Классическая кинетическая теория движения быстрых частиц в кристалле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Эпендиев, Магомед Бухадиевич

• Эпендиев, Магомед Бухадиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эпендиев, Магомед Бухадиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ. ЭКСПЕРИМЕНТ И ТЕОРИЯ

§1, Экспериментальные исследования

§2. Теоретический обзор.

ГЛАВА II. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ,

ДВШУ1ЦИХСЯ В АТОМНЫХ СРЕДАХ.

§1. Модель и исходные уравнения.

§2. Основное кинетическое уравнение

§3. Интеграл столкновений в анизотропных средах

§4. Распределение атомов и некоторые приближения для интеграла столкновений.

§5. Неупругие столкновения ионов в твердых телах.

ГЛАВА III. МЕТОДЫ ВРЕМЕННЫХ УСРЕДНЕНИЙ КИНЕТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

§1. Асимптотические свойства кинетических уравнении и вопросы расщепления фазового пространства

§2. Обобщенное временное усреднение I

§3. Метод временного усреднения II кинетических уравнений с периодическими коэффициентами

ГЛАВА 1У. РАСЩЕПЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА НА ОБЛАСТИ

КАНАЛИРОВАНШ И НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

§1. Проблемы дифференциального разложения ИС.

§2. Расщепление фазового пространства. Каналирование

§3. Неупорядоченное движение

ГЛАВА У. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.

§1. Аморфное приближение ИС. Угловые распределения ионов, деизкущихся в аморфном теле. а) рабочее уравнение в аморфном приближении. б) приближенное решение для углового распределения.

§2. Неупорядоченное движение в кристалле

§3. Два типа воздействия решетки на движение ионов в неупорядоченных направлениях.

§4. Потенциал абсолютно твердых сфер (нейтроны).

Вопросы движения электронов в кристалле

ГЛАВА У1. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ОСЕВОМ И

ПЛОСКОСТНОМ КАНАЛИРОВАНЙИ.

§1. Временное усреднение кинетического уравнения и расщепление поперечного процесса

§2. Осевое кадалирование в энергетическом представлении. Диффузионные коэффициенты

§3. Плоскостное канащрование

§4. Кинетические уравнения ПК.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классическая кинетическая теория движения быстрых частиц в кристалле»

Экспериментальное исследование заряженных частиц, прошедших через кристалл, привело к открытию эффектов, названных ориен-тационными (эффекты каналирования, теней (блокировки) и пр.). Качественная сторона ориентационных эффектов (ОЭ), причины их возникновения и некоторые количественные характеристики -этап формирования состояний - были выяснены на основе свойств совокупного потенциала кристаллической решетки (анизотропия и короткодействие). Особенно полезной в описании состояний каналирования оказались концепция непрерывного приближения и гипотеза о наступлении статистического равновесия в поперечном фазовом пространстве. Разработанная в таком подходе кинетическая теория Линдхарда /36/ была призвана для объяснения диффузионных процессов - этап переходов из одного состояния в другое.

Сформулированное Линдхардом диффузионное уравнение, впоследствии обобщенное в уравнение типа Фоккера-Планка, вполне удовлетворительно описывало деканалирование и ряд других нестационарных явлений при не очень больших глубинах проникновения частиц в кристалл. Однако и классическая теория Линдхарда и квантовые модификации страдают ограниченностью -они могут описывать лишь односторонние переходы из состояния каналирования в режим неупорядоченного движения (ЦЦ). Поэтому стала актуальной задача формулировки теории, в рамках которой можно было бы объяснить всевозможные типы процессов -режимы каналирования, состояние ЦЦ^ а также переходные состояние.

В данной диссертации предлагается подобная теория в классическом приближении. Математическое выражение теория принимает в обосновании и формулировке кинетического уравнения, описывающего произвольные процессы движения быстрых частиц в кристаллах, и получении из него тех или иных модификаций для всех возможных частных случаев. В этом аспекте описание, например, процессов каналирования включает в себя определение состояний каналирования (фазовых областей) и распределений частиц в этих состояниях, в частности, изменение числа частиц, заполняющих выделенную фазовую область, то есть, деканалиро-вание.

Основная идея анализа общего уравнения заключается в нахождении условий, позволяющих получать асимптотически замкнутые уравнения для распределений от меньшего числа фазовых переменных. Математическим средством служит временное усреднение функций распределения.

Некоторые общие математические понятия, такие как метрические свойства фазового пространства, степень сходимости рядов, гладкость и степень неоднородности функций и пр., ограничены качественным анализом. Это оправдано тем, что соответствующие результаты привлекаются также в качественном плане - входят в соотношения порядков значений.

Диссертация состоит из б глав, заключения и приложений.

I глава является обзорной. Дана краткая характеристика основных экспериментальных фактов. Главное внимание в теоретическом обзоре уделяется принципам, лежащим в основе имеющихся теоретических разработок.

Во II главе из уравнения Лиувилля, с помощью цепочек Боголюбова для двухкомпонентной системы, выводится основное кинетическое уравнение для распределения частиц в атомной среде. Рассматриваются различные случаи распределений атомов и соотношений масс. Показана возможность учета в классическом приближении близких неупругих столкновений частицы с атомными электронами.

III глава посвящена методам временных усреднений. В их основе лежит масштабно-временная иерархия, определяемая : асимптотическими свойствами кинетического уравнения, которые связываются с метрическими свойствами фазового пространства. Цель методов - экономное описание более медленных составляющих процесса. Первый метод носит обобщенный характер и применим к линейным процессам, в которых вклад стохастичности мал. Второй является одновременно частным случаем первого и модификацией метода осреднения Боголюбова.

В ГУ главе рассмотрены вопросы разделения процессов канали-рования и ЦЦ. В основе такого разделения лежит качественное различие в асимптотике интеграла столкновения (ИС): все возможности дифференциального приближения ИС определяют области каналирования; остальные - область ЦЦ. Решается проблема устранения возможных расходимостей в дифференциальном (малоугловом) разложении ИС. В режиме ЦЦ осуществляется переход к уравнению для распределения по скоростям.

Расчету угловых распределений частиц в состоянии ЦЦ посвящена У глава. Формулируется достаточно простое уравнение для случая движения ионов в аморфном теле и из него находится в аналитической форме эволюция углового распределения. На основе результатов аморфного приближения предлагаются два взаимно дополняющих метода решения уравнения в случае ЦЦ ионов в кристалле. Рассчитываются также распределения частиц, для которых атомы представляются абсолютно твердыми сферами.

В У1 главе исследуются процессы каналирования. С помощью методов усреднения осуществляется последовательный переход к распределению по поперечным переменным и затем к энергетическому представлению. Приведены результаты расчета диффузионных коэффициентов. Рассматривается возможность описания переходных процессов (большие поперечные энергии) с помощью уравнений диффузионного типа. Плоскостное каналирование исследуется как множество состояний с заданными продольными скоростями.

Большое внимание в диссертации уделяется выяснению физического содержания теории. Поэтому все важные преобразования и результаты сопровождаются, хотя и в ущерб краткости, трактовкой их физического смысла, а математические выкладки и громоздкие результаты вынесены в Приложения.

Первая цифра в нумерации формул, идентифицирующая главу, при ссылках в пределах данной главы опускается. То же относится и к Приложениям.

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

В конце диссертации дан список сокращений и некоторых постоянных буквенных обозначений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Эпендиев, Магомед Бухадиевич

Общие выводы.

1. Удовлетворительное описание ОЭ при больших глубинах проникновения должно исходить из теории, в рамках которой можно исследовать все типы частных процессов.

2. В классическом приближении можно сформулировать асимптотически замкнутое уравнение для функции распределения разреженного газа быстрых частиц, движущихся в атомной среде. В случае кристалла влияние решетки сказывается на отличии ИС от

3. Дифференциальное приближение ИС обуславливает процессы каналирования, а НД оказывается состоянием, для описания которого необходимо привлекать интегральные члены.

4. Принципы непрерывного приближения и достижения состояния статравновесия связаны с формулировкой условий временных усреднений, а также с определенными потерями в качестве и количестве информации, которые неизбежны при реализации процедур временных усреднений.

5. ПК осуществляется как совокупность слабосвязанных состояний с определенными векторами продольной скорости. Причем, вклад тепловых колебаний атомов в диффузию более существенен, чем вклад дискретности атомной плоскости.

6. Движение частиц в аморфной среде, так же как и НД в кристалле, описывается линейным интегро-дифференциальным уравнением. При достаточно больших энергиях возможен переход к дифбольцмановского ференциальному приближению; при этом появляется слабая нелинейность.

7. Исследование процессов в переходных областях, а также односторонние процессы декалалирования в случае больших температур кристалла (\Х2^СI ) требуют привлечения интегрального члена. Этот член при задании интегральных свойств функции распределения в области НД (6.33) можно привести к диффузионно^ виду. Суммарный диффузионный коэффициент становится зависимым от глубины проникновения.

8. НД в кристалле отличается от движения в аморфном теле меньшим коэффициентом диффузии и это отличие тем существеннее, чем ниже температура кристалла и энергия частиц.

Основные количественные "результаты.

1. Получен интеграл упругих столкновении частиц с атомами кристалла с учетом корреляции в положениях атомов (2.17, 21).

2. Дано новое представление для ИС ионов с атомами аморфной среды (5.9) эффективное в целях получения аналитических решений (см. (5.26), Рис.1,2).

3. Получены решения для углового распределения ионов в условиях преобладания режима НД: (5.47), а также (5.60, 62, 63).

4. Рассчитаны два типа влияний упорядоченности на НД в кристалле: уход в каналы (см. (5.62, 68), Рис.3,4) и вклад в диффузионный коэффициент (см. (П13.21, 22), (5.73) , Рис.5).

5. Даны универсальные кривые для диффузионных коэффициентов при 0К в области 0.3$ % ^ 7.0 : (6.38-40), (П16.1), Рис.6-П. аа

6. Вычислен вклад неупорядоченности - реканалирования- в диффузионный коэффициент при 0К (см, (6.46-49), Рис.13,14).

7. Рассмотрена идеализированная модель, в которой атомы кристалла представляются для частиц абсолютно твердыми сферами малого радиуса (6.81). Получены приближенные решения (6.82,83) и зависимость плотности в кристаллографических направлениях от глубины проникновения частиц (6.84).

Из применяемых ' математических методов можно отметить методы временных усреднений I, II ; устранение расходимостей и преобразование аморфного приближения ИС ионов с атомами (тождество (5.8 ), приближение (5.8)).

Выделим некоторые проблемы, которые количественно не рассматривались в диссертации, но входят в сферу приложимости предлагаемой 1 теории.

1. Формирование и эволюция плоскостной тени (учет азимутальной зависимости вСО(п)в окрестностях кристаллографических осей).

2. Движение частиц в поликристаллических структурах, учет дислокаций, внедренных атомов и т.п. .

3. Движение отрицательно заряженных частиц, для которых справедливо классическое приближение.

4. Более строгий учет анизотропии потерь энергии при НД.

В допольнительной разработке, с учетом квантовых эффектов, нуждается описание каналирования в области малых поперечных энергий. То же относится к области малых полных энергий кэв), когда некорректны приближения (5.8,26,47,60).

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность моему, ныне покойному, научному руководителю Ольховскому И.И. за дружеское участие и помощь в выполнении работы.

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Ниже приводятся номера страниц, где впервые упоминаются соответствующие рисунки и даны более подробные пояснения:

Рис.1,2 - стр. 84, 85,

Рис.3,4 - стр. 97,

Рис.5 - стр. 99,

Рис.6-11 - стр.125,

Рис.12 - стр.126,

Рис.13,14 - стр.128. rw*

0.S

О -эксп.19ol --CS-.26) - Мольер

-•-NSW

О'4

0.05

4°

3° О

G'/a

Л . Л • л • Л

S^bdï

Ео-Е

Е+Е

Л=

--теор.(£.2б)

-----эксп.|89|

Е=30^40кэв m.NjVdt

2 4 6 8 z( МГЛ См2/

Рис.1 Q ya(jg) нгн: е 6 углероде

S = 50 мк

Л= 0-045 СЦИ ¿fc)=4.3-10-4

МК

Д = 0.085" • ¿(t^a.Mo-4 V

Q.006 aoos Io

2° з° В

Рис.2 а=п(9) Зля Н+, Е0=б.56мэв, в кремнии.

0.6

0-5 0.4 аз

Q.2 а 1 0

Н + < iíO >. Ge i ~*"300 кэб; 500 кэв

---(s.68) / ^

- - Эксп. I ?8| • 1 / ^

• ^ -2 >> . г t X

0.7 аб

0.5 0.4

0.3 0.2 ai о z

Рис.3 Xz(s), s=J bdt

H+, M0

I-" 3qok3B,<IIQ> / ^г

Z-* StlQK3B,< Ha> / ^^ ^Ъ

3-** 300k3B,< 1H> / / ^^ / / ----(5-68) / / ^

•~3p;cn.l?8l /.1 у ^ /.'/3 ' V ' •• ' /. / • ' /. /.X ' S

2 so*) t

Рис.4. X2(s)f s=Jъ-dt

Ujb i! // /' / 7 .7 и

OD

О. S

U X jQ ГО X о s

H fo о с с c\j см

CvJ

Рис.5. (n 13.83)

Рис.7. г R пот. Мольер}---потЛинВ.

Рис. 8. Ь,кс(бД (6.39). — пот. Мольер,---пот.ЛинБ.

06 R б.эд). — пот.Мольер,---пот. ЛинЗ

Рис. 10 • Ка (£к). (б.40). —пот. Мольер,---пот. ЛинВ.i к

СО <м go

Еисле- С=4ЧоЧ); <=щЧ°Со) ^^

Q 0.1 0.5 to

Рис.43.---(6.49), о о-мет. M." К. [&\ß2\

Рис. <4.---(6,49), о о-мет МгК. 181,821, -----разл- пор |í?,S3|

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итоги, вкратце охарактеризовав основные качественные и количественные результаты, и отметим переспективы дальнейшего приложения и развития теории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эпендиев, Магомед Бухадиевич, 1983 год

1. Томсон М. Канащрованне частиц в кристаллах. УФЫ, 1969, т. 99, вып. 2, с. 297-317.

2. Robinson М.Т., Oen O.S. The channeling of energetic atoms in crystal lattices. Appl. Phys. Lett., 2963» v. 2, N 2, p.30-32.

3. Robinson M.T., Oen O.S. Computer studies of the slowing down of energetic atoms in crystals. Phys. Rev., 1963, v. 132,p. 2385-2398.

4. Pol P.K., Pluit J.M. e.a. Proc. Forth Inter, conf. on Ionization Phenomena in gases. Amsterdam, 1960, p. 257-262.

5. Davies J.A., Friesen J., Mcintyze J.D. A radiochemical tech-nigve for studing range-energy relationships for heavy ions of key energies in aluminium. Can. J. Chem., 1960, v. 38,p. 1526-1534.

6. Davies J.A. e.a. The range of akkali metal ions of kilo-election volf energies in aluminium. Can. J. Chem., 1960, v. 38, p. 1535-1546.

7. Almen 0., Bruce G. Sputtering experiments in the high energy region. Hucl. Inst. Met., 1961, v. 11, N 2, p. 279-289.

8. Robinson M.T. Deduction of ion ranges in solids from collections experiments. Appl. Phys. Lett., 1962, v. 1, N 2, p. 49-51

9. Nelson R.S., Thomson M.W. The penetration of energetic ions the open channels in a crystal lattice. Phil. Mag., 1963, v.8, p. 1677-1681.

10. Dearnally G., Sattler A.R. The channeling of ions throughsingle-crystal silicon lattice. "Abstact. of paper. Res. Group. U.K.Atomic Energy Author.3 1964, JJ AERE-R4694, P. 16.

11. Erginsey С., Wegner H.E., Gibson W.M. Anisotropic energy loss of light particles of Mev.-energies in thin silicon single crystals. Phys. Rev. Lett., 1964» v. 13, p. 530-535.

12. Btfgh E., Davies J.A., Hielsen K.O. Experimental evidence for the extinciton of (P> ^ ) yilds in single crystals. Phys. Lett., 1964, v. 12, p. 129-130.

13. Thomson M.W. Effect of proton channeling at 2,8 Mev. of the Cu^ (Р,П) Zn^ reaction rate in a single crystal of Cu. Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, 756-760.

14. Тулинов А.Ф. Об одном эффекте, сопровождающем ядерные реакции на монокристаллах, и его использование в различных физических исследованиях. ДАН СССР, 1965, т. 162, № 3, с. 546548.

15. Tulinov A.F,, Kulikauskas V.S., Malov М.М. Proton scattering from a tungsten single crystal. Phys. Lett., 1965, v. 18,1. P. 304-307«

16. Тулинов А.Ф. Влияние кристаллической решетки на некоторые атомные и ядерные процессы. УФН, 1965, т.87, вып. 4, с.585-598.

17. Линдхард Й. Влияние кристаллической решетки на движение быстрых заряженных частиц. УФН, 1969, т. 99, вып. 2, с. 249-297.

18. Davies J.A., Denhartog J,, Whitton J.L. Channeling of Mev. projectiles in tungsten and silicon. Phys. Rev., 1968, v. 168, U 2, p. 345-356.

19. Campisano S.U., Foti G. е.a. Reduced electrons scattering in dechanneling. Phys. Lett., 1970, A33, p. 433-434.

20. Appleton B.R., Erginsoy C. e.a. Axial and planar effects in the energy loss of protons in silicon single crystals. Phys. Lett., 1965, v. 19, p. 185-187.

21. Appleton B.R. e.a. Channeling effects in the energy loss of 3-11 Mev protons in silicon and germanium single crystal. Phys. Rev., 1967, v. 161, N 2, p. 330-349.

22. Astman M.R., Feldman L.C., Gibson W.M. Determination of channeling probability from transmitted-particle energy spectra Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 464-467.

23. Davies J.A., Denhartog J. e.a. Ion implantation of silicon. I. Atom location and lattice disorder Ъу means of 10 Mev He ion scattering. Can. J. Phys., 1967, v. 45, p.4053-4071.

24. Qure Y. Decanalisation par les dislocations. Phys. Lett., 1968, A26, p. 578-579.

25. Могу J., Qure У. Dechanneling by stacking faults and dislocations. Radiat. Eff., 1972, v. 13, IT 1-2, p. 57-66.

26. Kudo H. Dechanneling of fast ions in distorted crystals.

27. Dislocations. J. Phys. Soc. Jap., 1976, v. 40, IT 6, P. 1б43-1б53.

28. Gemmell D.S, Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals. Rev. of Mod. Phys., 1974, v. 46, N 1, p. 129-227.

29. Калашников Н.П., Резанов М.И., Смилга В. П. "Взаимодействие ядерных частиц с монокристаллами". Из-во МИФИ, 1976.

30. Lehmann G., Leibfried G. Ionye-range channeling effects in Erradiated crystals. J. Appl. Phys., 1963, v. 34, p. 28212836.

31. Lindhard J. Motion of Swiff charged particles as influenced by strings of atoms in crystals. Phys. Lett., 1964, v. 12, p. 126-128.

32. Erginsoy C. Anisotropic effects in interaction of energetic charged particles in a crystal lattice. Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, N 8, p. 360-364.

33. Lindhard J. Influence of crystal lattice of the motion of energetic charged particles. K. Dan. Vid. K. Selsk. Mat. -Pys. Medd., 1965, v. 34, H 14.

34. Мартыненко Ю.В. Распределение по глубине проникновения кана-лированных частиц. ФТТ, 1971, т. 13, № 9, с. 2580-2586.

35. Белошицкий В.В., Кумахов М.А. Многокретное рассеяние канали-рованных ионов в кристалле. ЖЭТФ, 1972, т. 62, вып. 3,с. II44-II55.

36. Белошицкий В.В., Кумахов М.А. 0 принципах взаимности в рассеянии быстрых заряженных частиц в кристаллах. ЖЭ1Ф, 1974, т.66, вып. 5, с. 1783-1789.

37. Beloshitsky V.V., Bulgakov Y.V., Kumakhov M.A. Dechanneling of fast light ions. Phys. Lett., 1972, A40, p. 181-182.

38. Bonderup E., Esbensen H. e.a; Calculation of axial dechanneling. Radiax. Eff., 1972, v. 12, p. 261-266.

39. Ландау Л. Д. Собр. трудов. Наука, 1970, т. I, с. 199.43« Kitagawa М., Ohtsuki Y.H. Modified dechanneling theory and diffusion coefficients. Phys. Rev., 1973» v. 8, H 7» p. 31173123.

40. Ohtsuki Y.H. Theory of scattering yield in channeling. Phys. Stat. Sol. (b), 1973» v. 59» N 1, p. 303-307.

41. Комаров Ф.Ф., Кумахов M.A. Энергетические потери ионов, взаимодействующих с твердым телом. Изв. АН СССР, Физика, 1973, т.37, JS 2, с. 2578-2584.

42. Firsov О.В. The effect of crystal atomic chain duscontinuity upon channeling. Radiat. Eff., 1974, v. 21, p. 265-267.

43. Рябов В. А. Влияние корреляций между тепловыми смещениями атомов кристаллической решетки на эффект теней. ФТТ, 1970, т. 12, № 9, с. 2747-2749.

44. Roniker-Polonsky D., Desarmot G. e.a. Dechanneling by gas bubbes in a Solid. Radiat. Eff., 1976, v. 27, H 1-2, p.81-88.

45. Кумахов M.A. О возможности точного определения положения примесного атома с помощью эффектов канащрования. ДАН СССР, 1972, т. 203, с. 794-797.

46. Ellison J.A., Guinn Т. Statistical equilibration planar channeling and the continium model. Phys. Rev. В Solid State, 1976, v. 13, N 5, P. 1880-1883.

47. Ellison J.A., Picraux S.T. Planar-channeling statistical density under statistical equilibrium. Phys. Rev., 1978, 1318, IT 3, P. 1028-1038.

48. Кадменский А. Г., Лебедев Н.Ю., Наумова Н.М., Тулинов А.Ф. Исследование режима двойного калалировадия. Труды П Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с кристаллами. Из-во МГУ, 1982, с. 50-58.

49. Каган Ю., Кононец Ю.В. Теория эффекта каналированш. ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 226-244.

50. Кашлев Ю.А. К кинетической теории каналировашш. Труды 7 Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с монокристаллами. Из-во МГУ, 1976, с. 42-46.55» Зубарев Д.Н., Кашлев Ю.А. Обобщенные уравнения переноса. ТМФ, 1976, т. 29, В 3, с. 376-387.

51. Калшев Ю.А. Квантовая теория каналирования вклад взаимодействия каналированных частиц с решеткой в кинетический коэффициент. И, 1977, т. 30, $ I, с. 82-94.

52. Pedyanin V.K., Cavrilenko G.M. A dinaniical statistical approach for discription of motion of a fast particle through a crystal. (Прецринт/Объед. ин-т яд.ис-иий,-EI7-I2025).

53. Гавриленко Г.М., Федянин В. К. Движение быстрых заряженных частиц сквозь кристалл в адиабатическом приближении.

54. Осевое каналирование. «Дубна, 1979, 12 с. (Прецринт/Объед. ин-т яд. ис-ний, PI7-I22I4).

55. Гавриленко Г.М., Федянин В.К. II. Плоскостное каналирование. Дубна, 1979, 10 с. (Препринт/Объед. ин-т яд. ис-ний, PI7-I22I5).

56. Власов А.А., Кураев В.Н. Теория каналирования и эффекта теней в трехмерной статистической модели кристалла. Вестник МГУ, физ.-астр., 1972, т. 12, № 3, с. 328-336.

57. Калашников Н. П., Стрихадов М.Н. Теория дифракционного рассеяния быстрых положительно заряженных частиц в монокристалле. ЖЭТФ, 1975, т. 69, вып. 4, с. 1253-1262.

58. Калашников Н.П., Стриханов М.Н. "Труда 7 Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с монокристаллами. "Из-во М1У, 1976, с. 160-168.

59. Рябов В.А., Доронина В.И., Строкова А.М. К теории осевого каналирования электронов. "Труды II Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с кристаллами". Из-во МГУ, 1982,с. 253-261.

60. Рябов В.А. Многократное рассеяние каналированных частиц. "Труды II Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с кристаллами. Из-во МГУ, 1982, с. 261-271.

61. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. ОГИЗ, М.-Л., 1946.

62. Ольховский И.И., Эпендиев М.Б., Садыков Н.М. О кинетическом уравнении для весьма разреженного газа быстрых частиц, взаимодействующих с кристаллом. Изв. вузов СССР, Физика, 1977,4, с. 79-83.

63. Пригожин И. Неравновессная статистическая механика. М., 1964, 314 с.

64. Харрисон У. Теория твердого тела. М., 1972, 616 с.

65. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М., 1975, 382 с.

66. Ольховский H.H. О статистических функциях распределения Ван-дер-ваальсовского кристалла. ДАН СССР, 1973, т. 208, вып. 4, с. 808-810.

67. Ольховский И.И., Эпендиев М.Б. О кинетическом уравнениидтгя высокоэнергетических частиц малой массы, взаимодействующих с кристаллом. Изв. вузов СССР, Физика, 1978, Л 10, с. 7-12.

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Наука, 1974, 752 с.

69. Бете Г. Квантовая механика. М., 1965, 334 с.

70. Хинчин А. Я. Математические основы статистической механики. М., 1947.

71. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М., 1978, т. 2, 400 с.

72. Боголюбов H.H., Штрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. ГИТГЛ, 1955, 448 с.

73. Lindhard J., Winther A. Stopping power of electron gas and eguipartition rull. Mat.-Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1964, v. 34, N 4» P. 1-22.

74. Похил Г.П., Чердынцев B.B., Чуманов В.Я. Связь между прямойи обратной тенью на толстом монокристалле. "Труды 7 Всесоюзн. Сов. по физике взаим-я заряж. частиц с монокристаллами." Из-во МГУ", 1976, с. 110-117.

75. Эпендивв М.Б. Кинетика ориентационных эффектов при движении быстрых протонов в кристалле. Москва, 1982. Рукопись цредст. НИИ ядерн. физики Моск. гос. ун-та. Депонир. в ВИНИТИ 27 дек. 1982 г., № 6354-82 Деп.

76. Белошицкий В. В., Кумахов М. А. О влиянии тепловых колебаний атомов решетки на движение каналированных ионов. "Труды

77. Всесоюзн. сов. по физике взаим-я зарян. частиц с монокристаллами". Из-во МГУ, 1976, с. 29-31.

78. Кадменский А. Г. Исследование прохождения заряженных частиц через монокристаллы методом Монте-Карлов. Дне—н канд. физ.-мат. наук. Москва. НИШФ МГУ, 1979, 213 с.

79. Кадменский А.Г., Тулинов А.©. Ядерные диффузионные функциив осевом каналированш. "Труды 7 Всесоюзн.сов. по физике взаим-я заряж.частиц с моновристашяами. Из-во ЖУ, 1976, с. 53-68.

80. Schi^tt Н.Е., Bondrup Е. е.a. Axial dechanneling. I. Theoretical study. In "Atomic collisions in solids, 2". Ed. by Dats. S., Appleton B.R. and Moak G.D. Plenum Press. IT.-Y.-L.,1975» v. 2, p. 843-862.

81. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Н., 1981, 176 с.

82. Moliere G. Theorie der Streung schneller geladener Teilchen Z.Haturf., 1947, A2, P. 133-145 (1948,A3, p. 78).

83. Meyer L., Klein M., Wedeel R. The Energy-Angle Distribution of Heavy Particles Penetrating Solids. Phys. Stat. Sol. 1977,1. B83, N 2, p. 451-463.

84. Marion J.B., Zimmerman B.A. Multiple scattering of charged particles. Nucl. Instr. and Meth., 1967» v. 51, N 1,p. 93-101.

85. Meyer L. Plural and multiple Scattering of low-energyheavy particles in solids. Phys. Stat. Sol. (B), 1971, v. 44, P. 253.

86. HOgberg G., Norden U., Berry H.C. Angualr distribution ions scattered in thin carbon fols. Nucl. Instrura. and Meth., 1970, v. 90, p. 283-288.

87. Vincour J., B8m P. Multiple scattering of fast Charged particles in silicon. Uucl. Instrum. and Meth., 1978, v. 148, p. 399-402.

88. Кумахов М.А., Ширмер Г. Атомные столкновения в кристаллах. Атомиздат, 1980, 192 с.

89. Кумахов М.А. Теория излучения заряженных частиц в кристалле при каналировании. ЖЭТ$, 1977, Т. 72, с. 1489-1498.

90. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский Б.Ч. Квантовая механика. Н., 1974, 528 с.

91. Gombas Р. In "Handbuch der Physik", 1956, v. 36, p. 109 (пер. П.Гомбаш. Статистическая модель атома. М., Гостехиздат, 1957.

92. Фирсов O.E. Вычисление потенциала взаимодействия атомов. ЖЭТ®, т. 33, вып. 3, с. 696-699.

93. Эпендиев М.Б. Метод временного усреднения и кинетические уравнения быстрых частиц, каналированшх в кристалле. Москва, 1980, 36 с. Рукопись предст. НИИ ядерн. физики Моск. гос. ун-та. Депонир. в ВИНИТИ 28 окт. 1980 г., № 4548-801. Деп.

94. Эпендиев М.Б. Расщепление процессов каналирования временным усреднением кинетических уравнений. "Труда II Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с кристаллами". Из-во МГУ, 1982, с. 35-43.

95. Ольховский И. И., Эпендиев М.Б., Садиков Н.М. Об основах статистической теории ориентавдонных эффектов в монокристаллах. "Труды 7 Междунар. конф. по атомным столкновениям в твердых телах". Из-во МГУ, 1981, с. 31-33.

96. Khodyrev v.A., Sirotinin E.J., Tulinov A.P. Energy losses of Chanuelled protons. Radiat. Eff., 1980, v. 51, H 3-4, p. 203-208.

97. Ольховский И.И., Эпендиев М.Б. Тезисы 9 Всесоюзн. сов. по физике взаим-я заряж. частиц с кристаллами. Из-во МГУ, 1978, с. 11-14.