Коллективные явления в неоднородных конденсированных средах с учётом межчастичных корреляций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Дубовик, Владислав Михайлович

• Дубовик, Владислав Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дубовик, Владислав Михайлович

шшпгошютттои заражением «¡рермжі-жіиїдіітєігіиі и модели "желе

Нуль-звуковые колебания чшыж пшррелшпцшии переброса в однозонном приближении Электронная ферми-жидкость при наді

1.2 О параметрическом возбуждении электронного звука в полупроводниках и полуметаллах 7( •2. Кинетические явления в полупроводнике, помещённом в пространственно неоднородное электромагнитное поле 8С

2.1 К теории генерации сильного поля в полупроводниковом лазере

2.2 О поглощении сильного поля диэлеюгршгаж

1.2 Позиционное усреднение действующего на молекулу поля

Глота

§о О локальном ш©л@9 дгол@ктршчі@еігай шровшпцаемостш и эл@и«тромагшштныж юлишж ® ©дштошыж кристаллах

Об отражении электромагнитных волн в одномерно неоднородной волны вблизи нулей главных значении тензора

2.4 Отражение і?=волньі от слоя одноосного одномерно неоднородного

1. Колебания на поверхности раздела электромагнитного кристалла:

1.1 с

1.2 с

2.2 «металл»диэлектрик» с металлом (ферми=жидкостью);

Коллективны© явления в неоднородных кондшшроюшшыж ©родах с учетом межчаотичныя пшррелшпцшш Введши®

Направления исследований в физике конденсированного состояния вещества определяются как возможностью использования на практике результатов этих исследований, так и развитием принципиальных вопросов самой теории. Цель диссертации - разработка теории коллективных явлений в неоднородных

В классической статистике при изучении неоднородных свойств среды вводятся одночастичная, Р](г), и бинарная, Р2(г,г9)ь функции распределения '■1,21 При этом бинарная функция распределения позволяет более полно рассмотреть неоднородные свойства среды. В обзоре [з:1 отмечается, что в электронной подсистеме твёрдых тел межчастичными корреляциями, описываемыми бинарной функцией распределения Р2(г,г9), обусловлено отличие локального поля, действующего на данную частицу среды, от среднего макроскопического поля. Исследования также показывают, что в жидкостях с помощью функции Р2(г!1г9) можно учесть корреляции между положениями частиц на малых расстояниях \г-г'\ между ними. С увеличением расстояния | г-г'\ корреляции ослабевают и допустим

Для теории квантовых жидкостей, в частности электронной жидкости в проводящих средах - металлах,, полуметаллах и полуроводниках - существенным является экспериментальное подтверждение её предсказаний, например, возможности возбуждения нулевого звука. В диссертации предложен параметрический способ возбуждения электронного звука (нуль-звука и акустических плазмонов) в двухкомпонентной электронной жидкости легированных полупроводников и полуметаллов сильным ВЧ электрическим нолем» Указано также на возможность измерения наибольшего коэффициента Ландау Ао по полученным в диссертации спектрам низкочастотных колебаний в двухкомпонентной электронной жидкости, объёмных и поверхностных, что представляет для теории большой интерес, так как до сих пор надёжно определены ЛИШЬ коэффициенты А1 и А2,

В диссертации обобщена кинетическая теория генерации сильного поля в полупроводниковом лазере, ранее развитая в [38] для однородного поля (или поля бегущей волны), на случай неоднородного поля типа стоячей волны, что представляет большой практический интерес. Показано, что предельное поле генерации полупроводникового лазера в режиме высокой добротности в неоднородном поле выше, чем в однородном.

Во второй половине диссертации развита теория пространственной дисперсии в аморфных диэлектриках, обусловленная флуктуациями анизотропии молекул или мношкомпонентностью диэлектрика и корреляциями между флуктуациями. Найдены спектры поперечных и продольных волн. Изучены аномальные свойства волн в растворах вблизи нуля средней поляризуемости молекул. Показано, что по полученным параметрам этих волн (фазовой и групповой скорости и т.п.) можно определить параметр анизотропии среды, средний квадрат флуктуации поляризуемости молекул раствора и т.д. Полученные результаты могут быть использованы для изучения свойств различных материалов, например, таких как керамики.

Исследована флуктуационная природа температурной зависимости диэлектрической проницаемости одноосных кристаллов, знание которой необходимо при разработке новых приборов интегральной оптики. Полученная линейная зависимость показателя преломления селенида галлия подтверждается данными соответствующих экспериментальных работ в интервале температур от 75 до 400 К.

Рассмотрены колебания на поверхности сред с искусственной и естественной неоднородностью: композитов, искусственных кристаллов, поликристаллов и т.п. Указано, например, на сдвиг в спектре колебаний на поверхности раздела поликристалла с металлом, обусловленный учётом корреляций флуктуаций анизотропии в поликристалле. Интерес к перечисленным выше веществам вызван возможностью их применения в электронике, в частности, оптоэлектронике.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коллективные явления в неоднородных конденсированных средах с учётом межчастичных корреляций»

Апробация работы. Материалы, положенные в основу диссертации, опубликованы в журналах ЖЭТФ, ЖТФ, ФТТ, ФММ, Solid State Communications, Physica Status Solidi, Laser Physics, в препринтах, сб.трудов МИФИ, Инж.физике, и докладывались на Уральских зимних школах-симпозиумах "Коуровка -XIV,XV, XVI,XXF?, Всесоюзных совещаниях по физике низких температур (Минск, 1976, Тбилиси, 1986), Международной школе им. В.М. Галицкош (1996), на научных семинарах ФИ РАН, ИОФ РАН, научных сессиях МИФИ (1999,2000, 2006,2007).

Диссертация состоит из шести глав. В главе 1 изучаются бесспиновые

Электронная подсистема в кристаллических твёрдых телах (за исключением полупроводников и полуметаллов при высоких температурах и низких плотностях носителей заряда) является вырожденной. Известно, что вырожденный электронный газ большой плотности можно считать идеальным газом [161 Некоторые свойства сильно сжатого вещества (электронный спектр, пространственная дисперсия плазменных колебаний, возможность появления сверхпроводимости) были рассмотрены в работах А.А.Абрикосова f17,18^ Поведение однородного электронного газа в модели "желе" при реальных плотностях было подробно рассмотрено в [191 Статические поправки на локальное поле в электронном газе впервые были получены в [201 Впоследствии они были рассчитаны методом функционала плотности, основная идея которого заключается в замене межэлектронного взаимодействия "эффективным" внешним гз 21 221 полем 1 ' ' \

Обычно электромагнитные свойства системы электронов в металле

-1 /3 1 характеризуют безразмерным параметром разреженности rs= (3/4жп)~ щ (п-плотность системы, аь - боровский радиус), по порядку величины совпадающим с параметром идеальности - отношением потенциальной энергии кулоновскош взаимодействия к кинетической энергии электронов. В реальных металлах плотности электронов таковы, что 2<rs<6, и поэтому электронную подсистему представляют не газом, а жидкостью электронов.

Феноменологическая теория квантовой жидкости, подчиняющейся статистике Ферми, теория ферми-жидкости, была впервые построена Л.Д.Ландау для нейтральных систем а затем обобщена В.П.Силиным на заряженные системы Впоследствии было дано её микроскопическое обоснование с помощью методов квантовой теории поля [25"29]о

Расчёт диэлектрической проницаемости по теории ферми-жидкости в модели "желе" даёт выражение, схожее с тем, что следует из соотношения Клаузиуса -Моссотти: s(m)= 1+4та(а}){1/[1-(4ша(т)/3)]}, в котором множитель 1/[1-(4тма(т)/3)] определяет поправку, возникающую из-за отличия локального электрического поля от среднего макроскопического. В теории ферми-жидкости соответствующий множитель в диэлектрической проницаемости содержит (в первом приближении) коэффициент разложения А о функции Ландау в ряд по полиномам Лежандра [24'27\ Схожесть классического соотношения с соответствующим выражением, получаемым по теории ферми-жидкости, получены в [42'43^„ Там же был предложен способ возбуждения нуль-звука

35,37]

Г.Г.

39-41]

Ландау Ао по спектрам низкочастотных плазменных волн и нуль-звуковых і [361 2 ді жидкости металлов. Это связано с выходом за рамки модели "желе", так как в делает электронную подсистему твёрдых тел

31] приводит, как известно, к зонной картине и необходимости учёта межзонных переходов (ниже везде используется схема приведённых зон). Будучи тесно связанными а процессами переброса, в чём можно непосредственно убедиться, воспользовавшись схемой расширенных зон, межзонные переходы также влияют на локальное поле. Необходимо сказать о гибридизации зон, которая может сильно проявляться при наличии большого количества примесей, или из-за пересечения энергетических зон вблизи поверхности Ферми "-321 Предполагая, что вещества достаточно чистые и нет зон, близких к поверхности Ферми, будем пренебрегать гибридизацией зон.

В § 1 главы 2 методом функций Грина в однозонном приближении найдена продольная диэлектрическая проницаемость металлов (и полупроводников) в металлах с учётом межзонных переходов электронов [511 В графиках, содержащих межзонные переходы, введены электронные ^-факторы, представляющие собой обобщённые силы осцилляторов. Впервые с учётом ^-факторов получена система неравенств для кулоновских потенциалов взаимодействия. (В Приложении 1 приведены расчёты ^-фактора для одномерного кристалла в модели дираковской потенциальной гребёнки [52], подтверждающие соотношения основного текста). Показано, что: а) локальное поле влияет на спектры ВЧ объёмных и поверхностных возбуждений, в частности может привести к снятию их расщепления; б) межзонные и внутризонные переходы дают вклад одного порядка в спектры нуль-звуковых колебаний. Надо сказать, что теория ферми-жидкости, построенная для электронов, описываемых блоховскими волновыми функциями, была разработана в работе Р.Джонса и Дж.МакКлюра[53\ однако в ней рассматривались лишь взаимодействия электронов из разных зон, а прямые межзонные переходы не учитывались. В работе Б.ТХейликмана [541 была представлена теория электронного механизма сверхпроводимости, где были получены эффективные четырёхполюсники взаимодействия электронов В Б-й модели, но, опять-таки, не принимались во внимание межзонные переходы, а учитывалось лишь притяжение двух электронов одной зоны из-за отталкивания от колеблющихся электронов другой зоны. В целях поиска сверхпроводников с высокой температурой перехода Тс в работах Г.Фрёлиха [591 и Э.А.Пашицкого [581

00 <и> 00 исследовался плазменный механизм сверхпроводимости, в котором роль фононов отводится акустическим плазмонам. В металлах последние могут существовать лишь при достаточно большой разнице между скоростями двух типов носителей заряда на поверхности Ферми ^б0'611 Заметим, что акустические плазмоны в трёхмерных системах до сих пор экспериментально не обнаружены. В обзоре ^ это объясняется отсутствием образцов с малой диссипацией в соответствующей области фазовых скоростей. Вопрос о спектре коллективных возбуждений в двухзонной системе был рассмотрен также в работах которые, к сожалению, содержат целый ряд спорных, а иногда некорректных утверждений (подробности см. в п.п.2.1-2.3).

Глава 3 диссертации посвящена коллективным явлениям в неоднородных полупроводниках и в полуметаллах с учётом межчастичных корреляций. Основное внимание уделено легированным полупроводникам, так как в них кулоновский параметр может быть не малым и, следовательно, роль электрон» электронных корреляций может оказаться существенной, (и полупроводникам в неравновесном состоянии, созданном за счёт лазерной подсветки). В § 1 главы 3 указано на расщепление высокочастотных мод коллективных колебаний. Впервые рассмотрены объёмная и поверхностная ветви колебаний в легированных и неравновесных полупроводниках на частоте, равной величине энергетической щели между зонами при условии близости эффективных масс электронов [51'78'921о Получены спектры смешанных нуль-звуковых колебаний в однозонных полярных полупроводниках в ИК области частот (о смешанных коллективных колебаниях в г99к полярных полупроводниках см.1 и рассмотрено влияние на них Г1001 межэлектронных корреляции 1 \

В работе 1~65'! (см. также ) показано, что в полуметаллах акустические плазменные колебания существуют и при равных фермиевских скоростях (эффективных массах) носителей, однако эти колебания устойчивы лишь выше некоторой температуры, а ниже неё полуметалл переходит в состояние плазмоннош диэлектрика за счёт того, что электроны обмениваются между собой акустическими плазмонами 64\ Вследствие Бозе-конденсации плазмонов возникает щель в спектре плазменных колебаний и ниже температуры перехода звуковая ветвь отсутствует. Однако в цитированных работах не учитывался электронный ^-фактор в недиагональных по зонному индексу вершинах, который даёт характерный множитель, пропорциональный косинусу угла между передаваемым импульсом и дипольным моментом перехода электрона из зоны в зону. Учёт ^--фактора не влияет качественно на уравнение для диэлектрической щели , но влияет на звуковой спектр полуметалла выше температуры перехода в состояние плазмоннош диэлектрика [66,134\

В §2 главы 3 предложена ещё одна возможность возбуждения электронного звука (нуль-звука или акустического плазмона) в полуметаллах, а также легированных и неравновесных полупроводниках слабонеоднородным высокочастотным электрическим полем большой интенсивности ^1031 Сильное электрическое поле меняет дисперсионные свойства вещества, следствием чего является его параметрическая неустойчивость относительно возбуждения в нём коллективных колебаний. Исследование таких неустойчивостей представляет интерес для развития теории самой по себе и для её практических приложений.

Оно стало активно развиваться с появлением мощных источников внешнего воздействия на систему, лазеров. Параметрические процессы относятся к числу нелинейных проявлений отклика системы на внешнее воздействие. Их изучение с- - поп оыло начато сначала для газовой плазмы , а затем продолжено для конденсированных сред В диссертации рассматриваются полупроводники и полуметаллы в двухзонной модели. Параметрические процессы отличаются двумя характерными чертами. Во-первых, обычно выполняется резонансное условие между частотами: внешнего поля и собственных колебаний системы (а}=0)1+со>2)' Во-вторых, параметрические процессы относятся к числу пороговых явлений. В окрестности резонанса внешнего поля с собственными колебаниями системы возможно значительное снижение величины напряжённости электрического поля и развитие параметрической неустойчивости с образованием двух продольных волн: ленгмюровской и звуковой. При этом предполагается, что частота внешнего поля & не близка к ширине запрещённой зоны полупроводника Д поэтому перестройкой энергетического спектра носителей заряда можно пренебречь. В модели двухкомпонентной электронной жидкости в кристаллическом полупроводнике (или полуметалле), в распаде поперечной электромагнитной волны на ленгмюровскую и звуковую могут участвовать нуль-звуковые, акустические плазменные и решёточные колебания. С помощью квантовых уравнений движения в первом порядке по нелинейному взаимодействию найдены выражения для величины порогового значения поля и инкремента нарастания звуковых колебаний выше порога Особый интерес представляют нуль-звуковые колебания, так как для них по пороговой напряжённости внешнего поля можно оценить нулевой коэффициент Ландау А о. Не менее интересен и случай с акустическим плазмоном, который до сих пор не обнаружен. Даны оценки для вырожденного примесного полупроводника типа 1п8Ъ и для полуметалла типа Вг Они показывают, что параметрический способ возбуждения нуль-звука и акустических плазменных колебаний в указанных веществах вполне реален. В то же время в металлах, из-за относительно большой диссипации энергии внешней волны, параметрическая раскачка этих колебаний вряд ли возможна. Что касается фононной ветви, то всё определяется отношением двух величин: энергии Ферми и усреднённого потенциала взаимодействия электронов с решёткой (потенциала деформации). Заметим, что конкурирующий процесс комбинационного рассеяния поперечной волны на звуке имеет значительно более высокий порог и поэтому подавлен.

Как показано в работе В.М.Галицкого, С.П.Гореславского и В.Ф.Елесина полупроводник в сильном электромагнитном поле с частотой, превосходящей ширину запрещённой зоны, переходит в состояние "оптического изолятора" со щелью в энергетическом спектре электронов, пропорциональной сильному полю. * Определённая аналогия между сверхпроводящим переходом в металлах и переходом полупроводника в состояние "оптического изолятора" позволяет отнести рассматриваемую систему "полупроводник + сильное электромагнитное поле" к системам с сильными межчастичными корреляциями. В §2 главы 3 исследуется влияние неоднородности полупроводника, обусловленной сильным электрическим полем типа стоячей волны, на оптические свойства полупроводника. В отличие от предыдущего параграфа условие резонансности внешнего поля выполняется в том смысле, что частота внешнего поля считается ■ близкой к ширине запрещённой зоны, & & А Важным пунктом в описании поведения полупроводника в резонансном электромагнитном поле является переход к новому представлению состояний электронов и дырок. В случае гамильтониана, периодически зависящего от времени, целесообразно оперировать с квазичастичными состояниями, введёнными Я.Б.Зельдовичем в качестве новых состояний с определённой квазиэнергией - Они являются обобщением понятия стационарного состояния^116'117'. Спектр энергии квазичастиц полупроводника в сильном электромагнитном поле впервые был рассмотрен в работах а также в [120'124\ Здесь наиболее существенным моментом является перестройка спектра - образование щели 2Л, линейно зависящей от амплитуды внешнего поля Е. Её появление приводит к изменению оптических свойств полупроводника, например, к возникновению области прозрачности в коэффициенте усиления (поглощения) дополнительного слабого сигнала Влияние пространственной неоднородности поля на спектр возбуждений электронов полупроводника в случае стоячей волны и в случае двух бегущих навстречу друг другу волн с разными амплитудами рассматривалось в работах ^27'1281> в первом случае щель в спектре возбуждений исчезает полностью, а во втором уменьшается пропорционально разности амплитуд полей. Наличием щели в спектре электронных возбуждений полупроводника объясняется также основной нелинейный эффект ~ насыщение генерации сильного поля в полупроводниковых лазерах, предсказанный в работе В.М.Галицкош и В.Ф.Елесина [1291

В н.2.1 главы 3 обобщена кинетическая теория генерации сильного поля в приводит к более высокому предельному значению поля генерации, чем в меняет кинетических уравнений генерации и его учёт даёт малые поправки к предельному полю генерации в обоих режимах (высокой и низкой добротности). Сказанное относится к оптическим переходам электронов типа " зона-зона". В случае же переходов типа "зона-примесь" предельное поле генерации степенным образом зависит от концентрации примеси, что качественно согласуется с результатами экспериментальных работ ^132,13Ч В п.2.2 изучено поглощение сильного поля в полупроводнике. Когда релаксационные процессы определяются локальным значением поля, его поглощение идёт только за счёт процессов рекомбинации электронов и дырок. При условии их медленности по сравнению с процессами рассеяния электронов на фононах пространственная неоднородность поля практически не влияет на поглощение В заключение остановимся на работах ~137*, в которых рассмотрен нелинейный эффект взаимодействия трёх мод: сильной моды на основной частоте лазерного излучения и двух слабых мод шумового фонового излучения, расположенных симметрично по отношению к сильной моде. Доказывается автостабилизация режима одночастотной генерации в инжекционных лазерах, в основе которой лежит возникновение спектрального провала около сильной моды, что предотвращает возбуждение соседних мод. Сделано утверждение о нечувствительности предложенного механизма взаимодействия трёх мод к уменьшению времени внутризонной релаксации г, происходящей вследствие рассеяния электронов на фононах и на примесях, а следовательно, и к условию на допустимую величину сильного поля, Лт»1. Показано также, что этот механизм включается уже при невысоких интенсивностях поля на частоте генерации лазера, когда искажения зонного спектра полупроводника ещё не проявляются.

Г152-1751 и т.д.1 , она не потеряла своей актуальности до настоящего времени в связи с расширением области практического применения молекулярных сред, например на жидкие кристаллы [1761 Впервые Лоренцем была предложена процедура нахождения локального поля, когда исследуемая молекула окружается воображаемой полостью (Lorentz cavity model) с микроскопически большими, но макроскопически малыми размерами, и затем расчитывается вклад в электрическое поле в центре полости отдельно от зарядов вне и внутри неё '■1671 В дальнейшем эта процедура усовершенствовалась и уточнялась I168-171'174»175^ Позднее были развиты и другие методы. Например, в [177>178] локальное поле mWlic ^ получается усреднением микроскопического поля, Е , действующего на данную молекулу, по положениям и ориентациям других молекул с помощью бинарной функции распределения g(r-r') f1'2'4»5'179^ в свою очередь микроскопическое поле находится суммированием первичного поля Ж0 и полей от всех молекул, кроме данной, в точке Жа, где молекула находится. Отметим, что рассмотрение ведётся в дипольном приближении, а«А, где а — характерный размер молекулы, X - длина волны электрического поля (вклад высших мультиполей в Ет1С обсуждается

В.М.Аграновичем и М.Д.Галаниным в f180»181^

В главе 4 рассмотрены флуктуации локального поля и корреляции между ними, обуславливающие пространственную дисперсию аморфных диэлектриков.

В §1 разработана теория пространственной дисперсии в изотропной среде из аксиально симметричных молекул [Ю1 Известно, что причиной пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости является нелокальная связь между электрической индукцией и электрическим полем [Ш1 В данном случае нелокальность является следствием учёта корреляций между флуктуациями анизотропии соседних молекул, что обусловлено ориентационным взаимодействием молекул. Что касается корреляций между флуктуациями положений молекул, то они не дают вклада, так как характерная длина ориентационнош взаимодействия молекул больше межмолекулярного расстояния и после усреднения по положениям молекул микроскопического поля, Ет1С, с

2] состоящем из молекул г сортов (| &1). Введены средняя по сортам молекул поляризуемость а и её флуктуации Получена диэлектрическая проницаемость такого диэлектрика, в которую входят а и средний квадрат флуктуации <(8а) >. Рассмотрены аномальные электромагнитные волны в многокомпонентных аморфных диэлектриках в области частот, где средняя по сортам поляризуемость молекул близка к нулю, вследствие чего диэлектрическая проницаемость среды определяется только <(8а) >. Изучена также пространственная дисперсия в частном случае двухкомпонентной среды с малой концентрацией одной из её компонент. С помощью полученного выражения для диэлектрической проницаемости найдены спектры поперечных электромагнитных волн на поверхности двухкомпонентной среды. Выявлены аномальные свойства этих волн: зависимость фазовой и групповой скорости волны от её частоты и <(ёа) >. Получена минимальная концентрация растворённого вещества при добавлении его к растворителю, при которой в растворе возможно черепковское излучение, при условии, что в чистом растворителе условие черепковского излучения не выполняется. Найдена зависимость порога черенковского излучения от концентрации второй компоненты среды. Дана оценка интервала частот вблизи нуля средней поляризуемости молекулы, вне которого черепковское излучение возможно.

В главе 5 исследованы флуктуации локального поля и структурные неоднородности в одноосных кристаллах. В §1 главы 5 получены температурные зависимости диэлектрической проницаемости одноосного кристалла и показателя преломления одноосного кристаллического полупроводника Показано, что основной причиной температурной зависимости диэлектрической проницаемости одноосного кристалла являются тепловые флуктуации ориентации осей анизотропных молекул. Получены главные значения тензора диэлектрической проницаемости, е0 и как функции температуры Т. Подтверждены экспериментальные данные в интервале температур 100 -§- 1000К, указывающие на сильную зависимость температурных изменений диэлектрической проницаемости от симметрии решётки ^1871 Получена температурная зависимость решёточной части коэффициента преломления полупроводника, определяемая ориентационными флуктуациями осей его молекул. Исследован вклад электронов проводимости собственного полупроводника в температурную зависимость его коэффициента преломления. Оценена температура, выше которой коэффициент преломления определяется вкладом электронов проводимости, а ниже — вкладом решётки. Надо сказать, что в зависимость £ (или п) от Г, вообще говоря, даёт вклад также и зависимость от температуры поляризуемости молекулы а а=ае1+аог(Т), где (£1 - индуцируемая (электронная) поляризуемость, а аог(Т)~ 1/Т-ориентационная поляризуемость полярной молекулы ^1671 Однако, второе слагаемое в случае неполярных диэлектриков, изучаемых в диссертации, отсутствует, поэтому а-с£1 и не зависит от температуры. Отметим , что полученные в диссертации температурные зависимости диэлектрической проницаемости кристаллических полупроводников могут быть использованы при разработке новых методик в интегральной оптике [189'19(Чо электрического поля обыкновенной волны (Е-волны) и магнитного ПОЛЯ необыкновенной волны (//-волны), из которых видно, что они существенно отличаются друг от друга. Первое уравнение не имеет особых точек и содержит только поперечную диэлектрическую проницаемость е (г). Оно совпадает с уравнением для электромагнитного поля в одномерно неоднородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью £ (г). (В приближении геометрической оптики получено решение уравнения для поля Е-волны в одноосном кристалле).

Второе уравнение содержит оба главных значения тензора диэлектрической проницаемости, £ (г) и где т](г)- продольная диэлектрическая проницаемость.

Причём оно имеет две особые точки, £ (г) =0 и щ(г) =0, и отличается от соответствующего уравнения для магнитного поля и-волны в одномерно неоднородной изотропной среде слагаемым, пропорциональным отношению щ -£)/щ. Стандартным образом найдены линейно независимые решения в окрестности особых точек. Рассмотрено отражение .Д-волны от слоя одномерно неоднородного диэлектрика толщины а, содержащего нуль £ или нуль щ в двух случаях: а) Л«а~Ь и б) Ь ~ а« Л, где Л - длина волны поля, Ь- характерный размер неоднородности. В первом случае коэффициент отражения волны р а во втором случае мал [2191 В то же время, если слой диэлектрика содержит изотропную точку тензора диэлектрической проницаемости кристалла £= 7], что может качественно соответствовать случаю одномерно неоднородной изотропной

Среды, разобранному в [220% коэффициент отражения р=0. В приведено решение задачи, полученное в работе [220], о поле в одномерно неоднородной изотропной среде, из которого следует резкое усиление поля вблизи нуля диэлектрической проницаемости при отражении от слоя диэлектрика.

Полученные в диссертации результаты говорят о том, что вывод авторов работы [220]

1 1 несправедлив, так как в окрестности изотропном точки нельзя предполагать малой разность главных значений тензора диэлектрической проницаемости по неоднородностью можно отнести полупроводники и металлы, в которых всегда

В последней, 6-ой главе диссертации, рассмотрены колебания на поверхности донных и флуктуационных эффектов в дает сдвиг частоты ко» Для пол: клад флуктуации локального пля в поляризацию многокомпонентного и

2. Вывод выражений и анализ ЫЧ спектров объёмных и поверхностных иновых коллективных возбуждений двухкомпонентной электронной и и

Параметрическое возбуждение электронного звука в легированных лазере для случая сильного неоднородного электрического поля типа стоячей

Пространственная дисперсия в изотропных диэлектриках, вызванная: зависимость диэлектрическом проницаемости одноосного и

Глава Но Ншнштаототгаы© бтеетшшюты© пшлшеюшЕшиьп® вшбуавдшшш в

ДВуХ]К©мш©1ш©щтш©Ш ЗарЯ1Ж@ШШ]©Ш (ферМШ-ЖШЩПШетШ в м©д©лиш "ж©ле"

Известное выражение для энергии, приходящейся на один электрон в простейшей модели однородного электронного газа[150],

Е=Ек+Еоб+Екор=(2,2099/г52) + (- 0,9163/г5)+ (0,0622\т3-0,096), где Ек— кинетическая, Е0в — обменная, Екор — корреляционная энергии, гБ— безразмерный параметр (г5 > 1 для металлов, см. введение), показывает, что обменное взаимодействие и межэлектронные корреляции в металлах не малы. Благодаря электрон-электронным корреляциям происходит существенное изменение сжимаемости электронной системы. В однокомпонентной электронной жидкости это приводит к перенормировке дебаевскош радиуса экранирования [24,67]^ что Пр0является во многих явлениях, например, связанных с возбуждением продольных волн поляризации.

В §1 главы! в рамках феноменологической теории Ландау в модели "желе" показано, что поскольку и в двухкомпонентной заряженной ферми-жидкости обменно-корреляционные эффекты перенормиругот дебаевский радиус экранирования электронов, то это приводит к существенной зависимости спектров низкочастотных объёмных волн поляризации от "нулевого" коэффициента Ландау А0 (в первом приближении), то есть свидетельстует о сильном проявлении эффектов локального поля Впервые рассмотрены поверхностные низкочастотные волны на границах раздела двух однокомпонентных ферми-жидкостей или двухкомпонентной ферми-жидкости с диэлектриком [351 Получены спектры этих волн, которые также содержат коэффициент Ландау А0>

В §2 главы 1 проведено аналогичное рассмотрение нуль-звуковых колебаний в двухкомпонентной заряженной ферми-жидкости. Новыми результатами являются:

1П1 Т ТГ-^Г ТПЛР/ГЫК^^ <ПГ г ¿¿V, Я"ОГО\ ЯТ (/Г> УТШ^/Г^П^Т^ Г^ГОТГ^ТТТГО (Пг\ ПТ>/ОьПРТП) Т ТГТ^ЛТТТТ ГЬЧГЙ-Я ТХРГЪ ТГТГ ТПхГЪ ТШПП/ГЛТУ^ЧГ ТГ-^г щ=г](хд={(1/2хдЩ(1+ xi)/(l-x¿\ - 1} - функция Линдхарда, (1.4) $ = А0Л- (в;/е)Ао\ х,- = Ь?{/(й) + IV), ш( = ш + щ

Здесь с&ои Уь Щ ~ ленгмюровская частота, заряд, скорость на поверхности Ферми и частота столкновений частиц сорта г (¡=1,2); ес - диэлектрическая постоянная ионного остова.

В длинноволновом пределе, хг- << 1, имеет место обычный результат е0(О = г»/, + к с , в)ь =Щ)1 +Щ)2 , &» ц

15)

Оц = (3/5) (а>0^1 /ш с)2 [1+ (5/9)А011], ау = (е] /Зе)> (ш0,-уу- /со с)2А0 и, откуда видно, что корреляционные эффекты приводят к перенормировке скорости волны.

В квазистатическом пределе, хг- »1, колебаний практически нет - имеет место экранировка, при этом радиус экранирования определяется следующим

431 выражением 1 ] е1 = £с + Л(кгэ)-2, гэ2 = г02[(1+А0")(1+А/) -А$Ао]1(1+^)-1 (16) где го=у/(Во ^¡3 — дебаевский радиус вырожденного электронного газа. Перенормировка дебаевскош радиуса существенно сказывается на спектре

60,611 акустических плазменных волн, существующих в электронно-дырочном газе в области фазовых скоростей: у2 « « V;. В жидкости спектр акустических плазмонов принимает следующий вид ш2 = й)022(1 + Я21)/[1 +А0п+(кг01)'2] (17)

Если, кроме того кг01« 1, то спектр аналогичен спектру ионного звука и

21 71/2 ми оказывается смещенной вследствие ферми - жидкостного (обменно

60,61] г >( временной дисперсиеи, в частности диэлектрик, вырожденный или т. основном, продольный характер. В этом случае дисперсионное уравнение

2\Г„ /у I

12 , 2 , 1 2 г пх > 1 са= т'+Ш', со'= Ш1(£с1+8с2)'1/2[1+(1/2') (кхС/шьУ^ц + а22)], (1.10) со" *-(у/2со') - (£с22кхУ! /2т[)[Ь1 + Ь2 (щ/п^3] (£с1 + £с2)'3/2, (111) где - концентрация носителей, а

Ъ( = (1/6){(12/71?)+Ы[(3®)02/4£Ы®)2) + 1] - 3т02/(3т02 + 4£ыш2)} (112)

Поскольку к^1«а>1, при условии ш»у как столкновительное, так и бесстолкновительное затухания оказываются малыми.

Более интересными с точки зрения эффектов локального поля являются низкочастотные волны, существующие в области частот кху2<<со «кхУ1 (в максвелловской плазме они рассматривались в работах [68,69] )„ Спектр таких волн в ферми—жидкости имеет следующий вид: т2= &02'[Нгг/тЛ^+О'1 {1~1[(кху2/т)Ъ2+(щ22со/+£)]}, (113)

2 2 1 /2 где Ь2 определено ВЫШе, £ = {ес1 +£С1( кхГэ1)~ } , а Ь,*=(1/28){1-[(28-1)кхгэ1 /2л/8] Ы [(л/8 + д- 1) / (л/8 - 8 + 1)]}, (114)

8=1 + (кхгэ1у2 В пределе кхгЭ1 »1 эта волна фактически сводится к "высокочастотной"

1 /2 поверхностной волне на второй компоненте, 00 = Щ2{£с1 + £с2у . В обратном пределе получим низкочастотную ветвь со следующим законом дисперсии (поверхностный аналог акустических плазменных колебаний):

СИ ' = Ú)02( КГэ!/VscJ)1/2} h 15) m"/m' = -(v/2 а/) - (а)02/ш01)(кхгэ])1/2(3 VecJ)1/2 [ b2(n} /п2)2/3+ 1+ 2\п( кхгэ1/2)]

Нетрудно видеть, что затухание определяется в основном столкновениями и

1 /2 мало при условии v « щ2 ( кхгэ] ) Для полученной моды корреляционные эффекты приводят к сдвигу частоты, пропорциональному Ао. Следует подчеркнуть, что в отличие от многокомпонентных сред в рассматриваемом случае мы имеем дело с носителями, принадлежащими разным средам, поэтому, с одной стороны, не возникает проблем, связанных с гибридизацией, а с другой — имеется большая свобода в выборе параметров.

Рассмотрим также спектр поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы раздела двухкомпонентной ферми-жидкости с диэлектриком. В пренебрежении запаздыванием имеем следующее уравнение: kx/n)fdkz/k28l(mk) = - 1/so, £0> 0 (1.16) при этом ¿ определяется формулами (1.3), (1.4).

Высокочастотная ветвь колебаний и в этом случае оказывается нечувствительной к корреляционным эффектам. Её спектр определяется формулами (1.10), (7.11), в которых достаточно сделать замену ес2 £о и добавить в формуле (1.10) к сумме (a¡j + а22) перекрёстные щ, а в (1.11) -умножить на (ec¡ + Eq)/e0 и заменить b¡ на b¡ ' ~ ( 1/6) f In | (Ес + 3ú)0J2ú) ~2)/(ес - 3ú)012ü) '2)\ -1} При наличии носителей с разными массами (m¡ « гп2) или в условиях анизотропной жидкости существует низкочастотная мода (результаты для плазмы

СМ. В -бг'бд] у Дисперсионное уравнение ЭТОЙ ВОЛНЫ В области У2 « со/ кх« V; имеет следующий вид й)2=й)022[1- (1У/а)][£с+ (1/2)(кхгэ1)-2+^]-1[1-(£03ш\у2/^т022(в)Щ, (1.17)

4 = ~ (2г /ж)¡{dx2/х2[х2-(kxv2/mf]1/2} Ims l(m, х2) /\б1(щ х2)\2, (118) с

2 2 (кхгэ1 /2)' + Бо , С - контур по линии разреза

В случае сильного экранирования первой компоненты, кхгэ1»1, возникает аналог "высокочастотной" ветви ш02/(ес+€о)1/2 , ааГ/®' (v/2m') - (1/12)(кху2/ш)[б0 /(ес + б0)fb2 (L19)

Корреляционные эффекты проявляются в обратном пределе кхгЭ1<< 1, когда волна принимает звуковой характер ш' = ш02кхгэ1, &"/&' (v/2m) - (sq/2 V3)(kx гэ1)6(щ/n2f6(wii /т2)тЬи, (1.20)

Ь" = Ь2 + (l/2)(n¡/n2) % тэ} определено в (1.6), у~ 1 Обменно-корреляционное взаимодействие приводит к перенормировке скорости "поверхностного" звука и к смещению его частоты, пропорциональному Л0. Затухание мало при выполнении неравенства r<< a)kxr0i.

§2. Нуль - звуковые колебания.

В работах f42,43^ было указано на возможность распространения в изотропной двухкомпонентной ферМИ-ЖИДКОСТИ низкочастотных (ú)«ú)l) обьёмных продольных колебаний звукового типа, непосредственно обязанных своим существованием корреляционным эффектам, и получен их спектр лишь в частном случае больших фазовых скоростей Уф»У]12. В области фазовых скоростей Уф> у/,2 было дано лишь численное решение для некоторых значений параметров жидкости. Получим решение дисперсионного уравнения (1.1) в области частот Ь?2 т « (О^35^: со' = Ь] {1 + 2 ехр[-2(1+а)/а]}, & " = - V, (121) а = А0 - (г02 /г01)2\Шщ ( у2/у] )}'', 0<а<1,

Ло = Я21 +

2 «12 ч

Величины а' Д/получаются из а, Л0 заменой индексов (1<н>2), при этом с,

У2 ху2 < кхУ1 <ш «

-1

Здесь х0£ 1 - решение уравнения ¿(т, х0) = О, у=(кху2/т)(о)/о)о2)2£оЬ',[2/хо(д£1/б>хо)]2 , Ь"=Ъ'+ (п2/п1)2/3Ь2, неравенства V« кхУ] <си. Заметим, что в непосредственной окрестности точки хо = 1 поле приобретает сложный характер и волновое поверхностное решение

Долгое время не удавалось экспериментально обнаружить нуль-звук в металлах. Однако в 1989г. в работе ^ с помощью пьезоакустических преобразователей продольной поляризации были произведены генерация и приём сигналов электронного звука со скоростью ~ V? в сверхчистом Оа, которые впоследствии были интерпретированы как нуль-звуковые колебания [401 В дальнейшем были проделаны эксперименты и с другими металлами, например с А!Ж,Мо [41]. Следует отметить, что прямые эксперименты были выполнены только с Оа, причём было указано, что вклад затухания Ландау в затухание электронного звука практически отсутствовал. Это указывает на то, что возбуждался именно нуль-звук, так как для акустических плазмонов затухание отлично от нуля на лёгкой компоненте. (В первой экспериментальной работе ^ звук в металле был назван "электронным55. Действительно, акустический плазменный звук и нуль-звук можно считать одной звуковой ветвью, но в разных областях фазовых скоростей ). Поперечные нуль-звуковые колебания в двухкомпонентной заряженной ферми-жидкости были рассмотрены в работе , и там же был предложен метод их изучения по спектрам рассеяния электромагнитных волн.

В заключение этого параграфа остановимся на одном важном для теории ферми-жидкости моменте, а именно, на экспериментальном определении коэффициентов Ландау А<?. Известно, что первые коэффициенты разложения бесспиновой части функции Ландау в ряд по полиномам Лежандра, А0, Aj,A2, (спиновая часть этой функции не рассматривается) играют существенную роль в теории ферми-жидкости, так как величина коэффициента Ап быстро уменьшается с ростом числа п Третий коэффициент Ландау, А2, может быть легко найден, например, из экспериментов по циклотронным волнам р4'281о Второй коэффициент, А], можно определить по измерениям эффективной массы электрона с помощью циклотронного резонанса Азбеля-Канера [91 Поэтому речь идёт о первом, и самом большом коэффициенте А0.

В предыдущих разделах были рассмотрены два типа эффектов локального ПОЛЯ, В которых вполне определённо Проявляется уже первый коэффициент А о , что обусловлено влиянием электрон-электронных корреляций на сжимаемость металлов [271. Во-первых, имеются в виду акустические плазменные (1.8) и нуль-звуковые (1.21),(1.22) объёмные колебания. Влияние корреляций вызвано перенормировкой радиуса экранирования (см. выражение (1.6) \ которая, в принципе, может быть определена с помощью оптических измерений импеданса как функции угла падения электромагнитной волны [671 Точность таких экспериментов ~ 0,1%. Во-вторых, коэффициент А0 можно определить по спектрам поверхностных низкочастотных плазменных и нуль-звуковых волн в металлах. В спектрах высокочастотных поверхностных волн учёт корреляционных эффектов даёт лишь малые добавки. Однако для низкочастотных волн, <®<<<®& это существенно ( в случае максвелловской плазмы низкочастотные волны были рассмотрены в Е69]). Выше был получен спектр низкочастотных плазменных волн на границе раздела между двумя однокомпонентными ферми-жидкостями (1.15), а также спектры плазменных (1.20) и нуль-звуковых (1.23) волн между двухкомпонентной ферми-жидкостыю и диэлектриком, что также даёт возможность определения первого коэффициента Ландау Ао. Наконец, отметим, что сдвиги в спектрах низкочастотных волн (и объёмных и поверхностных), обусловленные корреляционными эффектами, можно измерить по спектру характеристических потерь заряженных частиц, а также с помощью оптических методов, например, в случае поверхностных волн с помощью метода нарушенного

721 полного внутреннего отражения 1 \

Глава 2о Макроепшютчеекаж дюл©шгрют©(шая1 тзрошщаемостъ м©талл®в9 п©лум©талл©в ш ш©лушр©в©дник©в © учетом м©жча©тичиых ширрелащшж

Основной задачей этой главы является вывод методом гриновских функций выражения для макроскопической диэлектрической проницаемости электронной подсистемы твёрдых тел, в котором единым образом были бы учтены обменно-корреляционные (ферми-жидкостные) эффекты локального поля, процессы переброса и межзонные переходы.

В § 1 рассмотрена однозонная модель металла и показано, что в рамках микроскопической теории ферми-жидкости учёт процессов переброса сводится к введению ещё одной феноменологической величины: четырёхполюсника взаимодействия электронов Г с перебросом [44]. В §2 микроскопическая теория диэлектрической проницаемости электронной ферми-жидкости обобщена на случай многозонной системы. В приближении двух зон и контактности взаимодействия электронов вычислена диэлектрическая проницаемость электронной жидкости с учётом вклада недиагональных по зонному индексу электронных поляризационных операторов [501 В п. 23 проанализировано влияние локального поля на спектры коллективных возбуждений металлов

Что касается электрон-фононнош взаимодействия, то оно определяет термодинамические и кинетические свойства металлов, может привести к

§ 1. Учёт ферми-жидкостного взаимодействия электронов и процессов переброса в однозонном приближении

Первоначально феноменологическая теория заряженной ферми-жидкости была сформулирована в модели "желе" [24,27]. Из реальных тел, по-видимому, лишь жидкие металлы при температурах, близких к температуре плавления, могут описываться этой теорией, да и то с некоторыми оговорками. При нормальных же (и низких) температурах металлы находятся в кристаллическом состоянии, то есть в системе существует дальний порядок, и она трансляционно неинвариантна. Формально в одночастичном формализме это обстоятельство требует перехода от плоских волн к блоховским функциям, или, что то же самое, от импульсного представления к энергетическому (о выборе того или иного представления см., например, ^). Как следствие этого в системе появляются процессы переброса и межзонные переходы. Далее можно использовать различные модельные подходы - приближение ортошнализованных плоских волн, приближение атомных орбиталей и т.п. - в результате чего могут быть получены качественные ответы и количественные оценки. В теории ферми-жидкости в этом направлении был

3+Г4> происходит вблизи поверхности Ферми. взаимодействие дают три "затравочных" потенциала: а) хартриевский, Ух; б) обменно - корреляционный (фоковский), Ус> и взаимодействия, "одетые" виртуальными последний потенциал приводит к отличию от

Изобразим графически эффективное взаимодействие электронов во втором и - - +- + ^^сш^ сз -+ ==си>+ ~~си>-сиэ— +

Здесь пунктирной линии соответствует сумма (Ух + Ус), а ВОЛНИСТОЙ Уь . В взаимодеиствия, которые мы не приводим из-за их громоздкости.

25]

-7Гаі= Vі(а) где У(д) = Ух+ /л; /л - короткодействующая часть взаимодействия, содержащая, кроме обменного, и другие электрон-электронные корреляции - функция Ландау; П°(д) — обычный поляризационный оператор; д=(щ7ш) — четырёхмерный вектор передаваемых импульса и энергии.

Учитывая, что гамильтониан системы не зависит явно от времени, для фурье-представления функции Грина по времени т = М' имеем г-о»

В представлении функций у/ра(х) оно имеет следующий вид

Вуёар (РзР4, Р1Р2) = Уувар (Рз р4, Р1Р2) ~ (2.11)

- Паа.ШрЗ РбУуааа(РзРб,Р1Р5)0£(р6)0°(р5)Ва5ар(р5р4,р6р2),

6 5" « 5 ¡Г 6 где Уг§ар = 2п8 (£3+84 -£] -£2) Уу§ар фзР4, Р1Р2) — матричный элемент кулоновскош взаимодействия (см. (2.1))

Далее можно ввести либо четырёхполюсник взаимодействия Гу8ар, либо "парциальные" функции взаимодействия В$р (цр2Ь). Во втором случае получаем гп* [78] систему зацепляющихся уравнении для В$р (2,12)

Соотношение (2.12), записанное в виде бВ=У, определяет тензор микроскопической диэлектрической проницаемости е, компоненты которого равны

Ч)1 »■=£»■- У(щ+2тй)1ааПьь'аа(Ч), (2.13)

12 12

П№'ал(д)=21/^а1а^Ьдр)в\/р-(д/2)) С°а/р+(д/2))§Ска/р§Ь') - (2.14)

Уф]Р2•). Блок первого типа описывается уравнением (2А). Во втором случае получаем

Г(р!р2д)=У(р!р2) -21//р¥(р1р) <?(р) О0(р+д)Црр2д) (2.19) областям импульсов к интегрированию по поверхности Ферми (рис.1, стр.213),

9 9 \ ТГ7 у 3 \ ,V / \ / / Э\И "Ъ (.С

ЬеіІія -п^ Л И п тиъ 1 я ууі яИ /а»ш »1/1/ тг^/-?ч-гк«?ч'тгтгтт?гтттгіг5\ перенормировочный множитель электронной функции Грина; П°(д) и лР^ц) ж! $ Ч//9 1- У(а)[П°(а) + П1

5 И І^-У^м II IIУ-^ м

6шбрид" ¥х и Ус, "одетых" процессами переброса. Таким образом, проблему ценой введения новой, в общем случае невычисляемой, величины 171 или короткодействующим потенциалом ¥с+¥ ( ). В этом случае диэлектрическая проницаемость принимает следующий вид

Этот результат по форме соответствует обычному выражению для диэлектрической проницаемости электронной системы с учётом эффектов локального поля (см., например, выражение (4.6) работы д)=1 - {Зш02щ(х)/д2у2[1-А0щ(х)]},

12')

Напомним, что в разложении функции Ландау здесь оставлено одно слагаемое с наибольшим коэффициентом Ао ). Из (1.2') видно, что в приближении Хартри-Фока поправка на локальное поле Р= —1 С другой стороны, "выключая" корреляционные эффекты, т.е. полагая Ус=0, получаем результат д)=1 -{3&02фУд2У2[1-С0г](х)Л С0=(р0м/^)Г0т, (2.27) аналогичный выражению (15) работы [451, в котором надо положить П55°°=0, то есть оставить в, ¿(д) только вклад от одной ¿/-зоны с учётом эффектов переброса (см. также [46'4Т|). Здесь Го° - нулевой член разложения в ряд по полиномам Лежандра эффективного четырёхполюсника взаимодействия электронов, обязанного своим происхождением процессам переброса.

Таким образом, в рамках рассматриваемого подхода мы можем единым образом учесть как обменно-корреляционные, так и решёточные эффекты локального поля (пренебрегая вкладом фононов). Однако следует подчеркнуть, что полученные результаты справедливы лишь в случае малых передаваемых импульсов и поэтому не могут служить для определения полного взаимодействия электронов в среде, которое включает произвольные импульсы и требует учёта более сложных процессов (обсуждение этого вопроса можно найти в ^). Выше получена макроскопическая диэлектрическая проницаемость электронной жидкости в кристаллической решётке с учётом эффектов локального поля, обусловленных как взаимодействием электронов, так и эффектами переброса. Хорошо известно, что такая проницаемость определяет отклик системы на длиноволновые возмущения и мало чувствительна к большим передаваемым импульсам. Естественно, что рассматриваемая проблема учёта поправок на

164,46,47,791 тт локальное поле в макроскопической теории не нова 1 . По существу нами предложена одна из процедур перенормировки диэлектрической проницаемости, обобщённая на случай сильного взаимодействия электронов.

Отметим, что получена лишь продольная диэлектрическая проницаемость, то есть отклик на продольное электромагнитное поле. Однако вследствии малости д пространственная дисперсия для поперечной диэлектрической проницаемости является слабой, поэтому соответствующие поправки малы. Тем самым и влияние процессов переброса на поперечную проницаемость в этой области невелико, и в первом приближении им можно пренебречь, учтя соответствующие поправки, если это необходимо, как возмущение В результате для полного тензора диэлектрической проницаемости е у(ф можно записать макроскопическое выражение с учётом решёточных эффектов локального поля.

Как уже отмечалось ранее в связи с соотношением (2.22), при кажущейся аддитивности жидкостных и решёточных эффектов они сложным образом перепутаны в поляризационном операторе П](д). В чистом виде жидкостные эффекты можно выделить, по-видимому, в щелочных металлах, где электроны образуют однородную систему и хорошо аппроксимируются моделью почти свободных электронов. В результате ир(г)^ 1+а, где а «1, и роль процессов переброса несущественна - для ¿(д) справедливо обычное жидкостное выражение модели "желе" (1.2'). В заключение заметим, что полученные выше результаты можно обобщить на случай, когда поверхность Ферми приближается к границе зоны Бриллюэна. Для этого следует воспользоваться волновыми функциями вида щ}(г)=арехр(1р1г)+ар+2Д§®хр{1(р+2^А)г} (см., например,[801).

§ 2. Электронная ферми-жидкость при наличии межзонных переходов

Большинство вопросов теории электронной жидкости металлов, связанных с наличием кристаллической решётки (влияние симметрии решётки и поверхности Ферми [70'82-84], вклад фононов ^ и т.д.), хорошо изучены. В то же время связь

В § 1 было рассмотрено кулоновское взаимодействие электронов одной зоны в энергетическом представлении. В двухкомпонентной системе, очевидно, тп/ттлинглтаг.'К'м'м тттрнгттага тт Яя/тгрт тмгятггатт^и и "^онпнглтмг9' ггплоттянгтпир»0 ехр(-ИтАг) под знаком интеграла делает перебросы в далёкие зоны Бриллюэна маловероятными. Из известного правила сумм для осцилляторов

Zn(En -EJ | <n\exp(-ikir)\s> | 2 = (к2/2т) (233) следует, что при b# 0 межзонные g-факторы порядка единицы, так как для малых передаваемых импульсов к & 2тЛ>. С помощью коммутатора [Н, ехр (-¡кг)] нетрудно получить для них общее соотношение, справедливое при произвольных к: p'ß| ехр(4кг) \ра>=(2ж/ме)[Еъ (kb)a*p+2!A.ksßap+27AJ х х [Ер -р - Ера+ (kp/me)-(k2/2me)J1 ~1, (2.34) где ар+2Л,а - фурье-образ модулирующей блоховской функции uPtJw), Ер>аГ энергия электрона в состоянии | ра >. Очевидно, для нормальных процессов, когда k=q«pf, недиашнальный g- фактор является малой величиной.

Вводя матричный элемент daß дипольного перехода между электронными состояниями а ж ß { разной симметрии ) можно записать в этом случае (Ь= 0) g- фактор в следующем виде: gaß = Saß + (qep) | daß \ (1-Saß) (2.35)

Таким образом, перебросы весьма существенны для межзонных переходов. Это обстоятельство в цитированных выше работах вовсе не учитывалось. В то же время, как показано выше, межзонные переходы и процессы переброса должны учитываться одновременно, что совершенно естественно, например, с точки зрения схемы расширенных зон. (В Приложении 1 (см.[52]) изучены свойства электронного g-фаюгора в одномерной модели дираковской потенциальной гребёнки, подтверждающие полученные выше общие соотношения).

В силу сказанного выше возникает своеобразная "иерархия" кулоновских потенциалов взаимодействия. Введём следующие обозначения: V) = Vх)щ, ¥2=

X XX

V 2222, ¥4 — V 1212 2121 — внутризонные потенциалы Хартри без перебросов; ¥5=

X XX X

V 1112 ~ ••• ™¥ 2111, ¥в=¥ 2221 ~ 1222— соответствеющие потенциалы с

X X

ОДНИМ межзонным переходом, ¥7 = ¥ 1122 2211 - с двумя переходами из зоны в X X зону; ¥3 = ¥ 1221 = ¥2112 - межзонное "обменное" рассеяние; щ = Vе цц и т.д. до щ — У1221 — обменно-корреляционные потенциалы без перебросов. Используя (2.29), (2.30) и (2.34), а также плотность электронных состояний на поверхности Ферми Z = получаем серию неравенств

1,2,4 ~ Vх = (4ш2/д2)-^(рр/ф2» ¥5,6 ~ ¥оХ(д/рР) ~^(Рр/д) » ¥3,7~ ¥0х(д/рр-)2 (р ¿=7.,7 - ¥0С =(4тш2 /1р] -р2\2); (е2/уР1 ~1) (2.36)

С другой стороны, все кулоновские потенциалы, содержащие перебросы, имеют один и тот же порядок

Р/=л.,7 ~ VхФ)*4ж2/\2Щ2 ~Z7~ .7 - Гф)=4ж2/\р} -р2+2Щ2 (2.37)

Подчёркнём, что иерархия имеет место и в модели ферми-газа ( ¥°—> 0), так как в этом случае ¥1,2,4» У5,6» Уз,7- Здесь следует отметить, что авторы работ[55"57]|, игнорируя процессы переброса, считали тем не менее все потенциалы Хартри

Поскольку в § 1 всё внимание было сосредоточено на учёте межэлектронных корреляций и перебросов, то после вывода уравнения (2.17) для Гг§ар далее рассматривалось лишь взаимодействие электронов одной зоны. Основная идея § 1 заключалась в том, чтобы с помощью ферми-жидкостнош формализма единым образом учесть в продольной диэлектрической проницаемости указанные

Паа(1ц -п/(с?р/(2я;)4) ва[р-(д/2)]ва[р+(д/2)], (а=1,2) (2.41)

Пп(ш, ф=П2}Ы -ф=^/(^р/(2ж)4)СС1[^(д/2)]02[р+(д/2)]> (2.42) где функции Грина О построены на блоховских состояниях и в частном случае изотропного закона дисперсии приводят для Паа к известному результату Линдхарда. Следует подчеркнуть, что в соответствии с проанализированной выше иерархией ^-факторы учтены нами в потенциалах взаимодействия с тем лишь уточнением, что для нормальных переходов (Ъ=0) в 17у2 появляется множитель диэлектрической проницаемостью ^ (щф двухкомпонентной заряженной ферми-жидкости. Подчеркнём, что нами получена диэлектрическая проницаемость лишь для малых передаваемых импульсов, то есть макроскопическая диэлектрическая проницаемость ¿м(щф- При этом в отличие от случая однородной системы ч матричное ядро Ф фактически состоит из двух ядер, одно из которых совпадает с обобщённой на межзонные переходы функцией Ландау Vе, а второе обязано своим

А у происхождением процессам переброса и сложным образом связано с V и у . Поскольку оба ядра не вычисляются, а должны определяться из эксперимента и в то же время входят во все выражения аддитивно, то целесообразность обьединения их в общее ядро Ф вполне оправдана. (В р321 с помощью двухчастичной функции Грина дан вывод кинетического уравнения Ландау-Силина для двухкомпонентной электронной жидкости и показано, что в первом порядке теории возмущений корреляции и перебросы дают аддитивный вклад в корреляционную функцию Ландау).

Раскрывая определитель (2.40), получаем явный вид диэлектрической проницаемости. сцф=[(ф3Ф72)П12П21 ~(П12+П21) Фз+1][(Ф4 + У0Х)(Ф1П22 +Ф2Пп)+ Ф}Ф2] -~[2(Ф3 - Ф7)П12П21 ~(П12+П21)]{(Ф4 + ¥0Х) [(Ф5 - Фб)2ПцП22 - (2.43)

-У3(Ф,П22 +Ф2Пц)]+ (Ф6 + У6)2 Ф,П22+ (Ф5+ ¥5)2Ф2Пц-¥3 Ф, Ф2}, где Ф;= (Ф{- Ф4)Пц - 1

Более прозрачный результат имеет место при сравнительно мягких предположениях Фу= Ф2= Ф4) Ф5= Ф6, Ф3= Фъ

О,Ф1)(ПИ+П22)- (Уз+Фз)сИ12+П21)+

2.44)

03+ У3Ф! -2¥5Ф5)(П11+П22)(П12+П21)

Отметим, что в дисперсионном уравнении (3.4) работы соответствующем соотношению (2.43) , опущено существенное слагаемое УзФ]Ф2. Это приводит, в частности, к неправильному "газовому55 пределу ¿г= 1-Ух(Пц+П22), не содержащему недиагональных операторов П^ и П21, а также к целому ряду неверных утверждений относительно спектра возможных колебаний (.аналогичный недостаток присущ и работам Вопрос о спектре возбуждений в двухзонной системе рассмотрен в следующем п„2.3.

2.3о Спектры коллективных возбуждений в металлах

Мношзонность носителей тока является характерной чертой металлов (например, й- и /- металлов), полуметаллов, а также полупроводниковых материалов. Естественно, что взаимодействие носителей — внутризонное и межзонное - существенным образом сказывается на многих свойствах указанных веществ. Рассмотрим влияние межзонных переходов на спектры коллективных возбуждений в электронной жидкости металлов. Будем исходить из продольной диэлектрической проницаемости (см. п. 2.2), записанной в следующем виде: т)д)=^г(тц)+(Ф1+Ф2-2Ф4)¥оХП11П22-2(Ф5ПИ+ ФбП22)У5П12(5)

7-е обменом частиц между зонами. Вид потенциалов и порядок их величины вид, и дагональные операторы и у, результаты расчётов которых для того или иного спектра коллективных возбуждении начнём с высокочастотных мод со ~ Л . Как правило, дисперсионное решено лишь графически. Сделав э Ч^з состоянии, и воспользовавшись металлах можно представить в следующем виде.

72,

-(&+/а?)][1-с11Щ(б/-А1У(а/-А2'!)\1 - ¿УМ (а/-А1У(а/-А2!)\= 0, (2

2 /і А 2

2 Л2\,/2 а2\

2 , „„ 2 ^2 , (0(Н

Мі*)'1, (І]=ф31

2 / 2 і - ■■ - ->рр , а12

Л1 ( ИЛИ -ЗИШШ УИЗ) И и! величины иШОШШИ! Ы2, уравнение имеет либо одно, либо два решения. В последнем случае можно

5<

2/2

2//„2 А 2

2 а2\ ще ЗА/] = [(Ф32 - Ф72)(п] - п2//ЗА]+ 2Ф3(п1 - п2), ЗА/2 = (Ф3- Ф7)(п1 - п2),

2 2 2 2

2/3)т*\с112\ А(&)о1 ~®>02 ), А/ = Д2 = А. (В равновесном случае П1^п2 для двух электронных зон, так как при да/*^»^* имеем Рг1^Рр2 из-за наличия щели А ^ 0). Запишем общее решение уравнения (2.49): ти2= (1/2){(ат+2+ А2+ ЬА2)±[(аси+2+ Д2+ ЬА2)2 - 4т 2А2 а]1'2}, (2.50) где а = 1+/¡, А 2Ь = т2(1+/2) - (он2- А2)/]

Нетрудно убедиться в том, что при а<0 имеется лишь одно решение, лежащее справа от щели А, если Ъ >0, и слева, если Ь<0. При положительных а и Ъ существуют две волны &} и <®2? причём Ш]< А <ш2. Наконец, если ашЬ разного знака (а именно, а>0, Ь<0), то решений либо вовсе нет (а+ Ь>0, У/а- У\Ь\ < 1 < или а+ Ъ< 0 и '\/а+'\/\Ь\ >1), либо есть два решения, лежащие по одну сторону от щели: слева - при Уа+/|6| <1 и справа-при а+Ь>0 и >1.

Близко лежащая к уровню Ферми заполненная зона в металлах также даёт расщепление плазменной волны, что непосредственно следует из выражений

П2.2) и (П2.7) для соответствующих поляризационных операторов в случае равных нулю П] или п2.

Что касается поверхностных волн поляризации, соответствующих объёмным плазменным волнам, то для высокочастотной волны, распространяющейся вдоль границы раздела со средой с диэлектрической проницаемостью <£/, согласно уравнению возникает расщепление, аналогичное расщеплению обьёмных волн. Для случая приблизительно равных масс носителей заряда результат

-у записывается в простом виде (см. (2.50)): ш =

1/2(£]+1)]{аб)+2+Ь+А2(£}+1)[(аш+2+Ь+А2(£1+1))2- -4ш+2А2(£}+1)а]1/2} (2.52)

В низкочастотной области, ду^^ш « А, возможны нуль-звуковые колебания, обусловленные как корреляциями, так и перебросами. Соответствующие поляризационные операторы определяются формулами (П2.4) - (.'П2.8% а дисперсионное уравнение принимает вид:

Ф32-Ф72)П12П21 -П12(з)Ф3 +1] (Ф1+Ф2-2Ф4 -Пи'1-Пп1) = (2.53) [2(Ф3-Ф7)П12П21 -П]2!1)](Ф5-Ф6 )2

После несложных преобразований оно сводится к следующему соотношению

Ф]+Ф2 -2Ф4 -2[(Ф5-Фб)2/(Ф3+Ф7 - Пп1)]= Пи'1 + П22', (2.54) с точностью до знака совпадающему с уравнением (3.10) работы [55] ( о выводе этого уравнения в ^ см. выше п.2.2). Из (2.54) следует, что межзонные переходы дают вклад того же порядка, что и внутризонное взаимодействие.

Приведённые моды исчерпывают спектр объёмных нуль-звуковых возбуждении в изотропной заряженной ферми-жидкости металлов в приближении двух зон. Указанные в ^ дополнительные нуль-звуковые колебания, а также моды, г56 57] полученные в при близких плотностях электронов двух зон, отсутствуют в реальных кристаллах, если воспользоваться корректными выражениями для поляризационных операторов в соответствующей области частот. Аналогичным образом не имеют отношения к нуль-звуку колебания, рассмотренные в работе так как они представляют собой обычный ионный звук (акустический плазмон), в случае жидкости подробно проанализированный в §2 главы 1.

Рассмотренные выше спектры возбуждений в двухзонной электронной подсистеме металлов (в рамках принятой модели) дают относительно полную картину бесспиновых коллективных колебаний. Было показано, что имеет место сложное перепутывание корреляционных эффектов, процессов переброса и межзонных переходов. Изучение спектра коллективных возбуждений позволяет, в принципе, выявить влияние тех или иных факторов, например, межзонных переходов, которые вызывают расщепление обьёмных и поверхностных волн поляризации. Оно наблюдалось на эксперименте и было подробно проанализировано для технеция в работе . С другой стороны, наблюдение нуль-звуковых и акустических плазменных колебаний накладывает ряд жестких ограничений, связанных в первую очередь, с диссипацией. Как следует из подробного анализа, сделанного в работе ^62\ наблюдение акустических плазмонов, оказывается весьма сложной задачей именно по этой причине.

Конечно, использованные нами модельные представления в некоторой степени идеализированы, так что вряд ли можно ставить вопрос о детальном сравнении теории с экспериментом. Учёт реальной зонной структуры [95], частичной гибридизации зон эффектов анизотропии решётки и поверхности Ферми [70], может заметно изменить конкретный вид дисперсионных уравнений. Тем не менее рассмотрение носит в целом достаточно общий характер, и физическая картина, не наш взгляд, не должна существенно измениться при учёте указанных эффектов, а

61 полученные выводы могут быть использованы и при исследовании более сложной и близкой к реальным условиям ситуации.

Глава 3. Кшхллеюгшвшы© мшзшшш в ишдшородшыж тшпунпрошвдшшгах га пголуметаллаж с учётом ювррелящшй межаду элкеюгротамга

В главе 3 на основе общего выражения для диэлектрической проницаемости, полученного в предыдущей главе, в п. 1.1 изучается влияние локального поля на спектры коллективных возбуждений в полупроводниках и полуметаллах.

Указано на расщепление высокочастотных мод колебаний в легированных полупроводниках и в собственных полупроводниках при 1У 0. Изучены объёмная и поверхностная моды колебаний в приближении близких эффективных масс электронов на частоте ш=Л где А - щель между зонами. Показано, что обменно-корреляционные эффекты локального поля существенно влияют на спектры плазмофононных колебаний легированных полупроводников и полуметаллов в ИК-облаети частот [1001 Впервые изучено влияние межзонных переходов на звуковой спектр полуметаллов вблизи температуры перехода в

661 состояние плазмоннош диэлектрика с учетом угловой зависимости электронного g- фактора. В п. 1.2 рассматривается параметрическое возбуждение объёмных звуковых колебаний (акустических плазмонов, нуль-звука и акустических фононов) слабонеоднородным высокочастотным электрическим полем большой интенсивности в полупроводниках и полуметаллах в рамках модели двухкомпонентной заряженной ферми-жидкости иоз\ Найдены инкременты нарастания звуковой волны и величины пороговых напряжённостей внешнего поля«, Оценен порядок этих полей для примесных полупроводников типа 1п8Ь и полуметалла Ш. Указывается на возможность определения ферми-жидкостных коэффициентов Ландау Ад по величине порога возбуждения нуль-звуковых колебаний.

В §2 главы 3 обобщается кинетическая теория генерации сильного поля в полупроводниковом лазере на случай пространственно-неоднородных полей типа

130,1311 -о стоячей волны 1 \ В вигнеровском представлении получены кинетические уравнения для матрицы плотности электронов полупроводника, взаимодействующих с генерируемым полем. Показано, что в режиме высокой добротности насыщение генерации происходит при значениях поля, больших, чем в однородном случае. Произведена оценка вклада примесного упругого рассеяния в предельное значение поля генерации полупроводникового лазера с электронными переходами "зона-зона". Для лазера с электронными переходами 00 00 примесь-зона найдена зависимость предельного поля генерации от концентрации примеси в полупроводнике. В последнем разделе §2 изучено поглощение сильного поля в полупроводнике, которое в случае, когда релаксационные процессы определяются локальным значением поля, идёт только за счёт процессов рекомбинации электронов и дырок.

§1. О коллективных возбуждениях в полупроводниках и полуметаллах с учётом межэлектронных корреляций

Здесь Ео — вклад электронов внутренних оболочек атомов.

Ус~4ж2/рР2» Vх(Ь) ~у°(Ь) ~ 4ж2/Ь2,

3.2)

В полупроводниках при отличной от нуля температуре или при наличии легирования указанное в п.2.3 главы 2 расщепление высокочастотных мод (2.49) отвечает наличию двух плазменных возбуждений, соответствующих, как это следует из вида поляризационных операторов (П2.11), (П2.9) колебаниям электронов заполненной (валентной) зоны и электронов в зоне проводимости (см., например, В неравновесных полупроводниках имеются уже две зоны свободных носителей, и наличие заполненных зон лаёт более богатый спекто равными концентрации электронов, П] = щ, или пренебрегая ? ф3 =ф7 = с

Из

Ш с&] < А <Ш>2 т*/т)(рт/рр) , гдерт = рв~ значение импульса на границе первой зоны незначительным. массах (/? = |шу*~ т2*\ /т2* «1) носителей заряда одного знака е]в2>0 имеет смысл говорить и о "резонансной" ветви на частоте, равной величине высокочастотные пределы, положив а = А . В то же время для недиагональных Е12 и П21 следует ш а»*,,»., й)'=Л+(уд2/м*), (0-Ю), где у = -{.Бог + [Нт+2/Л2)]01}/{к2Ш2+ [1-(ш 2'а2 ог =£о+('1/б)к+\с1^, 80= 1-[<ю>+2-(<ш>-2/4)]А'2, к+=К012± к02,

2/А2\

2/к+2)

3 ЯГ чфну затухание которой может быть достаточно малым при близких эффективных г, р\рр I

При низких температурах в достаточно чистых образцах можно надеяться сделать существенной роли процессов переброса эта мода сильно затухает и при близких I локального поля (то есть корреляций и перебросов). Последние лишь

2/ а /п

Уг=£0гк:2 \ё12[2 (см. [92] ),

55-57] вопреки утверждениям, сделанным в раоотах , эту моду отнюдь возникает на поверхности легированного или неравновесного полупроводника с А +

21-'-¿(т*)'1, где кх— проекция волнового вектора на плоскую границу раздела.

2.54) для нуль-звуковых колебаний получается уравнение (см. также

Ф]+ ф2 -2Ф4 = Пц'1 + П22'1, (3.9)

Оно даёт две ветви нуль-звуковых колебаний в области частот qvf2<qvpi^ О) «щ

СОТ qvFi{l+ е*р[-2(1+ Ci1)]}, (ЗЛО) где параметры с, зависят от скоростей носителей на поверхности Ферми и ферми-жидкостных коэффициентов Ландау Aoj (см. выше §2 главы 1).

В легированных полупроводниках при плотностях электронов Ю17*18 см"3 в ИК области частот (<® ~ а>г~ (щ, (От — частота поперечных оптических фононов), где решёточные и плазменные колебания интенсивно взаимодействуют друг с другом, нуль-звуковые колебания могут существовать и при наличии лишь одной группы носителей заряда. В указанной области необходимо учесть частотную дисперсию решёточной части sc диэлектрической проницаемости и записать дисперсионное уравнение для продольных колебаний в виде: сц к) = ес(ш) +/'(щ к)= 0, (3.11)

2 2 2 где £c(û))=£00+ {(£о-<£«)/f<®r -<@>)}, £о и £оо = статическая и высокочастотная проницаемости решётки, ^1(щк) =3û)o2/û)2x2[Ao-tj'1(x)J (cm.(1.2)). Решение уравнения (3.11) в области частот & ¿>kvF, где затухание Ландау отсутствует,

100] задается выражением L = kvF{l+ 2 exp[-2(1 +Л)/А} - i v, (3.12)

2 2 при условии 0<А<1, A=Ao+[3û)o /со £с(о))]. Если £с(ш)>0, то существуют обычные продольные плазмофононы звукового типа, даже при Ао=0. Однако при £с(аи)<0 и Ао>0 эти коллективные возбуждения являются смешанными нуль-звуковыми колебаниями. Указанные неравенства для А справедливы, когда |<grc| ~\(Вт/((3>~Фг)\ ~

67

102, ТО есть IШ близко К (От. Тем не менее, & не может быть слишком близко к щ

2— 3 из-за конечной ширины Г~10~ ' определяемой эффективной частотой столкновений v~10ncl.

Наконец, остановимся на звуковом спектре в полуметаллах, который обладает рядом специфических особенностей, отличающих его от звукового спектра в металлах f66,134^ Это отличие связано с неустойчивостью полу металлической фазы относительно электрон-дырочнош спаривания с переходом в фазу экситонного диэлектрика ^63,i48l Спектр коллективных возбуждений в полуметаллах изучался в работе ^1491, где было показано, что звуковая ветвь не подавляется плазменными колебаниями и в ней появляется щель при учёте матричных элементов обменного взаимодействия электронов, имеющего короткодействующий характер. Звуковые и нуль-звуковые моды в полуметаллах достаточно подробно исследовались также в f96,97^ в частности, в работе ^ показано, что в состоянии экситонного диэлектрика в пределе щ kvF<< А, где А - диэлектрическая щель, существует звуковая ветвь, определяемая соотношением at= (l/3)k2vF2(l +А0) (3.13) где Aq— нулевая гармоника ферми-жидкостной функции Ландау. В области частот и волновых векторов щ kvF»A, существует обычный нуль-звук, так что А играет роль характерного параметра столкновений, определяющего частотные диапазоны первого и нулевого звуков в нормальной Ферми-жидкости t2?1.

Наряду с возможностью существования экситонного диэлектрика возможен и переход полуметалла в состояние плазменного диэлектрика со спариванием электронов и дырок из разных зон за счёт межзонного взаимодействия. Согласно соотношению (2.35) недиашнальный электронный g-фактор в полуметаллах Ь=0) содержит множитель cos в {в- угол между передаваемым импульсом и дипольным моментом перехода, см. п.2.1 главы 2). Следовательно, его нужно учесть в недиагональных поляризационных операторах П]2 и Ii2i (см. (112.1)). В то же время, в работе ^ операторы 17/2 и П21 рассчитывались без учёта множителя cos в. Легко убедиться в том, что в уравнении для диэлектрической щели такое допущение не приводит к качественным изменениям. Однако при исследовании звукового спектра угловая зависимость ¿--фактора обусловливает существенные перенормировки мод, получаемых обычно в приближении "изотропного" взаимодействия . Кроме того, поскольку для существования акустических плазменных колебаний важно сильное различие скоростей на поверхности Ферми взаимодействующих носителей, будем полагать, что тj * » м2*, а импульс Ферми в обеих зонах одинаков, Pfi=Pf2=Pf.

Спектр звуковых колебаний полуметалла определяется из равенства нулю знаменателя четырёхполюсника эффективного взаимодействия электронов /"(см. (2.46)):

1- ЩП11+П22) - Г(П12+П2]) =0, (3.14) где U и V - внутризонный и межзонный кулоновские потенциалы взаимодействия. Производя стандартное интегрирование в Пуtll3i в области а>» kvpi> kvF2, Т >ТС. где Гс-температура фазового перехода [65]|, уравнение (3.14) можно преобразовать к виду m2=(l/5)k2vjv2{(l/2M2U/(a+l) V]}[ln(T/Tc)(3.15) где a=rn1*/m2*. При Т—>ТС система становится неустойчивой относительно моды (3.15), что приводит к фазовому переходу в состояние плазмоннош диэлектрика.

В случае kvFi«a) « kvF2 уравнение (3.14) даёт спектр обычных акустических плазменных колебаний m2=(l/3)(bFj)2UZj /[1+UZzJ (3.16)

Однако по мере уменьшения волнового вектора к закон дисперсии акустических плазменных колебаний переходит в выражение о = (рг2Ур2/к)ехр{~3/12\¥\}

3.17)

Зависимость (3.17) носит необычный характер, 1/к. При этом следует иметь ввиду, что при малых к может быть нарушено условие кур!« т« Ь?р2, поэтому соотношение (3.17) справедливо лишь при выполнении неравенств рр €xpfЗ/2Z2 \¥\}«к«рР (3.18)

Рассмотрим область низких частот: ш « Ь?р} « кур2, (3.19)

В этом приближении уравнение (3.14) имеет решение

13 О параметрическом возбуждении электронного звука в полупроводниках и полуметаллах

Интерес к проблеме взаимодействия сильного электромагнитного излучения большой частоты с веществом обусловлен бурным развитием общей теории турбулентного состояния вещества и многочисленными её приложениями. Это

1011

Л2-йЗ -3

22^23 „ -3 см для металлов и п

17-н18-3 изучалось взаимодеиств!

104,105].

106]

107] высокочастотным электрическим полем в Примесных полупроводниках И Т.Д. ( см.

102] Л т и

160,611 плазмоны 1 1 и

42,43,35] как будет показано ниже, завис коэффициентов Ландау Ао , что в принципе позволяет определять ( или хотя бы мину ЭТИ]

61] лежащей вблизи края области прозрачности, так что 0<К&б(ш) <1. В этих сильному затуханию (шзв <Г ц где v- эффективная частота столкновений).

Гамильтониан системы поперечных t, ленгмюровских I и звуковых s волн с учётом их нелинейного (в первом порядке) взаимодействия имеет следующий вид:

Н= Zffico^üf af +ЕкЙШи)аиак+ЕчЙШщ)ЬщЬ11 + Z (0fAqa/akbqSk+q-f,o~^~ к.с.) +iE06fi0 exp(4&01)щ, (3.21) где а/з ак, Ьщ - операторы рождения t-,l-, $- волн соответственно; Ф/;кЛ= - амплитуда распада t—>l+s ; о =E0ßmL /2 ж)1'2; щ= ü)L[1+d(cf/ü)i)2] d~ 1,

2 2 2 2 mk=ö)L[l+(3/2)k гэ)] a)q=qvFi$; a)L =4m [(nj/mi)+ [(щ/т^] ; гэ- дебаевский радиус; vpa- фермиевская скорость электронов а- компоненты; s /2 1 безразмерная величина: s £1 для нуль-звука, (т/тг) ~ 10" для акустических

1 /2 2 плазмонов, (те/М) ~10' (М- масса иона) для фононов.

Амплитуду Ф можно вычислить методом, изложенным в работе [1091 Поскольку полное выражение для Ф чрезвычайно громоздко, то приведём для упрощения лишь частный результат, получающийся при учёте слабой неоднородности внешнего поля и малости звуковой частоты по сравнению с ленгмюровской.

Указанные условия не носят принципиального характера и в ряде случаев, как показано ниже, могут быть удовлетворены. Таким образом,

Ф0-гт = Фч~ (2жЙ/т1){4жЩ^/д(о)6}^}1/2(3.22) где /а(^)=2(тс/2жЙ) (у < Урс) и /а(у)=0 (у>уРо) - функция распределения а-компоненты в пространстве скоростей (а=1,2)9 к -единичный вектор поляризации поперечной волны.

С помощью гамильтониана (3.21) запишем уравнение движения дщ/ді = 5Н/8а? и дЬ/ді=8Н/8Ь+

Решения будем искать в виде: а/ =а/®хр[-і(а)/-)- (/—>());

Учитывая резонансные условия | ш^-шо | « Щ и 1(I« Щ 5 получим систему из трёх уравнений (см. также [104])

Ш[(д /ді)+уо(1)+іао(і)]ао=Ф9ащ0Ь.90+іЕ0і

Й[(д /д і)+у/}+іа®]ач°=Фщ *а0°Ъ.Ц\ (3.23)

Щдт)л-79(в)+іР9(в)]Ь-,0=Фч*а00а90\ где щ® = то({)-щ; а®= а®-Ці®-А; Л = (Во^-т^-т®; -затухание поперечной, ленгмюровской и звуковой волн, соответственно.

Исследуем эту систему вблизи порога возбуждения звука. Ниже порога имеем ос= ^2Ы3)[Г(1(1)2+ <2][Го(')2+ а№(')2]/ГЛ 1/2/\Ф9\,

3.28) ш)=1- д'2гэ{2 ^(ду^/о}) - д~2гЭ2~2 7](дуР2/т)

Подставляя (3.29) в (3.27), получаем значение порогового поля

Е0с(1) = (2^т1)1/%с=^(т]гэ1/е) (щц/о^у^^у^у^/соъв, (3.30)

Используя выражение (1.3) для ^ и пренебрегая корреляциями между компонентами электронной подсистемы (Ао~> 0, нетрудно получить соответствующие выражения для нуль-звука:

Фщ^(Йе/т1ур1)(т01^1)(6жМт^1/2(1/а)[(Ао1)/а)-1] (3.31) и Е0с®=(т1гэ1/е)(соь/&ч)та<щ>(1/а)у(}*)(уч(1) у®)ш/\(А0(1)/а)А\со§в, (3.32) где 0 < а = А0(1)+ (г92/гэ12)[Ао<2)-'П1(^Р2^Р1)] < 1

Подчеркнём, что в рассматриваемом случае EoJ^ зависит от коэффициентов Ао''2\ которые тем самым, в принципе, можно определить (или оценить) из эксперимента. Из условия а <1 следует, что Е0с(2) £ Еос(1). Однако, эти колебания не конкурируют друг с другом, так как они существуют при различных условиях: Vpi ^ Ург для нуль-звука и Vpi» Vf2 для плазменного звука. Интересно отметить что в анизотропной среде, когда в одних направлениях в пространстве скоростей Vfj ^ vF2, а в других Vfj» Vp2 ? электромагнитная волна может возбуждать (в зависимости от направления распространения и поляризации) либо нуль-звук, либо акустические плазмоны.

В отличие от обычной плазмы в твёрдом теле из-за наличия решётки могут возбуждаться также и акустические фононы. Воспользовавшись приближением потенциала деформации, нетрудно получить амплитуду распада Ф9 в этом случае

2 2 1 /2 Ф9— ~(3i /2)AEa($O)0c/mavFa )(<OoJa)j)(^mq/p us) cos0 =

-(3i /2)Л(Й/й)1)(Щ/р Ms2)1/2(m012/vF]2Mi)(l+b) cos0, (3.33) где A - усреднённый потенциал взаимодействия электронов с решёткой, р

2 2 1 /3 плотность массы, щ— скорость звука, Ь=(гэ1 /гэ2 ) (mi/m2)^ (щ/п^ £ 1. Подставляя (3.33) в (3.27), получим по порядку величины

E0c(3)-[2^2/(l+b)](m1/6}f2(EF/A)[(pus2)1/2/m^cosejf/VWT2 (3.34)

Естественно выяснить, будет ли порог для фононной ветви лежать выше (или ниже) порога описанных типов колебаний. Из (3.34) и (3.30) получим

ЕоР/ЕоР=(2/щ1)(£Р/А)[(ры2)т/(1+Ъ)](е/т1Гэ1) ~sF/A

3.35)

Как следует из формулы (3.35), картина развития параметрической неустойчивости определяется отношением Ер/Л: если А <£р, то порог для фононов выше порога акустических плазмонов, при А >£р, наоборот, Е0с(1) >Ео/3\ наконец, если А~ Ер, то Еос(3) ~ ЕосГ)'.

Пороговое поле возбуждения нуль-звуковых колебаний, будучи выше Еос1\ существенно зависит от величины коэффициента ^ = аехр(1/а)/\(Ао^/а)~1\. В случае малости корреляционных эффектов, когда соответствующий порог оказывается выше порога возбуждения и фононов и акустических плазмонов. В промежуточном случае ^ ^ 10 и кинетика возбуждения определяется конкретными свойствами среды. Наконец, если ^ порядка нескольких единиц, то в ряде случаев (см. ниже) возможна ситуация, когда порог возбуждения фононов оказывается выше, чем для нуль-звуковых колебаний.

В этих условиях резкое возрастание порогового поля от Е0с(1) до Е0с(2) в анизотропном образце в тех направлениях, где Ур] близко к Ур2, непосредственно свидетельствовало бы о возбуждении нуль-звука. Конечно, для справедливости этого утверждения необходимо, чтобы анизотропия параметров (например, затухания), определяющих величину порогового поля, была достаточно слабой. где Шц - частоты поперечных и продольных фононов, Еао - диэлектрическая проницаемость решётки при & оо. Затем эта волна распадается на связанное состояние продольного оптического фонона + плазмона (так называемый "плазмофонон") с частотой

0)1=(1/2){щ2+щ2 +[(ан2+сор2)2- 4т2 тр2] У2} и один из приведённых выше типов звуковых колебаний. Глубина проникновения поля в полупроводник 8 ~ О,1 см длина волны 10~3 см на частотах -1013 с'1,

Из распадных условий т§ = <»£+ (оч и /=к+§ можно оценить частоту звука: ' 2 2 12 1 с /шьЕоо ~ 10 с" при еаг-10. Отсюда следует, что длина волны звуковых колебаний Ад~107/10]2~10'5 см. Таким образом, условие слабой неоднородности внешнего поля справедливо. Подставим в (3.30) значения величин, характерные для полупроводников: гэ/~10'6сш, №р/тд~10, уо® ~уя(1) ~ 1012с , 10]1с~] [107]9 и получим Еос(1) ~0,1 ед.СГСЕ -10 в/см, что соответствует плотности потока л /2 энергии I ~ 1 вт/см . Такие потоки для полупроводников ничтожно малы по сравнению с критическими ~ вт/см2. Поскольку Л ~ 10 эв, а еР ~ О,1эв, то Еде Ю ед.СГСЕ -10 кв/см, то есть порог для фононов на три порядка выше, чем для акустических плазмонов. Если коэффициент а , связанный с А01\ имеет порядок 1/2 -г-1/5, то порог для нуль-звука Е0с(2)~ 102 в/см (3.32), то есть выше, чем для плазменного звука, и ниже, чем для фононов. (Напомним, что акустические плазменные и нуль-звуковые колебания наблюдаются в различных условиях). При 1/10 из-за сильной экспоненциальной зависимости ехр(1/а) величина Е0с(2) становится больше Еос(3\ а именно, считая 1/10, получаем Еос(2) ~ 105 в/см и 10? вт/см2, то есть поток оказывается порядка критического.

Переходя к полуметаллам, будем иметь в виду в основном висмут, свойства которого довольно подробно изучены (см. обзор Так как концентрация параметрическое возбуждение нуль-звука высокочастотным электрическим полем (О возбуждении нуль-звука в металлах см. §2 главы 1).

§ 2 Кинетические явления в полупроводнике, помещённом в пространственно неоднородное электромагнитное поле

В кинетической теории генерации сильного поля в полупроводниковых

120,1291 лазерах, развитой в , доказано существование предельного поля генерации в стационарном одномодовом режиме. Этот эффект непосредственно связан с возникновением щели в спектре возбуждений электронов шириной 2Я (рис.2 5, стр.214), где Х—ёЕ - частота межзонных переходов {<й - дипольный момент перехода), индуцированных полем, которая в условиях сильного поля Хтри»!? превышает частоты столкновений электронов с фононами, электронами и т.д.

В работах [129'146^ рассматривался случай бегущей волны, который приводит к пространственно-однородным решениям кинетических уравнений, описывающих генерацию. На практике, однако, часто реализуется ситуация, когда поле в лазере является стоячей волной (или в более общем случае, суперпозицией стоячей и бегущей волн). Поскольку длина волны излучения, как правило, значительно меньше линейных размеров активной зоны кЬ»1, пространственная неоднородность поля становится существенной. Как показано в работе в поле стоячей волны щель в спектре квазичастичных возбуждений отсутствует. Поэтому заранее не очевидно, как изменится характер решений уравнений генерации в этом случае. Ниже в п.2.1 §2 кинетическая теория генерации обобщается на случай пространственно-неоднородных полей типа стоячей волны. Остановимся на основных физических моментах.

Взаимодействие электронов с генерируемым полем учитывается переходом к квазичастицам с помощью унитарного и,у- преобразования. Само преобразование, а также закон дисперсии квазичастиц ф,р) = (IЧр2+ \Л(г)\2)1/2, tjp= (р2- р02)/2т, Л(г)= dE(r) теперь зависят от локального значения поля. Если в однородном поле это

Г1181 приводит к точной диагонализации гамильтониана , то в данном случае он диашнализуется в квазиклассическом приближении, справедливом в силу малости волнового вектора поля по сравнению с характерными импульсами электронов (к«р~р0).

Сильное поле насыщает прямые переходы между зонами и его усиление (поглощение) происходит за счёт непрямых переходов с участием фононов. Аналогично работе в стационарном режиме (при Т—0) скорость рождения фотонов сильного поля определяется скоростью аннигиляции квазичастиц с рождением фонона. Кинематика этого процесса накладывает ограничение сверху на частоту фононов щ< &рн~ 2ро§, где ^-скорость звука, и определяет области пространства \Л(г)\ < оо>р}/2, дающие вклад в аннигиляцию. Легко видеть, что в однородном поле Л = mPh/2 fl29J. В стоячей волне Л(г)=А£05кг, когда отсутствует щель в спектре, амплитудное значение поля может превышать (вр^2. Однако с ростом поля уменьшается пространственный объём области аннигиляции и её скорость падает. Как только она сравнивается со скоростью потерь в резонаторе — То'1, происходит насыщение генерации. Рассмотрим этот вопрос подробнее.