Исследование условий, равносильных условию минимальности для подгрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Мухаммеджан Х.Х.

• Мухаммеджан Х.Х.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование условий, равносильных условию минимальности для подгрупп»

Теория jrpymr с условней минимальности для подгрупп стала разрабатываться сравнительно недавно. ОдноЯ из заяач этой теории;является следующая проблема С. Н.Черникова /см. [ Л. ] , с тр. J 355/: не будет ли всякая группа с условием минимальности для подгрупп обладать абелевым, нормальным делителем конечного индекса?ктура же абелевых групп с условием минимальности вполне выясняется олагодаря следующему известному предложению: всякая бесконечная абёяева группа с условием минимальности для подгрупп является прямым произведением конечной абедевой группы и конечного V" ■ V. ' j ■ "IV числа групп типа р60 оаг по некоторым простым, числам р , аё обязательно различным /см, [ 1 ] , § 29/. Обратно, группа, обладающая, таким.,разложением, удовлетворяет условию минимальности сля по и групп /см. [Z] , теорёма ?/.

0тмёчен1шй .выше вопрос в общем .виде до настоящего времени ос тается-не решенным. ла»е для случая локально конечных групп. Однако, при некоторых^дополкйтельных!условиях." нала» х/ Говорятрчто. группа. ФР удовлё творяет'условию минимальности для подг-руппо бладаюцих в неё некоторым,- свойствЬм S , если всякая убывающая :цепбчка 01, => 0ito • - • 4» <пи ■ бблаяаш-щах этим свойством лбягрупп/группы. , в.которой какпая

СЖи , и * Д. . является'.истинной подгруппой в" (Д-^-Л , обрывается-Ш1 конечном месте" / бесконечное число шагов оканчивается 'единичной по,-пгру-ппбй/. 'TakU'.например^ мряно говорить р. группе, уяовлетворяящей. условию минимальности для нормальных делителей и т.п. хх/ т.е. групп;,. изоморфных' фактор-группе аддитивной группы |э - ичных дробей по подгруппе целых чисел. гаеыых на группы такого рода, эта задача имеет полоннтель-ное решение. Так оказалось^- что каждая бесконечная группа, удовлетворяющая условию минимальности дляiподгрупп и обладающая возрастающим центральным рядом - группы такого рода называются специальными /см. ГЗ] стр.117, и [ч] / - является конечным расширением некоторого прямого произведения конечного числа групп типа р0^ /см. [/J, § 33 /.

Кандая специальная группа локально конечна и разлагается в прямое произведение своих силовских подгрупп /см.

J /. В свяи с этим предложением естественно возникает вопрос о строении локально конечных ^р - групп , удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп.

Как показал С.Н.Черников, каждая группа•такого рода является специальной группой /см. [й J, теорема 13/~. Отмеченная проблема-имеет такяе положительное решение в случае локально-разрешимых групп /см. [1] , §.31, § 33/.

В работе И.Д.Адо о подгруппах счетной симметрической группы /см.- [5J / эта проблема решается ;для* групп, пред-ставимых конечными подстановками. Так как абелева группа с условием минимальности для подгрупп в самом общем.случае содержит в.своем составе квазициклические группы /т.е. груп-т-еы типа р ** / и так как квазициклические группы не пред-ставимы конечными подстановками, то в изучавшемся И.Д.Адо случае пояснительное- решение- указанной проблемы означало бы конечность -этих групп. И.Д.Адо действительно получил такой, результат. ;; .

Достигнутые за последние годы результаты в изучении групц с условием минимальности для подгрупп естественно приводят к. задаче об отыскании условий, равносильных условию минимальности для подгрупп. Некоторые из условий такого рода уже получены. .Так в работе О^Ю.Шмидта "О бесконечных специаль ных группах" /см. [ теорема и/ установлено, что в случае р- группы, удовлетворяющей норыализаторноиу условии, условие минимальности для ее подгрупп равносильно одновременному выполнению условия минимальности для абелевых подгрупп ' во всех фактор-группах всех ее подгрупп. '

С.Н.Черниковым получен следующий результат, обобщающий в разных направлениях упомянутую теорему 0»Ю*Шмидта: локально конечная р - группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, когда она удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп /см.£ ^ ], теор.4/.

И.Д.Адо в работе [ показал, что для счетной локально- конечной f у~ группы условие минимальности для подгрупп равносильно условию минимальности для нормальных делителей. Позднее И.Д.Адо /см. [ Ф J /, а'также С.Н.-Черников /см. ^бЗ/ освободили эту теорему от предположения в счетпости группы Продоляая исследования С.Н.Черникова, И.Д.Адо и О.Ю.Жмид та, автор настоящей работы показал, что в случае группы,обла дающей возрастающим центральным рядом, условие'минимальности для ее подгрупп равносильно условию минимальности для факторов верхнего центрального ряда такой группы /см.теорему. 9/. Этот результат дает в случае групп с возрастающим центральным рядом существенное обобщение уже упоминавшейся теоремы7 0;Юа Шмидта /см. [ [q ] /. В этом случае он обобщает тагеке и теорему Й.Д.'Адо о равносильности условия минимальности для подгрупп и условия минимальности для нормальных делителей.;

Этот результат автора означает, а частности, что среди групп с возрастающим центральным рядом не .существует, кроме специальных, других групп, все факторы верхнего цент-трального ряда которых были бы конечны /см. l^ij't а также теорему 10/. Более того, результат автора означает, что, ■ кроме специальных групп не существует других, все факторы верхнего центрального ряда которых удовлетворяли бы условию минимальности для подгрупп /см.теорему 13/. Впрочем,.этот более общий-случай, как показывает теорема 11, з действительности сводится к случаю, когда все факторы верхнего центрального ряда конечны.

Г Автор натоящей работы показал далее,: что в случае -группы, .обладающей возрастающим центральным рядом, условие минимальности для подгрупп равносильно условию минимальности для абелевых нормальных делителей /см.теорему 16/. В случае произвольных локальных конечных р - групп эти условия не равг носильны, так как существуют локально конечные р -г -группы, не имеющие отличных от единицы абелевых нормальных делителей и не удовлетворяющие условию минимальности для подгрупп /см.[/^ ]/.

Мы умсе отмечали, что для локально конечных р- групп условием равносильным условию минимальности для подгрупп, как недавно показал С.Н.Черников /см. [ ^ 3 /, является условие минимальности: для абелевых подгрупп; Теорема 16 настоящей работы

4* * ' ~ ' ' "

-является значительным усилением птой теоремы С.Н.Черникова в случае, когда р - группа обладает возрастающим центральным рядом. : .

Заметим еще, что существуют не периодические группы, обт ладающие возрастающим центральным рядом и удовлетворяющие условию минимальности для абелевых нормальных делителей /см. пример, § б/* Понятно, что такие группы не удовлетворяют условию минимальности для подгрупп.

Теорема 17 является усилением' теоремы 9. Ее могсно выразить и следующим образом: в случае ^ - группы, обладающей возрастающим центральным рядом, условие минимальности для ее подгрупп и условие минимальности для. подгрупп факторов ее верхнего центрального ряда, имеющих натуральнее номера, равносильны. .Эта; теорема по сравнению с упоминавшимися выше предт. ложениями других авторов /си. [и , ш и т / в случае групп, обладающих возрастающим центральным рядом, представляет критерий много более простой для: выявления условия минимальности для подгрупп, которому удовлетворяет данная груп- • па. В самом деле, здесь требуется лишь выполнение условия минимальности для подгрупп некоторых абелевых групп г- факторов верхнего центрального ряда., имеющих натуральные номера; Абеле-ва зке р - группа с условием минимальности характеризуется следующим свойством: коммутативная р группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности.для подгрупп, когда множество ее элементов р - го порядка конечно /см. [АЗ! /.

Б качестве весьма любопытного следствия теоремы 17 отметим теорему 18, показывающую, что длина верхнего центрального ряда группы зависит от строения факторов ;этого ряда, а такке теорему ,19:: если длина верхнего центрального ряда некоторой р--группы равна первому предельному числу со или не меньше, чем то среди факторов этого ряда, имеющих натуральные номера, содер£штся бесконечно много не удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп. До- сих пор эти факты никем не были отмечены.

В § 7 автор отказывается от предположения о существовании возрастающего центрального ряда и"показывает, что в случае группы, обладающей максимальным абелевым нормальным рядом условий минимальности для ее подгрупп равносильно условию минимальности для подгрупп факторовiотого ряда, имеющих номера, меньшие и> /см.теорему 20/.:Это предложение является существенным обобщением следующей теоремы ОЛО.Шыид-та /си.Ш » теор.9/: группа, имеющая разрешимое мнонест-во х/, вполне упорядоченное по возрастанию, и подчиненная условию минимальности для абелевых подгрупп самой группы и ее фактор-групп®, является конечным расширением-абелевой группы.

Доказательства отмеченных здесь предложений существенно опираются на ряд предложений автора о группах с возрастающим центральным рядом, имеющих, впрочем, и самостоятельное значение, /см.теоремы 2,3,5,6,8,14,15 и 19/.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность моему руководителю' профессору С^Ы.Черникову, предложившему тему настоящей диссертации и оказавшему мне большую помощь при ее разработке.:; х/ Разрешимым множеством группы ty называются множество lF$i- обладающее следующими свойствами: .

• 1. Все фЦ /элементы множества ■ IPh- { - но'рмальные делители Ф •2. Tfifi содеряит. Щ и единицу группы. ; 3; Из любйх двух элементов множества Т$1 один содержится в другом /таким образом множество упорядочено/.

4. Множество содержит все пересечения и все об"единения * своих /элементов. ^ ли //>, t)M

5 . Если мекду элементами Чя* и ар ^ fyj множества IdCt-нет других элементов ^ГКЪ » т<э фактор-группаабелева.

§ 1. ■

В 1 - 4 параграфах изучаются некоторые существенные . Для данной' работы свойства групп, обладающих возрастающим' центральным-рядом. Зозрасгающи-м центральным рядом группы . Оу называется ' t бполне упорядоченная последовательность подгрупп . 1% ^ % ^ ■■■ • с: <=■■:■ • - ^ Зу-^ группы если фактор со дернится в центре группы 0\ ( ири непредельном порядковом числе о< ■> и = £ /есть объединение всех. ^ ■■ в /при предельном .

Возрастающий центральный ряд называется верхним, если фактор » соответствующий непредельному порядковому числу с< •,; совпадает с центром - группы ^г/ л, . Число >f

I . . "Ы-i

•называется длиной верхнего центрального ряда.

I j Отметим следующие два предложения, относящиеся к произвольным группам с возрастающим центральным рядом.

Если группа Cty обладает каким-нибудь возрастающим ['центральным рядом, то она. обладает также; верхним центральным .рядом. ! .

Всякая подгруппа: группы ^ i с возрастающим центральным рядом обладает таким рядом. Если М/у инвариантна в tyf , то фактор-группа ^fyf будет группой с; возрастающим центральным .рядом, /см.

Miл /.•

Условимся через ()( ()lj обозначать:верхнюю грань порядков элементов-^подмножества tify группы .В случае, когда порядки элементов не ограничены в совокупности, полагаем

Qt (Jt)~00 ' частности, для одного элем'ента это обозначение совпадает с принятым обозначением-его порядка. Теорема 1. Если ряд с - - - ■ ■ з, • ■ является верхним центральным рядом группы - ? то для каждого непредельного порядкового числа -сА имеет место следующее соотношение

Доказательство. Предложение, очевидно, справедливо, когда fc^., противном случае, обозначив \ ^d-ij—^имеем для какдого. элемента / и произвольного .элемента ^^ - ^ сц Ггде С, принадлежит фактор-группе -^(^и Отсюда следует равенство — ' ' TfJs V

•'е. содержится в ^ j • • Предложение доказано.

Следствие.: Если в группе конечного класса /т.е. в гхуппе. с конечным верхним центральным рядом/ порядки элементов в совокупности неогранпчены, то и порядки элементов центра этой группы кеогракичены в совокупности., . Теорема 2. Пусть ряд . i- b ■ - • * м-' есть верхний центральный ряд группы Ofr и - ее произвольный нормальный делитель. Если ^означает множество тех элементов группы- ' , которые не содержатся в ^^ , то из непустоты пересечения "JpJ любом c>L £ вытекает непустота пересечения. Зое J доказательства. Пусть tH (г f)(^ рИз иываРкант ности подгрзгппы ^Уу и определения членов ряда /±/ вытекает существование такого элемента 6 ^tyf, что коммутатор j^i элементов к ^ принадлежит пересечению ^).

В самом деле, если бы при всяком ^ £^ элемент содержался з » т0 принадлежал бы к группе ^ и стало быть противоречит выбору элемента .

Из теоремы 2, как следствие, получается следующее предложение С.Н.Черникова /см.

Пересечение центра всякой группы, обладающей возраста- . ющим центральным рядом, с кандым ее нетривиальным нормальным делителем отлично от единицы.

Теорема 3." Если группа &У обладает возрастающим центральным рядом, и подгруппа Нелокально нормальна в ней /т.е. каждое конечное множество элементов из ^^содержится в конечном нормальном делителе группы то ^/^содержится в группе ^foJ верхнего центрального .ряда группы ^f . В частности, если сама локально нормальна, то ее верхний центральный', ряд кончается членом, имеющим номер, не превосходящий to х/.

Действительно, всякий элемент из ^tyf принадлежит некоторому конечному нормальному делителю ' группы tyf . Если.порядок группы ^равен числу ГЪ то ввиду теоремы 2, ^L содержится в группе ^ верхнего центрального ряда х/ Здесь, как и в дальнейшем, оо означает первое предельное порядковое число. группы I

Замечание. Локально нормальные группы, обладающие верхним центральным рядом длины СО существуют. Прямое произведение последовательности

V- ' , У ■ р ' % ) ' > " > конечных у •> групп, обладающих верхним центральным рядом возрастающей*длины» дает пример такой-группы. Существование таксой последовательности является следствием существования . - группы с "бесконечным верхним центральным рядом. Пример такой у группы можно найти в

Ш . .

Элемент, X группы Уд называется элементом бесконечной высоты относительно некоторой подгруппы ОХ из Ofr, если для каждого натурального числа W можно в группе Oh выбрать такие элементы, что ЭС выразится в виде произведения степеней этих элементов. В случае, когда является у группой, это определение равносильно следующее. Элемент •: ^Ху группы называется элементом бесконечной высоты относительно некоторой подгруппы Ob. из ^f* , если для каждого натурального числа УХ в группе. можно выбрать такие элементы, что ОС выразится ]в виде произведем нйя р -(»сх степенен этих элементов /см. |j/G] /. Теорема 4.'. Элементы бесконечной высоты произвольной локально: нормальной группы содержатся в ее центре. Доказательство. Пусть

X - элемент -бесконечной высоты и ^ - произвольный элемент группы ^j" .• ^ содержится в некоторое конечном Анормальном делителе ^ ийу . Центрсышзатор Qft элементов подгруппы является нормальным', делителем группы vj- ;и имеет конечный индекс в ней.: Фактор-группа

0ЦП не имеет элементов бесконечной высоты, так как она конечна. Значит, DC £ Ж и поэтому что а требовалось доказать.

Следствие.$ Всякая полная локально нормальная группа - абе-лева. ■ J2.

Теорема 5. Если длина верхнего центрального ряда какой-нибудь группы совпадает с первым предельным порядковым числом со » т,о по крайней мере один его фактор не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп.

ДоказательствоПокажем сперва, что при условиях теоремы по крайней мере-один фактор верхнего центрального ряда группы Cfo бесконечен. .

Пусть ^ j , с; • • • с. и: - С) (О

А/

- верхний центральный ряд группы , имеющий длину ио и не имеющий бесконечных факторов. Централизатор Г3<Х- мнокест-ва,элементов ^ у L - /., . . . есть бесконечный нормальный, делитель в . ; i Очевидно, имеем

Если — ^ q I . ., есть ынонество элементов группы.' не- принадлежащих ^г , то, ввиду теоремы 2, каядая группа Ifbi имеет не пустое пересечение с конечным множеством ^^ ^КПРИ всяком значении- . Следовательно, общая часть всех групп

СО i

Уь. о Т^П • • ■ - П ' v ~ Л должна быть бесконечной группой. Мы пришли к противоречию, ибо

W%v - ^f ; Значит, по крайней мере один-фактор ряда /l/ бесконечен-. .

Предположим теперь, что все факторы верхнего центрального ряда удовлетворяют условию минимальности для подгрупп. Тогда' какдый бесконечный из этих факторов, ввиду своей коммутативности, содержит нетривиальные элементы бесконечной высоты. По лемме ИгД^Адо /см. [ / фактор-группа не имеет элементов бесконечной высоты. Отсюда, ввиду теоремы 1, вытекает, что все факторы верхнего центрального ряда группы , начиная со второго, долкны быть конечными. Но тогда фактор-группа будет удовлетворять условиям теоремы и, значит, по-доказанному по крайней мере один из факторов верхнего центрального ряда бесконечен, что невозможно вследствие изоморфизма

Следовательно, по крайней мере один фактор ряда /1/ не. удовлетворяет условию минимальности для подгрупп:.

Следствие. Длина верхнего центрального: ряда какдой локально нормальной ^специальной группы Ц^Г конечна.

В самом деле, группа tyf , будучи специальной, удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Тогда этому условию должны удовлетйорять и факторы ее верхнего центрального ряда. Так как Oj- локально нормальна, то длина такого ряда не превосходит 1/J . Отсюда, в силу теоремы 5,: эта длина конечна.

Замечание. Если ^р - произвольное простое число, то существует бесконечная специальная - группа, обладающая,конечным центром. Длина верхнего центрального ряда такой группы будет больше, чем i (а) » а факторы этого ряда конечными /см.Г А ] /.

В качестве следствия.теоремы 5 отметим также следующее любопытное предложение.

Всякая бесконечная локально нормальная |> — группа <Р~ содержит конечную характеристическую подгруппу -такую-, что фактор-группа группы ^ ■ по этой подгруппе обладает бескокеч-^ щам центром.

В самом деле5 очевидно, группа ^ обладает верхним цен-' тральным рядом. ^v

- - - ¥■

I. . . '*" • .

Длина этого .ряда не превышает. Uo /см. теорему 3/. Пусть ^ -первый из .бесконечных членов верхнего центрального ряда. Тогда дополнительная группа имеет бесконечный центр ^

§ 3. ;

Лемма. Если группа обладает возрастающим центральным рядом и - какой-либо член ее верхнего центрального ряда . -И,= ^ • ■ - Зу = то при I с ix> произвольный элемент £ , .имеющий конечный

С L ^ порядок ф С^) - ^перестановочен с степенью какдого элемента.группы Ofr .

Доказательство. Предложение очевидно прк . Предположим, что .оно доказано при b=Jl>, f для всех групп, удовлетворяющих у слови© леммы и пусть есть элемент конечного по

41 - Л рядка fd , принадлежащий подгруппе Полагая

I "=-^ f , Ы. ^ > рассио.трим верхний центральный ряд факт о р-~ группы -zr :

- - ■ ■ ■ ■ - ^ ^

Если есть гомоморфный образ злемента j ^

- произвольный элемент группы и . .f^j - его гомоморфный образ в , то, ввиду индуктивного предположения, имеем

ИЛИ , f-l fl J-I где С принадлежит центру группы Ф ♦ Очевидно, С= что и требовалось доказать.

•Теорема б-. Если группа обладает возрастающим централь-; ным рядом,, то каждый ее элемент, имеющий бесконечную высоту, перестановочен с каждым элементом конечного порядка, содержа-i щимся в группе. ее верхнего центрального ряда:

Де ействительно, если ОС имеет бесконечную высоту в , ^ - произвольный элемент конечного порядка (H^J-k., содержащийся в.подгруппе ^ , шо из определения элемента Qd следует, что в группе найдутся такие элементы ' ■^/'"'^Дп' что Т . . Откуда,согласно лемме; ОС. J^ "Х- — ^

Из этого предложения, 'в частности, вытекает следующая те

• г

• ореыа, принадлежащая С.Н.Черникову /см. \.\Ь] {>

Всякая полная периодическая группа: , обладающая возрастающим центральным рядом - абелева. В самом деле, пусть

4 - % с % с V с / • • ^ ^ - ^

- верхний центральный ряд группы Djf . Если элемент ^ содернится з группе , то ввиду доказанной теоремы;он должен быть перестановочен с кандым элементом полной группы . Это означает,- что \ , т.е. Зд, ^ ^ '• Отсюда получаем группой называется такая группа, порядки всех злемен- • тов которой суть степени простого числа р j ;

Группа ф- называется расширением группы 0|/ при помощи группы если

01 является нормальным делителем в С^Г , а фатор-группа aia изоморфна . Расширение называется кв конечным, р'- расширением и т.п. , если группа ^ соответственно конечна, есть . р - группа и т.п.

Группа называется слойяо-конечной, если в ней конечно множество элементов каждого порядка.

Напомним, что группа, обладающая верхним центральным рядом конечной длины, называется группой конечного класса.

Теорема 7. .Слойно-конечные р- группы и только они являются специальными jp- группами конечного класса.

Доказательство. Б случае конечных групп это предложение тривиально. Ввиду- теоремы 2 из [l3l } каждая бесконечная слойно-конечная р- группа является конечным расширением содержащегося в ее центре прямого произведения конечного числа, групп типа ]' р^5 . Так как всякая конечная ' р— группа обладает возрастающим центральным рядом, и так как расширение специальной у- группы при помощи специальной ке у - группы есть специальная группа, то отслзда непосредственно следует, что слойно-конечная ^ - группа есть специальная группа конечного класса. . :<

Обратно, пусть (ty - бесконечная специальная группа конечного класса. Ввиду теоремы 2 из ^она является конечным расширением некоторой полной абелевой группы^Х^ с условием минимальности для подгрупп. По теореме (^Х содержится в центре группы ф- . Пусть'далее конечное множество элег-ментов U , ■ .: . . ■.: , \.Л/ представляет некоторую полную систему вычетов в разложении -Q)" в* смежные классы по модулю (^Х V4, Возьмем произвольный элемент из ф , имеющий порядок . Его можно представить в виде произведения > в котором . принадлежит к системе /l/, а С есть элемент .из (Si . w . *

Если КИ есть наибольшее из чисел ft- > > - вследствие перестановочности элементов и (L ? имеем

Группа , будучи коммутативной, с условием минималь-г ности для подгрупп, слойно-конечна /см. § 34/ и, следовательно, в ней содержится лишь конечное множество элементов, удо'влетворяющзге равенству./в/-. Значит, конечно и множество элементов каждого порядка j)^ в группе ^ , что и требовалось доказать. : - § 4.

Теорема 8. Если центр конечного р - расширения ^ некото рой ^ - группы , обладающей возрастающим центральным рядом, удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то и центр группы ^ удовлетворяет этому условию .

Доказательство 1. Группа ^ обладает возрастающим центральным рядом.

В самом деде, всилу теоремы Дицмана о центре труп- ; гш, содержащей'отличные от единицы конечные классы сопрянен-ных элементов, группа долина иметь, нетривиальный центр г

01, . Если ()t ^ "" гРУппа> порожденная всеми елементами групп i и ^ , то по теореме^^зоморфизн&^имеен откуда вытекает, что фактор-группа^^t^jOb, обладает возрастающим центральным рядом. Следовательно, по предыдущей^ ее конечное. р- расширение - йактор-группа ^ j Ot также имеет нетривиальный центр. Продолжая эти .рассуждения и приt меняя к ним трансфкнитную: индукцию, получим интересующее нас предложение.

2i Разлоким ^ в сыеяные классы по модулю : конечное мнонество элементов

1= 3>, , , ■ ■ % ;. ' ' /1/ представляет полную систему вычетов этого разложения. Пусть

Ot

- центр группы 'л . , Группа , \ порожденная всеми элементами из 0L и элементами системы /±/, 'б.сть конечное расширение абелевой группы Qb . Докажем, что •центр группы ^ - подгруппа 0Ь удовлетворяет условию мини-. мальности для подгрупп.

Пересечение (X' Л 0\, содержится в : 0V , поэтому оно есть группа с условием минимальности дляiподгрупп. Очевидно, индекс 01 : в группа конечен. По теореме об. изоморфизме;имеем -.{Ci', 015101*.СИ'let'пег .

Из этого соотношения вытекает, что 01- ' , будучи конечным расширением группы Ш 01 удовлетворяющей условию минимальности для подгрупп, сама удовлетворяет: этому условию.

Пусть - подгруппа группы QV , , порожденная всеми ее элементами, порядки которых делят число ^н . Группа конечна, так как группа Qi, удовлетворяет .условию минимальности для подгрупп. Через (Л- п обозначим подгруппу группы Qbf порожденную всеми ее элементами, порядки которых суть делители числа . Если 01 не удовлетворяет условию минимальности для своих подгрупп, то Ob ^ должна быть бесконечной. щстъ ' ла (я) iа+1) = at,*- ■ »о;., »oin х ■ ■ ■ представляет, разложение группы (Х^ в бесконечное прямое произведение ее циклических подгрупп. Если пересечение (Пи0 содержится .в прямом произведении конечного: числа мноннтедей. (/^и р10 общая часть .групп 0i.n и 0V должна равняться единице П CV rz < I /2/

Конечное число подтупи есть совокупность всех сопрякенных с подгрупп в группе , потому что- элементы , •• представляют полную систему вычетов группы ^ по поделю % ' , a Fn содержится в центре группы ^ . Пересечение : ■ Яи ft j является очевидно, бесконечным нормальным:делителем группы IP . Напомним/ что с IP" , так как Ob <Р . Ввиду следствия из теоремы должно быть- -S^ft ^ А , что противоречит равенству /й/; Значит, предположение о том, что 0V не удовлетг в;оряет условию .минимальности для подгрупп было неверно. Теорема доказана. § 5.

• В этом параграфе изучаются группы, обладающие верхним " центральным рядом, все фактора! которого удовлетворяют з'слоi • вию минимальности для подгрупп. Поскольку всякая группа с э'тим свойств ом, будучи периодической группой с возрастающим центральным урядом, разлагается в. прямое произведение своих силовских ■ — подгрупп, то: можно ограничиться лишь иссле^? дованием угруппы, о б ладающей указанным свойством. г Демма. Если ^ - группа ^обладает возрастающим центральным рядом, ^ы. г произвольный член ее верхнего центрального ряда, - какой-либо из ее- элементов порядка р ', некоторый элемент, из ^г^ , причем j, — натуральное число и если порядки элементов центра группы tyr в совокупности ог-р|аиичены числом, р^ , то порядок произведения ^^ не превосходит числа р1^1 ° , где yr] ~ П"*-* i П t г ■> ^^^ ^ i) \

I'.oказательство.Яредложение очевидно, когда L - Л , т.е.

• ws ♦ ; 1 -ч ь , элемент Об- < принадлежит центру; Пусть формула^ ^ = уже установлена при t ^ для всех f- групп, обладающих возрастающий центральным рядом.' Вели теперь взять элемент cZ^f ^ » т0> переходя к верхнему центральному ряду фактор-группы. замечаем, что для гомоморфных образов и % элементов ^ и ^ име@т место; равенство

Шщ Г . = ибо;в силу теоремы £убудет : . в " ' '$2*/ ' = ^ * ■ 'Г

Г 1 £

Возведя обе части последнего равенства в степень у> , • найдем гун-с к« , Г

6V/J1 .: :

Предложение доказано.- Ясно, что эта формула не зависит от порядка^, в'котором: берутся сомножители.

Теорема "9. Если . группа обладает возрастающим центральным рядом и все факторы ее верхнего центрального ряда удовлетворяют условию минимальности для подгруппу то и группа-удовлетворяет этому условию. - .Доказательство. Заметим сначала, что при таком предположении относительно группы ^ все факторы ее верхнего центрального ряда, .имеющие натуральный номер,- начиная со второго, ввиду леммы И.Д.Адо /см. / и теоремы 1-убудут конечными. Так как каждое расширение .- группы, с условием минимальности для-подгрупп при помощи группы, также удовлетворяющей этому условию^является группой с условием минимальности для своих подгрупп /см. л . . ^ tiH") / , то предложение достаточно доказать лишь для случая, когда ^ имеет верхний центральный рад-f . . •' • . , ъ: -/V факторы .которого при натуральных индексах.-конечны,. а прочие факторы удовлетворяют условию минимальности для своих подгрупп.

Если Y - число конечное, то предложение справедливо. Так как,по теореме 5 длина ряда /if не может равняться числу со , то следует рассматривать лишь случай, когда! lo .

1. Докажем сперва, что группа 'из верхнего центрального~:ряда /l/ имеет центр Q] , удовлетворяющий условию минимальности для подгрупп.

Заметим, - что при нашим предположениях /все ^ при i- w конечны и $ у со / группа СЬ-и> должна быть бесконечной. В этом, легко убедиться, просмотрев^первую часть доказательства' теоремы 5. Поскольку центр группы ^ . конечен ?иг следовательно, удовлетворяет условию минимальности для своих подгрупп и числа отрезка вполне'упорядочены по возрастанию,- то среди них найдется наименьшее порядковое число |3. , для которого центр Ot^ группы удовлетворяет условию минимальности для подгрупп; Это число предельное; В самом деле, в противном случае существовало бы число J3-"' . Ввиду условия минимальности, .которому по предположению удовлетворяет абелева группа- $ j \ ^ -1 , в ней существует лишь конечное^множество элементов каждого порядка и поэтому ее :/.ожно представить в виде теоретико-множественной суммы конечных групп f^- 7 (1= 1 л^Лпорожденных теми элементами фактор-группы ^ | > порядки которых делят соответственно числа рИ- # Согласно' теоремы 8, центр каждой группы должен содержать бесконечно много элементов'порядка р , ибо, по предположению, нижний слой группы (У1 бесконечен /т.е. в группе (УЪ„ бесконечно множество элементов порядка Р /. Обозначим через Ju^ нижний слой группы >Jn . Всилу теоремы 2 пересечение

V) , К = пусто. Пусть о (V . / ' и

- л (\ХУ . Вследствии соотношений VfJ и П 1- .

V И 'j и.' ft ^ ^ f имеем для всех натз^ральных tb

Ввиду конечности множеств ^ - - S „ ^ fc ^ со » отсюда вытвг ■ .С ?J кает, что пересечение l« r\7h всех бесконечно и содер-кится в ОЬр . Однако, это невозможно, так как группа • содержит лишь конечное множество элементов каждого порядка; Значит, ^ , не может быт.ь непредельным порядковым числом. У бе-* .димся теперь в том, что оно совпадает с со . Допустим, напротив, что . Тогда при каждом рС , удовлетворяющем неравенствам CoteL^ f , нижний слой ОЬ^ центра ОЬ^ группы должен - '*■-■■■■ ■■ " ; . " с,I<v • a f л,^ быть бесконечным; Обозначим через лу / пересечение ^ 0 {](,. - г ' CvW Ц (Р; 4 / .

Очевидно, имеем rJ , z> rJ > если о( < сК- i •• -Рассуждая, как вы ^ ^ ■ п ел-Ч " . ше, найдем, что общая часть И есть бесконечная группа, соfM ' . держащаяся в UCp , что противоречит- условию минимальности, которому удовлетворяет группа Obр . Итак, не шзнет превосходить из - . Утверждение этого пункта доказано.

2. Ввиду результата предыдущего пункта Осесть конечное расширение1 полной абелевой группы ,с условием минимальности для подгрупп. Всилу теоремы 6, :являвтся максимальной подгруппой с этим свойством в группе ^fio •

Рассмотрим верхний центральный ряд ;фактор-груплы ^ - • • • = /W

Пусть , 0 ~ Т- ^' » есть группа, соответствующая ^^ ! при гомоморфном отображении . на Докажем, что все члены 0^уг ряда /1»/ при конечны;

Группа Щ конечна и Пусть уке доказано, что группы -At конечны и ? / д ^С^ .

Введем обозначения- Л tyj / (f). ; и пусть соответствующие км подгруппы в' будут

Группа слойно-канечна. Из индуктивного предположения вытекает;, что группы слойно-конечны /см. теорему 7/.

-.Йокакем, что ото свойство присуще и группе • Пусть

- какая-нибудь полная система вычетов в разложении Эс в сменные классы: по подгруппе (^t и

-множество всех элементов грз^ппы , имеющих порядок . имеющих порядок Если ^ - произвольный элеме^т^из ty , ^ - произвольный элемент из-: системы /з/ и• ^ и - их гомоморфные образы в группе ^ , то из определения верхнего; центрального ряда /V/ вытекает, что коммутатор [4" ] принадлежит к группе fy е , а так как Д^ fa , то и [-f^ ИтакЦ? Д] . Переходя к прообразам этих элементов, получаем

Класс элементов, сопряхенных с элементом в группе конечен, так как локально нормальна в fyt . Последнее и ю • ■ ■ соотношение показывает, что элементы этого класса могшо представить в виде (,■■ - /V где принадлежит fc} £ = . - • , fy <f .

Элементы системы /а/ содержатся в группе верхнего цено трального ряда группы ^ при некотором; конечном номере J

Ввиду леммы, отсюда вытекают соотношения где М: , и, . , , . pt ^ J

Так-как порядок каждого элемента /4/ равен , тто возведя их в степень р< / получаем,-, ввиду- предыдущих соотноше-; ний, следующие равенства- „<+-(,--.i £ • " • \ - '1 . /5/ Пусть - произвольный элемент :из системы /2/произвольный из элементов группы ^jy , удовлетворяющих соотношениям /б/. В (^Х .таких элементов имеется лишь конечное число. Тогда и все коммутаторы элементов системы /з/, совпадая с некоторыми из произведений вида , > образуют конечное множество1 и, следовательно,, содержатся в некоторой группе ряда /l/» vпричем ^ ш . Отсюда вытекает, что элементы /з/ должны содеряатьея в группе,- . . Значит^число элементов любого данного порядка p^g. конечно.; Ввиду 'теоремы 2 из 0^1

7? I.' а конечна и группа (j

С+1

Из включения 0} (Z. > вытекает, что 0} ^я,.,.,- В самом деле, если. ^ - произвольный элемент из . , ^ - произвольный элемент группы » а ^ : и ^' - их гомоморериные образы в Щ \ Щ , то из определения группы имеем сьс+1 ' с [5 ЛЩ^Ъс. .

Переходя ;К прообразам, получаем •

1Ш < - i. * • .;

Последнее, означает, что Теперь конечность группы, легко усматривается из соотношений изоморфизма: ибо последние показывают, что группа + > будучи расширением специальной группы V пюи'помощи специальной

С-и яе группы tyf \\ , является специальной группой /см. / вс-м ^ иследовательно, есть конечное-расширение группы (fx о:.'. [Я]/. 3'. Составим ряд - v., / л с . -« нормальных делителей группы^ ( и трансфинитную последовательность . ' . £ ■: ■ v ' ; & - й

- > к)~ ^ у - • у где ' есть-центр фактор-группы ^ / fiJ- ьо & * ■

Б этом пункте я докажу, что группа ^ удовлетворяет условию минимальности для подгрупп.

Если f uj I(f). бесконечна, то бесконечной должна быть и группа • Действительно, при э'том предположении о группе ^ верхний центральный ряд группы ty-(fi -доляен иметь длину, большую, чем W , потому что/по предыдущему, все группы^ для i ^ la? конечны^и.^- значит, при длине- этого ряда, равной.'^ , получилось бы противоречие /см. теорему б/i. Пересечение ^{.централизатора. множества элементов группы с является, очевидно, бесконечным нормальным делителем группы Ф и поэтому имеет непустую общую часть с каждым из конечных множеств fyj ~ ., К 1>0 /см. теорему.'2/. А .так как имеем

I i

3k ^ • - . г, " '• ; ft-s : о. то пересечение И ^ всех д/^ , совпадающая, очевидно, с является бесконечной группой.

Группа Щ | .- конечна^ил- значит, ^удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Пусть ^ - наименьшее число отрезка 0/4 S , для .которого группа удовлетворяет условию минимальности для своих., подгрупп. .Спираясь на теорему 8, легко убедиться, что ^ - предельное число /см.пункт 1 нестоцего доказательства/; Покажем, что оно равно . Допустим, lp(Pj напротив, что > со и обозначим через нижний слой группы Ч^-1", -у LO^olz . Так как при о<< р группа не ц С Р; удовлетворяет условию минимальности, то группа - . должна быть бесконечной; Значит, Для' калдого к (J) й k <■ ьи) пересечение ~ Q^) должно быть непусто. Пусть ol<i - некоторые порядковые числа,, причем о^^. ^ . Если рлемент ^ из ' : ■ - «

Jj^ не содержится в Jj^ > то вследс.твие' включений t I & ; он не может содержаться и в . Ввиду конечности множеств : 1С » отсюда следует для каждого фиксированного j^. су- ' ' ществование такого порядкового числа , что пересечения • - jfl ири всех ^ удовлетворяющих неравенствам < ^ ':» совпадают. Элементы из ^f^ ^ будут принадлежать группе ибо (3 - предельное число.-: Так как при различных значениях Ц-r о, % • • -/множества непусты и не имеют общих элементов, но нижний слой группы должен быть бесконечным, что, однако., противоречит'условию минимальности для подгрупп группы ' • Следовательно, Р/ не может превосходить ш . • I" ■ '

Утверждение доказано. ' . Выше установлено, что если / бесконечна, то и должна быть бесконечной. Но в этом случае , будучи абелевой группой с условием минимальности для своих подгрупп должна содержать, отличную от единицы, полную подгруппу^/ . Соответствующая ей в . полная группа! оказалась бы отличной.от/ , что невозможно ввиду максимальности полной группы в группе /см. теорему б/. Значит, , будучи конечным! расширением группы , удовлетворяющей згсловию минимальности для подгрупп, сама удовлетворяет этому условию см. [т /.

4.-Остается показать, что длина верхнего центрального ряда группы 1 равна Си+ ^ , где К - некоторое натуральное чис ло. Действительно, этим- будет установлено', что Ofy , представляя расширение группы ^^ , удовлетворяющей условию минимальности для подгрупп, при помощи группы 0) / %vo ., также удовлетворяющей этому условию, сама является группок с условием минимальности для подгрупп /см. [J^/J /•

Заметим, что длина ряда /l/ не может равняться (л) % . В этом легко убедиться применив теорему 5 к; -дополнительной группе . . Допустим, что * Тогда фактор-группа ■ ■ должна входить в верхний центральный ряд ;для (^jl^oo с номером ^ -Ввиду результата пункта 3 настоящего доказательства, группа ОУ должна быть специальной. Следовательно, будет специальной и груп ■ па Это означает, :что . ^f' есть конечное расширение' полной абелевой группы ■ (f). , содержащей лишь конечное множество элементов каждого порядка /см.теор.7/."Всилу теоремы 3, (^Х входит в группу . Отсюда вытекает, что . ^ должна входить в верхний центральный ряд /i/ с номеров co-f-X , где -конесное число-. Но это невозможно, • ибо Полученное противоречие убеждает нас в том, что предположение неверно.

Теорема 9 доказана.

Следствие. В случае группы, обладающей: возрастающим центральным рядом,^условие минимальности для ее подгрупп и условие мкни-'ыальности всех факторов верхнего центрального ряда этой группы равносильны. "

Следует отметить частный случай предложения 9. .

Теорема '10; Если группа ^ обладает возрастающим централь ным рядом и все факторы ее верхнего центрального ряда конечны,-то Щ. удовлетворяет-условию минимальности для подгрупп.

Из доказательства теоремы 9 непосредственно вытекают следующие утверждения. "

Теорема 11. Если группа Щ- ■ обладает верхним .центральным ря-дом, факторы которого удовлетворяют условию. .минимал ьности для своих прдгрупп, то фактор-группа группы Dfr по ее центру удо влетворяет условиям теоремы 10.

Теорема 1-2» Если группа обладает верхним центральйьш. рядом, факторы которого удовлетворяют условию минимальности для подгрупп, то длина этого ряда будет равна: непредельному порядковому числу, меньшему,, чем to £ ■ Известно^ что фактор-группа специальной группы, а также лю-'бая ее подгруппа будут '.специальными. Ввиду этого и всилу теоремы 9, мы получаем следующее предложение. :

Теорема 13; Группа тогда и только тогда специальна, ког да она, обладает верхним центральным рядом1, все факторы которого удовлетворяют условию .минимальности для подгрупп. . . § 6. < В настоящем параграфе изучаются группы, обладающие возрастающим центральным рядом.и удовлетворяющие условию минимальности* для абелевых нормальных делителей. ; Теорема 14. Если группа , являющаяся конечным у - расширением .некоторой |> - группы ' ^ с возрастающим центральным рядом, обладает- абелевым нормальным делителем 01/ , содержащимся в' центре: группы ^ и не- удовлетворяющим уело- . вию минимальности для подгрупп, то пересечение группы Qj^ с'.центром группы O^f также не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. '

Доказательство 1. Обозначим через 'Р ; нижний слой группы ffjy . Предположим сперва, что фактор-группа ^ коммута- ■ тивна; Пусть конечное множество элементов группы Оу представляет какую-либо полную систему вйчетов в разложении ' по модулю ^ '. Для доказательства предложения в этом частном случае применим, метод полной индукции-по элементам системы /±/. С этой целью будем считать уже доказанным, что пересечение центра группы

J-Д ; . . . Ai-X't^.L 4 к ' , с группой бесконечно. Обозначим-это пересечение: через Я^* • Очевидно, группа инвариантна в . Рассмотрим группу

C^i-,-,^; jf -Ввиду теоремы 8, центр этой группы не удовлетворяет условию минимальности. Следовательно, если 0 C^i) - , то существует' такое натуральное число А у , что для бесконечного множества элементов из группы элементы вида^5^ ; при над ле дат к центру группы Д' Из

-» венетв по сокращении на получаем "»,•

-Последнее показывает, • что бесконечная группа х/ 'Здесь Е-в дальнейшем -фигурными скобками обозначается группа, порожденная элементами, стоящими в :этих скобках. порожденкая элементами , содержится в центре группы ^ } .

•Так как- принадлежит к центру группы { 7 "• ■• •; ] и то группа принадлежит к центру группы ИЛ - - • ^ 1 ^^ • Значит, пересечение центра этой группы с группой lPL-t, бесконечно. А так как ^ * те РРе>2'" .ложение в рассматриваемом частном случае доказано. : 2.-' Пус:ть теперь - произвольная конечная груп-г ■ па, а 'нормальный вяд ' ' представляет -верхний центральный ряд группы Oj

По доказанному пересечение центра группы с группой^ i бесконечно. Если уже доказано, что пересечение центра' группы : * i'^ ^ *с группой - ^ бесконечно, то, нхрименяя результат пре- . дыдущего пункта к группам и Jj'-t-f , убеждаемся в том, :. что пересечение" центра группы с группой также бес

• конечно. Этим завершается доказательство -теоремы 14.

Следствие.Если центр некоторой - группы ^ , обладающей возрастающим центральным рядом, не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то пересечение этого центра с центром каждого' конечного |з - расширения группы также не удовлетворяет условию минимальности.

Теорема 15. Если у- группа ^ , обладающая возрастаюдц-ш центральным рядом, содержит абелевг.:-:> Нормальный делитель, не удовлетворяющий условию минимальности ;для своих подгрупп, то в последнем содержится отличный от- nerio абелевый нормальный делитель группы С\ » также не удовлетворяющий условию минимальности для подгрз^пп.

Доказательство. Пусть Уу - какой-нибудь коммутативный.• нормальный -делитель группы , не удовлетворяющий условию минимальности для своих подгрупп. Обозначим через ^ ликний слой- группы ^^ и пусть .

- ■ ^ ну есть верхний центральный ряд группы ' .

Если ^ содержится в-, группе ^ : , то предложение доказано. Предположим,;теперь, что ^Р не принадлежит к ^ Произведение ^'Ф"- ^представляет неспециальную коммутативную группу,' инвариантную в . Так. как ф не содержится в центре группы Q}-- ,-- то найдется порядковое число , меньшее чем $ t. такое,, что центр группы ^"1?=^содер- ' жит группу • , тогда как группа $ гг уже не. со-, держит ^ в своем центре. Тогда в группе ^r^( найдется элемент не входящий в группу ' ^ ' и такой, что центр • "

Jls конечного расширения , группы не содержит группу ^р- " . Ввиду теоремы 8, группа Qb не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Из инвариантности 'в fy ' группы J " рытакает инвариантность: групп^С^ и 0L

Ввиду теоремы 14 пересечение 01 f) IP бесконечно. Оно отлично от/ так как последняя не содержится в: 0L . А так как это пересечение инвариантно в Q^ и не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то предложение доказано.

Теорема 16. Если группа Oj. , обладающая возрастающим центральны}.-! рядом, удовлетворяет условию минимальности для абелевых нормальных делителе:*,. то -' fyf удовлет- ч воряет условию минимальности для подгрупп:. .* U.-6Jу е --------^ (ty PcJ^ifjL^Ju^,

Доказательство 1. Докажем сперва, что irpynna верхнего центрального ряда группы Оу удовлетворяет условию минимальности для подгрупп.- С этой целыз предположим, что ^ не удовлетворяет этому условшо и покажем, что тарсое предположение приводит к противоречию.

Пусть ^v^ - некоторый максимальный коммутативный нормальный делитель гпуппы Qj' ■. Ввиду-.теоремы ! 15, группа У^у слой-" ^ ' 1 \ но-конечна,. следовательно., она содеркится в группе о^ верхнего центрального ряда группы ^ /см. теорему 3/. Группа^/^ разлагается1 в прямое произведение групп '(^L и Р , причем

- полная- группа- р - конечная. Пусть Цен-? трализатор,.в группе множества элементов первых Ислоев х/ группы ^^f имеет конечный индекс в Оу . Индекс пересеченшс ^(1 в группе ^^ такие .конечен'. Поэтому, есхи не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп,

•!то и . не удовлетворяет этому условию^ и следовательно, она отлична от .- . Так как ввиду определения группы ^ , последняя содержит в своем центре подгруппу f* . и так как группа 1 (^Х содержится в этом центре ввиду теоремы 6, то и группа ;содеряится.в центре группы ^ • Отсюда, ввиду максимальности . ■труппы , вытекает, .что она совпадает с этюд центром.

Рассмотрим верхний центральный ряд группы ^J v-*> ' ^ ' ~ (ч

Ввиду максимальности группы г^ » центр ^г группы Vj со-'держится в,1 Так как, очевидно, Дг^0 аГ, »

Пусть - первое натуральное число,: для которого пересече- • х/ т'. е. Тыкогества всех элементов группы Щу > порядки кото-'рых делят число рп О ние ^AV, не содержится в ^ . Такое число (с .существует, ибо не входит в ^ ■ Если элемент ^ содержится в ^Tfl ^ ,. чо ^ € . Действительно, коммутатор J -]принадлежит к группе j и содержится в rv , ибо ^J инвариантна в ^ . Значит, pj^J; 6 ^^ ^V-f^ • Так как ^ ; ■ - произвольный элемент из. . tyr , то последнее означает, что

• пус ть теперь ^ - ■ - к ji-f itf^^^fyf )- Тогда группаотлична от и инвариантна в Cfy , ибо все коммутаторы элементов ^ и ^ лежат в .инвариантной в Cfy группе . Так; как - центр группы 5 и ^.(^f ,.Т0 "f^^^J коммутативна. Ыо это невозможно, . ибо - максимальный коммутативный нормальный, делитель группы . Полученное противоречие показывает, что

Ik

- специальная группа.

2. В этом пункте ?ду дет.л доказано, что лУ^.:.специальная С" ' группа.-Для этой цели предположим, что wff - нэ специальная г группа и покажем, что такое предположение приводит к противоречию.

Если группа • Qj- .не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то, ввиду результата пункта 1 настоящего доказательства, длина верхнего центрального ряда . * группы должна быть больше, . .чем- U) • Группа является конечным расширением.- некоторой) =полной абелевой-группы ;/см. /• Пусть разложение : • в смежные классы по модулю будет /г Ъ - - • • + .

Полная система вычетов telSV, ■ • • содержится в rnvnne х/jhk. ~ означает член верхнего центрального ряда группы , имеющий номер ос • верхнего центрального.ряда группы : при некотоhL ром натуральном номере К . Зна.чит, ^jV По-теореме об изоморфизме, имеем . . Н --• 6 il'i* t • <f«7 1 в*- К 2 12 Z

Последнее показывает, что фактор-группа ^/^^уолная бесконечная абелева группа. Рассмотрим верхний центральный ряд группы£$~

Предположим сначала, что фактор-группа I ^со удовлетворяет условию минимальности для своих подгрупп- Централи-атор ^Xsyi- в группе ; множества; элементов первых ttблоев Ctt* I Д, • • . группы содержит, очезидно, группу

Зг и имеет конечный индекс в. группе Щ . Выше было дока-• J СО i -7? ° зано, что группа . удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. По предположению, Сfy не удовлетворяет этому условию, : ко.следоватедьно, этому условию .не удовлетворяет и фактор-группа ■ ty I • Так как индекс группы в fy конечен, то, ввиду : изоморфизма Q | jjlh I J^ Q|фактор-группа ^ , таюхе' не удовлетворяет условию минимальности для своих подгрупп, . "'и значит, она бесконечна. Ввиду теоремы В, отсюда вытекает, что ■'пересечение 1 : fijiniJl = „ . Г йри всяком; \\ отлично от единицы группы J ^ ■ . Так как , по предположению, всякая убывающая цепочка подгрупп группы j ^ i обрывается на конечном месте и так как при П^ П | группа ^ J содержит группу ^ j \ /ибо и /» то существует на- >

И, t туральное число ■ nt такое, что'для всех; rv пересечения Tfo. j^ f)^ совпадают. Это означает, что в найдется элемент ^ , не входящий в и перестановочный со всеми элементами из - . Коммутативная группа очевидно, инвариантна в, . Группа^^ ^ } , очевидно,-слойно-конечна, и значит, она содержится в группе /см. теорему'З/.- Получилось противоречие, ибо

Итак, если не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то и группа | ^ не удовлетворяет этому условию,, В этом случае нижний слой группы бу- ■ дет бесконечным. Обозначим через ф централизатор в группе ;

V множества элементов группы ^^ : , порядки которых делят число ^ . Очевидно, ^р-( инвариантна в РУ и не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, ибу этому условию не удовлетворяет группа ^Р .

Выделим все максимальные полные подгруппы группы Sl^? > t€, ^ '— j инвариантные в и отличные от самой группы *> . Сущее UJ • ■ вование групп fiu^ вытекает из того о^акта, что каждая полная подгруппа примарной абелевой группы является прямым множителем для последней, и?,- что полная примарная группы может быть разложе на в прямое произведение групп типа , причем все такие разложения данной группы обладают одним и тем же числом прямых множителей /см. [1] /. Может, конечно, случиться, что среди групп нет отличных от единицы. Через Л\ обозначим - Ы. - . ' У ' I все полные подгруппы группы , отличные от групп и такие, что каждая является инвариантной в Cfy , максимальной подгруппой в каждой из содержащих ее групп . (^Х oi порядковые числа -сЦ и р> между собой не зависимы/. Пусть мы' построили группы fi\ у llif и). Обозначим через

CS) fy , отличные ox групп

•все полные подгруппы группы w , . . . и) • • ■ ■ ■ Ы. / такие, что каждая ДХ является инвариантной |Л) . . . . . - . в (JJ/ , - максимальной подгруппой во всякой содержащей ее 'X.(i) . группе ОУ^ *.Ввиду условия минимальности, которому удовлетворяет группа ^ , этот процесс закончится через конечное число \с шагов на единичной группе б)! — i •

Пусть ^ ■ есть пересечение всех групп Ввиду условия минимальности,' которому удовлетворяет группа ^ ^ |;ля каждого L существует такое натуральное число 'Y^i , что группа ^у равна пересечен!® некоторого конечного мно^ iij г- (О яества групп ОХ , , - ■ ■. , ОХ и■

Hi -,,М vO с к!

Через } 1 , . • - / Н; f обозначим множество элеме'н J тов фактор-группы , порядок котоиых делит число ю3" . ; .• - ' .тг . г

Заметим, что группы ""ЗПП^ конечны, потому что елойно

•конечна /т.е. в конечно множество элементов каждого порядка/ .

Централизатор j fy, в группе fJtfXj множества ТУ*, д содержит группу ^ j . Группа Tflj j(fij не специальная, потому что индекс ее в группе ^ | (fL- конечен. Пересечение к f , ' " . ■ " S .-.-. --

ТО. — Л не удовлетворяет .условий минимальности для подгрупп, так как, всилу изоморфизма jlflyl — ^ L^*} ? каждая из групп имеет конечный индекс в . Покажем, что группа ^ j ^ содержится' в центре фактор-группы Ъ / Пусть - произвольный представитель какого-либо из сменных классов, составляющих фактор-группу ^ ( • В случае, когда р -нечетное простое число, центр конечного расширения

ГРУППЫ I ,::j= 1; • - ■ ; п,. , ввиду леммы :

3 = бесконечен, следовательно, бесконечной будет и!

Максимальная-полная подгруппа Objl этого центра. Так как группа (^ } инвариантна в Щ , то; к группа ОЪ^ оказывается: инвариантной в 0J- . Ввиду максимальности труп- " 111:1 , должно быть СЬ' -'^ » Отсюда вытекает, что если ^ - - произвольный элемент из группы ,. то коммута

Т0Р принадлежит к (^Vy , j,= . , Н,. Следовательно, : элемент содержится в пересечении . А так

-р^ i=< * * -как е)^) - произвольный элемент из ^' , то доказано, что при н,ёчетном р . группа ^ j содержится в центре группы ъщ .■

Пусть теперь £ , Допустим, что центр группы ; конечен. Тогда в группei^ffaj&X. должен содержаться некоторый квазицикличоский нормальный делитель /см. § 3 и 4 из / группы

Пусть

В полной группе ^^ существует элемент^ ОС , квадрат ко-хорого равек ? . Зсли * . Я ] = **' ОС Я « ^ то ^ — ^ ' , ибо Х*'- В перестановочен с , ОС w ^ принадлежат .к коммутативной группе . Легко проверить, что « Следовательно,

По определению группы /^р^ 1 ,.- все элементы 4-го порядка из ^^ входят х/ ' Эта~ Лемма' имеет'"еледующую формулировку". ■ Цусть р - нечетное простое число и ^р - такое расширение некоторой абелевой ' у5 - группы" Ct' , что порядок фактор-группы ^} QL равен числу "f ' . Вели центр'группы "^Р : конечен, то он содержит не-„все элементы р- го порядка из группы фЬ . в центр группы . Пусть \А/V' я VK f ^ • Тогда элемент перестановочен с Поря-? док элемента^X JVV - W равен 2.- Группа

• { Увлетворяет условиям леммы х/ 4 из m ибо i

Jl.rll S'V^ . Значит, группа { коммутативна. Это означает, что центр группы. { ^^ I -•' { ^ ^ ^.j- j (f)L ^вопреки предположению^ бесконечен, и следовательно, он совладает .с / (^V у • пришли к тому же результату, что и при р -нечетном: группа' ^ 1 ^ содержится в центре: группы (^ .

Пусть уке доказано существования инвариантной в ОУ не специальной" группы, содержащейся в^^З^и такой., что фактор-группа ^ / принадлежит к центру группы !

1 - к- . Централизатор Tt- • / / • 7 j=4 группе ^д** /(Sl ?/ элементов ту не удовлетворяет условию минимальности для d подгрупп, а потому этому условию не удовлетворяет и пересечение revLi«J T

11 о и. -^r • . Значит, группа ^J отлична от -у очевидно, /^содержится в ^ /. Покажем, что группа' ^ I ^ ' содержится в центре группы Ivfr '■ Пусть произвольный представитель какого-либо из смежных классовсоставляющих фактор-группу ^f] ^ к и вы- • ше, убеждаемся в том, что центр конечного ресшнрения { ■ *\ группы J^l 0J-: у J = ,бесконечен, а значит, бесконечна и

Гнси')1 ■ ' максимальнаяз:полная подгруппа .(/t. / - О}- : этого, центра. i х/ Эта лемма имеет следующую формулировку. Пусть • ^ такое расширение'квази-циклической 2 .**' группы Ot, > что ^ порядок фактор-группы ^) Cfy, равен 2. Если центр группы f содержит элементы порядка 4, то группа ^ абелева.

Так как Cbинвариантна в ^. , то ввиду определения группы (51. » группа UL- содержит некоторые из групп QV^ ,

•5t- , а .-поэтому ЦЪу содержит и группу ^^ Это означает,. чт.о нормальный ряд Mi"! Щ*** представляет: возрастающий центральный ряд, группы { f 61

Ввиду теоремы 6, отсюда вытекает, что фактор-группа / dV J содержится в.,центр о грушш-[ ,$>}! ^ Значит, для всякого элемента % £ коммутатор[;&, принадлежит к группе , т.е. группа j ^ входит в центр группы

Полагая .l = ik. , мы получаем инвариантную в , не специальную /и следовательно, отличную от ) ГРУИПУ ^ ^ » которая содержит в своем центре группу i ^^ и сама содержится в - + ) • ^ " произвольный; элемент этой группы, не принадлежащий к \ , то группа {^ должна быть отличной от ■ • С другой' стороны, инвариантная в ^ , коммутативная специальная группа.{ ^ ? } слойно-конечна, и значит, ввиду теоремы 3', она должна содержаться в Полученное противоречие показывает, что предположение о том, что ОУ не удовлетворяет условию, минимальности для подгрупп было неверно. t

Теорема 16 полностью доказана.

• Замечание. Существуют не периодические [группы, обладающие- возрастающим центральным рядом и удовлетворяющие условию минимальности для абелевых нормальных делителей. Ясно-, что -такие группы не удовлетворяют, условию минимальности для подгрупп.

У ьг, Пример. Пусть. | - простое число и ti - группа- р с образующими ':^ - J f ft ; • • -. у Я* ? - ~ • . Отображения определяет нетождественный автоморфизм группы. Всилу этого, • группа , порожденная элементами- }-=Af Д ; - • у ) и-элементом , удовлетворяющими соотношениям. ^^ = , и.- Л,1, . . су ( Ос. )-=: ьо , ,Г ';/„ X =• С"-О,.-, , является расширением квазигДиклическай группы при помощи бесконечной циклической группы { ^ j - ^ , ffl Очевидно, обладает верхним центральным рядом длины OJ f 1 - io с • • ' ^ L с' : с ^L^^+f - ^ J где есть циклическая группа порядка i |ри , порожденная • элементом Единственным бесконечным абелевым нормальным делителем в ^ является группа Ф i .В самом деле, пересечение каждого бесконечного нормального делителя группы с . группой 1. , ввиду теоремы 2, бесконечно. Так как все истинные подгруппы группы ^ конечны, то это пересечение должно совпадать с . Следовательно, каждый отличный от бесконечный нормальный делитель группы содержит группу ^ , а потому он порождается элементами из ^ и некоторой «степенью. jC

-у ' -y-1 PL элемента x' . ^виду равенства JL я„ А - при достаточно больших И . равенств® X Д,^ невозможно, так как для таких KV ни» -при каких целых значениях |с : невозможно равенство р «Н. . Следовательно, всякий отличный от ^ .бесконечный нормальный делитель группы б^- не коммутативен, а потому все коммутативные нормальные делители.группы ty- должны содержаться в ф-. ■ и значит, : удовлетворяет условию минимальности для абелевых нормальных делителей.• j

•• Теорема 17. Если у - группа обладает возрастающим центральным рядом и факторы ее верхнего, центрального- ряда, имеющие ъ - ,41 - • натуральные номера, удовлетворяют условию минимальности для подгрупп, то,-этому условию удовлетворяет и: группа .

J , "

Эта тес-рема является-усилением. теоремы. 9. Be доказатель

- I—. ство легко получить так.

Ввиду леммы И.Д.Адо /см. /и теоремы 1, факторгруппа группы по ее центру должна обладать верхним центральным рядом, факторы которого с натуральными номерами конеч- ; ны. Применяя к этой фактор-группе теоремы 15 и 16, получим, что ) она удовлетворяет, условию минимальности для подгрупп и. следо- ; вательно,.этому условию удовлетворяет и группа ;

В качестве следствия теоремы 17 отметим следующее любопыт- ■ ное предложение. .

Те о рема--18. Если ^-группа ^ обладает верхним центральным рядом, факторы которого, имеющие натуральные номера, удовлетворяют условию минимальности для подгрупп,то длина- такого ряда . ые доходит до трансфинитного числа j . Доказательство. Ввиду' теоремы 17, группа удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, и следовательно, этому условию долины удовлетворять и все факторы верхнего центрального •ряда группы .Отсюда, всплу теоремы 12, длина такого ряда будет равна непредельному числу, меньшему оо%

Теорема 19. Б.сли длина верхнего центрального ряда некоторой группы либо равна первому предельному порядковому чисг лу со , либо не меньше предельного числа to & , то среди факторов этого, ряда, имеющих натуральные номера, существует "бесконечно много не удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп Доказательство. Пусть ^^ есть член .-верхнего центрального

V Hi.7 данная орд^пы Ленина

Ш!? ни. В. У,. ЛЕ^ША ряда группы- ^ . , имеющий номер оС . Пусть далее YI -некоторое натуральное число,- для которого фактор ^v, не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Если •длина верхнего центрального ряда группы ^J" равна со , то существование такого- fb непосредственно следует из теоремы 5. Воле же длина этого ряда не меньше, чем to%, ., то число W, существует всилу; теоремы 18. (Фактор-группа "очевидно, удовлетворяет условиям доказываемой теоремы. Потому существует натуральное число Ил > и > Для которого фактор

Не УД°вле1,во'Ряег условию

•минимальности для подгрупп. Ввиду изоморфизма f \ t I ^ и*' j ^yvy^i условию не удовлетворяет и фактор J • Этим теорема доказана.;

§ 7.

Условимся называть- возрастающим нормальным рядом некото- ; рой группы ; ' неубывающую, вполне упорядоченную последовательность ее нормальных делителей: ;

А = oi0 ^ 01, ^ - ■ ■ cr ci^ ^. причем, -если ОС — предельное порядковое:"число, то (Х-^ определяется .как объединение всех Ot. ^ при ^ ^ »<. : ft, = • !

Если при всяком непредельном с< фактор-группа,- ОЬд ! ОЬ^^х коммутативна, то нормальный ряд"называется абелевым. - '

Абелевый нормальный ряд назавам максимальным, если фактор - (^-Соответствующий. непредельному числу Ы. . , являет- ' ся максимальным абелевым нормальным делителем группы ( \ '

Б этом случае порядковое число X называется длиной этого ряда.

Легко было бы показать, что группа, обладающая.-хотя бы одним абелевым нормальным рядом, имеет такие- максимальный абёлезп-.:нормальный ряд- Однако это предложение для дальнейшего несущественно и на его доказательстве мы не останавливаемся.

Теорема Если группа Р^ обладает максимальным абелевым ; нормальным рядом и ^fyf ~ ее ,произвольный; нормальный делитель, то из непустоты пересечения следует нецусто.та i пересечения ^ 1 J- прк всяком Z ft '

Доказательство. Пусть элемент ^Hs принадлежит пересечению : fl (Otp^f"' OL^) и - произвольный элемент группы Obp+.f .

Коммутатор& содержится в группе ^^ ^ ибо Ч/^ J инвариантна в Чз . С другой стороны, принадлежит'к 01/. , так как фактор-группа- 01 I Ct* кому . . . - ■ JV г мутативна. Если бы для всех Зэ из коммутаторы ' принадлехсади к ш > то смежные классы оказались бы тождественными, и значит, элемент ^И, ОЬ^фактор ■ -группы Cl^ I О^ес с оде риал ся бы в ее центре ОЬ^- Так как группа 3 / (^инвариантна в ^jjCtd й класс ЗД ке содержится в фактор-группе группа {(ЦЬ } (Цы I С1ы}-> порожденная всеми элемента!,ш групп Ql^, I ОЬщ и QZ-ot } оказывается габелевым нормальным делителем ;в 0}10ЬЫ , отличным от rpynna(}Lсодержащим последнюю. Получилось противоре-чие с условием теоремы, ибо,со гласно этому. условию/аактор'О"!^ J^}]^ является максимальным .абелевым нормальным делителем в группе Значит, не вс.е коммутаторы содержатся в ОЪ^ /а потому пересечение Ц/^П(Olp"^) непусто.

Теорема 21. Группа , обладающая максимальным абелевыы нор м а л ьным 'ряд ом

I -cu<= ot, - ■ • . ■ = fy.

Факторы которого, имеющие натуральные номера,' удовлетворяют условию минимальности для подгрупп, является конечным расширением абелезой группы с условием минимальности -для подгрупп, а фактора ряда /l/j начиная со второго, конечны и) .

Доказательство. Докажем сперва, что факторы максимального абе-левого нормального ряда /1/ группы , имеющие натуральные номера, кроме может быть первого, конечны. В самом деле, каждый член 0bm ряда /l/, имеющий- натуральный :номер Vй , будучи разрешимой^группой с условием минимальности для подгрупп /см. VЦ ] /> в самом общем случае является конечным расширением коммутативной группы (fi , разлагающейся в прямое произведение конечного числа групп типар по некоторым простым. |> /см. стр. 218/. Труппы и Qt , очевидно, слойно-конечны, и следовательно, они локально нормальны в . Их произведение'-группа (^l- Ql - локально нормальна в С|и инвариантна в ней, так как И 01, инвариантны в . 'Ввиду теоремы 4 полная группа {fV с о держится-, в центре группы$\ЭД, а так как (/!-, - - коммутативна, то и • (M'i должна быть-клмму-тативной группой. Ввиду максимальности группы (УЦ отсюда следует, что содержится в 01/ , к значит, фактор-груп-г па Ot^^dtj конечна. Утверждение этого пункта доказано.

2. Докажем теперь., что длина ряда /l/ конечна. С этой целью допустим, что (л) и покажем, что такое предположение приводит к противоречию.

Очевидно, фактор-группа Ш01, обладает максимальным . абелевым нормальным рядом 7- й,цк,с Ctj а,« : • • - аж1О1,=03!(Л,.

Ввиду результата предыдущего пункта, факторы этого ряда, имеющие натуральные индексы,, конечны и поэтому группаOl^— Ob^ локально нормальна в j Qj,• Централизатор • ^ группе . множества элементов 01, / 0tf ~ 0, Л £ ^ 1 > имеет конечный индекс в ' Oj; ■ в представляет инвариантную подгруппу -в- ней. По определению групп. ^имеем'

- % О Э • гз о , ^ /а/

Согласно -с теоремой 20,пересечение каядой из групп со всяким множеством- Ob; к не пусто, ибо груп-. па Ti^ бесконечна, тогда как множества —ДО/конечны. Пересечение'"^О Г| всех 'Ifl •' и! Qt должно быть ■ бесконечной труппой, совпадающей с центром группы Ol/y,» а 'потому .оно долин о - содержаться в каядом входящем в Qtuз максимальном абелевом нормальном делителе группы Оу и следог • вательыо,

01, . Последнее, однако, невозмонно, ибо (К,-конечна. Полученное противоречие показывает, что^^д) • Вместе с тем доказано, что , являясь конечным расширением абелевой группы . с условием минимальности для подгрупп, сама удовлетворяет этому условию /см. [Щ^ /. Следствие, у- группа Oj' , обладающая максимальным абеле-вьш нормальным рядом, факторы которого удовлетворяют условию минимальности для подгрупп, является- специальной группой;

Действительно, ввиду теоремы 21, группа tyf локально конечна /см. [1] стр.199/ и удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Как показал С.Н.Черников, такая группа является, специальной./см.теорему 13 /.

Литература.

-1 3 A. F«Куром, Теория групп, 1944 г.; " С.Н.Черников, Бесконечные специальные гтзуппы, мат.сб. ; ' т.6/48/, J& 2/1939/:, 199-212;

ГЗЗ 0.10.-Шмидт, Абстрактная теория групп, 1933 г.

3С.Н.Черников, 0 бесконечных специальных группах с конечным центром. Мат^сб., т. 17/59/ , J&1, /1945/, 105-129. ■

Г5] И*Д*Адо, 0 подгруппах счетной'симметрической группы, СССР, т.50,/19.45/, 15-17.

Тб 3 0*Ю Шмидт, О бесконечных специальных группах; Мат.сб. т.8/50/, Ю 3 /1940/, 363-375.

С.Н.Черников, К теории-специальных групп, ДАН

СССР, т. 68, :ь 1 /1948/, 11-14. И.Д.Адо, -Локально''""конечные р- группы с условием минимальности для нормальных делителей, ДАН СССР, т.54, й ,6 /1946/

9] и .Д.Адо, Доказательство счетностй локально конечной j- группы с условием минимальности для нормальных делителей, ДАН СССР, т.58, » 4, /1947/.'

Н.Черников, К теории конечных ; у - расширений абе-'V "' левых v~ групп, ДАН СССР, т.58-,№ 7

1947/. l] К. Х;Мухаммедг.ан,; К теории бе оконечных групп, обладающих возрастающим'-центральным рядом, ДАН СССР, т.65, Ж 3' /1949-/ 269-272. ] 0 .Б.Шмидт, Бесконечные разрешимые - группы. Мат.сб.

17/59/, /1945/, 145-1,62i

И^ 1 С.-Hi-Черников, К .теории бесконечных ' р- групп, "ДАН,

ССCP,т.50/1945/,71-74.

Г/i/]c„ Н.Черников,. Бесконечные локально разрешимые группы,

Mai.сб.7/49/ S1 /.1940/, 35-61.

Г/Х"| С ,.Н. Черников, ■ К теории полны;: групп, Мат.сб.22/64/ 1Л 2 . /1948/, 319-348. ill7]С,.Н.Черников, "Полные группы, обладающие возрастающим центральным?рядом,'Мат. сб. 18/60/ № В . /1946/, 397-422.

-fjС(.Н.Черников, S теории 'бесконечных ,специальных гпупп, . Мат. сб. 7/49/ й 3 /1940/ 539-547.