Конечнозонные потенциалы в физике твердого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Першко, Ирина Макаровна

• Першко, Ирина Макаровна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Першко, Ирина Макаровна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛАХ ЛАМЕ.

§ I. Необходимые сведения из теории конечнозонных потенциалов

§ 2. Число состояний квантовой частицы в однозонном потенциале

§ 3, Число состояний квантовой частицы в двухзонном потенциале Ламе.

Глава П. ТЮОДИНАМИКА ЗАДАЧИ ПАЙЕРЛСА-ФРЕЛИХА.

§ I. Формулировка задачи Пайерлса-Фрелиха в приближении среднего поля.

§ 2. Численная минимизация термодинамической функции.

Классификация квазиодномерных проводников.

§ 3. Вычисление критической величины 7ВС , делящей квазиодномерные проводники на два класса

§ 4. Проводники с волнами зарядовой плотности

§ 5. Проводники конденсонного (солитонного) типа

Глава Ш. РАСЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 0ДН030ННЫХ

ПРОВОДНИКОВ.

§ I. Рассеяние рентгеновских лучей однозонным проводником. Сравнение с экспериментом.

§2. Вычисление константы электрон-фононного взаимодействия в однозонном проводнике.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечнозонные потенциалы в физике твердого тела»

Одной из простейших моделей теории твердого тела, которая не утратила своего значения и по настоящее время, является одно-электронная модель ill . Эта модель основана на предположении, что каждый электрон движется в некотором среднем поле, создаваемом ядрами и остальными электронами. Если ядра образуют решетку, то волновая функция каждого электрона представляется в виде произведения плоской волны на периодическую функцию с периодами решетки (теорема Блоха) Í2 1 , а спектр имеет зонный характер. Макроскопические свойства твердых тел (термодинамические, кинетические), само деление веществ на металлы, полупроводники и изоляторы при этом определяются характером энергетического спектра электронов. Поэтому центральной задачей одноэлектронной теории твердого тела является определение энергетического спектра электрона в заданном потенциале (так называемая прямая задача). Несмотря на свою давнюю историю, эта задача решается точно только в нескольких случаях. Наиболее известные потенциалы, для которых задача определения спектра решается точно, - это потенциал Кро-нига-Пенни и гармонический потенциал LL(X) ~ ио cos (у ос). Чтобы найти энергетический спектр в потенциале Кронига-Пенни, необходимо решать трансцендентное уравнение, а границы спектра в потенциале 0Со COSÍ<JX) находятся либо с помощью имеющихся таблиц, либо, в случае малой амплитуды U0 »с помощью теории возмущений (уравнение Шредингера с этим потенциалом называется уравнением Матье £3^7 ). Для того, чтобы из экспериментальных данных о спектре извлечь информацию об одноэлектронном потенциале, что важно душ целенаправленного изменения свойств твердых тел, не менее важна и обратная задача о восстановлении потенциала по заданным границам спектра» Для обычно используемых в физике твердого тела периодических потенциалов эта задача аналитически не решена.

Целью настоящей работы является решение ряда важных задач одноэлектронной теории твердого тела на основе нового математического метода - метода конечнозонных потенциалов, который позволяет преодолеть указанные выше трудности. Подученные результаты демонстрируют эффективность применения конечнозонных потенциалов в задачах физики твердого тела, их преимущества перед другими периодическими потенциалами, возможности, которые открываются перед теорией твердого тела при их использовании. Проведенные исследования могут способствовать более широким физическим приложениям математического аппарата конечнозонного интегрирования.

Вещественная функция 1М(Х) называется конечнозонным (1Ь -зонным) потенциалом, если спектр оператора Щредингера с потенциалом исх) имеет зонную структуру и содержит ровно уь лакун -конечных запрещенных зон. Первыми примерами конечнозонных потенциалов были потенциалы, выраженные через эллиптические функции и введенные Ламе: ¿6 л (х) - ¡г (к + ¡р (X) • гДе ^Х)- эллиптическая функция Вейерштрасса. В работе Айнса С41 показано, что потенциалы Ламе Шп (х ) являются /г -зонными. Г.Хохштадт доказал, что любой однозонный потенциал является эллиптической функцией [51/. Длительное время оставалось неясным, существуют ли другие примеры конечнозонных потенциалов и как описать все конечнозонные потенциалы, В 1974 году в работах С.П.Новикова [QJ 9 Б.А.Дубровина и С.П.Новикова £ 7 Л, В.А.Марченко Г8] и П.Лэкса [9 ] было положено начало исследованиям, посвященным развитию метода обратной задачи в теории нелинейных уравнений для случая периодических начальных условий, которые позволили ответить на эти вопросы и привели к возникновению метода конечнозонного интегрирования. Оказалось, что, вообще говоря, конечнозонный потенциал является квазипериодической функцией. С.П.Новиков выписал уравнения, которым удовлетворяют конечнозонные потенциалы - высшие стационарные уравнения Кортевега-де Фриза (Ж у Ф) - и доказал,что для того, чтобы функция И(Х) была 1ь -зонным потенциалом, достаточно, чтобы она являлась стационарным решением п> -го аналога уравнения ЛуФ С62 • Б.А.Дубровин-, доказав необходимость этого условия, установил, что так получаются все конечнозонные потенциалы С10] . Явное описание всех конечнозонных потенциалов получили А.Р.Итс и В.Б.Матвеев [ II ] . Они показали, что уь ~ зонный потенциал выражается через уь -мерную тэта-функцию. В.А.Марченко и И.В.Островский выяснили, что множество периодических конечнозонных потенциалов плотно в пространстве гладких периодических функций с данным периодом Г 12,13 3 . Тем самым была решена задача об аппроксимации гладких периодических потенциалов конеч-нозонными потенциалами. Вопрос о плотности конечнозонных потенциалов в более широком классе бесконечнозонных потенциалов рассмотрен в работе Г14 Л . В 1976 г. С.П.Новиков, Б.А.Дубровин и И.М.Кричевер указали первый пример двумерного зонного потенциала Г151 . Конечнозонные потенциалы тесно связаны с рядом нелинейных уравнений, имеющих важные физические приложения (Кортевега-де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили, уравнением энге ~ 'Уот^оп, , нелинейным уравнением Щредингера и др.). Методом конечнозонного интегрирования удалось найти широкий класс точных решений этих нелинейных уравнений» конечнозонных с точки зрения спектральной теории соответствующих линейных операторов [16,171. Было показано также, что конечнозонные потенциалы, взятые в качестве начальных данных, порождают периодические (и условно периодические) аналоги гь -солитонных решений.

Актуальность и эффективность применения концепции конечно-зонных потенциалов в задачах теории твердого тела, по нашему мнению, определяется следующими соображениями:

1. Для этой группы потенциалов точно решаются как прямая, так и обратная задачи.

2. Для оператора Щредингера с такими потенциалами известны собственные функции и спектральная плотность.

3. Типичный периодический потенциал имеет в спектре бесконечное число запрещенных зон, ширины которых при возрастании энергии быстро убывают. Скорость убывания зависит от гладкости потенциала. Если потенциал аналитический, то скорость убывания ширин запрещенных зон экспоненциальна. Поэтому, отбрасывая щели, возникающие цри энергиях, больших некоторого значения Еа , спектр потенциала, имеющего бесконечное число зон, можно заменить спектром, состоящим из конечного числа зон п, . Таким образом, произвольный гладкий периодический (и, вообще, зонный) потенциал можно с любой точностью аппроксимировать конечнозонным Г12-141.

4. Для конечнозонных проводников можно получить явные аналитические выражения основных физических характеристик (например, рассчитать поглощение электромагнитных волн в конечнозонном проводнике Г18 3 > рассеяние рентгеновских лучей или константу электрон-фононного взаимодействия).

Конечнозонные потенциалы уже начали использоваться в физике твердого тела С19-27Ни, по нашему мнению, область их применения будет постоянно расширяться. Как упоминалось выше, этому способствует достаточно хорошая изученность конечнозонных потенциалов» Вместе с тем следует отметить, что некоторые вопросы, касающиеся конечнозонных потенциалов, требуют специального рассмотрения. Например, для конечнозонных потенциалов с произвольным числом зон известны аналитические выражения для спектральной плотности. Однако, чтобы практически использовать эти выражения, необходимо произвести операцию усреднения. Эта задача не является тривиальной и решена только для однозонного потенциала С191 Но, даже эту формулу для спектральной плотности однозонного потенциала все же трудно использовать на практике, так как этот расчет не доведен до числа: зависимость плотности состояний от энергии сложная,она параметрическим образом выражается через эллиптические функции. Поскольку спектральная плотность необходима для расчетов большого числа физических величин, построение графиков спектральной плотности однозонного потенциала способствовало бы более широкому практическому применению теории конечнозонных потенциалов. Из вида таких графиков сразу можно было бы указать, какие численные значения параметров, характеризующие потенциал, являются предельными, т.е, такими, при которых однозонный потенциал вырождается либо в 0-зонный, либо в солитоноподобный потенциал. При этом следует подчеркнуть, что спектральную плотность однозонного потенциала следует рассчитать лишь для выбранных параметров задачи. Для всех остальных параметров спектральная плотность получается преобразованием подобия. В заключение обсуждения этого вопроса обратим внимание на тот факт, что уже для двухзонного потенциала Ламе не были получены даже явные параметрические зависимости числа состояний от энергии, .

Потенциал одноэлектронйой теории должен быть, вообще говоря, самосогласованным. Это означает, что каждый электрон не только испытывает действие потенциала, но также сам принимает участие в его формировании. При самосогласованном описании ионов решетки и электронов потенциал, в котором движутся электроны, не считается заданным, а определяется из условия минимума свободной энергии рассматриваемой системы. Тем самым учитывается влияние электронов проводимости на саму структуру ионного остова. Задача о самосогласованном состоянии электронов проводимости и решетки называется задачей Пайерлса-Фрелиха [28,29 0 . После развития теории конечно-зонных потенциалов удалось определить явный вид самосогласованного потенциала электронов и решетки. Оказалось, что точным решением задачи Пайерлса-Фрелиха является однозонный потенциал Г19 Л • Поясним сущность этой задачи.

Известно, что ионная структура одномерного металла содержит статические искажения с волновым вектором ^ , равным удвоенному волновому вектору Ферми электронов к Р , у- 2 К Р • Факт неустойчивости решетки относительно такой перестройки впервые был объяснен Р.Пайерлсом С 281 . Рассмотрим некоторое малое искажение цепочки ионов. Оно приведет к появлению запрещенной зоны в энергетическом спектре электронов. Согласно теории возмущений энергия состояний над щелью повышается на столько, на сколько понижается энергия состояний под щелью. Поэтому, если состояния над и под щелью заполнены электронами одинаково, образование запрещенной зоны не изменит электронной энергии. Поскольку при этом энергия решетки возрастет на величину, соответствующую рассматриваемой упругой деформации, то возникновение запрещенной зоны при таком условии является энергетически невыгодным. Если же при образовании запрещенной зоны состояния, расположенные выше нее, заполнены меньше, чем состояния, расположенные ниже, энергия электронов понизится. Если это уменьшение энергии электронов превзойдет увеличение упругой энергии решетки, то возникновение запрещенной зоны будет энергетически выгодно. Ясно, что максимальный выигрыш полной энергии кристалла будет иметь место для искажения с волновым вектором ^ = 2 к Р , поскольку щель при этом образуется при энергии, равной энергии Ферми. В одномерном случае такое искажение возможно при любом заполнении зоны. Итак,одномерная металлическая система без учета взаимодействия электронов неустойчива относительно деформации кристаллической решетки, переводящей систему в диэлектрическое состояние (переход Пайерл-са).

В 1954 г. Г.Фрелих рассмотрел одномерную самосогласованную задачу об электронах, взаимодействующих с колебаниями решетки и рассчитал искажение решетки в предположении малости этого искажения С 293 . Он рассмотрел потенциал деформации решетки синусоидального типа с периодом, равным %(и/% кР , а в качестве варьируемого параметра взял амплитуду потенциала. Фрелих обратил внимание на тот факт, что взаимодействие электронов с решеткой приводит также к периодическим флуктуациям плотности электронов с тем же периодом, что и потенциал. Поле смещений решетки и поле флуктуаций плотности электронов взаимно стабилизируют друг друга; образуются волны зарядовой плотности. Фрелих показал, что искажение ионной структуры и создающие его электроны могут двигаться как единое целое при малых скоростях движения, поскольку в бесконечной решетке периодические флуктуации плотности электронов и решетки фиксированы лишь относительно друг друга С 29 0 . Соответствующая проводимость была названа фрелиховской, Поскольку периоды первоначальной решетки и искажения никак не связаны между собой, они, вообще говоря, несоизмеримы. На математическом языве это означает, что ионная структура проводника квазиперио-дична, Таким образом, пайерлоовская неустойчивость является причиной существования квазипериодических структур в проводниках.

Для экспериментальных исследований пайерлсовских переходов разработаны различные методы (метод дифракции электронов, рентгеновских лучей и нейтронов, оптические измерения, ЭПР- и ЯМР-экс-перименты). К настоящему времени известно десятки квазиодномерных систем, обнаруживающих этот переход. Среди них наиболее изученные - это органические комплексы с переносом заряда типа тет-ратиофулвален тетрацианохинодиметан (сокр.ТГ ^ ~ТС N0 ), шго-ско-квдратные комплексы переменной валентности, типичным представителем которых является соль К 2 [ Pí (С N ] Вг0 5 • 3(-Н2 0) (сокр. КСР) и трихалькогениды переходных металлов (химическая формула Т X з , Т - переходной металл N Ь , Та , Т'ь »а X - халькоген 5 » £е • Те ) С 30-333 . Сашйпрямой способ изучения возникающих сверхрешеток дает метод дифракции. Он позволяет определить волновые векторы волн зарядовой плотности, амплитуды соответствующих гармоник, зависимость этих величин от температуры. Экспериментальные зависимости интенсивности рассеяния рентгеновских лучей от температуры, волновые вектора искаженной структуры для некоторых квазиодномерных проводников приведены, например, в работах [34-37] . При изучении зарядовых волн в методом диффракции рентгеновских лучей Р.Флеминг с сотрудниками наблюдали наличие второй гармоники С 341 , что свидетельствует о несинусоидальном характере искажения, возникающего в этом квазиодномерном проводнике.

Для оцределения самосогласованного состояния электронов и решетки строится, как известно, свободная энергия в виде суммы свободных энергий электронов и решетки, а затем минимизируется по возникающему искажению решетки. При этом, как правило, искажение решетки считается классической величиной, что соответствует методу среднего поля. Несмотря на ряд цроведенных к настоящему времени исследований Г 38-41 ] , вопрос о степени применимости метода среднего поля к одномерной задаче Пайерлса-Фрелиха представляет собой сложную проблему. Прежде всего имеются строгие результаты, показывающие, что в одномерной системе с короткодействующим типом взаимодействия между частицами флуктуации разрушают дальний порядок (см.,нацример, [42]) . В задаче Пайерлса-Фрелиха параметром порядка является деформация решетки, а учет флуктуации есть, по существу, учет фононов. Шесте с тем, в особых случаях, когда электроны взаимодействуют с конечным, либо со счетным множеством фо-нонных мод, метод среднего поля при изучении одномерных систем дает точные результаты С40,413 . Таким образом, ответ на вопрос сводится к изучению характера взаимодействия между электронами и решеткой и требует детального рассмотрения. В заключение следует подчеркнуть, что корректной математической формулировкой метода среднего поля, позволяющей исследовать все аспекты цроблемы, является метод аппроксимирующего гамильтониана, основы которого были заложены Н.Н.Боголюбовым Г43 ] и существенно развиты Н.Н.Боголюбовым (мл.) и его учениками С40,42,441. В данной работе мы будем предполагать, что метод среднего поля применим к исследованию задачи Пайерлса-Фрелиха.

Хорошо известно, что в спектре потенциала синусоидального типа имеется бесконечное число запрещенных зон. А из приведенных выше качественных соображений Пайерлса следует, что добавление электронов к решетке, создающей некоторый периодический потенциал, вызывает такое изменение этого потенциала, которое приводит к возникновению в электронном энергетическом спектре одной дополнительной запрещенной зоны. Поэтому, если решетка в отсутствие электронов представляет собой равномерно распределенный положительный заряд (модель желе - случай, рассмотренный Фрелихом), то результатом добавления электронов будет деформированная решетка, создающая потенциал с одной конечной запрещенной зоной ~ однозонный потенциал, Этот факт был анонсирован в 1978 г, [ 453 и в 1980 г, было опубликовано его строгое доказательство Г191 . Так метод коне-чнозонных потенциалов впервые был применен для решения нетривиальной задачи в физике твердого тела. Утверждение, что точным решением задачи Пайерлса-Фрелиха является однозонный потенциал, впоследствии было подтверждено в других работах (см.,например, Г23,25 J . В [19] получены уравнения, описывающие зависимость границ спектра от характеристик задачи (плотности электронов, упругой постоянной решетки, температуры). Эти уравнения решены точно при абсолютном нуле температуры, и показано, что зарядовые волны Фрелиха и конденсоны (солитоны) являются предельными случаями рассмотренного самосогласованного состояния электронов и решетки.

Существует огромное число работ, посвященных разным аспектам задачи Пайерлса-Фрелиха С32,331 . Большой вклад в их рассмотрение внесли известные советские ученые Л.П,Горьков, И.Е.Дзялошинский,

А.А.Овчинников, С.А.Бразовский, Л.Н.13улаевский и др. Мы приведем обзор только тех работ, где для решения задачи Пайерлса-Фрелиха использовался метод конечнозонных потенциалов, поскольку, как теперь ясно, этот метод в наибольшей степени соответствует существу данной задачи. Метод конечнозонных потенциалов к задаче Пайерлса-Фрелиха применяется в рамках различных моделей: рассматриваются либо уравнения типа Дирака, либо уравнение Шредингера. Но во всех моделях потенциал выражается через тэта-функции, все модели допускают исследование эффектов соизмеримости и несоизмеримости.

Уравнения типа Дирака возникают в случае, когда искажение решетки с импульсом связывает две плоские волны: ß eXp (L& и ß ехр (- ¿KF X). Волновые функции электронов в поле статических деформаций ф(х )=■ A(X)cos (jrx/a) записываются в виде coSff -¿wxjsin f^] > (I)

OL - период неискаженной решетки. Функции А fxj , а (х.), и(Х) предполагаются слабо меняющимися величинами на расстояниях порядка d , Уравнения типа Дирака есть уравнения на собственные значения энергии Е электронов,1 связывающие амплитуды (1(Х) и И(х) с амплитудой потенциала А (х) :

-AU , 1г'+/МГ=сЕи (2)

Здесь , а фермиевская скорость полагается равной единице. Из (2) получаются эквивалентные уравнения и." + - P)LL ' P'=AZ+A г/" - <j) v = o cj = д*

Напомним основные предположения, которые делаются в этой модели: I) линеаризация закона дисперсии электронов в неискаженной ре

2) приближение медленно меняющихся амплитуд; 3) химический потенциал всегда лежит в середине запрещенной зоны; 4) потенциал деформации учитывается по теории возмущений. Наиболее существенным недостатком данной модели, по нашему мнению, является линеаризация электронного спектра. Это приближение может в значительной мере исказить результаты, поскольку вклад в пайерлсовскую неустойчивость дает, как известно, вся электронная зона,

В рамках уравнения Дирака конечнозонные потенциалы использовались для исследования задачи Пайерлса-Фрелиха в работах Г21,22, 27] , В [211 определены спектр электронов и вид потенциала деформации решетки. Согласно этой работе, вследствие структурного перехода в электронном спектре возникают две симметричные запрещенные зоны. Эти зоны сливаются, если первоначальная зона заполнена в точности наполовину, В работе Г 22] рассмотрен случай, когда металлическая фаза характеризуется двумя незаполненными зонами.На-пример, имеется две группы электронов с различными фермиевскими импульсами , Такая ситуация возникает для системы в сильном магнитном поле, когда для разных проекций спина ^ = f | ;

Более естественно в качестве уравнения для электронов использовать уравнение Шредингера, в котором оператор кинетической энергии может быть либо дш|ференциальным шетке где кР Г * Кр | . (Е - и) 9 = О , г

4) либо разностным с у + тг + с Ф - р = о (5)

Дискретная модель Пайерлса-Фрелиха описывает самосогласованное поведение электронов и ионов решетки, характеризуемых положением на прямой х^ и внутренней степенью свободы 7/п ♦ В (5) /ь -0,1,.,., Л/--/ нумерует ионы, - интегралы перескока электронов, = С = .

Свободная энергия записывается в виде суммы свободных энергий электронов и решетки. Свободная энергия решетки представляется в виде линейной комбинации интегралов уравнения Ф , а для дискретного уравнения Щредингера - в виде линейной комбинации интегралов цепочки То да. Вопрос о том, какая из этих двух моделей является более адекватной при описании экспериментальных данных, зависит от каждого конкретного случая.

Метод конечнозонных потенциалов к задаче Пайерлса-Фрелиха в рамках уравнения Щредингера был применен в работах £19,20,251 . В работе Г20] предложен способ учета ионной структуры» В этой работе была сформулирована обобщенная задача Дайерлса-Фрелиха о возникновении в энергетическом спектре электронов запрещенной зоны вследствие деформации первоначально /г -зонного потенциала и доказано, что добавление электронов к решетке, создающей -зонный потенциал, может увеличить число запрещенных зон не более, чем на единицу» Метод конечнозонных потенциалов к дискретной версии задачи Пайерлса-Фрелиха с успехом применили С.А.Бразовский, И.Е.Дзяло-шинекий, И.М.Кричевер /Г 23 7 , Б.Сазерлэнд [261 • Эффекты соизмеримости в дискретной модели Пайерлса исследованы в С24] .

Искажение ионной структуры и образование соответствующей щели в электронном энергетическом спектре имеет место только при достаточно низких температурах и возникает в результате фазового структурного перехода. Температура этого фазового перехода была впервые рассчитана К.Купером 0461 . В рамках конечнозонных потенциалов в работе С193 получены уравнения, определяющие параметры однозонного потенциала в зависимости от температуры, но эти зависимости не были исследованы» Кроме [191 нам известна только работа С 271, где метод конечнозонных потенциалов применялся для изучения задачи Пайерлса-Фрелиха при температурах, отличных от нуля, В этой работе Мертчинг и Фишбек распространили метод, предложенный в работе [211 для расчета основного состояния Пайерлса-Фрели-ха, на случай конечных температур. Таким образом, работа £271 выполнена в рамках модели с уравнением типа Дирака и, следовательно, она обладает всеми недостатками, присущими этой модели, В С271 изучается переход между соизмеримой и несоизмеримой фазами для зоны, заполненной почти наполовину ( Кр = (7Г/2&)+ & , а -постоянная решетки, 1x1« )» Как и цри нулевой температуре этот переход характеризуется возникновением разрешенной зоны (зоны кинков) посередине пайерлсовской щели в соизмеримой фазе. Главный результат работы есть построение фазовых диаграмм, содержащих нормальную, соизмеримую и несоизмеримую фазы. Фазовые диаграммы построены в ~Т~ , р и ~Г , /г -плоскостях ( Т - температура, ¿Л - химический потенциал, п - плотность электронов), Для фиксированной плотности точка сосуществования трех фаз) зона кинков сужается при увеличении температуры и исчезает на кривой фазового перехода от несоизмеримой к соизмеримой фазе. Для фиксированной температуры

0<Т< Т/ зона кинков возникает при некоторой плотности ¡ъу1 и расширяется с увеличением Уь . При больших п достигается предел Фрелиха: потенциал искажения становится гармоническим.

Проблема взаимодействия электронов с колебаниями решетки имеет давнюю историю. Впервые константу электрон-фононного взаимодействия рассчитывал еще Ф.Блох в 1928 г. Г471. Вследствие своей связи с вопросами сопротивления металлов, вычисления критических параметров сверхпроводников и т.п. эта проблема является одной из самых важных в физике твердого тела Г481. Для вычисления константы электрон-фононного взаимодействия разработаны различные модели: модель жестких ионов, модель деформируемых ионов, самосогласованные модели Г47Л . Но во всех случаях расчеты сводятся к вычислению интегралов от волновых функций электронов и градиента потенциала. Эти интегралы часто, и даже не только для оценок, считаются постоянными из-за невозможности получить более точный результат. Для конечнозонных потенциалов, когда мы имеем всю необходимую информацию о потенциале и волновых функциях, вычисление упомянутых интегралов может быть проведено в явном виде. Следовательно, и константа электрон-фононного взаимодействия может быть точно рассчитана. Это представило бы большой интерес для задач физики твердого тела.

Настоящая диссертация посвящена некоторым применениям метода конечнозонных потенциалов в физике твердого тела.

В первой главе диссертации рассмотрена квантовая частица в од-нозонном и двухзонном потенциалах Ламе. Для однозонного потенциала построены графики числа состояний N (Е) , приходящихся на единицу длины, с энергией меньше Е при различных отношениях вещественного и мнимого периодов потенциала. Получены параметрические выражения NIB) в двухзонном потенциале и проанализирована их связь с числом состояний однозонного потенциала.

Вторая глава посвящена исследованию термодинамики задачи Пайерлса-Фрелиха методом конечнозонных потенциалов. Рассчитаны как функции температуры границы зон спектра однозонного потенциала, являющегося экстремалью функционала свободной энергии Пайерлса-Фрелиха. На основе анализа полученных результатов дана классификация квазиодномерных проводников в зависимости от величины безразмерного параметра • Если ¿С. > , квазиодномерный проводник является проводником фрелиховского типа (проводником с волнами зарядовой плотности), если ¿£с - проводником конденсонно-го (солитонного) типа. Согласно аналитическим расчетам =

0,132578. Выведены и решены уравнения для значений энергии и температуры^ при которых в спектре возникает особенность (запрещенная зона или дискретный уровень).

В третьей главе рассчитаны некоторые характеристики однозон-ных проводников: интенсивность рассеяния рентгеновских лучей и константа электрон-фононного взаимодействия для нормальных процессов рассеяния и процессов переброса. Построены графики зависимости интенсивности рассеяния рентгеновских лучей от температуры для первой и второй гармоник. Теоретический график сравнивается с экспериментальной кривой, полученной для квазиодномерного проводника ЫЬ ¿е3.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах El - 8 J и доложены на Шестой республиканской конференции по статистической физике (г.Львов, 1982 г.), конференции молодых ученых и специалистов ФТИНТ АН УССР (г.Харьков, 1983 г.), XI совещании по теории полупроводников (г.Ужгород, 1983 г.).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Першко, Ирина Макаровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена применению конечнозонных потенциалов к решению некоторых задач теории твердого тела. Получены следующие результаты:

1. Для однозонного потенциала построены графики числа состояний А((Е) , приходящихся на единицу длины, с энергией меньше Е при различных отношениях вещественного и мнимого периодов потенциала. Получены параметрические выражения М[Ё) в двухзон-ном потенциале Ламе и проанализирована их связь с числом состояний однозонного потенциала.

2. Методом конечнозонных потенциалов исследована термодинамика задачи Пайерлса-Фрелиха. Рассчитаны как функции температуры границы зон спектра однозонного потенциала~9 являющегося экстремалью термодинамического функционала Пайерлса-Фрелиха. На основе анализа полученных результатов дана классификация квазиодномерных проводников в зависимости от величины безразмерного параметра

Зё =(fi Хр/2*м) ^ (fiU)/Л J , где ß - химический потенциал, L) -частота акустических фононов, Я - константа электрон-фононного взаимодействия. Если ¿£>с£с , квазиодномерный проводник является проводником с волнами зарядовой плотности, если < <£с ~ проводником конденсонного (солитонного) типа. Показано, что цри ЗВ 36-с химический потенциал в момент возникновения щели лежит в зоне проводимости и только начиная с некоторой температуры,меньшей температуры структурного перехода, попадает в запрещенную зону.

3. Рассчитано критическое значение безразмерного параметра, делящего квазиодномерные проводники на два класса. Получены и решены уравнения для значений энергии и температуры, при которых в спектре возникает особенность (запрещенная зона или дискретный уровень).

4. Рассчитана интенсивность рассеяния рентгеновских лучей однозонным проводником. Построены графики зависимости интенсивности рассеяния от температуры для первой и второй гармоник.Теоретический график для первой гармоники сопоставляется с экспериментальной кривой температурной зависимости интенсивности рассеяния рентгеновских лучей квазиодномерным проводником МЬ 5е3 ,

Результаты, сформулированные в пунктах 2-4, получены в условиях применимости метода среднего поля к одномерной задаче Пайерлса-Фрелиха.

5. При использовании точных выражений для' собственных функций оператора Шредингера с однозонным потенциалом проведено вычисление константы электрон-фононного взаимодействия в однозонном проводнике для нормальных процессов рассеяния и процессов рассеяния с перебросом.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук Е.Д.Белоколосу за предложенную тему, а также помощь, советы и консультации в процессе работы над диссертацией, О.В.Шрамко и А.В.Нестерову за помощь при проведении численных расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Першко, Ирина Макаровна, 1984 год

1. Бете Г. ,Зоммерфельд А. Электронная теория металлов. - М.-Л.: ГОНТИ, 1938. - 316 с.

2. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. -491 с.

3. Уиттекер Э., Ватсон Дж. Курс современного анализа. Т.2. М.: ГИФМЛ, 1963. - 515 с.

4. Ince E.L. Further investigations into periodic Lame functions.-Proc.Roy.SoC.Edinburgh, 1940, v.60, p.83-99.

5. Hochstadt H. On the determination of a Hill's equation from its spectrum. -Arch.Ration.Mech. and Anal., 1965, v.19, N5, p.353-362.

6. Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. I . функц.анализ, 1974, т.8, № 3, с.54-66.

7. Дубровин Б.А. »Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. ЖЭТФ, 1974, т.67, вып.6(12), с.2131-2144.

8. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. Матем. сборник, 1974, т.95, вып.З, с.331-356.

9. Lax P.D. Periodic solutions of KdV equation. Lect. in Appl. Math., 1974, v.15, p.85-96.

10. Ю.Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. функц. анализ, 1975, т.9, № 3, с.41-51.

11. П.Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Щредингера с конечнозонным спектром и N солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза. - 1МФ, 1975, т.23, & I, с.51-68.

12. Марченко В.А., Островский И.В. 1арактеристика спектра оператора Хилла. Матем, сборник, 1975, т.97, вып.4, с.540-606.

13. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукпва думка, 1977. 331 с.

14. Левитан Б.М. Почти-периодичность бесконечнозонных потенциалов.-Докл.АН СССР, 1980, т.253, № 5, с.1044-1046.

15. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Уравнение Щрединге-ра в периодическом поле и римановы поверхности. Докл.АН СССР, 1976, т.229, В I, с.15-18.

16. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский А.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. Ред.С.П.Новиков. -М.: Наука, 1980. 320 с.

17. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. УМН, 1981, т.36, № 2, с.11-80.

18. Костур В,Н. Поглощение электромагнитных волн в однозонном проводнике. Препринт ИТФ-83-165Р, Киев: Институт теоретической физики АН УССР, 1983. - 29 с.

19. Белоколос Е.Д. Задача Пайерлса-Фрелиха и конечнозонные потенциалы. I. Ж, 1980, т.45, ¡Ь 2, с.268-275.

20. Белоколос Е.Д. Задача Пайерлса-Фрелиха и конечнозонные потенциалы. П. ТМФ, 1981, т.48, гё I, с.60-69.

21. Бразовский С.А., Гордюнин С.А., Кирова Н.Н. Точное решение модели Пайерлса с произвольным числом электронов на элементарную ячейку. Письма в ЖЭТФ, 1980, т.31, № 8, с.486-491.

22. Бразовский С.А.Дзялошинский И.Е., Кщзова Н.Н. Спиновые состояния в модели Пайерлса и конечнозонные потенциалы. -ЕЭТФ, 1981, т.81, вып.6(12), с.2279-2295.

23. Бразовский С.А., Дзялошинский И.Е., Кричевер И.М. Точно решаемые дискретные модели Пайерлса. ЖЭТФ, 1982, т.83, вып. 1(7), с.389-415.

24. Дзялошинский И.Е., Кричевер И.М. Эффекты соизмеримости в дискретной модели Пайерлса. ЖЭТФ, 1982, т.83, вып.4(10),с.1576-1586.25.ghastry В. Exact solution of a nonlinear eigenvalue problem in one dimension. -Phys.Rev.Lett., 1983, v.50, N9, p.633-636.

25. Пайерлс P. Квантовая теория твердых тел. М.: ИЛ, 1956.260 с.gg.Frohlich н. On the theory of superconductivity. One-dimensional case.-Proc.Roy.Soc., 1954, V.A223, p.296-305.

26. Пашицкий Э.А., Щеткин И.О. Физические свойства квазиодномерных соединений переходных металлов с халькогенами , ФНТ, 1980, т.6, & 7, с.821-841.

27. Уайт Р., Джебелл Т. Дальний порядок в твердых телах. М.: Мир, 1982. - 447 с.

28. Булаевский Л.Н. Структурный (пайерлеовский) переход в квазиодномерных кристаллах. УФН, 1975, т.115, вып.2, с.263-300.

29. Physics in one dimension. -Proceedings of an International Conference Fribourg, Switzerland, August 25-29, 1980. Editors: J.Bernasconi, T.Schneider. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1981. -370p.

30. Fleming R.M., Monet on D.E., McY/han D.B. X-ray scattering and electric field studies of the sliding mode conductor IbSe^.-Phys.Rev., 1978, v.B18, N10, p.5560-5563.

31. KagosMma S., Ishiguro 2?., Engler E.M., Schultz T.D., Tomkie-wicz Y. 2Kp and 4Kp charge-density waves in TTFq 4TSeQ g-TCNQ-An X-ray study. -Sol.State Comm., 1980, v.34, H3, p.151-155.

32. Hillenius S.J., Coleman R.V., Fleming R.M., Cava R.J., Metal-insulator transition and charge-density wave in

33. Pe0,25Nb0,75Se3* " Phys Rev*> 1981, v.B23, N4, P.1567-1575.

34. Fujishita H., Sato M., Hoshino S. Incommensurate super-lattice reflections in quasi one dimensional conductors, (MSe^gl (M = Та and Nb). Sol. State Comm., 1984, v.49, N4, p.313-316.

35. Lee P.A., Rice T.M., Anderson P.W. Fluctuation effects at a Peirls transition. Phys.Rev.Lett., 1973, v.31, K7,p.462-465.

36. Rice M.J., Strassler S. Effects of fluctuations and interchain coupling on the Peierls transition. -Sol.State Comm., 1973, v. 13, Ю, p.1389-1392.

37. Боголюбов H.H. (мл.), Бранков Й.Г., Загребнов B.A., Курбатов A.M., Тончев Н.С. Метод аппроксимирующего гамильтониана в статистической физике. София: Изд. Болгарской Академии наук, 1981. - 245 с.

38. Белоколос Е.Д., Петрина Д.Я. О связи методов аппроксимирующего гамильтониана и конечнозонного интегрирования, ТМФ, 1984,т.58, № I, с.61-71.

39. Боголюбов H.H. (мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. М.: Высшая школа, 1975. - 352 с.

40. Боголюбов H.H. (мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов. М.: Наука, 1974. - ITS с.

41. Belokolos E.D. Self-consistent consideration of the Peierls phase transition. Abstracts Intern.Conf.Quasi One-dimensional conductors, September 4-8, 1978, Dubrovnik, SFR Yugoslavia, p. 47«

42. Kuper C.G. On the thermal properties of Fröhlich's one-dimensional superconductor. Proc. Roy. Soc., 1955, V.A227, p.214-228.47.3айман Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ, 1962. - 488 с.

43. Гейликман Б.Т. Адиабатическая теория возмущений для металлов. -УФН, 1975, т.115, & 3, с.403-426.

44. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Iüura R.M. A method for solving the Korteweg de Vries equation. - Phys.Rev.Lett., 1967, v.19, p.1095-1098.

45. Бейтман Э.Г., Эрдейи А. Вьшшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. -М.: Наука, 1967. 300 с.

46. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. - 576 с.

47. Lax P.D. Periodic solutions of KgY equation. -Comm. Pure and Appl.Math., 1975, v.28, N1, p.141-188.

48. Гельфанд PI.M. и др. Асимптотика резольвенты штурм-яиувиллев-вских уравнений и алгебрауравнений Кортевега-де Фриза. -УМН, 1975, т.ЗО, Л 5, с.67-100.

49. Богоявленский О.И. Об интегралах высших стационарных уравнений ytftfa и собственных числах оператора Хилла. Функц.анализ, 1976 т.10, № 2, с.9-12.

50. ITelder J.A., Mead R. A simplex method for function minimization. -The Computer Journal, 1965, v. 7, M, p.308-313.

51. Schrieffer J.R. Theory of superconductivity. New York and Amsterdam: W.A.Benjamin, 1964» -282p.

52. Miane J.A., Carmona F., Delhaes P. Microwave measurements of the thermal expansion of organic metals. -Phys.Stat.Sol.(b), 1982, v.111, N1, p.235-346.

53. McDougall J., Stoner E.C. The computation of Fermi-Dirac functions. Phil.Trans.Roy.Soc. (London), 1938, V.A237, p.67-104.

54. Brent R.P. An algorithm with guaranteed convergence for finding a zero of a function. The Computer Journal, 1971»v.14, Ш, p.422-425.

55. Кривоглаз M.A. Теория рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтронов реальными кристаллами. М.: Наука, 1967. -336 с.бб.Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ, 1958. - 488 с.

56. Sommerfeld A. Zur Electronentheorie der Metalle auf grund der fermischen Statistik. I.Xeil; Allgemeines, Strömungsund Austrittsvorgänge. Zeitschrift für Physik, 1928, Bd B48, H.1-2, S.1-32.

57. Chisnail G.A. New Tables of Fermi Dirac functions. -Jodrell Bank Annals, 1956, v.1, p.126-140.

58. Dingle R.B. The Fermi Dirac integrals F (H ) =1. F P(P!)~1 J i exp(£ ^ ) +1. ~1d£ . - Appl.Sci.Res. ,Ser.B, 1957, v.6, p.225-239

59. Блекмор Дж. Статистика электронов в полупроводниках. М.: Мир, 1965. - 392 с.

60. Banuelos A.L., Depine R.A., Mancini R.C. Analytical expansions for Fermi — Dirac functions. J.I«!Iath.Phys., 1981, v.22, U3, p.452-455.

61. Першко И.М. Число состояний квантовой частицы в потенциалах Ламе. Препринт ИТФ-82-28Р. Киев: Институт теоретической физики АН УССР, 1982. - 22 с.л

62. Першко И.М. Некоторые приложения конечнозонных потенциалов в физике твердого тела. В сб.Тезисы докладов У1 Республиканской конференции по статистической физике, Львов, 24-26 мая 1982. - Киев, 1982, с.65.-К

63. Belokolos E.D., Pershko I.M. On a classification of one-dimensional conductors. Preprint ITP-82-156E, Kiev: Institute for

64. Theoretical Physics, Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1982. -11p.

65. Belokolos E.D., Pershko I.M. On a classification of one-dimensional conductors. Phys. Lett., 1983, V.A96, N3, p.137-140.

66. Белоколос Е.Д., Першко. И.М. Теория проводников Пайерлса-Фрели-ха в приближении среднего поля, В сб. Тезисы докладов Н Совещания по теории полупроводников, Ужгород, октябрь 1983,с.62-63,

67. Belokolos E.D., Pershko I.M. Thermodynamics of Peierls -Frohlich problem.I. Preprint ITP-84-5E, Kiev: Institutefor Theoretical Physics, Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1984. -55p.

68. Belokolos F.D., Pershko I.M. Thermodynamics of Peierls -Frohlich problem.II. Preprint ITP-84-6E, Kiev: Institute for Theoretical Physics, Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1984. -38p.x

69. Белоколос Е.Д., Першко И.М. Классификация квазиодномерных проводников Пайерлса-^релиха. ШФ, 1984, т.58, lb 2, с.279-291.1. Подписи к рисункам

70. Рис.3,1-3.18. Графики числа состояний N1^) для однозонногопотенциала. А « отношение действительного периода потенциала к мнимому.

71. Рис.4.1-4.42. Зависимости безразмерных границ спектра Е у , Е1 ,

72. Е3 , ширины запрещенной зоны А = Е3~ Е ^ и ширины зоны проводимости 1л/ Е^ от безразмерной температуры; эг. = (Ь V/т) ^ (ЬА .

73. Рис.5,1-5.21. Зависимость безразмерного действительного периода однозонного потенциала /- --¿Но от безразмерной температуры;

74. Рис.7.1-7.4. Зависимость безразмерных границ спекла Ен , Ех , Еъ, ширины зоны проводимости и/ , ширины запрещенной зоны и периода однозонного потенциала от безразмерной температуры при & Э£с = 0,132578,

75. Рис.8. Зависимость ¿п. ~Гр 1д£) для проводников с волнамизарядовой плотности: а) согласно численным расчетам; в) согласно формуле (2.49).

76. Рис.9. Зависимость ¿уь (Г(д£) для проводников с волнамизарядовой плотности; сГ ЦЫЕ'р).р' - отклонение величины энергии Е'р , при которой возникает щель, от величины химического потенциала: а) согласно численным расчетам; в) согласно формуле (2.50).