К теории кинетики и термодинамики фазовых превращений упорядочения в сплавах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Панкратов, Илья Романович

• Панкратов, Илья Романович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панкратов, Илья Романович

Введение

1 Кинетический метод кластерных полей и его применение к изучению упорядочений по типу LI2 в сплавах

1.1 Кинетический тетраэдрический метод кластерных полей.

1.2 Используемые модели и методы моделирования.

1.3 Кинетика фазовых превращений А1—>Ыг

1.4 Особенности эволюции при переходе А1—►АИ-Ыг.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории кинетики и термодинамики фазовых превращений упорядочения в сплавах»

Исследования микроскопических свойств сплавов при фазовых превращениях (ФП) упорядочения имеют как фундаментальный, так и прикладной интерес. С точки зрения теории важно развитие подходов к микроскопическому описанию свойств неоднородных и неравновесных систем, включая аналитическое описание наблюдаемых явлений. Для приложений большое значение имеет, в частности, объяснение и теоретическое предсказание свойств и распределений антифазных границ (АФГ) в микроструктурах сплавов, используемых в технике, поскольку многие свойства этих сплавов, такие как прочность, пластичность, коэрцитивная сила магнетиков, и другие, существенно зависят от особенностей микроструктур.

В последнее время микроскопические подходы к описанию систем, далеких от равновесия, привлекают большой интерес в связи с рядом конкретных прикладных вопросов. Одним из них является изучение свойств сплавов, находящихся под воздействием излучения. В частности, исследование диффузии вакансий и примесей в таких сплавах могут дать подходы к решению проблемы охрупчивания корпусов реакторов, остро стоящей перед мировым сообществом. Не менее важным вопросом является изучение ФП в сталях, теоретические подходы к этой проблеме могут в значительной мере способствовать технологическому прогрессу металлургической отрасли.

Существует много теоретических и экспериментальных работ посвященных изучению упорядочений при фазовых переходах см. например [1-Ю]. При этом, поскольку эксперименты по изучению эволюции сплавов обычно сложны, то теоретические исследования и компьютерное моделирование данных процессов привлекают большой интерес.

В некоторых из этих работ применяется прямое моделирование ФП методом Монте-Карло [2, 3], однако для реалистичных моделей сплавов оно обычно оказывается трудоёмким.

Используются также феноменологические подходы, с помощью которых обсуждался ряд особенностей эволюции см. например обзор [5]. Однако при этом рассматривались в основном простейшие модели упорядочения по типу В2 в объёмно-центрированных кубических (ОЦК) решётках. В то же время в большинстве реальных сплавов реализуются более сложные упорядочения, в частности, по типу Ll2 в гранецентрированных кубических (ГЦК) решётках. Такие упорядочения характерны для многих практически важных систем, например для так называемых "суперсплавов" типа Ni3Al, широко используемых в аэрокосмической технике [17]. Феноменологическая модель некоторых ФП типа Ь1г обсуждалась только в недавней работе [6], микроскопические же рассмотрения таких ФП отсутствуют.

В работах В. Г. Вакса и др. был предложен микроскопический подход к исследованию существенно неравновесных систем, включая кинетику неравновесных сплавов, основанный на базе фундаментального кинетического уравнения для вероятностей различных атомных распределений по узлам решетки [13, 7, 16]. Этот подход с успехом применялся к исследованию большого числа проблем кинетики ФП в сплавах [7, 12, 8, 15, 16, 19]. Несмотря на то, что в настоящей работе речь пойдет только о сплавах замещения, излагаемые методы являются более общими и применимы также для сплавов внедрения. Простейшим приближением, используемым в этом подходе, является приближение среднего поля (ПСП). В ряде случаев, например при описании В2 упорядочения в ОЦК решётке, это приближение даёт удовлетворительные результаты, однако при описании упорядочений в ГЦК сплавах оно становится качественно неверным. Так, в ПСП невозможно получить фазовые диаграммы, содержащие наблюдаемые в ГЦК сплавах упорядоченные фазы. В связи с этим для описания упорядочений в ГЦК сплавах используются более точные "кластерные" методы, в частности, известный метод вариации кластеров (МВК) [8-10]. Однако, при рассмотрении неоднородных систем этот метод оказывается довольно громоздким и неудобным для вычислений [22]. Поэтому в моделированиях, результаты которых обсуждаются в данной работе, используется метод кластерных полей. Этот метод является некоторым существенно упрощённым вариантом МВК, который однако имеет высокую точность описания для большинства физически интересных моделей ГЦК сплавов [24].

В главе 1 описан кинетический тетраэдрический метод кластерных полей (КТ-МКП), который обобщает аналогичный метод теории равновесных систем на случай неравновесных сплавов. В этой же главе обсуждаются два актуальных вопроса, обсуждаемых в литературе, но не имеющих полных ответов. Первая проблема — это связь эффективных межатомных взаимодействий vn с характерными морфологией и эволюцией антифазных (АФГ) и межфазных (МФГ) границ. Кан и Кикучи [31] показали, что в модели взаимодействия ближайших соседей поверхностная энергия АФГ, лежащих вдоль определенных кристаллографических направлений, обычно (100), равна нулю, что качественно объясняет преобладание (100) выстроенных АФГ, наблюдаемых в некоторых сплавах [25, 26]. Однако во многих реальных сплавах взаимодействие неближайших соседей играет существенную роль [32, 33, 22] и пока оставалось неизученным влияние этих взаимодействий на структуру и морфологию АФГ и МФГ. До сих пор оставалась необъясненной движущая сила, ответственная за ориентацию АФГ [25]. В главе 1 КТМКП используется для компьютерного моделирования фазовых превращений типа А1—>1Лг и Al—*A1+L12 после закалки сплава из неупорядоченной А1 фазы в однофазное состояние LI2 или в двухфазное состояние AI+LI2 для ряда моделей сплавов как с короткодействующими, так и с дальнодей-ствующими взаимодействиями. Моделирование превращений Al—+LI2 указывает на резкую зависимость микроструктурной эволюции от типа взаимодействий, особенно от эффективного радиуса взаимодействия. Это моделирование обнаружило также ряд своеобразных особенностей как в промежуточных микроструктурах, так и в кинетике фазового превращения, и многие из этих особенностей согласуются с экспериментальными наблюдениями. Микроструктурная эволюция при Al—»A1+L12 переходе оказывается менее чувствительной к типу "химических" взаимодействий (т. е. взаимодействий конечного радиуса). В то же время при наличии заметных упругих взаимодействий эта эволюция обнаруживает ряд специфических особенностей, которые ранее феноменологически обсуждались в работах Хачатуряна с сотрудниками и иллюстрируются нашим моделированием.

Второй исследованной в этой главе проблемой является проблема "промежуточного конгруэнтного упорядочения" при распаде сплава с упорядочением, которая в последнее время имеет большой интерес [1, 2, 28, 29, 30]. При качественном обсуждении кинетики ФП, сопровождаемого распадом сплавов, Аллен и Кан [34] высказали предположение, что при закалке неупорядоченного сплава в двухфазную область (например, при ФП типа Al —» Al + Ll2) ниже так называемой спинодали упорядочения (т. е. в область локальной неустойчивости неупорядоченной фазы относительно сколь угодно малых флуктуаций параметра порядка) первая стадия ФП будет соответствовать состоянию "конгруэнтного упорядочения", т. е. возникновению антифазных доменов (АФД) и АФГ между ними при практически неизменной локальной средней концентрации, равной начальной концентрации неупорядоченного сплава до закалки. И только на следующих стадиях ФП будет происходить распад сплава на упорядоченную и неупорядоченную фазы с различными средними концентрациями, соответствующими значениям на левой и правой бинодали (при данной температуре) фазовой диаграммы. Эти соображения Аллена и Кана были подтверждены в ряде экспериментов по распаду с упорядочением типа А2 —> А2 + В2 в ОЦК сплавах [30]. Однако в экспериментах по распаду с упорядочением по типу А1 —> AI+LI2 в сплавах Al-Li Хаазен и др. [28] наблюдали микроструктуры, которые по их мнению, опровергали описанные выше рассуждения. В связи с этим вопрос о наличии стадии промежуточного конгруэнтного упорядочения считается невыясненным [30]. Прояснению данной проблемы также посвящена часть главы 1.

В главах 2 и 3 КТМКП применен для исследования фазовых превращений типа А1—>Llo при температурах перехода ниже температуры спинодали упорядочения Ts. Тогда микроструктурная эволюция перехода А1—>L10 состоит из трех стадий [4245]: Начальная стадия формирования Ы0-упорядоченных доменов, когда их тетрагональное искажение еще мало влияет на микроструктурную эволюцию и все шесть типов АФД присутствуют в микроструктурах в одинаковых пропорциях; Промежуточная стадия, которая соответствует так называемому "твид" контрасту на ТЭМ снимках. "Политвиновая" стадия, когда тетрагональное искажение Llo ориентированных АФД становится определяющим микроструктурную эволюцию фактором и приводит к формированию (ПО)-ориентированных полос.

Глава 2 посвящена начальной стадии, рассмотрены различные модели сплавов как с короткодействующими, так и с дальнодействующими взаимодействиями. Отмечена резкая зависимость микроструктурной эволюции от типа взаимодействий. В моделированиях обнаружен ряд своеобразных микроструктурных особенностей эволюции, часть которых аналогичны отмеченным в главе 1. Для полного сравнения Llo и LI2 упорядочений, более детально рассматриваются две проблемы Ll2 упорядочения, обозначенные в главе 1: концентрационная зависимость эволюции и специфический механизм роста АФД за счет слияния доменов одинаковой фазы. Для Llo упорядочения и концентрационная зависимость эволюции и упомянутый механизм роста АФД выражены сильнее выражены, чем для упорядочения по типу Ll2, и детальное их сравнение позволяет понять происхождение этих различий. Кроме того, в главе 2 отмечено множество микроструктурных эффектов, таких как долгоживущие конфигурации — 4-стыки АФГ, расщепление АФГ одного типа на две АФГ другого типа и т. д.

Описанный в главе 1 подход применен в главе 3 для изучения кинетики упорядочений Llo-типа в сплавах, включая формирование твин-структур, на поздних стадиях эволюции. Несмотря на то, что физика формирований твин-структур обсуждалась множеством авторов [49, 50, 37, 51], теоретические описания кинетики превращения Al—*Llo до сих пор кажутся сомнительными, поскольку базируются на ряде упрощающих допущений, таких как кинетическое уравнение в приближении среднего поля; феноменологическое описание взаимодействия между упругими деформациями и параметрами локального порядка; изотропная упругость; нереалистичная модель межатомных взаимодействий; и т. д. В главе 3 описана модель деформационных взаимодействий, обобщающая подход Хачатуряна [37] для разбавленных сплавов и выполнены моделирования для ряда моделей с различными межатомными взаимодействиями. Как и в предыдущих главах отмечена резкая зависимость эволюции и полученных микроструктур от типа "химических" взаимодействий. Для твин стадии было найдено множество микроструктурных особенностей, хорошо согласующихся с экспериментальными данными [42, 47, 45]. В частности, наблюдался специфический эффект зависящего от взаимодействия выстраивания ориентации АФГ в пределах двойниковых полос, что ранее было описано феноменологически в работе В. Г. Вакса [51].

В главе 4 исследована точность различных статистических методов при описании фазовых переходов упорядочения по типу В2 или DO3 (CuZn или FesAl), характерных для ОЦК сплавов. Для ряда моделей сплавов, обсуждаемых в литературе, рассчитаны фазовые диаграммы температура-концентрация с использованием трех методов: приближения среднего поля (ПСП); приближения парных кластеров (ППК); а также тетраэдрического метода кластерных полей (ТМКП), построенного в этой главе. Результаты расчетов сравниваются друг с другом и с расчетами методом Монте Карло. Найдено, что точность различных методов резко зависит от типа взаимодействий в системе, прежде всего, от наличия сильных конкурирующих взаимодействий и короткодействующих корреляций, затрудняющих упорядочение. Показано, что в отсутствие таких корреляций, в частности, для сплавов типа Fe-Al с протяженными взаимодействиями, использование ППК позволяет существенно уточнять результаты ПСП без сколько-нибудь заметного усложнения вычислений. В то же время в системах с короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями использование как ПСП, так и ППК может резко искажать вид фазовых диаграмм, тогда как ТМКП позволяет и в этих случаях достаточно точно рассчитывать фазовые диаграммы для физически интересных значений температуры и концентрации.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Панкратов, Илья Романович

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты настоящей работы:

1. Кинетический тетраэдрический метод кластерных полей (КТМКП) был применен для моделирования фазовых превращений А1—и А1—>А1+Ыг после закалки сплава из неупорядоченной фазы А1 в однофазную Ll2 или двухфазную Al+Ll2 область фазовой диаграммы. Использованы пять моделей сплавов с различными типами взаимодействий. Исследовано также влияние упругих сил на переход Al—>A1+Ll2, рассмотрены еще две модели, включающие упругое взаимодействие vel с параметрами, соответствующими сплавам Ni-Al. Применены как 2D, так и 3D моделирования, и все существенные черты эволюции в этих двух типах моделирования оказались одинаковыми.

2. Результаты моделирования перехода Al—»L12 показывают, что характер микроструктурной эволюции резко зависит от типа взаимодействия, прежде всего, от эффективного радиуса взаимодействий Rint.

Для систем с короткодействием промежуточные микроструктуры содержат в основном консервативные АФГ с ориентацией типа (100). Отмечен ряд своеобразных особенностей распределения АФГ в таких системах, хорошо согласующихся с экспериментальными наблюдениями для сплава СизАи [25, 26]. Подробно изучены особенности микроструктурной эволюции, отмечены свое* образные кинетические процессы взаимодействия АФГ разных типов. Изучено также влияние на эволюцию отклонений состава сплава от стехиометрического.

Промежуточные микроструктуры систем с дальнодействующими взаимодействиями содержат в основном неконсервативные АФГ, и распределение АФГ может обнаруживать лишь слабую анизотропию. Результаты моделирований хорошо согласуются с экспериментальными наблюдениями для сплавов типа Ni3Al [27] и сплавов CuPd [25].

3. Влияние упругих сил на микроструктурную эволюцию исследовано для моделей как короткодействующего, так и промежуточного радиуса взаимодействий. Результаты этих моделирований в основном согласуются с феноменологическим описанием упругих эффектов, развитым Хачатуряном с сотрудниками [4, 5, 6], но существенно уточняют и детализируют феноменологическое описание.

4. Обсуждена проблема конгруэнтного упорядочения при переходе А1—►АЦ-Ыз, существование которого недавно было поставлено под сомнение, поскольку на ранних стадиях этого перехода в сплавах Al-Li Хаазен и др. [28] наблюдали микроструктуры, по их мнению противоречащие наличию такого упорядочения.

Во всех наших моделированиях наблюдалась стадия конгруэнтного упорядочения, а также множество структур, весьма сходных с наблюдавшимися в опытах Хаазена и др. [28]. Поэтому данные наблюдения могут просто соответствовать другой стадии эволюции и не противоречить существованию конгруэнтного упорядочения. Исследована также временная эволюция локальных концентраций и локальных параметров порядка в процессе конгруэнтного упорядочения.

5. Изучена концентрационная зависимость эволюции при Al—превращении. Найдено, что эта зависимость частично выражена для систем с промежуточным радиусом взаимодействия, а для систем с протяженными взаимодействиями, эволюция менее чувствительна к концентрации. С другой стороны, внутренняя структура АФГ в Ll2 фазе значительно меняется в зависимости от концентрации, и по-видимому определяется главным образом расположением точки концентрация-температура с, Т на фазовой диаграмме. Исследован также своеобразный механизм роста доменов при превращении Al—>L12, слияние различных одинаково упорядоченных доменов, и было показано, что он обычно является важным для эволюции.

6. Подробно рассмотрены Al—>Llo превращения на начальной стадии (или в системах сплавов, для которых тетрагональная деформация мала), когда деформации решетки незначительны для микроструктурной эволюции. Моделирования были выполнены как при стехиометрической, так и нестехиометрической концентрациях, отмечен ряд своеобразных микроструктурных особенностей, характерных для Al—>Llo превращений. Показано, что на рассматриваемых стадиях переходов Al—>L1q и А1—микроструктуры являются схожими, в частности, для систем с короткодействующими взаимодействиями.

7. КТМКП применен для моделирования превращения Al—>Llo на поздних стадиях эволюции, когда деформационные эффекты оказывают существенное влияние на микроструктуры. Исследованы в широком диапазоне концентраций и температур как промежуточная твид-стадия, так и заключительная твин-стадия, когда тетрагональное искажение Llo-упорядоченных антифазных доменов (АФД) приводит к образованию твин-полос с ориентацией типа (110). Показано, что тип эволюции сильно зависит от эффективного радиуса Ri„t химического взаимодействия. Отмечен ряд особенностей эволюции для моделей с короткодействующими и дальнодействующими взаимодействиями. В частности, для конечных, почти-равновесных твин-полос в моделированиях обнаружено своеобразное выстраивание АФГ типа смещения с определенным углом скашивания между ориентацией полосы и плоскостью АФГ, и этот угол скашивания резко зависит от типа взаимодействий, особенно от размера области взаимодействий Rint. Такое выстраивание АФГ наблюдалось в ряде сплавов Со-Pt [46, 60], и сравнение экспериментальных углов скашивания с теоретическими расчетами [51] может дать информацию о виде химических взаимодействий в сплаве.

8. Предложен тетраэдрический метод кластерных полей (ТМКП) для ОЦК решеток. Исследована точность различных статистических методов при описании фазовых диаграмм ОЦК сплавов с упорядочениями типа В2 и DO3: приближения среднего поля (ПСП); приближения парных кластеров (ППК); а также предложенного ТМКП. Результаты расчетов разными методами сравниваются друг с другом и с имеющимися расчетами методом Монте Карло. Показано, что ТМКП позволяет адекватно описывать также и сплавы с сильными короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями, затрудняющими упорядочения.

Автор искренне благодарен научному руководителю профессору В. Г. Ваксу за постоянное внимание, обсуждения и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панкратов, Илья Романович, 2004 год

1. Abinandanan Т A, Haider F and Martin G 1994 Solid-Solid, Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 443.

2. Okuda H and Osamura К 1994 Acta Metall. Mater. 42 1337.

3. Frontera C, Vives E, Castan T and Planes A 1997 Phys. Rev. В 55 212.

4. Chen L-Q, Wang Y Z and Khachaturyan A G 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics 319) ed A Gonis and P E A Turchi (New York: Plenum) p 587.

5. Wang Y, Chen L-Q and Khachaturyan A G 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 245.

6. Wang Y, Banerjee D, Su С С and Khachaturyan A G 1998 Acta mater. 46 2983.

7. Vaks V G, Beiden S V and Dobretsov V Yu 1995 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 65 (Engl. Transl. JETP Lett. 61 68).

8. Dobretsov V Yu, Vaks V G and Martin G 1996 Phys. Rev. В 54 3227.

9. Martin G 1990 Phys. Rev. В 41 2279.

10. Gouyet J F 1993 Europhys. Lett. 21 335.

11. Vaks V G and Beiden S V 1994 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105 1017 (Engl. Transl. Sov. Phys.-JETP 78 546).

12. Dobretsov V Yu, Martin G, Soisson F and Vaks V G 1995 Europhys. Lett. 31 417.

13. Vaks V G 1996 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 63 447 (Engl. Transl. JETP Lett. 63 471).

14. Belashchenko К D and Vaks V G 1997 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 112 714 (Engl. Transl. Sov. Phys.-JETP 85 390).

15. Dobretsov V Yu and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 2261, 2275.

16. Belashchenko К D and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 1965.

17. Кир Б X 1986 В мире науки 12 99.

18. Nastar М, Martin G and Dobretsov V Yu 2000 Phil. Mag. A 80 155.

19. К D Belashchenko, G D Samolyuk and V G Vaks 1999 J. Phys.: Condensed Matter 11 10567.

20. Kikuchi R 1951 Phys. Rev. 81 988.

21. Mohri T, Sanchez J M and de Fontaine D 1985 Acta Met. 33 1171.

22. Finel A 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics 319) ed A Gonis and PEA Turchi (New York: Plenum) p 495.

23. Vaks V G, Zein N E and Kamyshenko V V 1988 J. Phys. F: Metal Physics 18 1641.

24. В Г Вакс, Г Д Самолюк 1999 ЖЭТФ 115 158.

25. Loiseau A, Ricolleau С, Potez L and Ducastelle F 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 385.

26. Potez L and Loiseau A 1994 J. Interface Sci. 2 91.

27. Cahn R W, Siemers P A and Hall E L 1987 Acta Metall. 35 2753.

28. Schmitz G, Hono К and Haasen P 1994 Acta Metall. Mater. 42 201.

29. Okuda H, Vezin V, Osamura К and Amemiya Y 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 371.

30. Loiseau A 1996 Curr. Opin. Solid State Mater. Sci. 1 369.

31. Kikuchi R and Cahn J W 1979 Acta Met. 27 1337.

32. Turchi PEA 1994 Intermetallic Compounds: Vol. 1, Principles ed Westbrook J H and R. L. Fleischer R L (Wiley: New York) p 21.

33. De Fontaine D 1994 Solid State Physics 47 33.

34. Allen S M and Cahn J W 1976 Acta Met. 24 425.

35. Yang С N 1945 J. Chem. Phys. 13 66.

36. Chassagne F, Bessiere M, Calvayrac Y, Cenedese P and Lefebvre S 1989 Acta Met. 37 2329.

37. Khachaturyan A G 1983 Theory of Structural Phase Transformations in Solids (New York: Wiley).

38. Beiden S V and Vaks V G 1992 Phys. Lett. A 163 209.

39. Kayser F X and Stassis С 1981 Phys. Stat. Sol. (a) 64 335.

40. Gorentsveig V I, Fratzl P and Lebowitz J L 1997 Phys. Rev. В 55 2912.

41. К D Belashchenko, V Yu Dobretsov, I R Pankratov, G D Samolyuk and V G Vaks 1999 J. Phys.: Condensed Matter 11 10593.

42. Zhang B, Lelovic M and Soffa W A 1991 Scripta Met. 25 1577.

43. Tanaka Y, Udoh K-I, Hisatsune К and Yasuda К 1994 Phil. Mag. A 69 925.

44. Oshima R, Yamashita M, Matsumoto К and Hiraga К 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 407.

45. Yanar С, Wiezorek JMK and Soffa W A 2000 Phase Transformations and Evolution in Materials ed P E A Turchi and A Gonis (Warrendale: The МММ Society) p 39.

46. Leroux C, Loiseau A, Broddin D and Van Tendeloo G 1991 Phil. Mag. В 64 57.

47. Zhang В and Soffa W A 1992 Phys. Stat. Sol. (a) 131 707.

48. Syutkina V I, Abdulov R Z, Zemtsova N D and Yasyreva L P 1984 Fiz. Metal. Metalloved. 58 745.

49. Roitburd A L 1968 Fiz. Tverd. Tela 10 3619 (Engl. Transl. 1969 Sov. Phys. Solid State 10 2870).

50. Khachaturyan A G and Shatalov G A 1969 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 56 1037 (Engl. Transl. 1969 Sov. Phys-JETP 10 557).

51. Vaks V G 2001 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 73 274 (Engl. Transl. 2001 JETP Lett. 73 237).

52. Faulkner J C, Wang Y and Stocks G M 1997 Phys. Rev. В 55 7492.

53. Rouchy J and Waintal A 1975 Solid State Commun. 17 1227.

54. Zunger A 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics, vol 319) ed A Gonis and PEA Turchi (New York: Plenum) p 361.

55. Beiden S V, Samolyuk G D, Vaks V G and Zein N E 1994 J. Phys.: Condensed Matter 6 8487.

56. Landolt-Bornstein Series, Group III, 26.

57. Berg H and Cohen J В 1972 Metall. Trans. 3 1797.

58. Leroux C, Cadeville M C, Pierron-Bohnes V, Inden G and Hinz F 1988 J. Phys.: Met. Phys. 18 2033.

59. Ducastelle F 1970 J. de Phys. 31 1055.

60. LeBouar Y Phys. Rev. В in press.

61. В Diinweg and К Binder 1987 Phys. Rev. В 36 6935.

62. F Schmid and К Binder 1992 Phys. Rev. В 46 13553.

63. S V Semenovskaya 1974 Phys. Status Solidi В 64 291.

64. G Inden 1974 Acta Metall. 22 945.

65. M Hasaka 1980 Trans. JIM 21 660.

66. W Schweika 1990 Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 166 249.

67. V Pierron-Bohnes, M С Cadeville, A Finel and О Schaerpf 1991 J Physique 11 247.

68. V Pierron-Bohnes, S Lefevbre, M Bessiere and A Finel 1991 Acta Metall. 38 2701.

69. R V Chepulskii and V N Bugaev 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 8771.

70. I R Pankratov and V G Vaks 2001 J. Phys.: Condensed Matter 13 6031.

71. К D Belashchenko, I R Pankratov, G D Samolyuk and V G Vaks 2002 J. Phys.: Condensed Matter 14 565.

72. R Kikuchi and С M van Baal 1974 Scripta Met. 8 425.

73. В Г Вакс, H Е Зейн 1974 ЖЭТФ 67 1082.

74. М А Кривоглаз 1957 ЖЭТФ 32 1368.