Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич

• Дильман, Степан Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич

Введение

1 Универсальные нормировки в законах повторного логарифма

1.1 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Формулировка результатов

1.2 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства

1.3 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов.

2 Некоторые обобщения теоремы Баума-Каца

2.1 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированпых случайных величии. Введение и формулировки результатов.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства

2.4 Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин па случай неполиномиальных весов.

Основные обозначения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин»

Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных ио семейству независимых случайных величин, относятся к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз,

A.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви,

B.Феллер, Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова ([20]), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Лишшка ([16]), Д.Хошневисана ([60]).

Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хинчиным в 1924 году ([59]). Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный на изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца ([31]), выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску, В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду,

В.Филиппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных результатов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикайиена, К.Хсйде, В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовьера, П.Пикко, Л.Чанга, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации.

Обратимся к истории вопроса. В 1913 году, исследуя разложение чисел в промежутке от нуля до единицы в бесконечную двоичную дробь, Хаусдорф доказал, что для любого положительного е > 0 для почти всех чисел из этого промежутка

Sn - п/2 = о(п1/2+Е) при п —» оо, где Sn обозначает сумму первых п знаков после запятой в двоичном разложении числа. Позднее, в 1914 году, эта оценка была улучшена Харди и Литтлвудом, а именно, им удалось доказать, что для почти всех действительных чисел от нуля до единицы

Sn — п/2 = 0((n log п)1/2) при п —» оо (всюду в работе log означает логарифм по основанию е). Затем, в 1922 году, исследуя уже последовательности независимых слагаемых, принимающих каждое из значений — 1 и 1 с вероятностью 1/2, Штейнгауз установил, что lirnsup—; < 1/2 II.н., п—>00 V2n loS п где Sn обозначает сумму первых п случайных величин последовательности, а "п.и." здесь и всюду в дальнейшем означает "почти наверное", то есть с вероятностью единица. После этого А.Я.Хинчин, в 1923 году, впервые получил оценку скорости роста таких частичных сумм, использующую повторный логарифм. А именно, им было установлено, что с вероятностью единица последовательность независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, подчиняется соотношению

5n = 0((n log log п)1/2).

И, наконец, в 1924 году им же был получен следующий закон повторного логарифма.

Теорема 1. ([59]) С вероятностью единица последовательность независимых случайных величин} принимающих значения 1 и —1 с вероятностью 1/2, удовлетворяет соотношению lim sup — ^п — = 1, n-юо у2п log log п где Sn— сумма первых п элементов последовательности.

Результаты, подобные этой теореме, для различных классов случайных последовательностей получили название законов повторного логарифма.

Этот результат Хинчина многократно обобщался, в том числе па случай последовательностей независимых случайных величин с разными законами распределения. В этой связи необходимо отметить работы А.Н.Колмогорова ([62]), Хартмана и Винтпера ([51]), В.А.Егорова ([15]), В.В.Петрова (см. ссылки в [20]).

Остановимся более подробно на работе Хартмана и Винтнера [51]. В частном случае одинаково распределенных слагаемых их результат превращается в следующую теорему, получившую название закона повторного логарифма Хартмаиа-Вннтнера. Здесь и далее полагаем для любого t > 0 :

LLt = log log t, при t > 3 и LLt = 1, при 0 < t < 3.

Теорема 2. (см. напр. [20], стр. 263) Пусть {Хп}пен последовательность независимых одинаково распределенных (далее и.о.р.) случайных величин, удовлетворяющая условиям

EXi = 0 и EXf = l. (1)

Тогда справедливы следующие соотношения: $ lim sup . п — 1 п.н., (2) п->оо V2nLLn liminf—j. n = —1 n.?t., (3) n-^oo y/2nLLn где Sn = X\ + . + Xn.

Эта теорема допускает следующее важное обращение, полученное Штрассеном в 1966 году.

Теорема 3. ([75]) Пусть {Хп}пек ~ последовательность н.о.р. случайных величии, для которой справедливы соотношения (2) и (3). Тогда у Х\ существует конечный второй момент и имеют место равенства (1).

Позднее были найдены другие доказательства этой теоремы ([44], [52], [72]) и, кроме того, А.И.Мартикайпен ([19]) усилил этот результат, установив, что при условии выполнения только одного (любого) из условий (2) и (3) математическое ожидание этих случайных величин по - прежнему обязано быть равным нулю, а дисперсия - единице.

В 1977 году А.В.Булинский ([4]) предложил описывать флуктуации частичных сумм случайных величин с помощью некоторых функций, отличных от корня из удвоенного повторного логарифма. Им были рассмотрены последовательности случайных величин, для которых справедлив критерий Колмогорова - Петровского - Эрдёша - Феллера, о верхних и нижних функциях (см., напр., [43], [57]), и для этого класса последовательностей было установлено, что неотрицательная монотонно стремящихся к бесконечности функция (р удовлетворяет условию lim sup —. ^п-- = 1 п.и. п-00 \/DSrMDSn) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение liminf-^L = l. (4) у/Шл

Тем самым, для этого класса послсдовтельностей было получено обобщение закона повторного логарифма. Заметим также, что класс случайных последовательностей, удовлетворяющих условиям критерия Колмогорова - Петровского - Эрдеша - Феллера включает в себя некоторые ис все) последовательности и.о.р. случайных величин. В то же время этот критерий не предполагает одинаковой распределенности слагаемых.

Необходимо также отметить, что закон повторного логарифма был распространен с последовательностей независимых случайных величии на мультиплексированные семейства. В этой связи отметим монографию [GO], в которой приведены соответствующие результаты и подробно изложена история вопроса.

Среди предельных теорем для случайных процессов центральное место также занимает закон повторного логарифма (функциональный), установленный Штрассеном 19G4 году в работе [76]. В ней Штрассеп для с?-мерного винеровского процесса Wd(t), t > 0 (см., напр., [3], стр. 50) рассмотрел последовательность случайных процессов г €[0,1], пе N (5) и показал, что с вероятностью единица семейство его траекторий образует предкомпакт в (С[0, l])rf (см., напр., [1], гл. 2). Множество предельных точек последовательностей функций из этого предкомпакта также было полностью описано и получило название "шар Штрассе-на". В той же работе был установлен функциональный закон повторного логарифма для последовательности случайных ломанных в С[0,1], построенных по частичным суммам Si = Х\+. ,+Xi (So = 0) последовательности н.о.р. случайных величин Случайные ломаные hn(t), t G [0,1], п G N строились следующим образом: п{ ) ~ ^ылГп ' (6) где {ж} и [х\ обозначают дробную и целую части соответственно для любого действительного числа х. Переход от винеровского процесса к случайным ломаным был выполнен с использованием сильного принципа инвариантности, установленного в той же работе. Позднее появились другие доказательства функционального закона повторного логарифма для случайных ломаных, а также аналогичные теоремы для зависимых случайных величин (см., напр., [30], [34], [36], [63], [67], [68] и [74]).

Позднее, А.В.Булинский ([5] и [6]) получил обобщения законов повторного логарифма Штрассена для винеровского процесса и случайных ломаных. Опишем эти результаты.

Рассмотрим класс С всех неубывающих функций /, определенных на (0, +оо) и удовлетворяющих условиям f(t) > 0 (t > 0) и f(t) у +оо при t +оо. Для любой функции / G г > 0 и с > 1 положим причем если /(/, г, с) = оо для любого конечного г, будем считать, что R(f) = +оо. Необходимо отметить, что в действительности величина R(f) не зависит от с, которое использовалось в (7).

Пусть Со [0,1] - пространство всех функций x(t) из С[0,1] таких, что х(0) = 0. Для 0 < г < +оо обозначим Кг множество таких абсолютно непрерывных функций у(£) = {yi(t),., yd{t)) из (Со[0, l])d, что

Положим также Kq = {0}, а К^ = (Со[0, l])f/.

А.В.Булинский установил, что если в определениях gn(t) в (5) и hn(t) в (6) заменить корень из удвоенного повторного логарифма па любую функцию / из С, то множество предельных точек получившихся последовательностей случайных функций с вероятностью единица совпадет с Kr(j)

Рассмотрим, теперь, еще один способ описать поведение флуктуаций нормированных сумм независимых случайных величин. Усиленный закон больших чисел Колмогорова (см., напр., [28], стр 544) гласит, что любая последовательность н.о.р. случайных величин {Хп}п6н, удовлеи

R2(f) = inf{r > 0 : /(/, г, с) < оо}

8) творяющая условию E|Xi| < оо, подчиняется соотношению

Sn ~

--> 0 п.н. п при п —» со. Здесь, как обычно, Sn = X1 + . + Хп. Можно описывать отклонение нормированных сумм от среднего значения с помощью поведения вероятностей

Sn ~ E'S'n £ ] , £ > О П при п —> оо. В этой связи напомним понятие сходимости вполне, введенное Хсу и Роббиисом ([55]) в 1947 году.

Говорят, что последовательность случайных величин {V^}neN сходится внолие к случайной величине Y, если для любого £ > 0 выполнено соотношение

00

Р(|Уп-У|>£)<00. п= 1

В той же самой работе было установлено, что для последовательности {Хп}пек н.о.р. случайных величин, таких, что ЕХ± < оо имеет место сходимость вполне последовательности

I Sn EiS'-n

I n к нулю. Затем Эрдёш, в работе [41], получил обратную теорему, которая гласит, что для последовательности интегрируемых н.о.р. случайных величин сходимость вполне последовательности Sn — Еб'д

I п J пеN к нулю влечет существование конечного второго момента у этих случайных величин. Таким образом при помощи понятия "сходимость вполне" была получена оценка скорости сходимости в закон больших чисел.

Для произвольной числовой последовательности {ап}пе^, имеющей конечный предел а, можно описывать скорость сходимости ап к пределу, подбирая подходящие функции / : N —> IR+, для которых выполняется условие X^i f(n)\an — а\ < 00• Очень часто в роли f(n) выступает пг, для какого-либо действительного г. Теорема Хсу и Роб-бинса обобщалась в этом направлении многими авторами. Достаточно упомянуть работы [11], [21], [22], [23], [29], [37], [38], [58], [64], [71]. Здесь же приведем результат Баума и Каца, полученный ими в статье [31].

Теорема 4. ([31]) Пусть дана последовательность {Хп}пе^ и.о.р. случайных величии и Sn = Х\ + . + Хп. Пусть также заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1/а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

El^i!9 < оо и, дополнительно, ЕХ\ = 0 в случае если q > 1, (9) nqa~2P{\Sn\ > sna) < оо для любого £ > О, (10) п> 1

У^n9a"2P(max \Sk\> £па) < оо для любого £ > 0, (11) «>1 к~п

В случае когда q > 1/а, эти условия также эквивалентны следующему: kqa~2p (SUP > £) < оо d/u любого £>0. (12) k> 1 ^к п'1 '

Теорема Баума - Каца была распространена и на случай мульти-ннднксировапиых семейств случайных величин ([39], [46], [47], [48], [70]). Чтобы привести результаты необходимые нам в дальнейшем, введем следующие обозначения.

Для любых векторов х = (х\,., rrj) и у = (i/i,., г/Д принадлежащих множеству M.d, d > 1, (в частности для m, n G будем писать х > у (х > у), когда х\ > у{ (х{ > yi) для каждого г. Также будем обозначать ху = {xiyi,.,xdyd), х/у = (xi/yu Xd/Vd), когда у{ ф 0 при всех г, ху = (х\1,., xydd) для х и у таких, что xf имеет смысл при всех г, х) = х\. x<i для х G

Сумму векторов н умножение вектора на скаляр, как обычно, определим покомпонентно. Кроме того, для каждого действительного с обозначим с = (с,.,с) и положим log+£ = max(log:r,0) для х > 0. Эти обозначения мы будем использовать па протяжении всей работы. В 1978 году Гут доказал следующую теорему.

Теорема 5. ([46]) Пусть {ATnjneN''- н.о.р. случайные величины и Sn = X]k<n^k* Пусть такэюе заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1 /а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

E|Xi|(/(log+ \Xi\y1"1 <оо и, дополнительно, ЕХ\ — 0 при q> 1, (13)

J2 (n)'ya2P(|5n| > £(п)а) < 00 для любого £ > О, (14) п)г/я2Р (max |5k| > £(п)й j < оо для любого £ > 0, (15) ne№* \ -п /

В случае когда q > 1/а, эти условия такэюе эквивалентны следующему:

V kqa~2p I sup -гт^ > А < оо для любого £ > 0. (16)

В 1996 году Денг распространил этот результат на более общий случай нормирующих множителей.

Теорема 6. ([39]) Пусть наборы чисел {tii}f=i и таковы, что

1/2 < а{ < 1 и q{ > 1/а,-, i = l,.,d. (17)

Пололсим q — max qi иг = G N, 1 < г < d : qi = q}. (18)

1 <i<d

Тогда условия

E|Xi|9(log+ |Xi|)r1 < оо, E*i = 0 (19) и

Y, "Г1"2 • • • пГ'"2р(тах N > en?1. г#) < оо, Ve > 0. (20) neNd k<n эквивалентны.

Взглянем еще раз на соотношение (10), описывающее скорость сходимости нормированных сумм случайных величин к пулю. Легко видеть, что сумма этого ряда стремится к бесконечности, когда е убывает к пулю. Представляется интересной задачей найти асимптотику по е с которой происходит это возрастание. Частично ответ на этот вопрос дается в статьях [35] и [49]. Для наборов и.о.р. случайных величин с законом распределения, принадлежащим области притяжения некоторого устойчивого закона распределения, необходимо отмстить результаты полученные в [24] и [25].

Аналогичный вопрос можно ставить и в случае мультиипдекстрован-ных слагаемых. Для суммы ряда в формуле (14) асимптотика возрастания но е установлена в работе [50]. А именно, доказано, что в случае q> 2 qg-l

Et=m

I <=> I ne№ да/2

21) d — l)\(qa — l)(a — l/2)d1'

Одна из теорем диссертации обобщает этот результат. А именно, получена асимптотика возрастания по £ суммы ряда пГ~2. • n'r-2P(\Sn\ > en? . n?) < 00. (22) nSNd

Как уже было отмечено, скорость сходимости нормированных сумм случайных величии к их математическому ожиданию может быть описана и в терминах пеполиномиальиых весовых коэффициентов. Для случая "умеренно возрастающих" коэффициентов аналог теоремы Баума-Каца о скорости сходимости был приведен Пио в работе [69].

Необходимо отметить, что многие из перечисленных результатов о сходимости вполне получили свое развитие в работах, посвященных предельным теоремам для случайных величин со значениями в произвольных банаховых пространствах. Следует упомянуть работы [29], [42], [56].

В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величии. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Спатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.

Новые эффекты возникают при изучешш сумм мультииидексирован-ных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.

В основе диссертации лежат работы автора [10], [12], [13], [14], [33] и [40]. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на XIV-й Европейской конференции молодых вероятностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и па С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 79 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич, 2006 год

1. Биллннгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука 1977.

2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.гНаука. Физматлит 1997.

3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.-.Физматлит 2003.

4. Булинский А.В. Замечание о нормировке в законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1977, том 22, №2, стр. 407-409.

5. Булинский А.В. О функциональном законе повторного логарифма. // ДАН СССР, 1978, том 235, №5, стр. 1025-1027.

6. Булинский А.В. Новый вариант функционального закона повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №3, стр. 502-511.

7. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Наилучшая скорость сходимости в законе Штрассена для случайных ломаных. // Вестник Моск. ун-та. сер.1, математика, механика. 1995, №5, стр. 37-42.

8. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Скорость сходимости в функциональном законе повторного логарифма при нестандартных нормирующих множителях. // Успехи матем. наук. 1995, том 50, №5, стр. 83-102.

9. Булинский А.В., Лифншц М.А. Rates of clustering in Strassen's law for random polygons. // Записки семинаров ПОМИ. 1996, том 228, стр. 57-66.

10. Булинский А.В., Дильман С.В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма. // Успехи матем. наук. 2002, том 57, №2, стр. 193-194.

11. Гафуров М.У., Ротарь В.И. О выходе случайного блуждания за криволинейную границу. // Теория вероятн. и ее примен. 1983, том 28, №1, стр. 169-175.

12. Дильман С.В. Обращение обобщенной теоремы Хартмана-Виитнера. // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, математика, механика.2003, №6, стр. 56-58.

13. Дильман С.В. Уточнение закона повторного логарифма для геометрически взвешенных рядов. // Тезисы XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва,2004, стр. 26.

14. Дильман С.В. Асимптотика в формуле Баума-Каца для случайных полей. // Математические заметки 2006, том 72, №5, стр. 674680.

15. В.А.Егоров. О законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1969, том 14, №4, стр. 722-729.

16. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины М.:Наука, 1965.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фу-екционального анализа. М.:Наука 1976.

18. Ламперти Дж. Вероятность. М.:Наука 1973.

19. Мартикайнен А.И. Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №2, стр. 364-366.

20. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.:Наука 1987.

21. Розовский JI.B. Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел. // Математические заметки 1983, том 34, №6, стр. 883-895.

22. Розовский JI.B. Некоторые оценки для вероятностей одногсторон-них больших уклонений. // Теория вероятн. и ее примен. 1984, №4, стр. 800-804.

23. Розовский JI.B. Нормальная аппроксимация при вычислении скорости сходимости в слабом законе больших чисел. // Математические заметки 1986, том 40, №2, стр. 252-268.

24. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона. // Теория вероятн. и ее примен. 2003, том 48, №3, стр. 585-595.

25. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона II. // Теория вероятн. и ее примен. 2004, том 49, ДМ.

26. Хохлов Ю.С. Закон повторного логарифма для случайных векторов с оперативно устойчивым предельным законом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. вычислит, мат. и кибернетика, 1995, №3, стр. 62-68.

27. Ширяев А.Н. Вероятность 1. М.гМЦНМО 2004.

28. Ширяев А.Н. Вероятность 2. М.:МЦНМО 2004.

29. Adler A., Volodin A. On compltet convergence of the sum of a random number of stable type p random elements. // Internat. J. Math, к Math. Sci. 1995, vol. 18, №1, pp. 33-36.

30. Basu K. A note on Strassen's version of the law of the iterated logarithm. // Proc. Amer. Math. Soc. 1973, vol. 41, №2, pp. 596-601.

31. Baum L.E., Katz M. Convergence rate in the law of large numbers. // Trans. Amer. Math. Soc. 1965, vol. 120, pp. 108-123.

32. Bovier A., Picco P. A law of the iterated logarithm for geometric series. // Ann. Probab. 1993, vol. 21, №1, pp. 168-184.

33. Bulinski A.V., Dilman S.V. Some generalizations of the Hartmann-Wintner theorem. Abstracts of the International Gnedenko 90-th Anniversary Conference, Kiev, 2002, p. 11.

34. Berkes I. The functional law of the iterated logarithm for dependent random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1973, vol. 26, №3, pp. 245-258.

35. Chen R. A remark on the tail probability of a distribution. //J. Multivariate Anal. 1978, vol. 8, pp. 328-333.

36. Chover J. On Strassen's version of the loglog law. // Z. Wahrsch. verv. Geb. 1967, vol. 8, №1, pp. 83-90.

37. Chow Y.S. Delayed sums and Borel sumrnability of independent, identically distributed random variables. // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 1973, vol. 1, pp. 207-220.

38. Chow Y.S., Lai T.L. Some one-sided theorems on the tail distribution of sample sums with application to the last time and largest excess of boundary crossing. // Trans. Amer. Math. Soc. 1975, vol. 208, pp. 51-72.

39. Deng D. Complete convergence and convergence rates in Marcinkiewicz law of large numbers for random variables indexed by Ъ%. // Math. Appl. 1996, vol. 9, M, pp. 441-448.

40. Dilman S.V. The asymptotics in the Baum-Katz formula for multidimensionally indexed random variables. // Abstracts of 14-th European Young Statisticians Meeting, Budapest, 2005, p. 11.

41. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins. // Ann. Math. Statist. 1949, vol. 20, pp. 286-291.

42. Feller W. The general form of the so-called law of the iterated logarithm. // Trans. Amer. Math. Soc. 1943, vol. 54, №3, pp. 373402.

43. Feller W. An extension of the law of the iterated logarithm to variables without variance. // J. Math. Mech. 1968, vol. 18, №4, pp. 343-355.

44. Feller W. One sided analogue of Karamata's regular variation. // Enseignement Math. 1969, vol. 15, pp. 107-121.

45. Gut A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1978, vol. 6, №3, pp. 469-482.

46. Gut A. Convergence rates for probabilities of moderate deviations for sums of random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1980, vol. 8, №2, pp. 289-313.

47. Gut A. Strong laws for independent identically distributed random variables indexed by a sector. // Ann. Probab. 1983, vol. 11, №3, pp. 569-577.

48. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers. // J. Math. Anal. Appl. 2000, vol. 248, pp. 233-246.

49. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables. // Journal of Multivariate Analysis 2003, vol. 86, pp. 398-422.

50. Hartmann P., Wintner A. On the law of the iterated algorithm. // Amer. J. Math. 1941, vol. 63, pp. 169-176.

51. Heyde C.C. On the converse to the iterated logarithm law. //J. Appl. Probab. 1968, vol. 5, №1, pp. 210-215.

52. Heyde C.C. Some properties of metrics in a study on convergence to normality. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1969, vol. 11, pp. 181-192.

53. Hoffrnann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables. // Studia Math. 1974, vol.52, pp. 159-186.

54. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of the large numbers. // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1947, vol. 33, pp. 25-31.

55. Jain N.C. Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1975, vol. 33, pp. 155-166.

56. Jain N.C., Jogdeo K., Stout W.F. Upper and lower functions for martingales and mixing processes. // Ann. Probab. 1975, vol. 3, №1, pp. 119-145.

57. Katz M. The probability in the tail of a distribution. // Ann. Math. Statist. 1963, vol. 34, pp. 312-318.

58. Khinchine A. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. // Fund. Math. 1924, vol. 6, pp. 9-12.

59. Khoshnevisan D. Multiparameter processes. An introduction to Random Fields. Springer, 2002.

60. Klesov О., Rosalsky A. A nonclassical law of the iterated logarithm for i.i.d. square integrable random variables. // Stochastic Anal. Appl. 2001, vol. 19, M, pp. 627-641.

61. Kolmogoroff A. Ueber das Gesetz des iterierten Logarithmus. // Math. Ann. 1929, vol. 101, pp. 126-135.

62. Lai T.L. Reproducing kernel Hilbert spaces and the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1974, vol. 29, №1, pp. 7-19.

63. Lai T.L. Limit theorems for delayed sums. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 432-440.

64. Lanzinger H. A Baum-Katz theorm for random variables under exponential moment conditions. // Statist. Probab. Lett. 1998, vol. 39, pp. 89-95.

65. Lanzinger H., Stadtmuller U. Refined Baum-Katz laws for weighted sums of i.i.d. random variables. // Statistics and Probability Letters 2004, vol. 69, pp. 357-368.

66. Oodiara H., Yoshihara K. The law of the iterated logarithm for stationary processes satisfying mixing conditions. // Kodai Math. Sernin. Rep. 1971, vol. 23, №3, pp. 335-342.

67. Oodiara H. On Strassen's version of the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1972, vol. 21, №4, pp. 289-299.

68. Piau D. Maximal generalization of Baum-Katz theorm and optimality sequential tests. // Prepublication du Laboratiore de Probability Statistique et Combinatoire, 2000, Universite Claude Bernard, Lyon 1. (http://arxiv.org/abs/math/0510043)

69. Smythe R. Sums of independent random variables on partially ordered sets. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 906-917.

70. Spitzer F.L. A combinatorial lemma and its application to probability-theory. // Trans. Amer. Math. Soc. 1956, vol. 82, pp. 323-339.

71. Steiger W.L., Zaremba S.K. The converse of the Hartmann Wintner theorem. // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1972, vol. 22, №1, pp. 193-194.

72. Stoica G. Functional local law of the iterated logarithm for geometrically weighted series. // Statistics and Probability Letters. 2003, vol. 62, №2, pp. 71-77.

73. Strassen V. Almost sure behaviour of sums of independent random variables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1965, vol. 2, №3, pp. 315-343.

74. Strassen V. A converse to the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1966, vol. 4, AM, pp. 265-268.

75. Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1964, vol. 3, №3, pp. 211-226.

76. Strassen V. Almost sure behavior of sums of independent random vriables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1967, vol. 2, pp. 315-343.

77. Wichura M.J. Some Strassen-type laws of the iterated logarithm for multiparameter stochastic processes with independent increments. // Ann. Probab. 1973, vol. 1, pp. 272-296.

78. Zhang L.-X. Strong approximation theorems for geometrically weighted random series and their applications. // Ann. Probab. 1997, vol. 25, №4, pp. 1621-1635.