Измеримые многочлены на бесконечномерных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Арутюнян, Лаврентин Мартунович

• Арутюнян, Лаврентин Мартунович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Арутюнян, Лаврентин Мартунович

Содержание

Введение

Краткое содержание

Глава 1. Полиномиальная версия предела полиномов

1.1. Предварительные сведения

1.2. Основная теорема

Глава 2. Структурные свойства измеримых многочленов

2.1. Предварительные сведения

2.2. Основные результаты

Глава 3. Изопериметрическое неравенство и неравенство Пуанкаре

3.1. Предварительные сведения

3.2. Изопериметрическое неравенство

Глава 4. Абсолютная непрерывность полиномиальных распределений

4.1. Предварительные сведения

4.2. Обозначения и терминология

4.3. Свойства распределений полиномиальных отображений

4.4. Ь1 -нормы сужений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Измеримые многочлены на бесконечномерных пространствах»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Измеримые многочлены на бесконечномерном пространстве — функции, измеримые относительно некоторой меры на данном пространстве, которые при этом являются алгебраическими многочленами. Такие объекты возникают во многих классических ситуациях. Нередко функционалы, которые рассматриваются на бесконечномерном пространстве с мерой, могут трактоваться как измеримые многочлены или полилинейные формы. Скажем, если (X, д) — пространство с конечной борелевской мерой, то функционал

и : С(X) ^ К, и(/) = У /кф,

У^ У^ У-* Л Р 1

который сопоставляет всякой непрерывной функции / интеграл от ее к-й степени по мере д, может рассматриваться как многочлен степени к на пространстве С(X). Менее тривиальным примером может служить функционал

В(¡,д): ^ х С[0,1] ^ К,

который сопоставляет случайному процессу / и траектории винеровского процесса д результат применения стохастического интегрирования процесса / по винеровскому процессу, взятый в точке д. То, что этот функционал совпадает почти всюду с измеримой билинейной формой на указанном произведении пространств, будет показано в первой главе, что даст положительный ответ на вопрос, поставленный Х. фон Вайцзеккером, см. [7], с. 275.

Фактически рассмотрения измеримых многочленов имеются уже у Винера в [59]. Отметим также классическую работу Ито [47], где в частности показано, что многочленами являются кратные стохастические интегралы Винера. Это направление развивалось Камероном и Мартином [40]. Исследование общих измеримых многочленов было начато А.М. Верши-ком [17] и О.Г. Смоляновым [21] и продолжено многими исследователями

(ссылки можно найти в [7], [8], [11], [16]). Как правило, исследователи не обращаются напрямую к алгебраической структуре функций, которые они рассматривают, ибо им бывает достаточно того, что данные функции являются пределами в том или ином смысле конечномерных многочленов. В то же время, если отойти от гауссовского случая, то не всегда ясно, являются ли все измеримые многочлены пределами более простых многочленов, например конечномерных или даже непрерывных.

Изучение общих вопросов, связанных с измеримыми полиномиальными отображениями, полезно не только для развития теории меры на бесконечномерных пространствах, но и для широкого круга задач стохастического анализа, теории вероятностей (см. [10], [18], [19]), математической физики, в том числе функционального интегрирования (см. [22]), а также самых различных приложений, включая проблематику оптимальной транспортировки (см. [13]).

В гауссовском анализе большую роль играют измеримые линейные функционалы, см. [7]. Когда стало ясно, что у пределов многочленов тоже есть версии, являющиеся алгебраическими, то естественно возник вопрос о свойствах этих версий, аналогичных свойствам линейных функций. Поэтому во второй главе изучаются сужения измеримых многочленов на пространства Камерона-Мартина. Также отдельным вопросом (который, разумеется, не возникает при рассмотрении линейных функций) становятся свойства мономов измеримого многочлена. Например, оказывается, что мономы (начиная с третьей степени) не обязательно измеримы. Об измеримых линейных функциях на пространствах с гауссовскими мерами было известно, что они однозначно восстанавливаются по своему сужению на пространство Камерона-Мартина. В частности, если линейная функция обнуляется на пространстве Камерона-Мартина, то она равна нулю почти всюду. Аналогом этого свойства для измеримых многочленов можно считать то, что многочлен, равный нулю на пространстве Камерона-Мартина, имеет версию, алгебраическая степень которой на 2 меньше. Одним из сюрпризов, которые преподносит бесконечномерный

случай, стало наличие многочлена в точности второй степени, который равен единице почти всюду. Это влечет, например, то, что всякий бесконечномерный многочлен имеет версию, которая является суммой двух однородных многочленов.

Отдельный интерес представляют образы мер под действием полиномиальных отображений, в частности образы равномерных распределений на выпуклых телах в Rn под действием многочленов от n переменных. Бургейн [37] доказал неравенство типа Хинчина для многочленов на выпуклых телах, которое не зависит от размерности n, и применил его для получения новой оценки в гипотезе о гиперплоскости. Гипотеза о гиперплоскости — довольно естественный вопрос о выпуклых телах в произвольной размерности: верно ли, что существует универсальная постоянная с > 0, не зависящая от размерности n, такая, что всякое выпуклое тело в Rn объема 1 имеет сечение гиперплоскостью площади хотя бы с? Под площадью здесь понимается (n — 1)-мерный объем. Начиная с работ [38], [39], этот вопрос довольно интенсивно исследовался последние десятилетия, см. [49], [54], [26], а также дальнейшие ссылки в этих работах. В работе [48] сформулирована еще одна гипотеза о выпуклых телах, получившая название KLS-гипотезы, которая заключается в наличии универсальной (не зависящей от размерности n) константы с > 0, с которой выполняется некоторое изопериметрическое неравенство в форме Чигера для произвольного выпуклого тела. Как оказалось, KLS-гипотеза влечет справедливость гипотезы о гиперплоскости, см. [43], [26] (см. также [51] с наилучшей оценкой в KLS-гипотезе). Кроме того, в этой же работе доказывается другое похожее изопериметрическое неравенство:

voln—x(3kS) ^ ф min(vol(S), vol(K \ S)),

где K — произвольное выпуклое тело объема 1, S — произвольное измеримое множество, dKS — граница множества S внутри K, под vol и voln—1 понимаются n-мерная мера Лебега и (n — 1)-мерная мера Мин-

I " ln 2

ковского соответственно, а в качестве ф подойдет величина -щК), где M1(K) — среднее расстояние от точки внутри K до центра масс тела K.

При более детальном рассмотрении оказывается, что эта оценка выводится авторами из аналогичного изопериметрического неравенства для образов мер, являющихся равномерными распределениями на выпуклых телах, под действием линейных функций (более точно, из регуляризован-ной версии такого неравенства). Мы изучим изопериметрическое неравенство для образов равномерных распределений на выпуклых телах, но уже под действием полиномиальных отображений.

Бесконечномерным аналогом распределения на выпуклом теле можно считать логарифмически вогнутую меру, чему есть несколько причин. Логарифмически вогнутой мерой называется вероятностная мера, для которой при всех борелевских множествах А и В выполняется неравенство

д(аА + (1 - а)В) ^ д(А)ад(В)1-а Уа е [0,1].

Такое неравенство можно получить, если формально устремить размерность п к бесконечности в неравенстве Брунна-Минковского для выпуклых тел:

д(аА + (1 - а)В)1/п ^ ад(А)1/п + (1 - а)д(В)1/п.

Всякое равномерное распределение на выпуклом множестве является логарифмически вогнутой мерой, хотя не всякая логарифмически вогнутая мера является равномерным распределением на некотором теле. Однако следующий пример в некотором смысле показывает, что с ростом размерности это несоответствие уходит. Рассмотрим — счетную степень

^ ^ ^ V тт

прямой со стандартной тихоновской топологией. На этом пространстве рассмотрим всевозможные конечномерные выпуклые тела, а затем рассмотрим всевозможные меры, являющиеся равномерными распределениями на этих телах. Тогда окажется, что слабые пределы последовательностей этих мер дадут всевозможные логарифмически вогнутые распределения. В работе [2] доказано Ь1 -неравенство Ремеза для алгебраических многочленов на пространствах с логарифмически вогнутой мерой. По-видимому, это одно из первых неравенств типа Ремеза, которые не зави-

сят от размерности, а потому могут быть распространены на бесконечномерный случай. Из этой оценки следует, в частности, что для широкого класса измеримых многочленов Ь1 -норма на всем пространстве эквивалентна Ь1-норме, взятой по сужению логарифмически вогнутой меры на множество положительной меры. В главе 4 мы получим этот результат качественными методами. Качественные методы также позволили распространить результат об эквивалентности на произвольные измеримые многочлены и даже полиномиальные отображения.

Цель работы. Развить теорию измеримых многочленов на бесконечномерных пространствах: изучить общие свойства, вытекающие из алгебраического определения, изучить особые свойства в гауссовской ситуации, изучить полиномиальные образы логарифмически вогнутых мер, а также равномерных распределений на выпуклых телах.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты.

1. Доказано, что пределы измеримых многочленов являются измеримыми многочленами, т. е. обладают версиями, которые являются алгебраическими многочленами.

2. Изучены вопросы измеримости однородных компонент измеримого многочлена (в нашей терминологии - мономов), а также свойства сужений этих многочленов на пространство Камерона-Мартина для гауссов-ской меры.

3. Получено изопериметрическое неравенство в форме Чигера для полиномиальных образов мер, являющихся равномерными распределениями на выпуклых телах в причем с константой, которая зависит лишь от среднего значения модуля многочлена на выпуклом теле, а также от размерности п и степени многочлена В качестве следствия получено неравенство Пуанкаре с аналогичной константой.

4. Доказана абсолютная непрерывность образов логарифмически вогнутых мер под действием непостоянных многочленов, а также функций

из других широких классов. Для полиномиальных отображений доказаны законы 0 — 1 для мер подпространств, а также множеств сходимости последовательностей таких отображений. Получены условия абсолютной непрерывности распределений норм, взятых от полиномиальных отображений, измеримых относительно логарифмически вогнутых мер. Для произвольных измеримых многочленов фиксированной степени доказана эквивалентность L1 -нормы по логарифмически вогнутой мере и L1-нормы по сужению этой меры на произвольное множество положительной меры.

Методы исследования. Основные методы лежат в русле теории меры и функционального анализа. Используются методы теории гауссовских мер и теории логарифмически вогнутых мер, теория локально выпуклых пространств, техника выпуклого анализа, а также ряд разработанных автором конструкций.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области теории меры, функционального анализа, стохастического анализа и выпуклого анализа.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре в МГУ имени М. В. Ломоносова «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В. И. Богачева, Н. А. Толмачева и С. В. Шапошникова (2013 - 2018 г., многократно), на международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в МГУ имени М. В. Ломоносова (2013 - 2015 г.), на международной конференции "Infinite-dimensional analysis" (the 19th ISE), Казальмаджоре, Италия (2016 г.), на международном научно-исследовательском семинаре "Infinite-dimensional stochastic analysis" в университете г. Билефельда, Германия (ежегодно в 2014-2017 г.), на научно-исследовательском семинаре в Пекинском Нормальном университете, Китай (2014, 2015 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора в журналах из баз данных Web of Science и Scopus (одна из них написана в соавторстве с Е. Д. Косовым, еще одна из них написана в соавторстве с Е. Д. Косовым и И. С. Ярославцевым) и представлены также в 3 тезисах международных конференций. Список этих работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, включающих 10 параграфов, заключения и списка литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации составляет 80 страницы.

В диссертацию вошли результаты, полученные при работе над проектами 14-11-00196 и 17-11-01058 Российского научного фонда (выполняемыми при МГУ им. М. В. Ломоносова).

Краткое содержание диссертации

Здесь приведены основные результаты, а также необходимые для их формулировок определения. Для каждого утверждения указан его номер в основном тексте.

В этой главе и доказано существование полиномиальных в обычном смысле версий измеримых многочленов на бесконечномерных пространствах с мерами. Аналогичное утверждение доказано для широкого класса измеримых полилинейных функций.

Многочленом степени й на вещественном линейном пространстве X называется функция / вида

где Ь0 — постоянная, Ьк: Xк ^ К — полилинейная функция (т.е. линейная по каждому аргументу). Аналогично определяются полиномиальные степени й отображения из X в линейное пространство У.

Основной результат этой главы дает полиномиальное продолжение функции, заданной как поточечный предел последовательности многочленов степени й на множестве всех точек сходимости этой последовательности. Мы начнем с аналогичного утверждения для полилинейных форм.

Теорема. 1.2.1, Пусть X — линейное пространство, п Е N. Предположим, что /к: Xп ^ К — последовательность полилинейных функций, сходящихся на множестве и С Xп к функции /0. Тогда существует такая полилинейная функция /: Xп ^ К, что /= /0.

Сначала рассматривается частный случай, в котором приводится вариация основной конструкции.

Предложение. 1.2.2, Пусть на пространстве задана функция

Глава 1.

/ (х) = Ьо + 6х(ж) +-----+ Ьа(х, ...,х),

оо

п= 1

Она определена почти всюду относительно меры д2, где д — счетная степень стандартной гауссовской меры на прямой. При этом существует билинейная функция на совпадающая с функцией Ц на области определения последней. Для заданной стохастическим интегралом функции В на С[0,1] х С[0,1], где С[0,1] наделяется мерой Винера Рж, можно найти билинейную функцию, равную функции В почти всюду относительно меры Рж 0 Рж.

Затем рассматривается общий случай, в котором используется базис Гамеля.

Теорема. 1.2.4. Пусть X — линейное пространство, /: X ^ К — последовательность многочленов степени & сходящаяся на множестве и С X к функции /0. Тогда существует такой многочлен / степени & что /= /о.

Следствие. 1.2.5. Пусть д — радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве. Тогда всякий д-измеримый многочлен д-почти всюду совпадает с некоторым многочленом.

Замечание. 1.2.8. Неконструктивность полученных продолжений (появляющаяся как при использовании базисов Гамеля, так и при линейном продолжении линейных функционалов) неизбежна, ибо в общем случае нельзя добиться их борелевости (так обстоит дело в предложении 1 и примерах 1,2), поскольку всякий борелевский многочлен на банаховом пространстве непрерывен (см. пример 5.10.2 в [7]). Конечно, если многочлены / измеримы по Борелю, то их предел будет борелевской функцией на множестве сходимости {/}.

Глава 2.

Как известно (см. [7]), для всякого измеримого многочлена / по гауссовской мере 7 существует его версия / со следующим свойством: функция /(х + к) при почти всех х является непрерывным многочленом по к на пространстве Камерона-Мартина меры 7. В данном главе показано,

что существует версия / с этим свойством, являющаяся алгебраическим многочленом, причем для однородного многочлена подойдет любая версия, оказавшаяся однородным алгебраическим многочленом. В то же время для неоднородного случая подойдет не всякая такая версия, что будет видно из примеров ниже.

Пусть / — 7-измеримая функция. Если для почти всех х функция /(х + к) непрерывна как функция от к на пространстве Н(7) с нормой Камерона-Мартина, то будем говорить, что функция / непрерывна вдоль подпространства Н(7).

Сопоставим всякой 7-измеримой функции / функцию Sd [/]: Xл — К:

ад](хь...,х,.;):=-1У>1)<" к * ^ ''Х" + + Х"

1 е с-1)^-к к * е ^ ^ ,

к=1 1<г1<...<гк <д, 4 Ук 7

Лемма. 2.2.1, Пусть / Е Ро (т). Тогда для произвольных постоянных (!]_,... ,ат функция /(а1х1 + ■ ■ ■ + атхт) является 7т-измеримой,

Также, если /п, / Е Р$(7) и /п —^ / 7-п.в., то 7т-п.в. имеем сходимость

/п((1х1 +-----Ь атхт) — /((1х1 +-----Ь (тх^т).

Поскольку для функции / Е Ро (т) имеем Sd[/} = Sf, то верно следующее утверждение.

Следствие. 2.2.2, Пусть / Е Ро (т). Тогда функция Sf измерима по мере 7а на X(1.

Следствие. 2.2.3, Если / является 7-измеримой функцией, то функция Sd[/}(x1,..., х^) измерима относительно 7d.

Лемма. 2.2.4, Пусть /п, / Е Р$(7), /п — / 7-п,в, Тогда ^т+1-п,в,

Sfn (х 1, . . . ,xm,x, . . . ,х) ^ Sf (х 1, . . . ,xm,x, . . . ,х).

Лемма. 2.2.5, Пусть /п, / Е Ро (т), /п — / 7-п,в, Тогда

Sfn (к1,..., к^) — Sf (к1,..., к^)

для всяких hi,..., hd Е H(7). Более того,

Sfn (hi,..., hm ,x,...,x) ^ Sf (hi,... ,hm,x... ,x) для всяких hi,... ,hm Е H(7) для 7-я.в. x.

Нам понадобится квадратичная форма J, заданная формулой

Vn 1 (г)2 lim Jn(x), Jn(x) = ^i=i 1i(x)

на области сходимости X0 этой последовательности, где — последовательность непрерывных линейных функционалов, ортонормированная в L2(y), т.е. последовательность независимых стандартных гауссовских случайных величин. В силу закона больших чисел J(x) = 1 почти всюду. Существование полиномиальной версии J, совпадающей с указанным пределом на X0, следует из [62] или из результатов первой главы. Пусть f (x) Е Pd(Y) и

d

f (x) = 9i(x), 9i(x) = Bi(x,...,x),

i=0 i=d mod 2

где Б^хх,..., Х{) — ¿-линейная функция. Тогда умножая д^ на J^г, получаем однородный многочлен / степени

а

7(х) = ^ дг(х^

i=0 i d mod 2

причем очевидно, что / — версия /. Таким образом, всякий многочлен / Е Р^(7) обладает версией / Е Р^(7), представимой в виде

/(х) = да(х) + gd-í(x), дг Е Р0(7« Е ^ -

ведь многочлены 2(/(х) + /(—х)) и 2(/(х) — /(—х)) измеримы и состоят из мономов одной четности.

Теорема. 2.2.7. Всякая функция / Е Р0а(7) непрерывна вдоль Н(7).

Теорема. 2.2.8. Всякая функция f е Pd(Y) обладает версией f е Pd(Y), непрерывной вдоль H(y) и состоящей из измеримых мономов.

Лемма. 2.2.9. Пусть f(x) = Sf(x,...,x), Sf(xi,...,xn) — п-линейная функция, n < d, n и d одной четности. Тогда Sd[f](x1,..., xd) = 0.

Теорема. 2.2.10. Пусть f (x) е Pd(Y),

d

f (x) = Bi(x,...,x)

¿=0 i=d mod 2

Bi(x1,..., Xj) — i-линейная функция. Тогда

Bd(xi,... ,Xd) = Sd[f](xi,... ,Xd)

Следствие. 2.2.11. Пусть fn, f G Pd(Y), fn ^ f Y-п.в.,

d

fn(x)= ^ Bf(x,...,x),

¿=0 i=d mod 2

где Bin(x1,..., Xj) — i-линейная функция. Тогда функции B^(x1,..., xd) измеримы относительно yd и yd-n.в. имеем BП ^ Bd.

Как легко видеть, измеримые многочлены вплоть до второй степени состоят из измеримых мономов. Однако уже для многочлена третьей степени это не так. Пусть l — неизмеримая линейная функция, разрывная на H(y). Рассмотрим введенный выше алгебраический многочлен второй степени J. Как было отмечено, J(x) = 1 п.в. Рассмотрим функцию f(x) = l(x) J(x) — l(x). Это измеримый многочлен, равный нулю почти всюду, хотя l неизмерима. Отметим, что этот пример не противоречит следствию 3: в следствии речь идет о симметричных многочленах, а функция l(x1)J(x2,x3) хотя и не будет y3-измеримой, но функция S3[lJ](x1, x2, x3) уже будет. Этот же пример показывает, что не всякая полиномиальная версия измеримого многочлена непрерывна вдоль H (y ) (напомним, что J(h) = 0 для всех h е H(y)).

Отметим еще, что измеримый многочлен степени больше первой не всегда однозначно задается своими значениями на пространстве Камерона-Мартина. Пусть й Е Р02(7) и й(х) = 0 на множестве положительной меры. Тогда ](х) = й(х) + J(х) совпадает с д(х) = й(х) на Н(7), но эти функции различны почти всюду. Также заметим, что измеримая билинейная функция непрерывна почти всюду по Н (7), но необязательно непрерывна всюду. Рассмотрим, например, билинейную функцию Б(х,у) на пространстве совпадающую на множестве сходимости с рядом

Хт, где хг,уг — 2-е координаты векторов х и у соответственно. Тогда в паре точек х' = (1,0,3,0,..., 2п + 1,0,...) и у' = (0,1,0,1,...) она разрывна. Действительно, покажем, что разрывна даже функция /(г) = Б(х',у' + г), /: Н(7) ^ К, где Н(7) = /2. Для этого заметим, что для стандартных орт е имеем /(е^) = 1, если 2 нечетно, т.е. набор {¿(е^)} не лежит в /2.

Замечание. 2.2.13. Измеримые многочлены в общем случае не задаются однозначно сужениями на Н(7). В качестве примера достаточно рассмотреть многочлен / = ^ степени ё, где многочлен д степени ё — 2 не равен постоянной 7-почти всюду. Тогда / |н(7)= 0, но f = д 7-п.в.

Тем не менее верно следующее утверждение.

Теорема. 2.2.14. Пусть / Е Ра(7) или / Е Р0а(7), /(к) = 0 для всякого к Е Н(7). Тогда найдется такая версия / функции ¡, что / Е Р2(7) или / Е Р0а—2 (7) соответственно.

Глава 3.

В этой главе изучаются образы равномерных распределений на выпуклых телах под действием полиномиальных отображений.

Подобные результаты находят свои приложения в разных областях. Одно из таких приложений — изучение геометрических свойств выпуклых тел, особенно, когда размерность, в которой эти тела рассматриваются, стремится к бесконечности. С другой, стороны свойства многочле-

нов и их распределений играют важную роль в вопросах теории вероятностей. В частности, гауссовские меры также являются логарифмически вогнутыми, и уже известны примеры некоторых свойств гауссовских мер, которые доказываются исключительно в рамках теории логарифмически вогнутых меры. Неравенство Карбери-Райта выражает одно из таких свойств. Оно утверждает, что для всякого многочлена / степени ё и всякой логарифмически вогнутой меры д на (см. теорему 2 в [41]) выполнено неравенство

II/ 1|!/4)Мх: |/(х)| ^ а) ^ С(ё)а1/а.

Это неравенство уже нашло свои приложения в теории вероятностей (см., например, [55, 56]). В теории вероятностей также важны утверждения типа неравенств концентрации и антиконцентрации, которые могут быть получены для логарифмически вогнутых мер. Примером такого неравенства служит неравенство о больших уклонениях липшицевых функций на гауссовских пространствах (см. [7, теорема 4.5.6]). Кроме того, во многих работах исследуется функция концентрации Леви (см. [52, 45]), которая тесно связана с антиконцентрационными неравенствами и применяется в изучении свойств случайных матриц (см. [57, 58]).

В этой главе доказывается некоторое неравенство, аналогичное изо-периметрическому неравенству и неравенству Пуанкаре для распределений многочленов. Мы докажем это неравенство для вероятностных мер на вещественной прямой, которые являются полиномиальными образами равномерных распределений на произвольных выпуклых компактных множествах в (см. теорему 3.2.5 и следствия 3.2.6 и 3.2.7).

Одним из основных инструментов, который мы используем в нашей работе, является так называемая локализационная лемма (см. [48, 53]). Концепция локализации задачи использовалась во многих работах как подход для получения оценок в многомерном пространстве. Эта технология позволяет сводить некоторые многомерные неравенства к определенным одномерным неравенствам. В рассмотрении многочленов это особен-

но удобно, поскольку ограничение многочлена на прямую также является многочленом.

Нам понадобятся следующие обозначения:

т, = / /ф - матетаттеткое °жВДание елучайной величины /,

а2 = J (/ — ш,)2dß — дисперсия случайной величины /,

af = J f — ш,

У/lip = (/ I/for p> 0, ll/llo = exp^ J ln |/= lim ||/||r.

Пусть v — вероятностная мера на вещественной прямой. Определим v-периметр множества A следующим равенством:

+ (A +(—£,£)) — V (A)

v + (A) = lim inf

V У e^Ö £

Основной результат заключается в следующем.

Лемма. 3.2.1, Для всяких двух чисел d, n G N найдется такая константа c(d, n), зависящая только от d и n, что для всякого многочлена f степени d на прямой и всякой пары положительных чисел s, £ имеется следующее неравенство:

s+1 s+1 s+1 s+1

£ J tnI{f <-e} dtj tnI{f >£}dt ^ c(d,n)^ tn I{|f |<e}d^ tn |f (t)|dt.

s s s s

Также доказываются следующие леммы.

Лемма (Обратное неравенство Пуанкаре). 3.2.2, Пусть d G N, Тогда найдется такая универсальная постоянная C, не зависящая от меры ß, что для всякого многочлена f степени d на прямой и всякой логарифмически вогнутой меры ß на прямой выполняется следующее неравенство:

a(ß)||f'Wl2Ы ^ (Cd)d+1||f||L2(M), где а2 (ß) — дисперсия меры ß,

Лемма. 3.2.3. Пусть (, п Е N. Тогда найдется число С((,п), зависящая лишь от ( и п, такое, что для всякого числа в ^ 0, всякого многочлена / степени ( на К, который обращается в нуль в некоторой точке т Е [в, в + 1], а также всякого действительного числа г выполняется следующее неравенство:

в+1 в+1 J |/(¿)|№ < С|/(¿) - г|Г(£. в в

Следствие. 3.2.4. Пусть п, ( Е N. Тогда найдется константа с((, п), зависящая только от ( и п, такая, что для всякого многочлена / степени ( на прямой, а также для всякой пары положительных чисел в, £ и всякого действительного числа г верно следующее неравенство:

в+1 в+1 в+1 в+1

£ I *п1{/^ с((,п)| ГГ|/(*) - г|(£.

в в в в

Теорема. 3.2.5. Пусть К — выпуклое компактное множество в К.п, А к — нормированная мера Лебега на К, / — многочлен степени (. Пусть также прямая разбита на три измеримых непересекающихся множества = 1, 2,3, т.е. К = ^ и ^ и З3, причем расстояние между множествами J1 и Jз равно £ > 0, т.е.

т£ |х1 — х2| = £ > 0.

ХЕ ^

Тогда найдется такая константа с((,п), зависящая только от ( и п, что

£Ак(/ Е Л)Ак(/ Е Jз) ^ с((, п)Ак(/ Е ^) / |/ — т/|(Ак,

,/к

где т/ = J /(Ак.

Следствие (Изопериметрическое неравенство в форме Чигера). 3.2.6. Для

всяких чисел п,( Е N существует такая постоянная п), зависящая только от ( и п, что для всякого выпуклого компактного множества К

в и всякого многочлена / степени ^ верно следующее неравенство:

М+(А > М/(а)м/(К \ А), где М/ := Ак о /-1 и Ак — нормированная мера Лебега на К. Как известно, последнее утверждение влечет следующее.

Следствие (Неравенство Пуанкаре). 3.2.7. Для всяких чисел п, ^ Е N найдется такая постоянная Сп), зависящая лишь от ^ и п, что для всякого выпуклого компактного множества К в всякого многочлена / степени ^ и всякой гладкой функции ^ верно неравенство

< С(^,п)а/|И|£2(М/),

)

где М/ := Ак о /-1, Ак — нормированная мера Лебега на К.

Глава 4.

В этой главе изучены распределения многочленов и полиномиальных отображений на пространствах с логарифмически вогнутыми мерами.

Носителем меры м (или топологическим носителем) называется наименьшее замкнутое множество полной меры (т.е. множество с дополнением меры нуль). Средним меры м на локально выпуклом пространстве Е с топологически сопряженным Е* называют вектор а из Е такой, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Арутюнян, Лаврентин Мартунович, 2018 год

Литература

[1] Агафонцев Б.В., Богачев В.И. Асимптотические свойства многочленов от гауссовских случайных величин // Докл. РАН. - 2009. -Т. 429.-№ 1.-С. 151-154.

[2] Арутюнян Л.М., Косов Е.Д. Оценки интегральных норм многочленов на пространствах с выпуклыми мерами // Матем. сб. - 2015. -Т. 206. - №8. - С. 3-22.

[3] Бережной В.Е. Об эквивалентности норм в пространстве 7-измеримых многочленов // Вестник МГУ, сер. 1 мат. мех. - 2004. -Т. 4. - С. 54-56.

[4] Бобков С.Г. Изопериметрические задачи в теории бесконечномерных вероятностных распределений // Докторская диссертация, Санкт-Петербург. - 1997.

[5] Бобков С.Г., Мельбурн Дж. Локализация для бесконечномерных гиперболических мер // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 462. -№3. - С. 261-263.

[6] Бобков С.Г. Некоторые обобщения результатов Ю.В. Прохорова о неравенствах типа Хинчина для полиномов // Теор. вероятн. и ее примен. - 2000. - Т. 45. - №4. - С. 745-748.

[7] Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997.

[8] Богачев В.И. Основы теории меры. Т.1,2, 2-е изд. М. - Ижевск: РХД, 2006.

[9] Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. М. - Ижевск: РХД, 2008.

[10] Богачев В.И. Слабая сходимость мер. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016.

[11] Богачев В.И. Распределения многочленов на многомерных и бесконечномерных пространствах с мерами // Успехи матем. наук. -2016. - Т. 71. - №4. - С. 107-154.

[12] Богачев В.И., Зеленов Г.И. О сходимости по вариации слабо сходящихся многомерных распределений // Доклады Академии наук. -2015. - Т. 461. - №1. - С. 14-17.

[13] Богачев В.И., Колесников А.В. Задача Монжа-Канторовича: достижения, связи и перспективы // Успехи матем. наук. - 2012. - Т. 67. - №5. - С. 3-110.

[14] Богачев В.И., Косов Е.Д., Нурдин И., Поли Г. Два свойства векторов из квадратичных форм от гауссовских случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. - 2014. - Т. 59. - №2. - С. 214-232.

[15] Богачев В.И., Малофеев И.И. О распределениях гладких функций на бесконечномерных пространствах с мерами // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 454. - №1. - С. 11-14.

[16] Богачев В.И., Смолянов О.Г., Соболев В.И. Топологические векторные пространства и их приложения. М.-Ижевск: РХД, 2012.

[17] Вершик А.М. Общая теория гауссовских мер в линейных пространствах // Успехи матем. наук. - 1964. - Т. 19. - №1. - С. 210-212.

[18] Гетце Ф., Прохоров Ю.В., Ульянов В.В. Оценки для характеристических функций многочленов от асимптотически нормальных случайных величин // Успехи матем. наук. - 1996. Т. 51. - №2. - С. 326.

[19] Гетце Ф., Прохоров Ю.В., Ульянов В.В. О гладком поведении вероятностных распределений при полиномиальных отображениях // Теория вероятн. и ее примен. - 1997. - Т. 42. - N 1. - С. 51-62.

[20] Назаров Ф., Содин М., Вольберг А., Геометрическая лемма Каннана-Ловаса-Шимоновича, не зависящие от размерности оценки распределения значений полиномов и распределение нулей случайных аналитических функций // Алгебра и анализ. - 2002. - Т. 14. -№2. - С. 214-234.

[21] Смолянов О.Г. Об измеримых полилинейных и степенных функционалах в некоторых линейных пространствах с мерой // Доклады АН СССР. - 1966. - Т. 170. - №3. - С. 526-529.

[22] Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. 2-е изд. М.: УРСС, 2015.

[23] Судаков В.Н., Цирельсон Б.С. Экстремальные свойства полупространств для сферически инвариантных мер // Записки научного семинара ЛОМИ. - 1974. - Т. 41. - C. 14-24.

[24] Шилов Г.Е., Фан Дык Тинь. Интеграл, мера и производная на линейных пространствах. М.: Наука, 1967.

[25] Юрова Е.В. О непрерывных сужениях измеримых полиномиальных отображений // Матем. заметки. - 2015. - Т. 98. - №6. - С. 930-936.

[26] Ball K. Normed spaces with a weak-Gordon-Lewis property // Lecture Notes in Math. - 1991. - Vol. 1470. - P. 36-47.

[27] Berezhnoy V.E. On the equivalence of integral norms on the space of measurable polynomials with respect to a convex measure // Theory Stoch. Processes. - 2008. - Vol. 14. - №1. - P. 7-10.

[28] Bobkov S.G., Houdre C. Isoperimetric constants for product probability measures // The Annals of Probability. - 1997. - Vol. 25. - №1. - P. 184-205.

[29] Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave probability measures // Annals Probab. — 2015. - Vol. 27. - №4. -P. 1903-1921.

[30] Bobkov S.G. Remarks on the growth of L^-norms of polynomials // Lecture Notes in Math. - 2000. - Vol. 1745. - P. 27-35.

[31] Bobkov S.G. Spectral gap and concentration for some spherically symmetric probability measures // Lecture Notes in Math. - 2003. -Vol 1807. - P. 37-43.

[32] Bobkov S.G. On the isoperimetric constants for product measures // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - Vol. 159. - №1. - P. 4753.

[33] Bogachev V.I. Gaussian measures on infinite-dimensional spaces // In: Real and Stochastic Analysis. Current Trends (M.M. Rao ed.), pp. 1-83, World Sci., Singapore, 2014.

[34] Borell C. Convex measures on locally convex spaces // Ark. Math. -1974. - Vol. 12. - P. 239-252.

[35] Borell C. Convex set functions in d-space // Periodica Math. Hungarica. - 1975. - Vol. 6. - №2. - P. 111-136.

[36] Borell C. The Brunn-Minkowski inequality in Gauss space // Invent. Math. - 1975. - Vol. 30. - №2. - P. 207-216.

[37] Bourgain J. On the distribution of polynomials on high dimensional convex sets // Lecture Notes in Math. - 1991. - Vol. 1469. - P. 127137.

[38] Bourgain J. On high-dimensional maximal functions associated to convex bodies // Amer. J. Math. - 1986. - Vol. 108. - №6. - P. 14671476.

[39] Bourgain J. Geometry of Banach spaces and harmonic analysis // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. (Berkeley, Calif., 1986), pp. 871-878. Amer. Math. Soc., Providence, 1987.

[40] Cameron R.H., Martin W.T. The orthogonal development of non linear functionals in series of Fourier-Hermite polynomials // Ann. Math. -1947. - Vol. 48. - P. 385-392.

[41] Carbery A., Wright J. Distributional and Lq norm inequalities for polynomials over convex bodies in Rn // Math. Research Letters. -2001. - Vol. 8. - №3. - P. 233-248.

[42] Cheeger, J. A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian // Problems in analysis. - 1970. - Vol. 625. - P. 195-199.

[43] Eldan R., Klartag B. Approximately gaussian marginals and the hyperplane conjecture // Amer.Math. Soc. - 2011. - Vol. 545. - P. 5568

[44] Fradelizi M., Guedon O. The extreme points of subsets of s-concave probabilities and a geometric localization theorem // Discrete Comput. Geom. - 2004. - Vol. 31. - №2. - P. 327-335.

[45] Friedland O., Sodin S. Bounds on the concentration function in terms of the Diophantine approximation // Comptes Rendus Math. - 2007. -Vol. 9. -№345. - P. 513-518.

[46] Gromov M., Milman V. Generalization of the spherical isoperimetric inequality to uniformly convex Banach spaces // Compositio Math. -1987. - Vol. 62. - P. 263-282.

[47] Ito K. Multiple Wiener integral // J. Math. Soc. Japan. - 1951. - Vol. 3.

- №1. - P. 157-169.

[48] Kannan R., Lovasz L., Simonovits M. Isoperimetric problems for convex bodies and a localization lemma // Discrete Comput. Geom.

- 1995. - Vol. 13. - P. 541-559.

[49] Klartag B. On convex perturbations with a bounded isotropic constant // Geom. Funct. Anal. GAFA. - 2006. - Vol. 16. - №6. - P. 1274-1290.

[50] Kusuoka S. On the absolute continuity of the law of a system of multiple Wiener integral // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. - 1983. - Vol. 30. - №1. -P. 191-198.

[51] Lee Y.T., Vempala S.S. Eldan's stochastic localization and the KLS Hyperplane Conjecture: an improved lower bound for expansion // https://arxiv.org/pdf/1612.01507.pdf.

[52] Littlewood J. E., Offord A. C. On the number of real roots of a random algebraic equation // Mat. Sbornik. - 1943. - Vol. 12. - №3. - P. 277286.

[53] Lovasz L., Simonovits M. Random walks in a convex body and an improved volume algorithm // Random Structures and Algorithms. -1993. - Vol. 4. - №4. - P. 359-412.

[54] Milman V., Pajor A.. Isotropic position and inertia ellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed n-dimensional space // Lecture Notes in Math. - 1989. - Vol. 1376. - P. 64-104.

[55] Nourdin I., Nualart D., Poly G. Absolute continuity and convergence of densities for random vectors on Wiener chaos // Electron. J. Probab. -2013. - Vol. 18. - №22. - P. 1-19.

[56] Nourdin, I., Poly, G. Convergence in total variation on Wiener chaos // Stoch. Processes Appl. - 2013. - Vol. 123. - №2. - P. 651-674.

[57] Rudelson M., Vershynin R. Small ball probabilities for linear images of high-dimensional distributions // International Math. Research Notices. - 2015. - Vol. 2015. - №19. - P. 9594-9617.

[58] Rudelson M., Vershynin R. Smallest singular value of a random rectangular matrix // Commun. Pure Appl. Math. - 2009. - Vol. 62. -№12. - P. 1707-1739.

[59] Wiener N. The homogeneous chaos // Amer. J. Math. - 1938. - Vol. 60. - P. 879-936.

Работы автора по теме диссертации:

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[60] Арутюнян Л.М. Изопериметрическое неравенство и неравенство Пуанкаре для распределений полиномов на выпуклом компакте // Докл. РАН. - 2015. - Т. 465. - №3. - С. 267-268.

Arutyunyan L. M. Isoperimetric inequality and the poincare inequality for distributions of polynomials on convex compact set // Doklady Mathematics. - 2015. - Vol. 92. - №3. - P. 689-690.

[61] Арутюнян Л.М. Абсолютная непрерывность распределений многочленов на пространствах с логарифмически вогнутыми мерами // Матем. заметки. - 2016. - Т. 100. - №5. - С. 672-681.

Arutyunyan L. M. Absolute continuity of distributions of polynomials on spaces with log-concave measures // Math. Notes - 2017. - Vol. 101. -№1. - P. 31-38.

[62] Арутюнян Л.М., Ярославцев И.С. Об измеримых многочленах на бесконечномерных пространствах // Докл. РАН. - 2013. - Т. 446. -№9. - С. 627-631.

Arutyunyan L. M., Yaroslavtsev I. S. On measurable polynomials on infinite-dimensional spaces // Doklady Mathematics. - 2013. - Vol. 87.

- №2. - P. 214-217.

[63] Арутюнян Л.М., Косов Е.Д., Ярославцев И.С. О некоторых свойствах многочленов, измеримых по гауссовской мере // Докл. РАН.

- 2014. - Т. 457. - №2. - С. 131-135.

Arutyunyan L. M., Kosov E. D., Yaroslavtsev I. S. On some properties of polynomials measurable with respect to a Gaussian measure // Doklady Mathematics. - 2014. - Vol. 90. - №1. - P. 419-423.

Тезисы конференций:

[64] Арутюнян Л.М., Ярославцев И.С. Продолжение измеримых многочленов // Сборник тезисов докладов на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2014». М.: МГУ, 2014. - 1 с.

[65] Арутюнян Л.М., Косов Е.Д., Ярославцев И.С. Интегрируемость измеримых многочленов по гауссовской мере // Сборник тезисов докладов на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2015». М.: МГУ, 2015. - 1 с.

[66] Арутюнян Л.М. О некоторых свойствах многочленов измеримых по гауссовской мере // Сборник тезисов докладов на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2016». М.: МГУ, 2016. - 1 с.