Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич
- Специальность ВАК РФ01.01.05
- Количество страниц 88
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич
Введение
1 Универсальные нормировки в законах повторного логарифма
1.1 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Формулировка результатов
1.2 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства
1.3 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов.
2 Некоторые обобщения теоремы Баума-Каца
2.1 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированпых случайных величии. Введение и формулировки результатов.
2.2 Вспомогательные утверждения.
2.3 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства
2.4 Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин па случай неполиномиальных весов.
Основные обозначения
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.05 шифр ВАК
Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серий2001 год, кандидат физико-математических наук Микушева, Анна Евгеньевна
Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессов2004 год, доктор физико-математических наук Фролов, Андрей Николаевич
Неравенства и предельные теоремы для последовательностей слабо зависимых случайных величин1984 год, кандидат физико-математических наук Утев, Сергей Александрович
Свойства самонормированных сумм случайных величин2014 год, кандидат наук Жданов, Игорь Игоревич
Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами2013 год, кандидат физико-математических наук Наумов, Алексей Александрович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин»
Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных ио семейству независимых случайных величин, относятся к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз,
A.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви,
B.Феллер, Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова ([20]), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Лишшка ([16]), Д.Хошневисана ([60]).
Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хинчиным в 1924 году ([59]). Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный на изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца ([31]), выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску, В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду,
В.Филиппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных результатов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикайиена, К.Хсйде, В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовьера, П.Пикко, Л.Чанга, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации.
Обратимся к истории вопроса. В 1913 году, исследуя разложение чисел в промежутке от нуля до единицы в бесконечную двоичную дробь, Хаусдорф доказал, что для любого положительного е > 0 для почти всех чисел из этого промежутка
Sn - п/2 = о(п1/2+Е) при п —» оо, где Sn обозначает сумму первых п знаков после запятой в двоичном разложении числа. Позднее, в 1914 году, эта оценка была улучшена Харди и Литтлвудом, а именно, им удалось доказать, что для почти всех действительных чисел от нуля до единицы
Sn — п/2 = 0((n log п)1/2) при п —» оо (всюду в работе log означает логарифм по основанию е). Затем, в 1922 году, исследуя уже последовательности независимых слагаемых, принимающих каждое из значений — 1 и 1 с вероятностью 1/2, Штейнгауз установил, что lirnsup—; < 1/2 II.н., п—>00 V2n loS п где Sn обозначает сумму первых п случайных величин последовательности, а "п.и." здесь и всюду в дальнейшем означает "почти наверное", то есть с вероятностью единица. После этого А.Я.Хинчин, в 1923 году, впервые получил оценку скорости роста таких частичных сумм, использующую повторный логарифм. А именно, им было установлено, что с вероятностью единица последовательность независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, подчиняется соотношению
5n = 0((n log log п)1/2).
И, наконец, в 1924 году им же был получен следующий закон повторного логарифма.
Теорема 1. ([59]) С вероятностью единица последовательность независимых случайных величин} принимающих значения 1 и —1 с вероятностью 1/2, удовлетворяет соотношению lim sup — ^п — = 1, n-юо у2п log log п где Sn— сумма первых п элементов последовательности.
Результаты, подобные этой теореме, для различных классов случайных последовательностей получили название законов повторного логарифма.
Этот результат Хинчина многократно обобщался, в том числе па случай последовательностей независимых случайных величин с разными законами распределения. В этой связи необходимо отметить работы А.Н.Колмогорова ([62]), Хартмана и Винтпера ([51]), В.А.Егорова ([15]), В.В.Петрова (см. ссылки в [20]).
Остановимся более подробно на работе Хартмана и Винтнера [51]. В частном случае одинаково распределенных слагаемых их результат превращается в следующую теорему, получившую название закона повторного логарифма Хартмаиа-Вннтнера. Здесь и далее полагаем для любого t > 0 :
LLt = log log t, при t > 3 и LLt = 1, при 0 < t < 3.
Теорема 2. (см. напр. [20], стр. 263) Пусть {Хп}пен последовательность независимых одинаково распределенных (далее и.о.р.) случайных величин, удовлетворяющая условиям
EXi = 0 и EXf = l. (1)
Тогда справедливы следующие соотношения: $ lim sup . п — 1 п.н., (2) п->оо V2nLLn liminf—j. n = —1 n.?t., (3) n-^oo y/2nLLn где Sn = X\ + . + Xn.
Эта теорема допускает следующее важное обращение, полученное Штрассеном в 1966 году.
Теорема 3. ([75]) Пусть {Хп}пек ~ последовательность н.о.р. случайных величии, для которой справедливы соотношения (2) и (3). Тогда у Х\ существует конечный второй момент и имеют место равенства (1).
Позднее были найдены другие доказательства этой теоремы ([44], [52], [72]) и, кроме того, А.И.Мартикайпен ([19]) усилил этот результат, установив, что при условии выполнения только одного (любого) из условий (2) и (3) математическое ожидание этих случайных величин по - прежнему обязано быть равным нулю, а дисперсия - единице.
В 1977 году А.В.Булинский ([4]) предложил описывать флуктуации частичных сумм случайных величин с помощью некоторых функций, отличных от корня из удвоенного повторного логарифма. Им были рассмотрены последовательности случайных величин, для которых справедлив критерий Колмогорова - Петровского - Эрдёша - Феллера, о верхних и нижних функциях (см., напр., [43], [57]), и для этого класса последовательностей было установлено, что неотрицательная монотонно стремящихся к бесконечности функция (р удовлетворяет условию lim sup —. ^п-- = 1 п.и. п-00 \/DSrMDSn) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение liminf-^L = l. (4) у/Шл
Тем самым, для этого класса послсдовтельностей было получено обобщение закона повторного логарифма. Заметим также, что класс случайных последовательностей, удовлетворяющих условиям критерия Колмогорова - Петровского - Эрдеша - Феллера включает в себя некоторые ис все) последовательности и.о.р. случайных величин. В то же время этот критерий не предполагает одинаковой распределенности слагаемых.
Необходимо также отметить, что закон повторного логарифма был распространен с последовательностей независимых случайных величии на мультиплексированные семейства. В этой связи отметим монографию [GO], в которой приведены соответствующие результаты и подробно изложена история вопроса.
Среди предельных теорем для случайных процессов центральное место также занимает закон повторного логарифма (функциональный), установленный Штрассеном 19G4 году в работе [76]. В ней Штрассеп для с?-мерного винеровского процесса Wd(t), t > 0 (см., напр., [3], стр. 50) рассмотрел последовательность случайных процессов г €[0,1], пе N (5) и показал, что с вероятностью единица семейство его траекторий образует предкомпакт в (С[0, l])rf (см., напр., [1], гл. 2). Множество предельных точек последовательностей функций из этого предкомпакта также было полностью описано и получило название "шар Штрассе-на". В той же работе был установлен функциональный закон повторного логарифма для последовательности случайных ломанных в С[0,1], построенных по частичным суммам Si = Х\+. ,+Xi (So = 0) последовательности н.о.р. случайных величин Случайные ломаные hn(t), t G [0,1], п G N строились следующим образом: п{ ) ~ ^ылГп ' (6) где {ж} и [х\ обозначают дробную и целую части соответственно для любого действительного числа х. Переход от винеровского процесса к случайным ломаным был выполнен с использованием сильного принципа инвариантности, установленного в той же работе. Позднее появились другие доказательства функционального закона повторного логарифма для случайных ломаных, а также аналогичные теоремы для зависимых случайных величин (см., напр., [30], [34], [36], [63], [67], [68] и [74]).
Позднее, А.В.Булинский ([5] и [6]) получил обобщения законов повторного логарифма Штрассена для винеровского процесса и случайных ломаных. Опишем эти результаты.
Рассмотрим класс С всех неубывающих функций /, определенных на (0, +оо) и удовлетворяющих условиям f(t) > 0 (t > 0) и f(t) у +оо при t +оо. Для любой функции / G г > 0 и с > 1 положим причем если /(/, г, с) = оо для любого конечного г, будем считать, что R(f) = +оо. Необходимо отметить, что в действительности величина R(f) не зависит от с, которое использовалось в (7).
Пусть Со [0,1] - пространство всех функций x(t) из С[0,1] таких, что х(0) = 0. Для 0 < г < +оо обозначим Кг множество таких абсолютно непрерывных функций у(£) = {yi(t),., yd{t)) из (Со[0, l])d, что
Положим также Kq = {0}, а К^ = (Со[0, l])f/.
А.В.Булинский установил, что если в определениях gn(t) в (5) и hn(t) в (6) заменить корень из удвоенного повторного логарифма па любую функцию / из С, то множество предельных точек получившихся последовательностей случайных функций с вероятностью единица совпадет с Kr(j)
Рассмотрим, теперь, еще один способ описать поведение флуктуаций нормированных сумм независимых случайных величин. Усиленный закон больших чисел Колмогорова (см., напр., [28], стр 544) гласит, что любая последовательность н.о.р. случайных величин {Хп}п6н, удовлеи
R2(f) = inf{r > 0 : /(/, г, с) < оо}
8) творяющая условию E|Xi| < оо, подчиняется соотношению
Sn ~
--> 0 п.н. п при п —» со. Здесь, как обычно, Sn = X1 + . + Хп. Можно описывать отклонение нормированных сумм от среднего значения с помощью поведения вероятностей
Sn ~ E'S'n £ ] , £ > О П при п —> оо. В этой связи напомним понятие сходимости вполне, введенное Хсу и Роббиисом ([55]) в 1947 году.
Говорят, что последовательность случайных величин {V^}neN сходится внолие к случайной величине Y, если для любого £ > 0 выполнено соотношение
00
Р(|Уп-У|>£)<00. п= 1
В той же самой работе было установлено, что для последовательности {Хп}пек н.о.р. случайных величин, таких, что ЕХ± < оо имеет место сходимость вполне последовательности
I Sn EiS'-n
I n к нулю. Затем Эрдёш, в работе [41], получил обратную теорему, которая гласит, что для последовательности интегрируемых н.о.р. случайных величин сходимость вполне последовательности Sn — Еб'д
I п J пеN к нулю влечет существование конечного второго момента у этих случайных величин. Таким образом при помощи понятия "сходимость вполне" была получена оценка скорости сходимости в закон больших чисел.
Для произвольной числовой последовательности {ап}пе^, имеющей конечный предел а, можно описывать скорость сходимости ап к пределу, подбирая подходящие функции / : N —> IR+, для которых выполняется условие X^i f(n)\an — а\ < 00• Очень часто в роли f(n) выступает пг, для какого-либо действительного г. Теорема Хсу и Роб-бинса обобщалась в этом направлении многими авторами. Достаточно упомянуть работы [11], [21], [22], [23], [29], [37], [38], [58], [64], [71]. Здесь же приведем результат Баума и Каца, полученный ими в статье [31].
Теорема 4. ([31]) Пусть дана последовательность {Хп}пе^ и.о.р. случайных величии и Sn = Х\ + . + Хп. Пусть также заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1/а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:
El^i!9 < оо и, дополнительно, ЕХ\ = 0 в случае если q > 1, (9) nqa~2P{\Sn\ > sna) < оо для любого £ > О, (10) п> 1
У^n9a"2P(max \Sk\> £па) < оо для любого £ > 0, (11) «>1 к~п
В случае когда q > 1/а, эти условия также эквивалентны следующему: kqa~2p (SUP > £) < оо d/u любого £>0. (12) k> 1 ^к п'1 '
Теорема Баума - Каца была распространена и на случай мульти-ннднксировапиых семейств случайных величин ([39], [46], [47], [48], [70]). Чтобы привести результаты необходимые нам в дальнейшем, введем следующие обозначения.
Для любых векторов х = (х\,., rrj) и у = (i/i,., г/Д принадлежащих множеству M.d, d > 1, (в частности для m, n G будем писать х > у (х > у), когда х\ > у{ (х{ > yi) для каждого г. Также будем обозначать ху = {xiyi,.,xdyd), х/у = (xi/yu Xd/Vd), когда у{ ф 0 при всех г, ху = (х\1,., xydd) для х и у таких, что xf имеет смысл при всех г, х) = х\. x<i для х G
Сумму векторов н умножение вектора на скаляр, как обычно, определим покомпонентно. Кроме того, для каждого действительного с обозначим с = (с,.,с) и положим log+£ = max(log:r,0) для х > 0. Эти обозначения мы будем использовать па протяжении всей работы. В 1978 году Гут доказал следующую теорему.
Теорема 5. ([46]) Пусть {ATnjneN''- н.о.р. случайные величины и Sn = X]k<n^k* Пусть такэюе заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1 /а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:
E|Xi|(/(log+ \Xi\y1"1 <оо и, дополнительно, ЕХ\ — 0 при q> 1, (13)
J2 (n)'ya2P(|5n| > £(п)а) < 00 для любого £ > О, (14) п)г/я2Р (max |5k| > £(п)й j < оо для любого £ > 0, (15) ne№* \ -п /
В случае когда q > 1/а, эти условия такэюе эквивалентны следующему:
V kqa~2p I sup -гт^ > А < оо для любого £ > 0. (16)
В 1996 году Денг распространил этот результат на более общий случай нормирующих множителей.
Теорема 6. ([39]) Пусть наборы чисел {tii}f=i и таковы, что
1/2 < а{ < 1 и q{ > 1/а,-, i = l,.,d. (17)
Пололсим q — max qi иг = G N, 1 < г < d : qi = q}. (18)
1 <i<d
Тогда условия
E|Xi|9(log+ |Xi|)r1 < оо, E*i = 0 (19) и
Y, "Г1"2 • • • пГ'"2р(тах N > en?1. г#) < оо, Ve > 0. (20) neNd k<n эквивалентны.
Взглянем еще раз на соотношение (10), описывающее скорость сходимости нормированных сумм случайных величин к пулю. Легко видеть, что сумма этого ряда стремится к бесконечности, когда е убывает к пулю. Представляется интересной задачей найти асимптотику по е с которой происходит это возрастание. Частично ответ на этот вопрос дается в статьях [35] и [49]. Для наборов и.о.р. случайных величин с законом распределения, принадлежащим области притяжения некоторого устойчивого закона распределения, необходимо отмстить результаты полученные в [24] и [25].
Аналогичный вопрос можно ставить и в случае мультиипдекстрован-ных слагаемых. Для суммы ряда в формуле (14) асимптотика возрастания но е установлена в работе [50]. А именно, доказано, что в случае q> 2 qg-l
Et=m
I <=> I ne№ да/2
21) d — l)\(qa — l)(a — l/2)d1'
Одна из теорем диссертации обобщает этот результат. А именно, получена асимптотика возрастания по £ суммы ряда пГ~2. • n'r-2P(\Sn\ > en? . n?) < 00. (22) nSNd
Как уже было отмечено, скорость сходимости нормированных сумм случайных величии к их математическому ожиданию может быть описана и в терминах пеполиномиальиых весовых коэффициентов. Для случая "умеренно возрастающих" коэффициентов аналог теоремы Баума-Каца о скорости сходимости был приведен Пио в работе [69].
Необходимо отметить, что многие из перечисленных результатов о сходимости вполне получили свое развитие в работах, посвященных предельным теоремам для случайных величин со значениями в произвольных банаховых пространствах. Следует упомянуть работы [29], [42], [56].
В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величии. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Спатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.
Новые эффекты возникают при изучешш сумм мультииидексирован-ных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.
В основе диссертации лежат работы автора [10], [12], [13], [14], [33] и [40]. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на XIV-й Европейской конференции молодых вероятностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и па С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 79 наименований.
Похожие диссертационные работы по специальности «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.05 шифр ВАК
Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений2015 год, кандидат наук Логачёв, Артём Васильевич
Усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма для последовательностей независимых случайных величин1984 год, кандидат физико-математических наук Микош, Томас
Асимптотические свойства случайных графов2018 год, кандидат наук Малышкин Юрий Андреевич
Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий2004 год, кандидат физико-математических наук Козлов, Андрей Михайлович
Эффективная аппроксимация нормированных сумм случайных слагаемых2012 год, кандидат физико-математических наук Тюрин, Илья Сергеевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дильман, Степан Валерьевич, 2006 год
1. Биллннгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука 1977.
2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.гНаука. Физматлит 1997.
3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.-.Физматлит 2003.
4. Булинский А.В. Замечание о нормировке в законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1977, том 22, №2, стр. 407-409.
5. Булинский А.В. О функциональном законе повторного логарифма. // ДАН СССР, 1978, том 235, №5, стр. 1025-1027.
6. Булинский А.В. Новый вариант функционального закона повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №3, стр. 502-511.
7. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Наилучшая скорость сходимости в законе Штрассена для случайных ломаных. // Вестник Моск. ун-та. сер.1, математика, механика. 1995, №5, стр. 37-42.
8. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Скорость сходимости в функциональном законе повторного логарифма при нестандартных нормирующих множителях. // Успехи матем. наук. 1995, том 50, №5, стр. 83-102.
9. Булинский А.В., Лифншц М.А. Rates of clustering in Strassen's law for random polygons. // Записки семинаров ПОМИ. 1996, том 228, стр. 57-66.
10. Булинский А.В., Дильман С.В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма. // Успехи матем. наук. 2002, том 57, №2, стр. 193-194.
11. Гафуров М.У., Ротарь В.И. О выходе случайного блуждания за криволинейную границу. // Теория вероятн. и ее примен. 1983, том 28, №1, стр. 169-175.
12. Дильман С.В. Обращение обобщенной теоремы Хартмана-Виитнера. // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, математика, механика.2003, №6, стр. 56-58.
13. Дильман С.В. Уточнение закона повторного логарифма для геометрически взвешенных рядов. // Тезисы XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва,2004, стр. 26.
14. Дильман С.В. Асимптотика в формуле Баума-Каца для случайных полей. // Математические заметки 2006, том 72, №5, стр. 674680.
15. В.А.Егоров. О законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1969, том 14, №4, стр. 722-729.
16. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины М.:Наука, 1965.
17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фу-екционального анализа. М.:Наука 1976.
18. Ламперти Дж. Вероятность. М.:Наука 1973.
19. Мартикайнен А.И. Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №2, стр. 364-366.
20. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.:Наука 1987.
21. Розовский JI.B. Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел. // Математические заметки 1983, том 34, №6, стр. 883-895.
22. Розовский JI.B. Некоторые оценки для вероятностей одногсторон-них больших уклонений. // Теория вероятн. и ее примен. 1984, №4, стр. 800-804.
23. Розовский JI.B. Нормальная аппроксимация при вычислении скорости сходимости в слабом законе больших чисел. // Математические заметки 1986, том 40, №2, стр. 252-268.
24. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона. // Теория вероятн. и ее примен. 2003, том 48, №3, стр. 585-595.
25. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона II. // Теория вероятн. и ее примен. 2004, том 49, ДМ.
26. Хохлов Ю.С. Закон повторного логарифма для случайных векторов с оперативно устойчивым предельным законом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. вычислит, мат. и кибернетика, 1995, №3, стр. 62-68.
27. Ширяев А.Н. Вероятность 1. М.гМЦНМО 2004.
28. Ширяев А.Н. Вероятность 2. М.:МЦНМО 2004.
29. Adler A., Volodin A. On compltet convergence of the sum of a random number of stable type p random elements. // Internat. J. Math, к Math. Sci. 1995, vol. 18, №1, pp. 33-36.
30. Basu K. A note on Strassen's version of the law of the iterated logarithm. // Proc. Amer. Math. Soc. 1973, vol. 41, №2, pp. 596-601.
31. Baum L.E., Katz M. Convergence rate in the law of large numbers. // Trans. Amer. Math. Soc. 1965, vol. 120, pp. 108-123.
32. Bovier A., Picco P. A law of the iterated logarithm for geometric series. // Ann. Probab. 1993, vol. 21, №1, pp. 168-184.
33. Bulinski A.V., Dilman S.V. Some generalizations of the Hartmann-Wintner theorem. Abstracts of the International Gnedenko 90-th Anniversary Conference, Kiev, 2002, p. 11.
34. Berkes I. The functional law of the iterated logarithm for dependent random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1973, vol. 26, №3, pp. 245-258.
35. Chen R. A remark on the tail probability of a distribution. //J. Multivariate Anal. 1978, vol. 8, pp. 328-333.
36. Chover J. On Strassen's version of the loglog law. // Z. Wahrsch. verv. Geb. 1967, vol. 8, №1, pp. 83-90.
37. Chow Y.S. Delayed sums and Borel sumrnability of independent, identically distributed random variables. // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 1973, vol. 1, pp. 207-220.
38. Chow Y.S., Lai T.L. Some one-sided theorems on the tail distribution of sample sums with application to the last time and largest excess of boundary crossing. // Trans. Amer. Math. Soc. 1975, vol. 208, pp. 51-72.
39. Deng D. Complete convergence and convergence rates in Marcinkiewicz law of large numbers for random variables indexed by Ъ%. // Math. Appl. 1996, vol. 9, M, pp. 441-448.
40. Dilman S.V. The asymptotics in the Baum-Katz formula for multidimensionally indexed random variables. // Abstracts of 14-th European Young Statisticians Meeting, Budapest, 2005, p. 11.
41. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins. // Ann. Math. Statist. 1949, vol. 20, pp. 286-291.
42. Feller W. The general form of the so-called law of the iterated logarithm. // Trans. Amer. Math. Soc. 1943, vol. 54, №3, pp. 373402.
43. Feller W. An extension of the law of the iterated logarithm to variables without variance. // J. Math. Mech. 1968, vol. 18, №4, pp. 343-355.
44. Feller W. One sided analogue of Karamata's regular variation. // Enseignement Math. 1969, vol. 15, pp. 107-121.
45. Gut A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1978, vol. 6, №3, pp. 469-482.
46. Gut A. Convergence rates for probabilities of moderate deviations for sums of random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1980, vol. 8, №2, pp. 289-313.
47. Gut A. Strong laws for independent identically distributed random variables indexed by a sector. // Ann. Probab. 1983, vol. 11, №3, pp. 569-577.
48. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers. // J. Math. Anal. Appl. 2000, vol. 248, pp. 233-246.
49. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables. // Journal of Multivariate Analysis 2003, vol. 86, pp. 398-422.
50. Hartmann P., Wintner A. On the law of the iterated algorithm. // Amer. J. Math. 1941, vol. 63, pp. 169-176.
51. Heyde C.C. On the converse to the iterated logarithm law. //J. Appl. Probab. 1968, vol. 5, №1, pp. 210-215.
52. Heyde C.C. Some properties of metrics in a study on convergence to normality. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1969, vol. 11, pp. 181-192.
53. Hoffrnann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables. // Studia Math. 1974, vol.52, pp. 159-186.
54. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of the large numbers. // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1947, vol. 33, pp. 25-31.
55. Jain N.C. Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1975, vol. 33, pp. 155-166.
56. Jain N.C., Jogdeo K., Stout W.F. Upper and lower functions for martingales and mixing processes. // Ann. Probab. 1975, vol. 3, №1, pp. 119-145.
57. Katz M. The probability in the tail of a distribution. // Ann. Math. Statist. 1963, vol. 34, pp. 312-318.
58. Khinchine A. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. // Fund. Math. 1924, vol. 6, pp. 9-12.
59. Khoshnevisan D. Multiparameter processes. An introduction to Random Fields. Springer, 2002.
60. Klesov О., Rosalsky A. A nonclassical law of the iterated logarithm for i.i.d. square integrable random variables. // Stochastic Anal. Appl. 2001, vol. 19, M, pp. 627-641.
61. Kolmogoroff A. Ueber das Gesetz des iterierten Logarithmus. // Math. Ann. 1929, vol. 101, pp. 126-135.
62. Lai T.L. Reproducing kernel Hilbert spaces and the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1974, vol. 29, №1, pp. 7-19.
63. Lai T.L. Limit theorems for delayed sums. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 432-440.
64. Lanzinger H. A Baum-Katz theorm for random variables under exponential moment conditions. // Statist. Probab. Lett. 1998, vol. 39, pp. 89-95.
65. Lanzinger H., Stadtmuller U. Refined Baum-Katz laws for weighted sums of i.i.d. random variables. // Statistics and Probability Letters 2004, vol. 69, pp. 357-368.
66. Oodiara H., Yoshihara K. The law of the iterated logarithm for stationary processes satisfying mixing conditions. // Kodai Math. Sernin. Rep. 1971, vol. 23, №3, pp. 335-342.
67. Oodiara H. On Strassen's version of the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1972, vol. 21, №4, pp. 289-299.
68. Piau D. Maximal generalization of Baum-Katz theorm and optimality sequential tests. // Prepublication du Laboratiore de Probability Statistique et Combinatoire, 2000, Universite Claude Bernard, Lyon 1. (http://arxiv.org/abs/math/0510043)
69. Smythe R. Sums of independent random variables on partially ordered sets. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 906-917.
70. Spitzer F.L. A combinatorial lemma and its application to probability-theory. // Trans. Amer. Math. Soc. 1956, vol. 82, pp. 323-339.
71. Steiger W.L., Zaremba S.K. The converse of the Hartmann Wintner theorem. // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1972, vol. 22, №1, pp. 193-194.
72. Stoica G. Functional local law of the iterated logarithm for geometrically weighted series. // Statistics and Probability Letters. 2003, vol. 62, №2, pp. 71-77.
73. Strassen V. Almost sure behaviour of sums of independent random variables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1965, vol. 2, №3, pp. 315-343.
74. Strassen V. A converse to the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1966, vol. 4, AM, pp. 265-268.
75. Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1964, vol. 3, №3, pp. 211-226.
76. Strassen V. Almost sure behavior of sums of independent random vriables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1967, vol. 2, pp. 315-343.
77. Wichura M.J. Some Strassen-type laws of the iterated logarithm for multiparameter stochastic processes with independent increments. // Ann. Probab. 1973, vol. 1, pp. 272-296.
78. Zhang L.-X. Strong approximation theorems for geometrically weighted random series and their applications. // Ann. Probab. 1997, vol. 25, №4, pp. 1621-1635.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.