1),п-2,2).

Треугольным графом Т(п) называется граф 2-подмножеств множества порядка п, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются в точности по одной точке. Граф Т{п) также сильно регулярен и имеет параметры (п(п—1)/2, 2(п—2), п—2,4). Окрестность каждой вершины в Т{п) изоморфна 2 х (п — 2)-решетке, т.е. Т(п)— локально 2 х (п - 2)-решетка.

Единственный сильно регулярный граф с параметрами (27,16,10,8) называется графом Шлефли. Единственный сильно регулярный граф с параметрами (16,10, 6, 6) называется графом Клебша. Граф Шлефли является локально графом Клебша.

В главе 1 получено описание параметров сильно (s — 2)-однородных расширений частичных геометрий pGa(s, t) и классифицированы дистанционно регулярные локально GQ(A, ¿)-графы.

В кандидатской диссертации M.G. Нировой классифицированы s-одно-родные и сильно (s — 1)-однородпые расширения частичных геометрий pGa{s,t) (см. [6]).

Пара («, ¡j) частичной геометрии (Р, £) называется флагом, если точка а принадлежит прямой L, и антифлагом в противном случае. Если (a, L) является антифлагом, то через /(a, L) обозначим число точек в L, коллинеарных а. Геометрия называется ^-однородной, если для любого аптифлага (a, L) число /(а, L) равно 0 или ip, и сильно «^-однородной, если это число всегда равно <р. Геометрия pGt(s, I) является сетью, а

pGH (-i(s, l) являе тся 2-схемой с Л = 1. Если S — частичная геометрия pGa(s,t), то двойственная геометрия (£,Р), в которой каждая точка отождествляется с пучком проходящих через нее прямых, является частичной геометрией pGa(t,s).

В параграфе 1 получено описание параметров сильно (s—2)-однородных расширений частичных геометрий pGa(s, t)

Теорема 1.1. Пусть <5 — сильно (s—2)-однородная геометрия EpGa(s, t), Г = Г(с>). Тогда либо геометрия S является расширением двойственной 2-схемы pGt+i(2t + 2,t), Г — псевдогеометрический граф для сети рСг«(2£ + 3, 21) и дополнительный граф к блочному графу является псевдогеометрическим графом для pGi+o(2£ + 3, t2 + 21), либо выполняется одно из следующих утверждений:

(1) а = 1, Г — псевдогеометрический граф для pGß(9,8), рС2(5,8), pGi(7,2'\), pGö(9,32) или pG\o{l'S, 120) и геометрия S — это EGQ(8,1), EGQ(4,2), EGQ(6,4), EGQ(8,4) или EGQ( 12,10) соответственно;

(2) I = a > 1, Г является псевдогеомелприческим графом для рСй(9,8) и геометрия S — это EpGt(8, £) для некоторого t G {2,..., 5};

(3) Г пссвдогеом,етр(1ческий граф длярСз(6, 20), pG^(7, 3), pG,i(7, 4), pG.,(7,8) или pG4(7,20) i(5- это EpG2{5,8), EpG2(6,1), EpG3(6,2), EpGs(6,4) или EpGs(6,10) соответственно;

(4) Г является псевдогеометрическим графом для pGs(8,140), pGe(9, 56),pG6(9,8r) (?• G {2,4}), pGa(9, 2t) (t G {3,7,13}), pG0(9,32), pG8(ll, 40), pGs(ll,95) wupGs(H,2ii) (и G {4,16}) и геометрияБ — это EpG4(7,80), EpG2(8,14), EpGz(8,3r), EpG4(8,t), EpG5{8,20), EpG3(lO, 12), EpGA{ 10, 38) или EpGs(10, и) соответственно;

(5) 10 < s < 20, Г — псевдогеометрический граф для одной из геометрий рСа(12, 99), pGi2(15, 56), pG12(15,16), pGi2(15,26), pGi5(18,170), pGi6(19,56))pG17(20,323),pGi8(211150) или pGi8(21,24) uS - EpGn( 11, 9cv) (a G {3,4,6}), EpGa( 14,4a) (a G {2,3,5,9}), EpG7{U,8), EpG7( 14,13), EpGa{ 17,10a) (a G {2,3,8}), EpG9( 18, 28), EpGa( 19,17ct), a G {3,10,13}, EpGe(20,45) или EpGi5(20,18) соответственно;

(6) 20 < s < 40, Г — псевдогеометрический граф для одной из геометрий pG32(35,136), pG32(35,136), pG\¡2(35,136) wiupG^ib, 104) uS — это одна из геометрий EpG\\{34,44), EpG2&{№,112), EpG7(34,28) или Z2pGi7(34, 52) соответственно;

(7) 40 < б', Г является псевдогеометрическим графом для pG,is(51,880) или 7^48 (51, 200) — одна из геометрий /?pG15(50,264) гыи EpGa(50,4a) (a G {3,8, 23,33}) соответственно.

В работе Ф.Бюкенхаута и К.Юбо [7] рассматривается задача классификации локально полярных пространств, в частности, локально GQ(s, £)-

графов. Там же получено решение этой задачи в случае s = 2.

В случае s = 3 описание локально GQ(s, ¿)-графов завершено в работе A.A. Махнева [8].

В случае s = 4 известны вполне регулярные локально GQ(4, £)-графы для t Е {2,4,6,8,11,16} (см. [9-14]). Кроме того, известны сильно регулярные локально GQ(4, £)-графы [15].

В параграфе 2 изучены вполне регулярные локально GQ(4, ¿)-графы, t Е {1,12}. Тем самым завершена классификация дистанционно регулярных локально GQ(4, £)-графов.

Теорема 1.2. Пусть Г — связный вполне регулярный локально GQ(4,12)-граф с параметрами (v, fc, А, ц). Тогда диалгетр Г равен 3 и ц Е {56, 60, 64, 70,80,84}.

Следствие 1.1. ПустьТ — дистанционно регулярный локально GQ{4,t)~ граф. Тогда выполняется одно из утверждений:

(1) t = 1, либо ц = 4 и Г — граф Джонсона J(10,5) или его стандартное частное, либо \х = 8 и Г имеет массив пересечений {25,16,1; 1,8, 25};

(2) t = 2, Г — граф с параметрами (126,45,12,18) на множестве векторов нормы 1 в 6-мерном ортогональном пространстве типа "— " над GF(3) или Г — единственный локально СС](4,2)-граф с массивом пересечений {45,32,12,1; 1,6,32,45};

(3) t = 6, Г имеет параметры (726,125,28,20) или Г — граф с массивом пересечений {125,96,1; 1,48,125}.

Для реберно регулярного графа с параметрами (v, к, А) параметр Ь\ равен к—А—1. Глава 2 посвящена изучению графов с малыми значениями bi и локально циклических дистанционно регулярные графов с числом вершин, не большим 1000.

Хорошо известно, что связный граф с £»i = 1 является многоугольником или полным многодольным графом с долями порядка 2. Вполне регулярные графы с 2 < < 5 изучены в [16-18]. Если Ь\ = 6, то наиболее сложный случай возникает при к = 10, А = 3. Этот случай изучается в параграфе 3.

Пусть Г — связный граф, в котором окрестности вершин изоморфны графу Петерсена. Тогда [2, теорема 1.16.5] Г является дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {10, 6; 1, 6} (граф Т{7)), {10,6,4,1; 1,2,6,10} (граф Конвея-Смита) или {10, 6,4; 1, 2, 5} (граф До-ро).

Теорема 2.1. Пусть Г — связный вполне регулярный граф с параметрами (v, 10,3,/х). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) диаметр Г равен 2 и Г является дополнительным графом к треугольному графу Т(7) или одним из десяти графов с параметрами (28,10, 3,4);

(2) fi = 3, диаметр Г равен 3 и 34 < v < 37;

(3) ß = 2 и Г является графом Конвея-Смита или графом Доро.

Из теоремы 2.1 и результатов [19] вытекает классификация вполне регулярных графов с Ь\ = 6.

Следствие 2.1. Пусть Г — связный вполне регулярный граф с Ъ\ = 6. Тогда Г является одним из следующих графов:

(1) полный многодольный граф Кгх7, граф с параметрами (25,12, 5,6), 7 х 7-решетка, треугольный граф Т(9), дополнительный граф к 5 х 5-решетке или к треугольному графу Т(7), граф Хофмана-Синглтона или его дополнение, граф с параметрами (26,10,3,4) или его дополнение;

(2) полный двудольный граф К^8 <■ удаленным максимальным паросо-четанием, граф Тэйлора с параметрами (28,13, 6, 6), в котором окрестности вершин изоморфны графу Пэли Р( 13) или граф Тэйлора с параметрами (32,15,8,6), в котором окрестности вершин изоморфны треугольному графу Т(6);

(3) ¡i — 1, окрестность каждой вершины является 7-кокликой, или объединением изолированных п-клик для п = 2,3 или 6;

(4) ß = 2 и либо

(г) Г является ректаграфом с v < 27 и диаметра, не большего 7 (в случае v = 27 или d(Г) = 7 граф Г является 7-кубом), либо

(ii) окрестность каждой вершины в Г является объединением четырех изолированных ребер, либо

(ш) Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9,6,1; 1,2,9}, граф Конвея-Смита или граф Доро;

(5) ц — 3 и либо

(г) Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {8, 6,1; 1,3, 8}, либо

(ii) Г — локально девятиугольный граф диаметра 3, каждый /2-подграф является 3-кокликой или объединением изолированной вершины и ребра, Ь2(и,х) < 3 для любых вершин и,х с d(u,x) = 2 и |Г3(?л)| < 10, либо

(гii) к = 10, диаметр Г равен 3 и 34 < v < 37, либо (iv) к = 11, диалшпр Г равен 3, v = 36 и Гз(и) является 2-кликой для некоторой вершины и;

(6) ß = 4 и Г — граф Джонсона J(7,3).

Хотя вполне регулярные графы с малыми значениями параметра Ь\

удалось классифицировать только для b\ < G, но сильно регулярные графы удалось изучить до Ъ\ < 23.

В параграфе 4 изучаются сильно регулярные графы с Ь\ < 24.

Графом Джонсона J(n, тп) называется граф, вершинами которого являются m-элементные подмножества данного n-элементного множества, причем две вершины а, Ь смежны, только если \а П b\ = т — 1. Графом Хсмминга Н(п, т) называется граф, вершинами которого являются элементы из Хп, где |Х| = т и две вершины смежны, только если расстояние Хемминга между ними равно 1. Граф Пэли P(q) в качестве вершин имеет элементы поля Fq, q = 1 (mod 4), и две вершины a, b смежны, только если Ь — а является ненулевым квадратом в Fq. Граф Петерсена — это дополнительный граф для треугольного графа Т(5) (он имеет параметры (10,3,0,1)). Граф Шрикханде — это единственный сильно регулярный локально шестиугольный граф с параметрами (16,6,2,2). Имеется точно 3 сильно регулярных графа, имеющих параметры графа Т(8), но не изоморфных Т(8). Эти графы называются графами Чанга.

Сильно регулярные графы с собственным значением —2 были классифицированы Зейделем [2, теорема 3.12.4]. Любой зейделев граф — это либо полный многодольный граф Кгхо, либо решетчатый или треугольный грае]), либо один из графов Шрикханде, Чанга, Петерсена, Клебша или Шлефли.

Теорема 2.2. Пусть Г является сильно регулярным графом с 0 < bi < 24. Тогда Г — граф из следующего списка:

(1) граф с параметрами (4¿>i + 1,2b\, bi — 1, b\), bi ф {5, 8,14,17,19, 23} или полный многодольный граф Krx(bi+i)i

(2) зейделев граф или его дополнение;

(3) псевдогеометрический граф для GQ(s,t), {s, t} G {{2, 2}, {2, 4}. {3,3}, {3,5}, {4,4}, {6,3}} или его дополнение;

(4) псевдогеометрический граф для сети pGt(s,t), где либо t = 2, s = 3,4,5,..., 12, либо t = 3, s = 4,5, ...,9, либо t = 4, s — 6,7,8, либо t = 5, s = 8, либо t = s — 2, s = 7,8,9;

(5) псевдогеометрический граф длярС2(4, t) (t = 3,7), pGo(5, 5), рСз(в,

2) (s = 5,6,8,9,12Л PG3(5,7), pG4(7,2), pG4(7,3), pC4(8,3), PGS(9,3), pG5(14,2), pG6(8,5), pG6(15, 2), pG8( 15,2), pGa(18,2), pGg(15,3), pG10(15,

3), pGH(20,3), pG15(24, 2), pGls( 19,3) или pG20(24,3);

(6) дополнительный граф либо к графу из пункта (5), либо к псевдо-геометричсскому графу для GQ(4, (i);

(7) граф с параметрами (50,7,0,1), (56,10,0,2), (77,16,0,4), (81, 20,1, С), (82,36,15,16), (85,30,11,10), (85,14,3,2), (99,14,1,2), (100,33,14,9), (100, 22, 0, 6), (126, 25,8,4), (136,30,8, 6), (162,23,4,3), (243, 22,1,2), (300,

26,4,2), или (400,21,2, 1);

(8) дополнительный граф для графа из пункта (7).

В параграфе 5 изучаются дистанционно регулярные локально циклические графы.

В.П. Буриченко и А.А. Махнев [20] нашли массивы пересечений дистанционно регулярных локально циклических графов с числом вершин не большим 1000. В [21] найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярных локально циклических графов с числом вершин не большим 1000.

Предложение 2.1. Пусть Г является дистанционно регулярным графом диаметра, болъгиего 1, на V < 1000 вершинах. Если А = 2 и ц > 1, то либо Г имеет массив пересечений графа Хэмминга Н(п,'6), п = 3, 4, 5, 6, либо верно одно из утверждений:

(1) Г примитивный граф с лшссивом пересечений {15,12, 6; 1, 2,10}, {19,16, 8; 1, 2,8}, {24, 21, 3; 1, 3,18}, {35, 32,8; 1, 2, 28}, {51, 48, 8; 1, 4, 36};

(2) Г — антиподальиый граф <: // 2 и массивом, пересечений {2г + 1,2г-2,1; 1,2,2г + 1}, г € {3,4,...,21} - {10,16} и V = 2г(г + 1);

(3) Г — антиподальный граф с ц > 3 и массивом пересечений

{15,12,1; 1, 4,15}, {18,15,1; 1, 5,18}, {27, 24,1; 1, 8, 27}, {35, 32,1; 1, 4, 35}, {45,42,1;1,6,45}, {42,39,1;1,3,42}, {75,72,1;1,12,75}.

В [22-25] найдены возможные простые порядки автоморфизмов графов с 4 первыми массивами пересечений из пункта (1) заключения предложения. В параграфе 2.3 изучаются автоморфизмы гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {51,48,8; 1,4,36}. Тем самым завершается описание автоморфизмов графов из пункта (1) заключения предложения. Ни один из этих графов не является реберно симметричным.

Граф с массивом пересечений {51,48,8; 1,4,36} имеет у = 1 + 51 + 612 + 136 = 800 вершин и спектр 511, II102,3'125, -9272, причем Г2 — сильно регулярный граф с параметрами (800,612,468,468) и неглавными собственными значениями 12,-12.

Теорема 2.3. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {51,48, 8; 1, 4, 36}, С = Аи^Г), д — элемент %13 С простого порядка р и П = ¥\х(д). Тогда 7г(С) С {2,3,5,17} и выполняются следующие утверждения:

(1) Г2 — пустой граф и либо

(г) р = 5, ах(д) = 400 + 100/ - бОя, а2(д) = 120в и а3(д) = 400 -100/ — 60в, либо

(ü) p = 2, <*i (g) = 400 + 40r - 241, a2(g) = 481 и a3(g) = 400 - 40r -

(2) p = 17, |fi| = 1, a2(g) = 204 и либо аг(д) = 595, a3 (у) = 0, либо ai(g) = 255 и a3(g) = 340;

(3) p = 3, либо

(г) 2 < |Г2| < 14 ti Q состоит из вершин попарно находящихся на расстоянии 3, либо

(гг) 14 < |П| < 62, либо

(ш) а3(д) = 0, аг{д) = 120г+40-5ао(з), а2{д) = 760+4ao(ff)-120r и 65 < |fi| < 98;

(4) р — 2, |Q| четно и либо

(¿) ау(д) = а(д) = 0 ufl£ {32,80}, либо (") 4 < |П| < 62, либо

(ш) a3(flr) = 0, а\(д) = 80г-5ао{д) ф 0, а2{д) = 20ао(д) +800 - 80г и 64 < \Щ < 106.

Следствие 2.2. Граф с массивом, пересечений {51,48,8; 1,4, 36} не является реберно симметричным.

В параграфе 6 изучаются дистанционно регулярные графы с /л = 1 и числом вершин не большим 1000.

Заметим, что В.П. Буриченко и A.A. Махнев не рассматривали случай /2=1. A.A. Махнев поставил задачу нахождения массивов пересечений антиподальных дистанционно регулярных графов диаметра 3 с А = 2, /.I = 1 и числом вершин, не большим 1000. В параграфе 2.4 решена более общая задача. Найдены массивы пересечений антиподальных дистанционно регулярных графов диаметра ЗсА<2и/х = 1. Далее, найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {42,39,1; 1,1,42}.

Предложение 2.2. Пусть Г является антиподальным дистанционно регулярным графом диаметра 3 с X < 2 и /i ~ I. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) А = 0 и к е {2,6,56};

(2) А = 1 и Г — дистанционно транзитивный граф с массивом пересечений {2е, 2е - 2,1; 1,1, 2е};

(3) А = 2, Г имеет массив пересечений {42, 39, 1; 1,1,42} и спектр 421, б774, —I30, —5903.

Существование графа в пункте (1) предложения равносильно существованию сильно регулярного графа с параметрами ((k + I)2 + + 1,0,1) (графа Мура).

Теорема 2.4. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {42, 39,1; 1,1,42}, С = Аи^Г), д — элемент из С простого порядка р иП = Г1х(у). Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) Г2 — пустой граф и либо

(г) р = 43, а3(д) = 0, ац(д) = 430г и г £ {0,1, 2,3}, либо

(И) р = Ъ, а3(д) = 2005 + 120, ах(д) = 50£ + 40 и 5£ + 20й < 155, либо

(ш) р = 2, а3(д) = 80й + 40, а1(д) = 801 и I + в < 21;

(2) лежит в антиподальном классе графа Г и либо (г) р = 7, |П| = 26 и \а2{д)\ > 42 • 26, либо

(и) р = 3, |Г2| € {1,4, ...,40} и |«1(<7)| < 42|П|, либо (ш) р = 2, |П| 6 {2, 4, ...,38} и \а2(д)\ > А2\П\;

(3) р = 13 и О. является 4-кликой;

(4) р = 2 и О. — шестиугольник или вторая окрестность веришны в графе Хофмана-Синглтона.

Следствие 2.3. Группа автоморфизмов дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {42, 39,1; 1,1,42} действует интранзитивно на множестве вершин.

В главе 3 изучаются 4-изорегулярные графы, их сильно регулярные подграфы и автоморфизмы. Для подмножества вершин Б графа Г через Г(5) обозначим Паез([а] — З1).

Граф Г называется ¿-изорегулярным, если для любого г < Ь и любого ¿-вершинного подмножества 5 число |Г(5)| зависит только от изоморфного типа подграфа, индуцированного 5. Заметим, что класс 2-изорегулярных графов совпадает с классом сильно регулярных графов. Граф Г на у вершинах называется абсолютно изорегулярным, если он является (у — 1)-изорегулярным. Далее, ¿-изорегулярный граф называется точно Ь-изорегулярным, если он не является (£ + 1)-изорегулярным.

Камерон [26, теорема 8.21] доказал, что каждый 5-изорегулярный граф Г является абсолютно изорегулярным и, с точностью до перехода к дополнительному графу, является полным многодольным графом Ктхп 1 пятиугольником или 3 х 3-решеткой. Далее, каждый точно 4-изорегулярный граф, (-.точностью до перехода к дополнительному графу, является псевдогеометрнческим графом для р(7г(2г, 2г3 + 3г2 — 1). Через 1го(г) будем обозначать такой граф. При г = 1 получим точечный граф единственного обобщенного четырехугольника порядка (2,4), а при г = 2 — граф Маклафлина.

Существование плотной сферической 5-схемы в 5"-1 (см. [27]) равносильно существованию графа 1го(г), где п = (2г + 1)2 —2. В [27, следствие

4.7| доказано несуществование плотных 5-ехем для бесконечного набора значений параметра г: 3,4,6,10,12,22,28,30,34,42,46,... .

В параграфе 7 найдены параметры 6 сильно регулярных подграфов из Г = 1го(г): £ = [а], Д = Г2(а) для вершины а € Г; £(Ь), £2(6) для вершины Ь е £; Д(с), Дг(с) для вершины с е Д.

Предложение 3.1. Пусть Г — псевдогеометрический граф для рСг(2г,

2г3 + 3г2 — 1). Тогда он имеет V = 8г4 + 16г3 + 6г2 — 2г — 1 вершин и

собственные значения к = 4г4 4- 6г3,г, —(2г3 -Ь Зг2) кратностей 1, / = 8г4 + 16гз

+ 2г2 — 6г,д = 4г2 + 4г — 2 соответственно. Далее, для любой вершины а

(1) подграф £ = [а] — псевдогеометрический граф для рСг_1(2г — 1, г3 + г2 — г — 1), имеет У\ = 4г4 + 6г3 вершин и собственные значения

= 2 гЛ + г3 — Зг2 + г, и = г, .31 = —(г3 + г2 — г) кратностей 1,/\ = 4г4 + 6г3 — 4г2 — 4г + 2, <7! = 4г2 + 4г — 3 соответственно;

(2) подграф Д = Г2(а) сильно регулярен, имеет и2 = 4г4 + Юг3 + 6г2 — 2г — 2 вершин и собственные значения А2 = 2г4 + Зг3, г2 = г, .ч2 = -(г3 + 2г2) кратностей 1,/2 = 4г4 + Юг3 + 2г2 — 6г,д2 = 4г2 + 4г — 3 соответственно.

Предложение 3.2. Пусть £ является псевдогеометрическим графом для рСг_х(2г — 1, ?-3 + ?-2 — г — 1). Тогда он имеет у = 4г4 + 6г3 вершин и собственные значения к = 2г4 + г3 — Зг2 + г, г, —(г3 + г2 — г) кратностей 1, / = 4?-4 + 6г3 — 4г2 — 4г + 2, д = 4г2 + 4г — 3 соответственно. Далее, для любой вершины Ь е £

(1) подграф £(6) — псевдогеометрический граф для р(Зг_2(2г — 2.

(г3 — Зг — 2)/2), имеет У\ = 2г4 + г3 — Зг2 + г вершин и собственные значения гА — г3 — Зг2 + Зг, г, — (г3 — Зг)/2 кратностей 1, /1 = 2?-4 + г3 — 7г2 — Зг + 3, (71 = 4г2 + 4г — 4 соответственно;

(2) подграф £2(6) сильно регулярен с параметрами (2г4+5г3+Зг2—г— 1, г4+г3 —г2, (г4—г3 —Зг2+Зг)/2, (г1—г2)/2) и собственными значениями г4+г3—г2, г, — (г3+2?-2—г) /2 кратностей 1, 2г4+5г3—г2—5г+2, 4г2+4г—4 соответственно.

Предложение 3.3. Пусть Д является сильно регулярным графом с параметрами (4г4 + Юг3 -( 6г2 - 2г - 2,2г4 + Зг3,г4 - 2г2 + г, г4 + г3) и собственными значениями к = 2г4 + Зг3, г, - (г3 + 2г2) кратностей 1,4г4 + Юг3 + 2г2 — 6г, 4г'2 + 4г — 3 соответственно. Если г >2, то для любой вершины с €Е Д

(1) подграф Д(с) является сильно регулярным графом с параметрами (2г4 + Зг3, г4 - 2г2 + г, (г4 - 2г3 - Зг2 + 6г)/2, (г4 - г3 - 2г2 + 2г)/2) и

собственными значениями гл — 2г2 + г, г, — (г3 + г2 — 2г)/2 кратностей 1, 2гА + Зг3 — Аг2 — 4г + 3,4г2 + 4г — 4 соответственно;

(2) подграф Д2(с) сильно регулярен с параметрами (2г4 + 7г3 + б7-2 — 2г - 3, г4 + 2г3, (г4 - Зг2 + 2г)/2, (г4 + г )/2), собственными значениями г4 + 2г3, г, -(г3 + Зг2)/2 кратностей 1, 2г4 + 7г3 + 2г2 - 6г, 4г2 + 4г - 4 соответственно.

Далее, с помощью метода Хигмена для автоморфизма g графа Izo(r) найдена формула для значения характера, полученного при проектировании на подпространство размерности 4г2 + 4г — 2

Х2(д) = Ыз) - «1 Ы/г)/((г + 1)(2г + 1)) + (2r2 + 2г - 1)/(г + 1).

Найдены возможные простые порядки автоморфизмов g графа Izo{r) таких, что подграф fl = Fix(g) является пустым, кликой или кокликой.

Теорема 3.1.

(1) Если il — пустой граф, то

(г) р делит (2г + l)(4r3 + 6г2 — 1), в частности, рф2, (И) если р = 3, то г = 1 (mod 3), ai(g) = wr(2r+\) uw +1 делится на г + 1.

(2) Если Q является п-кликой, то п = 1 и либо р = 37, г = 37и + 17, ./шбо р = 2.

(3) Если Г2 является т-кокликой, т > 2, то 3 < m < 4;~2 + 4г — 2, р делит г и т + 1.

А.А. Махнев [28] доказал, что псевдогеометрический граф для pG2(5, 32) не существует. Так как окрестность вершины в графе Izo{3) является псевдогеометрическпм графом для pG2(5,32), то и граф /го(3) не существует. Однако вопрос о существовании сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108) (это параметры второй окрестности вершины в графе [zo(3)) остается открытым.

В параграфе 8 найдены возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108).

Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (640,243, 66,108), а — вершина графа Г. Тогда Г имеет собственные значения к = 243, г = 3, s = —45 и достигается равенство во втором условии Крей-на (s + 1)(А; + s + 2rs < (Ze + s)(r + l)2. Поэтому [а] является сильно регулярным графом с параметрами (243,66,9,21) и Г2(а) является сильно регулярным графом с параметрами (396,135,30,54). В работах [29, 30] найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярных графов с параметрами (243,66,9,21) и

(396,135,30,54). С помощью этих результатов найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108). При этом решалась задача восстановления автоморфизма графа по его действию на окрестности и на антиокрестности неподвижной точки.

Теорема 3.2. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (640,243,66,108), G = Aut(r), д — элемент простого порядка р из G, Q = Fix(g). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) Q — пустой граф, либо р = 5 и oti(g) G {240,480}, либо р = 2 и «i(д) € {96,192,288,384,480,592};

(2) Q является 1 -кликой, р = 3 и ai(g) = 99;

(3) Cl является т-кокликой, т > 2, р = 3 и (|Q|, ai(<7)) € {(4,204), (13, 87),(13,519),(22,402), (31, 285), (37,351), (40,168)};

(4) р = 3, Si является регулярным графом степени 3t, 0 < t < 24, ai(g) = 54r + 91 + 135q + 6s, s Ф 0 и 28 < = 1 + 3t + 3s < 100;

(5) p = 2, Q содержит вершину степени 21 + 1, ct\{g) = 36r + 0/ + Abq + 12s + 12, q четно, -2 < <7 < 6, s ^ 0 u 16 < |П| = 2í + 2 + 6s < 154.

Следствие 3.1. Сильно регулярный граф с параметрами (640, 243, 66, 108) не является реберно симметричным.

В главе 4 изучаются вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2, небольшие сильно регулярные графы и их автоморфизмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нирова, Марина Сефовна, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Tits J. Buildings of Spherical Type and finite BN-pairs, Springer Lecture Notes in Mathematics, v. 386, 1974.

2. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag - 1989.

3. Higman D.G. Finite permutation groups of rank 3 // Math. Z. 1964, v. 86, 145-156.

4. Higman D.G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree // Math. Z. 1966, v. 91, 70-86.

5. Prager C.E., Soicher L.H. Low rank representations and graphs for sporadic groups. Lecture series 8. Cambridge, University press, 1997.

6. Махнев A.A., Нирова M.С. Об однородных расширениях частичных геометрий // Труды Института математики и механики УрО РАН 2007, т. 13, N 1, 148-157.

7. Buekenhout F., Hubaut X. Locally polar spaces and related rank 3 groups // J. Algebra 1977, v. 45, 391-434.

8. Махнев A.A. Локально GQ(3,5)-rpa<t>bi и геометрии с короткими прямыми // Дискр. матем. 1998, т. 10, 72-86.

9. Махнев А. А., Падучих Д. В. Расширения GQ(4,2), вполне регулярный случай // Дискретная математика 2001, т. 13, N 3, 91-109.

10. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально GQ(4,4)-rpac{)ax // Доклады академии паук 2010, т. 434, N 5, 583-586.

11. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально GQ(4,6)-rpa4mx // Доклады академии наук 2011, т. 439, N 2, 146-149.

12. Махнев A.A., Падучих Д.В. О вполне регулярных локально GQ(4,8)-графах // Доклады академии наук 2012, т. 443, N 1, 583-586.

13. Махнев A.A., Падучих Д.В. Обобщенный четырехугольник GQ(4,16) и его расширения //XI Белорусская математическая конф. Тез. докл. Минск: Институт математики HAH Беларуси, 2012. С. 39-40.

14. Кагазежева A.M. О локально GQ(4,11)-графах // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6 Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.

15. Махнев A.A. О сильно регулярных локально GQ(4,^-графах // Сибирский матем. журнал 2008, т. 49, N 1, 161-182.

16. Махнев A.A. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Известия РАН, сер. матем. 2004, т. 68, 159-172.

17. Васильев С.А., Махнев A.A. О вполне регулярных графах с by = 4 // Известия Гомельского госуниверситета. Гомель 2006, 101-108.

18. Казарина В.И., Махнев A.A. О реберно регулярных графах с by = 5 // Владикавказский матем. журнал 2009, т. 11, N 1, 29-42.

19. Ефимов К.С., Махнев A.A. О вполне регулярных графах с к = 11, Л = 4 // Ученые записки Казанского университета 2012, т. 154, N 2, 83-92.

20. Буричепко В.П., Махнев A.A. О вполне регулярных локально циклических графах // Современные проблемы математики. Тезисы 42 Всероссийской молодежной конференции. ИММ УрО РАН, Екатеринбург

2011, 11-14.

21. Буричепко В.П., Махнев A.A. Об автоморфизмах сильно регулярных локально циклических графов // Доклады академии наук 2011, т. 441, N 2, 151-155.

22. Буриченко В.П., Махнев A.A. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {15,12, 6; 1, 2,10} // Доклады академии наук 2012, т. 444, № 3, 305-309

23. Белоусов И.Н. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {19,16,8; 1,2,8} // Доклады академии наук

2012, т. 443, № 3, 305-309

24. Махнев A.A., Падучих Д.В. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {24, 21, 3; 1, 3,18} // Алгебра и логика 2012,

25. Махнев A.A., Циовкпна Л.Ю. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {35, 32, 8; 1, 2, 28} // Труды Института математики и механики 2012, т. 18, N 1, 235-241.

26. Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links, London Math. Soc. Student Texts 22 1981. Cambr. Univ. Press.

27. Nebe G., Venkov B. On tight spherical designs // Алгебра и анализ 2012, т. 24, N 3, 163-171.

28. Махнев A.A. О несуществовании сильно регулярных графов с параметрами (486,

165,36,66) // Украинский матем. журнал 2002, т. 54, N 7, 941-949.

29. Махнев A.A., Токбаева A.A. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (243,66,9,21) // Владикавказский матем. журнал 2010, т. 12, N 4, 35-45.

30. Исакова М.М., Махнев A.A. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54) // Владикавказский матем. журнал 2010, т. 12, N 3, 32-42.

31. Кабанов В.В., Махнев A.A., Падучих Д.В. О сильно регулярных графах с собственным значением 2 и их расширениях // Труды Института математики и механики УрО РАН 2010, т. 16, N 3, 105-116.

32. Гаврилюк A.JL, Махнев A.A. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин изоморфны графу Хофмана-Сииглтоиа // Доклады академии наук 2009, т. 428, N 2, 157-160.

33. Гаврилюк А.Л., Махнев A.A., Падучих Д.В. О графах, в которых окрестности вершин изоморфны графу Гевиртца // Труды Института математики и механики УрО РАИ 2010, т. 16, N 2, 35-47.

34. Махнев A.A., Падучих Д.В. Вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин изоморфны графу Хигмена-Симса // Труды Института математики и механики УрО РАН 2011, т. 17, N 4, 189-198.

35. Махнев A.A., Падучих Д.В. Вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин изоморфны графу Матье // Труды Института математики и механики УрО РАН 2012 т. 18, N 3, 189-198.

36. Зюляркина Н.Д., Махнев A.A. О расширениях сильно регулярных графов с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012, т. 442, N 1, 7-10.

37. Behbahani М., Lam С. Strongly regular graphs with non-trivial automorphisms // Discrete Math. 2011, v. 311, N 2-3, 132-144.

38. Ефимов К.С., Махнев A.A. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (88,27,6,9) // Доклады академии наук 2012, т. 445, N 3, 247-250.

39. Журтов А.Х., Махнев A.A., Кагазежева A.M. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,45,24,18) // Доклады академии наук 2012, т. 445, N 3, 247-250.

40. Белоусов И.Н., Махнев A.A. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,60,38,36) // Доклады академии паук 2013, т. 451, N 3, 247-250.

41. Ефимов К.С., Махнев А. А. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с параметрами (99,42,21,15) и (99,56,44,42) // Доклады академии наук 2013, т. 449, N 3, 247-250.

42. Cameron P. J., Hughes D.R., Pasini A. Extended generalized quadrangles // Geom. Dedic. 1990, v. 35, 193-228.

43. Hobart S.A., Hughes D.R. EpGs with minimal р. II // Geom. Dedic. 1992, v. 42, 129-138.

44. Neumaier A. Strongly regular graphs with smallest eigenvalue —rn // Arch. Math. 1979, v. 33, 392-400.

45. Hobart S.A., Hughes D.R. Extended partial geometries: nets and dual nets // Europ. J. Comb. 1990, v. 11, 357-372.

46. Махнев А.А. О несуществовании сильно регулярных графов с параметрами (486,165,36,66) // Украинский матем. журнал 2002, т. 54, N 7, 941-949.

47. Brouwer А.Е., Haemers W.H. Spectra of graphs (course notes) // http:/ /www.

win.tue.nl/ aeb/

48. Blokhuis A., Brouwer A., E. Locally 4-by-4 grid graphs //J. Graph Theory 1989, v. 13, 229-244.

49. Махнев А.А. Аффинные овоиды и расширения обобщенных четырехугольников // Матем. заметки 2000, т. 68, N 2, 266-271.

50. Махнев А.А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые /i-подграфы // Дискр. анализ и исслед. операций 1996, т. 3. N 3, 71-83.

51. Махнев А.А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Известия РАН, сер. матем. 2004, т. 68, 159-172.

52. Brouwer А.Е. Homepage, URL: http://www.win.tue.nl/ aeb/ table of parameters of strongly regular graphs (30.11.2011).

53. Cameron P.J. Permutation Groups. London Math. Soc. Student Texts №45. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1999.

54. Гаврилюк A.Jl., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56,45,1; 1,9,56} // Доклады академии наук 2010, т. 432, N 5, 512-515.

55. Махнев А.А. Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {56,45,1; 1, 9, 56} не является вершиино симметричным // Доклады академии наук 2010, т. 435, N 4, 451-454.

56. Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Труды ИММ УрО РАН 2011, т. 17, N 4, 142-159.

57. Gardiner A. Homogeneous graphs //J. Comb. Theory 1976, v. 20, 94-102.

58. Brouwer A.E., Haemers W.H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993, v. 14, 397-407.

59. Cameron P., Goethals J., Seidel J. Strongly regular graphs having strongly regular subconstituents //J. Algebra 1978, v. 55, 257-280.

60. Горшков И.Б. О гипотезе Томпсона для простых групп со связным графом простых чмсел // Алгебра и логика 2012, т. 51, N 2, 168-192.

Публикации автора по теме диссертации

61. Ефимов К.С., Махнев A.A., Нирова М.С. О вполне регулярных графах с А- = 10, Л = 3 // Труды Института математики и механики УрО РАН 2010, т. 16, N 2, 75-90.

62. Журтов А.Х., Махнев A.A., Нирова М.С. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов // Труды Института математики и механики УрО РАН 2010, т. 16, N 3, 93-104.

63. Махнев A.A., Нирова М.С. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108) // Доклады академии наук 2011, т. 440, N 6, 743-746.

64. Нирова М.С. Сильно (s — 2)-однородные расширения частичных геометрий pGn(s,L) // Труды Института математики и механики УрО РАН 2011, т. 17, N 4, 244-257.

65. Махнев A.A., Нирова М.С. О небольших симметричных сильно регулярных графах // Доклады академии наук 2012, т. 444, N 1, 23-27.

66. Махнев A.A., Нирова М.С. О графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012, т. 444, N 3, 258-261.

67. Нирова М.С. О сильно регулярных графах с Ъх < 24 // Труды Института математики и механики УрО РАН 2012, т. 18, N 3, 187-194.

68. Белоусов И.Н., Махнев A.A., Нирова М.С. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012, т. 447, N 5, 258-261?.

69. Махнев A.A., Нирова М.С. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {51,48,8; 1,4, 36} // Математический форум (Итоги науки. Юг России). Т. 6 Группы и графы. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А 2012, 129-141.

70. Нирова М.С. Об антиподальных дистанционно регулярных графах с (i = 1 // Доклады академии наук 2013, т. 448, N 4, 378-381.

71. Нирова М.С. Реберно симметричные сильно регулярные графы с числом вершин, не большим 100 // Сибирские электронные математические известия 2013, т. 10, 22-30.

72. Нирова М.С. Дистанционно регулярные локально GQ(4,12)-графы // Сибирские электронные математические известия 2012, т. 9, 653-659.

73. Махнев A.A., Нирова М.С. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {51,48,8; 1,4,36} // Доклады академии наук 2013, т. 449, N 3, 258-261.

74. Makhnev A.A., Nirova M.S. On distance-regular graphs with A = 2 // Jornal of Siberian Federal Univ. 2014, т. 7, N 2, 188-194.

75. Ефимов К.С., Махнев A.A., Нирова М.С. О вполне регулярных графах с А; = 10, А = 3 // Алгебра и ее приложения. Труды межд. конф., посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина, Нальчик 2009, 44-48.

76. Журтов А.Х., Махнев A.A., Нирова М.С. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов // Теория групп и ее приложения. Труды VIII Международной школы-конференции по теории групп. Нальчик 2010, 100-107.

77. Белоусов И.II., Махнев A.A., Нирова М.С. О расширениях сильно регулярных графов с собственным значением 2 // Алгебра и линейная оптимизация. Тез. докл. Международной конф. Екатеринбург 2012, 2527.

78. Махнев A.A., Нирова М.С. О небольших симметричных сильно регулярных графах // Алгебра и линейная оптимизация. Тез. докл. Международной конф. Екатеринбург 2012, 124-125.

79. Нирова М.С. Об антиподальных дистанционно регулярных графах с р = 1 // Теория групп и ее приложения. Тез. докл. Международной школы-конференции. Владикавказ 2012, 94-96.

80. Нирова М.С. О локально GQ(4,12)-графах // Современные проблемы математики. Тез. докл. 44 Международной молодежной школы-конференции. Екатеринбург 2013, 85-87.

81. Нирова М.С. О реберно симметричных сильно регулярных графах с числом вершин, не большим 100 // Алгебра и комбинаторика. Тез. докл. межд. конф., посвященной 60-летию A.A. Махнева, Екатеринбург 2013, 390-394.

82. Махнев A.A., Нирова М.С. О дистанционно регулярных графах с А = 2 // Теория групп и ее приложения. Труды Межд. школы-конф. Нальчик 2014, 41-42.