Хаотическая динамика поведения сложных биомеханических систем в многомерных фазовых пространствах состояний на примере постурального тремора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.01.02, кандидат физико-математических наук Балтикова, Анастасия Александровна

• Балтикова, Анастасия Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балтикова, Анастасия Александровна

Содержание

СПИСОК СОКРАЩЕНИИ

ВВЕДЕНИЕ

1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В РАМКАХ ДЕТЕРМИНИСТСКОГО И СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ В НЕРВНО-МЫШЕЧНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПОСТУРАЛЬНОМ ТРЕМОРЕ НА ОСНОВЕ КОМПАРТМЕНТНО-КЛАСТЕРНОЙ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОРГАНИЗМА ЧЕЛОВЕКА

3. НЕЙРОСЕТЕВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПОРЯДКА ДЛЯ СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ ПОВЕДЕНИЯ

4. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНЫХ ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В ИДЕНТИФИКАЦИИ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ ПОВЕДЕНИЯ

4.1. Расчет параметров квазиаттракторов в оценке влияния различных величин

статических нагрузок на параметры постурального тремора

4.2. Стохастические и хаотические оценки параметров тремора при температурных воздействиях

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВЫВОДЫ

Библиографический список

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

БДС - биологическая динамическая система

БМ - базовая модель

ВСОЧ - вектор состояния организма человека

ВСС - вектор состояния системы

ДВРФ - дискретно-временной ряд Фурье

ДЕ - двигательная единица

ДСП - детерминистский и стохастический подходы

ИНС - искусственная нейронная сеть

КА - Квазиаттрактор

ККП - компартментно-кластерный подход

ККТБ - компартментно-кластерная теория биосистем

НМС - нервно-мышечная система

НС - нейронная сеть

ПД - потенциал действия

ПП - параметры порядка

СР - стационарный режим

СТТ - системы третьего типа

ТБМ - теоретическая биология и медицина

ТП - точка покоя

ТХС - теория хаоса-самоорганизации

ФПС - фазовое пространство состояний

ФСО - функциональная система организма

ХСС - хаотически-самоорганизованных системы

ЦНС - центральная нервная система

ЧЯ - черный ящик

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическая динамика поведения сложных биомеханических систем в многомерных фазовых пространствах состояний на примере постурального тремора»

ВВЕДЕНИЕ

Исследование сложных биологических динамических систем (БДС) на сегодняшний день является актуальной, но и весьма трудоемкой задачей. Это обусловлено тем, что в каждый момент времени состояние такой системы (биомеханической, в частности) принимает новое значение, отличное от предыдущего. Фактически это означает непрерывное, хаотическое изменение таких БДС. Определить положение вектора состояния системы в следующий момент времени невозможно в принципе [67, 75, 162]. Если представить динамику поведения вектора состояния системы (ВСС) х=(х], х2, ..., xj в многомерном фазовом пространстве состояний (ФПС) в виде непрерывной линии, то конкретное значение данного вектора xt (то есть точка в таком многомерном ФПС) не имеет информационной значимости, так как в следующий момент времени эта точка сместится в другую область фазового пространства состояний (2-й постулат теории хаоса-самоорганизации, предложенный Еськовым В.М.) [38]. Таким образом, ВСС совершает непрерывное вариационное (хаотическое) движение в ФПС, но не вокруг среднего значения, как этого требует стохастика, а в пределах некоторого объема ФПС, который мы будем называть (как это принято в теории хаоса-самоорганизации - ТХС) квазиаттрактором (КА). Телеологичные свойства БДС, наличие хаотической динамики ВСС в области квазиаттрактора, самоорганизация таких систем в пределах КА - все эти свойства определяют сложность и синергизм в динамике поведения таких хаотически-самоорганизованных систем или систем третьего типа (СТТ). Поэтому применение традиционных методов детерминистского и стохастического подходов (ДСП) при описании таких сложных систем (complexity, по определению И.Р. Пригожина и его последователей) недостаточно [174, 191]. Обязательным условием ДСП является неоднократное воспроизведение

начального состояния системы х в момент времени t0, наличие возможности стационарных режимов и точек покоя.

С точки зрения детерминистского подхода (применяемого при описании систем первого типа), многократное повторение любого процесса обеспечивает идентификацию модели БДС в фазовом пространстве состояний, а в стохастике - статистической функции распределения. Но возможность получения функции распределения для динамики поведения любой стохастической системы (в рамках второй, стохастической парадигмы) не снимает проблемы необходимости определения (предсказания) конечного состояния БДС в ФПС. Следует вспомнить, что стохастика всегда требует повторения процесса, в котором его конечный результат будет флуктуировать около среднего значения. В этом случае мы всегда имеем неравномерное распределение в отличие от ТХС, где обычно имеется равномерное распределение для вектора состояния любой биосистемы. БДС в фазовом пространстве всегда представляет хаотическую динамику движения ВСС в пределах КА.

Сложность в динамике поведения систем третьего типа приводит нас к выводу, что для описания таких систем необходимы новые методы (отличные от методов ДСП), позволяющие качественно и количественно описывать любые сложные БДС и биомеханические системы в частности. При этом, если в ДСП построение модели БДС - это искусство, то в ТХС мы имеем фактически полученный КА в ФПС. Исходя из этого, появляется острая необходимость в построении и анализе математических моделей хаотической динамики поведения таких СТТ, в автоматизации методов их исследования путем внедрения новых программ на базе ЭВМ, в автоматизации обработки данных, полученных при идентификации систем с хаотической динамикой поведения. Особенности динамики поведения таких сложных систем третьего типа (complexity) были исследованы в данной диссертационной работе на примере организации и управления постуральным тремором, который возникает при

работе нервно-мышечной системы человека. Именно тремор представляется как наиболее яркий пример хаотической динамики поведения ВСС в ФПС, имеющий чисто механическую основу, т.е. тремор - объект физики с одной стороны, и биофизики в частности. Таким образом, в настоящее время исследование динамики поведения сложных биомеханических систем нуждается в расширении исследовательской базы, в необходимости введения дополнительных алгоритмов и критериев оценки динамики поведения сложных биосистем не только на основе детерминистского или стохастического подходов, но и на основе учета уникальных свойств БДС-сотр1ехйу, демонстрирующих непрерывную хаотическую динамику поведения ВСС в ФПС.

Так как описанные системы характеризуются максимальной неопределенностью, то исследование СТТ составляет фундаментальную задачу не только биофизики и биомеханики на современном этапе их развития, но и всего естествознания. Результаты наших исследований послужат дальнейшему развитию современной теории хаоса и самоорганизации, а также могут создать некоторую положительную динамику в продвижении методов теории хаоса и самоорганизации в биологических и медицинских науках. Это имеет огромное значение для естествознания и биофизики сложных систем, к которым относятся и биомеханические системы.

Таким образом, целью настоящей работы является теоретическое и экспериментальное доказательство существования непрерывной хаотической динамики поведения параметров биомеханической системы человека при постуральном треморе и создание базиса для моделирования таких процессов на основе анализа их поведения в многомерном фазовом пространстве состояний. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить возможность возникновения периодических и хаотических режимов в описании постурального тремора при помощи компартментно-кластерных моделей.

2. Продемонстрировать хаотическую динамику поведения нейроэмуляторов при решении простейшей задачи бинарной классификации, что должно объяснить и хаотическую динамику поведения нейросетей мозга, участвующих в регуляции движений.

3. Осуществить идентификацию сложных динамических биомеханических систем с хаотической динамикой поведения методами многомерных фазовых пространств на примере организации постурального тремора.

Изучение возникновения хаотических режимов наряду с периодическими режимами функционирования НМС при постуральном треморе является принципиально новой задачей при изучении хаотически-организованных систем. Наличие хаотической динамики в нейросетях мозга, участвующего в организации контроля непроизвольных движений, и построение компартментно-кластерных моделей, демонстрирующих различные режимы динамики поведения биомеханической системы, является слабо изученной проблемой биофизики и может иметь прикладное значение не только для биологии, но и для медицины.

Научная новизна работы.

1. Разработана двухкластерная трехкомпартментная модель, имитирующая работу нервно-мышечной системы человека, что позволяет наглядно оценить динамику поведения каждого из компартментов, участвующих в организации постурального тремора.

2. Выполнено экспериментальное доказательство хаотической динамики нейронных сетей головного мозга человека на примере нейроэмулятора.

3. Предложен принципиально новый метод расчета параметров квазиаттракторов при описании динамики в системе организации постурального тремора.

4. Выполнена идентификация параметров квазиаттракторов в оценке влияния температурных воздействий на параметры тремора как некоторых внешних управляющих воздействий, что доказывает новые возможности теории хаоса-самоорганизации в биомеханике.

5. Исследования тремора пальца кисти руки испытуемого в горизонтальной и вертикальной плоскостях при статических нагрузках продемонстрировали возможность метода фазовых пространств в идентификации биомеханических систем.

Научно - практическая значимость.

1. Разработанную двухкластерную трехкомпартментную модель, имитирующую работу нервно-мышечной системы человека, целесообразно использовать в медико-биологических исследованиях для количественной и качественной оценок характера влияния внешних возмущений на параметры тремора биомеханических систем организма человека.

2. Идентифицируемые параметры тремора биомеханической системы человека являются существенными диагностическими признаками и обеспечивают идентификацию различных функциональных состояний организма.

3. Разработанная программа для ЭВМ (гос. регистрация № 2013611828) обеспечивает идентификацию наиболее важных диагностических признаков, что находит применение в современной медицине.

4. Созданная программа для ЭВМ (гос. регистрация № 2013611829) осуществляет разбиение индивидуумов на приблизительно одинаковые группы по оценке межаттракторных расстояний путем построении матриц этих расстояний.

5. Разработанная программа для ЭВМ (гос. регистрация № 2013611827) предназначена для решения задач в персонифицированной медицине, например, в случае, когда по одним признакам пациент стоит ближе к одной группе заболеваний, а по другим - к другой. Программа может быть использована в научных исследованиях и при создании диагностических систем в медицине.

1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В РАМКАХ ДЕТЕРМИНИСТСКОГО И СТОХАСТИЧЕСКОГО

ПОДХОДОВ

Одним из важнейших примеров сложных динамических систем являются биологические динамические системы (БДС), идентификация которых представляет собой сложную задачу, решаемую на протяжении нескольких веков различными науками. По мере развития науки в целом и подходов в ней за последние 300 лет в естествознании происходили смены основных парадигм. Причем первая из них (детерминистская) продолжает существовать и развиваться как базовая, несмотря на положительную динамику второй (стохастической) и активно завоевывающей общее признание третьей (теория хаоса-самоорганизации). Чем же объясняется устойчивость первой детерминистской парадигмы? Ответить на этот вопрос можно, если разобраться в сущности происходящих изменений в базовых подходах естествознания. Рассмотрим последний тезис более подробно в аспекте соотношений детерминизма, стохастики и хаоса в оценке поведения любых БДС на примере наиболее важных из них для организма человека - функциональных систем организма (ФСО) человека [1, 47, 94].

Детерминистский подход не отбрасывается полностью, так как, во-первых,

он характеризуется хорошо разработанным математическим аппаратом, когда

дифференциальные, разностные, интегральные или интегро-дифференциальные

уравнения достаточно полно и удачно описывают многие процессы,

9

происходящие в природе, но на коротких интервалах времени т. Сама идея прогноза в рамках детерминистского подхода в естествознании весьма заманчива тогда, когда мы знаем начальные параметры биосистемы (при (=0) и далее предсказываем динамику поведения, например, вектора состояния организма человека (ВСОЧ) в любой момент времени />0. Однако, с точки зрения нового третьего подхода любой анализируемый процесс не может быть воспроизведен [162]. Поэтому все биопроцессы в ДСП описываются ретроспективно.

В детерминистской теории аналогичная постановка проблемы сформулирована в задаче Коши. Следует отметить, что в стохастическом подходе изменение начальных условий может влиять на функцию распределения системы [58, 62] . Тогда можно говорить о значениях вектора состояния организма человека в данный момент времени / не в виде точки в фазовом пространстве состояний, а в виде облака точек, среди которых с определенной вероятностью может находиться эта конкретная точка. То есть при этом мы говорим не о конкретном значении, а о некоторой области (1), внутри которой может находиться ВСОЧ.

т

Я Дх,- = Ус (1)

Область Уо будем называть квазиаттрактором состояния ВСОЧ для конкретного испытуемого. Этот квазиаттрактор для всех людей различен, так как различно и его расположения в т-мерном пространстве состояний, определяющееся интервалами изменения Ах/ для вектора состояния организма человека. Более того, сам человек за свою жизнь постепенно меняет квазиаттракторы поведения вектора состояния организма [67, 70]. Это связано с возникающими болезнями, старением, изменением экосреды обитания.

Вводя таким образом неопределенность состояния ВСС, мы частично приближаемся к хаосу, где задание начальных параметров биосистемы

(значения ВСОЧ x(t) при t=0) совершенно не определяет ее конечное состояние, а также дальнейшую динамику поведения ВСОЧ [62, 90, 92, 93]. Таким образом, в общей схеме «определенность - полная неопределенность» (рис.1), которую впервые предлоджил В.М. Еськов [75, 162], детерминизм и хаос занимают два крайних положения. При этом существенно, что в определении стохастичности или хаотичности процесса, равно как и в определении детерминистичности и стохастичности любого процесса, относительно хаоса ВСС для complexity, четких критериев нет.

Однако определенность в детерминизме и стохастике имеется в виде общих требований начального состояния (x(t0) должно быть определено), и det и chaos связаны между собой. Эта связь имеет место, если рассматривать переменные в детерминистских моделях как параметры порядка (1111) в хаотических моделях для биосистем, находящихся в аттракторах состояний. Подобная ситуация возникает и для блока stock. В общем случае детерминистские переменные и модели могут представлять собой некоторые средние из всех возможных, и тогда детерминистская линия в фазовом пространстве состояний отражает динамику поведения средних величин в блоке stock [57, 67]. Другими словами все эти подходы - детерминистский, стохастический и хаотический - имеют тесную связь между собой, поэтому их нельзя рассматривать раздельно. В целом, следует говорить о некотором общем подходе при изучении сложных биосистем естествознании, ядром которого должен стать блок chaos (точнее, надо говорить о теории хаоса-самоорганизации). В этом и заключается глубокий смысл связи детерминизма, стохастики и синергетики.

det. <-> stock. <-> chaos

••• •••

Рис.1 Иллюстрация состояний между тремя существующими подходами в естествознании.

Когда речь идет о детерминизме в поведении БДС, то подразумевается стохастическая динамика, за которой неизбежно следует хаос. Детерминизма в природе, как такового, не существует. То есть он справедлив только в рамках определенной договоренности или в рамках уже совершенных процессов, т.е ретроспективно. В организме человека процессы протекают более сложно, т.к. повышение надежности в его работе обеспечивается путем многократного запараллеливания и образования множественных контуров обратных связей. Даже после существенных повреждений органов человека, многие функции продолжают выполняться, а органы все же продолжают работать, благодаря сверхзапараллеливанию всех систем организма человека. Таким образом, продолжительность жизни каждого конкретного человека определяется степенью кооперации (синергизма) различных органов и ФСО, их скоординированностью в работе. В живой природе сверхзапараллеливание обеспечивает сверхнадежность БДС, и вопрос о хаосе в организме человека так остро не стоит, но при этом хаос проявляется во всем [59, 71].

Увеличение числа обратных регуляторных связей в БДС, их запараллеливание - все это уводит динамику ВСОЧ из хаоса в квазиаттракторы состояний. При этом хаотическая динамика БДС становится якобы стохастичной (возникают разбросы вокруг средних значений), но при этом в некоторых процессах (ретроспективно) можно для описания довольно успешно применять и детерминистский подход. В последнем случае реально существующим хаосом и возможной стохастичностью можно пренебречь на коротких интервалах времени г для конкретного организма г (в таком случае мы работаем с параметрами порядка, если смотреть на все это с позиций синергетики).

Следует так же заметить, что на переходы между теориями накладываются пространственно-временные ограничения, а также ограничения

на численность элементов или подсистем, образующих данную БДС или весь организм человека. Это объясняется тем, что базовые принципы синергетики хорошо работают в сложно организованных биосистемах, состоящих из очень большого числа ТУ элементов (клеток, подсистем, компартментов). И наоборот, в органическом мире живой природы нет тождественных объектов, которые были бы одинаковым образом организованы, имели бы одинаковые системы регуляции, одинаковый состав биосистем.

Известно, что для любой сложной БДС возможно использование только бихевиористического подхода, т.е. можно наблюдать вход и выход (так как поведение каждой клетки вещества, обеспечивающего направленную функцию в БДС, всегда остается тайной) и это - базовый постулат в теоретической биологии и медицине - ТБМ. Следовательно, любая биосистема может давать приблизительно одинаковую реакцию (укладывающуюся в некоторый закон распределения) только на ограниченном интервале времени 8 (т—>е) и в ограниченных объемах их пространства (Уо—Поведение БДС за пределами е и |1 может быть необъяснимо и непредсказуемо. В этом случае нет смысла говорить о детерминизме или стохастичности процесса, т.к. там будут превалировать законы хаоса и принципы синергетики. Последний постулат носит гипотетический характер, но ведь организм человека и его ВСОЧ постоянно изменяются в связи с болезнями, смертью и др. Поэтому хаотическое поведение ВСОЧ за пределами е и |1 становится очевидным. В то же время базовым принципом синергетики является условие, когда число элементов п—>со и динамика поведения отдельных элементов не имеет значения, а важна динамика поведения всей кооперации (клеток, систем органов и т.д.). Это - основа первого постулата ТХС, который высказал Г. Хакен в 1969 г. [113] в связи с созданием синергетики.

Невнимание к отдельным элементам на уровне организма компенсируется самоорганизацией всех подсистем и получением

положительного эффекта от действия всей системы. В данном случае имеет место принцип системности - то есть когда состояние отдельного элемента не может определять поведение всей системы. В синергетике принципиально работа ведется с кооперацией элементов, с подсистемами и системами, в которых отдельные элементы не являются объектом исследований. Тогда можно работать с руслами и параметрами порядка, которые, в основном, определяют динамику поведения системы, но в ограниченных интервалах времени I и в ограниченных объемах пространства Уо [6, 81, 89].

Более того, в синергетике можно описывать работу общей системы, такой как организм человека, с позиций системного анализа и синтеза. С другой стороны, поведение отдельных элементов или подсистем не рассматривается в рамках стохастического подхода, т.к. последний имеет свои особенности, что представлено на общей схеме разных теоретических подходов в ТБМ (рис. 1). На рис. 2 стохастика представлена в виде блока Л. В рамках подходов синергетики (5уп) мы работаем с параметрами порядка, с руслами, в пределах которых динамика БДС может описываться детерминистскими моделями в фазовом подпространстве размерностью к.

Синергетический подход (блок ) занимает действительно отличное положение от детерминистского подхода (Ое{), для которого В.М. Еськовым была издана переходная компартментно-кластерная теория биосистем - ККТБ [52, 56, 69, 153, 154], и стохастического В детерминистском подходе, как правило, моделирование систем осуществляется в общем т-мерном фазовом пространстве, в котором каждая фазовая координата х{ имеет свое особое значение и которое надо идентифицировать. В стохастике работают с функциями распределения, где необходимо определить характер взаимодействия х1 между собой. При этом влияние на БДС внешних драйвов ий уже не имеет столь существенного значения.

cl V—> M f —^ £

»

Стохастика St

11—ИЮ

i

n->(Tj

Синергетика (IV—>со -» Хаос

Svn Т-->.Х. С lia о s

Рис.2. Соотношение между различными подходами - детерминистским (Det), стохастическим (St), синергетическим (Syn) и хаотическим (Chaos)

В синергетическом же подходе необходимо выяснить наиболее значимые переменные xh образующие к-мерное подпространство (к<т), в котором БДС наиболее удачно описывается с позиций синтезированных моделей, выполнить системный синтез. Причем все 3 подхода, описанные выше, имеют свои различия по принципам идентификации, математике, используемой в каждом из этих подходов, и по получаемым при этом результатам [11, 91, 116].

Наконец, на больших интервалах времени (т»е) и в больших объемах пространства (VG »//) имеет место «классический» хаос, где задание начальных параметров системы не определяет дальнейшую траекторию развития х и его конечное состояние. Такой интервал времени (г»е) для человека, например, может быть соизмерим с длительностью его жизни. При этом среднестатистические параметры могут полностью не соответствовать реальной динамике жизни отдельно взятого человека, динамике его смерти (в рамках ТХС смерть - это переход от хаоса к порядку в термодинамическом смысле).

В рамках ТХС динамика жизни отдельного человека характеризуется

классическим хаосом, т.к. человек живет всего один раз, поэтому статистику на

конкретного человека собрать невозможно, и его ВСОЧ может легко

15

переходить из одного квазиаттрактора в другой. Однако стохастический подход нельзя отбросить полностью. Кода изучается динамика процесса на примере нескольких индивидуумов ц, 2л ••• Ък > в этих случаях стохастика необходима. Но в то же время из этой же серии ц можно для отдельных организмов получить и хаотическую динамику. Поэтому то, что для одного человека является редкостью, для большого сообщества (к—> оо) - уже нет. Такие процессы не имеют стохастического характера, но выделяются как классический пример хаотической динамики [125,134, 143].

Таким образом, стохастика, в медицине, в частности, имеет место либо в данный короткий промежуток времени г, но для многих индивидуумов (числом к), либо для отдельного индивидуума локально, но на больших интервалах времени. Однако насколько короткий промежуток времени и насколько большое число индивидуумов - таких определений нет. В таких случаях мы действуем от обратного - говорим об интервале т, в течение которого действует данный закон распределения или данная детерминистская модель. Таким же образом говорим о численности к, для которой процесс уже переходит в хаос или имеет стохастический характер. Грани этих подходов в естествознании размыты, что является и сложностью, и вместе с тем определенным преимуществом.

Следствием такой идеологии являются новые подходы, когда, например, врач пользуется детерминистскими (инструкции, учебники) или стохастическими критериями, когда используются среднестатистические данные для диагностики конкретного пациента, а жизнь вносит свои хаотические коррективы. Отсюда становится очевидным, что без современных методов теории хаоса-самоорганизации, теории устойчивости биосистем, теории фазатона мозга, без знания законов системного синтеза и анализа, современных методов искусственных нейронных сетей развивать, например, медицину становится очень сложно.

Итак, хаотическая динамика поведения ВСС организма человека в фазовом пространстве состояний характеризуется тем, что воспроизвести такие процессы ни на каком промежутке жизни человека невозможно. Невозможность описывать первородный хаос в динамике поведения моделей с позиций ДСП является основным недостатком данного ДСП подхода и всей современной науки о хаосе. Невозможно многократно воспроизводить начальное состояние системы в конкретный момент времени ? так как любая сложная биологическая динамическая система изменяет свое состояние в каждый момент времени. В реальных сложных биосистемах не существует стационарных режимов и точек покоя, чего требует ДСП подход.

Таким образом, если задание начального значения ВСС в ФПС не определяет дальнейшую динамику БДС, то и сама биосистема, и модель, описывающая хаотические режимы динамики поведения системы, развиваются по хаотическому сценарию. Так же как биосистема осуществляет хаотические движения в ФПС, так и модель демонстрирует некоторую хаотическую динамику поведения вектора состояния этой системы в ФПС. Но обе эти хаотические системы совершенно разные, так как динамика их является хаотичной, непредсказуемой. А основной принцип ДСП моделей заключается в повторении траектории динамики повведения реальной БДС. Детерминированный хаос, называемый также макрохаосом, предполагает воспроизводимость и повторяемость процессов. Но этого никогда не будет: две хаотические системы никогда не будут идентичны, их одинаковость противоречит определению хаоса, эти две хаотические системы (реальная и модельная) индивидуальны, уникальны и неповторимы. Особенностью детерминированного хаоса является такое движение ВСС, которое обычно оказывается локально неустойчивым. То есть любые траектории, приближаясь друг к другу, расходятся экспоненциально, не покидая при этом квазиаттрактора [194].

Такое движение оказывается нейстойчивым по Ляпунову, и оно может происходить даже в ограниченных областях ФПС, в отличие от циклов и торов, где оно устойчиво. При этом расстояние / между траекториями при малых / в среднем обычно экспоненциально увеличиваются, 1~ ехр{Яс}, где Х>0 называется старшим ляпуновским показателем. Экспонента Ляпунова для оценки детерминированного хаоса является стандартной проверкой на то, является ли система хаотичной. Положим, что существует две точки рядом с шагом п, хп и хп+сЬс„. На следующем шаге они устремятся, например, к хп+; и хп+]+сЬсп+1. Это средний показатель дивергенции (или конвергенции) который экспонента Ляпунова покрывает. Другой способ описания ее смысла -скорость, с которой теряется информация о начальных условиях. Существует столько экспонент Ляпунова, сколько измерений фазового пространства. Поэтому когда говорится про одну экспоненту, она обычно относится к наибольшей. Чем больше показатель Ляпунова X, тем более хаотичным будет динамика поцесса. При этом и аттракторы называются хаотическими, если их динамика характеризуется положительным ляпуновским показателем.

Кроме этого, если в качестве начальных данных взять не точку, а некоторый, пусть очень малый, объем в ФПС, то с течением времени система начнет этот маленький объем, «каплю», размазывать по всему аттрактору, и возникает эффект перемешивания. Таким образом, если в начальный момент времени мы знали состояние системы достаточно точно, с малой ошибкой, то со временем ошибка начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости перемешивания, окажется, что о состоянии системы можно сказать, что оно «где-то на аттракторе» [93]. На больших временах характеризовать систему можно, но в пределах некоторой вероятности появления траектории в окрестности точки из фазового пространства. Таким образом, существует так же стохастический хаос с вероятностным описанием динамического хаоса, с инвариантами меры и энтропии, функции распределения и частичной

неопределенности в конечном состоянии системы. Если стоит задача определения распределения вероятностей, то носитель меры (величина микроперемещений, например, конечности человека) или какую-либо область фазового пространства, содержащую его, разбивают на достаточно малые подмножества А, и рассчитывают достаточно длинную траекторию, содержащую N точек хк. Затем меру каждого множества приближенно оценивают при помощи гистограмм, то есть как = iVj/N, где Nt — число

точек, попавших в Однако, этот метод подходит только при достаточно больших значениях Nt. Если же траектории появляются очень редко, то для них такие оценки будут давать неприемлемую большую ошибку, так как относительная погрешность 8n{Ai) / /¿{А^ = В этом случае

необходимо либо решать уравнение Перрона-Фробениуса, либо аппроксимировать меру гладким распределением, либо отказать от исследований такого рода вообще.

Такая неопределенность не характерна для сложных БДС, для которых конкретное значение ВСС в данный момент времени не несет информационной значимости, так как в следующий момент времени эта точка сместится (2-й постулат ТХС, предложенный Еськовым В.М.). Для таких сложных биологических динамических систем, СТТ, обладающих пятью особыми свойствами, описываемыми в ТХС, имеется постоянный микрохаос ВСС в ФПС [69]. К таким свойствам сложных БДС относятся: компартментно-кластерная структура любой БДС, свойство постоянной эволюции системы и телеологичности, свойство выхода БДС за пределы трех сигм и важное свойство постоянной изменчивости (glimmering system), которое и исследуется в настоящей работе.

Учитывая выше перечисленные свойства сложных БДС, возникает вопрос: как, каким образом исследовать такие системы, которые находятся в постоянном движении? Ввиду ограниченности ДСП при анализе и

идентификации сложных биологических динамических систем, возникает необходимость в разработке третьей парадигмы и ее аналитической основы -теории хаоса и самоорганизации, которые охватывают и описывают динамику поведения систем третьего типа, отличных от ДСП-систем (В.М. Еськов, A.A. Хадарцев, O.E. Филатова, 1996-2012). В рамках третьей парадигмы такие системы с хаотической динамикой поведения можно описывать и сравнивать методами многомерных фазовых пространств [31, 42, 72, 77]. Важно заметить, что характер хаоса при описании систем третьего типа отличается от детерминированного хаоса с его ляпуновскими величинами, где кривые не пересекаются, а исходно находясь на малом расстоянии друг от друга, с течением времени расходятся экспоненциально.

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ В НЕРВНО-МЫШЕЧНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПОСТУРАЛЬНОМ ТРЕМОРЕ НА ОСНОВЕ КОМПАРТМЕНТНО-КЛАСТЕРНОЙ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

ОРГАНИЗМА ЧЕЛОВЕКА

На протяжении уже более 30 лет профессором Еськовым В.М. проводятся исследования хаотической динамики поведения сложных БДС. Уже получены ответы на вопросы: каким образом осуществлять анализ и идентификацию движения таких систем, какими параметрами оценивать хаотическое движение, как моделировать и как сравнивать такие системы [32, 37, 42, 65, 68, 73, 74]. Но не хватало визуальной иллюстрации результатов данных исследований. В данном диссертационном исследовании мы решили данную задачу, построив имитационную модель организации управления НМС, которая адекватно работает для любой другой ВСОЧ.

Построение адекватной математической модели сложного

биомеханического объекта - весьма трудная задача, так как в каждый момент

20

времени состояние системы уникально и невоспроизводимо. Однако на сегодняшний день существуют различные модели, описывающие тремор как автоколебания, вызванные нестабильностью рефлекторных реакций и описанные нелинейными динамическими уравнениями [109]. Так же известны модели, в которых тремор возникал в результате нелинейных механо-химических взаимодействий в мышцах, были предложены В.В. Кузнецовым [82, 83, 84].

Позже возникла принципиально новая идея описания непроизвольных микроколебаний конечности, базирующаяся на случайном включении двигательных единиц (ДЕ), способных развить чуть большую или чуть меньшую силу [3, 4]. Кроме этого, в моделях учтена зависимость уровня тремора от уровня нагрузки, которая согласуется с законом Вебера-Фехнера, одним из основных законов психофизиологии. Существенно, что в данных моделях впервые отражены компартментные принципы организации управления и функционирования мышц человека в виде совокупности двигательных единиц. Двигательные единицы объединяются в компартменты мышечных волокон, которые иннервируются одним мотонейроном. ДЕ нумеруются в порядке рекрутирования. Те единицы, которые развивают одинаковую силу, получают один и тот же номер. То есть компартмент (пул) двигательных единиц состоит из элементов, схожих по функциональным признакам - например, по силе сокращения мышечных волокон, входящих в данные двигательные единицы. Состояние ДЕ (в моделях В.А. Антонца, [3, 4]) определяется либо как состояние покоя, либо как развивающее максимальную силу. Зависимость силы ДЕ описывается функционально, то есть отождествляется числом волокон в ДЕ с максимально развиваемой силой: = Щ). В результате модель общего состояния мышцы описывается распределением вероятности р1.

Компоненты этого вектора представляют собой вероятности сокращения ДЕ в данный момент времени I То есть описание тремора основывается на постоянном переключении ДЕ при управлении конечностью в процессе поддержания нагрузки. При этом предполагается, что ДЕ включаются последовательно и они обеспечивают создание силы, необходимой для удержания груза. Именно в моменты таких переключений и наблюдаются отклонения конечности от ее среднего положения. При этом с наибольшей вероятностью включаются ДЕ, имеющие тот же номер (компартмента), либо соседние ДЕ, а включение ДЕ с другими номерами пренебрежимо моловероятно. Исходя из данных предположений, вектор вероятности р

является функцией от состояния трех компартментов - предыдущего р[_х,

последующего р'1+] и текущего р\, то есть вектор р' = (р',+\,р', р[-\У. Причем

на составляющие функции компартментов накладывается условие нормировки. Это означает, что хотя бы одно из состояний возбуждения ДЕ обязательно наступит.

Так как в описанной модели используется вероятностный подход, то для таких систем возможны флуктуации измеряемых и регистрируемых величин. Другими словами, реальная сила, развиваемая мышцей в момент времени t может отличаться от силы Ро, необходимой для удержания груза в заданной точке пространства. Поэтому в таком флуктуационном процессе среднее значение силы в момент времени I должно удовлетворять уравнению Рм(г)=Р1. Так как время ? дискретизируется пошагово, то при сила, развиваемая мышцей, описывается вектором вероятности р". Основное уравнение, описывающее переход от момента времени ? = п к моменту времени п+1, связывает два вектора, рп+1 и р" матрицей переходных вероятностей П. Исходя из этого уравнения векторно-матричной формы, автор рассматривает три собственных вектора А:,, и три собственных числа X, матрицы П. Собственные

вектора матрицы П являются базовыми параметрами, которые достаточно

22

полно представляют процесс сокращения мышцы и ее флуктуационные процессы.

В рамках построения данной теории автором был выполнен расчет величины средней флуктуации силы, развиваемой мышцей в виде

произвести оценку реальной величины средней флуктуации силы и получить одно из уравнений, которое можно использовать для расчета компонент вектора Р. Существенно, что в рамках такой теории процесс рассматривается как чисто стохастический, то есть полностью отрицается существование квазипериодических автоколебаний.

Итак, при построении общих математических моделей необходимо учитывать ряд свойств, которыми обладают сложные БДС. В первую очередь следует отметить компартментно-кластерную организацию complexity. Выше уже упоминалось, что впервые компартментные принципы организации функционирования именно мышц, как совокупностей двигательных единиц (ДЕ), образующих компартменты мышечных волокон, были сформулированы в серии работ В.А. Антонца [3, 4]. Таким образом, любая БДС или ее составная часть (кластер) состоит из компартментов (элементов, схожих по морфологическим, функциональным или др. признакам). Очевидно, что компартменты либо обеспечивают достижение некоторой единой цели, либо выполняют сходные функции. Если рассмотреть организацию непроизвольных микроколебаний (тремора) пальца кисти руки, то в этом процессе участвуют два кластера - нервной регуляции и кластер ДЕ. В первом кластере, нервной регуляции (центральной нервной системы - ЦНС), можно выделить сильно коррелирующие группы нейронов, которые участвуют в определенных периодах управления двигательным актом (например, нейрогуморальная регуляция). Подобная ситуация имеется и в мышцах, когда для совершения

Таким образом, по экспериментальным данным можно

акта движения активизируется целый пул мышечных клеток (миофибрилл), участвующих в этом акте [13, 17, 29, 30, 49, 96, 127]. Причем последние так же являются примером компартментно-кластерной организации. В процессе функционирования нервно-мышечной системы можно выделить отдельные компартменты (блоки) нейронов и представить структурную схему организации управления нервно-мышечной системы, осуществляющей тот или иной физиологический акт.

Во-вторых, между компартментами существуют связи, посредством которых сами компартменты организовывают структуры. При этом связи могут быть положительными и отрицательными. В случае, когда коэффициенты связей между компартментами ау не отрицательны ау > 0, то есть матрица А = {а цмежкомпартментных связей не содержит отрицательных

элементов, говорят, что система синергична. Между компартментами существуют возбуждающие (энергетические) связи. Если ау < 0, то происходит явление торможения со стороны у-го компартмента на /-й компартмент. Если элементы матрицы положительны ау>0, то имеется синергетическая связь между этими компартментами, при а у = 0 связи между компартментами

отсутствуют. Если все ау > 0, то биосистема полностью синергична, т.к. нет угнетения между элементами.

Третья особенность компартментно-кластерного подхода (ККП) заключается в наличии интегративной величины у, выполняющей оценку и регуляцию функционирования любой сложной биологической динамической системы на любом уровне организации живой материи. В простейшем случае интегрированная активность всей сети может быть представлена формулой (2)

где с, - весовые коэффициенты вклада вектора X в некоторую выходную

т

(2)

¡=i

величину у (1=1,..,ш); х, - мгновенно усредненная во времени активность /-того компартмента.

Следует отметить, что выше упомянутые потоки могут осуществлять движение как вовнутрь системы, так и наружу. То есть любая БДС является открытой системой. В компартментно-кластерной теории биосистем эти потоки описываются вектором с! = (ё; }"=1 и скалярной величиной и, влияющей одинаково на все компартменты БДС. Таким образом, внешние управляющие драйвы ис1 обеспечивают влияние на систему извне и приводят при определенных значениях к возникновению бифуркаций рождения циклов и создания элементов нелинейности, усложняя тем самым динамику поведения БДС. Вместе с этим любая БДС характеризуется лимитирующим фактором, который определяется значением вектора состояния этой системы х=(х}, ... х^. Зачастую такой лимитирующий фактор имеет смысл диссипации энергии (информации, массы). В простейшем случае зависимость скорости изменения вектора состояния с!хШ от величины л: может носить линейный характер, т.е.сЬс/Ж^-Ьх, где коэффициент диссипации Ъ=сож1. В теории маятника именно такое слагаемое описывает силы трения. При внешних управляющих воздействиях диссипация Ъ становится функцией х,у или других переменных. Тогда возникает возможность прямого или непрямого управления в БДС, из-за чего система становится нелинейной [141, 142].

Функция регуляции потоков в системе осуществляется с помощью отрицательных обратных связей р(у) вентильного типа. Причем функции обратных связей рц(у) организуют тормозной процесс и образуют матричную функцию тормозных воздействий Р(у) = {ру(у)}™=1 • При этом функциональный

элемент р\ такой матрицы имеет специальные свойства. Во-первых, функция Р[{у) является не возрастающей (убывающей) функцией от у. Во-вторых, для всех элементов выполняется условие /?/(у)>0 (вариант, когда Р(у) < 0 может

быть справедлив для некоторого короткого интервала времени, тогда связность между пулами может быть отрицательной). Таким образом, увеличение интегративного показателя системы приводит к усилению отрицательной обратной связи и соответственно ослаблению потоков (возбуждения энергии, массы, информации), обеспечивающих функционирование БДС. Тормозные процессы зависят от интегративной величины кластера нервно-мышечной системы. Однако, прямых экспериментальных доказательств существования тормозных взаимодействий между мышечными пулами многих классов нет. С другой стороны в работе любой нервно-мышечной роль тормозных процессов огромна. Поэтому будем учитывать тормозные процессы не как результат прямого взаимодействия между пулами, а через посредство некоторой функции, зависящей от активности текущего пула х^ При этом ограничимся только некоторыми свойствами этой функции, которые имеют экспериментально доказанное существенное биологическое значение. Например, торможение в компартментных сетях будет ослаблять интенсивность возбуждения от j-тo пула на 1-й в р/у) раз. Таким образом, передача возбуждения будет определяться величиной а^р/у).

Любая сложная биологическая динамическая система с компартментной организацией может находиться как в различных динамических режимах, так и в стационарном состоянии с1х/ (к = 0, описываемом в математике точкой покоя (ТП). Динамические и переходные режимы (в частности, устойчивые колебания) представляют для исследователей большой интерес, так как описывают микро- и макроэволюцию биосистем в фазовых пространствах состояний [137, 138]. Таким образом, математическое описание любой БДС может быть следующее (3):

у = Ст х

(3)

где А - матрица весовых коэффициентов а у (i ^ j ) влияния j-того компартмента на /-тый; Р(у) - матрица связей, обеспечивающая перекрытие возбуждающих потоков между компартментами (отрицательная обратная связь); b -коэффициент диссипации (рассеяния) возбуждения; и - скалярная величина внешнего воздействия; d - вектор весовых коэффициентов d; влияния управляющего драйва на i-тый компартмент.

В ККТБ система (3) является базовой для изучения любой БДС, а также биосистем, находящихся в стационарном (квазистационарном) состоянии.

Следующее утверждение основано на принципе иерархической организации любой компартментно-кластерной БДС, где существуют различные уровни организации живой системы. Иерархическая организация

БДС с позиций ККП описывается блочно-треугольной матрицей

состоящей из элементов Atj (ijy), которые представляют собой межкластерные связи. В таком случае параметры у, d и с будут иметь вид матриц, а система (3) будет описывать компартментно-кластерную структуру БДС.

Анализируя выше перечисленные базовые принципы компартментно-кластерной теории биосистем и учитывая возможность описания в рамках ККП различных динамических режимов системы, становится очевидным применение данной теории для построения адекватных математических моделей хаотической динамики поведения complexity, так как ККТБ позволяет наиболее точно отразить реальную биологическую структуру исследуемого объекта.

Для моделирования процесса непроизвольных микроколебаний пальца кисти руки человека, необходимо учитывать наличие двух кластеров -управляющего и управляемого. Таковыми являются соответственно иерархическая структура ЦНС и эфферентный кластер, формирующий непроизвольные колебания (тремор). При этом управляемый кластер может

состоять в простейшем случае из трех компартментов, где эти все компартменты - объединения трех типов нейромоторных групп (ДБ), которые поочередно включаются в работу и обеспечивают последовательные (кажущиеся непрерывными) сокращения этих трех групп мышечных компартментов. Верхние уровни иерархии для систем организации непроизвольных микроперемещений представляют собой (кроме собственно сегментарного) бульбарные, надбульбарные структуры, моторную зону коры головного мозга [36, 188, 197]. С этих структур оказывается управляющее нисходящее воздействие на работу кластера двигательных единиц.

Количество компартментов выбрано равным трем неслучайно. Согласно известной теореме [36, 38, 144], организация периодических решений в компартментных системах управления невозможна в следующих случаях: 1) если отрицательная обратная связь в равной степени влияет на взаимодействие отдельных компартментов; 2) если система состоит только из двух взаимодействующих пулов; 3) если влияние отрицательной обратной связи на межкомпартментное взаимодействие мало. НМС с выше перечисленными условиями будет находиться в тоническом, статическом состоянии.

Рис.3. Графическая структура трехкомпартментной системы с

отрицательными обратными связями

Данная модель может быть представлена в виде ориентированных графов

(рис.3), где х( - величина активности /-го компартмента, у - интегрированная

28

активность всей системы регуляции (соответствующего кластера), dt - величина внешних воздействий, с, - весовые коэффициенты вкладов компартментов в выходную активность у, pfy) - величина управляющих тормозных воздействий. Информационные и энергетические связи обозначены направленными отрезками. При этом информационные связи обозначаются прерывистыми линиями, которые заканчиваются вентилями, обеспечивающими перекрытие энергетических связей между компартментами.

Так как система циклическая, необходимо выполнение следующих условий: а1т> О, > 0 (/ = 1,..., т-1) и ау = 0 (¡фт, Поскольку в нашем

случае имеется три компартмента, то есть т — 3, то условие существования циклической системы примет вид (3)

an > 0, ai+i> i > 0 (z = 1,2) (4)

Остальные элементы матрицы в простейшем случае примут нулевые значения, что соответствует отсутствию связей между компартментами.

Приведем описание динамики поведения НМС к компартментным модельным представлениям структурно-функциональной организации системы [2, , 99, 147]. Структурная идентификация определяет систему связей между элементами изучаемой биосистемы. Таким образом, необходимо идентифицировать матрицу А, состоящую из элементов ау, которые определяют характер действия со стороны компартмента j на компартмент i. Параметрическая идентификация определяет непосредственно значения ау . В зависимости от размерности матрицы А различают простые, сложные (иерархические, например) и очень сложные системы. Организм человека в целом представляет собой очень сложную иерархическую структуру, состоящую из многих взаимодействующих динамических биологических систем с хаотической динамикой поведения.

Учитывая всю сложность функционирования НМС, можно осуществить два вида моделирования. Во-первых, это построение некоторой

математической модели НМС, которая достаточно точно будет представлять все основные динамические характеристики исследуемого биологического объекта. Во втором случае можно построить имитационную модель и оценить реакцию систему на различные значения управляющих воздействий. Это даст возможность найти бифуркационный параметр, изменяющий состояние системы, а также наглядным образом оценить динамику поведения НМС на каждом этапе передачи сигнала от компартмента к компартменту. Осуществим предложенные варианты моделирования динамики поведения НМС на примере постурального тремора [50, 54, 55, 171].

Как упоминалось выше, в реальной ситуации осуществить идентификацию такой базовой модели (БМ) - задача весьма сложная. Поэтому БМ представим в виде "черного ящика" (ЧЯ). Тогда из того, как соотносятся входное воздействие и выходное, можно построить новую упрощенную модель. Эта модель будет подобна исследуемой модели, так как с заданной степенью точности может описывать динамику базовой модели. В этом случае можно уменьшить размерность вектора состояния т, где х е Ят , решив тем самым задачу минимизации порядка новой модели. Одним из распространенных методов исследования систем в состоянии равновесия является метод анализа отклика динамических систем на внешнее управляющее воздействие. При этом значения переменных могут совершать некоторые колебания вокруг среднего уровня.

Итак, задачу идентификации на примере линейных математических моделей НМС общего вида (3) можно свести к виду (5):

сЫ ск - Ах + Вс1

у = СТх ' <5>

где х - т-мерный вектор состояния системы, у- регистрируемая выходная характеристика кластера ДЕ {у е -К1), й - вектор внешнего воздействия (с1 еЯт),

А - матрица размерности тХт, А - [а^ 5 в - т-мерный вектор-столбец; С -

га-мерный вектор-строка.

При этом дифференциальными уравнениями (5) можно описывать систему, если известны значения входа и выхода в каждый момент времени. Если же осуществляется цифровая обработка, то данные фиксируются в дискретные моменты времени, и (5) переходит в (6):

х^ + \)= Ах^)+ Ви^)

Я/) = С*(/) ' (6)

где Ае Я"уп, В е Я"х], Сей1", - входное воздействие, у (г) - выход системы, х($ - состояние системы в простейшем случае.

Так как для анализа принят подход "черный ящик", то считаем, что структура исследуемой системы и процессы, протекающие внутри этой системы, очень сложные. Поэтому осуществим идентификацию модели (6), описываемую разностными уравнениями.

При решении задачи необходимо минимизировать размерность фазового пространства математической модели ЧЯ методом минимальной реализации (ММР), впервые рассмотренный Калманом [54]. Суть этого метода заключается в отыскании тройки матриц 2= (А, В, С), удовлетворяющих равенству (7).

СА-'В = р1, (7)

где А е Я"™, ¿еГ1, СеЯш при / =

Формула (6) определяет реализацию последовательности {р} размерностью Ы, и называется последовательность {р} - последовательностью марковских параметров (в (6) она представлена выходами у,).

В общем случае реализация г всегда существует. В частном случае можно взять следующий вид матриц (8).

гО 0 . . 0 0-1 rl-1

1 0 . . 0 0 0

А = 0 1 . . 0 0 ,в = :

-0 0 . .. 1 0- -0-

С =(pi, ..., Pn) (8)

Очевидно, для этого случая условие (7) реализуется. Но при бесконечной последовательности {р}™=1 реализация z имеет так же бесконечную размерность, а нас интересует конечная и наименьшая размерность п. Таким образом, для решения задачи минимальной реализации (для последовательности {р}) необходимо найти наименьшее п, для которого выполняется (7).

При структурной идентификации НМС принципиальной задачей является проверка компартментности организации такой системы, так как такая организация БДС обеспечивает взаимодействие между компартментами системы. Поэтому данная задача является первостепенной [43, 48, 50]. Чтобы проверить компартментность исследуемой НМС, необходимо исследовать

инварианты матрицы А. В компартментных моделях матрица А = {aij}™j_1

внутриструктурных связей должна быть неотрицательной а^ > 0 при [36, 40]. Если данное условие выполняется, то необходимо определить, к какому классу разложимости относится данная матрица. При исследовании структуры (разложимой, неразложимой циклической, неразложимой примитивной матрицы) рекомендуется представлять связи в виде ориентированного графа.

Графы представляют разложимые системы, если любая пара компартментов связана между собой одной связью. В этом случае индекс цикличности к (к Ф l) матрицы в окончательно неотрицательной канонической форме будет определяться матричными инвариантами единственным образом. Поэтому в данном случае решение задачи структурной идентификации более

определенное. В большинстве случаев после применения ММР полученные матрицы являлись неразложимыми матрицами {к = 1).

В сложных иерархических моделях матрица межкомпартментных, межкластерных связей А имеет блочно-треугольный вид (9), а ее элементы А у представляют собой блочные матрицы. Значение блока, отличное от нуля, при I ф у , свидетельствует о наличии связей между уровнями иерархии и наоборот. Каждому диагональному блоку матрицы А соответствует свой кластер компартментов всей НМС. При этом каждый отдельно взятый кластер описывается уравнениями (5).

А=

Ац О

Ап1

О О

о о

(9)

Для проверки степени синергизма необходимо выяснить существование некоторой окончательно неотрицательной матрицы Q, которая была бы

подобна исходной А матрице: () = Т АТ, где Г - некоторая матрица линейного преобразования [8, 66, 108].

Условием существования матрицы 0, является наличие положительного

собственного числа матрицы А , которое было бы строго больше модуля всех остальных собственных значений (10):

Л;=££1\Л'1>Л;>\Л'\ при/*У (10)

По теореме Фробениуса - Перрона невыполнение условия (10) свидетельствует о невозможности приведения матрицы А к окончательно неотрицательному, неразложимому виду. В противном случае матрица Q существует и, следовательно, математическая модель НМС является

синергетической компартментной. В общем случае значения параметров Л, В, С и т модели (6), полученные методом минимальной реализации, будут не единственным решением задачи минимальной реализации. Для того, чтобы соотнести полученную модель с определенным классом структурной организации, необходимо преобразовать исходную матрицу А к некоторому каноническому виду [57, 68, 11, 56].

Для решения задачи параметрической идентификации компартментно-кластерной системы, находящейся в стационарном состоянии, мы использовали метод анализа отклика БДС на импульсное входное воздействие. При этом на входы исследуемой системы подается единичный ступенчатый сигнал (11)

Последовательность откликов исследуемой системы {у(0, /= 1,2,...} на

Следующим этапом минимальной реализации будет непосредственное построение системы линейных разностных уравнений вида (12) наименьшего порядка:

Как было сказано выше, систему (6) можно получить при исследовании с непрерывным временем. Но при использовании аналого-цифрового преобразователя (АЦП) непрерывная система будет описываться в фиксированные моменты времени дискретными значениями. Для получения необходимого отображения "вход-выход" <р требуется проведение ряда экспериментов, имеющих следующие особенности.

1) Входной сигнал представляет собой прямоугольный импульс длительностью т (или серию импульсов совокупной длительностью г ). Время окончания воздействия определяется некоторым моментом /0.

(П)

входное воздействие и можно представить в видеу^^СА'^В, ¿=1,2,...

х1+1 = Ах, + Ви, у, = Сх„* = 1,2,К

(12)

2) Выходные величины фиксируются после окончания стимуляции объекта в момент /0. Сохранение значений интегративного показателя происходит независимо от численных значений í0. Если нейронная сеть находится без генерации возбуждения (в стационарном состоянии), то длительность временного интервала наблюдения ответа т должна удовлетворять неравенству Т<2т+\. Однако, в последующие моменты времени выход системы определен нулевыми значениями - такие значения мало информативны, то есть их можно не учитывать при построении модели.

3) Так как НМС должна находиться в стационарном состоянии до момента ^, то начальный момент времени можно считать равным 0.

Учитывая данные условия, можно решить задачу реализации отображения <р, указав тройку матриц С, А, В, которая представляет собой реализацию заданного отображения "вход-выход" (р, но при условии совпадения отображения исследуемой системы (р с заданным отображением (р.

Если построена система (12), следовательно, определенна передаточная функция системы (13):

Ж{£)=ф-А)-1В. (13)

Существенно, что применение метода минимальной реализации приводит к получению модели порядка не превышающего 7 (т<7). Этим критерием необходимо руководствоваться при отыскании диапазона применимости. Разработан алгоритм построения упрощенных моделей с использованием эмпирических данных, получаемых на входе системы по отношению сигнала на входе [50, 55, 57, 133, 139]. При этом, если увеличивать наблюдаемый промежуток времени г выходной величины у системы, то можно модель достраивать, а не искать всю модель заново.

Указанная процедура производится в точке положения равновесия системы (4). Теорема о существовании и устойчивости равновесной точки была

доказана профессором В.М. Еськовым в 1994 году [36,38]. При этом существенно отметить, что для многих сложных БДС (для мышечной системы, в частности) существуют два стационарных состояния. Первое состояние -когда мышцы находятся в покое (x(t) = О), и компонентами xt(t) ВСС х = x(t) имеют нулевые значения. И второй режим покоя, соответствующий нулевой скорости движения мышц dx/dt = 0, при этом x(t)>0. Очевидно, что первый режим соответствует состоянию абсолютного биологического покоя с нулевой биоэлектрической активностью, когда мышца не напряжена. Второй режим соответствует любому статическому напряжению мышц, когда их биоэлектрическая активность принимает примерно одинаковое ненулевое значение. Именно данное состояние мышц создает постуральный тремор в наших исследованиях. То есть равновесное состояние системы становится неустойчивым [3, 25, 29, 177, 180, 192].

Поскольку в основу математических моделей мы положили трехкомпартментные модели, то именно системы с т=3 мы и рассмотрим исходно аналитически, а затем и численно. Так как периодическая активность НМС связана с неустойчивостью равновесного состояния, рассмотрим конкретный пример выполнения условия потери устойчивости равновесного состояния трехкомпартментной (т = 3) системы двигательных единиц с матрицей (14)

Заменой переменных добьемся того, что а=1. Тогда исследуемая система будет описана следующим образом (15):

сЬсх / dt = х3 - Ъхх + и<Лх

"0 0 а А= а 0 0 .0 а 0.

(14)

dx3 / dt = x2- bx3 + ud-

т

У— с х

3

3

(15)

Пусть (^¡¡ду * 0, Р2=Р3= 1. Осуществим замены переменных в системе (15) следующим образом: х2=г1> х3=г2, Х]=г3 и й?2=/у, с13=/2) (¡¡=/3 (16).

сЬх /Ж = р(у)г3 -+ и/х с1г21 ск = 2х- Ъг2 + и/2

ск3 /Ж = г2 — Ьг3 + и/ъ (16)

где г = (г},..,г3)т, р(у) =р,(у) ив = (с2)с3>с1).

Тогда условие неустойчивости равновесного состояния будем анализировать для системы (16). Воспользуемся выбранным полиномом с неотрицательными коэффициентами (17):

т

ДЛ) = [Л2 +2(а-Ь)Л +(а-Ъ)2+рг] +аА2 +М +аз> (17)

;'=3

где а > 0 и Яе{Х) > 0.

Пусть ~^Р(Уо)'2зо = при у0 = Ог0. Вектор-столбец г0= (гю, 22о,220)Т

является ВСС в точке равновесия. Пусть в = (§ь ёг, гДе ёг1 ос,/<5> 0 {1=1,2), £з= (а3+р(уо))/ 5 > 0.

Тогда матрица линейного приближения системы (16) имеет вид (18):

0 = -^Р(у)А-Ы =

ог

-«1 -а2 -«з

1 0 0 -Ы

0 1 0

(18)

Характеристический полином матрицы (17) равен /(Л + Ь). По построению он имеет пару комплексных корней а ± /р (при а > 0).Эти корни находятся в правой полуплоскости, остальные лежат в левой полуплоскости. Следовательно, равновесие исследуемой системы неустойчиво.

Если в качестве обратной связи принять несогласованную отрицательную обратную связь 2-го порядка (19):

(О = (0......8)), (19)

, . а

тогда /(Я + Ъ) = -(Л + Ъ) + р(у0) + р(у о)? го.

ду

Следовательно, А,к= -Ь + р[соз(7с(2к+1)/3) + /зт(7г(2к+1)/3)] (к=0,1,2), где ~ р(Уо) > 0 > если gд > р(у0). Отсюда условие неустойчивости примет

вид (20)

—ХУо^зо > Р(Уо) + Ъъ 1соъъ{ж1Ъ) = р(у0) + ЪЪъ (20)

Исследуем существование периодических решений в системе (15) с учетом условия (18). Так как Р(у) является функцией с насыщением, то при повышении возбуждения интегративной величины у относительный вклад этого возбуждения убывает. Поэтому функция обратной связи может быть задана следующей функцией (так называемая функция Михаэлиса-Ментен) [57, 67].

Р{У) = Р» (21)

Если у е [0, оо), то предполагаем выполнение условия (22)

0 при у 00 (22)

Простейшая функция обратной связи примет тогда вид:

Р(У) = ра/(у+к). (23)

Чтобы исследовать условия возникновения периодических колебаний в модели НМС в зависимости от управляющего воздействия и, исследуем поведение решения системы уравнений (15). Так как НМС является системой с явлением диссипации, т.е. возбуждение в ней затухает при отсутствии внешнего драйва, будем предполагать выполнение условия Лу\у=о < Ь. По теореме 1.4.1 [38] для каждого уо^аэ и каждого Ъ таких, что ХУ>Ъ и найдется

такое uo>0, что система имеет единственное положительное решение (х0,и<)). Таким образом, при щ = 0 единственным равновесным состоянием является нулевое решение и у = 0. При увеличении и (щ > 0) уровень возбуждения растет, и теорема гарантирует нетривиальное равновесное решение.

При достижении интенсивности внешнего драйва наибольшего возможного значения, равновесное значение возбуждения у0 будет близким к наиболее возможному максимальному значению уТо есть возникнет ситуация запредельного торможения, причем р(у) = pifyo) - убывающая функция (например, (23)) от и. Тогда при максимально большом уоо величина

о)2зо может стать достаточно малой величиной.

Таким образом, интенсивность влияния управляющего драйва изменяется на интервале внешних драйвов по U на отрезке [umin, wmax]. Принимая значения на данном отрезке, драйв выводит НМС из состояния равновесия. Именно на границах данного интервала в НМС возникают периодические колебания. Управляющий драйв, принимающий значения внутри этого интервала, обеспечивает незатухающие и переменные колебания активности НМС, которые, могут носить и непериодический характер. За пределами указанного диапазона интенсивности внешнего драйва можно наблюдать и постоянные уровни возбуждения (запредельный и доритмический).

Проанализируем поведение левой части неравенства (20) при увеличении и. Из выше сказанных рассуждений следует, что существует такое umin, при котором точка равновесия системы будет устойчива, если и0 < umin. Следовательно umin определяет условия неустойчивости с учетом (20), если ио>итт и (и0 - umin ) будет достаточно мало. Другими словами a(umin) = 0 и а(и0)< 0, если щ < umin. Следовательно, при da/du(umin) Ф 0 существует функция и = w(e), определенная в окрестности итт, и(0) = umin и такая, что при в ^ 0 в системе (16) существует периодическое решение (теорема Хопфа) [178, 190].

Установим теперь аналитически, какими свойствами обладает периодическое решение системы, которое описывает нормальную ритмическую активность НМС. Для начала необходимо найти значение стационарного решения исследуемой системы [19, 86, 111, 125]. Для простоты примем Р(уо)= 1. Тогда на основании теоремы 1.4.2 [38] имеем (24):

х0 = щ(Ы - А)'1 (Л > 0, если Ъ> 1 (24)

Если только один компартмент чувствителен к управляющему драйву, то есть ё =(1, 0, 0) , то стационарное решение системы примет вид (25):

иг

bó -1

°—(b2,b,iy

(25)

В случае, если все пулы одинаковым образом чувствительны к влиянию

т

драйва, то есть <1=(1, 1,1), стационарное решение системы примет вид (26):

и.

х0 —

1=1

Ъъ-1

ал,...ду

(26)

Это следует из (27):

сЫ-АУХ =

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Балтикова, Анастасия Александровна

выводы

1. Разработанная компьютерная модель, имитирующая систему контроля непроизвольных движений (постуральный тремор), обеспечивает описание динамики поведения эфферентной системы в режиме хаоса и классическом стационарном состоянии (сЬс/Ж=0). В зависимости от интенсивности управляющего драйва выходной сигнал системы может совершать колебания как периодического характера, так и хаотического.

2. Искусственные нейронные сети при каждом новом цикле обучения выдают одно и то же решение поставленной задачи, но процесс решения этой задачи (внутренняя конфигурация и веса связей) каждый раз происходят по-разному, что проявляется в отсутствии возможности идентификации параметров порядка при простых итерациях. Нейроэмуляторы при простых итерациях невозможно использовать для идентификации главных диагностических признаков в медицине, а само это состояние нейросети имитирует хаос в системах контроля и управления постуральным тремором.

3. Выполнена идентификация сложных биомеханических систем с хаотической динамикой поведения при помощи методов многомерных фазовых пространств и методов стохастики, которая может быть использована для диагностических целей (например, для диагностики состояния нервно-мышечной систем человека при постуральном треморе конечности человека).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования по анализу и идентификации динамики поведения сложных биомеханических систем с хаотической динамикой поведения, построение математических и имитационных моделей, свидетельствуют о суперпозиции чисто хаотического движения (постурального тремора) с некоторыми произвольными (управляющими) влияниями со стороны ЦНС. Хаотическую составляющую в микродвижениях нельзя убрать -это базовое свойство биомеханической системы, и это свойство имеет диагностическую ценность. На протяжении нескольких десятков лет ведутся споры между учеными о характере динамики постурального тремора -хаотическая эта динамика или произвольная - периодическая. Результаты наших собственных исследований показывают, что действительно тремор по своей природе носит хаотический характер, однако, на фоне хаоса имеют место и периодические колебания, которые, впрочем, непрерывно изменяют свои параметры.

Таким образом, путем создания математической и имитационной моделей удалось осуществить доказательство непрерывной хаотической динамики в организации постурального тремора конечности человека. Работа самих нейросетей мозга тоже имеет характер хаоса (по внутреннему состоянию), но внешне возникает цель и некоторый (кажущийся) порядок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балтикова, Анастасия Александровна, 2013 год

Библиографический список

1. Адайкин В.И. Принципы соответствия в теоретической биологии и медицине (ТБМ) с позиции теории хаоса и синергетики / В.И. Адайкин, A.A. Глущук,

B.М. Еськов, A.A. Устименко и др. // Материалы открытой окружной конференции в рамках акции «Спасти и сохранить», «Биоресурсы и природопользование в Ханты-мансийском автономном округе» проблемы и решения г. Сургут: Изд-во СурГУ, 2006. - С. 127-130.

2. Анохин П.К. Кибернетика функциональных систем / П.К. Анохин // Кн.: Кибернетика функциональных систем. - М.: Медицина, 1998. - 285 с.

3. Антонец В.А. Оценка управления статическим напряжением скелетной мышцы по ее микродвижениям / В.А. Антонец, Э.П. Ковалева // Биофизика. - 1996. - Т. 41, № 3. - С.711-717.

4. Антонец В.А. Статистическое моделирование непроизвольных микроколебаний конечности / В.А. Антонец, Э. П. Ковалева // Биофизика. - 1996. - Т. 41, № 3. -

C. 704-710.

5. Антонова P.A. Идентификация синергизма в биосистемах./ A.A. Балтикова, М.Я. Брагинский, В.В.Еськов.// Вестник новых медицинских технологий. -2011.- Т. XVIII, №3 - С.334-335.

6. Ануфриев A.C. Метод идентификации параметров порядка вектора состояния биосистем в m-мерном фазовом пространстве / A.C. Ануфриев, A.A. Глущук, A.A. Устименко и др. // Материалы восьмой окружной конференции молодых ученых Ханты-мансийского автономного округа - Югры «Наука и инновации XXI века» г. Сургут: Изд-во СурГУ, 2007. - С. 29-31.

7. Ануфриев A.C. Аналог предельной теоремы Бернулли в синергетике применительно к медицине / A.C. Ануфриев, В.М. Еськов, A.A. Устименко и др. // Материалы международного междисциплинарного симпозиума: «От экспериментальной биологии к превентивной и интегративной медицине» Судак, 2008. - С.56-57.

8. Ануфриев A.C. Синергетические методы оценки интервалов устойчивости биосистем / A.C. Ануфриев, A.A. Глущук, A.A. Устименко и др. // Сборник статей VI международной конференции «Синергетика природных, технических и социально-экономических систем» Тольятти, 2009. - С.29-32.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд // М.: Наука, 1971.

10. Ахромеева Т.С. Периодические режимы в нелинейных диссипативных системах вблизи точки бифуркации / Т.С. Ахромеева, Г.Г. Малинецкий // Вычислительная математика и математическая физика. - 1985. - Т.25, № 9. - С. 1314-1326.

11. Ахромеева Т.С. О странном аттракторе в одной задаче синергетики / Т.С. Ахромеева, Г.Г. Малинецкий // Вычислительная математика и математическая физика. - 1987. - Т. 27, №2. - С.202-217.

12. Бадалян Л.О. Клиническая электромиография./ JI.O. Бадалян, И.А. Скворцов// М.: Медицина, 1986. - 368с.

13. Байкушев С.Т. Стимуляционная электромиография и электронейрография в клинике нервных болезней./ С.Т. Байкушев, З.Х. Манович, В.П. Новикова//М., 1974.. 144 с.

14. Бакусов JI.M. Компартментные модели нейронных механизмов усвоения закономерностей на основе теории самообучающихся рекурсивных фильтров / JT.M. Бакусов, Ш.М. Сафин, Р.В. Насыров // Вестник новых медицинских технологий. - 2002.- №3.- С.72 - 75.

15. Балтикова A.A. Многомерная хаотическая динамика тремора в оценке реакции нервно-мышечной системы человека на физическую нагрузку./ A.A. Балтикова, А.Е. Баженова, Ю.В. Башкатова, В.А. Карпин, Н.П. Горленко и др. // Вестник новых медицинских технологий. -2013. - №1 - С. 29-32.

16. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости / H.H. Баутин. - М.: Наука, 1984.- 260 с.

17. Бернштейн H. А. Биомеханика и физиология движений. / H.A. Бернштейн Под ред. В. П. Зинченко. - М.: Изд-во института практической психологии; Воронеж: НПО "МОДЭК", 1997. - 608 с.

18. Боксер О.Я. Системный анализ двигательных реакций человека в разных режимах работы целенаправленного поведенческого акта / О.Я. Боксер, К.В. Судаков // Успехи физиол. наук. - 1981. - Т. 2, №1. - С. 3-31.

19. Бондарева В.В. Понятие стационарных режимов функционирования нейронных сетей мозга в микро- и макроинтервалах времени / В.В. Бондарева, В.М. Еськов, C.B. Кулаев, O.E. Филатова // XXVI международная конференция "IT +SE" 99- Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 1999. - С. 96-97.

20. Брагинский М.Я. Сравнительная оценка эффективности методов проекций многомерного квазиаттрактора в фазовом пространстве состояний / М.Я. Брагинский, Г.В. Газя, A.A. Устименко и др. // Информатика и системы управления. - 2010. - Т. №2(24) - С. 13-16.

21. Брагинский М.Я. Исследование функциональных систем организма студентов Югры в условиях мышечных нагрузок методом фазового пространства состояний. / A.A. Балтикова, В.В. Козлова, Е.В. Майстренко// Современные наукоемкие технологии. - 2010. - С.23-24.

22. Гавриленко Т.В. Хаотическая динамика непроизвольных движений конечности человека в 4-мерном фазовом пространстве/ Т.В. Гавриленко, A.A. Балтикова, Д.А. Дегтярев, В.В. Еськов, A.C. Пашнин. // Сложность. Разум. Постнеклассика.-2012. - №1. - С.86-94

23. Гавриленко Т.В. Метод многомерных фазовых пространств в оценке хаотической динамики тремора./ Т.В. Гавриленко, А.Е. Баженова, A.A. Балтикова и др.// Вестник новых медицинских технологий. -2013. - №1. С.25-28.

24. Галушкин А.И. Нейрокомпьютеры в биометрических системах. / А.И. Галушкин // М.: Радиотехника, 2007. - 192с.: ил.

25. Гехт Б.Д. Теоретическая и клиническая электромиография.- Д.: Наука. Ленингр. отд., 1990.-228 с.

26. Голубев B.JL Болезнь Паркинсона и синдром паркинсонизма / B.JI. Голубев, Я.И. Левин, А.М. Вейн // Кн. -М.: МЕДпресс, 1999. - 416 с.

27. Горбань А.Н. Обучение нейронных сетей / А.Н. Горбань // Кн.: Обучение нейронных сетей. - М.: Параграф, 1990. -160 с.

28. Горбань А.Н. Нейронные сети на персональном компьютере/ А.Н. Горбань, Россиев Д.А. // Новосибирск: Наука, 1996. - 276 с.

29. Гурфинкель В. С. Исследование произвольных движений руки у человека/В.С. Гурфинкель, В. А Сафронов, И.Г. Галь // Физиология человека. - 1989. - Т. 15, №6.-С. 100-104.

30. Гурфинкель В. С. Физиология двигательной системы//В.С. Гурфинкель // Успехи психофизиологических наук. - 1994. - Т. 25, № 2. - С. 83 - 88.

31. Еськов В.М. Математическое моделирование и прогнозирование свойств биотканей при о стеосинтезе псевдоартрозов / В.М. Еськов, В.М. Аршин // Казанский мед. журнал. -1978.- № 13.- С. 17-18.

32. Еськов В.М. Идентификация дифференциальных уравнений, моделирующих средства измерения в пространстве состояний / В.М. Еськов // Тезисы докладов НТК «Датчик». Гурзуф, 1993.- С.43-44.

33. Еськов В.М. Автоматическая идентификация дифференциальных уравнений, моделирующих нейронные сети / В.М. Еськов // Измерительная техника. -1994.-№3.-С. 66-68.

34. Еськов В.М. Компьютерная диагностика компартментности динамических систем / В.М. Еськов, O.E. Филатова // Измерительная техника. -1994. - №1. - С. 65-68.

35. Еськов В.М. Компьютерная идентификация иерархических компартментных нейронных сетей / В.М. Еськов, O.E. Филатова, В.П. Иващенко // Измерительная техника. - 1994. - №8. - С. 67-72.

36. Еськов В.M. Компьютерная идентификация респираторных нейронных сетей / В.М. Еськов, O.E. Филатова // Монография: ОНТИ РАН, Пущино, 1994. - 84 с.

37. Еськов В.М. Нейрональные механизмы дыхательной ритмики / В.М. Еськов, O.E. Филатова, В.В. Бондарева, В.Е. Якунин // Успехи физиологических наук. -1994. - №3. - С.60

38. Еськов В.М. Введение в компартментную теорию респираторных нейронных сетей / В.М. Еськов // Монография: Москва. - Наука, 1994. - 164 с.

39. Еськов В.М. Идентификация математических моделей двухкластерных иерархических нейронных сетей с помощью ЭВМ / В.М. Еськов, O.E. Филатова, А.Б. Заславский // Материалы конф. МИЭТ. Москва, 1995. - С.21-23.

40. Еськов В.М. Устройство для управления иерархическими нейронными сетями / В.М. Еськов // Приборостроение. - 1995. - №3. - С. 53-56.

41. Еськов В.М. Пуловые принципы в математическом моделировании динамики распространения биопотенциалов в нейросетевых системах мозга / В.М. Еськов, O.E. Филатова, Ю.М. Попов // Вестник новых медицинских технологий. -1996. - № 3. - С. 104 - 106.

42. Еськов В.М. Измерение переменных параметров движущихся биологических объектов / В.М. Еськов, O.E. Филатова, В.А. Папшев, А.П. Козлов // Измерительная техника. - 1996. - № 4. - С. 58-61.

43. Еськов В.М. Исследование иерархических природных систем с использованием ЭВМ в учебном процессе / В.М. Еськов, C.B. Кулаев, В.А. Рачковская // Наука и экологическое образование. Сборник трудов международной конференции: Тула, 1997. - С. 86-90.

44. Еськов В.М. Компартментный подход при моделировании нейронных сетей. Роль тормозных и возбуждающих процессов / В.М. Еськов, O.E. Филатова // Биофизика.- 1999. -Том 44, вып.З. - С. 518 - 525.

45. Еськов В.М. Амплитудно-частотные характеристики треморограмм человека, получаемые с помощью датчиков перемещения и вычислительного комплекса /

В.М. Еськов, O.E. Филатова, М.Я. Брагинский // Материалы международной конференции «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления». Гурзуф, 2000. - С. - 248-249.

46. Еськов В.М. Алгоритм анализа нормального или патологического измерения треморограмм человека в условиях статических и динамических нагрузок / В.М. Еськов, М.Я. Брагинский // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2000610599. Роспатент. Москва. 2000.

47. Еськов В.М. Возможно ли построение некоторой общей, фундаментальной теории организации и функционирования биосистем? / В.М. Еськов // Вестник новых медицинских технологий. - 2001. - Т. VIII., № 2. - С. 93 - 95.

48. Еськов В.М. Автоматизированные комплексы для построения математических моделей биомеханических свойств тканей / В.М. Еськов, В.А. Папшев, O.E. Филатова // Материалы Международной конференции «Датчик-2001» Гурзуф. -2001.-С. 178-179.

49. Еськов В.М. Диагностика фазатона мозга путем изучения характерных частот в треморограммах человека с помощью вычислительного комплекса / В.М. Еськов, В.В. Еськов, O.E. Филатова // Вестник новых медицинских технологий. -2001.-Т. VIII., №4.-С. 15-18.

50. Еськов В.М. Идентификация математических моделей иерархических биологических динамических систем / В.М. Еськов, А.И. Демко, В.А. Рачковская // Материалы международной конференции «Экология Сибири, Дальнего востока и Арктики» (ESFEA-2001). - С. 45-47.

51. Еськов В.М. Измерение биомеханических параметров непроизвольных движений человека / В.М. Еськов, В.В. Еськов, В.А. Папшев // Вестник новых медицинских технологий. - 2002. - №1. - С.27.

52. Еськов В.М. Компартментный подход в исследованиях регуляторных процессов в сердечно-сосудистой системе жителей севера / В.М. Еськов, В.В. Еськов // Вестник новых медицинских технологий. - 2002. - Т. IX.,№3.-С. 40-41.

53. Еськов В.M. К вопросу о произвольном в непроизвольном микродвижении конечности человека (треморе) / В.М. Еськов, М.Я. Брагинский, О.В. Климов // Вестник новых медицинских технологий. - 2002.- T. IX., № 3. - С. 24 - 26.

54. Еськов В.М. Обработка нейрофизиологической информации с использованием метода минимальной реализации и ЭВМ / В.М. Еськов, В.В. Бондарева, C.B. Кулаев // Вестник новых медицинских технологий.-2002.- T.IX.,№ З.-С. 11-15.

55. Еськов В.М. Прямое и непрямое управление компартментными биологическими системами / В.М. Еськов, В.А. Рачковская // Труды международной конференции ITSE. Гурзуф. - 2002. - С.39-42.

56. Еськов В.М. Компартментно - кластерный подход в исследованиях биологических динамических систем (БДС). / В.М. Еськов // Монография: Часть I. Межклеточные взаимодействия в нейрогенераторных и биомеханических кластерах. - Самара: Изд-во «НТЦ», 2003. - 198 с.

57. Еськов В.М. Системный анализ, управление и обработка информации в биологии и медицине. Часть IV. Обработка информации, системный анализ и управление (общие вопросы в клинике, в эксперименте). / В.М. Еськов, A.A. Хадарцев и др. // Монография: - Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - 203 с.

58. Еськов В.М. Проблема выбора оптимальных математических моделей в теории идентификации биологических динамических систем / В.М. Еськов, O.E. Филатова, H.A. Фудин и др. // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2004. - Том 3., № 2. - С. 143-145.

59. Еськов В.М. Системный компартментно-кластерный анализ и гирудотерапевтическое управление гомеостазом. / В.М. Еськов, Р.Н. Живогляд // Монография: Обработка информации. Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - Самара: Офорт, 2004. - 215 с.

60. Еськов В.М. Фазатон мозга в норме и при патологии / В.М. Еськов, Р.Н. Живогляд // Вестник новых медицинских технологий. - 2004. - №4. - С. 5 - 9.

61. Еськов В.M. Понятие нормы и патологии в фазовом пространстве состояний с позиции компартментно-кластерного подхода / В.М. Еськов, Р.Н. Живогляд, Н.М. Карташова и др. // Вестник новых медицинских технологий. - 2005.- Т. XII, №.1. - С. 12-14.

62. Еськов В.М. Соотношение между детерминистскими и хаотическими подходами в моделировании синергизма и устойчивости работы дыхательного центра млекопитающих / В.М. Еськов, O.A. Ведясова, Т.В. Зуевская и др. // Вестник новых медицинских технологий. - 2005.- T. XII., №.2. - С.23-25.

63. Еськов В. М. Явление изменения параметров стационарных режимов функционирования биологических динамических систем. Открытие № 285. / В. М. Еськов, О. Е. Филатова, H.A. Фудин и др. // Научные открытия. Сборник кратких описаний. Вып.2. М., 2005. - С. 32 - 34.

64. Еськов В.М. Методы измерения интервалов устойчивости биологических динамических систем и их сравнение с классическим математическим подходом в теории устойчивости динамических систем / В.М. Еськов // Метрология. - 2005. - №2.- С. 24-37.

65. Еськов В.М. Системный анализ и компьютерная идентификация синергизма в биологических динамических системах / В.М. Еськов, Р.Н. Живогляд, В.А. Папшев и др. // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. -2005.-№ 1.-С. 108-111.

66. Еськов В.М. Программа расчета коэффициента синергизма в биологических динамических системах с хаотической организацией / В.М. Еськов, В.А. Папшев, C.B. Кулаев и др. // Свидетельство об официальной регистрации для ЭВМ № 2005612885. Роспатент. Москва. 2005.

67. Еськов В.М. Синергетика в клинической кибернетике. Часть I. Теоретические основы системного синтеза и исследований хаоса в биомедицинских системах / В.М. Еськов, A.A. Хадарцев, O.E. Филатова // Под ред. Григорьева А.И. Самара: Изд-во: ООО "Офорт", 2006. - 233 с.

68. Еськов В.М. Идентификация параметров аттракторов поведения вектора состояния биосистем в ш-мерном фазовом пространстве / В.М. Еськов, М.Я. Брагинский, A.A. Устименко и др. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2006613212. Роспатент. Москва. 2006.

69. Еськов В.М. Биофизика. Часть II./ В.М. Еськов, О.В. Климов, М.А. Филатов // Учебное пособие для студентов биологического факультета СурГУ (курс лабораторно-практических работ). - Сургут, 2007.-114 с.

70. Еськов В.М. Синергетика в клинической кибернетике. Часть II. Особенности саногенеза и патогенеза в условиях Ханты - Мансийского автономного округа - Югры / В.М. Еськов, A.A. Хадарцев, O.E. Филатова // Григорьева А.И. Самара: Изд-во ООО "Офорт", 2007. - 292 с.

71. Еськов В.М. Синергетика в клинической кибернетике. Часть III. Синергетический подход в клинике метаболических нарушений. / В.М. Еськов, И.Ю. Добрынина, O.E. Филатова, В.Ф. Пятин // Под ред. Григорьева А.И. Самара: Изд. ООО "Офорт", 2007. - 281 с.

72. Еськов В.М. Расчет параметров аттракторов поведения ш-компонентного вектора состояния биосистемы в двумерном пространстве / В.М. Еськов, М.Я. Брагинский, К.А. Хадарцева, В.В. Полухин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2009614365. Роспатент. Москва.2009.

73. Еськов В.М. Особенности измерений и моделирования биосистем в фазовых пространствах состояний/ В.В. Еськов, O.E. Филатова // Измерительная техника. - М., 2010.- № 12. - С. 53-57.

74. Еськов В.М. Сравнение параметров квазиаттракторов поведения вектора состояния организма тренированных и нетренированных студентов/ В.В. Козлова, В.Н. Голушков и др.// Теория и практика физической культуры и спорта. - М., 2011.- № 10. - С. 92-94.

75. Еськов В.М. Третья парадигма /В.М. Еськов//Самара: ООО «Офорт», 2011-250с.

76. Еськов В.М. Динамика квазиаттракторов параметров непроизвольных микродвижений конечностей человека как реакция на локальное термическое воздействие/ В.М. Еськов, Т.В. Гавриленко, Д.А. Дегтярев, В.В. Еськов, A.A. Балтикова. //Вестник новых медицинских технологий.- 2012.- Т. XIX, №4 -С.26-29.

77. Еськов В.М. Можно ли моделировать и измерять хаос в медицине/ В.М. Еськов,

A.A. Балтикова, И.В. Буров, Т.В. Гавриленко, A.C. Пашнин //Вестник новых медицинских технологий. - 2012. - Т. XVIII, №2 - С.412-414.

78. Еськов В.М. Стохастические и хаотические методы оценки динамики тремора/

B.М, Еськов, Т.В. Гавриленко, A.C. Пашнин, A.A. Балтикова //Информатика и системы управления. -2012.- С.99-102.

79. Конышева JI.K. Основы теории нечетких множеств: Учебное пособие./ JI.K. Конышева, Д.М. Назаров //СПб.: Питер, 2011. - 192 е.: ил.

80. Коуэн К. Руководство по электромиографии и электродиагностике./ К. Коуэн, Брумлик//М.: Медицина, 1975, 192с.

81. Кузнецов А.П. Колебания. Катастрофы. Бифуркации. Хаос. / А.П. Кузнецов // Изд-во: госУНЦ «Колледж», Саратов, 2000. - 98 с.

82. Кузнецов В.В. Вибрационные свойства мышечных сокращений./В.В. Кузнецов // Тезисы докладов I Всесоюзного биофизического съезда,М.,1982.-Т.2.-с.62-63.

83. Кузнецов В.В. Автоколебания биомеханических систем / В.В. Кузнецов //Биологическая, медицинская кибернетика и бионика. Институт кибернетики АН УССР, Киев, 1984. - с.91-95.

84. Кузнецов В.В. Моделирование движений человека и его адартация к информационным и физическим нагрузкам /В.В. Кузнецов, Ю.А. Серела, О.М. Царькова //Тр. 2-й Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук», Изд. «Техносфера - Информ», М.,1994.- Т.2,ч.1.-с. А24-А26.

85. Кузьмин A.B. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика / A.B. Кузьмин, A.A. У сков //Изд. «Горячая линия - Телеком» -. 2004. - 143 с.

86. Кулаев C.B. Автоматизированные комплексы для идентификации стационарных состояний иерархических биосистем /C.B. Кулаев, В.М. Еськов,

B.А. Рачковская, O.E. Филатова // Датчики и преобразователи информации систем измерения: Тезисы докладов. Гурзуф. - 1997. - С. 336-338.

87. Кулаев C.B. Иерархические принципы нейросетевых идентификаторов / C.B. Кулаев, В.М. Еськов, O.E. Филатова // Новые информационные технологии в медицине и экологии. Труды V международной конференции. Гурзуф. -1998. -

C. 283-286.

88. Кулаев C.B. Компьютерная идентификация стационарных режимов функционирования нейросетей мозга / C.B. Кулаев, O.E. Филатова // Проблемы теоретической биофизики. Тезисы докладов международная школы:М.,1998.-С.180.

89. Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза./ С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий // Вестник РАН. - 2001. - Т 71, №3. - С. 210-224.

90. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику / Г.Г. Малинецкий // М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 256 с.

91. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов // Кн.: Современные проблемы нелинейной динамики. - Изд. 2-е, исправленное и дополненное. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 360 с.

92. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. / Г.Г. Малинецкий // Кн.: Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. - Изд. 4-е, сущ. перераб. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 312 с.

93. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия: Учебное пособие / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов // Кн.: Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия: Учебное пособие. - М.: КомКнига, 2006. - 240 с.

94. Мартынов Б.А. Введение в стохастическую динамику. / Б.А. Мартынов, В.В. Бочков // Учеб. Пособ. - Спб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 92 с.

95. Назаров A.B. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем / А.В.Назаров, А.И. Лоскутов, под ред. М.В. Финкова - СПб.: Наука и Техника. -2003.-384 е.: ил.

96. Назаров В.Т. Биомеханическая стимуляция: явь и надежды. /В.Т. Назаров //Мн.: Полымя, 1986. - 95 е.: ил.

97. Персен P.C. Электромиография в исследованиях человека/ P.C. Персен // М.:Наука, 1969. - 231 с.

98. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.:Наука, 1964. - 367 с.

99. Понтрягин JI.C. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко // Кн.: Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

100. Резникова Т.Н. Метод формирования и активации артифициальных стабильных функциональных связей как способ коррекции функциональных расстройств ЦНС / Т.Н. Резникова, Ю.Г. Хоменко, H.A. Селиверстова, В.И. Семиволос/Ргос. International Congress «Neuroscience for Medicine and Psychology» Sudak, Cimea, Ukraine, June 10-21, 2006. - P. 151.

101. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский, пер. с польск. И.Д. Рудинского. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 е.: ил.

102. Серебрякова Н. Г. Динамика спектральной структуры микродвижений при кинезотерапии начальных стадий искривления позвоночника // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук. - М., 1995.-22 с.

103. Скворцова В.И. Исследование биомеханики движений комплекса онтогенетически ориентированной кинезотерапии / В.И. Скворцова, Г.Е. Иванова, Д.В. Скворцов и др. // Лечебная физкультура и спортивная медицина. -2010.-№5.-С. 13-18.

104. Скупченко В.В. Фазатонный гомеостаз и врачевание / В.В. Скупченко, Е.С. Милюдин // Монография: Самара, СамГМУ, 1994. - 256 е., ил. 80.

105. Смолин, Д.В. Введение в искусственный интеллект: конспект лекций./ Д.В. Смолин- 2-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 264 с.

106. Солодков, А. С. Физиология человека. / А. С. Солодков, Е. Б. Сологуб. - М.: Тера -Спорт, Олимпия Пресс, 2001. - 520 е.: ил.

107. Стингере Е. Познание сложного / Е. Стингере, И. Пригожин // Кн.: Познание сложного. - Изд-во УРСС, М.: 2003. - 342 с.

108. Устименко A.A. Идентификация явления синергизма в биологических динамических системах / A.A. Устименко // Сборник научных трудов. Естественные науки / СурГУ - Сургут: Из-во СурГУ, 2009.

109. Фельдман А.Г. Механические свойства скелетной мышцы и их регуляция нервной системой / А.Г. Фельдман // Физиология движений. - Л.: Наука, 1976. - С.38-68

110. Филатов М.А. Метод фазовых пространств в моделировании психофизиологических функций учащихся Югры. - Самара: Офорт, 2010. - С. 130.

111. Филатова O.E. Использование понятия стационарных режимов биосистем в учебном процессе / O.E. Филатова, В.М. Еськов, C.B. Кулаев, В.А. Рачковская //Наука и экологическое образование. Сборник трудов международной конференции. -Тула, 1997. - С. 71-76.

112. Филатова O.E. Норма и патология состояния функциональных систем человека на фазовой плоскости/ O.E. Филатова, В.М. Еськов, Т.В. Зуевская // Научные труды I съезда физиологов СНГ. - М.: Медицина, 2005. - С. 41.

113. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам/ Г.Хакен / Пер. с англ.-М. Мир, 1991- 240с.

114. Хакен Г. Принцип работы головного мозга / Г. Хакен // Кн.: Принцип работы головного мозга. - Per Se. М. - 2001. - 351 с.

115.Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин // Кн.: Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1977. - 390 с.

116. Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации) / Д.С. Чернавский // Кн.:Синергетика и информация (динамическая теория информации). - Послесл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 2-е, испр. И доп. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 288 с.

117. Шубочкина Е.И. Устройство для записи тремора кисти / В кн. Физиологические методы исследования трудовых процессов/ Е.И. Шубочкина, З.М. Золина, В.А. Варламов. - М., 1969. - С. 73-76.

118. Экклс Дж. Физиология синапсов / Дж. Экклс // М.: Мир, 1966. - 395 е.: ил.

119. Юсевич Ю.С. Очерки по клинической электромиографии / Ю.С.Юсевич. -М., 1972.

120. Alexander D.M. Digital simulation of human respiratory control and acid-base balance / D.M. Alexander // PhD thesis case Inst of Technology, Cleveland, Ohio, 1968.

121. Billings S.A. Properties of neural netwoks with application to modelling non-linear dynamical systems / S.A. Billings, H.B. Jamaluddin, S. Chen // Int. J. Control. - 1992. -Vol. 55, N 1. - P. 193-224.

122. Bober T. Effectiveness of the strech-shortening cycle of muscle actions / T. Bober // Lecture notes of the ICB seminars biomechanics. - Warsaw, 1994. - P. 183-190

123. Botros S.M. Neural network implementation of a three-phase model of respiratory rhythm generation / S.M. Botros, E.N. Bruce // Biol.Cybern.-1990.-Vol.63,N2-P.143-153

124. Churchland M.M Neural population dynamics during reaching/ Mark M. Churchland, Jhon P. Cunningham, Matthew T. Kaufman, Justin D. Foster and other // Nature. -2012. -V.487.-P.51-56.

125. Cleave J.P. Hopf bifurcations and the stability of the respiratory control system / J.P. Cleave, M.R. Levine, P.J. Fleming, A.M. Long // J. Theor. Biology. - 1986. - Vol. 119.-P. 299-318.

126. Cohen M.J. Models of respiratory phase-switching / M.J. Cohen, J.L. Feldman // Febr. Proc. - 1977. - Vol. 36. - P. 2367-2374.

127. Conway B.A. Synchronization between motor cortex and spinal motoneuronal pool during the performance of maintained motor task in man / B.A. Conway, D.M. Halliday, S.F. Farmer, U. Shahani, P. Maas, A.I. Weir, J.R. Rosenberg // J Physiol. -1995.-V. 489.-P.917-924.

128. Deco G. Emerging concepts for the dynamical organization of resting-state activity in the brain / G. Deco, V.K. Jirsa, A.R. Mcintosh // Nature Reviews Neuroscience. -2011.-Vol. 12, №1.-P. 43-56.

129. Dunin-Barkowski W.L. Computer simulation of the cerebellar cortex compartment. I. General principles and properties of a neural net. / W.L. Dunin-Barkowski, N.P. Larionova // Biol. Cybernetics. - 1985. - Vol. 51, N 6. - P. 399-406.

130. Dwyer P.S. On errors in matrix inversion / P.S. Dwyer, F.V. Waugh // J. Amer. Statest. Assoc. - 1953. - Vol. 48, N262. - P. 289-319.

131.Ebeling W.Nonlinear dynamics and fluctuations of dissipative Toda chains/ W.Ebeling, U.Erdmann, J. Dunkel, M. Jenssen // J. Stat. Phys. - 2000. - V. 101(1/2). -P. 443-457.

132. Elble R.J. Motor-unit activity responsible for 8- to 12-Hz component of human physiological finger tremor / R.J. Elble, J.E. Randall // J Neurophysiol. - 1976. -№39. -P. 370-383.

133. Eskov V.M. The stability of periodical activity of respiratory neuron network without periodic inputs / V.M. Eskov, O.E. Filatova // The RNNS/IEEE Symposium on

neuroinformatics and neurocomputers. - Rostov - on - Don, Russia. IEEE Services center, New York. - 1992. - P. 708 - 718.

134. Eskov V.M. The stability of periodical activity of respiratory neuron network without periodic inputs. / V.M. Eskov, O.E. Filatova // In: Proc. of the RNNS/IEEE symposium on neuroinformatics and neurocomputers, Rostov-on-Don, N.Y. IEEE services center. - 1992. -P.708-718.

135. Eskov V.M. Periodical activity of respiratory neuron network / V.M. Eskov, B.G. Zaslavsky // Neural Network World. - 1993. - № 4. - P. 425 - 442.

136. Eskov V.M. Respiratory rhythm generation in rats: the importance of inhibition./ V.M. Eskov, O.E. Filatova // Neurophysiology. - 1993. -V. 25(6). - P. 420-426.

137. Eskov V.M. Identification of parameters of linear models of transmitters./ V.M. Eskov // Measurement Techniques. - 1993. -V 36(4). -P. 365-368.

138. Eskov V.M. Computer diagnostics of the compartmentation of dynamic systems/ V.M. Eskov, O.E. Filatova //Measurement Techniques.-1994.-V.37(l).- P. 114 - 119.

139. Eskov V.M. Automatic «identification of differential equation simulating the behavior of neuron circuits./ V.M. Eskov// Measurement Techniques. - 1994. -V. 37(3). -P. 359-364.

140. Eskov V.M. Cyclic respiratory neuron network with subcycles. ./ V.M. Eskov// Neural Network World. -1994. -V. 4. - P. 403-416.

141. Eskov V.M. Direct control by dissipation factor in respiratory neuron networks./ V.M. Eskov// Neural Network World. - 1994. -V. 6. - P. 663-670.

142. Eskov V.M. Indirect control by dissipation factor in respiratory neuron networks./ V.M. Eskov// Neural Network World. -1994. -V. 6. - P. 655-662.

143. Eskov V.M. Introduction to the compartmental theory of respiratory neuron networks/.V.M. Eskov// [in Russia] Moscow, 1994. - P. 196.

144. Eskov V.M. Computer identification of compartmental neuron circuits. / V.M. Eskov, O.E. Filatova, V.A. Ivashenko // Measurement Techniques, 1994. - V.37 (8) - P. 967971.

145. Eskov V.M. Computer identification of the optimum stimulus parameters in neurophysiology / V.M. Eskov, O.E. Filatova, Y.M. Popov // The Second International Symposium on Neuroinformatics and Neurocomputers. Rostov-on-Don. IEEE Services center. New York. - 1995. - P. 166 - 172.

146. Eskov V.M. Hierarchical respiratory neuron networks / V.M. Eskov // Modeling, Measurement & Control. C. AMSE Press. 48. 2. - 1995. - P. 47 - 63.

147. Eskov V.M. Modeling of the hierarchical respiratory neuron networks. / V.M. Eskov // Neurocomputing. 1995. - Vol. 10. N 1995. - P. 1-25.

148. Eskov V.M. Indirect control by chemoreceptor drive in respiratory neuron networks. / V.M. Eskov // Modelling, Measurement & Control. - 1995. - V. - 48 (3). - P. 1-12.

149. Eskov V.M. Stationary regimes of the respiratory neuron networks and their identification / V.M. Eskov, O.E. Filatova, Y.M. Popov // In: Proc. of the RNNS/IEEE symposium on neuroinformatics and neurocomputers, Rostov-on-Don, N.Y. IEEE services center. - 1995.- P. 156-165.

150. Eskov V.M. Computer identification of respiratory neuron network / V.M. Eskov,

0.E. Filatova // Evrop. Math. Congress, section - Dynamical Systems in Biology and Medicine: Veszprem, Hungary, 1996. - P. 62.

151. Eskov V.M. Models of hierarchical respiratory neuron networks. / V.M. Eskov // Neurocomputing. - 1996. - V. 11. - P. 203-226.

152. Eskov V.M. The dependence of activity of cyclic respiratory neuron network with subcycles on damping coefficient/ V.M. Eskov// Neural Network World. - 1996. -V.

1.-P. 57-56.

153. Eskov V.M. Compartmental principle in mathematical modeling of various neural networks / V.M. Eskov // International Congress. Destobio: Sofia. - 1997. - P. 117.

154. Eskov V.M. Compartmental theory of the respiratory neuron networks with a simple structure / V.M. Eskov // Neural Network World. - 1998. - № 3. - P. 353 - 364.

155. Eskov V.M. Mathematical interpretation of stationary regimes of a biological systems / V.M. Eskov, S.V. Kulaev, O.E. Filatova // VIII International Conference on

Medical and Biological Engineering and Computing, Medicon' 98. Limassol. Cyprus, 1998.-P. 87.

156. Eskov V.M. Compartmental approach to modeling of neural networks/ V.M. Eskov, O.E. Filatova//Role of inhibitory and excitatory processes. Biophysics. - 1999. - V. 44(3).-P. 510-517.

157. Eskov V.M. The problem of identity of functional states of neuron networks / V.M. Eskov, O.E. Filatova// Biophysics. - 2003.-Vol. 48. - P. 526-534.

158. Eskov V. M. Investigation of the synergetic property of biomechanical mammalia system with computing using / V. M. Eskov, V. A. Papshev, O. V. Klimov and other. // Proceeding of international conference on modeling and simulation. -Minsk, Belarus, 2004. - P.66-69.

159. Eskov V.M. The synergetic property of mamalian muscles under different conditions / V. M. Eskov, Papshev V.A., Tretiakov S.A. and other. // Proceedings of (Astes de) MS'2004, Lyon - Villeurbanne, 2004. - P. 14.4-14.6.

160. Eskov V.M. Theory of fazaton brain and method of identification of its models / V.M. Eskov, T.V. Zuevskaya, I.U. Dobrinina and other. // Proceeding of international Biophysics Congress (Montpelier - France). - 2005. - P. 84-86.

161. Eskov V.M. Identification of synergetic property of biological dynamic system (BDS). / V.M. Eskov, S.V. Kulaev, A.S. Pashnin and other.// Proceeding of international Biophysics Congress. (Montpelier - France). - 2005. - P. 78-80.

162. Eskov V.M. Two types of systems and three types of paradigms in systems philosophy and system science / V.M. Eskov, V.V. Eskov, O.E. Filatova, M.A. Filatov // J. Biomedical Science and Engineering. - 2012. - Vol. 5. P. 602-607

163. Fellows S. J. Transient and maintained phasic reflex components in spastic human subjects. / S.J. Fellows, E. Germs, A. F. Thilmann // J. Physiology. - 1989. - P. 60.

164. Filatova O.E. Standardizing measurements of the parameters of mathematical modells of neural networks. / O.E. Filatova // Measurement Techniques. - 1997. -V40.-N1.-P. 55-59.

165. Filatova O.E. Identification of respiratory neuron networks with a simple structure. / O.E. Filatova//Neural Network World. - 1998. -V. 3. - P. 329-336.

166. Filatova O.E. The determination of synergetic property of respiratory neuron network with computer using / O.E. Filatova, V.M. Eskov, S.V. Kulaev and other. // Proseeding of international conference on modeling & simulation (ICMS'04, Spain, Valladolid) -2004. - P. 59 - 60.

167. Filatova O.E. Existense of synergetic properties of neuron network regulating the pulse rate / O.E. Filatova, V.M. Eskov, V.V. Eskov and other // Proseeding of international conference on modellling&simulation (Spain,Valladolid). - 2004. - P. 57-58.

168. Friedland S. On an inverse problem for nonnegative and eventually nonnegative matrices / S. Friedland // Israel J. Math. - 1978. - Vol. 29. - P. 43-60.

169. Gantmaher F.R.The theory of matrices. / F.R. Gantmaher // New York. Chelsea, 1971.-P.321.

170. Geman S. Computer simulation of brainstem respiratory activity / S. Geman, M. Miller // J. Appl. Rhysiology. - 1976. - Vol. 41. - P. 931-938.

171. Grodins F.S. Mathematical analysis and digital simulation of the human respiratory control system / F.S. Grodins, J. Buell, A. Bart // J. Appl. Physiology. - 1967. Vol. 22. P. 260-276.

172. Goodworth A.D. Sensorimotor integration for multisegmental frontal plane balance control in humans / A.D. Goodworth, R.J. Peterka // J. Neurophysiol. - 2012. - Vol. 107, №1.-P. 12-28.

173. Haken H. Principles of brain functioning: a synergetic approach to brain activity, behavior and cognition (springer series in synergetics). Springer. - 1995. - 349 p.

174. Hill A.V. Chaos and self-organization: two properties of one type of biosystem -complexity. Why Biophysics? // Science. - 1956. - V. 124. - P. 1233-1237.

175. Huang Q. Respiratory neural activities after caudal-to-rostral ablation of medullary regions / Q. Huang, W.M. St. John // J. Appl. Physiology. - 1998. - Vol. 64, № 4. -P1405-1411.

176. Homberg V. Differential effects of changes in mechanical limb pro-perties on physiological and pathological tremor / V. Homberg, H. Hefter, K. Rei-ners, H.J. Freund // J Neurol Neurosurg Psychiatry. - 1987. - №50. - P. 568-579.

177. Horak F.B. Postural orientation and equilibrium: what do we need to know about neural control of balance to prevent falls? / F.B. Horak // Age Ageing. - 2006. - V. 35, Suppl. 2.-P. 7-11.

178. Hussard B.D. Theory and applications of Hopf bifurcation. / B.D. Hussard, N.D. Kazarinoff, J.N. Wan // Cambridge, 1981. - P. 115.

179. Joyce G.C. The effects of load and force on tremor at the normal human elbow joint / G.C. Joyce, P.M. Rack. J Physiol. - 1974. - №240. - P. 375-396.

180. Kejonen P. The relationship between anthropometric factors and body-balancing movements in postural balance / P. Kejonen, K. Kauranen, H. Vanharanta // Arch. Phys. Med. Rehabil. - 2003. - Vol. 84. - P. 17.

181. Kling U. Simulation of rhythmic nervous activities 1. Function of networks with cyclic inhibitions / U. Kling, G. Szekely // Kybernetik. - 1968. - Vol. 5. - P. 89-103.

182. Lakie M. Is postural tremor size controlled by interstitial potassium concentration in muscle? / M. Lakie, N.R. Hayes, N. Combes, N. Langford // J. Neurol. Neurosurg. Psychiatry. - 2004. - V. 75. - P. 1013-1018.

183. Mainzer K. Thinking in complexity: the computational dynamics of matter, mind and mankind. / K. Mainzer // New York, Berlin. Springer, 2007. - P. 482.

184. Makabe H. Evaluation of postural tremor of finger for neuromuscular diseases and its application to the classification / H. Makabe, K. Sakamoto // Electromyogr Clin Neurophysiol. - 2002. - Vol. 42, №4. - P. 205-218.

185. Mally J. Most frequent causes for hand tremor in clinical practice / J. Mally // Orv Hetil. - 1995. - Vol. 8, N136. - P. 2211-2216.

187. Palmay F. Simulation of multineuron networks / F. Palmay, E.C. Davison, J. Duffin // Bull. Math. Biophysics. - 1973. - Vol. 33. - P. 81-89.

188. Palushka S.A. Phisical Activity and Menthal Health. Current Concepts / S.A. Palushka, T.L. Schwenk // sports Med. - 2000. - Vol.29, №3. - P. 167-180.

189. Pliss V.A. Nonlocal theory of oscillations. / V.A. Pliss // Moscow: Nauka, 1963.

190. Poore A.B. On the theory and application of the Hoph-Friendriich bifurcations theory. / A.B. Poore // Arch.for rational mechanics and analysis, 1976. - Vol.60, N4. -P.371-397.

191. Prigogine I.R. The Die Is Not Cast/ I.R. Prigogine // Futures. Bulletin of the World Futures Studies Federation. - January 2000. - Vol. 25, No.4. - P. 17-19.

192. Prochazka A. Proportional and finite state feedback in locomotion control / A. Prochazka // Proc. Intern. Sympos. "Brain and movement". - 1997.

193. Richter D.W. Computational aspects of the respiratory pattern generator./ D.W. Richter , A. Gottschalk, M.D. Ogilvie, A.I. Pack.// Neural Computation. -1994. -V.6, Nl.-P. 56- 68.

194. Schuster H. G. Deterministic chaos: an introduction./ H.G. Schuster//VCH Publishers, Inc. - 1984.

195. Solla P. Gender differences in motor and non-motor symptoms among Sardinian patienys with Parkinson's diseas / P. Solla, F.C. Ibba, F. Loi, M. Corona, G. Orofino, M.G. Marrosu, F.J. Marrosu // Neurol Sci. - 2012. - Vol. 323, № 1-2. - P.33-39.

196. Stiles R.N. Mechanical factors in human tremor frequency / R.N. Stiles, J.E. Randall //J Appl Physiol. - 1967. -V. 23. - P. 324-330.

197. Stuart J. H. Biddle. Motivation and perception of control: tracing its development and plotting its future in exercise and sport psychology./ J.H. Stuart // Journal of Sport and Exercise Psychology. - 1999. -V. 21. - P. 1 - 23.

198. Thompson L.V. Age-related muscle dysfunction / L.V. Thompson // Experimental Gerontology. - 2009. - Vol. 44, №1-2. - P. 106-111.

199. Walter G.C. On complex eigenvalues of compartmental models / G.C. Walter // Math. Biosci. - 1985. - Vol. 75. - P. 143-157.

200. Yuasha H., Ito M. Coordination of many oscillators and generation of locomotors patterns. / H. Yuasha // Biol. Cybernetics. - 1990. - Vol. 63. - P. 177 - 184.

треморе

■ЙЙЙ

£3 $

а я

а

а

«

а

а «

а а Й

8 «

й »

а

ё

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№2013611829

Программа разбиения индивидуумов на приблизительно одинаковые группы по оценке межаггракторных расстоянии путем построении матриц этих расстояний

П|мкиоГ):мл<1гел1.(ли): Есъков Валерий Матвеевич (ЯЦ), Гаврипенко Тарас Владимирович (Я11), Есъков Валерий Валериевич (Я1/), Хадарцев Александр Агубечирович (1Ш), Балтикова Анастасия Александровна (Я(/)

Авторы); Есъков Валерий Матвеевич (Я11), Гаврипенко Тарас Владимирович (Я(/), Есъков Валерий Валериевич (Я1/), Хадарцев Александр Агубечирович (ЯУ), Балтикова Анастасия Александровна (Я11)

Зашка № 2012660949

Дата поступлении 12 декабря 2012 Г. Зарегистрировано в Ретстри программ для ЭВМ 06 февраля 2013 г.

Руководитель Федеральной службы т иитеяяектуаяъной собственности

Б П Симонов

Й а а

а

©

а

0 а

а

й а а а

)ааааагааааааааагаааааааааааааааа<

а

«

и

в

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№2013611827

Программа персонифицированной оценки значимости отдельных диагностических признаков больного

П раваоблада'гель( л и); Есъков Валерий Матвеевич (Ш1), Гаврилепко Тарас Владимирович (Ш/), Есъков Валерий Валериевич (Н11), Пашнин Александр Сергеевич (1Ш), Балтикова Анастасия Александровна (Я11)

Автор(ыу. Есъков Валерий Матвеевич (Яи), Гаврилепко Тарас Владимирович (НУ), Есъков Валерий Валериевич (ЁЧ), Пашнин Александр Сергеевич (ВХ)'), Балтикова Анастасия Александровна (Ш))

Заявка№ 2012660947

Дата поступления 12 декабря 2012 г. Зарегиегрирлиано в Реестре программ дли ЭВМ

06 февраля 2013 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

IS.1I. Симтпп

8 «

Ш «

Й

ш

ВИЁ

йЖЕЖЖВ

а

Я:

МЖЖЖЖЙ

а

а

г

а а а £8 а

а

, г

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государствен ной регистрации программы для ЭВМ

№2013611828

Программа для идентификации наиболее важных диагностических признаков путем последовательного исключения всех компонент вектора состояния системы

Правоиб. 1адатсль(ли): Еськов Валерий Матвеевич (7Ш), Гаврилепко Тарас Владимирович (7?ГУ), Еськов Валерий Валериевич (Я(/), Добрынин Юрий Викторович (Яи), Балтикова Анастасия Александровна (¡Ш)

Автор(ы): Еськов Валерий Матвеевич (ЯЦ), Гаврилепко Тарас Владимирович (Я11), Еськов Валерий Валериевич (Яи), Добрынин Юрий Викторович (ЯЦ), Балтикова Анастасия Александровна (ЯЦ)

Заявка №2012660948 Дата поступления 12 декабря 2012 г. Зарегистрировано в Реестре программ длм ЭВМ 06 февраля 2013 2.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

£.11. Сшитое