Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лисовец, Наталия Ивановна

• Лисовец, Наталия Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лисовец, Наталия Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ I. Обозначения и вспомогательные сведения

§ 2. Сингулярные интегральные операторы с матричными кусочно- непрерывными коэффициентами специального

§ 3. Нетеровость и индекс некоторых вспомогательных операторов.

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В

НЕСКОЛЬКИХ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ,

§ 4. Постановка задачи

§ 5. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса задачи

§ б. Подсчет дефектных чисел задачи в неособых случаях

§ 7. Дифференциальные граничные задачи

ГЛАВА III. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИЙ,АНАЛИТИЧЕСКОЙ В

МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

§ 8. Постановка задачи. Предварительные результаты

§ 9. Исследование на нетеровость

§ 10.Окончательные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций»

Диссертация посвящена исследованию многоэлементных граничных задач для функций (кусочно) аналитических в одной или нескольких конечных либо бесконечных многосвязных областях с краевым условием, содержащим сдвиг, комплексное сопряжение и производные искомых функций. Предполагается, что сдвиг переводит компоненты связности границ областей друг на друга;одни компоненты с сохранением, а другие - с изменением ориентации. Задачи с таким сдвигом мы будем для краткости называть смешанными.

0.1°. Теория краевых задач со сдвигом является важным разделом современной математической физики. Историю вопроса, а также подробную библиографию, доведенную до 1975 г., можно найти в монографии Г.С.Литвинчука C.42J. Здесь отметим лишь, что первые постановки краевых задач со сдвигом содержатся еще в грудах Б.Римана L57J, весьма важное стимулирующее влияние на развитие этой теории оказали классические работы К.Газемана L820 и Т.Карлемана[81].

С начала сороковых годов по инициативе'Н.И.Мусхелишвили в Советском Союзе началась интенсивная работа по исследованию краевых задач теории аналитических функций со сдвигом и сопряжением. Этому в немалой степени способствовало и то,что ряд важных задач математической физики и механики удалось свести именно к задачам такого рода.В классических грудах Д.А.Квеселава [31] ,Н.П.Векуа [5] (см.также монографии Н. И. Мусхелишвили [50J ,Ф.Д.Гахова [12] ,И.Н.Ве-куа[3.],А.Д.Джураева [17]),Г.С.Литвинчука [42] ,Э.И.Зверовича[20] 31.Г. Михайлова [49], Л.И.Чибршсовой [76J, B.C. Рогожина [77] и др., а также их многочисленных учеников и последователей,теория краевых задач со сдвигом сформировалась в развитую область с четко очерченным кругом задач , с широким арсеналом средств и методов исследования и разнообразными приложениями к смежным теориям, таким как анизотропная теория упругости, теория бесконечно-малых изгибаний поверхностей положительной кривизны и многим другим?* Важную роль как в самой теории граничных задач, так и е приложениях играет также исследование дифференциальных граничных, задач (в том числе со сдвигом) и тесно связанных с этими задачами сингулярных интегро-дифференциапьных уравнений. Отсылая читателя за подробными историческими и литературными указаниями к уже цитировавшимся: монографиям; [42,, 50, 5] , упомянем: здесь лишь известные работы 11, 2.2.3,

Хорошо известно, что краевые задачи для1 аналитических функций допускают явное решение в квадратурах далеко не всегда. Поэтому одним из центральных вопросов в теории: краевых задач со сдвигом! становится: вопрос ее качественного исследования: определения условий нетеровости, вычисления; дефектных чисел и индекса задачи. Поясним-, что в соответствии с принято! в теории негеравых операторов терминологией (см*, например, [ 6ZJ ) здесь и всюду: в дальнейшем; нетеровой называется! нормально разрешимая задача с конечными дефектными числами £ и р ; их разность ЭГ=£*~р называется индексом задачи; Под нормальной разрешимостью понимается: замкнутость образа задачи (множества правых частей, при которых задача разрешима); под дефектными числами - размерность (В ядра (число линейно-независимых решений однородной задачи) и коразмерность^ обзраза задачи (число ее условий разрешимости)»

Мощным: методом, построения нетеровской теории краевых задач является: метод интегральных: уравнений; Этот метод, который часто применяется в комбинациях с методом конформного склеивания, оттачивался и развивался в работах целого ряда математиков; в дополнение к указанным выше см. также широко известные работы Р.С.Йса-ханова А.П.Нечаева151-55]* В.АЛернецкого »

Г.Ф;Манджавидзе[Чб-Ц g] и др. Метод интегральных: уравнений поз~ воляег выразить искомые функции через решение некоторого сингулярного интегрального уравнения со сдвигом, нетеровость которого достаточна для нетеровости задачи. Попутно удается* также связать индекс эгого уравнения с размерностью ядер исходной задачи и задачи специальным! образом; построенной по исходной «* союзной задачи» В последнее время интерес к исследованиям по теории краевых задач со сдвигом; и сопряжением; значительно возрос. Этот факт объясняется, с одной стороны, все новыми приложениями, которые эта теория находит1 в сшых различных областях, например^» в электродинамике [13] | и» с другой - существенными продвижениями в теории сингулярных интегральных уравнений со сдвигом (с современным' состоянием, этой теории можно ознакомиться по обзору

Следует подчеркнуть, что в последнее времн исследование граничных задач проводится не только в классической, гельдеровской, но, в основном, в; разрывной (в смысле Б.В.Хведелидзе) постановке.-При этом; правая часть задачи: может задаваться, например, в пространстве Lp(fp) с весом (см.работу Б.В.Хведелидзе [W] , и имеющуюся там библиографию, статьи й«Б,Симоненко[60-61]| Й.М.Спитков-ского Z10] , А.П.Солдатова£б&-69j> Ю.й.Карловича и В.Т.Кравчен~ ко[&2-<?Щи многие другие) или, например, в пространстве гельдеров-ских функций Нд/Гр)с весом (см.серию работ Р.В.'Дудучава [i8-19] и др.)* На коэффициенты задачи также накладываются все менее жесткие ограничения: они предполагаются измеримыми существенно ограниченными, в частности, кусочно^непрерывными функциями, и.г.д,

При такой постановке для исследования краевых задач оказалось необходимым! привлекать методы и результаты теории линейных операторов;. В качестве примера укажем: работу Г.С.Лшсвинчука и И.М.Спит-ковского[4Ч] » в которой на основе известных результатов В.М.Ада-мяна, Д.З.Арова и М.Г.Крейна по теории ганкелевых. операторов получены точные формулы для вычисления дефектных чисел в обобщенной: краевой задачи Римана при весьма слабых ограничениях на ее коэффициентыJ

С другой стороны, в последнее время изучаются: граничные задачи со сдвигом все более общей природы. Еще в работе Л.И.Чибрико-вой и В.С.Рогожина П7] результаты: Д.АЛСвеселава для задачи Газема-на и типа Газемана были перенесены на случай сдвига, переводящего несущий контур не на себя* а на- другой контур; искомые функции при этом разыскивались аналитическими соответственно в различных областях; Такаят постановка и ее обобщения оказывается естественной и в связи с исследованием плоской смешанной задачи теории упругости анизотропного тела (см. также [5] ), и в связи с гими приложениями } . Задачи со сдвигом, переводящим один контур на другой, для функций1, аналитических в различных областях, изучались также Ю.И.Черским Lb И], В.Н.Гавдзинским и А.П.Нечаевым [.6] , Г.Ф.Мавджавидзе [Ц?]. Исследование дифференциальных задач в такой постановке было предметом кандидатской диссертации. А.В.Про-ценкофб]. Н.Е.Товмасян L$b] при помощи интегрального представления, выражающего искомые функции через аналитические плотности, исследовал весьма общую дифференциальную задачу со сдвигом! для определения функций, аналитических в: нескольких; несовпадающих областях;

В последнее; время на пути дальнейших обобщений постановок краевых задач со сдвигом и сопряжением в указанном' направлении достигнуты' значительные успехи» Достаточно указать здесь фундаментальную серию работ Р.С.Исаханова,[£1-£6], в которой, в частности, исследуется трехэлементная! задача: об определении функций, аналитических в нескольких многосвязных областям по краевому уо* ловию, связывающему предельные значения одной ив: них. с предельны^ ми значениями каждой из остальных* Входящий в краевое условие сдвиг '"перебрасывает"' компоненты связности границ областей друг на друга. Кроме того, предполагается, что сдвиг по части компонент связности контура-носителя! действует с сохранением, а на части -с изменением ориентации. Для указанной задачи в классической гель-деровской постановке методом интегральных уравнений получены достаточные условия нетеровосги, вычислен индекс, а в некоторых случаг-ях — дефектные числа.1 Р.С.Йсахановым исследована также дифференциальная граничная задача со сдвигом столь же общей природьи

Укажем: еще работу АЛ.Шилина [Ч&З* в которой на римановой поверхности изучаегсяг краевая задача Карлемана типа Карлемана со сдвигом, изменяющим; ориентацию одних и сохраняющих ориентацию других компонент связности несущего контура. Эти рабопш являются продолжением; более; ранних исследований С.К.Таврилова 9] •

Подчеркнем;, что исследование задач со сдвигом в такой "смешанной" постановке, а также их обобщений является закономерным этапом1 построения; теории краевых задач со сдвигом, и естественно развивает предшествующие работы' в этом: направлении.

0,2°. В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия: негеровостги, вычислен индекс (а в некоторых случаях ~ и дефектные числа) в пространствах Lr> ® весом: ( Н © весом;) краевых задач со сдвигом, сопряжением и производными в постановке, являзо» щейся дальнейшим развитием постановок[^7,6, «Такая общность постановки привела к необходимости развития и применения операторного подхода к построению негеровской теории краевых задач:, что является наиболее существенным моментом настоящей работы. Этот подход представляет собой, по существу, удобную модификацию классического метода интегральных уравнений'^ Его суть состоит в рассмотрении краевого условия задачи как: оператора, действующего из пространства функций, аналитически продолжимых с контура в область, и последующей формализации процедур применения интегральных представлений и перехода к вспомогательным задачам;.'

Основные черты предлагаемого подхода поясним на простейшем примере: краевой задачи типа задачи Карлемана(см., например» С. НУ) отыскании функции ^ , аналитической в конечной многосвязной области 2) по краевому условию

С^ед - 6ci)^"+ ftct) , te Г . (0.1)

Здесь oL - сохраняющий ориентацию гладкий неособый ( сдвиг, удовлетворяющий условию Карлемана d,CaLct)3 -i , Со. г) n V >

Г= И Г - составной ляпуновский контур, ориентированный так, сг\ г чтобы ограничиваемая им: область oU оставалась слева при обходе [ в положительном направлении.'Коэффициент б^-Ц^СГ)» функция ft задается в LP С Г), 1 <p^eof функция разыскивается в Lpff )-^IrrtP, Р~ проектор, связанный с оператором S сингулярного: интегрирования с ядром: Коши формулой Р= S) »1 - единич** ный оператор. Предполагаются выполненными п.ву на Г обычные СЧ2.3 условия i^r Со.3) ftct) + toft0, te Г 7 (р.Ч) снимающие переопределенность задачи (0.1), Пусть «С - подпространство функций fUlpCn. удовлетворяющих условию (0.4) , Введем; операторы (Wfl)ct)= , (Cfl)(i)= fuCi") .

Исследование задачи (0,1) эквивалентно изучению операторного уравнения Kvf=fi, ^f^'-pCF)/ ft в оС » где оператор

К= W-6C : Lp CD . СО.5)

Определим в Lp ( Г ) оператор L г iC Х~ 6>WCyL Согласно (0,2.) - СО. Ъ) , L- проектор; согласно(0.4) Рассмотрим; действующий из; прямой суммы; ©Гв LpCГ ) оператор (строку) Л iL) • Этот оператор обратим,, обратшм к нему будет

Л- п — 1 / iN^ ,!«-pw столбец Ц = CL ~Lu» где Т означает транспонирование, Рас>-смотрим; равенство

L,iL) (К ^«(w-fcC.CW^Oi):^!;-^ Со.6)

Для удобства домножим: правую часть (О.б) на обратимую матрицу J » Получим оператор отвечающий следующей: вспомогательной задаче для пары; функций: t*A>b + ,-te Г. Co.ч)

Таким образом;, умножение в (О. в) на оператор ("[ - осущест

St» вляет переход к вспомогательной задаче (0.7); этот, переход; состав-ляетг один из основных, моментов в исследовании задачи (О. l) и ее обобщений классическим методом: интегральных уравнений (см:,, напри-» мер, [4 2J] , с.297-300), йз равенства Со. б) и обратимости Д сразу следует [.32,, 14] , что К и К нормально разрешимы: лишь одновременно, а дефектные числа К вдвое превосходят дефектные числаК» аналогичные, утверждения; справедливы, естественно, и для зздач(0.1) и (О.?), Заметим, что в классической схеме (см,[42,43}) выводилось соответствующее равенство для числа линейно-независимых реше**

- 10 ний однородных задач (0.1) и (0.7) и союзных к ним; при этом само понятие союзной задачи оставалось недостаточно формализованным. Вопрос об одновременной нормальной разрешимости (0.1) и (0.7) не обсуждался.

Наряду с важной вспомогательной ролью при изучении задач для одной аналитической функции (типа (0.1) и ее обобщений), задачи для пары аналитических функций (типа (0.7) и ее обобщений) имеют также значительный самостоятельный интерес. Исследование таких задач классическим методом интегральных уравнений проводилось с помощью интегральных представлений. Их выбор и обоснование представляют собой весьма тонкую и грудную задачу. Построение изящных интегральных представлений, как это делалось, на -пример, в[5,23,43,83] и др. позволяет выразить решение (0.7) ( и, тем самым, (0.1)) через решение некоторого, возможно более простого, интегрального уравнения, нетеровосгь которого досга -точна для негеровосги (0.7), а индекс связан с числом линейно-независимых решений однородной задачи (0.7) и союзной к ней.

Вместе с тем для получения необходимых и достаточных условий негеровосги и вычисления индекса (0.7) - (0.1) можно применять более формальный прием. Рассмотрим оператор (столбец) iwp ,рс.учР([>1;(Г)+1;(Г).

Легко устанавливается,(см. следствие 3.1 ниже), что [~\ нете ров, а его индекс (над полем R вещественных чисел)1кс1Г\= п

Домножим К справа на 1 1 . Учитывая (см.1421,с.35), что оператор SC~C S компактен, получим нетеровый лишь одновременно с |\ сингулярный интегральный оператор со сдвигом Q =1"Р . Таким образом, умножение К на Д - это и есть процедура применения интегральных представлений (с. 304-309 142]).

- .II

При помощи известного матричного равенства СД5] (см. равенство (1.6) ниже или с*398 в [42J ) исключи® в SfC инволюциюW. Окончательно получим, что для нетеровости задачи (0.1) необходима и достаточна негеровость матричного сингулярного интегрального оператора?

Теперь эффективные условия нетеровости и формуну для вычислен ния индекса (ОЛ)и СО. 1), скажеш, в терминах значений коэффициента

Ь f можно выписывать для задач с коэффициентом £> из такого класса, для которого эти результаты получены: для сингулярного интегрального оператора К • В частности, это можно сделать для кусочно-непрерывного коэффициента Ь и др.

Подчеркнем, что только что (фактически, с полным доказательством;) проведено исследование на нетеровость и.вычислен индекс задач (0.1) и (ОЛ)(см• § 14 в Основные черты: изложенной схем® сохраняются и при исследовании значительно более общих вдо-гоэлементных: задач (см'.-гл.П:,Ш), изучаемых в настоящей работе в рамках, операторного подхода."

Отметиш, что точка зрения на краевое условие задачи, как на операторное уравнение (переопределенное задач типа(0.1)) высказывалась Г.С.Литгвинчуком (см. [4 У,сД71) и В.Г.Кравченко еще в 1973-1975 гг;

Идея замены: процедуры применения интегральных: представлений умножением- на оператор? П впервые использоваласьвработе С.^'Скорохода Сб.Ч] . На ее основе С.Ф.^Скороход построил озгличный от предлагаемого в настоящей работе вариант1 операторного подхода. С его помощью e[66J построена нетеровская теория задачи для двух аналитических, функций с несколькими сдвигали; В pa6ore[65J исследована на нетеровость четырехэлементнаи задача с; карлемановским сдвигом дня одной аналитической функции. Основные трудности, прео« допеваемые в[62>,65] связаны с задачей описания: множества 5L , из которого выбирается правая часть рассматриваемой задачи. Наиболее нолные результаты получены в случае непрерывных коэффициентов. Для случая кусочно-непрерывных коэффициентов задача описания станов вится значительно сложнее; С,§,Скороход в этом случае получает достаточные условия! негеровости задачи в терминах^ невырожденности сим-* вола некоторого матричного сингулярного интегрального оператора. Подчеркнем, что С*Ф.Скороходом рассматривался только случай конечной односвязной области и, в основном-, непрерывных коэффициентов» Предлагаемый в настоящей pa6Die вариант операторного подхода ориентирован на исследование задач? Ф том числе, дифференциальных), для функций, аналитических в, вообще говоря, несовпадающих конечных либо бесконечных многосвязных областях со сдвигом, переводящим компоненты связности их границ друг на друга частично с изменением, частично с сохранением: ориентации. Коэффициенты рассматриваемых за--. дач: предполагаются, вообще говоря, измеримыми существенно ограниченными функциями. Строятся матричные сингулярные интегральные операторы, негеровость которых эквивалентна нетеровости исходных задач; устанавливается связь их индексов. Для случая кусочно-непрерывных коэффициентов в работе предпринята попытка придать необходимый и достаточным: условиям негеровости и формуле для вычисления индекса задачи в Lp с весом и Н^с весом, выраженным в терминах значений коэффициентов, возможно более эффективный характер. Характеризуя содержание работы в целом, отметим!, -что глава I содержит, в. основном, результаты, составляющие техническую основу операторного подход да. В главе П рассматривается четырехэлементная задача для функций, аналитических в нескольких многосвязных областях и ее обобщение на случай краевого условия, содержащего производные. Можно сказать, что постановка главы И обобщает постановку (0.*?) в духе работ1

6, 2,1- 2,63 В главе Ш рассмотрена трехэлементная задача для одной аналитической функции (обобщенная задача Карлемана, или задача Н.П.Векуа), в постановке, обобщающей (О. О в духе[бД,гц-2б]«-Таким образом., в главе П реализуется (разумеется, в существенно более сложном; варианте)только аналог перехода озг(ОЛ) к , а в гл.Ш - аналоги переходов как ог(0.1)к (О.Ч), так и ог(.ОЛ)к К • Прежде чем перейти к: более детальному обзору результатов диссертации по параграфам:, укажем еще близкие к рассматриваемы® в ней вопросам: работу ЮЛШарловича и В.Г.Кравченко Q2/9J» в которой, в частности, построена теория Нетера задачи Газемана на сложном! контуре с кусочно-непрерывными коэффициентами^ серию работ1 Ajt.Con-датова (см., например, [6S] ), в которой его результаты, по теории Нетер® сингулярных интегральных операторов с куеочно-*гладким сдви-* гом! и кусочно-непрерывными коэффициентами применяются к исследованию краевых задач для аналитических функций; статью С 553 » где отличным: от нашего методом (сведением: к обобщенной краевой задаче Римана) изучена задача Н.П.Векуа (обобщенная краевая задача Карлемана) на единичной окружности в пространстве Lp с весом.' о

0.3.Диссертация состоит из десяти параграфов, разбитых, для удобства, на пунктьи

В § I содержатся некоторые известные факты, часто используемые в дальнейшем^

В § 2 в пространствах Lp (Г,р) CH^ff^p))00 степенным весом (см^ * а также работыsР.В.Дудучава

P^-JJ^-M*; v^r.-Kj^p-i, o^i)

Р - ляпуновский контур, рассматривается сингулярдай интегральный оператор с: кусочно-непрерывной матрицей функцией Gl •

В п.2.1дприведены критерий нетеровосги и формула для вычисления индекса в Lp ( и fi^ оператора \) в терминах .: ; ■ собственных чисел матриц ц скачков аргументаdjetGj;

Згот результат позволил получить в п.2«2°критерий нетеровости и формулу для вычисления индекса оператора U® (2x2) матрицей-функцией; £| специального вида иГ> са&) кусочно-непрерывные; элементы которой связаны соотношением wfcvadH^djMydoH; и^еК.-ьеГ, (0.g)

Именно, установлено что нетеровостьU эквивалентна условиям xCti о)* О, СЫШОФ Ч (0.10) ъ^и=к? Н + 5

Здесь ©(У^^СсЬопределяютхгя по показателям; веса и предельным значениям U^,СУ,ОС,у, суммирование в (0.1о') в первой сумме: осуществляется по дугам! непрерывности X , во второй - по точкам разрыва. GJ • Отметим, что кг операторам; U с коэффициентом d вида(0.$) приводится исследование многих задач со сдвигом', и сопряжением: (см» а также глЛ,Ш настоящей работы);; Например,, нетеровость обобщенной краевой задачи Римана [12., 5, Ч Z] act)<p"bciyfU) + k-i), -te Г ф.а) эквиваленгна£4£/?0]нетеровости, а индекс - вдвое меньше индекса*) к) Во избежание недоразумений, подчеркнем^ что индекс и дефектные числа везде в работе, если явно не оговорено противное, подсчи-тываютсяг над полем: R вещественных чисел^ оператора V » для которого в (О.*) xct)* Oito, уФ* feci) , ltd.) = I си-ЫМЬсЬ!2", IX Ci) = 1 , Г • В качестве следствия в п.2.2°приведен критерий нетеровосги (О,id)в Lp(T; р) и рК°Р« с известным. С&ОД для 1р(Г)), и формула для вычисления ее индекса, уточняющая соответствующую формулу I о

В п.ЗЯ обоснован прием!, позволяющий в вопросах, негеровэости и вычисления индекса переходить от случая задач: с краевым условие ем, заданным на составном контуре, к случаю простого контура. В п.3^2°установлена нетеровость л вычислен индекс вспомогательных операторов ("интегральных представлений") - оператора [\ и некого-рых более сложных операторов, играющих аналогичную П роль в дальнейшем;,

Во второй главе получены необходимые и достаточные условия нетеровости» вычислен индекс (а в некоторых случаях, и дефектные, числа) четырехэлементной задачи для функций* аналитических в нескольких многосвязшх облаетях.: V

В § % приводится постановка задачи и примеры, показывающие, в каком направлении она развивает известные постановки С42,,2Д-2,6,

5 и др."

ГГусть и ИХг1,Н конечные либо бесконечные многосвязные области, произвольным; образом расположенные друг от

Г № р носительно друга, 1 = VJ lm У = U У - их, границы, У = N м к 3=1 J 5 6rrt r ^ i K^ oL - сдвиг, диффеоморфно переводящий каждый

1 "к lu=l ' из Г^ на некоторый о^ с сохранением: или изменением:- ориентации." Требуется найти аналитические в и соответственно функции ^ и по краевому условию

OA)Y^Cduia + - Ы),

Задача рассмотрена в Up - и Н - постановке. Это означает, соответственно, что 1+р(Га,р)? H^pfy >J>)

Сх Р)* ® первом случае коэффициенты (0.12) принадлежат ju owl ij

Цао(Гк)#во втором - кусочно гельдеровы с разрывами в t0,.,ta.

В § 5 построены сингулярные интегральные операторы 1< =

- Р+й^О » ГД® о-fc^r^ имеют вид (ОЛО^Х^и^ вычисляются по коэффициентам (0»12) на ■> Доказано, что для нетеровости задачи (0.12) необходима и достаточна нетеровость К^ Jn=l,Nt а ее индекс af= aSTtuik. + 2>( V0-v), где Ve - суммарное число конечных среди областей и 9 т,= 1,М. в частности, в случае непрерывных коэффициентов для нетеровости (0.12) необходимо и достаточно, чтобы OJ&dLi) - toye®) ФО , i € . №Зй)- actjecb* О , t€ J^' ;

X \oncj ) где ( ) - объединение тех j^.С. , для которых сдвиг сохраняет (изменяет) ориентацию. В случае кусочно-непрерывных коэффициентов (0.12) приведены необходимые и достаточные условия ее нетеровости и формула для индекса в терминах (O.IO)-(O.IO'). Отсюда выведен ряд следствий, в том числе и критерий нетеровости и формула для индекса трехэлементной задачи L26] с кусочно- непрерывными коэффициентами.

В § б в т.н. неособых случаях (см.,например, С3,5,26] ) вычислены дефектные числа задачи (0.12) в постановке § 4 с гель-деровскими коэффициентами при обычных (см. £.42,49,26] ) предположениях, позволяющих свести эгог вопрос к: вопросу о вычислении дефектных чисел двуэлементной задачи,

Я)

В § 7 в пространствах СЛ^Соботгева и функций с гельдегровскими производными рассмотрена задача в общей постановке: § 4, с краевым условие®, содержащим производные:

0.1Ь) tub , -fee I^j , ot-tti6 &UK •» V, 5h.=o, 1,- .

Установлено, что нетеровость (О-^эквивалентна нетеровости задачи (о.1го,в которой аД)= , , , dtb) = ctstb)?индекс задачи(0.15)связан с индексом^ задачи (0.1г) равенством

Я N мед, nejf0 ^ где Jtl0 (<До)- множество значений l^rn^M (ft,, П=1,^)для которых Б^ С ~ конечная область*

В третьей т?лаве получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс задачи Н.ГГ.Векуа (обобщенной краевой задача Карлемана) об отыскании функции (f аналитической в конечной либо бесконечной V - связной области S) по краевому условию у

Р+Сс1<±)] = att)^ + ЬФ + fbct), te Г = ид . (0.14)

Предполагается, что сдвиг al удовпегворяезг условию Карлемана (О. ^ (i) контур Jf= "U J7 > причем; оС пареводит каждую компоненты связностиРcf^ на себя либс на другую компоненту связности

К Г г № " сохранением: ориентации, каждую компоненту связностиJ^l - на дру-~ пса-) гую компоненту связности 1 с изменением; ориентации, а каждую компоненту связности на себя с изменением ориентации. Предполагается, что п.в; на Г выполнены тождества Н,П,Векуа; ad)at<utu+ to асы&й = о,

Ш + OAfcvft + fcctofitcntti = о , -ь * Г, снимающие [4, переопределенность задачи,

В § 8 содержится постановка задачи, примеры и некоторые предварительные результаты. Отметим; среди них, например, доказанную здесь необходимость условий ^Г^Ц^СГ^Для негеровосги

Со. 14).'

В; § 9 построены действующие в Lp(f р) сингулярные ин~ тегральные операторы К + где (Jj имеет вид(0.$|

Х,и м и определяются по коэффициентам; Св14). Доказано, что нетеровость(0,14) эквивалентна негеровосги К , установлена связь индекса Я задачи (0.14) с j-iib. Заметим;, что при построении операторов 1^для j=l>£. используетел (разумеется, в более сложном варианте) схема, описанная в о «Л/]) п;0,2 настоящего введения^ для Кj=?3 - георема конформного склеивания (см. 14 2*, 3 5 J )» позволяющая свести обобщенную краевую задачу' Карлемана & эквивалентной обобщенной краевой задаче Римана на разомкнутой дуге,

В § 10 в терминах (0.10) -(О. ±о') получены необходимые и достаточные условия негеровосги и формула для. вычисления индекса задачи (014)с кусочно-непрерывными коэффициентами, В частности, оказалось, что для нетеровости (ОЛЧ)ъ случае непрерывных <Х,6 необходимо и достаточно, чтобы е= i 1 , <*> ф. & о , ®о в <£> ' где lnf - число тех компонент связности во Бсех точках которых выполнено неравенство lOujc)| > l&Qt) I, ~ чис71° тех неподвижных точек сдвига на этих компонентах связности в которых о функция а принимает значение "'-I" В п.10.2 в неособых случаях, при обычных £42.,£63 ограничениях |СЦЬ)|< l€>(it)| ? -Ьб Г^ и |cidb|> вычислены дефектные числа задачи (0.14) с гельде-ровскими коэффициентами. о

0.4. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса в Lp(f,р) и Н^СГ;р) оператора с, кусочно-непрерывной матрицей-функцией специального вида (р.?>1 (теорема 2.2).

2. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса в 1-р(Г;р)и HM(T,J>) задачи (0.12) с измеj римыми существенно ограниченными, кусочно-непрерывным^, непрерывными коэффициентами (теорема 5.1, теорема: 5.2, следствие 5 Л) и. формулы- для вычисления ее дефектных чисел'.'

3» Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса дифференциальной задачи (теорема. 7.1, следствие 7.1).

4. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса задачи (0.1 Ц) с измеримыми существенно ограниченными, кусочно-непрерывными, непрерывными коэффициентами (теорема 10.1, теорема 10.2, следствие 10,1) и формула для вычисления ее дефектных чисел,

Результаты работы опубликованы в; [ЪЪ- *

Результаты работы докладывались на Ш республиканском; симпозиуме по дифференциальным! и интегральным уравнениям (Одесса,1

1982 г.), семинаре по краевым задачам при Одесском госуниверситете (руководитель - доцент: А.Ш.Нечаев), Одесском городском: семинаре по краевым: задачам: и сингулярным; интегральным уравнениям: (руководитель - профессор Г,С.Литвинчук), вошли в обзорный доклад Г.СЛитвинчука'на совместных чтениях Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского (Москва, 1983 г.)'*

Автор пользуется приятной возможностью выразить глубокую: благодарность своему научному руководителю А .П. .Нечаеву.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лисовец, Наталия Ивановна, 1984 год

1. Бессчетнов М.Е. Об одной краевой задаче со сдвигом, Карле-мана для аналитических функций,1 - В кн»: Дифференциальные уравнен ния с частными производными» Труды семинара СЛСоболева»: Новосибирск, 1980, - с. 5-22;

2. Гавдзинский'В. Н., Нечаев АЛ. Краевая задача; для пары функций, аналитических в несовпадающих областях. Укр.матем.журн.^ 1979, 31, № .6* с.658-665.

3. Гавдзинский. В.Н. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения первой основной задачи гермоупругости. Дифферент у равн. , 1974, 10, № 9, сЛ725~1726.

4. Гаврилов С.К. Исследование по смешанным двухэлементным: краевым! задачам, теории аналитических функций!» Дисс. . канд. физ.-мат.наук, Одесса, 1974.

5. Гаврилов С.К. Смешанная краевая задача карлемановского типа. Сибирск.матем.журн., 1974, 15, № 3, с.485-497.1.i Гаврин В.Г. Индекс и условия разрешимости одного класса- 142 интегродифференциальных уравнений.- ДАН БССР, 1976, 20,№ 7, с.589 590.

6. Ганин М.П; Об одной общей краевой задаче для аналитических функций. ДАН СССР, 1951, 79,№ 6,с.921 - 924.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М,: Наука,1977.- 640 с.

8. Горожда JI.B. ,Емец.Ю.П., Жукова Н.И. ,Зверович Э.И.О применении обобщенной краевой задачи Римана к расчету электрических полей.- ДАН БССР,1979,23,№ 2,c.II8-I20.

9. Гохберг И.Ц.,Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев,изд-во "Штиинца", 1973.-426 с. '

10. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа.- М.: Наука,1973.

11. Дудучава Р.В. О сингулярных интегральных операторах в пространствах Гельдера с весом.- ДАН СССР, 1970,т.191, № I, с.16 19.

12. Дудучава Р.В. О теоремах Негера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровских функций с весом.-В кн.:"Тр.симп. по механике сплошной' среды и родственным проблемам анализа" I97I,r.I, с.89 102.

13. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановой поверхности. Успехи- 143 матем.наук, 1971, 26, № I, с.НЗ-179.

14. Исаханов Р.С. Линейная граничная задача для нескольких голоморфных функций; Тр.Гбилисск^магем.ин-га, 1978, 58,с.106-121.

15. Исаханов Р.С. 0 некоторых граничных задачах теории аналитических функций. Тр; Тбилисск.матем.ин-та, 1976, 52, с.61-80.

16. Исаханов F.C. Об одной общей задаче для голоморфных функций; ~ Труда Тбилисск.магем.ин-та АН ГрузССР, 1980, 65,с.99-109.

17. Карапетянц Н.К., Самко С.Г«' Сингулярные интегральные операторы сю сдвигов Карлемана в случае кусочно-непрерывных: коэффициентов. Изв.вузов,математика, 1975, №' 2, с.43-54.

18. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. ~ Изв. вузов. Математика, 1983, №'4, с.3~27;г

19. Карлович Ю.И., Кравченко В,Г. Об. алгебр® сингулярных интегральных операторов с некарлемановским; сдвигом; и кусочно*-непрерывными коэффициентами. ДАН СССР, 1980, 252, Ш б, с.1307-I3II.

20. Карлович Ю.И., Шапиро М.В. Об алгебре операторов со- 144 сдвигом Карлемана, переводящим компонента контура друг в; друга.-Матем.иссл., 1974, % $ 3, с.95-104.

21. Квеселава Д.А.:' Некоторые граничные задачи теории функций. Труды магем:.ин-та АН ГрузССР, 1948, 16, с.39-80.

22. Крейн C.F. Линейные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1971^

23. Крупник Н.Я» Некоторые общие вопросы теории одномерных сингулярных интегральных операторов с матричными коэффициентами.-Матем.исслёд,, 1976, вып.42, c;9I-II3.

24. Курганская М.Я., Черский Ю.И. Задача сопряжения трех аналитических функций; ДАН СССР, 1970, 195, №4, с.765-768.'

25. Латушшин Ю^Д., Литвинчук F.C., Спитковский H.Mv К теории одной граничной задачи Николая Ве&уа. Труд® матем.ин-га АН ГрузССР, 1984.

26. Лисовец. Н.И. Дифференциальная граничная задача для функций, аналитических в нескольких многосвязных областях. -Одесса, 1984. « 17 с. Рукопись представлена Одесским ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 13 марта 1984 г., № 546. Ук. - Д84*

27. Лисовец Н.И. Об одной четырехэлеменгной краевой задаче,-В кн. '"Тезисы докл. Ш респ.симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям;, Одесса, 1982, с. 183;- 145

28. Лисовец Н.И. Смешанная краевая задача дпя функции^ аналитической в многосвязной области в пространстве суммируемых функций. Одесса, 1983. - 30 с. - Рукопись представлена Одесским ун-том. Деп. в УкрНИШШ 19 июля 1983 г., № 773 Ук -ДШ.

29. Литвинчук: Г.С., Нечаев АЛ. Обобщенная краевая задача Карлемана.Матем.сборник, 1970 , 82, № I, с.30-54.

30. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана, факторизация; эрмитовых матриц-функций и некоторые проблемы приближения мероморфными функциями. Матем.сборник, 1982, 117, № 2, с.196-215♦

31. Лопагинский Я.Б. Введение в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных. К.: Наукова думка, 1980; - 216 с.

32. Манджавидзе. Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями. Тр. Тбилисск. матем:. ин-та, 1967, 33, с.76-81.

33. Манджавидзе Г.-Ф. Об одном классе граничных задач линейного сопряжения. Сообщ.АЕ ГрузССР; 1982, 105* 13, с.493-496."