Комбинаторно-алгебраические свойства примитивных групп подстановок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коныгин, Антон Владимирович

• Коныгин, Антон Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коныгин, Антон Владимирович

Введение. Формулировки основных результатов

1 Обозначения и вспомогательные результаты

1.1 Используемые определения и обозначения.

1.2 Типы примитивных групп подстановок (теорема О'Нэна — Скотта)

1.3 Используемые свойства конечных почти простых групп

2 Асимметрические разбиения и различительные числа для примитивных групп подстановок

2.1 Предварительные результаты.

2.2 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа I.

2.3 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(а).

2.4 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(Ь) и Ш(с).

2.5 Различительные числа для примитивных групп подстановок

2.6 Различительные числа для вершинно-примитивных графов.

3 Об одном вопросе П. Камерона

3.1 Предварительные результаты.

3.2 Случай групп типов I и Ш(с).

3.3 Случай групп типа III(а)

3.4 Случай групп типа 111(b)

3.5 Случай групп типа II с цоколем, являющимся знакопеременной группой.

3.6 Случай групп типа II с цоколем, являющимся простой классической группой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинаторно-алгебраические свойства примитивных групп подстановок»

I

Диссертационная работа посвящена изучению некоторых, представляющих интерес, комбинаторно-алгебраических свойств конечных примитивных групп подстановок и вертиинно-примитивных графов. В ней исследуются асимметрические разбиения для конечных примитивных групп подстановок и различительные числа для вершинно-примитивнътх графов. Кроме того, в связи с одним вопросом П. Камерона исследуются конечные примитивные группы подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них.

Реализуемый в диссертации подход к исследованию примитивных групп подстановок опирается на теорему О'Нэна — Скотта [18]. Согласно это теореме любая конечная примитивная группа подстановок подстановочно изоморфна группе одного из следующих типов.

I. Примитивные группы с абелевой регулярной нормальной подгруппой.

II. Примитивные почти простые группы. Напомним, что группа G называется почти простой, если Inn(T) < G < Aut(T) для некоторой конечной простой неабелевой группы Т.

III. Примитивные группы с неабелевым не простым цоколем. Среди групп этого типа различают группы типов Ш(а), Ш(Ь) и Ш(с).

Ill (a) (simple diagonal action). Пусть Sk — симметрическая группа степени к > 2, Т — простая неабелева группа и W — {(ai, а&)-7г | a» G Aut(T), 7Г e Sk, ща^1 € Inn(T), i,j e < Aut(T)wrSk- Тогда представление группы W левыми сдвигами на множестве левых смежных классов W по Wx = {(a, ., а)ж | a G Aut(T), тг £ Sk} является примитивным представлением степени |T|fc1. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(а), если soc(W^) <G<W.

111(b) (product action). Пусть Sm симметрическая группа степени m > 2 и Н — примитивная группа типа II или Ш(а) на конечном множестве Y. Положим W = HwrSm. Группа W естественным образом действует на X = Ym. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(Ь), если Кт < G < W, где К = soc(Н), и G транзитивно переставляет т множителей группы Кт.

II 1(c) (twisted wreath action). Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(с), если она обладает единственной неабелевой регулярной нормальной подгруппой.

Более детальное описание типов конечных примитивных групп подстановок, а также формулировки используемых в диссертации результатов о конечных группах даются в главе 1 диссертации.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X и R С X. Через будем обозначать глобальный стабилизатор подмножества R в группе G, т.е. G{#} = {д £ G | g(R) — R}. Через Gr будем обозначать поточечный стабилизатор подмножества R в группе (?, т.е. Gr = {g € G \ g(r) = г для любого г £ R}. Для х £ X через Gx будем обозначать стабилизатор точки х в группе G. Симметрическая (соотв. знакопеременная) группа на множестве X обозначается через Sym(X) (соотв. Alt(X)).

В [7] доказано, что (с точностью до подстановочного изоморфизма) существует лишь конечное число примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что Alt(X) ^ G и глобальный стабилизатор любого подмножества R множества X в группе G нетривиален (т.е. G{rу 1). Описание примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что G{i?> 1 для любого R С X было получено в [22]. При этом остался открытым вопрос построения множеств с тривиальными глобальными стабилизаторами в случаях, когда такие множества существуют. В связи с этим актуальным является явное указание таких множеств.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X. Различительным числом (distinguishing number) D{G) группы G называется минимальное натуральное число п, для которого существует функция х X —► {1, ., п} такая, что из условий д £ G и х(#(#)) = х(х) Для всех х € X следует д = 1 (см. [23], [8]). Разбиение 7г = множества X будем называть асимметрическимI, если из д £ G и д(Х{) = Xi для всех 1 < г < к следует <7 = 1. Минимальным асимметрическим разбиением множества X будем называть асимметрическое разбиение мощности D(G).

Для неединичной группы подстановок G на конечном множестве X справедливость равенства D{G) = 2 эквивалентна существованию подмножества R множества X со свойством G^j = 1. Таким образом, результат [22] дает описание класса конечных примитивных групп подстановок G с D(G) > 3.

Глава 2 диссертации посвящена построению минимальных асимметрических разбиений для конечных примитивных групп подстановок и нахождению различительных чисел для конечных примитивных групп подстановок и вершинно-примитивных графов. В параграфе 2.1 доказываются предварительные результаты. В параграфах 2.2-2.4 диссертации строятся минимальные асимметрические разбиения для всех конечных примитивных не почти простых групп подстановок: в параграфе 2.2 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа I (см. предложение 2.14), в параграфе 2.3 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Ш(а) (см. предложения 2.15-2.17), в параграфе 2.4 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Н1(Ь) и Ш(с) (см. предложение 2.18).

В параграфе 2.5 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D(G) для всех конечных примитивных групп подстановок G.

Теорема 1. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Тогда D(G) = 2 или выполняются одно из следующих утверэюдений:

1) D(G) — 3 uG — одна из групп подстановок: Дю, AGLi(5) степени 5; PSL2(5) степени 6; AGLiil) степени 7; ATLi(8), PSL2(7), PGL2{7) степени 8; З2 : Д$, ATLi{9), ASL2{3), AGL2{3), PSL2(8), PTL2{8) степени 9; S5i PSL2(9), PGL2{9), S6, M10, PVL2{9) степени 10; PSL2( 11) степени 11; Mn, PGL2( 11) степени 12; PSL3(3) степени 13; PGL2(1S) степени 14; PSL^{2) степени 15; 24 : PSLa(2), ЛГЬ2(4), 24 : 56, 24 : A6, 24 : A7 степени 16; PSL2{ 16) : 2, PTL2(16) степени 17; PTLz{4) степени 21; M22, M22 : 2 степени 22; М2з степени 23; М24 степени 24; ASLb(2) степени 32;

2) D(G) = 4 и G — одна из групп подстановок: PGL2(b) степени 6; PSLs(2) степени 7; ASL$(2) степени 8; Мц степени 11; М\2 степени 12;

3) G = Alt(X), \Х\ > 3 и D(G) = \Х\ - 1;

4) G = Sym(X) и D{G) = \Х\.

При доказательстве теоремы 1 используется указанный выше результат из [22].

Пусть Г — конечный неориентированный граф без петель и кратных ребер, V(r) — множество вершин графа Г. Следуя [2], положим D(T) = D(Aut(r)) (Aut(r) рассматривается как группа подстановок на множестве У (Г)). Значения D(T) для отдельных графов были получены, например, в [2], [23], [9].

В параграфе 2.6 главы 2 с использованием теоремы 1 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D(T) для всех конечных графов Г с вершинно-примитивной группой автоморфизмов.

Теорема 2. Пусть Г — конечный связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, допускающий вершинно-примитивную группу автоморфизмов. Тогда D(r) = 2 или выполняется одно из следующих утверждений:

1) Г — пол'ный граф;

2) D(T) = 3 и Г изоморфен одному из следующих четырех графов: цикл длины 5; граф Петерсена; дополнительный граф к графу Петерсеиа; граф с мноэюеством вершин {(i,j) | € {1,2,3}}, причем вершина (i,j) смежна с вершиной (i\jr), если г = г' или j = f

Глава 3 диссертации посвящена следующему вопросу П. Камерона (см. [6] и [1, вопрос 9.69]). Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X, х 6 X, у € Х\ {ж} и Gx действует регулярно на орбите Gx(y) (т.е. индуцирует на Gx(y) регулярную группу подстановок). Верно ли, что это действие точное, т.е., что \GX\ = | Gx{y)\l

Можно показать (см. предложение 3.3), что регулярность действия группы Gx на Gx(y) эквивалентна свойству Gx,y <3 Gx, а равенство \GX\ = \Gx(y)\, при условии Gx>y < Gx, эквивалентно свойству Gx^y = 1. Таким образом, вопрос П. Камерона эквивалентен вопросу о выполнении для произвольной примитивной группы подстановок G на конечном множестве X следующего свойства:

Рг) если х 6 Х: у е X \ {ж}, то Gx%y < Gx влечет GXt1J = 1.

Очевидно, вопрос П. Камерона эквивалентен также вопросу о выполнении для произвольной абстрактной конечной группы G следующего свойства:

Рг*) если Mi и Мг — различные сопряженные максимальные подгруппы группы G, то Mi П M<i < М\ влечет М\ П М2 < G.

Вопрос о точности действия стабилизатора Gx на регулярной по-дорбите Gx(y) изучался давно. В отдельных частных случаях положительный ответ был получен в работах [21], [25] и [26]. Заметим, что для транзитивной группы подстановок ответ на аналогичный вопрос, вообще говоря, отрицательный.

В главе 3 диссертации доказываются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что либо G — группа типа I, Ш(а) или Ш(с), либо G — группа типа II с цоколем, не являющимся исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона полоэюителен.

Теорема 4. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что G < HwTSm — группа типа Ш(Ь), т > 2 и soc(Н) не является исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона положителен.

При доказательстве теорем 3 и 4 используется описание максимальных подгрупп конечных классических групп, полученное в [4] и усовершенствованное в [16].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коныгин, Антон Владимирович, 2008 год

1. Fong, P. A characterization of the finite simple groups PSp(4,q), G2(q), D%(q), I / P. Fong, W.J. Wong // Nagoya Math. J. 1969. Vol. 36. P. 143-184.

2. Gorenstein, D. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, I / D. Gorenstein, J.H. Walter //J. Algebra. 1965. Vol. 2. P. 119-151.

3. Kleidman, P. The maximal subgroups of the finite 8-dimensional orthogonal groups PQ^(q) and their automorphism groups / P. Kleidman // J. Algebra. 1987. Vol. 110. №1. P. 173-242.

4. Kleidman, P. The subgroup structure of the finite classical groups / P. Kleidman, M. Liebeck // Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 129 Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990

5. Liebeck, M.W. A classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Algebra. 1987. Vol. 111. P. 365-383.

6. Liebeck, M.W. On the O'Nan — Scott theorem for finite primitive permutation groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. Vol. 44. P. 389-396.

7. Liebeck, M.W. A survey of maximal subgroups of exceptional groups of Lie type / M.W. Liebeck, G.M. Seitz // Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, P. 139-146.

8. Malle, G. Generation for classical groups / G. Malle, J. Saxl, Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1994. Vol. 49. P. 85-116.

9. Reitz, H.L. On primitive groups of odd order /H.L. Reitz // Amer. J. Math. 1904. Vol. 26. P. 1-30.

10. Seress, A. Primitive groups with no regular orbits on the sets of subsets /А. Seress // Bull. London. Math. Soc. 1997. Vol. 29. P. 697704.

11. Tymoczko, J. Distinguishing numbers for graphs and groups /J. Tymoczko// Electron. J. Combin. 2004. Vol. 11. #R63.

12. Weigel, Th. Generation of exceptional groups of Lie-type / Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1992. Vol. 41. P. 63-87.

13. Weiss, M. J. On simply transitive groups / M.J. Weiss // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 401-405.26j Wielandt, H. Finite permutation groups / H. Wielandt // New York: Acad. Press, 1964.

14. ATLAS of finite group representations. Version 3.004 (http://brauer.maths.qmul.ac.uk).

15. The GAP Group. GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.6, Aachen, St Andrews, 2007 (http://www.gap-system.org).Работы автора по теме диссертации

16. Коныгин, А.В. Множества с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок, не являющихся почти простыми / А.В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. т. С. 115-131.

17. Коныгин, А.В. О примитивных группах подстановок с нетривиальными глобальными стабилизаторами / А.В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. №3. С. 61-64.

18. Коныгин, А.В. О множествах с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок / А.В. Коныгин // Международная конференция „Алгебра и ее приложения": Тезисы докладов. Красноярск. 2007. С. 74-75.

19. Коньтгин, А.В. О примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них / А.В. Коныгин // Сиб. электронные мат. известия. 2008. Т. 5. С. 387-406.