Исследование и моделирование мультимасштабной организации разломных и сейсмических полей земной коры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Стаховский, Игорь Ростиславович

• Стаховский, Игорь Ростиславович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Стаховский, Игорь Ростиславович

Введение.

Глава 1. Самоподобие процессов разрушения горных пород и сейсмичности: состояние вопроса.

Глава 2. Исследование мультимасштабной структуры разломных полей Памира и Кавказа.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Мультипликативные каскады.

2.3. Исходные данные.

2.4. Техника счета.

2.5 Мультимасштабный анализ разломных полей зоны сочленения Памира и Тянь-Шаня.

2.6. Мультимасштабный анализ разломных полей Кавказа.

2.7. Выводы по главе.

Глава 3. Исследование зависимости сейсмической активности земной коры от локального скейлинга разломных полей (на примере Кавказа).

3.1. Постановка задачи.

3.2. Исходные данные.

3.3. Техника счета.

• 3.4. Результаты расчетов.

3.5. Выводы по главе.

Глава 4. Модель согласования скейлингов разломного и сейсмического полей земной коры.

4.1 Постановка задачи.

4.2. Модель согласования скейлингов разломного и сейсмического полей.

4.3. Аналитически приводимые варианты модели.

4.4. Сравнение модельных результатов с реальными данными.

4.5. Выводы по главе.

Глава 5. Расширение /М -спектров сейсмических полей в окрестности эпицентров сильных землетрясений.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Исходные данные.

5.3. Техника анализа каталогов.

5.4. Результаты анализа каталогов.

5.5. Выводы по главе.

Глава 6. Обсуждение результатов. Мультимасштабная организация сейсмогенной среды.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и моделирование мультимасштабной организации разломных и сейсмических полей земной коры»

Открытые нелинейные системы являются наиболее распространенным в природе типом физических систем. Выявление процессов самоорганизации, существующих в таких системах, представляет собой принципиальный этап в развитии нелинейной физики [Пригожин, 1960; Хакен, 1980]. Самоорганизацией называют процесс возникновения упорядоченных структур в первоначально хаотических системах, происходящий в отсутствии целенаправленных упорядочивающих) внешних воздействий на систему. Самоорганизация является результатом эволюции неравновесных систем. Для того, чтобы поддерживать систему в неравновесном состоянии, необходим непрерывный подвод энергии, т.е. система должна быть открыта. Самоорганизация системы вызывается потерей устойчивости менее организованного состояния движения системы, и, таким образом, это чисто нелинейный эффект. При этом статистика неравновесных систем в значительной степени определяется флуктуациями.

В самом механизме самопроизвольного образования упорядоченных структур из хаоса остается пока много неясного, несмотря на бурный рост числа работ, посвященных теории самоорганизации (синергетике). Однако уже сегодня можно говорить о появлении в рамках общей теории более узких научных направлений, исследующих частные случаи самоорганизации. Так, процессы самоорганизации физических систем в критическом состоянии рассматривает концепция

Self-Organized Criticality (SOC) [Bak et al, 1987\ (в русскоязычной литературе ее иногда называют теорией самоорганизованной критичности). В критическом состоянии, по аналогии с фазовыми переходами, слабое воздействие на систему способно привести к ее качественной перестройке. В этом случае в нелинейных системах возможно появление самоподобных или масштабно-инвариантных структур различного происхождения.

Оказалось, что самоподобные объекты чрезвычайно широко распространены в природе. Самоподобная организация обнаруживается уже на масштабном уровне галактик [Schulman and Seiden, 1986; Atmanspacher et al, 1989\. На более низких масштабных уровнях самоподобие обнаружено при изучении земной топографии, климатических закономерностей, сейсмичности и во многих других областях. Самоподобными являются многие процессы в земной коре.

Так, авторы концепции SOC утверждают, что рассеянная внутриплитовая сейсмичность и есть одна из форм самоорганизации материала земной коры, находящегося в перманентно критическом состоянии [Bak and Tang, 1989]. Как следствие, сейсмичность обладает самоподобной структурой. Реально, однако, самоподобие характерно не только для сейсмичности, но и более широко - для самого процесса механического разрушения горных пород, причем в широчайшем диапазоне масштабных уровней.

В отличие от многих других направлений в изучении процессов самоорганизации, исследование самоподобия уже сегодня опирается на строгий аналитический аппарат. В начале

80-х годов в математике оформилась новая дисциплина -фрактальная геометрия [Mandelbrot, 1982]. Работам Мандельброта предшествовали исследования Хаусдорфа в облает теории множеств [Хаусдорф, 1937]. Введенная Хаусдорфом характеристика множества - так называемая размерность множества по Хаусдорфу - предваряет понятие фрактальной размерности, введенной Мандельбротом. Мандельброт показал, что теоретико-множественные построения могут успешно применяться в исследованиях по физике, химии и в других естественных науках, сталкивающихся с необходимостью описания самоподобных лакунарных объектов с разреженной структурой, не плотно заполняющих вмещающее пространство. Так, в теории динамических систем аппарат теории фрактальных множеств нашел применение для описания структуры странных аттракторов, в газо- и гидродинамике - для описания геометрических характеристик турбулентных потоков и т. д. Примером открытой нелинейной системы в критическом состоянии можно считать и горную породу в условиях тектонического разрушения, что объясняет происхождение самоподобных дизъюнктивных структур в деформируемом материале земной коры. Проникновение методов фрактальной геометрии в физику разрушения началось сразу же с рождением нового аппарата и инициировано самим автором фрактальной геометрии [Mandelbrot et al, 1984\.

Фрактальная геометрия позволила взглянуть на процесс разрушения с новой точки зрения - с точки зрения топологии процесса. Это сразу же выявило ограниченность описания разрушения в рамках континуальных детерминистических моделей. Появилась возможность рассматривать разрушение как самоподобный каскадный процесс и количественно оценить параметры его самоподобия.

Настоящее исследование посвящено изучению и моделированию самоподобной организации сейсмогенной среды (разломных и сейсмических полей) и процесса подготовки сильного землетрясения в такой среде. В качестве исследованных сейсмотектонических объектов были выбраны зоны сочленения Памира с Тянь-Шанем и Большого Кавказа с Малым, а также окрестности эпицентров ряда сильных землетрясений, произошедших в Южной Калифорнии, на Балканском полуострове и на Камчатке. Некоторые используемые далее термины нуждаются в предварительном определении. Так, термин "скейлинг", уже широко распространенный, означает, что некоторые характеристики системы (или функции) - например, показатели степени в зависимости числа структурных элементов системы от масштаба - сами от масштаба не зависят. Скейлинг выражает принцип симметрии в организации (законе формирования) системы. Термины "масштабная инвариантность" и "самоподобие" являются синонимами термина "скейлинг". Количественным выражением скейлинга могут быть фрактальные размерности, функции размерностей и т.д., причем для многомерных систем скейлинг может быть как изотропным, так и анизотропным.

Термин "разломное поле" будет использован для обозначения двумерного распределения вероятности появления траектории разлома в некоторой области земной поверхности (боксе масштабной сетки), т.е. для обозначения вероятностной меры, характеризующей топологию разломной сети. Аналогично, термин "сейсмическое поле" также будет обозначать двумерное распределение вероятности обнаружения эпицентра землетрясения с магнитудой выше пороговой в боксе масштабной сетки, т.е. для обозначения вероятностной меры, являющейся функцией множества эпицентров.

Поля или меры, характеризуемые единственным значением фрактальной размерности, будут называться монофрактальными для отличия их от мультифраюгальных мер, характеризующихся сплошным спектром размерностей. Монофрактальность является частным случаем мультифрактальности (при совпадении всех размерностей), поэтому термин "монофрактальная размерность" будет применяться и к мультифрактальным мерам для обозначения характерной размерности, получаемой при значении порядка момента меры, равной нулю.

Ниже приведены общие характеристики проведенного исследования.

Актуальность исследования.

В последнее десятилетие нелинейный анализ превратился в один из основных способов получения новой информации в сейсмотектонике. Так, теория фрактальных множеств широко используется для исследования тектонических объектов, давая простейшее нетривиальное описание самоподобия разреженных лакунарных структур. В последние годы бурное развитие исследований процессов самоорганизации в нелинейных системах сопровождалось развитием математического аппарата, ориентированного на описание общего типа самоподобия объектов вероятностной природы - теории мультифрактальных мер. Новая теория исследует масштабно-инвариантную природу мер или полей и, будучи более адекватной традиционным геофизическим задачам, постепенно занимает место теории фракталов при изучении тектонических процессов.

Сейсмические катастрофы последних лет (например, Спитак, 1988; Нефтегорск, 1995 и др.) показали недостаточную эффективность современных методов оценки сейсмического риска и мониторинга состояния сейсмогенной среды. Повышение эффективности этих методов требует использования в сейсмотектоническом анализе возможностей смежных научных дисциплин, что в значительной степени относится к средствам нелинейной физики. Скейлинговый анализ сейсмических и дизъюнктивных структур земной коры неотделим от вопросов эволюции природной системы в целом, поэтому полученные с его помощью результаты, отражающие законы формирования геологической среды, необходимы для решения прикладных и прогностических задач сейсмотектоники.

Цели исследования.

Данная работа имела цели: исследование структуры сейсмогенной среды на основе представлений о самоподобии неравновесных процессов в земной коре; исследование масштабно-инвариантной структуры разломных полей земной коры; >- выявление связи сейсмической активности со скейлингом разломных полей; построение модели структурной организации сейсмогенной среды на базе представлений о самоорганизации среды как общей основы эволюции различных геофизических полей; исследование процесса подготовки сильных землетрясений в среде с масштабно-инвариантной структурой.

Методы исследований.

В работе использованы методы математического и компьютерного моделирования самоподобных сейсмотектонических) объектов, а также методы компьютерного анализа сейсмических каталогов. При подготовке статистических данных (карт разломов) к численному анализу применялись, в частности, методы компьютерной графики. Программирование расчетных алгоритмов осуществлялось на языках высокого уровня (Turbo С, Turbo Pascal).

Основные защищаемые положения.

1. Пространственная организация разломных полей зон сочленения Памира с Тянь-Шанем и Большого Кавказа с Малым подчинена мультифрактальной статистике.

2. Связь между разломными и сейсмическими структурами исследованных районов Кавказа обнаруживается на уровне их топологий и проявляется в согласовании их скейлингов.

3. Изменения мультифрактального скейлинга сейсмических полей в областях с мелкофокусной сейсмичностью чувствительны к процессам подготовки сильных землетрясений.

Научная новизна. В данном исследовании впервые: показано, что пространственная организация разломных структур земной коры подчинена мультифрактальной статистике; проведено сравнение сейсмической и разломной статистик; устанавлена форма взаимосвязи разломных и сейсмических структур земной коры на уровне их топологий; >- показано, что сейсмогенная среда в областях внутриконти-нентальной мелкофокусной сейсмичности имеет масштабно-инвариантную структуру, приводящую к согласованию скей-лингов различных физических полей; предложена математическая модель согласования скейлингов различных геофизических полей; обнаружено изменение структуры сейсмического поля перед сильным землетрясением, выражающееся в эффекте расширения /(а) -спектров сейсмических полей перед сильными землетрясениями.

Практическая ценность.

Результаты работы могут быть использованы при компьютерном моделировании разрушения и разломообразования, при моделировании сейсмического режима, в задачах по оценке сейсмического риска конкретных регионов и при поиске мест возникновения возможных землетрясений. Результаты работы способствуют более глубокому пониманию физических процессов, приводящих к возникновению землетрясений в земной коре.

Апробация работы.

Материалы работы докладывались автором на заседаниях семинара Лаборатории палеосейсмологии ИФЗ РАН и Ученого Совета ОИФЗ РАН, а также на международных конференциях: EUG VII, Strasbourg, France, 1993; EGS XVIII, Wiesbaden, Germany, 1993; The Conference "Nonlinear Variability in Geophysics - NVAG 3", Cargese, Corsica, France, 1993; The 11-th International Conference on Basement Tectonics, Potsdam, Germany, 1994; The 17-th International Conference "Mathematical Methods in Geology", Prague, Czech Republic, 1995, The Vl-th International Symposium on application of mathematical methods and computers in mining, geology and metallurgy, Prague, Czech Republic, 1997. В рамках конкурса работ, выдвинутых на присуждение премии им. Ю.В.Ризниченко за 2001 год, настоящая работа удостоена 2-го места.

Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность Заведующему отделением природных и техногенных катастроф и сейсмичности Земли ИФЗ РАН, член-корреспонденту РАН, лауреату Государственной премии СССР, д.ф.м.н., профессору Г.А.Соболеву, неоднократно поддерживавшему данное исследование, и Заведующему лабораторией палеосейсмологии ИФЗ РАН д.г.м.н. Т.П.Белоусову, предоставившему для данного исследования составленные им карты активных разломов зон сочленения Памира с Тянь-Шанем и Большого Кавказа с Малым. Автор пользовался также данными нескольких сейсмических каталогов, явившихся результатом труда многих специалистов. Это: Кавказский региональный каталог, составленный Кавказским региональным центром по прогнозу землетрясений под руководством д.ф.м.н. Т.Л.Челидзе; Унифицированный каталог землетрясений Северной Евразии, составленный под редакцией д.ф.м.н. Н.В.Кондорской, д.ф.м.н Н.В.Шебалина и член-корреспондента АН республики Узбекистан д.ф.м.н. В.И.Уломова; Камчатский региональный каталог, составленный Камчатской опытно-методической экспедицией Института вулканологии ДВО РАН (1962-1995 гг.) и дополненный данными оперативного каталога Геофизической службы РАН, а также Южнокалифорнийский и 18С-каталоги. Всем составителям этих каталогов автор искренне благодарен за материалы, без которых данное исследование было бы невозможно.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Стаховский, Игорь Ростиславович

ВЫВОДЫ

В ходе проведенного исследования предложен новый метод сейсмотектонического анализа разломных и сейсмических структур земной коры, позволяющий: а) - выявить в сейсмогенной среде масштабно-инвариантную структуру, имеющую общую основу в геофизических полях различной природы, б) -моделировать структуру среды математическими средствами, а также в) - определить характер процесса подготовки сильного землетрясения в такой среде. Конкретные выводы работы сформулированы далее. О

Проведен мультимасштабный анализ систем активных разломов земной коры в сейсмоактивных регионах, для чего разработана новая техника анализа с использованием методов компьютерной графики. Показано, что разломные поля зоны сочленения Памира и Тянь-Шаня, а также Кавказа, имеют масштабно-инвариантную структуру. Скейлинг разломных полей примерно соответствует скейлингу трещинных структур в породах с наиболее высокой степенью дробления (глинке трения). ©

Законы формирования разломных полей характеризуются мультифрактальностью, содержат как детерминистическую, так и стохастическую компоненты, имеют как области статистического самоподобия, так и области аномального скейлинга.

Самоподобие разломных полей позволяет рассматривать разломные структуры земной коры как апериодические структуры с высокой перемежаемостью. В частности, ренормирование разломных полей не приводит к их сглаживанию. Ф

Показано, что дилатансия может рассматриваться как структурный элемент мультифракгального разломного поля. Дилатантные процессы сосредоточены на подмножествах точек с низкими значениями индексов сингулярности разломного поля. С точки зрения топологии дилатансия является точечным масштабно-инвариантным процессом. О

Проведено сравнение разломной и сейсмической статистик на основе вычисленных параметров локального самоподобия разломных полей Кавказа. При конечном масштабном разрешении (в конечном масштабном диапазоне) показано, что в регионах рассеянной мелкофокусной сейсмичности точки, характеризующиеся низкими значениями индексов сингулярности разломных полей, сосредотачивают на себе повышенную вероятность появления эпицентров землетрясений с М >2. Тем самым, структуры разломных и сейсмических полей оказываются физически согласованными. Причиной органической взаимосвязи сейсмотектонических процессов является самоорганизация материала земной коры, находящегося в неравновесном состоянии под действием тектонических напряжений.

Проведен мультифрактальный анализ сейсмических полей в окрестностях эпицентров (в областях размером 80 х 80 км) сильных землетрясений, предварявшихся наиболее представительным количеством слабых сейсмических событий, с целью сравнения скейлингов сейсмических полей, непосредственно предшествовавших сильным землетрясениям, со скейлингами полей, существовавших задолго до главного толчка. Показано, что сильным землетрясениям предшествует расширение /(а)-спектров сейсмических полей в последние 2-3 года перед главным толчком. Ф

Построена модель согласования скейлингов разломных и сейсмических полей земной коры. Предлагаемая математическая процедура позволяет моделировать разломные и сейсмические поля, анализировать результаты сравнения разломной и сейсмической статистик, систематизировать известные и обнаруженные в ходе данной работы экспериментальные результаты из области физики разрушения горных пород и сейсмологии и устанавливает форму взаимосвязи разломных и сейсмических структур земной коры на уровне их топологий. О

Показано, что мультифрактальный скейлинг сейсмических полей может рассматриваться как макропараметр сейсмогенной среды, чувствительный к процессу подготовки землетрясения, в то время как монофракгальная размерность может быть нечувствительна (или слабочувствительна) к перестройке структуры поля. Изменения мультифрактального скейлинга сейсмических полей могут быть оценены количественно. Скейлинг сейсмотектонических объектов может использоваться в сейсмотектоническом анализе как содержательная характеристика региона, чувствительная к состоянию и изменениям состояния среды в данном регионе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Стаховский, Игорь Ростиславович, 2002 год

1. Автоматизированная обработка данных на Гармском полигоне. Москва-Гарм, 1991, 215 с.

2. Апродов В.А. Зоны землетрясений. М.: Мысль, 2000, 461 с.

3. Астафьева Н.М., Сонечкин Д.М. Мультимасштабный анализ индекса южного колебания. ДАН, 1995, Т. 344, № 4, С. 539-542.

4. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992, 554 с.

5. Белоусов В. В. Тектонические разрывы, их типы и механизмы образования. М.: АН СССР, 1952, 148 с.

6. Белоусов В.В. Структурная геология. М.: Недра, 1971, 227 с.

7. Белоусов Т.П., Стаховский И.Р. Мультифракгальный анализ разломных кластеров зоны сочленения Памира и Тянь-Шаня. В кн.: Геофизические процессы в дискретной среде. Под ред. М.А.Садовского, М.: Изд-во РФФИ, 1993, С. 50-63.

8. Белоусов Т.П., Стаховский И.Р. Активные разломы земной коры: скейлинг и связь с сильными землетрясениями. ДАН, 1995, Т. 342, № 3, С. 382-385.

9. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976, 352 с.

10. Васильев П.М., Качалин А.Б., Моралев В.М., Терехов E.H. Тектоническое районирование и фрактальные перколяционные кластеры в линеаментной сети восточной части Балтийского щита. ДАН, 1994, Т. 334, № 6, С. 718-722.

11. Васильев П.М., Качалин А.Б., Моралев В.М., Терехов E.H., Тюфлин A.C. Мультифрактальность плотности линеаментов (на примере Кольского полуострова). Исследования Земли из космоса, 1996, № 2, С. 25-32.

12. Гейликман М.В., Голубева Т.В., Писаренко В.Ф. Мул ьти фрактальная структура пространственного распределения сейсмичности. ДАН, 1990, Т. 310, № 6, С. 1335-1338.

13. Геодинамика и прогноз землетрясений. Вычислительная сейсмология, вып. 26. Отв. ред. В.И.Кейлис-Борок, Г.М.Молчан. М., Наука, 1994, С. 2-32.

14. Геология и сейсмичность зоны БАМ. Сейсмогеология и сейсмическое районирование Ред. В.П.Солоненко и М.М.Мандельбаум. Новосибирск: Наука, 1985, Сиб. отд., 190 с.

15. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флукгуаций. М., Мир, 1973, 280 с.

16. Гольдштейн Р. В., Мосолов А. Б. Мультифрактальная геометрия разрушения и масштабный эффект. ДАН, 1993, Т. 329, № 4, С. 429-431.

17. Гутенберг Б. Физика земных недр. М.: ИЛ, 1963, 263 с.

18. Даценко Н.М., Сонечкин Д.М. Вейвлетный анализ временных рядов и динамика атмосферы. Изв. вузов "ПНД", 1993, Т. 1, № 1/2, С. 9-14.

19. Деллашери К. Емкости и случайные процессы. М.: Мир, 1975, 192 с.

20. Джеффрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. М.: ИЛ, 1960, 485 с.

21. Еленин Г. Г. Явления пространственно-временной организации в системах с многовариантным поведением. В кн.: Синергетика, т.З. М.: Издательство московского Университета, 2000, С. 224-242.

22. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел. Вестник АН СССР, 1968, № 3, С. 46-52.

23. Зильбершмидт В. В. Фрактальные подходы в анализе разрушения. Свердловск: ИМСС, 1990, 48 с.

24. Зильбершмидт В.В. Фрактальный анализ распространения трещин. Свердловск: УрО АН СССР, 1991, 48 с.

25. Зимин Н.Е., Сонечкин Д.М. Расчет размерностей и других характеристик аттракторов атмосферных моделей и реальной атмосферы. В кн.: Методы долгосрочного прогноза погоды. Труды ГидроМетеоЦентра, Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, С. 98-137.

26. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.: Мир, 1990, 608 с.

27. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990, 318 с.

28. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. В кн.: Синергетика, т.З. М.; Издательство московского Университета, 2000, С. 100-143.

29. Кокс А., Харт Р. Тектоника плит. М.: Мир, 1989, 428 с.

30. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега. ДАН, 1958, Т. 119, № 5, С. 861-865.

31. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974, 120 с.

32. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования. Под ред. A.A.Самарского. М.: Наука, 1988, 176 с.

33. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975, 176 с.

34. Кронрод Т.Л., Писаренко В.Ф., Костоусов В.Б. Фрактальное моделирование пространственного распределения землетрясений. Вычисл. сейсмол., 1996, № 28, С. 175-192.

35. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963, 472 с.

36. Мазлишвили А.И. Способ наименьших квадратов. М.: Недра, 1968, 436 с.

37. Математическое моделирование. Под ред. Д.Эндрюса и Р.Мак-Лоуна. М.: Мир, 1979, 250 с.

38. Масштабная инвариантность. Физическая энциклопедия, Т.З, М.: БРЭ, 1992, С. 60-61.

39. Моги К. Предсказание землетрясений. М.: Мир, 1988, 382 с.

40. Мосолов А. Б., Динариев О.Ю. Автомодельность и фрактальная геометрия разрушения. Проблемы прочности. 1988, № 1, С. 3-7.

41. Наймарк О.Б., Давыдова М.М., Зильбершмидт В.В. Кинетика и топологические аспекты квазихрупкого разрушения углеродных композитов. Механика композитных материалов. 1991, № 1, С. 79-86.

42. Николис Дж. Динамика иерархических систем: Эволюционное представление. М.: Мир, 1989, 488 с.

43. Новиков Е.А., Стюарт Р.У. Перемежаемость турбулентности и спектр флуктуаций диссипации энергии. Изв. АН СССР. Серия геофизическая, 1964, № 3, С. 408-413.

44. Оберт Л. Хрупкое разрушение горных пород. В кн.: Разрушение, VII, Т. 1, М.: Мир, 1976, С. 59-128.

45. Павлова H.H. Трещиноватость и разрушение горных пород. М.: Наука, 1970, 96 с.

46. Параметры, амплитудно-частотные и фазовые характеристики приборов региональных сейсмических станций Кавказа. Тбилиси, 1974, 48 с.

47. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960, 127с.

48. Пригожин И. Конец определенности. Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 1999, 215 с.

49. Прусаков Г.М. Математические модели и методы в расчетах на ЭВМ. М.: ВО Наука, 1993, 142 с

50. Разломы и сейсмичность Северо-Муйского геодинамического полигона. Отв. ред. С.И.Шерман. Новосибирск: Наука, 1991, 110 с.

51. Райе Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982, 216 с.

52. Рейнер М. Деформация и течение. М.: Нефтегиз, 1963, 380 с.

53. Рейнер М. Реология. М.: Наука. 1965, 222 с.

54. РеЙснер Г.И., Иогансон Л.И., Рейснер М.Г., Баранов Ю.Е. Типизация земной коры и современные геологические процессы. М.: ИФЗ, Т993, 210 с.

55. Ривкинд В.Н. Оценка влияния масштабного фактора на параметры вязкоупругости при ультразвуковом импедансном контроле свойств композитов. Механика композитных материалов. 1992, № 4, С. 516-520.

56. Рикитаке Т. Предсказание землетрясений. М.: Мир, 1979, 388 с.

57. Садовский М.А. Еще о зависимости объема очага землетрясения от его энергии. ДАН, 1984, 275, 5, 1087-1088.

58. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. О свойстве дискретности горных пород. Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982, № 12, С. 40-48.

59. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. М.: Наука, 1991, 96 с.

60. Самородницкий A.A. Теория меры. Л.: Изд-во Лен. Университета, 1990, 268 с.

61. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991, 134 с.

62. Смирнов В.И. Высшая математика, т.5, М.: Физматгиз, 1974, 655 с.

63. Соболев Г.А. Изучение образования и предвестников разрыва сдвигового типа в лабораторных условиях. В кн.:

64. Физические процессы в очагах землетрясений. М.: Наука, 1980, С. 86-99.

65. Соболев Г. А., Кольцов A.B. Крупномасштабное моделирование подготовки и предвестников землетрясений. М.: Наука, 1988, 205 с.

66. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Анализ процесса выделения энергии при формировании магистрального разрыва в лабораторных исследованиях по разрушению горных пород и перед сильными землетрясениями // Физика Земли, 2000, № 2, С. 44 55.

67. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985, 272 с.

68. Стаховский И.Р., Козырев A.A. Предвестники разрушения в поле деформаций поверхности образцов горных пород. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1985, № 8, С. 103-107.

69. Стаховский И.Р. Трещинообразование и поверхностные деформации в окрестности сдвигового разрыва в горных породах. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1988, № 5, С. 88-94.

70. Стаховский И. Р. Фрактальная геометрия хрупкого разрушения при антиплоском сдвиге. Физика Земли, 1995, № 3, С. 84-91.

71. Стаховский И. Р. Моделирование агрегации трещин в неравновесной среде. Математическое моделирование, 1995, Т. 7, № 6, С. 54-64.

72. Стаховский И.Р., Белоусов Т.П. Масштабные инварианты в сейсмотектонике. ДАН, 1996, Т. 347, №. 2, С. 252-255.

73. Стаховский И. Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов. ДАН, 1996, Т. 350, №. 3, С. 393-396.

74. Стаховский И.Р., Белоусов Т.П. Параметры локального самоподобия систем активных разломов и пространственное распределение сейсмичности. ДАН, 1997, Т.354, N2. 4, С. 545-548.

75. Стаховский И. Р. Глобальный и локальный скейлинг двумерных структур, генерируемых в модели разрушения горных пород. Физика Земли, 1998, № 11, С. 11-19.

76. Стаховский И. Р. Самоорганизация и самоподобие сейсмотектонических объектов. В кн.: Атлас временных вариаций природных, антропогенных и социальных процессов, т.2. Циклическая динамика в природе и обществе. М.: Научный мир, 1998, С. 372-380.

77. Стаховский И.Р. Временной и пространственно-временной мультимасштабный анализ сейсмичности в период подготовки Рачинского землетрясения. Физика Земли, 2000, № 4, С. 41-47.

78. Стаховский И. Р. Модель согласования скейлингов разломных и сейсмических полей земной коры. Физика Земли,2001, № 7, С. 21-31.

79. Стаховский И.Р. Расширение /(я)-спектров сейсмическихполей в областях подготовки сильных землетрясений. Физика Земли, 2002, № 2, С. 74-78.

80. Стаховский И.Р. Согласование скейлингов разломного и сейсмического полей. В кн.: Атлас временных вариацийприродных, антропогенных и социальных процессов, Т.З. М, Янус-К, 2002.

81. Структурная геология и тектоника плит. Под ред. К.Сейферта, Т.2, М.: Мир, 1991, 376 с.

82. Суворов В.В. Синергетическая концепция самоорганизации. В кн.: Синергетика, Т. 3. М.: Издательство московского Университета, 2000, С. 325-337.

83. Теркотт Д., Шуберт Дж. Геодинамика. М.: Мир, 1985, Т. 1-2, 730 с.

84. Файзуллин И.С., Шапиро С.А. Рассеяние сейсмических волн и фрактальный характер неоднородностей литосферы. Физика Земли, 1989, № 10, С. 43-49.

85. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1992, 190 с.

86. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980, 404 с.

87. Хаусдорф Е. Теория множеств. М-Л.: ОНТИ, 1937, 202 с.

88. Челидзе Т.Л. Методы теории перколяции в механике разрушения. Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1983, № 6, С. 111-123.

89. Шебалин Н.В. Замечания о преобладающих периодах, спектре и очаге сильного землетрясения. В кн.: Сейсмические исследования для строительства. Вопросы инженерной сейсмологии, вып. 14, М., Наука, 1971, стр. 50-78.

90. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Мир, 1963, 350 с.

91. Шеремет О.Г., Морапев В.М. Использование кластерногоанализа при цифровой обработке линеаментных сетей, выявленных по космическим снимкам. Исследование Земли из космоса. 1993, № 3, С. 71-83.

92. Шерман С. И., Леви К. Г. Трансформные разломы Байкальской рифтовой зоны и сейсмичность ее флангов. В кн.: Тектоника и сейсмичность континентальных рифтовых зон. М.: Наука, 1978, С. 7-18.

93. Шерман С.И. Сдвиги и трансформные разломы литосферы. В кн.: Проблемы разломной тектоники. Новосибирск: Наука, 1981, С. 5-26.

94. Шерман С. И., Борняков С. А., Буддо В.Ю. Области динамического влияния разломов. Новосибирск: Наука, 1983, 112 с.

95. Шерман С.И., Гладков А.С. Новые данные о фрактальной размерности разломов и сейсмичности в Байкальской рифтовой зоне. ДАН, 1998, Т. 361, № 5, С. 685-688.

96. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988, 240 с.

97. Anderson Е.М. Dynamics of faulting and dyke formation with application to Britain. London, Oliver & Boyd, 1951, 250 p.

98. Angulo-Brown F., Munoz-Diosdado A. Further seismic properties of a spring-block earthquake model. Geophys. J. Int., 1999, V. 139, P. 410-418.

99. Arcangelis L. de, Hansen A., Herrmann H.J., Roux S. Scaling laws in fracture. Physical Review B, 1989, V. 40, № 1, P. 877-880.

100. Argoul F., Arneodo A., Elezgaray J., Grasseau G., Murrenzi R. Wavelet transform of fractal aggregates. Phys. Lett. A, 1989, V. 135, №6/7, P. 327-336.

101. Argoul F., Arneodo A., Elezgaray J., Grasseau G., Murrenzi R. Wavelet analysis of the self-similarity of diffusion-limited aggregates and eiectrodeposition clusters. Physical Review A, 1990, V. 41, № 10, P. 5537-5559.

102. Arneodo A., Grasseau G., Holschneider M. Wavelet transform of multifractals. Phys. Rev. Lett., 1988, V. 61, № 20, P. 2281-2284.

103. Atmanspacher H., Scheingraber H., Wiedenmann G. Determination of f(a) for a limited random point set. Physical Review A, 1989, V. 40, № 7, P. 3954-3963.

104. Aviles C.A., Scholz C.H., Boatwright J. Fractal analysis applied to characteristic segments of the San-Andreas fault. J. Geophys. Res., 1987, V. 92, P. 331-350.

105. Avnir D., Farin D., Pfeifer P. Molecular fractal surfaces. Nature, 1984, V. 308, P. 261-263.

106. Badii R., Politi A. Hausdorff dimension and uniformity factor of strange attractors. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, № 19, P. 1661-1664.

107. Badri A., Touchard G., Velde B., Sahel A., Borzeix J. Image processing software for fractal analysis of fractures in rocks. Acta Stereol, 1994, № 13/1, P. 183-188.

108. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality. Phys. Rev. Lett., 1987, V. 59, P. 381-384.

109. Bak P., Tang C. Earthquakes as self-organized criticality. J. Geophys. Res., 1989, V. 94, № 15, P. 635-637.

110. Bale H.D., Schmidt P.W. Small-angle X-ray-scattering investigation of submicroscopic porosity with fractal properties. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 53, № 6, P. 596-599.

111. Barrier re B., Turcotte D. A scale-invariant cellular automata model for distributed seismisity. Geophys. Res. Lett., 1991, V. 18, №11, P. 2011-2014.

112. Beale P.D., Srolovitz D.J. Elastic fracture in random materials. Phys. Rev. B, 1988, V. 37, № 10, P. 5500-5507.

113. Belli G., Ratti S.P., Salvadory G. An empirical fractal model for the TCDD distribution on Seveso (Milan, Italy) territory. Toxicological and environmental chemistry, 1991, V. 33, P. 201 -205.

114. Beltrami H.D., Lavallee D., Hooge C., Lovejoy S., Marechal J. Universal multifractals in earthquake. EOS, 1991, № 72, P. 279.

115. Ben-Mizrachi A., Procaccia I. Characterization of experimental (noisy) strange attractors. Phys. Rev. A, 1984, V. 29, № 2, P. 975-977.

116. Bieniawski Z.T. Rock mechanics design in mining and tunneling. A.A.Balkema, Rotterdam, Boston, 1984, 272 p.

117. Biot M.A. Theory of folding of stratified viscoelastic media and its implication in tectonics and orogenesis. Geol. Soc. Am. Bull., 1961, V. 72, P. 1595-1620.

118. Boadu F.K., Long L.T. The fractal character of fracture spacing and RQD. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., 1994, V. 31, № 2, P. 127-134.

119. Bohr T., Rand D. The entropy function for characteristic exponents. Physica D, 1987, V. 25, P. 387-398.

120. Bolt B. Nuclear explosions and earthquakes. 1976, San Francisco, Freeman & Co., 309 p.

121. Bottari A., Caccamo D., Neri G. An example of seismic occurrence modelling by a several-state random process. Geophys. J. Int. 1992, V. 108, P. 267-272.

122. Boufadel M.C., Lu S., Molz F.J., Lavallee D. Multifractal scaling of the intrinsic permeability. Water Resources Research. 2000, V. 36, № 11, P. 3211-3222.

123. Bowman C., Newell A.C. Natural patterns and wavelets. Review of Modern Physics, 1998, V. 70, № 1, P. 289-301.

124. Brace W.F. Volume changes during fracture and frictionai sliding: a review. Proc. conf. II Experimental studies of rock friction with application to earthquake prediction. Menlo Park, California, 1977, P. 559-590.

125. Brown S.R., Scholz C.H., Rundle J.B. A simplified spring-biock model of earthquakes. Geophys. Res. Lett., 1991, V. 18, P. 215-218.

126. Burridge R., Knopoff L. Model and theoretical seismicity. Bull. Seism. Soc. Am., 1967, V. 57, P. 341-371.

127. Burrill C.W. Measure, integration and probability. New York, McGrow-Hill Inc., 1972, 464 p.

128. Cahn R.W. Fractal dimension and fracture. Nature, 1989, V. 338, P. 201- 202.

129. Chhabra A., Jensen R.V. Direct determination of the f(a) singularity spectrum. Phys. Rev. Lett., 1989, V. 62, № 12, P. 1327-1330.

130. Chhabra A.B,, Meneveau C., Jensen R.V., Sreenivasan K.R. Direct determination of the f(a) singularity spectrum and its application to fully developed turbulence. Phys. Rev. A, 1989, V. 40, № 9, P. 5284-5294.

131. Chelidze T.L. Percolation and fracture. Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1982, V. 28, P. 93-101.

132. Chelidze T., Gueguen Y. Evidence of fractal fracture. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1990, V. 27, № 3, P. 223-225.

133. Cohen A., Procaccia I. Computing the Kolmogorov entropy from time signals of dissipative and conservative dynamical systems. Phys. Rev. A, 1985, V. 31, № 3, P. 1872-1882.

134. Cohen A. Wavelets and multiscale signal processing. London, Chapman & Hall, 1995, 232 p.

135. Combes J.M., Grossman A., Tchamitchian P. (ed.). Waveletts: time frequency methods, phase space. Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag, 1989, 332 p.

136. Cowie P.A., Sornette D., Vanneste C. Multifractal scaling properties of a growing fault population. Geophys. J. Int., 1995, V. 122, P. 457-469.

137. Crampin S. Fracture criticafity of crustal rocks. Geophys. J. Int., 1994, V. 118, P. 428-438.

138. Csordas A., Szepfalusy P. Singularities in Renyi information as phase transitions in chaotic states. Physical Review A, 1989, V. 39, № 9, P. 4767-4777.

139. Daubechles I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications in Pure and Applied Mathematics, 1988, V. 41. P. 909-996.

140. Dauskardt R.H., Haubensak F., Ritchie R.O. On the interpretation of the fractal character of fracture surfaces. Acta Metal!., 1990, V. 38, № 2, P. 143-159.

141. Davis A., Marshak A., Wiscombe W., Cahalan R. Multifractal characterizations of nonstationarity and intermittency in geophysical fields: observed, retrieved or simulated. J.Geophys. Res., 1994, V. 99, P. 8055-8072.

142. De Luca Luciana, Lasocki Stanislaw, Luzio Dario, Vitale Massimo. Fractal dimension confidence interval estimation of epicentraf distributions. Ann. Geofis. 1999. V. 42, № 5, P. 911-924.

143. De Rubeis V., Dimitriu P., Papadimitriu E., Tosi P. Recurrent patterns in the spatial behaviour of Italian seismisity revealed by the fractal approach. Geoph. Res. Lett., 1993, V. 20, P. 1911-1914.

144. De Rubies V., Hallgas R., Loreto V., Paladin G., Pietronero L.,Tosi P. Self-affine asperity model for earthquakes. Phys. Rev. Lett. 1996, V.76, № 14, P. 2599-2602.

145. Dieterich J. A constitutive law for rate of earthquake production and its application to earthquake clustering. J.Geophys.Res., 1994, V. 99, B2, P. 2601-2618.

146. Doob J.L. Stochastic processes. New York, John Wiley & Sons, 1990, 150 p.

147. Domb C., Stoll E., Schneider T. Percolation clusters. Contemp. Phys., 1980, V. 21, P. 517-582.

148. Falconer K. Fractal geometry; mathematical foundations and applications. New York, John Wiley & Sons, 1990, 280 p.

149. Fan L.T., Neogi D., Yasima M. Elementary introduction to spatial and temporal fractals. Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag, 1991, 250 p.

150. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors. Physlca D, 1983, V. 7, № 1-3, P. 153-180.

151. Feder H.J.S., Feder J. Self-organized criticality in a stick-slip process. Phys. Rev. Lett., 1991, V. 66, P. 2669-2674.

152. Feng X-T., Seto M. Fractal structure of the time distribution of microfracturing in rocks. Geophys.J.Int, 1999, V. 136, № 1, P. 275-285.

153. Fracture mecanics of rock. Ed. by B.K.Atkinson. London, Academic Press, 1989, 534 p.

154. Frankel A. High frequency spectral falloff of earthquakes, fractal dimension of complex rupture, b value and the scaling of strength on fault. J.Geophys.Res., 1991, V. 96, P. 6291-6302.

155. Frisch U., Parisi G. A multifractal model of intermittency. In book: Turbulence and predictability in geophysical fluid dynamics and climate dynamics. Amsterdam, North-Holland, 1985, P. 84-88.

156. Frisch U.P., Sulem P.L, Nelkin M. A simple dynamical model of intermittency in fully developed turbulence. J. Fluid Mech., 1989, V. 87, P. 719-724

157. Frisch U. From global scaling, a la Kolmogorov, to local multiscaling in fully developed turbulence. Proc. R. Astr. Soc. London, 1991, V. A434, P. 89-90.

158. Gaonac'h H., Lovejoy S., Stix J. The resolution dependence of basaltic lava flows and their fractal dimensions. Geophys. Res. Lett., 1992, V. 19, P. 785-788.

159. Geilikman M.B., Golubeva T.V., Pisarenko V.F. Multifractal patterns of seismicity. Earth and Planetary Science Letters, 1990, V. 99, № 1/2, P. 127-132.

160. Ghez J.-M., Vaienti S. On the wavelet analysis for multifractal sets. Journal of Statistical Physics, 1989, V. 57, № 1/2, P. 415-420.

161. Gilbert L.E. Are topographic data sets fractal? PAGEOPH, 1989, V. 131, P. 241-254.

162. Giliberto S., Laroche C. Experimental evidence of self-organized criticality in the stick-slip dynamics of two rough elastic surfaces. J. Phys. I. France, 1994, V. 4, P. 223-235.

163. Gilman J.J., Tong H.C. Quantum tunneling as elementary fracture process. J. Appl. Phys. 1971, V. 42, № 9, P. 3479-3486.

164. Godano C., Caruso V. Multifractal analysis of earthquake catalogues. Geophys. J. Int. 1995, V. 121, P. 385-392.

165. Godano C., Civetta L. Multifractal analysis of Vesuvius volcano eruptions. Geophysical Research Letters, 1996, V. 23, № 10, P. 1167-1170.

166. Godano C., Alonzo M.L, Vilardo G. Mufti fractal approach to time clustering of earthquakes. Application to Mt. Vesuvio seismisity. Pure and Applied Geophysics, 1997, V. 149, P. 375-390.

167. Godano C., Tosi P., Derubeis V., Augliera P. Scaling properties of the spatio-temporal distribution of earthquakes: A multiracial approach applied to a Californian catalogue. Geophys. J. Int. 1999. V.136, № 1, P. 99-108.

168. Gonzato G., Mulargia F., Marzocchi W. Practical application of fractal analysis: problems and solutions. Geophys. J. Int. 1998. V. 132, № 2, P. 275-282.

169. Goryainov P. M., Ivanyuk G. Yu., Sharov N. V. Fractal analysis of siesmic and geological data. Tectonophysics. 1997. V. 269, № 3-4, P. 247-257.

170. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors. Phys. Lett. A, 1983, V. 97, P. 227-228.

171. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of Kolmogorov entropy from a chaotic signal. Phys. Rev. A, 1983, V. 28, P. 2591-2593.

172. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica9D, 1983, P. 189-208.

173. Grassberger P., Badii R., Politi A. Scafing laws for invariant measures on hyperbolic and nonhyperboiic attractors. J. Stat. Phys. 1988, V. 51, № 1/2, P. 135-178.

174. Grassberger P. Finite sample corrections to entropy and dimension estimates. Phys. Lett. A, 1988, V. 128, № 6, P. 369-373.

175. Greiner M., Schmiegel J., Eickemeyer F., Lipa P., Eggers H.C. Spatial correlations of singularity in multifractal branching processes. Physical Review E, 1998, V. 58, № 1, P. 554-564.

176. Greenspan D. Supercomputer simulation of cracks and fractures by quasimolecular dynamics. J. Phys. Chem. Solids, 1989, V. 50, № 12, P. 1245-1249.

177. Grossman A,, Morlet J., Paul T. Transforms associated to square integrabie group representations. General results. J.Math.Phys., 1985, V. 27, P. 2473-2479.

178. Gutenberg B., Richter C. Earthquake magnitude, intensity, energy and acceleration. Bull.Seism.Soc.Am., 1942, V. 32, P. 162-191.

179. Gutenberg B., Richter C. Seismicity of the Earth and associated phenomena. N.Y., Princeton Univ. press, 1949, 366 p.

180. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets. Phys. Rev. A, 1986, V. 33, № 2, P. 1141-1151.

181. Handy H. Deformation regimes and the rheological evolution of fault zones in the lithosphere: the effects of pressure, temperature, grainsize, and time. Tectonophysics, 1989, V. 163, P. 119-152.

182. Hassold G.N., Srolovitz D.J. Brittle fracture in materials with random defects. Phys. Rev. B, 1989, V. 39, № 13, P. 9273-9281.

183. Hatzfeld D., Karakostas V., Ziazia M., Selvaggi G., Leborgne S., Berge C., Guiguet R., Paul A., Voidomatis P., Diagourtas D.,

184. Havstad J.W., Ehlers C.L. Attractor dimension of non-stationary dynamical systems for small data sets. Phys.Rev.A, 1989, V. 39, P. 845-853.

185. Henderson J.R., Barton D.J., Foulger G.R. Fractal clustering of induced seismicity in The Geysers geothermal area, California. Geophys. J. Int., 1999, V. 139, P. 317-324.

186. Hentschel H.G.E., Procaccia f. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physlca D, 1983, V. 8, P. 435-444.

187. Hentschel H.G.E., Deutch J.M. Ffory-type approximation for the fractal dimension of cluster-cluster aggregates. Phys. Rev. A, 1984, V. 29, № 3, P. 1609-1611.

188. Herrmann H.J. Fracture patterns and seating taws. Physlca A, 1990, V. 163, P. 359-372.

189. Herrmann H.J., Hansen A., Roux S. Fracture of disordered elastic lattices in two dimensions. Phys. Rev. B, 1989, V. 39, № 1, P. 637-648.

190. Herrmann H.J., Kertesz J., Arcangells L. de. Fractal shapes of deterministic cracks. Europhys. Lett., 1989, V. 10, № 2, P. 147-152.

191. Hild F., Marquis 0. A statistical approqeh to the rupture of brittle materials. Eur. J. Mech. A/Solids, 1992, V. 11, № 6, P. 753-765.

192. Hinrichsen E.L., Hansen A., Roux S. A fracture growth model. Europhys. Lett., 1989, V. 8, № 1, P. 1-7.

193. Hirabayashi T., Ito K., Yoshii T. Multifractal analysis of earthquakes. Mathematical Seismology, 1990, V.40, P. 102-146.

194. Hirata T., Satoh T., Ito K. Fractal structure of spatial distribution of microfracturing in rock. Geophys. J. R. Astr. Soc., 1987, V. 90, № 2, P. 369-374.

195. Hirata T. Fractal dimension of fault systems in Japan: fractal structure in rock fracture geometry at various scales. PAGEOPH, 1989, V. 131, № 1-2, P. 157-170.

196. Huang Y., Saleur H., Sammis C., Sornette D. Precursors, aftershocks, chticality and self-organized criticality. Europhys. Lett. 1998. V.41, № 1, P. 43-48.

197. Hunt F., Sullivan F. Efficient algorithms for computing fractal dimensions. In book: Dimensions and Entropies in Chaotic Systems. Springer Series in Synergetics. 1986, V. 32, P. 74-81.

198. Ito K., Matsuzaki M. Earthquakes as a self-organized critical phenomenon. J. Geophys. Res., 1990, V. 95, B5, P. 6853-6860.

199. Ito K. Towards a new view of earthquake phenomena. PAGEOPH, 1992, V. 138, P. 531-548.

200. Kagan Y.Y., Knopoff L., The Spatial Distribution of Earthquakes: the Two-Point Correlation Function. Geophys. J. R. Astr. Soc. 1980, V. 62, P. 303-320.

201. Kagan Y.Y., Jackson D.D. Long-term earthquake clustering. Geophys. J.Int., 1991, V. 104, P. 117-133.

202. Kagan Y.Y. Seismicity: turbulence of solids. Nonlinear Science Today, 1992, V. 2, P. 8-18.

203. Kagan Y.Y. Fractal dimension of brittle fracture. J. Nonlinear Sci., 1991, V. 1, P. 1-16.

204. Kanamori H., Anderson D.L. Theoretical basis of some empirical relations in seismology. Bull. Seismol.Soc.Am., 1975, V. 65, P. 1073-1096.

205. Katz A.J., Thompson A.H. Fractal sandstone pores: implication for conductivity and pore formation. Phys. Rev. Lett., 1985, V. 54, № 12, P. 1325-1328.

206. Kapitaniak T. Chaos in systems with noise. Singapore, World Scientific, 1990, 300 p.

207. King G.C.P. The accommodation of large strains in the upper lithosphere of the Earth and other solids by self-similar fault systems: the geometrical origin of b-value. PAGEOPH, 1983, V. 124, P. 761-816.

208. Kohomoto M. Singularities in the thermodynamic formalism of multifractafs. Technical Report of ISSP, Ser. A, 1988, V. 2014, 19 p.

209. Kolmogorov A.N. A refinement of previous hypotheses concerning the local structureof turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number. J. Fluid Mech. 1962, V. 13, P. 82-85.

210. Korvin G. Fractal models in the Earth sciences. Elsevier, 1992, 396 p.

211. Kumar Praveen, Foufoula-Georgiou Efi. Wavelet analysis for geophysical applications. Rev. Geophys. 1997. V. 35, № 4, 75 p.

212. Kupkova M., Kristakova Z. Fractal dimension of fracture patterns a computer simulation. In book: Fractals and dynamical systems in geoscience. Springer-Verlag, 1994, P. 87-95.

213. Latora V., Rapisarda A., Vinciguerra S. A fractal approach to the themporal distribution of microseismicity at the low eastern flank of mt. Etna during 1989-1994. Phys. Earth and Planet. Inter. 1998, V.109, № 3-4, P. 115-127.

214. Lawn B.Q., Wilshaw T.R. Fracture of brittle solids. 1975, Cambridge University Press, 204 p.

215. Legrand D., Cisternas A., Dorbath L. Multifractal analysis of the 1992 Erzican aftershock sequence. Geophys. Res. Lett., 1996, V. 23, № 9, P. 933-936.

216. Lei Xinglin, Kusunose Kinichiro. Fractal structure and characteristic scale in the distributions of earthquake epicentres, active faults and rivers in Japan. Geophys. J. Int. 1999. V. 139, № 3, P. 754-762.

217. Lemaitre J., Chaboche J. Mechanics of solid materials. 1990, Cambridge University Press, 556 p.

218. Li G., Xu X. Fractal dimension as morphology and size parameter of fractured particles of rock. Transactions of Nonferrous Metals Society of China. 1993, V. 3, № 1, P. 6-9.

219. Li J.C.M. A theoretical limit of fracture toughness. Scripta Metalúrgica. 1988, V. 22, № 6, P. 837-838.

220. Li V.C. Mechanics of shear rupture applied to earthquake zones. In book: Fracture mechanics of rock. Ed. by B.K.Atkinson. London, Academic Press, 1989, P. 351-428.

221. Lomnitz-Adler J. interplay of fault dynamics and fractal dimension in determining Gutenberg & Richter b-vafue. Geophys.J.lnt., 1994, V. 108, P. 941-944.

222. Louis E., Guinea F., Flores F. The fractal nature of fracture. In book: Fractals in physics. 1986, North-Hoiland, P. 177-180.

223. Louis E., Guinea F. The fractal nature of fracture. Europhys. Lett., 1987, V. 3, № 8, P. 871-877.

224. Louis E., Guinea F. Fracture as a growth process. Physica D, 1989, V. 38, P. 235-241.

225. Lovejoy S., Schertzer D. Generalized scale invariance in the atmosphere and fractal models of rain. Water Resour.Res., 1985, V. 21, P. 1233-1250.

226. Lovejoy S., Schertzer D. Multifractalls, universality classes and satellite and radar measurements of cloud and rain fields. J. Geophys. Res. D, 1990, V. 95, № 3, P. 2021-2034.

227. Lung C.W., Zhang S.Z. Fractal dimension of the fractured surfaces of materials. Int. Cent. Theor. Phys. Prepr., 1989, V. 76, P. 1-11.

228. Madariaga R., Olsen K., Archuleta R. Modeling dynamic rupture in a 3D earthquake fault model. Bull. Seism. Soc. Am., 1998, V. 88, P. 1182-1197.

229. Main I.G., Peacocks., Meredith P.G. Scattering attenuation and the fractal geometry of fracture systems. PAGEOPH, 1990, V. 133, P. 283-304.

230. Main I.G., Sammonds P.R., Meredith P.G. Application of a modified Griffith criterion to the evolution of fractal damage duringcompressional rock fracture. Geophys. J. Int., 1993, V. 115, P. 367-380.

231. Maffat S., Zhong S. Characterization of signals from multiscale edges. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. 1992, V. 14, № 7, P. 710-732.

232. Mandelbrot B.B. Fractals, form, chance and dimension. San Francisco, W.H.Freeman, 1977, 365 p.

233. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of Nature. San Francisco, W.H.Freeman, 1982, 465 p.

234. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Paullay A.S. The fractal character of fracture surfaces of metals. Nature, 1984, V. 308, P. 721-722.

235. Mandelbrot B.B. Fractal geometry: what is it, and does it do? In book: Fractals in the natural sciences. 1989, Princeton University Press, P. 3-16.

236. Mandelbrot B.B. Multifractal measures, especially for the geophysicist. PAGEOPH, 1989, V. 131, № 1-2, P. 5-42.

237. Mandelbrot B.B. Negative fractal dimensions and multifractals. Physica A, 1990, V. 163, P. 306-315.

238. Matsushita M. Fractal viewpoint of fracture and accretion. J. Phys. Soc. Japan, 1985, V. 54, P. 857-860.

239. Meissner R. Non-linear processes in earthquake prediction research, a review. In book: Fractals and dynamic systems in geoscience, Springer-Verlag, 1994, P. 159-169.

240. Meneveau C., Sreenevasan K.R., Simple multifractal cascade model for fully developed turbulence. 1987, Phys. Rev. Lett. V. 59, № 13, P. 1424-1427.

241. Menger K. Dimensionstheorie. Berlin-Leipzig, B.G.Teubner, 1928, 150 p.

242. Mjachkin V.I., Brace W.F., Sobolev G.A., Dieterich J.H. Two models for earthquake forerunners. PAGEOPH, 1975, V. 113, P. 169 -181.

243. Mogi K. Source locations of elastic shocks in the fracturing processes in rocks. Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo, 1968, V. 46, № 5, P. 1103-1126.

244. Moller M., Lange W., Mitschke F., Abraham N.B., Hubner U. Errors from digitizing and noise in estimating attractor dimensions. Phys.Lett.A, 1989, V. 138, P. 176-182.

245. Molz F., Boman G. A fractal-based stochastic interpolation scheme in subsurface hydrology. Water Resour. Res., 1993, V. 29, P. 3769-3774.

246. Montroll E.W., Shlesinger M.F. On the Wonderful World of Random Walks. In book: Lebowitz J.L., Montroll E.W. (Eds.) Nonequilibrium Phenomena (II), North -Holland Physics Publishing, Netherlands, 1984, P. 1-123.

247. Moody J.D., Hill M.J. Wrench fault tectonics. Geol. Soc. Amer. Bull., 1956, V. 67, P. 1207-1246.

248. Nagahama H., Yoshii K. Scaling laws and fragmentation. In book: Fractals and dynamical systems in geoscience, SpringerVerlag, 1994, P. 25-36.

249. Nagahama H., Teisseyre R. Micromorphic continuum, rotational wave and fractal properties of earthquakes and faults. Acta geophys. Pol. 1998. V. 46, № 3, P. 277-294.

250. Nur A. Dilatancy, pore fluids and premonitory variation of s/p travel times. Bull. Seismol. Soc. America, 1972, V. 62, P. 5-15.

251. Obukhov A. Some specific features of atmospheric turbulence. J. Geophys. Res., 1962, V. 67, P. 3011-3014.

252. Okubo P.G., Aki K. Fractal geometry in the San Andreas fault system. J. Geohys. Res. B, 1987, V. 92, № 1, P. 345-355.

253. Olami Z., Feder H.J.S, Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automation model. Phys. Res. Lett. 1992, V. 68, P. 1244-1247.

254. Oncel A. O., Main I., Alptekin O., Cowie P.Spatial variations of the fractal properties of seismicity in the Anatolian fault zones. Tectonophysics. 1996. V. 257, № 2-4, P. 189-202.

255. Otsuki K. An empirical evolution law of fractal size frequency of fault population and its similarity law. Geophys. Res. Lett. 1998. V. 25, № 5, P. 671 -674.

256. Ouillon G., Castaing C., Sornette D., Hierarchical geometry of faulting. Journ. Geoph. Res., 1996, V. 101, B3, P. 5477-5487.

257. Ouillon G., Sornette D. Unibiased multifractai analysis: application to fault patterns. Geophys. Res. Lett., 1996, V. 23, P. 3409-3412.

258. Paladin G., Vulpiani A. Anomalous scaling laws in multifractai objects. Phys. Rep. 1987, V. 156, P. 147-150.

259. Paude C.S. Fractal characterization of fracture surfaces. Acta Metal I., 1987, V. 35, P. 1633-1637.

260. Peacock D.C.P., Sanderson D.J. Strain and scaling of faults in the chalk at Falmborough Head, U.K. J. Struct. Geol., 1993, V. 16, P. 97-108.

261. Peitgen H.O., Richter P.H. The beauty of fractals. SpringerVerlag, Berlin, New York, Tokyo, 1986, 200 p.

262. Peitgen H.O., Jurgen H., Saupe D. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. 1992, Springer-Verlag, 984 p.

263. Peng S., Johnson M. Crack growth and faulting in cilindrical specimens of Chelmsford granite. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., 1972, V. 9, № 1, P. 37-86.

264. Poterasu V.-F., Budei L. Aspects concerning fractals in time. Applications to river problems. Buletinul Institutului Poletehnic, V. XLIV (XLVIII), №. 3-4, P. 73-83.

265. Poulton M.M., Mojtaba N., Fabmer I.W. Scale invariant behavior of massive and fragmented rock. Int. J. Rock Mech. Min. & Geomech. Abstr., 1990, V. 27, P. 219-221.

266. Ramsay J.G. Shear zone geometry: a review. J. Struct. Geology, 1980, V. 2, № 1/2, P. 83-100.

267. Ramsey J.B., Yuan H.-J. The statistical properties of dimension calculations using small data sets. Nonlinearity, 1990, V. 3, P. 155-176.

268. Rasband S.N. Chaotic dynamics in nonlinear systems. New York, John Wiley & Sons, 1990, 250 p.

269. Renyi A. Probability theory. Amsterdam, North-Holland, 1970, 350 p.

270. Roberts A.J., Cronin A. Unbiased estimation of multifractal dimensions of finite data sets. Physica A, 1996, V. 233, P. 867-878.

271. Rossi G. Fractal dimension time variations in the Friuli (Northeastern Italy) seismic area. Boll. Geofis. Teor. Appl., 1990, V. 32, P. 175-184.

272. Sahimi M., Hashemi M. Wavelet identification of the spatial distribution of fractures. Geoph. Res. Letters, 2001, V. 28, № 4, P. 611-614.

273. Saleur H., Sammis C. G., Sornette D. Discrete scale invariance, complex fractal dimensions, and log-periodic fluctuations in seismicity. J. Geophys. Res. B. 1996. V. 101, № 8, P. 17661-17677.

274. Sammis C.G., Osborn R.H., Anderson J.L.,Banerdt M., White P. Self-similar cataclisis in the formation of fault-gouge. PAGEOPH, 1986, V. 124, P. 53-78.

275. Sammis C.G., Biegel R.L. Fractals, fault-gouge and friction. In book: Fractals in Geophysics. Basel, Boston, Berlin, 1989, P. 255-271.

276. Schertzer D., Lovejoy S. Physical modeling and analysis of rain and clouds by anisotropic scaling multiplicative processes. J. Geoph. Res. D, 1987, V. 92, № 8, P. 9693-9714.

277. Schertzer D., Lovejoy S. Generalized scale invariance and multiplicative processes in the atmosphere. PAGEOPH, 1989, V. 130, P. 57-81.

278. Schertzer D., Lovejoy S., Lavallee D., Generic Multifractal Phase Transitions and Self-Organized Criticality. In book: Cellular Automata: Prospects in Astronomy and Astrophysics. Ed. by Perdang J.M. and Lejeune A., 1993, World Scientific, P. 30-40.

279. Scholz C.H. Microfracturing and the inelastic deformation of rock in compression. J. Geophys. Res., 1968, V. 4, P. 1417-1432.

280. Scholz C.H. The mechanics of earthquakes and faulting. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, 220 p.

281. Scholz C.H. Earthquakes and faulting: Self-organized critical phenomena with a characteristic dimension. In book: Spontaneous formation of space-time structures and criticality, Kluwer Dordrecht, 1991, P. 41-56.

282. Scholz C.H., Dawers N.H., Yu J.-2., Anders M.H., Cowie P.A. Fault growth and fault scaling laws: preliminary results. J. Geophys. Res. 1993, V. 98, P. 21951-21962.

283. Schulman L.S., Seiden P.E. Percolation and galaxies. Science, 1986, V. 233, P. 425.

284. Schwartz D.P., Coppersmith K.J. Fault behaviour and characteristic earthquakes: examples from the Wasatch and San Andreas fault zones. J. Geophys. Res., 1984, V. 89, P. 5681-5698.

285. Shao S.-M., Zou J.Ch. Fractal research of fault gouge Acta seismol. sin. 1996. V.9, № 3, P. 485-491.

286. Sherman S.I., Gladkov A.S. Fractals in studies of faulting and seismicity in the Baikal rift zone. Tectonophysics, 1999, V. 308, P. 133-142.

287. Silberschmidt V.V., Silberschmidt V.G. Fractal models in rock fracture analysis, Terra Nova, 1990, V. 2, Ns 5, P. 483-487.

288. Smalley R.F. Jr., Chatelain J.L., Turcotte D.L., Prevot R. A fractal approach to the clustering of earthquakes: application to seismicity of the New Hebrides. Bull. Seis. Soc. Am., 1987, V. 77, P. 1368-1381.

289. Sornette D. Weibull-like failure distribution induced by fluctuation in percolation. J. Phys. France, 1988, V. 49, № 5, P. 889-896.

290. Sornette A., Davy P., Sornette D. Growth of fractal fault patterns. Phys. Rev. Lett., 1990, V. 65, № 18, P. 2266-2269.

291. Sornette A., Davy P., Sornette D. Structuration of the Hthosphere in plate tectonics as a self-organized critical phenomenon. J. Geophys. Res., 1990, V. 95, P. 17353-17361.

292. Sornette A., Sornette D. Earthquake rupture as a critical point: Consequences for telluric precursors. Tectonophysics, 1990, V. 179, P. 327-334.

293. Srivastava H. N., Bhattacharya S. N., Sinha Ray K. C. Strange attractor characteristics of earthquakes in Shillong plateau and adjoining regions Geophys. Res. Lett. 1996. V. 23, № 24, P. 3519-3522.

294. Stakhovsky l.R. Faulting as mufti fractal process. Reports of the 17-th symposium "Mathematical methods in geology", section MF, Prague, Czech Republic, 1995, P. 1-7.

295. Stakhovsky I.R., Belousov T.P. Statistical relations between scaling characteristics of fault and seismic fields. Journal of Earthquake Prediction Research, 1996, V. 5, № 4, P. 505-524.

296. Stakhovsky l.R. Multifractal analysis of fault structures in basement rocks. In book: Basement Tectonics 11. Europe and Other Regions. 1996, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands, P. 101-110.

297. Stanley H.E., Meakin P. Multifractal phenomena in physics and chemistry. Nature, 1988, V. 335, P. 405-409.

298. Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters. Phys. Rep., 1978, V. 54, P. 1-74.

299. Stauffer D. Introduction to percolation theory. Taylor & Fransis, 1985, 150 p.

300. Steacy S. J., McCloskey J., Bean C. J., Ren J. Heterogeneity in a self-organized critical earthquake model. Geophys. Res. Lett. 1996. V. 23, № 4, P. 383-386.

301. Stoksik M.A., Lane R.G., Nguyen D.T. Practical synthesis of accurate fractal images. Graphical Models and Image Processing, 1995, V. 57, № 3, P. 206-219.

302. Szepfalusy P., Tel T., Csordas A., Kovas Z. Phase transitions associated with dynamical properties of chaotic systems. Phys. Rev. A, 1987, V. 36, P. 3525-3550.

303. Takayasu H. Pattern formation of dendric fractals in fracture and electric breakdown. In book: Fractals in physics., 1986, North-Holland, P. 181-184.

304. Tessier Y., Loveioy S., Schertzer D. Universal multi fractals: theory and observations for rain and clouds. J. Appl. Meteorol., 1993, V. 32, P. 223-250.

305. The science of fractal images. Ed by H.O.Peitgen, D.Saupe. 1988, Springer-Verlag, New York, 312 p.

306. Turcotte D.L. Fractals and fragmentation. J. Geophys. Res., 1986, V. 91, P. 1921-1926.

307. Turcotte D.L. A fractal model for crustal deformation. Tectonophysics, 1986, V. 132, P. 261-269.

308. Turcotte D.L. A fractal approach to probabilistic seismic hazard assessment. Tectonophysics. 1989, V. 167, P. 171-177.

309. Turcotte D.L. Fractals, chaos, self-organized criticality and tectonics. Terra Nova, 1992, V. 4, № 1, P. 4-12.

310. Turcotte D.L. Crustal deformation and fractals, a review. In book: Fractals and dynamic systems in geoscience, SpringerVerlag, 1994, P. 7-25.

311. Velde B., Dubois J., Touchard G., Badri A. Fractal analysis of fractures in rocks: the Cantor's dust method. Tectonophysics, 1990, V. 179, P. 345-352.

312. Veneziano D., Moglen G.E., Bras R.L. Multifractal analysis: Pitfalls of standard procedures and alternatives. Phys.Rev.E, 1995, V. 52, P. 1387-1398.

313. Vicsek T., Family F. Dynamic scaling for aggregation of clusters. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, № 19, P. 1669-1672.

314. Vignes-Adler M., Le Page A., Adler P.M. Fractal analysis of fracturing in two Africa regions, from satellite imagery to ground scale. Tectonophysics, 1991, V. 196, P. 69-86.

315. Volant P., Grasso J.-R. The finite extention of fractal geometry and power taw distribution of shallow earthquakes: A geomechanical effect. J.Geophys.Res. B, 1994, V. 99, № 11, № 21, P. 879, P. 889.

316. Voss R.F. Random fractals: characterization and measurement. In book: Scaling phenomena in disordered systems. New York, Plenum Press, 1985, P. 1-11.

317. Walsh J.J., Watterson J. Population of faults and fault displacements and their effects on estimates of fault-related regional extension. J. Struct. Geol., 1992, V. 14, P. 701-712.

318. Walsh J.J., Watterson J. Fractal analysis of fracture patterns using the standard box-counting technique: valid and invalid methodologies. J. Struct. Geol., 1993, V. 15, P. 1509-1512.

319. Wang Z.G., Chen D.L., Jiang X.X., Ai S.H., Shih C.H. Relationship between fractal dimension and fatigue threshold value in dual-phase steels. Scripta Metallurgica, 1988, V. 22, № 6, P. 827-832.

320. Wang Jian, Zhu Xiao-hua, Xu Yong-hui. Fractal analysis applied to faults and earthquakes: a case study of China. Acta seismol. sin. 1998. V.11, №3, P. 349-353.

321. Wang Jeen-Hwa. Multifractal measures of time series of Ms. >= 7 earthquakes in Taiwan. J. Geol. Soc. China. 1996. V. 39, № 1, P. 117-123.

322. Wavelets and applications. Ed. by Y.Meyer. Springer Verlag, 1992, 450 p.

323. Wavelets and statistics. Ed. by P.Bickel and S.Diggle, Springer Verlag, 1995, 414 p.

324. Wavelets in medicine and biology. Ed. by A.AIdroubi and M.Unser, CRC Press, 1996, 616 p.

325. Wiesmann H.J., Pietronero L. Properties of Lapiacian fractals for dielectric breakdown in 2 and 3 dimensions. In book: Fractals in physics, 1986, North-Holland, P. 177-180.

326. Wilson K.G. Problems in physics with many scales of length. Sci. Am., 1979, V. 241, P. 158-162.

327. Wilson K.G The renormafization group and critical phenomena. Rev. Mod. Phys., 1983, V. 55, P. 583.

328. Witten T.A., Cates M.E. Tenuous structures from disorderly growth process. Science, 1986, V. 232, P. 1607-1612.

329. Wolfram S. ed. Theory and applications of cellular automata, World Scientific, Singapore, 1986, 350 p.

330. Wolfram S. Mathematica. A system for doing mathematics by computer. New York, Addison Wiesley Pub. Co, 1991, 250 p.

331. Xie H.P. Fractals in rock mechanics. Geomechanics Research Series. A.A.Balkema Publishers, The Netherlands, 1992, 453 p.

332. Xie H.P., Sanderson J. Fractal kinematics of crack propagation in geomaterials. Engineering Fracture Mechanics, 1995, V. 50, № 4, P. 529-536.

333. Xie H., Wang J.A., Stein E. Direct fractal measurement and multifractal properties of fracture surfaces. Phys.Lett. A, 1998, V. 242, P. 41-50.

334. Xu Yebang, Burton Paul W. Microearthquake swarms: scaling and lacunarity. Geophys. J. Int. 1997. V. 131, № 1, P. F1-F8.

335. Yan H., Li G,, Sander L.M. Fracture growth in 2d elastic networks with Born model. Europhys. Lett., 1989. V. 10, № 1, P. 7-13.

336. Zhao Y. Crack pattern evolution and fractal damage constitutive model for rock. Int. J.Rock.Mech.Min.Sci., 1998, V. 35, № 3, P. 349-366.