К теории кинетики фазовых превращений распада и упорядочения в сплавах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Белащенко, Кирилл Давидович

• Белащенко, Кирилл Давидович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белащенко, Кирилл Давидович

Содержание

Введение

1. Сегрегация примесей и вакансий на межфазных и антифазных границах в сплавах

1.1. Свободная энергия неоднородного многокомпонентного сплава

1.2. Общие выражения для равновесного распределения примесей малой концентрации в бинарном сплаве

1.3. Сегрегация на межфазной границе

1.4. Сегрегация на антифазной границе

1.5. Заключение

2. Конфигурационная кинетика в сплавах с вакансиями

2.1. Точные уравнения для средних чисел заполнения и свободной энергии неравновесного многокомпонентного сплава

2.2. Приближенные выражения для обобщенных движущих сил и подвиж-ностей

2.3. Эквивалентная модель прямого обмена

2.4. Моделирование фазовых превращений в сплаве с вакансионной динамикой

2.5. Заключение

3. Репликация межфазных границ при спинодальном распаде

4. Особенности конфигурационной кинетики в сплавах с многовариантным упорядочением

4.1. Модели и методы моделирования

4.2. Описание упругого взаимодействия

4.3. Структура антифазных границ в DO3 фазе

4.4. Кинетика фазового превращения А2—>-Б0з

4.5. Кинетика фазового превращения А2—J-A2+DÜ3 в сплавах типа Fe-Al

4.6. Кинетика фазовых превращений А2—)-В2+Б0з и DO3—>В2+Б0з в сплавах типа Fe-Si

4.7. Заключение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории кинетики фазовых превращений распада и упорядочения в сплавах»

Введение

Кинетика фазовых превращений в сплавах привлекает большое внимание как в связи с общими исследованиями физики неравновесных систем, так и в связи с проблемами физического материаловедения. В первую очередь это касается процессов расслоения и распада фаз, в частности спинодального распада, фазовых переходов с упорядочением, образования различных промежуточных состояний в ходе превращений и т.д. Такие процессы, как правило, идут вдали от равновесных состояний и соответствуют эволюции существенно неравновесных систем. Понимание кинетических путей этих фазовых превращений важно для описания микроструктуры материалов и тем самым для предсказания их физических свойств.

Теоретически эти проблемы изучаются методами прямого моделирования Монте-Карло (см., например, [1,2]), с помощью полуфеноменологических кинетических уравнений онсагеровского типа, предложенных Хачатуряном и др. [3], а также с использованием последовательного микроскопического подхода на основе фундаментального кинетического уравнения для распределения вероятностей различных состояний сплава, развитого в работах Мартена, Вакса, Добрецова и др. [4-7]. В отличие от полуфеноменологических уравнений Хачатуряна и др., ясная область применимости которых ограничена слабо неравновесными состояниями, последний подход применим для последовательного описания кинетики сплавов также и вдали от равновесия, и при этом может использоваться весь арсенал хорошо развитых методов статистической физики, таких как приближение среднего поля, методы кластерных разложений и т. п. Применение данного подхода позволило исследовать ряд важных проблем физики фазовых превращений в сплавах, включая теорию спинодального распада [6], кинетику движения и эволюции антифазных границ [8], особенности микроструктурной эволюции в случае, когда упорядочение сопровождается распадом сплава [9], теорию нуклеации [10] и другие проблемы. При этом использовалась обычная упрощенная модель прямого обмена атомов, т. е. считалось, что изменение распределения атомов по узлам решетки, например, в бинарном сплаве АСВ1_С осуществляется путем прямого обмена положениями соседних атомов А и В, а кинетика

фазовых превращений с упорядочением рассматривалась на примере простейшего упорядочения по типу В2 (типа CuZn).

В то же время в реальных сплавах диффузия осуществляется по вакансионному механизму, и a priori неясно, не приводит ли использование нереалистичной модели прямого обмена атомов к каким-либо ошибкам или к потере каких-то эффектов. В частности, результаты монте-карловских моделирований [11-16] указывают на возможность заметной сегрегации вакансий на межфазных или антифазных границах, и в ряде работ обсуждался вопрос о возможном влиянии этой сегрегации на эволюцию микроструктуры. В целом, большинство исследований [11-16] указывает на сходство основных черт эволюции для механизмов прямого и вакансионного обмена. В частности, при моделировании кинетики по обоим кинетическим механизмам обычно наблюдались одни и те же асимптотические законы роста среднего размера выделений при спинодальном распаде (Rp ~ /,|//3) и среднего размера антифазных доменов при упорядочении (Rd ~ t1!2) [11-13,17,16], за исключением работ [14,15], где наблюдались некоторые различия асимптотических законов роста антифазных доменов. В работе [16] также были обнаружены некоторые особенности вакансионной кинетики на самых ранних стадиях упорядочения. Однако, результаты монте-карловских исследований носят частный, отрывочный характер и не позволяют сделать какие-либо общие выводы о влиянии вакансионного механизма диффузии на кинетику и об условиях эквивалентности моделей с прямым и вакансионным механизмом диффузии.

В настоящей работе эти проблемы исследуются с помощью упомянутого фундаментального кинетического уравнения, обобщенного на случай многокомпонентного сплава с вакансиями. В главе 1 подробно изучается стационарная сегрегация вакансий на межфазных и антифазных границах на примере сплавов с ОЦК решеткой. Влияние вакансионного механизма диффузии на кинетику фазовых превращений в сплавах исследуется в главе 2, в которой, в частности, показано, что задача об эволюции распределения основных компонентов сплава при вакансионном механизме диффузии, как правило, может быть сведена к эквивалентной модели с прямым обменом атомов и определенной перенормировкой временной шкалы. Здесь же изучен характер этой перенормировки для случаев фазового распада и упорядочения, а также проведено моделирование своеобразного эффекта локализованного упорядочения, характерного для ранней стадии эволюции неупорядоченного сплава после быстрой закалки в область упорядоченной фазы, когда эквивалентность моделей прямого и вакансионного обмена нарушается.

В недавней работе [9] обсуждался своеобразный эффект самоорганизации — репликация антифазных границ (АФГ) при спинодальном распаде с упорядочением.

Было показано, что после двухступенчатой закалки исходного неупорядоченного сплава в область спинодальной неустойчивости могут формироваться квазипериодические, волнообразные микроструктуры. В главе 3 обсуждается близкий по природе эффект репликации межфазных границ, который может возникнуть после двухступенчатой закалки неупорядоченного однородного сплава. Исследованы условия возникновения этого эффекта. Его экспериментальное наблюдение может позволить экспериментально визуализировать и исследовать критические концентрационные волны, существование которых было предсказано Каном более тридцати лет назад [18], но которые непосредственно пока не наблюдались.

В теоретических работах по кинетике упорядочения сплавов до сих пор рассматривалось, как правило, только простейшее упорядочение по типу В2, при котором имеется только два типа неэквивалентных антифазных доменов. Однако в реальных сплавах, в частности, используемых на практике, обычно реализуются существенно более сложные типы упорядочения, такие как DO3 в сплавах с ОЦК решеткой или LI2 и Lio в ГЦК решетке. Существование при таких упорядочениях многих типов антифазных доменов приводит к проявлению ряда специфических особенностей микроструктурной эволюции, отсутствующих для простейшего упорядочения типа В2 (см., например, обзор экспериментальных данных [19]). В главе 4 исследуются особенности кинетики при фазовых превращениях с образованием "многовариантных" антифазных доменов на примере упорядочения по типу DO3, в том числе с учетом упругого взаимодействия. При этом обнаружен и объяснен ряд своеобразных эффектов, некоторые из которых наблюдались экспериментально в реальных сплавах с упорядочениями многовариантного типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20-23].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Белащенко, Кирилл Давидович

Заключение

Резюмируем основные результаты настоящей работы. Микроскопическое кинетическое уравнение для вероятностей различных распределений атомов по узлам решетки, выведенное ранее для модели бинарного сплава [7], обобщено на случай многокомпонентного сплава. Предложено общее выражение для свободной энергии микроскопически неоднородного многокомпонентного сплава.

Изучена стационарная сегрегация вакансий или примесей малой концентрации на межфазных и антифазных границах на примере сплавов с ОЦК решеткой. В приближениях среднего поля и парных кластеров даны явные выражения для равновесного распределения вакансий по узлам решетки через распределение основных компонентов сплава. Исследование концентрационных профилей вакансий вблизи межфазной границы су(х) показало, что при малых значениях потенциала предпочтения Р, определённого уравнением (1.17), сегрегация примесей на этой границе описывается соотношением (1.26), а с ростом Р профиль су(х) принимает вид размытой ступени. Вблизи антифазной границы между доменами, упорядоченными по типу В2, при малых Р также происходит сегрегация. С ростом Р в сплаве стехио-метрического состава степень этой сегрегации падает по соотношению (1.33), и при больших Р происходит антисегрегация. В нестехиометрических сплавах влияние потенциала предпочтения на характер сегрегации на АФГ зависит также от вида этого потенциала, в частности, от соотношения между величинами Р£ и Ро, введенными в разделе 1.4. В зависимости от соотношения между РЦ и Р0 рост величины Р может как уменьшать, так и увеличивать степень сегрегации на АФГ.

Изучено влияние вакансионного механизма диффузии на кинетику фазовых превращений. Показано, что задача об эволюции распределения основных компонентов сплава при вакансионном механизме диффузии, как правило, может быть сведена к эквивалентной модели с прямым обменом атомов и определенной перенормировкой временной шкалы, причем эта перенормировка заметно отлична от линейной только на начальной стадии фазового превращения, когда в системе еще не установилось локальное равновесие. Физически такая эквивалентность моделей связана с тем, что вакансии диффундируют гораздо быстрее атомов основных компонентов в меру малости их концентрации, так что их распределение почти всегда можно считать адиабатически следующим за распределением основных компонентов сплава. Нарушение этой адиабатичности (а следовательно, и эквивалентности моделей с прямым и вакансионным механизмом диффузии) может происходить лишь на ранней стадии фазового превращения после резкого изменения внешних условий, как, например, в случае быстрой закалки сплава в область неустойчивости по отношению к какому-либо фазовому переходу.

Показано, что для случая спинодального распада указанное нарушение адиабатичности несущественно, и эволюция микроструктуры сплава в моделях прямого и вакансионного обмена происходит практически одинаково. Последнее утверждение справедливо также и для случая упорядочения, за исключением только самой ранней его стадии. На этой ранней стадии упорядочения в сплаве с вакансионным механизмом диффузии обнаружен своеобразный эффект локализованного упорядочения, наблюдавшийся ранее в экспериментах Аллена и Кана [36], а также в монте-карловских моделированиях [16]. Природа этого эффекта впервые объяснена пространственными флуктуациями начального распределения вакансий.

Обнаружен и исследован своеобразный эффект репликации межфазных границ, который может возникнуть после достаточно глубокой двухступенчатой закалки сплава в область спинодальной неустойчивости. Наблюдение этого эффекта может позволить впервые непосредственно экспериментально визуализировать и исследовать кановские критические концентрационные волны.

Изучены особенностей кинетики фазовых превращений в сплавах с не простейшими, "многовариантными" типами упорядочения, когда реализуется более двух возможных ориентаций антифазных доменов, на примере двух модельных систем типа Fe-Al и Fe-Si с упорядочением по типу DO3. Описана структура антифазных границ различных типов в фазе DO3, в том числе аналитически для границы DO3 типа в случае малого равновесного параметра DO3 упорядочения. Представлены результаты моделирования следующих процессов: (а) фазовый переход А2—ШОз в сплавах типа Fe-Al и Fe-Si; (б) переход А2—>-А2-|-ООз в сплаве типа Fe-Al, в том числе с учетом упругого взаимодействия, в сравнении с переходом А2—>А2+В2 в модели сплава с В2 упорядочением; (в) переход А2—>В2+130з в сплаве типа Fe-Si; и (г) переход DO3—>В2+ООз в сплаве типа Fe-Si. В этих моделированиях выявлен ряд особенностей эволюции микроструктуры, характерных для сплавов с многовариантным упорядочением, в том числе: (а) переходное В2 упорядочение на начальной сталии конгруэнтного DO3 упорядочения; (б) характерная топология сетки антифазных границ в фазе 13Оз с преобладанием тройных стыков; (в) тенденция к образованию примерно равноосных областей упорядоченной фазы БОз в неупорядоченной матрице при фазовом распаде исходного неупорядоченного сплава; (г) формирование тонких, строго ориентированных ("консервативных") антифазных границ при наличии топологически выделенной плоскости с низкой поверхностной энергией границы; (д) низкая подвижность консервативных границ и их устойчивость при фазовых превращениях; (е) тенденция к образованию связанных пар тройных стыков консервативных антифазных границ.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору В. Г. Ваксу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белащенко, Кирилл Давидович, 1998 год

Список литературы

[1] J.D. Gunton, M. San Miguel and P. Sahni, The dynamics of first-order phase transitions, in Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. С. Domb and J.H. Lebowitz (London: Academic, 1983), Vol. 8, pp. 269-466.

[2] K. Binder, Monte Carlo simulations of alloy phase transformations, in Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations, Vol. 319 of NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics, ed. A. Gonis and P.E.A. Turchi (New York: Plenum, 1994), p. 467.

[3] L.Q. Chen, Y.Z. Wang and A.G. Khachaturyan, Morphology transformations in ordering and phase separating materials, in Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations, Vol. 319 of NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics, ed. A. Gonis and P.E.A. Turchi (New York: Plenum, 1994), p. 587.

[4] G. Martin, Phys. Rev. В 41, 2279 (1990).

[5] В.Г. Вакс, C.B. Бейден, Особенности явлений упорядочения в открытых системах: рассмотрение модели сплава под облучением в приближении самосогласованного поля, ЖЭТФ 105, 1017 (1994).

[6] В.Г. Вакс, C.B. Бейден, В.Ю. Добрецов, Mean-field equations for configurational kinetics of alloys at arbitrary degree of nonequilibrium, Письма в ЖЭТФ 61, 65 (1995).

[7] В.Г. Вакс, Master equation approach to the configurational kinetics of nonequilibrium alloys: exact relations, H-theorem, and cluster approximations, Письма в ЖЭТФ 63, 447 (1996).

[8] V.Yu. Dobretsov , G. Martin, F. Soisson and V.G. Vaks, Effects of the interaction between order parameter and concentration on the kinetics of antiphase boundary motion, Europhys. Lett. 31, 417 (1995).

[9] V.Yu. Dobretsov, V.G. Vaks and G. Martin, Kinetic features of phase separation under alloy ordering, Phys. Rev. В 54, 3227 (1996).

[10] V. Yu. Dobretsov and V.G. Vaks, The microscopical theory of homogeneous nucleation in alloys: I. General relations J. Phys.: Condens. Matter 10, 2261; The microscopical theory of homogeneous nucleation in alloys: II. Calculations of nucleation parameters for various alloy models, it ibid., p. 2275 (1998).

[11] K. Yaldram and K. Binder, Spinodal decomposition of a two-dimentional model alloy with mobile vacancies, Acta Met all. Mater. 39, 707 (1991); Monte Carlo simulation of phase separation and clustering in the ABV model, J. Stat. Phys. 62, 161 (1991).

[12] K. Yaldram and K. Binder, Unmixing of binary alloys by a vacancy mechanism of diffusion: a computer simulation, Z. Phys. В 82, 405 (1991).

[13] P. Fratzl and O. Penrose, Kinetics of spinodal decomposition in the Ising model with vacancy diffusion, Phys. Rev. В 50, 3477 (1994).

[14] E. Vives and A. Planes, Vacancy-driven ordering in a two-dimentional binary alloy, Phys. Rev. В 47, 2557 (1993).

[15] С. Frontera, E. Vives and A. Planes, Antiphase domain growth in BCC metallic alloys via vacancies, Z. Phys. В 96, 79 (1994).

[16] M. Athenes, P. Bellon, G. Martin and F. Haider, A Monte-Carlo study of B2 ordering and precipitation via vacancy mechanism in BCC lattices, Acta Mater. 44, 4739 (1996).

[17] F. Soisson, A. Barbu and G. Martin, Monte Carlo simulations of copper precipitation in dilute iron-copper alloys during thermal ageing and under electron irradiation, Acta Mater. 44, 3789 (1996).

[18] J.W. Cahn, On spinodal decomposition, Acta Metall. 9, 795 (1961).

[19] A. Loiseau, C. Ricolleau, L. Potez and F. Ducastelle, Order and disorder at interfaces in alloys, in Solid-Solid Phase Transformations, ed. W.C. Johnson et al. (Warrendale: The МММ Society), p. 385 (1994).

[20] К.Д. Белащенко, В.Г. Вакс, Сегрегация примесей и вакансий на межфазных и антифазных границах в сплавах, ЖЭТФ 112, 714 (1997).

[21] K.D. Belashchenko and V.G. Vaks, The master equation approach to configurational kinetics of alloys via the vacancy exchange mechanism: general relations and features of microstructural evolution, J. Phys.: Condens. Matter 10, 1965 (1998).

[22] K.D. Belashchenko, V.G. Vaks, Replication of interphase boundaries under spinodal decomposition, Physics Letters A 222, 345 (1996).

[23] K.D. Belashchenko, V.Yu. Dobretsov and V.G. Vaks, Kinetics at early stages of phase transformations in metallic alloys, in Properties of complex inorganic solids, Proc. First International Alloy Conference (Athens-1996), ed. A. Gonis et al. (Plenum, New York, 1997), pp. 101-113.

[24] Г. Глейтер, Б. Чалмерс, Большеугловые границы зерен (Москва: Мир, 1975), гл. 3.

[25] С. Geng, L.Q. Chen, Computer simulation of vacancy segregation during spinodal decomposition and Ostwald ripening, Scripta Metall. Mater. 31, 1507 (1994).

[26] L.Q. Chen, Computer simulation of vacancy segregation at antiphase domain boundaries during coarsening, Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 319, 375 (1994).

[27] Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика, ч. 1 (Москва: Наука, 1995).

[28] L.Q. Chen, Thermodynamics and kinetics of order-disorder processes derived from the cluster-activation method and microscopic diffusion theory, Phys. Rev. В 49, 3791 (1994).

[29] В.Г. Вакс, В.Г. Орлов, О методе кластерных полей в статистической теории сплавов внедрения, ФТТ 28, 3627 (1986).

[30] V.G. Vaks, N.E. Zein and V.V. Kamyshenko, On the cluster method in the theory of short-range order in alloys, J. Phys. F 18, 1641 (1988).

[31] В.Г. Вакс, В.В. Камышенко, Применение кластерных моделей в теории фазовых диаграмм и ближнего порядка в сплавах, Изв. АН СССР — Металлы, 1990, №2, 121.

[32] J.M. Sanchez, F. Ducastelle and D. Gratias, Physica A 128, 334 (1984).

[33] В.Г. Вакс, Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков (Москва: Наука, 1973), §§ 17, 24.

[34] R.Kikuchi and J.W. Cahn, J. Phys. Chem. Solids, 20, 137 (1962); 27, 1305 (1966).

[35] J.C. Amar, F.E. Sullivan and R.D. Mountain, Phys. Rev. B 37, 196 (1988).

[36] S.M. Allen and J.W. Cahn, Mechanisms of phase transformations within the miscibility gap of Fe-rich Fe-Al alloys, Acta Metall. 24, 425 (1976).

[37] G. Martin, On the relaxation rate of conserved and non-conserved order parameters in systems with metallurgical relevance, Phys. Rev. B 50, 12362 (1994).

[38] C. Abromeit, Int. J. Modern Phys. B 3, 1301 (1989).

[39] K. Oki, H. Sagane and T. Eguchi, Separation and domain structure of a + B2 phase in Fe-Al alloys, J. de Phys. 38, C7-414 (1977).

[40] H. Tanaka, T. Yokokawa, H. Abe, T. Hayashi and T. Nishi, Transition from metastability to instability in a binary-liquid mixture, Phys. Rev. Lett. 65, 3136

(1990).

[41] H. Tanaka, New coarsening mechanisms for spinodal decomposition having droplet pattern in binary fluid mixture: collision-induced collisions, Phys. Rev. Lett. 72, 1702 (1994).

[42] J.W. Cahn and J.E. Hilliard, Free energy on nonuniform system. Ill Nucleation in a two-component incompressible fluid, J. Chem. Phys. 31, 688 (1959).

[43] K. Oki, S. Matsumura and T. Eguchi, Phase separation and domain structure of iron-based ordering alloys, Phase Transitions 10, 257 (1987).

[44] S. Matsumura, H. Oyama and K. Oki, Dynamical behavior of ordering with phase separation in off-stoichiometric Fe3Si alloys, Mater. Trans. JIM 30, 695 (1989).

[45] J.-W. Park and I.-G. Moon, Age hardening behavior of a hypo-stoichiometric Fe^Al intermetallic compound, Mater. Sci. Eng. A 152, 341 (1992).

[46] A. Korner, Analysis of the evolution of antiphase boundaries in a Fe-Al alloy during in-situ transmission electron microscopy heating, Phil. Mag. Lett. 72, 21 (1995).

[47] L.-Q. Chen, Y. Wang and A.G. Khachaturyan, Thansformation-induced elastic strain effect on the precipitation kinetics of ordered intermetallics, Phil. Mag. Lett. 64, 241

(1991).

[49

[50 [51

[52

[53 [54

[55

[56

[57

[58

[59 [60 [61

V.I. Gorentsveig, P. Fratzl and J.L. Lebowitz, Kinetics of joint ordering and decomposition in binary alloys, Phys. Rev. В 55, 2912 (1997).

C. Frontera, E. Vives, T. Castan and A. Planes, Monte Carlo study of the growth of LU-ordered domains in fee A^B binary alloys, Phys. Rev. В 55, 212 (1997).

M. Nastar, G. Martin and V.Yu. Dobretsov, Phil. Mag. А, в печати.

D.A. Contreras-Solorio, F. Mejia-Lira, J.L. Moran-Lopez and J.M. Sanchez, Modeling of the Fe-Al phase diagram, Phys. Rev. В 38, 481 (1988).

А.Г. Хачатурян, Теория фазовых превращений и структура твердых растворов (Москва: Наука, 1974).

У. Пирсон, Кристаллохимия и физика металлов и сплавов (Москва: Мир, 1977).

A. Finel, V. Mazauric and F. Ducastelle, Theoretical study of antiphase boundaries in fee alloys, Phys. Rev. Lett. 65, 1016 (1990).

M. Karlik, Atomic structure of grown-in antiphase boundaries (APB2) in the Fe-28Al-5Cr (at.%) alloy, Mater. Sci. Eng. A 234-236, 212 (1997).

M. Hasaka M, Ordering and phase separation in the Fe-Al alloy, Trans. JIM 21, 660 (1980).

G. Inden, Ordering and segregation reactions in B.C.C. binary alloys, Acta Metall. 22, 945 (1974).

K. Raviprasad and K. Chattopadhyay, The influence of critical points and structure and micro structural evolution in iron rich Fe-Si alloys, Acta Metall. Mater. 41, 609 (1993).

G. Inden and W. Pitch, Z. Metallk. 62, 627 (1971). J.M. Bell, Physica A 142, 22 (1987).

H.M. Polatoglou, The [001] antiphase boundaries at the order-disorder transition of СщАщ Mater. Sci. Eng. В 37, 177 (1996).

[62] S.V. Beiden and V.G. Vaks, On the significance of local lattice distortions for configurational interactions in substitutional alloys, Phys. Lett. A 163, 209 (1992).

[63] Y. Wang, L.-Q. Chen and A.G. Khachaturyan, Particle translational motion and reverse coarsening phenomena in multiparticle systems induced by a long-range elastic interaction, Phys. Rev. B 46, 11194 (1992).

[64] Y. Wang and A.G. Khachaturyan, Effect of antiphase domains on shape and spatial arrangement of coherent ordered intermetallics, Scripta Metall. Mater. 31, 1425 (1994).

[65] Y. Wang, L.-Q. Chen and A.G. Khachaturyan, Computer simulation of micro structure evolution in coherent solids, in Solid-Solid Phase Transformations, ed. W.C. Johnson et al. (Warrendale: The MMM Society), p. 245 (1994).

[66] T.M. Pollock and A.S. Argon, Directional coarsening in nickel-base single crystals with high volume fractions of coherent precipitates, Acta Metall. Mater. 42, 1859 (1994).

[67] M.C. Payne, P.D. Bristowe and J.D. Joannopoulos, Phys. Rev. Lett. 58, 1348 (1987).