ИЗУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ БРИЗЕРОВ В ГРАФЕНЕ И ГРАФАНЕ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Лобзенко Иван Павлович

• Лобзенко Иван Павлович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Лобзенко Иван Павлович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Концепция дискретных бризеров

1.2 Бризероподобные объекты и квазибризеры

1.3 Дискретные бризеры в физических экспериментах

1.4 Численное моделирование дискретных бризеров

1.5 Численные методы построения точных ДБ

1.6 Движущиеся дискретные бризеры

1.7 Метод функционала плотности

1.8 Выводы

ГЛАВА 2 ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ В ГРАФАНЕ

2.1 АБШГГ-модели

2.2 Исследуемая модель графана

2.3 Простейший метод возбуждения локализованных динамических объектов

2.4 Свойства квазибризеров в графане

2.5 Метод построения машинно-точных бризеров

2.6 Выводы

ГЛАВА 3 ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ В ГРАФЕНЕ

3.1 Исследование фононного спектра графена

в рамках теории функционала плотности

3.2 Возбуждение бризероподобных динамических

объектов в графене

3.3 Свойства щелевых квазибризеров

3.4 Выводы

ГЛАВА 4 ДВИЖУЩИЕСЯ ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ В ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ В КЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

4.1 Свойства бризероподобных движущихся

динамических объектов в цепочках типа К2-К3-К4

4.2 Машинно-точные движущиеся дискретные

бризеры в модели ФПУ-Р

4.3 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ИЗУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ БРИЗЕРОВ В ГРАФЕНЕ И ГРАФАНЕ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ»

Актуальность работы и степень её разработанности.

В настоящее время большой научный интерес представляют исследования различного типа нелинейных явлений. С момента выделения нелинейной динамики в самостоятельное направление естествознания, около полувека назад, в физике получили широкое распространение такие понятия как солитоны, динамический хаос, диссипативные структуры, бризеры и т.д. Важными и активно изучаемыми в наши дни динамическими объектами являются дискретные бризеры (ДБ), существующие исключительно в дискретных упорядоченных нелинейных системах. ДБ являются локализованными в пространстве и периодическими во времени возбуждениями нелинейных гамильтоновых решёток различной физической природы. Важным отличием этих объектов от бризеров в непрерывных системах является то, что они обладают большой структурной устойчивостью по отношению к малым изменениям изучаемой модели.

Начало становления теории ДБ связывают с работой Сиверса и Такено [1], вышедшей в 1988 году. С этого момента ДБ были экспериментально обнаружены в большом числе систем различной физической природы. В первую очередь здесь следует упомянуть макро- и мезоскопические структуры, в которых имеется возможность напрямую проследить за динамикой отдельных элементов (примерами могут служить цепочки контактов Джозефсона [2], массивы оптических волноводов [3], массивы механических микрокантилеверов [4], гранулированные кристаллы [5]). Обнаружение дискретных бризеров в кристаллах представляет собой весьма сложную физическую задачу, и на сегодняшний день об их существовании можно судить лишь по косвенным экспериментальным данным, полученным с помощью таких методов как ИК-поглощение и рамановская спектроскопия, неупругое рассеяние медленных нейтронов на колебаниях кристаллической решётки. В связи с этим, следует упомянуть работы по исследованию локализации энергии в кристаллическом

комплексе, условно называемом PtCl [6], в кристаллах NaI [7,8], в квазиодномерных антиферромагнетиках [9] и в кристаллах a-U [10]. С учетом сложности постановки таких экспериментов при исследовании ДБ в кристаллических структурах, а также в связи с трудностями их чисто теоретического исследования [11,12,13], на первый план выходят методы компьютерного моделирования.

Подавляющее число работ, посвящённых численному моделированию ДБ, выполнены в рамках метода молекулярной динамики (МД) [14]. При этом подходе атомы заменяются материальными точками, взаимодействие между которыми описывается с помощью простых парных потенциалов, типа Морзе, Леннарда-Джонса и K2-K3-K4, или более реалистичных феноменологических потенциалов, примером которых могут служить многочастичные потенциалы Бреннера [15] и AIREBO [16], широко использующиеся для моделирования углеводородов.

Основным недостатком использования традиционных методов молекулярной динамики является то, что результаты такого моделирования могут сильно зависеть от выбора феноменологического потенциала взаимодействия между частицами системы [17]. Особенно этот недостаток может проявиться при исследовании дискретных бризеров, представляющих собой существенно нелинейные динамические объекты, поскольку им отвечают колебания атомов с большими амплитудами. Действительно, все феноменологические потенциалы строятся из того расчёта, чтобы правильно описать линейные свойства исследуемой системы, такие как частоты фононных мод и энергия связи атомов друг с другом.

Альтернативой методам молекулярной динамики являются первопринципные (ab initio) расчёты, основанные на применении квантово-механического подхода. Особенно успешным в этом отношении является подход, основанный на теории функционала плотности (ТФП) [18]. В рамках этой теории были разработаны эффективные и достаточно точные численные методы расчёта многоэлектронных атомных, молекулярных и кристаллических структур. Важным

отличием квантово-механических методов от традиционных методов молекулярной динамики является то, что при описании колебаний атомов автоматически учитывается поляризация их электронных оболочек. С другой стороны, этот эффект является существенным при рассмотрении бризерных колебаний и не может быть учтён в рамках исследования модели материальных точек, взаимодействие которых описывается феноменологическими потенциалами. В свете вышесказанного, проведение первопринципных расчётов на основе теории функционала плотности является весьма актуальной и важной задачей теории ДБ.

Настоящая диссертация посвящена исследованию дискретных бризеров в графене и графане. Эти материалы были открыты лишь в начале нашего века и обладают целым рядом свойств, которые делают их весьма перспективными для использования в самых разнообразных высокотехнологичных областях науки и производства. Возможность практического использования графена и графана обусловлена их уникальными механическими и электронными свойствами [1923]. Исследованию дискретных бризеров в графане с помощью методов молекулярной динамики посвящена работа [24]. В работе [25] с помощью аналогичных методов рассмотрены щелевые бризеры в графене, подвергнутом одноосному растяжению. Обе эти работы выполнены в рамках классической физики. В связи с этим, проведенное в настоящей диссертации исследование дискретных бризеров в графене и графане с помощью методов теории функционала плотности, учитывающей квантово-механическое описание поляризации электронных оболочек атомов, представляется весьма актуальным.

Другой важной задачей теории локализованных возбуждений в кристаллах является исследование возможности существования точных движущихся дискретных бризеров (ДДБ), для создания которых при численном моделировании требуется задание идеального начального профиля этого динамического объекта. Несмотря на то, что точные решения, соответствующие ДДБ, были получены для цепочек типа Ферми-Пасты-Улама из 3 и 4 частиц [26,

27], вопрос о природе движения дискретных бризеров в кристаллических решётках остаётся в значительной степени открытым (см., например, обзор [13]).

На основании приведённых выше актуальных проблем теории дискретных бризеров были сформулированы цели данной работы. Цели и задачи работы:

1. Построить дискретные бризеры в графане и графене в рамках метода функционала плотности и изучить их свойства.

2. Сопоставить результаты анализа найденных бризеров, полученные методом функционала плотности, с известными молекулярно-динамическими расчетами, основанными на феноменологических потенциалах.

3. Разработать методику уточнения начального профиля локализованных в пространстве, но не строго периодических во времени динамических объектов (квазибризеров [28]), с целью построения машинно-точных стационарных дискретных бризеров.

4. Разработать метод построения машинно-точных движущихся дискретных бризеров и осуществить их поиск в цепочках Ферми-Пасты-Улама с достаточно большим числом частиц.

Научная новизна.

- Впервые для изучения щелевых дискретных бризеров в графане и графене использовалась квантово-механическая теория функционала плотности. Принципиально важным является то, что первопринципные расчёты, основанные на этой теории, в отличие от традиционных методов молекулярной динамики, позволяют учесть поляризацию электронных оболочек в процессе атомных колебаний. Показано, что для бризеров в графане применение такого подхода приводит в области больших амплитуд колебаний к качественно отличным результатам, по сравнению с результатами работы [24], полученными методом молекулярной динамики с использованием феноменологического потенциала AIREBO.

- Для щелевых ДБ в графане разработан и успешно апробирован метод уточнения начальных условий их возбуждения, основанный на вычислении степени квазибризерности данного динамического объекта.

- Исследованы движущиеся бризероподобные динамические объекты в цепочках типа К2-К3-К4 различной длины с закреплёнными концами. Предложена целевая функция для оценки близости решения к точному движущемуся дискретному бризеру (ДДБ), и показано отсутствие локальных минимумов этой функции в окрестности такого динамического объекта.

- Разработан программный комплекс для нахождения движущихся дискретных бризеров с заданной степенью точности. В цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периодическими граничными условиями построены машинно-точные ДДБ с различными скоростями движения.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области физики кристаллов и в области нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Разработанные методы могут быть использованы при исследовании дискретных бризеров в кристаллических структурах различных типов. Свойства дискретных бризеров, рассчитанные в данной работе с помощью надёжных и достаточно точных методов теории функционала плотности, могут применяться для верификации феноменологических потенциалов, использующихся в молекулярной динамике. Положения, выносимые на защиту:

1. На основе квантово-механической теории функционала плотности показано существование щелевых дискретных бризеров в графане и однородно деформированном графене.

2. В рамках теории функционала плотности развит метод уточнения начальных условий для возбуждения дискретных бризеров. Предложенный метод применён для улучшения синхронизации колебаний атомов бризера с частотой, находящейся в щели фононного спектра графана.

3. Для произвольных цепочечных моделей развит численный метод построения машинно-точных движущихся дискретных бризеров (ДДБ) на основе минимизации целевой функции, определяющей точность воспроизведения профиля бризера через заданный временной интервал (период ДДБ).

4. На основе разработанных методов для цепочек типа Ферми-Пасты-Улама-Р различной длины построены точные движущиеся дискретные бризеры с разными скоростями движения.

Методы исследования и достоверность результатов

Проведённые в диссертации первопринципные расчёты осуществлены с помощью программного пакета ABINIT, который является одной из самых распространённых в настоящее время реализаций методов теории функционала плотности. Автором также были использованы разнообразные численные методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается надёжностью вышеуказанных методов и согласием полученных автором результатов с литературными данными в тех случаях, когда такое сравнение было возможно провести. Апробация результатов.

Результаты исследований были представлены на следующих международных и всероссийских конференциях:

- «The International Symposium on Atomistic Modeling for Mechanics and Multiphysics of Materials» ISAM4 (Япония, Токио, 2013);

- «International Conference on Nonlinear Dynamics» ND-KhPI2013 (Украина, Севастополь, 2013);

- «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Россия, Уфа,

2014);

- XIII Международная школа-семинар «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» ЭДС - 2014 (Россия, Барнаул, 2014).

Личный вклад автора.

Все численные эксперименты, результаты которых представлены в диссертации, подготовлены и проведены лично автором. Им же были разработаны программы оптимизации профилей стационарных и движущихся дискретных бризеров. Постановка задач и анализ полученных результатов проводились совместно с научным руководителем. Основные положения и выводы диссертационной работы сформулированы автором. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 4 статьи в рецензируемых физических журналах, рекомендованных ВАК РФ, причём одна из них - в журнале Physical Review B, индексируемом в Web of Science и Scopus. Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 122 страницы, в том числе 54 рисунка и 4 таблицы. Список литературы насчитывает 107 наименований. Содержание работы по главам.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации. Кратко изложены последние результаты по наблюдению дискретных бризеров в реальных физических экспериментах. Подробно рассмотрены методы изучения бризеров с помощью численного моделирования. Показана необходимость изучения ДБ в кристаллах с помощью численных методов, основанных на теории функционала плотности, а также исследования точных движущихся дискретных бризеров в цепочечных моделях.

Во второй главе рассматриваются свойства дискретных бризеров в модели графана - полностью гидрогенизированного графена. Результаты, приведённые в этой главе, получены с помощью численного моделирования на основе метода функционала плотности. Получена зависимость частоты бризеров от их амплитуды ш(Л), вид которой резко отличается от ранее полученной функции ю(Л) для бризеров в графане в рамках метода молекулярной динамики [24]. Предложен способ уточнения профиля бризера для получения более

синхронизированных колебаний атомов системы, заключающийся в применении метода спуска (симплекс-метода Нелдера-Мида [29]) для минимизации некоторой функции невязки. Эта функция строится на основе оценки квазибризерности колебаний, а её глобальный минимум соответствует точному бризерному решению.

В третьей главе обсуждаются свойства дискретных бризеров, полученных с помощью ab initio расчётов на основе метода функционала плотности, в однослойном растянутом графене. В силу того, что для моделирования используются достаточно маленькие расчётные ячейки с наложенными на них периодическими граничными условиями, фактически рассматриваются кластеры регулярно расположенных дискретных бризеров, существование которых было ранее показано с помощью МД моделирования [30].

В четвёртой главе обсуждаются движущиеся дискретные бризеры (ДДБ) в классических моделях моноатомных цепочек с парным потенциалом межчастичного взаимодействия. Для цепочек с закреплёнными концами, состоящих из N=100 частиц, исследована зависимость скорости движения бризера от коэффициента нелинейности. Обсуждается существенное отличие роли «хвостов» в случае стационарного и движущегося бризеров. Для цепочек Ферми-Пасты-Улама-Р с помощью функции невязки, построенной на основе определения ДДБ, методами спуска получены машинно-точные движущиеся дискретные бризеры в цепочках различной длины (при N<20). Показано отсутствие локальных минимумов в окрестности точного решения, соответствующего движущемуся бризеру, которые могли бы затруднять нахождение ДДБ с помощью методов спуска.

ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Концепция дискретных бризеров

Концепция дискретных бризеров (ДБ) является одной из основополагающих для современной нелинейной физики. В литературе для этих динамических объектов часто используется также термин внутренние локализованные моды (intrinsic localized modes), а изредка их называют даже дискретными солитонами. Согласно общепринятому определению, дискретным бризером называется локализованное в пространстве и периодическое во времени возбуждение однородной гамильтоновой решётки. Первые упоминания подобных динамических объектов в дискретных нелинейных системах появились достаточно давно: А.А. Овчинников в своей работе [31] показал возможность существования долгоживущих локализованных решений в модели двух связанных осцилляторов в классическом и квантовом случае. Изучению локализованных колебаний в дискретных моделях посвящена также статья 1986 года А.С. Долгова [32]. Однако отправной точкой возникновения теории ДБ принято считать работу A. Сиверса и С. Такено [1], которая послужила толчком для поиска строгого математического обоснования возможности существования дискретных бризеров как точных решений нелинейных уравнений, описывающих динамику гамильтоновых решёток. Такое доказательство было получено С. Обри и Р. Маккаем в работе [33] для случая цепочки слабо связанных нелинейных осцилляторов. Одним из важных следствий данного доказательства является то, что для существования бризера необходимо несовпадение его частоты (и кратных ей) ни с одной из частот фононного спектра исследуемой системы. В противном

случае возникает резонанс, в результате которого энергия переходит из дискретного бризера в делокализованные фононные моды.

Локализация энергии в области стационарного бризера означает, что один или несколько осцилляторов (частиц решётки) колеблются с существенно большей амплитудой, чем все остальные осцилляторы. Говорят, что они образуют «ядро» бризера. По мере удаления от ядра, амплитуды колебаний спадают (часто по экспоненциальному закону), и из таких слабо колеблющихся осцилляторов формируется «хвост» бризера.

В линейном приближении возможна локализация энергии на дефектах кристаллических решёток. Это явление связано с тем, что частоты колебаний примесных атомов могут существенно отличаться от частот колебаний остальных атомов системы. Возникающие линейные локализованные моды имеют частоты, находящиеся вне пределов фононного спектра кристалла.

В случае нелинейности кристалла локализация энергии может иметь место при достаточно больших амплитудах колебаний, для которых частота становится зависящей от амплитуды (что является основным отличием нелинейных колебаний от линейных). Механизм такой локализации можно объяснить следующим образом. Если некоторый атом имеет гораздо большую амплитуду по сравнению со своими соседями, то его частота может существенным образом отличаться от их частот, в силу чего такой атом является аналогом примеси в нелинейной однородной решётке. Требование отсутствия резонанса бризерных колебаний с делокализованными модами приводит к тому, что частота ДБ должна находиться в щелях фононного спектра или вне его.

Таким образом, для существования и устойчивости ДБ важными являются свойства дискретности и нелинейности исследуемой системы: первое обеспечивает ограниченность фононного спектра, а второе позволяет получать динамические объекты с частотой, не совпадающей с частотами линейных мод.

Нетривиальным свойством точного ДБ является совпадение частот всех вовлечённых в бризерное колебание атомов, несмотря на их существенно различные амплитуды вследствие пространственной локализации бризера. Это

свойство дискретных бризеров означает точную синхронизацию колебаний атомов кристаллической решётки. Проиллюстрируем вышесказанное на примере цепочки слабосвязанных осцилляторов (подробно такая система рассмотрена в [34]). Выведем из состояния равновесия только один из осцилляторов, который будем называть «центральным». В отсутствии взаимодействия со своими соседями он будет совершать колебания с собственной частотой ю0. При наличии же слабой связи возбуждение от него передаётся соседям, причём колебания последних можно описать как сумму вкладов, отдельные члены которой имеют разные частоты. Среди них есть как те, которые соответствуют вынужденным колебаниям с частотой ю0 (за счёт взаимодействия с центральным осциллятором), так и слагаемые, отвечающие собственным частотам ю колебаний периферийных осцилляторов (ю * ю0 в силу различия амплитуд их колебаний). Для того чтобы ДБ был строго периодическим во времени динамическим объектом с частотой ю0, необходима очень точная настройка начальных условий (выбор профиля ДБ) при решении задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих динамику решётки. Такая настройка производится с целью зануления коэффициентов при всех членах, имеющих частоты, отличные от ю0. Таким образом, точный дискретный бризер возникает в системе лишь тогда, когда реализуется «идеальный» профиль отклонений частиц из своих положений равновесия.

В зависимости от симметрийных свойств формы профиля начальных смещений можно выделить несколько типов дискретных бризеров. Так, для случая ДБ в цепочке связанных осцилляторов существует два типа локализованных нелинейных мод: симметричная (или мода Сиверса-Такено) и антисимметричная (мода Пейджа) (см. Рис. 1.1). Существенным отличием этих мод друг от друга является то, что центр симметричного дискретного бризера находится на одном из узлов цепочки, тогда как центр антисимметричного -между двумя узлами. В двумерной решётке существует гораздо больше типов симметрийно-обусловленных ДБ, которые были исследованы в работе [35].

Анализ свойств симметрии системы позволяет также сильно упростить исследование устойчивости дискретных бризеров. Так, в работе [36] для ДБ в двумерных решётках был использован теоретико-групповой метод упрощения анализа устойчивости динамических объектов, разработанный в [37].

симметричный ДБ антисимметричный ДБ

Рисунок 1.1 - Мгновенный профиль смещений частиц симметричного (а) и антисимметричного (б) дискретных бризеров

1.2. Бризероподобные объекты и квазибризеры

Очевидно, в реальных физических экспериментах невозможно организовать отклонения частиц системы в соответствии с идеальным профилем бризера. Поэтому часто локализованные в пространстве, но не строго периодические динамические объекты называют бризероподобными. Колебания частиц в таком случае не полностью синхронизированы между собой.

В работе [28] развита концепция квазибризеров - динамических объектов, возникающих при решении задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями, немного отличающимися от тех, которые соответствуют точным ДБ. В процессе квазибризерного колебания частицы осциллируют с близкими, но не

идентичными частотами. Оказывается, что в таком случае частота отдельно взятой частицы «дрейфует» во времени вокруг некоторого среднего значения. В результате, Фурье-спектр квазибризера содержит несколько размытых пиков, соответствующих основной и кратным частотам «идеального» бризера, а также пик в районе нулевой частоты. В связи с этим можно ввести коэффициент квазибризерности, определяющий величину отклонения частот отдельных частиц, рассчитанных на данном временном интервале, от средней частоты колебаний:

У

2 % (т)-т )2

N (N -1)

где ¿о (т) - средняя частота колебаний всех частиц на данном временном интервале т, N - количество частиц в системе. Согласно вышеприведённой формуле, для точного ДБ = 0 для любого интервала времени. Особенностью представленного коэффициента квазибризерности является возможность использовать его для оценки того, насколько данный динамический объект отличается от точного бризера даже в том случае, если «идеальное» бризерное решение неизвестно.

Следует отметить, что в подавляющем большинстве публикаций, посвящённых исследованию дискретных бризеров, речь идёт именно о квазибризерах.

1.3. Дискретные бризеры в физических экспериментах

Для существования ДБ необходимо лишь свойство дискретности и нелинейности исследуемой системы. Это делает бризеры объектами, встречающимися в широком классе систем различной физической природы.

Прямые подтверждения локализации энергии могут быть получены при исследовании мезоскопических систем. Например, дискретные бризеры были обнаружены в цепочке из нескольких контактов Джозефсона [2,38,39]. При пропускании по цепочке слабого постоянного тока все контакты находятся в сверхпроводящем состоянии, а в случае больших токов все они переходят в резистивное состояние. При промежуточных же значениях тока происходит локализация резистивного состояния лишь на некоторых контактах.

В массивах оптических волноводов, где нелинейность возникает из-за эффекта Керра (зависимости показателя преломления от интенсивности светового импульса), также можно наблюдать локализацию энергии. Так, авторы работ [3,40] обнаружили, что исходный импульс, направляемый в один из 60 волноводов, расположенных в одной плоскости на равном удалении друг от друга (при этом свет может распространяться между волноводами) при достаточно больших значениях его энергии, не распределяется равномерно по всей оптической системе, а остаётся локализованным в области трёх волноводов.

В работе [41] наблюдались локализованные состояния (которые авторы называют «дискретными солитонами») при распространении световых лучей большой интенсивности в оптически-индуцированных решётках, образованных за счёт интерференции лазерных пучков. Оптические решётки способны удерживать Бозе-Эйнштейновский конденсат между своими узлами, что позволяет наблюдать в них локализованные состояния такого конденсата [42].

Массивы микрокантилеверов (длинных тонких прямоугольных мембран с длиной около 200 нм), закреплённых на общей подложке, используются в настоящее время как сенсоры в ряде измерительных устройств. В таких системах с помощью лазерного микроскопа можно наблюдать колебания, локализованные на отдельных микрокантилеверах (см. обзорную работу [4]).

В работах [5, 43] изучались ДБ в одномерных гранулированных кристаллах - цепочках из плотно прижатых друг к другу алюминиевых и стальных сфер.

Гораздо сложнее найти подтверждение существования дискретных бризеров в кристаллах из-за невозможности непосредственного наблюдения движения

отдельных атомов. В связи с этим, о локализации колебаний в кристаллической решётке можно судить лишь по косвенным признакам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лобзенко Иван Павлович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sievers, A. J. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals / A. J. Sievers, S. Takeno // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 61. - P. 970-973.

2. Trias, E. Discrete breathers in nonlinear lattices: Experimental detection in a Josephson array / E. Trias, J. J. Mazo, T. P. Orlando // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - P. 741-744.

3. Morandotti, R. Dynamics of discrete solitons in optical waveguide arrays / R. Morandotti, U. Peschel, J. S. Aitchison, H. S. Eisenberg, Y. Silberberg // Phys. Rev. Lett. - 1999 - V. 83. - P. 2726-2729.

4. Sato, M. Nonlinear energy localization and its manipulation in micromechanical oscillator arrays / M. Sato, B.E. Hubbard, A. T. Sievers // Rev. Mod. Phys. - 2006. -V. 78. - P. 137-157.

5. Boechler, N. Discrete breathers in one-dimensional diatomic granular crystals / N. Boechler, G. Theocharis, S. Job, P. G. Kevrekidis, M. A. Porter, C. Daraio // Phys. Rev. Lett. - 2010. - V. 104. - P. 244302-4.

6. Swanson, B. I. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low-dimensional material / B. I. Swanson, J. A. Brozik, S. P. Love, G. F. Strouse, A. P. Shreve, A. R. Bishop, W.-Z. Wang // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 82. - P. 3288-3291.

7. Manley, M. E. Intrinsic Localized Modes Observed in the High Temperature Vibrational Spectrum of Nal / M. E. Manley, A. J. Sievers, J. W. Lynn, S. A. Kiselev, N. I. Agladze, Y. Chen, A. Llobet, A. Alatas // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 79. - P. 134304-5.

8. Manley, M. E. Symmetry breaking dynamical pattern and localization observed in the equilibrium vibrational spectrum of NaI / M. E. Manley, D. L. Abernathy, N. I. Agladze, A. J. Sievers // Scientific Rep. - 2011. - V. 01. - P. 1-6.

9. Schwarz, U. T. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet / U. T. Schwarz, L. Q. English, A. J. Sievers // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 83. - P. 223-226.

10. Manley, M. E. Formation of a New Dynamical Mode in а-Uranium Observed by Inelastic X-Ray and Neutron Scattering by x-ray and neutron scattering / M. E. Manley, M. Yethiraj, H. Sinn, H. M. Volz, A. Alatas, J. C. Lashley, W. L. Hults, G. H. Lander, and J. L. Smith // Phys. Rev. Lett. - 2006. - V. 96. - P. 125501.

11. Aubry, S. Breathers in nonlinear lattices: existence, linear stability and quantization / S. Aubry // Physica D. - 1997. - V. 103. - P. 201-250.

12. Aubry, S. Discrete breathers: localization and transfer of energy in discrete Hamiltonian nonlinear systems / S. Aubry // Physica D. - 2006. - V. 216. - P. 1-30.

13. Flach, S. Discrete breathers: advances in theory and applications / S. Flach, A. Gorbach // Phys. Rep. - 2007. - V. 467. - P. 1-116.

14. Холмуродов, Х. Т. Методы молекулярной динамики для моделирования физических и биологических процессов / Х. Т. Холмуродов, М. В. Алтайский, И. В. Пузынин, Т. Дардин, Ф. П. Филатов // Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра. - 2003. - Т. 34. - C. 472-515.

15. Brenner, D. W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films / Donald W. Brenner // Phys. Rev. B. -1990. - V. 42 - P.15.

16. Stuart, S. J. A reactive potential for hydrocarbons with intermolecular interactions / S. J. Stuart, A. B. Tutein, and J. A. Harrison // J. Chem. Phys. - 2000. - V. 112 -P. 6472.

17. Voulgarakis, N. K. Computational investigation of intrinsic localization in crystalline Si / N. K. Voulgarakis, G. Hadjisavvas, P. C. Kelires, G. P. Tsironis // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 69. - P. 113201.

18. Kohn, W. Nobel Lecture / W. Kohn // Rev. Mod. Phys. - 1999. - V. 71 - P. 1253.

19. Geim, A. The rise of graphene / A. Geim, K. Novoselov // Nat. Mater. - 2007. -V. 6. - P. 183-191.

20. Sofo, J. O. Graphane: A two-dimensional hydrocarbon / J. O. Sofo, A. S. Chaudhari, and G. D. Barber // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 75 - P. 153401.

21. Boukhvalov, D. W. Hydrogen on graphene: Electronic structure, total energy, structural distortions and magnetism from first-principles calculations / D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 77. - P. 035427.

22. Elias, D. C. Control of graphene's properties by reversible hydrogenation: evidence for graphene / D. C. Elias, R. R. Nair, T. M. G. Mohiuddin, S. V. Morozov, P. Blake, M. P. Halsall, A. C. Ferrari, D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, A. K. Geim, and K. S. Novoselov // Science. - 2009. - V. 323. - P. 610-613.

23. Tozzini, V. Prospects for hydrogen storage in graphene / V. Tozzini, V. Pellegrini // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2013. - V. 15. - P. 80-89.

24. Liu, B. Discrete breathers in hydrogenated graphene / B. Liu, J. A. Baimova, S. V. Dmitriev, X. Wang, H. Zhu, and K. Zhou // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2013. - V. 46. - P. 305302.

25. Doi, Y. Numerical Study on Unstable Perturbation of Intrinsic Localized Modes in Graphene / Yusuke Doi and Akihiro Nakatani // JSME Int. J. A-Solid M. - 2012. -V. 6. - P. 71-80.

26. Feng, B.Intrinsic localized modes in a three particle Fermi-Pasta-Ulam lattice with on-site harmonic potential / Bao-Feng Feng, Youn-Sha Chan // Math. Comput. Simulat. - 2007. - V. 74. - P. 292-301.

27. Doi, Y. Translational Asymmetry Controlled Lattice and Numerical Method for Moving Discrete Breather in Four Particle System / Yusuke Doi, Kazuyuki Yoshimura //J. Phys. Soc. Jpn. - 2009 - V. 78. - P. 034401-9.

28. Chechin, G. M. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers / G. M. Chechin, G. S. Dzhelauhova, E. A. Mehonoshina // Phys. Rev. E. -2006. - V. 74. - P. 36608-15.

29. Nelder, J. A. A Simplex Method for Function Minimization / J. A. Nelder and R. Mead // Comput. J. - 1965. - V. 7. - P. 308.

30. Baimova, J. A. Discrete breather clusters in strained graphene / J. A. Baimova, S. V. Dmitriev, K. Zhou // Europhys. Lett. - 2012. - V. 100. - P. 36005.

31. Овчинников, А. А. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах / А. А. Овчинников // ЖЭТФ. - 1969. - Т. 51. - C. 263-270.

32. Долгов, А. С. Локализация колебаний в нелинейной кристаллической структуре / Долгов А. С. // ФТТ. - 1986. - Т. 28. - С. 1641-1644.

33. MacKay, R. S. Proof of Existence of Breathers for Time Reversible or Hamiltonian Networks of Weakly Coupled Oscillators / R. S. MacKay, S. Aubry // Nonlinearity. -1994. - V. 7. - P. 1623-1643.

34. Chechin, G. M. Discrete breathers and nonlinear normal modes in monoatomic chains / G. M. Chechin, G. S. Dzhelauhova // J. Sound Vib. - 2009. - V. 322. -P. 490-512.

35. Bezuglova, G. S. Discrete breathers on symmetry-determined invariant manifolds for scalar models on the plane square lattice / G. S. Bezuglova, G. M. Chechin, P. P. Goncharov // Phys. Rev. E. - 2011. - V. 84. - P. 036606.

36. Безуглова, Г. С. Компьютерное моделирование дискретных бризеров в скалярных моделях на одномерных и двумерных нелинейных гамильтоновых решётках / Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. // 2012.

37. Chechin, G. M. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries / G. M. Chechin, K. G. Zhukov // Phys. Rev. E. - 2006. - V. 73.

- P. 036216-17.

38. Floria, L. M. Energy localisation in the dynamics of the Josephson-junction ladder / L. M. Floria, J. L. Marin, P. J. Martinez, F. Falo, S. Aubry // Europhys. Lett. - 1996.

- V. 36. - P. 539-544.

39. Binder, P. Observation of breathers in Josephson ladders / P. Binder, D. Abraimov, A. V. Ustinov, S. Flach, Y. Zolotaryuk // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - P. 745748.

40. Eisenberg, H. S. Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays / H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, J. S. Aitchison // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 81. - P. 3383-3386.

41. Fleischer, J. W. Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices / J. W. Fleischer, M. Segev, N. K. Efremidis, D. N. Christodoulides // Nature. - 2003. - V. 422. - P. 147-150.

42. Eiermann, B. Bright Bose-einstein gap solitons of atoms with repulsive interaction / B. Eiermann, Th. Anker, M. Albiez, M. Taglieber, P. Treutlein, K.-P. Marzlin, M. K. Oberthaler // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 92. - P. 230401-4.

43. Theocharis, G. Localized Breathing Modes in Granular Crystals with Defects / G. Theocharis, M. Kavousanakis, P. G. Kevrekidis, C. Daraio, M. A. Porter, I. G. Kevrekidis // Phys. Rev. E. - 2009. - V. 80. - P. 066601-11.

44. Kladko, K. Intrinsic localizedmodes in the charge transfer solid PtCl / K. Kladko, J. Malek, A. R. Bishop // J. Phys. Condens. Mat. - 1999. - V. 11. - P. L415-L422.

45. Vulgarakis, N. K. Multiquanta breather model for PtCl / N. K. Vulgarakis, G. Kalosakas, A. R. Bishop, G. P. Tsironis // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 64. -P. 020301-4.

46. Schwarz, U. T. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet / U. T. Schwarz, L.Q. English, A. J. Sievers // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 83. - P. 223-226.

47. Manley, M. E. Intrinsic nature of thermally activated dynamical modes in a-U: Nonequilibrium mode creation / Michael E. Manley, Ahmet Alatas, Frans Trouw, Bogdan M. Leu, Jeffrey W. Lynn, Ying Chen, and W. Larry Hults // Phys. Rev. B. -2008. - V. 77. - P. 214305.

48. Sievers, A. J. Thermally populated intrinsic localized modes in pure alkali halide crystals / A. J. Sievers, M. Sato, J. B. Page, and T. Rössler // Phys. Rev. B. - 2013. -V. 88 - P. 104305.

49. Kiselev, S. A. Generation of intrinsic vibrational gap modes in three-dimensional ionic crystals / S. A. Kiselev, A. J. Sievers // Phys. Rev. B. - 1997. - V.55. - P. 5755.

50. Khadeeva, L.Z. Discrete breathers in crystals with NaCl structure / L. Z. Khadeeva, S. V. Dmitriev // Phys. Rev. B. - 2010. - V.81. - P. 214306.

51. Haas, M. Prediction of high-frequency intrinsic localized modes in Ni and Nb / M. Haas, V. Hizhnyakov, A. Shelkan, M. Klopov, A. J. Sievers // Phys. Rev. B. -2011. - V.84. - P. 144303.

52. Медведев, Н. Н. О локализации энергии нелинейных и линейных колебаний атомов в модельной ристаллической решетке состава А3В / Н. Н. Медведев, М. Д. Старостенков, П. В. Захаров, А. В. Маркидонов // Письма о материалах. -2013. - Т. 3. - C. 34-37.

53. Кистанов А. А. Взаимодействие движущихся дискретных бризеров в ГПУ металле Mg / А. А. Кистанов, А. С. Семенов, Р. Т. Мурзаев, С. В. Дмитриев // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. - Т. 11. -С. 572.

54. Кистанов, А. А. Неподвижные и движущиеся дискретные бризеры в ГПУ металле Со / А. А. Кистанов, А. С. Семенов, Р. Т. Мурзаев, С. В. Дмитриев // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. - Т. 11. -№3. - С. 322.

55. Kistanov, A. A. Head-on and head-off collisions of discrete breathers in two-dimensional anharmonic crystal lattices / A. A. Kistanov, S. V. Dmitriev, A. P. Chetverikov, M. G. Velarde // Eur. Phys. J. B. - 2014. - V. 87. - P. 211.

56. Kiselev, S. A. Anharmonic gap modes in a perfect one-dimensional diatomic lattice for standard two-body nearest-neighbor potentials / S. A. Kiselev, S. R. Bickham, and

A. J. Sievers // Phys. Rev. B. - 1993. - P. 13508-13512.

57. Кистанов, А. А. Движущиеся дискретные бризеры в моноатомном двумерном кристалле / А. А. Кистанов, Р. Т. Мурзаев, С. В. Дмитриев, В. И. Дубинко,

B. В. Хижняков // Письма в ЖЭТФ. - 2014. - Т. 99. - С. 403-408.

58. Baimova, J. A. Discrete Breather Clusters in Strained Graphene / J. A. Baimova, S. V. Dmitriev, K. Zhou // EPL. - 2012. - V. 100. - P. 36005-36011.

59. Savin, A. V. Suppression of thermal conductivity in graphene nanoribbons with rough edges / A. V. Savin, Yu. S. Kivshar and B. Hu // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 82. - P. 195422-195431.

60. Korznikova, E. A. Discrete Breather on the Edge of the Graphene Sheet with the Armchair Orientation / E. A. Korznikova, A. V. Savin, Yu. A. Baimova, S. V. Dmitriev, and R. R. Mulyukov // JETP Letters. - 2012. - V. 96. - P. 222-226.

61. Henon, M. Integrals of the Toda lattice / M. Henon // Phys. Rev. B. - 1974. - V. 9. - P.1921.

62. Ablowitz, M. J. Nonlinear differential-difference equations / M. J. Ablowitz, J. F. Ladik // J. of Math. Phys. - 1975. - V. 16. - P. 598-603.

63. Burlakov, V. M. Computer simulation of intrinsic localized modes in one-dimensional ant two-dimensional anharmonic lattices / V. M. Burlakov, S. A. Kiselev, V. N. Pyrkov // Phys. Rev. B. - 1990. - V. 42 - P. 4921.

64. Takeno, S. Intrinsic localized vibrational modes in anharmonic crystals / S. Takeno, K. Kisoda, A.J. Sievers // Prog. Theor. Phys. Supp. - 1988. - V. 94. - P. 242-269.

65. Flach, S. Discrete Breathers / S. Flach, C.R. Willis // Phys. Rep. - 1998. - V. 295. -P. 181-264.

66. Marin, J. L. Breathers in nonlinear lattices: Numerical calculation. from the anticontinuous limit / J. L. Marin, S. Aubry // Nonlinearity. - 1998. - V. 9. - P. 15011528.

67. Yoshimura, K. Moving discrete breathers in nonlinear lattice: Resonance and stability / Kazuyuki Yoshimura, Yusuke Doi. // Wave Motion. - 2007. - V. 45. -P. 83-99.

68. Aubry, S. Mobility and reactivity of discrete breathers / Serge Aubry, Thierry Cretegny // Phys. D. - 1998. - V. 119 - P. 34-46.

69. Gomez-Gardenes, J. Mobile localization in nonlinear Schrodinger lattices / J.Gomez-Gardenes , F.Falo, L.M. Floria // Phys. Lett. A. - 2004. - V. 332 -P. 213-219.

70. Киттель, Ч. Квантовая теория твердых тел / Ч. Киттель // М.:«Наука». - 1967.

71. Hartree, D. R. The wavemechanics of an atom with a non-Coulomb central field / D. R. Hartree // Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1928. - V. 24 - P. 89-132.

72. Фок, В. А. Приближенный способ решения квантовой задачи многих тел // УФН. - 1967. - В. 10. - Т. 93. Перепечатка статьи Fock V. Naherungsmethode zur

Losing des quanlenmechanischen Mehrkorperproblems / V. Fock // Z. Phys. - 1930.

- V. 61 - P. 126-148.

73. Hohenberg, P. Inhomogeneous Electron Gas / P. Hohenberg, W. Kohn.// Phys. Rev. A. - 1964. - V. 136 - P. B864.

74. Levy, M. Electron densities in search of Hamiltonians / Mel Levy // Phys. Rev. A. -1982. - V. 26 - P. 1200.

75. Kohn, W. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects / Walter Kohn, Lu Jeu Sham// Phys. Rev. - 1965. - V. 140 - P. A1133-A1138.

76. Chechin, G.M. Properties of discrete breathers in graphane from ab initio simulations / G.M. Chechin, S.V. Dmitriev, I.P. Lobzenko, D.S. Ryabov // Phis. Rev. B. - 2014. - V. 90 - P. 045432-6.

77. Chechin, G. M. Ab initio refining of quasibreathers in graphane / G. M. Chechin, I. P. Lobzenko // Letters on materials. - 2014. - V. 4(4) - P. 226-229.

78. Лобзенко, И.П. Изучение влияния поляризации электронных оболочек на динамические свойства сильно локализованных дискретных бризеров в графане: численное моделирование с использованием теории функционала плотности / И.П. Лобзенко // В сборнике трудов конференции Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы, Уфа. - 2014, C. 157.

79. Лобзенко, И.П. Ab-initio расчёты дискретных бризеров в графане / И.П. Лобзенко // Тез. докл. XIII Международной школа-семинара «эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (ЭДС - 2014), г. Барнаул. -2014, С. 15.

80. The ABINIT code is a common project of the Université Catholique de Louvain, Corning Incorporated, and other contributors (URL http://www. abinit.org).

81. Bottin, F. Large scale ab initio calculations based on three levels of parallelization / F. Bottin, S. Leroux, A. Knyazev, G. Zerah // Comput. Mat. Science. - 2008. - V. 42.

- P. 329.

82. Gonze, X. ABINIT: First-principles approach to material and nanosystem properties / X. Gonze, B. Amadon, P. M. Anglade, J.-M. Beuken, F. Bottin, P. Boulanger, F. Bruneval, D. Caliste, R. Caracas, M. Cote, T. Deutsch, L. Genovese, Ph. Ghosez,

M. Giantomassi, S. Goedecker, D. Hamann, P. Hermet, F. Jollet, G. Jomard, S. Leroux, M. Mancini, S. Mazevet, M. J. T. Oliveira, G. Onida, Y. Pouillon, T. Rangel, G.-M. Rignanese, D. Sangalli, R. Shaltaf, M. Torrent, M. J. Verstraete, G. Zerah, J. W. Zwanziger // Comput. Phys. Commun. - 2009. - V. 180. -P. 2582-2615.

83. Gonze, X. A brief introduction to the ABINIT software package / X. Gonze, G.-M. Rignanese, M. Verstraete, J.-M. Beuken, Y. Pouillon, R. Caracas, F. Jollet, M. Torrent, G. Zerah, M. Mikami, Ph. Ghosez, M. Veithen, J.-Y. Raty, V. Olevano, F. Bruneval, L. Reining, R. Godby, G. Onida, D.R. Hamann, and D.C. Allan // Z. Kristallogr. - 2005. - V. 220. - P. 558-562.

84. Gonze, X. First-principles computation of material properties: the ABINIT software project / X. Gonze, J.-M. Beuken, R. Caracas, F. Detraux, M. Fuchs, G.-M. Rignanese, L. Sindic, M. Verstraete, G. Zerah, F. Jollet, M. Torrent, A. Roy, M. Mikami, Ph. Ghosez, J.-Y. Raty, D. C. Allan // Com. Mat. Sci. - 2002. - V. 25 -P. 478-492.

85. Bussmann-Holder, A. Inhomogeneity, local mode formation, and the breakdown of the Bloch theorem in complex charge transfer systems as a consequence of discrete breather formation / A. Bussmann-Holder, A. R. Bishop // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 184303-184312.

86. Baskin, Y. Lattice Constants of Graphite at Low Temperatures / Y. Baskin and L. Meyer // Phys. Rev. - 1955. - V. 100. - P. 544.

87. Plimpton, S. Fast parallel algorithms for short-range molecular-dynamics / S. Plimpton // J. Comput. Phys. - 1995. - V. 117. - P. 1-19.

88. Allen, M. P. Computer Simulation of Liquids / M. P. Allen, D. J. Tildesley // Clarendon Press, Oxford. - 1987.

89. Blanksby, S.J. Bond Dissociation Energies of Organic Molecules / S. J. Blanksby and G. B. Ellison // Accounts Chem. Res. - 2003. - V. 36 - P. 255.

90. Баимова, Ю.А. Двумерные кластеры Дискретных бризеров в графене / Ю. А. Баимова, А. Б. Ямилова, И. П. Лобзенко, С. В. Дмитриев, Г. М. Чечин //

Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. -Т.11(4/2). - С. 599-604.

91. Castro Neto, A. H. The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim // Rev. Mod. Phys. -2009. - V. 81. - P. 109-162.

92. Pickett, W. E. Pseudopotential methods in condensed matter applications / W. E. Pickett // Comput. Phys. Rep. - 1989. - V. 9 - P. 115.

93. Blochl, P. E. Projector augmented-wave method / P. E. Blohl // Phys. Rev. B. -1994. - V. 50. - P. 17953-17979.

94. Gonze, X. First-principles responses of solids to atomic displacements and homogeneous electric fields: Implementation of a conjugate-gradient algorithm / X. Gonze // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - P. 10337.

95. Gonze, X. Dynamical matrices, Born effective charges, dielectric permittivity tensors, and interatomic force constants from density-functional perturbation theory / X. Gonze and C. Lee // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - P. 10355.

96. Kiselev, S. A. Generation of intrinsic vibrational gap modes in three-dimensional ionic crystals / S. A. Kiselev and A. J. Sievers // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55 -P. 5755.

97. Дмитриев, С. В. Локализованные колебательные моды в бездефектном двумерном кристалле состава А3В / С. В. Дмитриев, Н. Н. Медведев, Р. Р. Мулюков, О. А. Пожидаева, А. И. Потекаев, М. Д. Старостенков // Известия вузов. Физика. - 2008. - Т. 51 - С. 73-79.

98. Dmitriev, S. V. Anti-Fermi-Pasta-Ulam energy recursion in diatomic lattices at low energy densities / S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, A. I. Pshenichnyuk, L. Z. Khadeeva, A. M. Iskandarov, Yu. S. Kivshar. // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80. - P. 094302-9.

99. Дмитриев, С. В. Динамические длиннопериодические наноразмерные состояния в решетчатой структуре / С. В. Дмитриев, А. А. Назаров, А. И. Потекаев, А. И. Пшеничнюк, Л. З. Хадеева // Изв. вузов. Физика. - 2009. -Т. 52. - С. 21-26.

100. Khadeeva, L. Z. Discrete breathers in crystals with NaCl structure / L. Z. Khadeeva, S. V. Dmitriev // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 81. - Р. 214306-8.

101. Дмитриев, С. В. Щелевые дискретные бризеры в двухкомпонентном трехмерном и двумерном кристалле с межатомным потенциалом Морзе / С. В. Дмитриев, Л. З. Хадеева, А. И. Пшеничнюк, Н. Н. Медведев // ФТТ. -2010. - Т. 52 - С. 1398-1403.

102. Дмитриев, С. В. Влияние упругой деформации на фононный спектр и на характеристики щелевых дискретных бризеров в кристалле со структурой NaCl / С. В. Дмитриев, Ю. А. Баимова // Письма в ЖТФ. - 2011. - Т.37 - С.13.

103. Медведев, М. Д. Локализованные колебательные моды в двумерной модели упорядоченного сплава Pt3Al / Н. Н. Медведев, М. Д. Старостенков, П. В. Захаров, О. В. Пожидаева // Письма в ЖТФ. - 2011. - Т. 37. - С. 7.

104. Хадеева, Л. З. Дискретные бризеры в деформированном графене / Л. З. Хадеева, С. В. Дмитриев, Ю. С. Кившарь // Письма в ЖЭТФ. - 2011. -Т. 94. - С. 580-584.

105. Savin, A. V. Discrete breathers in carbon nanotubes /A. V. Savin and Yu. S. Kivshar // Europhys. Lett. - 2008. - V. 82 - P. 66002-6.

106. Liu, F. Ab initio calculation of ideal strength and phonon instability of graphene under tension / Fang Liu, Pingbin Ming, Ju Li // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 76. -P. 064120.

107. Лобзенко, И. П. Численное моделирование движущихся дискретных бризеров в моноатомных цепочках / И. П. Лобзенко, Г. М. Чечин // Вестник Нижегородского государственного университета. - 2013. - Т. 4(1). - С. 67-69.

108. Chechin, G.M. Numerical modeling of mobile discrete breathers in monoatomic 1D lattices / G.M. Chechin, I.P. Lobzenko // In Proceedings of the International Symposium on Atomistic Modeling for Mechanics and Multiphysics of Materials (ISAM4) , Tokyo, Japan. - 2013, P. 50.

109. Chechin, G. Studying of mobile discrete breathers in monoatomic chains / G. Chechin, I. Lobzenko // In Proceedings of the 4th International Conference on Nonlinear Dynamics, ND-KhPI2013, Sevastopol, Ukraine. - 2013, P. 25-27.

110. Maple 13. Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., Waterloo, Ontario.

111. Wolfram Research, Inc., Mathematica, Version 8.0, Champaign, IL. - 2010.