Инволютивные методы исследования моделей, описываемых системами алгебраических и дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Блинков, Юрий Анатольевич

• Блинков, Юрий Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Блинков, Юрий Анатольевич

Введение

Общая характеристика работы

Основные обозначения и определения

Глава 1. Инволютивное деление и инволютивные базисы

1.1. Базисы Грёбнера

1.2. Инволютивное деление мономов.

1.3. Инволютивный базис

1.4. Степенное деление Жане.

Глава 2. Алгоритмы и структуры данных.

2.1. Минимальный инволютивный базис

2.2. Быстрый поиск делителя.

2.3. Инволютивный базис торических идеалов

2.4. Вычислительные стратегии построения инволютивного базиса

Глава 3. Специализированная система компьютерной алгебры GINV.

3.1. Описание основных структур

3.2. Примеры

3.3. Maple пакет Janet

Глава 4. Исследование математических моделей.

4.1. Метод конечных объемов для уравнения высших порядков

4.2. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса.

4.3. Логистическое отображение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инволютивные методы исследования моделей, описываемых системами алгебраических и дифференциальных уравнений»

Область применимости методов качественного анализа математических ' " моделей весьма ограничена [269]. Гораздо более универсальным способом исследования моделей является переход к дискретным аналогам исходных моделей. В результате, такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение' основных их качественных свойств, прежде всего для нелинейных объектов. Проблемы численного моделирования не снимаются сами собой по мере появления все более мощных и дешевых компьютеров. Это связано, по меньшей мере, с двумя причинами: усложнением выдвигаемых как практикой, так и теорией задач и необходимостью проведения большого числа серий вычислительных экспериментов для достаточно полного изучения объекта. Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов всегда остается одной из ключевых задач математического мо* делирования. Для их конструирования широко используются методы, идеи и подходы, применяемые при построении исходных математических моделей. Эта связь хорошо прослеживается на примере очень широкого класса моделей - тех, которые сводятся к дифференциальным уравнениям.

Инволютивные методы построения базисов Грёбнера систем алгебраи- • ческих, дифференциальных и разностных уравнений позволяют проверить совместность и, в ряде случаев, построить решение систем. Базисы Грёбнера позволяют без явного построения решений системы уравнений:

• выполнить проверку уравнения на корнях системы уравнений с учетом и без учета кратности;

• провести сравнение уравнений на корнях системы уравнений;

• определить размерность пространства решений системы, а в случае конечного числа решений найти точное число с корней с учетом и без учета кратности, а также число действительных корней;

• найти алгебраические зависимости между алгебраическими, дифференциальными и разностными многочленами.

Базисы Грёбнера стали универсальным алгоритмическим методом решения задач коммутативной алгебры и алгебраической геометрии [62, 63, 68, 154, 260]. Базисы Грёбнера легко обобщается на кольца линейных дифференциальных и разностных операторов [49, 186], а также на идеалы (и модули), порожденные линейными дифференциальными и разностными многочленами [150].

В ряде случаев, метод базисов Грёбнера также допускает обобщение на кольца некоммутативных [171] многочленов, алгебры и супералгебры Ли ( базисы Грёбнера-Ширшова) [22, 38, 244, 276] и на отдельные дифференциальные идеалы [51, 173].

Исторически, первая работа выполненная в направлении создания теории базисов Грёбнера была сделана в 1900 году [122]. Допустимое мо-номиальное упорядочение было введено Макколи (Macaulay) в 1927 году [160]. В 1939 году [127] Грёбнер (Grobner) использовал допустимое мономиальное упорядочение для нахождения базиса фактор-кольца для нульмерного идеала. Базисы Грёбнера были введены Бухберге-ром (Buchberger) в его диссертации [43]. Бухбергером в его последующих работах [44, 45, 46, 47, 48, 245] алгоритм построения базисов Гребне-ра был применен к исследованию систем полиномиальных уравнений и построению для них канонического вида. Усовершенствования алгоритма Бухбергера (например применение критериев равенства нулю нормальной формы) изложены в следующих работах [46, 47, 48, 245].

Для исследования систем алгебраических уравнений, кроме базисов

Грёбнера [12, 24, 43, 46, 47, 48, 49, 51, 62, 63, 66, 154, 155, 168, 171, 245, 258, 260, 261], можно применять результанты [27, 162] (в случае нульмерных идеалов) введенные Сильвестром (Sylvester) [209] или "треугольные системы" рассмотренные By (Wu) [222].

В настоящие время алгоритм построения базисов Грёбнера встроен в большинство современных системы компьютерной алгебры [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 124, 125, 126, 170].

Большое количество работ посвящено применению базисов Грёбнера в различных математических приложениях [37, 119, 123, 138, 156, 219, 220].

Развитию алгоритма Бухбергера в полиномиальном и дифференциальном случае посвящены следующие работы [40, 51, 51, 64, 141, 149, 164, 169, 173, 207].

Определение базиса Грёбнера использует понятие допустимого упорядо.-чения [53, 128, 184, 216]. Временная сложность построения базиса Грёбнера сильно зависит от выбранного допустимого упорядочения. Существуют методы пересчета [74, 74, 215] из одного упорядочения в другое с помощью "маршрута Грёбнера" и алгоритмов линейной алгебры.

Эффективность реализации любого алгоритма существенно зависит от организации структур данных, которая должна учитывать частоту обращения к элементарным операциям составляющим алгоритм. Например, одной из наиболее частых операций при работе алгоритма Бухбергера является операция сравнения мономов [21]. Исследованию эффективности различных структур данных в алгоритме Бухбергера посвящены работы [18, 19, 36, 65, 67, 81, 120, 148, 166, 218, 223].

Другая возможность ускорения вычислений связана с параллелизацией алгоритмов. Работы [13, 20, 41, 70, 140, 215] посвящены развитию параллельных версий алгоритма Бухбергера.

Альтернативный подход методу базисов Грёбнера сформировался при исследовании дифференциальных уравнений. Часть свойств систем аналитических дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) может быть исследована без получения явного решения. Это проверка совместности и формулировка начальных условий, которые необходимы для доказательства существования и единственности решения. Классическая теорема Коши-Ковалевской [153] устанавливает существование и единственность решения для определенного класса квазилинейных ДУЧП. Для этого класса квазилинейных ДУЧП легко проверить совместность системы и сформулировать начальные условия. Основным препятствием в исследовании других классов систем ДУЧП порядка q является нахождение условия совместности системы, то есть получения соотношений для производных порядка < q, которые не являются чисто алгебраическими следствиями уравнений в системе.

Рассмотрим, в качестве примера такой системы [274], уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости (р = const) / их + vy + w2 = О F1 = ut + uux + vuv + wu~ = —Px + vAu F2 = vt + uvx + vvy 4- wv~ — —Py + vAv F3 = wt-\- uwx + vvjy + wwz — —Pz + vAw из которой можно получить дополнительное соотношение на давление Р

F4 = и2х + 2vxuy + 2wxuz + vl + 2wyv~ + w2z = -АР , как следствие исходных уравнений

Fl + F2 + Fz - F® - uF° - vF° - wF% + vAF° = F4 .

Понятие инволютивности было введено около ста лет тому назад Кар-таном (Cartan) [54] при исследовании уравнений типа Пфаффа в полных дифференциалах. Инволютивная система ДУЧП содержит в себе все условия интегрируемости и продолжения системы не дают новых условий совместности. Пополнение системы ее условиями интегрируемости называется замыканием. Подход Картана был обобщен Кахлером (Kahler) [147] к произвольным системам внешних дифференциальных уравнений. Для метода Картана имеются реализации на компьютере [129, 234].

Рикье (Riquier) [182], для исследования решений ДУЧП в виде формальных рядов, предложил полное упорядочение для частных производных. Используя упорядочение он выделил часть производных, называемых главными, относительно которых можно разрешить систему ДУЧП. Оставшиеся производные, называемые параметрическими, задают произвол в решении и влияют на постановку начальных условий. В результате Рикье была построена теория содержащая теорему Коши-Ковалевской как частный случай. Упорядочение Рикье было недавно обобщено в [184].

Жане (Janet) [145, 146] было сделано дальнейшие развитие подхода Рикье. Для главных производных он ввел разбиение независимых переменных на мультипликативные и немультипликативные. В результате все продолжения системы разбивались на мультипликативные и немультипликативные и если продолжения по немультипликативным давали ту же систему, что и продолжения по мультипликативным, то такая системы называлась пассивной. Как и для подхода Картана, подход Рикье-Жане имеет несколько компьютерных реализаций [189, 190, 213].

Разбиение переменных введенное Жане неинвариантно, поскольку зависит от порядка переменных и упорядочения производных. С другой стороны формальная теория ДУЧП, развитая в 60-ых и 70-ых годах прошлого века Спенсером (Spencer) и другими (см. [175, 193, 200, 268]) позволяет сформулировать свойство инволютивности инвариантным способом.

Томас в [210] ввел новое разбиение независимых переменных, которое не зависит от порядка переменных, и обобщил подход Рикье-Жане на случай нелинейных алгебраических уравнений относительно главной производной. Он показал как, за конечное число шагов, проверить совместность системы и если она совместна, то разбить ее на подсистемы, состоящие из уравнений и неравенств, разрешенных относительно главной производной. Это разбиение подобно алгоритму Розенфельда-Грёбнера [40, 183].

Перечислим наиболее существенные этапы в развитии инволютивного подхода:

• Ковалевская (1875) — теорема Коши-Ковалевской (частный случай инволютивной системы) [153];

• Картан (1901) — понятие инволютивности (Пфаффовы системы) [54, 55, 56, 129, 147];

• Рикье (1910), Жане (1920), Томас (1937) - инволютивные ДУЧП [145, 146, 178, 179, 180, 182, 189, 190, 210, 213];

• Квиллен (Quillen) (1964), Спенсер (Spencer) (1965), Кураниси (Kuranishi) (1967), Гольдшмидт (Goldschmidt) (1969) — формальная теория инволютивных ДУЧП [175, 188, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 268].

В статье [228] для разбиения независимых переменных Помма-ре (Pommaret) было показано, что инволютивный (пассивный) базис полиномиального идеала является базисом Грёбнера. Реализация инволютивного алгоритма в системе компьютерной алгебры Reduce [10] показало его высокую эффективность. Однако инволютивный алгоритм для разбиения Поммаре не оканчивался для идеалов положительной размерности, в отличии от разбиений Жане и Томаса.

Разбиения независимых переменных на мультипликативные и немультипликативные Жане, Томаса и Поммаре представляют собой частный слу- - . чай инволютивного деления мономов, введенного в [98].

На современном этапе развития инволютивных методов были разработаны следующие концепции и методы:

• Жарков, Блинков (1993) — деление Поммаре [87, 161, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 232, 233, 259];

• Гердт, Блинков (1995) — концепция инволютивного деления [82, 83, 93, 94, 95, 96, 235, 249];

• Apel (1995) — сравнение инволютивных базисов и базисов Грёбне-ра [14, 15];

• Гердт, Блинков (1997) — минимальный инволютивный базис [97, 99];

• Гердт (1998) — парность инволютивных делений [84, 86, 90, 201, 202, 203, 204, 248, 271, 272];

• Гердт, Янович, Блинков (2001) - дерево "Жане" [30, 100, 101, 102, 116, 117, 118, 236, 238, 238, 254];

• Блинков (2001) — метод сепарирующих мономов [29, 237? ];

• Гердт, Янович (2002) — параллелизация инволютивных методов [111, ИЗ];

• Семенов (2003) — связь между парностью и аксиомой фильтрации [201, 202, 203, 271, 272];

• Гердт, Блинков (2005) — степенное деление Жане [103, 104, 107, 250];

• Gareth (2006) — некоммутативный инволютивный базис [80].

• Семенов (2006) — неконструктивные деления, "антипод Жане" [204, 273].

Другие результаты относящиеся к развитию и применению инволютив-ных методов представлены в работах [16, 50, 52, 57, 58, 79, 88, 89, 91, 132, 133, 135, 136, 137, 165, 167, 205, 206, 247, 255, 263, 264, 267, 280].

После выхода публикаций [98, 99, 228, 259] инволютивный подход был обобщен на некоммутативный [69] и дифференциальный случаи [59, 82, 83, 85, 174, 190, 230].

Перечислим наиболее известные реализации инволютивных методов. Системы полиномиальных уравнений:

• Жарков, Блинков (1993) - Reduce, модуль INVBASE [134, 231];

• Hong, Neubacher (1995) - С++ [142];

• Блинков (2001) - Reduce и С++ [117, 254];

• Янович (2001) - С [111, 112, 113, 114, 115, 117, 251, 252, 253];

• Гердт, Berth (2002) - Mathematica [25, 92, 93];

• Hausdorf, Seiler (2002) - Mupad [130, 131];

• Блинков, Cid, Гердт, Plesken, Robertz (2003) — Maple, модуль Involutive [31];

• Янович (2003) - Singular [126];

• Блинков, Гердт (2005) - Python, модуль GINV [105, 107, 250]. Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

• Reid, Wittkopf, Boulton (1996) - Maple, модуль Rif [180];

• Блинков, Cid, Гердт, Plesken, Robertz (2003) — Maple, модуль Janet [32];

• Zhang, Li (2006) - Maple [224]. Линейные рекуррентные соотношения:

• Гердт, Robertz (2006) - Maple, модуль LDA [110].

В последний годы были защищены несколько кандидатских и докторских диссертаций существенно использующих идеи и методы работ В. П. Гердта и автора настоящей диссертации [94, 98, 99, 249]. Авторы и названия некоторых из этих диссертаций приведены ниже:

• Apel J.: Zu Berechenbarkeitsfragen der IdealTheorie, Universitat Leipzig, 1998 (Habilitation thesis);

• Seiler W. M.: Involution - The Formal Theory of Differential Equations and its Applications in Computer Algebra and Numerical,

Universitat Mannheim, 2002 (Habilitation thesis);

• Hemmecke R.: Involutive Bases for Polynomial Ideals, Universitat Linz, RISC, 2003 (PhD);

• Голубицкий О. Д.: Маршруты Грёбнера, мехмат МГУ, 2004 (к.ф.м.н.- 01.01.06);

• Янович Д. А.: Алгоритмы и программы вычисления инволютив-ных базисов и их применение для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, ЛИТ ОИЯИ, 2004 (к.ф.м.н.- 05.13.18);

• Митюнин В. А. : Алгоритмы вычисления базисов Грёбнера и ин-волютивных базисов, мехмат МГУ, 2004 (к.ф.м.н.- 01.01.06);

• Семёнов А. С.: Классификационные свойства инволютивных делений, мехмат МГУ, 2006 (к.ф.м.н.- 01.01.06);

• Gareth А. Е.: Noncommutative Involutive Bases, University of Wales, Bangor, 2006 (PhD);

• Robertz D.: Formal Computational Methods for Control Theory,

RWTH, Aachen, 2006 (PhD).

Для исследования и решения систем алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений полиномиального типа инволютивными методами была разработана система компьютерной алгебры GINV [33, 239] (сокращение от Grobner /Л/Volutive). В основе системы лежат авторские алгоритмы построения инволютивных базисов Жане [116, 117] и степенных базисов Жане [103, 104] для полиномиальных идеалов и модулей, а также приведенных базисов Грёбнера. GINV (http://invo.jinr.ru/ ginv/) состоит из библиотеки программ на языке С++, являющейся модулем языка Python, и распространяется на условиях GPL v2. Система GINV используется также в качестве внешней библиотеки для пакета Janet [31, 32, 110] инволютивных алгоритмов в коммутативной алгебре. Пакет Janet написан на языке универсальной системы компьютерной алгебры Maple.

В диссертационной работе предлагается новый подход для построения разностных схем [75, 76, 77, 78, 121, 139, 157, 158, 177, 208, 217, 246, 279]. В нем первоначально задаются базовые разностные соотношения аппроксимирующие исходную систему дифференциальных уравнений, а затем для этих соотношений строится базис Грёбнера разностного идеала [60, 150, 265]. Из этого базиса, иногда, можно извлечь разностную схему, которую невозможно построить традиционными методами генерации разностных схем. Зачастую такие разностные схемы обладают уникальными свойствами хорошо передающими физику процессов описаваемых исходными дифференциальными уравнениями.

Кроме того, знание базиса Грёбнера даёт возможность проверить совместность исходных разностных соотношений, определить произвол в решении, посчитав полином Гильберта, и, применяя специальный вид допустимого упорядочения при его построении, получить другое представление первоначальных соотношений.

Построение классов разностных схем осуществляется посредством введением базовых интегральных соотношений связывающих интегралы от производных с сеточными функциями на определённом шаблоне и применением к ним соответствующих квадратур. Выбор базовых интегральных соотношений может быть осуществлён на основе известных схем, но за счёт выбора различных квадратур могут быть сгенерированы различные схемы с близкими свойствами.

Данная техника позволяет развить новые подходы, например, к применению интегро-интерполяционного метода [240, 266]. В работах [34, 108, 241, 242] продемонстрирована возможность генерации разностных схем для гиперболических уравнений со схемной вязкостью, многослойных разностных схем и схем с переключателями. Преимуществом данного подхода является возможность строить разностные схемы без переключателей и схемной вязкости для уравнений смешанного типа.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Представленные методы является универсальным алгоритмическим инструментом для анализа и решения систем полиномиальных и дифференциальных уравнений и построения разностных схем.

Перечислим типичные области применения базисов Грёбнера [49, 245]:

• алгебраическая геометрия, коммутативная алгебра, теория полиномиальных идеалов,

• теория инвариантов,

• автоматическое доказательство геометрических теорем,

• теория кодирования,

• целочисленное программирование,

• дифференциальные уравнения в частных производных,

• гипергеометрические функции,

• символьное суммирование,

• статистика,

• некоммутативная алгебра,

• численные (например вейвлет-) преобразования, и т.д.

• теория управления.

Ниже приведен список задач, решаемых с помощью базисов Грёбнера:

• совместность и решение систем алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений,

• принадлежность к идеалу и к радикалу идеала,

• эффективные вычисления по модулю идеала,

• построение "сизигий",

• вычисление функции и полинома Гильберта,

• алгебраические отношения между алгебраическими, дифференциальными и разностными полиномами.

На практике часто возникают ситуации, когда не удается получить результат с помощью реализаций алгоритма Бухбергера в системах компьютерной алгебры общего назначения. Таким образом, повышение эффективности алгоритмов и программ построения базисов Грёбнера является актуальной проблемой.

Цель работы. Разработать инволютивные алгоритмы для эффективного построения базисов Грёбнера. Создать на базе этих алгоритмов комплекс компьютерных программ. Применить эти программы к исследованию математических моделей.

Объект и предмет исследования. Математическим объектом исследования являются базисы полиномиальных, дифференциальных и разностных идеалов. Предмет и область исследования — системы алгебраических и дифференциальных уравнений, разностные схемы.

Методика исследований основана на универсальном алгоритмическом подходе — технике базисов Грёбнера и восходит к инволютивным алгоритмам, разработанным Рикье и Жане. В работе также используются известные методы генерации разностных схем и их обобщения с помощью техники базисов Грёбнера.

Достоверность и обоснованность. В работе приведены математические доказательства свойств полученных алгоритмов. Результаты работы подтверждаются многочисленными компьютерными расчетами на известных примерах. Даны математические обоснования свойств полученных разностных схем. Произведены численные расчеты на математических моделях физических процессов имеющих точное решение.

Связь работы с научными проектами, темами. Данная работа была выполнена при поддержке следующих грантов. Гранты РФФИ:

98-01-00101-а инволютивный анализ динамических систем со связями (1998-2000);

99-01-00192-а развитие кватернионных моделей и методов механики космического полета (1999-2000);

01-01-00708-а компьютерные методы инволютивного анализа дифференциальных уравнений и их применение к калибровочным теориям поля (2001-2003);

07-01 -00660-а компьютерный анализ совместности систем уравнений с приложением к квантовым вычислениям, калибровочным моделям теории поля и численному решению уравнений в частных производных (2007-2009).

Гранты Президента Российской Федерации:

НШ-2339.2003.2 развитие и применение новых аналитических и численных методов в теоретической и математической физике (2003-2005 рук. Д. В. Ширков);

НШ-5362.2006.2 развитие и применение новых аналитических и численных методов в теоретической и математической физике (2006-2008 рук. Д. В. Ширков);

Гранты ИНТАС:

93-0030 Computer algebra, symbolic and combinatorial tools in differential algebra and differential equations (1994-1995);

99-1222 Involutive Systems of Differential and Algebraic Equations (2000-2002).

Научная новизна.

1. Разработан новый алгоритмический подход к вычислению базисов Грёбнера, альтернативный классическому методу Бухбергера.

2. Для реализации было введено новое понятие — инволютивное деление мономов.

3. Для инволютивных базисов разработан алгоритм построения минимальных инволютивных базисов, дающий каноническое представление.

4. Для инволютивных алгоритмов построены критерии равенства нулю нормальной формы, позволяющие избежать ненужных вычислений.

5. Разработаны наиболее оптимальные структуры данных для поиска инволютивного делителя, названные "деревом Жане".

6. Представлен полностью алгоритмический метод генерации разностных схем, использующий технику базисов Грёбнера. Данный метод позволяет обобщить некоторые известные методы генерации разностных схем.

7. Для уравнения околозвуковых течений Кармана-Фальковича получена принципиально новая схема с единым шаблоном в эллиптической и гиперболической области без схемной вязкости и переключателей.

8. Для логистического отображения найдено значения р, при котором происходит образование 9-и периодических циклов.

Практическая значимость.

1. Разработанные методы позволяют более эффективно, в сравнении с классическим методом Бухбергера, решать задачи широкого класса, сводящиеся к системам алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений.

2. На основе предложенных алгоритмов создана специализированная система компьютерной алгебры GINV с открытым кодом, доступная для широкого использования и успешно применяющаяся в ряде организацией для различных научных и прикладных задач. GINV используется в модуле Janet системе компьютерной алгебры Maple.

3. Модуль INVBASE включен в качестве стандартного в систему компьютерной алгебры Reduce.

4. Представлен полностью алгоритмический метод генерации разностных схем, использующий технику базисов Грёбнера. Данный метод позволяет обобщить традиционные методы генерации разностных схем. Эти обобщения приводят к новым, нестандартным и эффективным разностным схемам.

Личный вклад соискателя. Вклад автора в реализацию специализированной системы компьютерной алгебры GINV, модулей Janet и INVBASE является основным. Все результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• на Международной конференции "Симпозиум по символьным вычислениям IMACS" (Lille, Франция, 1993 г.);

• на семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ (Дубна, 1994, 1998, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 гг.);

• на Международной конференции "Новые компьютерные технологии в системах управления" (Переславль-Залесский, 1994 г.);

• на Международной конференции "Интервальные и компьютерно-алгебраические методы в научных вычислениях Interval'94" (Санкт-Петербург, 1994 г.);

• Современные тенденции в вычислительной физике (Дубна, 1998, 2000 гг.);

• на Международных конференциях "Rhein Workshop on Computer Algebra RWCA" (Karlsruhe, Германия, 1994 г.; Sankt-Augustin, Германия, 1998 г.; Mannheim, Германия, 2002 г.; Basel, Германия, 2006 г.);

• на Международной конференции "Приложения компьютерной алгебры IM ACS/AC А" (Санкт-Петербург, Россия, 2000 г.);

• в Высшей технической школе Рейна-Вестфалии RWTH (Аахен, Германия, 2001, 2003, 2006 гг.);

• на Международной конференции "Компьютерная алгебра и ее приложения в физике СААР'2001" (Дубна, 2001 г.);

• на пятом Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.);

• на Международных конференциях "Компьютерная алгебра в научных вычислениях CASC" (Konstanz, Германия, 2001 г.; Passau, Германия, 2003 г.; Kalamata, Греция, 2005 г.);

• на всероссийском семинаре "СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ПРИЛОЖЕНИЯ" (Казань 2004 г.);

• на семинаре по компьютерной алгебре на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 2005 г.);

• на Международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005 г.);

• на Международной конференции "Computer Algebra and Differential Equations" (Turku, Финляндия, 2007 г.);

• на семинаре по алгебре на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 2007 г.);

• на Международной конференции "Полиномиальная компьютерная алгебра" (Санкт-Петербург, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы, в том чис

• 13 в российских и зарубежных журналах, рекомендованных ВАК для представления результатов докторских диссертаций,

• 2 в российских рецензируемых журналах,

• 4 в международных рецензируемых журналах,

• 10 в трудах международных конференций,

• 3 в тематических сборниках.

Структура а объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Работа изложена на 251 страницах машинописного текста, из них основного текста 176 страниц. Работа содержит 23 рисунка, 10 таблиц, 20 описаний алгоритмов и одного приложения. Список литературы включает 281 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Блинков, Юрий Анатольевич

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Создана теория инволютивных, базисов. Теория основана на понятии инволютивной делимости мономов, для которого сформулированы аксиомы и дополнительные свойства (нётеровость, непрерывность и конструктивность), обеспечивающие алгоритмичность построения инволютивных базисов. Доказано, что инволютивные базисы являются базисами Грёбнера специального вида.

2. Разработан новый алгоритм вычисления базисов Грёбнера, альтернативный классическому алгоритма, Бухбергера, названный, инволю-тивным и значительно превосходящий по эффективности алгоритм Бухбергера. Инволютивный алгоритм основан на приведении систем уравнений к инволютивному виду, который определяется заданием инволютивного деления и линейного упорядочения мономов. Для повышения эффективности вычислений установлены критерии распознавания ряда бесполезных нулевых редукций.

3. Построено мономиальное деление, близкое по своим алгоритмическим свойствам классическому делению Жане, и поэтому названное степенным делением Жане, но вычислительно более эффективное. Для обоих делений разработаны специальные структуры данных, названные деревьями Жане, позволяющие значительно быстрее, чем при бинарном поиске, находить инволютивный делитель и тем самым существенно ускорить процесс редукции - наиболее трудоемкую часть вычисления инволютивных базисов. .

4. Создана специализированная система компьютерной алгебры GINV с открытым-кодом, написанная на языке G4-+ и организованная в виде модуля языка Python. Ядро системы составляют инволютивные алгоритмы. Система доступна для широкого использования и успешно применяется в ряде организаций для решения научных и прикладных задач. По скорости вычисления базисов Грёбнера система; G/А^У является, самой быстрой в1 мире среди систем с открытым кодом.

5. Предложен: полностью алгоритмический метод генерации.разностных схем, использующий технику базисов Грёбнера. Данный метод позволяет обобщить ряд известных методов, построения разностных схем, включающих некоторые методы построения; многошаговых схем и схем с переключателями.

6. Путем; вычисления разностного идеала,, для нелинейного, уравнения. Кармана-Фальковича, описывающего околозвуковые течения в газог вой динамике,. найдена принципиально новая разностная* схема с: единым шаблоном В; эллиптической и гиперболической; области без схемной вязкости и переключателей. В; частности, для; одномерного течения газа в канале' с прямым скачком уплотнения зона ударного перехода, при использовании данной схемы, имеет протяженность порядка шага сетки.

В заключение я хотел бы выразить свою глубокую благодарность Владимиру Петровичу Гердту за постановку ряда задач, вошедших в диссертацию, поддержку моих исследований в области компьютерной алгебры и за многолетнее плодотворное сотрудничество.

Я очень благодарен двум своим соавторам,.не дожившим до момента на, вместе с кописания данной диссертации:

Алексею Юрьевичу Жаркову торым были получены мои первые результаты по инволютивному подходу, вошедшие, в Главу 1) и Владимиру Викторовичу Мозжилкину с которым. был получен ряд результатов, вошедших в-Главу 4.

Я. благодарен также другим своим соавторам: Денису Александровичу Яновичу,, в сотрудничестве с которым был получен, некоторые из-результатов, вошедших в Главу 2, и Карлосу Сиду, Вильгельму Плескену и Даниэлю. Робертцу, совместная работа с которыми вошла в часть результатов. Главы, 3. .

Существенную, помощь в работе мне постоянно оказывал Владимир. Васильевич Корняк, за что я ему очень-признателен.

Мне приятно также поблагодарить, Евгения Петровича Жидкова , Сергея Ильича Виницкого, Анатолия Михайловича. Рапортиренко, Виталия Александровича Ростовцева и Василия Михайловича .Северьянова. за полезные обсуждения, советы, замечания и критику.

Я весьма признателен Дмитрию Васильевичу Ширкову за поддержку моей научной работы, а также нынешнюю и прошлую дирекцию JIBTA/

ЛИТ ОИЯИ в лице Михаила; Григорьевича Мещерякова , Рудольфа Гейн-цевича; Позе и Игоря Викторовича Пузынина за предоставление мне возможности регулярных поездок в Дубну и создание стимулирующей рабочей атмосферы в. Лаборатории, содействующей получению результатов, представленных в диссертации.

В заключение пользуюсь возможностью выразить свою признательность И. А. Чернову, который инициировал мои работы в исследовании симметрий дифференциальных уравнений, что определило круг моих научных интересов. . моему

Моя особая благодарность Щеглеватых Ивану Михайловичу дедушке, воспитание которого заложило' основу всех моих достижении, включая'работу над материалом диссертации.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Блинков, Юрий Анатольевич, 2009 год

1. The database of polynomial systems, http://www.math.uic.edu/ ~ j an/demo.html.

2. REDUCE, http://www.reduce-algebra.com.

3. SINGULAR, http: //www. singular .uni-kl. de/.

4. Adams, W. W. An Introduction to Grobner Bases / W. W. Adams, P. Loustaunau. — American Mathematical Society, 1994,— Vol. 3 of Graduate Studies in Mathematics.

5. Amrhein, B. A Case Study of Multi-threaded Grobner Basis Computation / B. Amrhein, O. Gloor, W. Kuchlin // Proceedings of ISSAC / Ed. by Y. Lakshman.- ACM Press, New York, 1996. — Pp. 95-102.

6. Apel, J. A Grobner approach to involutive bases / J. Apel // Journal of Symbolic Computation. — 1995. — Vol. 19, no. 5. — Pp. 441-458.

7. Apel, J. The theory of involutive divisions and an application to Hilbert function computations / J. Apel // Journal of Symbolic Computation. — 1998. Vol. 25, no. 6. - Pp. 683-704.

8. Apel, J. Passive Complete Orthonomic Systems and Involutive Bases / J. Apel; Ed. by F. Winkler, U. Langer. — Springer Berlin, Heidelberg, 2003. — Vol. 2630 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 88-107.

9. Apel, J. Detecting unnecessary reductions in an involutive basis computation / J. Apel, R. Hemmecke // Journal of Symbolic Computation. 2005. - Vol. 40, no. 4-5. - Pp. 1131-1149.

10. Apel, J. FELIX: an assistant for algebraists / J. Apel, U. Klaus // International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. — Bonn, West Germany, 1991,- Pp. 382-389.

11. Arnold, E. A. Modular algorithms for computing Grobner bases / E. A. Arnold // Journal of Symbolic Computation. — 2003. — Vol. 35, no. 4,- Pp. 403-419.

12. Attardi, G. A strategy-accurate parallel Buchberger algorithm / G. Attardi, C. Traverso // Proceedings International Symposium Parallel Symbolic Computation. — World Scientific, Singapore, 1994,— Lecture Notes Series in Computing. — Pp. 49-54.

13. Bachmann, O. Monomial representations for Grobner bases computations / O. Bachmann, H. Schonemann // Proceedings of ISSAC. ACM Press, 1998. - Pp. 309-321.

14. Bakhturin, Yu. A. Infinite-dimensional Lie superalgebras / Yu. A. Bakhturin, A. A. Mikhalev, V. M. Petrogradsky, M. V. Zaicev. — Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992,— Vol. 7 of De Gruyter Expositions in Mathematics.

15. Bayer, D. Computation of Hilbert functions / D. Bayer, M. Stillman // Journal of Symbolic Computation.— 1992.— Vol. 14, no. 1.— ' Pp. 31-50.

16. Becker, T. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra / T. Becker, V. Weispfenning, H. Kredel. — Springer-Verlag, New York, 1993. — Vol. 141 of Graduate Texts in Mathematics.

17. Berth, M. Computation of involutive bases with mathematica / M. Berth, V. P. Gerdt // Third International Workshop on "Mathematica" System in Teaching and Research. — University of Podlasie, Seldce, Poland, 2001,- Pp. 29-34.

18. Bigatti, A. M. Computing toric ideals / A. M. Bigatti, R. La Scala, L. Robbiano 11 Journal of Symbolic Computation. — 1999. — Vol. 27. — Pp. 351-365.

19. Bikker, P. On the Bezout construction of the resultant / P. Bikker, A. Yu. Uteshev // Journal of Symbolic Computation.— 1999. — Vol. 28, no. 1-2.- Pp. 45-88.

20. Bini, D. Polynomial Test Suite / D. Bini, B. Mourrain. 1996. http: ' //www-sop.inria.fr/saga/POL.

21. Blinkov, Yu. A. Method of separative monomials for involutive divisions / Yu. A. Blinkov 11 Programming and Computer Software. — 2001.- Vol. 27, no. 3.- Pp. 139-141.

22. Blinkov, Yu. A. Computation of janet bases for toric ideals / Yu. A. Blinkov // Programming and Computer Software. — 2002. — Vol. 28, no. 5. — Pp. 290-292.

23. Blinkov, Yu. A. Specialized computer algebra system GINV / Yu. A. Blinkov, V. P. Gerdt // Programming and Computer Software. — 2008. Vol. 34, no. 2. - Pp. 112-123.

24. Blinkov, Yu. A. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases / Yu. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin // Programming and Computer Software.— 2006.— Vol. 32, no. 2,- Pp. 114-117.

25. Boehm, H. Dynamic memory allocation and garbage collection / H. Boehm // Computers in Physics.— 1995.— Vol. 9, no. 3.— Pp. 297-303.

26. Boge, W. Grobner bases using SAC2 / W. Boge, R. Gebauer, H. Kredel // Proceedings EUROCAL 85.- 1985.- Pp. 272-274.

27. Boge, W. Some examples for solving systems of algebraic equations by calculating Grobner bases / W. Boge, R. Gebauer, H. Kredel // Journal of Symbolic Computation. — 1986. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 83-98.

28. Bokut, L. Grobner-Shirshov bases for some braid groups / L. Bokut, A. Vesnin // Journal of Symbolic Computation. — 2006.— Vol. 41.— Pp. 357-371.

29. Boulanger, J.-L. Object oriented method for Axiom / J.-L. Boulanger // ACM SIGPLAN Notices. 1995. - Vol. 30, no. 2. - Pp. 33-41.

30. Boulier, F. Representation for the radical of a finitely generated differential ideal / F. Boulier, D. Lazard, F. Ollivier, Petitot M. // Proceedings of ISSAC / Ed. by Levelt A. H. M. ACM Press, 1995. -Pp. 158-166.

31. Bradford, R. A parallelization of the Buchberger algorithm / R. Bradford // Proceedings of the international symposium on Symbolic and algebraic computation. — Tokyo, Japan, 1990.— Pp. 296-296.

32. Brown, W. C. On Euclid's algorithm and the computation of polynomial greatest common divisors / W. C. Brown // Journal of the ACM. — 1971. Vol. 18, no. 4. - Pp. 476-504.

33. Buchberger, B. Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenrings nach einem nulldimensionalen Polynomideal: Ph.D. thesis / Universitat Innsbruck. — 1965.

34. Buchberger, В. An algorithmic criterion for the solvability of algebraic systems of equations / B. Buchberger // Aequationes Math. — 1970. — Vol. 4. Pp. 374-383.

35. Buchberger, B. A theoretical basis for the reduction of polynomials to canonical forms / B. Buchberger // ACM SIGSAM Bull. 1976. — Vol. 39.-Pp. 19-29.

36. Buchberger, B. A criterion for detecting unnecessary reductions in the construction of grobner bases / B. Buchberger // International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation / Ed. by E. W. Ng. Springer-Verlag, London, 1979,— Pp. 3-21.

37. Buchberger, B. Grobner bases: an Buchberger algorithmic method in polynomial ideal theory / B. Buchberger // Recent Trends in Multidimensional System Theory / Ed. by N. K. Bose. — Vol. 6. — Reidel, Dordrecht, 1985,- Pp. 184-232.

38. Buchberger, B. Grobner Bases and Applications / B. Buchberger, F. Winkler. — Cambridge University Press, 1998.

39. Calmet, J. A constructive introduction to involution / J. Calmet, M. Hausdorf, W. M. Seiler // Proceedings of the International

40. Symposium on Applications of Computer Algebra / Ed. by P. Akerkar. Allied Publishers, New Delhi, 2001,— Pp. 33-50.

41. Carra-Ferro, G. Grobner Bases and Differential Algebra / G. Carra-Ferro.— 1987.— Vol. 356 of Lecture Notes in Computer Science.- Pp. 129-140.

42. Carra-Ferro, G. On term-orderings and rankings / G. Carra-Ferro, W. Y. Sit // Computational Algebra / Ed. by G. Fischer, P. Loustaunau, J. Shapiro, E. Green, D. Farkas. — Marcel Dekker, New York, 1994. — Pp. 31-77.

43. Cartan, E. Sur certaines expressions differentielles et le ргоЫёте de Pfaff / E. Cartan // Annates scientifiques de I'Ecole Normale Superieure Ser. 3.— 1899.— no. 16.— Pp. 239-332. http://archive.numdam.org/article/ASENSl 8 9 9316 2390 .djvu.

44. Cartan, E. L'integration des systemes d'equations aux differentielles totales / E. Cartan // Annates scientifiques de I'Ecole Normale Superieure Ser. 3.— 1901.- no. 18.- Pp. 241-311. http://archive.numdam.org/article/ASENSl9 01318 2410 .djvu.

45. Cartan, E. Les Systemes 01ГГёгеп1:1е1з Exterieur et leurs Applications Geometrique / E. Cartan. — Hermann, Paris, 1946.

46. Chen, Y. F. Vector representation of involutive divisions / Y. F. Chen, X. S. Gao // Mathematics-Mechanization Research Preprints. — 1999,- no. 18.- Pp. 9-22.

47. Chen, Y. F. Involutive directions and new involutive divisions / Y. F. Chen, X. S. Gao // Computers and Mathematics with Applications. — 2001. Vol. 41, no. 7-8. - Pp. 945-956.

48. Chen, Y. F. Involutive bases of algebraic partial differential equation systems / Y. F. Chen, X. S. Gao // Science in China (A). — 2003. — Vol. 33, no. 2,- Pp. 97-113.

49. Cohn, R.M. Difference algebra / R.M. Cohn. — Interscience Publishers, 1965. — Vol. 17 of Tracts in Mathematics. — P. 367.

50. Conti, P. Buchberger algorithm and integer programming / P. Conti,

51. C. Traverso // Proceedings of AAECC-9. — Springer-Verlag, 1991. — Lecture Notes in Computer Science no. 539.— Pp. 130-139.

52. Cox, D. Ideals, Varieties, and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra /

53. D. Cox, J. Little, D. O'Shea. Springer-Verlag, New York, 1998. — 2nd Edition.

54. Cox, D. Using Algebraic Geometry / D. Cox, J. Little, D. O'Shea. — Springer-Verlag, New York, 1998.— Vol. 185 of Graduate Texts in Mathematics.

55. Czapor, S. R. A heuristic selection strategy for lexicographic Grobner bases? / S. R. Czapor // International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. — Bonn, West Germany, 1991. — Pp. 39-48.

56. Czapor, S. R. On implementing Buchberger's algorithm for Grobner bases / S. R. Czapor, К. O. Geddes // Proceedings of the fifth ACM symposium on Symbolic and algebraic computation. — Waterloo, Ontario, Canada, 1986,- Pp. 233-238.

57. Davenport, J. H. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computation / J. H. Davenport, Y. Siret, E. Tournier. — Academic Press, 1988.- P. 267.

58. Davenport, J. H. Scratchpad's view of algebra I: Basic commutative algebra: Tech. Rep. TR3/92 (ATR/1) (NP2490) / J. H. Davenport, В. M. Trager. inst-NAG:adr: inst-NAG, 1992.

59. Eisenbud, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry / D. Eisenbud.— Springer-Verlag, New York, 1995.— Vol. 150 of Mathematics and its Applications.

60. Evans, G. A. Noncommutative involutive bases / G. A. Evans // International Conference on Applications of Computer Algebra. — Beaumont, Texas, U.S.A., 2004.

61. Faugere, J. C. Parallelization of Grobner basis / J. C. Faugere // Proceedings International Symposium Parallel Symbolic Computation / Ed. by H. Hong. — Lecture Notes Series in Computing. — World Scientific, Singapore, 1994.- Pp. 124-132.

62. Faugere, J. C. A fast, easy to use algorithm for dynamic memorymanagement: Tech. rep. / J. C. Faugere: LIP6, universite Paris VI, 1998.

63. Faugere, J. C. A new efficient algorithm for computing Grobner bases (f4) / J. C. Faugere 11 Journal of Pure and Applied Algebra. — 1999. — Vol. 139, no. 1-3.- Pp. 61-88.

64. Faugere, J. C. A new efficient algorithm for computing Grobner bases without reduction to zero (F5) / J. C. Faugere // Proceedings of ISSAC / Ed. by New York ACM Press.- ACM Press, New York, 2002. Pp. 75-83.

65. Faugere, J. C. Efficient computation of zero-dimensional Grobner bases by change of ordering / J. C. Faugere, P. Gianni, D. Lazard, T. Mora // Journal of Symbolic Computation. — 1993. — Vol. 16. — Pp. 329-344.

66. Fournie, M. Symbolic derivation of different class of high-order schemes for partial differential equations / M. Fournie // Computer Algebra in Scientific Computing. — Springer-Verlag, 1999.— Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 93-100.

67. Ganzha, V. G. Computer-aided analysis of difference schemes for partial differential equations / V. G. Ganzha, E. V. Vorozhtsov. — New York, ■ ■ Wiley-Interscience, 1996.

68. Ganzha, V. G. Numerical solutions for partial differential equations: problem solving using Mathematica / V. G. Ganzha, E. V. Vorozhtsov. — Boca Raton, CRC Press, 1996.

69. Ganzha, V. G. Symbolic-numeric stability investigations of Jameson's schemes for thin-layer Navier-Stokes equations / V. G. Ganzha, E. V.

70. Vorozhtsov, J. Boers, J. A. van Hulzen // Symbolic and Algebraic Computation / SIGSAM. ISSAC. - ACM, 1994. - Pp. 234-241.

71. Garcia-Sanchez, P. A. Grobner bases and involutive bases for zero-dimensional ideals / P. A. Garcia-Sanchez // SIGSAM Bulletin. — 1995. Vol. 29, no. 2. - Pp. 12-15.

72. Gareth, A. E. Noncommutative Involutive Bases: Ph.D. thesis / University of Wales, Bangor. — 2006.

73. Gebauer, R. On an installation of Buchberger's algorithm / R. Gebauer, H. M. Moller // Journal of Symbolic Computation. — 1988. — Vol. 6, no. 2-3. Pp. 275-286.

74. Gerdt, V. P. Grobner bases and involutive methods for algebraic and • differential equations / V. P. Gerdt // Mathematical and computer modelling. 1997.- Vol. 8/9, no. 25.- Pp. 75-90.

75. Gerdt, V. P. Involutive Division Technique: Some Generalizations and Optimizations / V. P. Gerdt.- 1998,- (Preprint E5-98-151, Joint Institute for Nuclear Research).

76. Gerdt, V. P. Involutive division technique: Some generalizations and optimizations / V. P. Gerdt // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. no. 258. - Pp. 185-206.

77. Gerdt, V. P. On an algorithmic optimization in computation of involutive bases / V. P. Gerdt // Programming and Computer Software. 2002. - Vol. 28, no. 2. - Pp. 62-65.

78. Gerdt, V. P. Involutive algorithms for computing Grobner bases / V. P. Gerdt // Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop "Computational commutative and non-commutative algebraic geometry". — IOS Press, 2004. P. 27.

79. Gerdt, V. P. Involutive division techniques: Some generalizations and optimizations / V. P. Gerdt // Journal of Mathematical Sciences. — 2004.-Vol. 108, no. 6.-Pp. 1034-1051.

80. Gerdt, V. P. Completion of monomial sets to involution with mathematica: Tech. Rep. Preprint / V. P. Gerdt, M. Berth,

81. G. Czichowski: Greifswald, 1998.- submitted to CASC '98, St. Petersburg.

82. Gerdt, V. P. Involutive Polynomial Bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov. — Publication IT-95-271, Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille, 1995.

83. Gerdt, V. P. Involutive Bases of Polynomial Ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov. — Preprint-Nr.1/1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, University of Leipzig, 1996.

84. Gerdt, V. P. Involutive Bases of Polynomial Ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov. Preprint Preprint E5-97-3, JINR, 1997. - P. 26.

85. Gerdt, V. P. Minimal Involutive Bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov. -Preprint E5-97-4, JINR, Dubna, 1997.- P. 20.

86. Gerdt, V. P. Involutive bases of polynomial ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Mathematics and Computers in Simulation.— 1998.— Vol. 45.- Pp. 519-542.

87. Gerdt, V. P. Minimal involutive bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Mathematics and Computers in Simulation.— 1998.— Vol. 45,— Pp. 543-560.

88. Gerdt, 1/. P. Janet Bases of Toric Ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov. -Preprint E5-11-2001-279, JINR, Dubna, 2001.- P. 19.

89. Gerdt., I/. P. Janet bases of toric ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Proceedings of the Rhein Workshop on Computer Algebra. — Mannheim, Germany: 2002,- Pp. 125-135.

90. Gerdt, V. P. Janet trees in computing of toric ideals / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer algebra and its applications to physics. — Dubna, Russia: 2002.- Pp. 71-82.

91. Gerdt, I/. P. Janet-like Grobner bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer Algebra in Scientific Computing. — Springer Berlin / Heidelberg, 2005. — Vol. 3718 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 184-195.

92. Gerdt, V. P. Janet-like monomial division / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer Algebra in Scientific Computing. — Springer Berlin / Heidelberg, 2005,— Vol. 3718 of Lecture Notes in Computer Science. Pp. 174-183.

93. Gerdt, V. P. On computing Janet bases for degree compatible orderings / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Proceedings of the Rhein Workshop on Computer Algebra / Ed. by J. Draisma, H. Kraft. — University of Basel, 2006.- Pp. 107-117.- math.AC/0603161.

94. Gerdt, V. P. On computer algebra-aided stability analysis of difference schemes generated by means of Grobner bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer Algebra and Differential Equations / Ed. by

95. A. Myllari, V. Edneral, N. Ourusoff. — Acta Academiae Aboensis, Ser.

96. B, 2007. Vol. 67. - Pp. 168-177.

97. Gerdt, V. P. On selection of nonmultiplicative prolongations in computation of Janet bases / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Programming and Computer- Software. — 2007. — Vol. 33, no. 3. — Pp. 147-153.

98. Gerdt, V. P. A Maple package for computing Grobner bases for linear recurrence relations / V. P. Gerdt, D. Robertz // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. — 2006. — Vol. A559. Pp. 215-219. - arXiv:cs.SC/0509070.

99. Gerdt, V. P. Parallelization of an algorithm for computation of involutive janet bases / V. P. Gerdt, D. A. Yanovich // Programming and ■ Computer Software. 2002. - Vol. 28, no. 2. - Pp. 66-69.

100. Gerdt, V. P. Implementation of the fglm algorithm and finding roots of polynomial involutive systems / V. P. Gerdt, D. A. Yanovich // Programming and Computer Software. — 2003. — Vol. 29, no. 2. — Pp. 72-74.

101. Gerdt, V. P. Experimental analysis of involutive criteria / V. P. Gerdt, D. A. Yanovich // Algorithmic Algebra and Logic / Ed. by A. Dolzmann, A. Seidl, T. Sturm. — BOD Norderstedt, Germany,2005.- Pp. 105-109.

102. Gerdt, V. P. Parallel computation of janet and grobner bases over rational numbers / V. P. Gerdt, D. A. Yanovich // Programming and Computer Software. 2005. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 73-80.

103. Gerdt, V. P. Fast search for the Janet divisor / V. P. Gerdt, D. A. Yanovich, Yu. A. Blinkov // Programming and Computer Software. — 2001.- Vol. 27, no. 1.- Pp. 22-24.

104. Gianni, P. Algebraic solution of systems of polynomial equations using Grobner bases / P. Gianni, T. Mora. 1989,- Pp. 247-257.

105. Giovini, A. 'one sugar cube, please' or selection strategies in the Buchberger algorithm / A. Giovini, T. Mora, G. Niesi, L. Robbiano, C. Traverso. 1991.— Pp. 49-54. http: //www.acm.org:80/pubs/citations/proceedings/issac/ 120694/p4 9-giovini/.

106. Godunov, S. K. Difference schemes. An introduction to the underlying theory / S. K. Godunov, V. S. Ryaben'kii. — New York, Elsevier, 1987.

107. Gordan, P. Les invariants des formes binaires / P. Gordan // Journal de Mathematiques Puves et Appliques. — 1900. — Vol. 6. — Pp. 141-156.

108. Grabe, H.-G. Algorithms in local algebra / H.-G. Grabe // Journal of Symbolic Computation. — 1995. — Vol. 19, no. 6. — Pp. 545-558.

109. Greuel, G.-M. A Singular Introduction to Commutative Algebra / G.-M. Greuel, G. Pfister. — Springer Berlin, Heidelberg, 2002.

110. Greuel, G.-M. Singular: A Computer Algebra System for Polynomial Computation / G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schonemann. — Department of Mathematics, University of Keiserslautern, 2001. http: //www.singular.uni-kl.de/Manual/2-0-0/.

111. Greuel, G.-M. Singular 3.0: A Computer Algebra System for Polynomial Computations / G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schonemann. — University of Kaiserslautern: Centre for Computer Algebra, 2005. — http://www.singular.uni-kl.de.

112. Grobner, W. Uber die eliminationstheorie / W. Grobner // Monatsh. der Math. 1939. - Vol. 54. - Pp. 71-78.

113. H., Hong. Algorithmic Theory of Admissible Term Orders / Hong H., Weispfenning V. http://www4 . ncsu. edu: 8030/~hong/papers/ Hong99c.dvi.

114. Hartley, D. A constructive implementation of the Cartan-Kahler theory of exterior differential systems / D. Hartley, R. W. Tucker // Journal of Symbolic Computation. — 1991.— Vol. 12, no. 6,— Pp. 655-668.

115. Hausdorf, M. Involutive Bases in MuPAD II: Polynomial Algebras of Solvable Type / M. Hausdorf, W. M. Seiler. — (to apper).

116. Hausdorf, M. Involutive bases in MuPAD I: Involutive divisions / M. Hausdorf, W. M. Seiler // mathPAD.- 2002,- Vol. 11.-Pp. 51-56.

117. Hausdorf, M. An efficient algebraic algorithm for the geometric completion to involution / M. Hausdorf, W. M. Seiler // Journal Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. — 2004. Vol. 13, no. 3. - Pp. 163-207.

118. Hausdorf, M. Involutive bases in the Weyl algebra / M. Hausdorf, W. M. Seiler, R. Steinwandt // Journal of Symbolic Computation. — 2002. Vol. 34, no. 3. - Pp. 181-198.

119. Hearn, A. C. REDUCE User's Manual, Version 3.7: Report / A. C. Hearn: Anthony C. Hearn, 1999. http://www.zib.de/ Optimization/Software/Reduce/moredocs/reduce.pdf.

120. Hemmecke, R. Dynamical Aspects of Involutive Bases Computations / R. Hemmecke. — RISC report 01-28, 2001.

121. Hemmecke, R. Dynamical Aspects of Involutive Bases Computations / R. Hemmecke; Ed. by F. Winkler, U. Langer. — Springer Berlin, Heidelberg, 2003. — Vol. 2630 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 88-107.

122. Hildebrand, F.B. Finite-Difference Equations and Simulations / F.B. Hildebrand. — Prentice-Hall, 1968.- P. 338.

123. Hiroyuki, S. Parallel computation of Grobner bases on distributed memory machines / S. Hiroyuki, T. Satoshi, A. Akira // Journal of Symbolic Computation. 1994. - Vol. 18, no. 3. - Pp. 207-222.

124. Hong, H. Grobner basis under composition I / H. Hong 11 Journal of Symbolic Computation. — 1998. — Vol. 25, no. 5. — Pp. 643-664.

125. Hong, H. Implementation of an involutive method for computing • Grobner bases of zero-dimensional ideals: Tech. Rep. A-4040 / H. Hong, A. Neubacher. — Linz, Austria: Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler University, 1995.

126. Jameson, A. Transonic flow calculations / A. Jameson // Numerical Methods in Fluid Dynamics / Ed. by H. J. Wirz, J. J. Smolderen. — Hemisphere, 1976.— Vol. 87 of von Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series. — Pp. 1-87.

127. Janet, M. Systemes d'equations aux derivees partielles / M. Janet // Journals de mathematiques, 8e serie. — 1920. — Vol. 3. — Pp. 65-151.

128. Janet, M. Legons sur les systemes d'equations aux derivees partielles / . M. Janet. Cahiers Scientifiques, fascicule IV. — Gauthier-Villars, Paris, 1929.

129. Kahler, E. Einfiihrung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen / E. Kahler; Ed. by B. G. Teubner. — Hamburger mathematische Einzelschriften 16. Leipzig, 1934. — Vol. IV. P. 80.

130. Kandri-Rody, A. Computing the Grobner-basis of an Ideal in Polynomial Rings over the Integers / A. Kandri-Rody, D. Kapur //

131. Proceedings 1984 MACSYMA User's Conference.- 1984. — Pp. 436-451.

132. Kandri-Rody, A. Non-commutative Grobner bases in algebras of solvable type / A. Kandri-Rody, V. Weispfenning // Journal of Symbolic Computation. — 1990. Vol. 9, no. 1. - Pp. 1-26.

133. Kondratieva, M. V. Differential and Difference Dimension Polynomials / M. V. Kondratieva, A. B. Levin, A. V. Mikhalev, E. V. Pankratiev. Kluwer, 1999.

134. Koppenhagen, U. An optimal algorithm for constructing the reduced Grobner basis of binomial ideals / U. Koppenhagen, E. W. Mayr. — 1996. Pp. 55-62.

135. Kotsireas, I. S. Exact computation of the bifurcation point b4 of the logistic map and the bailey-broadhurst conjectures / I. S. Kotsireas, K. Karamanos // Journal Bifurcation and Chaos. — 2004. — Vol. 14. — Pp. 2417-2423.

136. Kovalevskaya, S. V. Zur theorie der partiellen differential-gleichungen / S. V. Kovalevskaya // Journal fiir die Reine und Angewandte Mathematik. 1875. - Vol. 80. - Pp. 1-32.

137. Kreutzer, M. Computational Commutative Algebra 1 / M. Kreutzer, L. Robbiano. — Springer Berlin, Heidelberg, 2000.

138. Latyshev, V. N. A combinatorial complexity of Grobner bases / V. N. Latyshev // Journal of Mathematical Sciences. — 2000.— Vol. 102, no. 3,- Pp. 4134-4138.

139. Lazard, D. Solving zero-dimensional algebraic systems / D. Lazard // Journal of Symbolic Computation.— 1992,— Vol. 13, no. 2.— Pp. 117-132.

140. Liska, R. Algorithms for difference schemes construction on non-orthogonal logically rectangular meshes / R. Liska, M. Yu. Shashkov // Proceedings of ISSAC. — New York, ACM Press, Addison Wesley, 1991.- Pp. 419-426.

141. Liska, R. Support-operators method for pde discretization: symbolic algorithms and realization / R. Liska, M. Yu. Shashkov, A. V. Solovjov // Mathematics and Computers in Simulation. — 1994. — Vol. 35.-Pp. 173-183.

142. Lun, С. C. Non-steady motion of a slender body in a compressible fluid / С. C. Lun, E. Reissner, H. S. Tslen // Journal of Mathematic and Physics. 1948. - Vol. 27, no. 3.

143. Macaulay, F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems / F. S. Macaulay // Proc. London Math. Soc. — 1927,- Vol. 26.- Pp. 531-555.

144. Mall, D. On the relation between Grobner and Pommaret bases / D. Mall // AAECC. 1998. - no. 9. - Pp. 117-123.

145. Mandache, A. M. The Grobner basis algorithm and subresultant theory / A. M. Mandache // Proceedings of the international symposium on Symbolic and algebraic computation.— 1994. — Pp. 123-128.

146. Manizini, M. Numerical methods for ID compressible flows, http: //www.crs4.it/HTML/intbook/metapage.html.

147. Mansfield, E. Application of the differential algebra package diffgrob2 to classical symmetries of differential equations / E. Mansfield, P. A. Clarkson // Journal of Symbolic Computation. — 1997. Vol. 5-6, no. 23. - Pp. 517-533.

148. Marotta, V. Involutive division and involutive autoreduction / V. Marotta, G. Carra-Ferro // Proceedings of the Rhein Workshop on Computer Algebra / Ed. by H. Kredel, W. M. Seiler. — University of Mannheim, 2002.- Pp. 115-124.

149. Melenk, H. On grobner bases computation on a supercomputer using REDUCE: Technical Report Preprint SC 88-2 / H. Melenk, H. M. Moller, W. Neun. — Berlin, Germany: Konrad-Zuse-Zentrum ftir Informationstechnik Berlin ZIB, 1988.

150. Mesyanzhin, A. V. On a method for finding the roots of an ideal / A. V. Mesyanzhin // Programming and Computer Software. — 2005. — Vol. 31, no. 2,- Pp. 97-102.

151. Mishra, B. Algorithmic Algebra / B. Mishra. — Springer-Verlag, New York, 1993.

152. Moller, H. M. Grobner bases computation using syzygies / H. M. Moller, T. Mora, C. Traverso. 1992,- Pp. 320-328.

153. Monagan, Michael B. Maple 10 Programming Guide / Michael B. Monagan, Keith O. Geddes, K. Michael Heal, George Labahn, Stefan M. Vorkoetter, James McCarron, Paul DeMarco. — Waterloo ON, Canada: Maplesoft, 2005.

154. Mora, T. An introduction to commutative and non-commutative

155. Mansfield, E. Application of the differential algebra package diffgrob2 to classical symmetries of differential equations / E. Mansfield, P. A. Clarkson // Journal of Symbolic Computation. — 1997. Vol. 5-6, no. 23. - Pp. 517-533.

156. Marotta, V. Involutive division and involutive autoreduction / V. Marotta, G. Carra-Ferro // Proceedings of the Rhein Workshop on Computer Algebra / Ed. by H. Kredel, W. M. Seiler. — University of Mannheim, 2002. Pp. 115-124.

157. Melenk, H. On grobner bases computation on a supercomputer using REDUCE: Technical Report Preprint SC 88-2 / H. Melenk, H. M. Moller, W. Neun. — Berlin, Germany: Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin ZIB, 1988.

158. Mesyanzhin, A. V. On a method for finding the roots of an ideal / A. V. Mesyanzhin // Programming and Computer Software. — 2005.^ Vol. 31, no. 2,- Pp. 97-102.

159. Mishra, B. Algorithmic Algebra / B. Mishra. — Springer-Verlag, New York, 1993.

160. Moller, H. M. Grobner bases computation using syzygies / H. M. Moller, T. Mora, C. Traverso. 1992.- Pp. 320-328.

161. Monagan, Michael B. Maple 10 Programming Guide / Michael B. Monagan, Keith O. Geddes, K. Michael Heal, George Labahn, Stefan M. Vorkoetter, James McCarron, Paul DeMarco. — Waterloo ON, Canada: Maplesoft, 2005.

162. Mora, T. An introduction to commutative and non-commutative

163. Grobner bases / Т. Mora // Theoretical Computer Science. — 1994. — Vol. 134,- Pp. 131-173.

164. Morton, K. W. Numerical solution of partial differential equations / K. W. Morton, D. F. Mayers. —. Cambridge, Cambridge University Press.

165. Ollivier, F. Standard Bases of Differential Ideals / F. Ollivier. 1990. — Vol. 508 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 304-321.

166. Plesken, W. Janet's approach to presentations and resolutions for polynomials and linear pdes / W. Plesken, D. Robertz // Archiv der Mathematik. 2005. - Vol. 84, no. 1. - Pp. 22-37.

167. Pommaret, J. F. Partial Differential Equations and Group Theory. New Perspectives for Applications / J. F. Pommaret. — Kluwer, Dordrecht, 1994.

168. Pottier, L. Grobner bases of toric ideals: Tech. Rep. 2224 / L. Pottier: Rapport de recherche, INRIA Sophia Antipolis, 1997.

169. Quarteroni, A. Numerical approximation of partial differential equations / A. Quarteroni, A. Valli. — Berlin, Springer-Verlag, 1997.

170. Reid, G. J. Algorithms for reducing a system of pdes to standard form, determining the dimension of its solution space and calculating its taylor series solution / G. J. Reid // Journal of Applied Mathematics. — 1991.- Vol. 21.- Pp. 293-318.

171. Reid, G. J. Finding abstract lie symmetry algebras of differential equations without integrating determaning equations / G. J. Reid // Journal of Applied Mathematics. — 1991. — no. 2. — Pp. 319-340.

172. Reid, G. J. Reduction of systems of nonlinear partial differential equations to simplified involutive forms / G. J. Reid, A. D. Wittkopf, A. Boulton // Journal of Applied Mathematics. — 1996. — Vol. 7. — Pp. 604-635.

173. Richtmyer, R. D. Difference methods for initial-value problems / R. D. Richtmyer, K. W. Morton. New York, John Wiley & Sons, 1976. — P. 238.— reprinted Krieger Publishing Company, New York, 1994.

174. Riquier., C. Les Systemes d'Equations aux Derivees Partielles / C. Riquier. — Gauthier-Villars, Paris, 1910.

175. Rosenfeld, A. Specializations in differential algebra / A. Rosenfeld // Transaction of the American Mathematical Society. — 1959. — Vol. 90. Pp. 394-407.

176. Rust, C. J. Rankings of partial derivatives / C. J. Rust, G. J. Reid // Proceedings of ISSAC / Ed. by W. Kuchlin. ACM Press, 1997. — Pp. 9-16.

177. Saha, S. The birth of period three / S. Saha, H. S. Steven // Mathematics Magazine. — 1995. — Vol. 68, no. 1. — Pp. 42-47.

178. Saito, M. Grobner deformations of hypergeometric differential equations / M. Saito, B. Sturmfels, N. Takayama. — Springer-Verlag, New York, 1999.

179. Samarskii, A. A. The theory of difference schemes / A. A. Samarskii. — New York, Marcel Dekker, 2001.

180. Schii, J. Algorithmic methods for lie pseudogroups / J. Schii, W. M. Seiler, J. Calmet // Modern Group Analysis: Advanced Analyticaland Computational Methods in Mathematical Physics / Ed. by N. H. Ibragimov. — Kluwer, Dordrecht, 1993.— Pp. 337-344.

181. Schwarz, F. The riquier-janet theory and its application to nonlinear evolution equations . / F. Schwarz // Journal of Mathematical Physics.- 1984. Vol. 11D. - Pp. 243-251.

182. Schwarz, F. Janet bases of 2nd order ordinary differential equations / F. Schwarz // Proceedings of ISSAC / Ed. by Y. N. Lakshman. ACM Press, 1996.- Pp. 179-188.

183. Seller, W. M. On the Arbitrariness of the General Solution of an Involutive Partial Differential Equation / W. M. Seiler. — Montr'eal, Canada, 1993,- Preprint CRM-1873, Montr'eal.

184. Seiler, W. M. Analysis and Application of the Formal Theory of Partial Differential Equations: Ph.D. thesis / Lancaster University. — 1994.

185. Seiler, W. M. On the arbitrariness of the general solution of an involutive partial differential equation / W. M. Seiler // Journal of Mathematical Physics. 1994. - Vol. 35. — Pp. 486-498.

186. Seiler, W. M. Applying axiom to partial differential equations: Tech. Rep. Internal Report 95-17 / W. M. Seiler: 1995.

187. Seiler, W. M. A combinatorial approach to involution and ^-regularity I: Involutive bases in polynomial algebras of solvable type /

188. W. M. Seiler. — Mannheim, Germany, 2002. — Preprint Universit at Mannheim.

189. Seiler, W. M. A combinatorial approach to involution and ^-regularity I: Structure analysis of polynomial modules with Pommaret bases / W. M. Seiler. — Mannheim, Germany, 2002. — Preprint Universit at Mannheim.

190. Seiler, W. M. Involution-the formal theory of differential equations and its applications in computer algebra and numerical analysis. — 2002.

191. Seiler, W. M. Involution analysis of the partial differential equations characterizing Hamiltonian vector fields / W. M. Seiler // Journal of Mathematical Physics. 2003,- Vol. 44, no. 3.- Pp. 1173-1182.

192. Seiler, W. M. Involution and constrained dynamics / W. M. Seiler, R.W. Tucker // Journal of Mathematical Physics. — 1995. — Vol. 28. — Pp. 4431-4451.

193. Semenov, A. S. Slice and pair properties / A. S. Semenov //

194. Programming and Computer Software. — 2005.— Vol. 31, no. 2.— Pp. 81-86.

195. Semenov, A. S. On constructivity of involutive divisions / A. S. Semenov // Programming and Computer Software. — 2006. — Vol. 32, no. 2. Pp. 96-102.

196. Shemyakova, E. S. Involutive divisions, graphs / E. S. Shemyakova // Programming and Computer Software. — 2004. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 68-74.

197. Shemyakova, E. S. Involutive divisions for effective involutive algorithms / E. S. Shemyakova // Journal of Mathematical Sciences. — 2006. Vol. 135, no. 5. - Pp. 3425-3436.

198. Sit, W. Y. The ritt-kolchin theory for differential polynomials / W. Y. Sit // Differential Algebra and Related Topics. — World Scientific, 2001.

199. Strikwerda, J. C. Finite difference schemes and partial differential equations / J. C. Strikwerda. Philadelphia, SIAM, 2004.

200. Sylvester, J. J. A method of determining by mere inspection the derivatives from two equations of any degreev / J. J. Sylvester // Phil. Mag. 1840,-Vol. 16.-Pp. 132-135.

201. Thomas, J. Differential Systems / J. Thomas.— American Mathematical Society, New York, 1937.

202. Thomas, J. W. Numerical partial differential equations: finite difference methods / J. W. Thomas. — New York, Springer-Verlag, 1998.

203. Thomas, J. W. Numerical partial differential equations: conservationlaws and elliptic equations / J. W. Thomas. — New York, Springer-Verlag, 1999.

204. Topunov, V. L. Reducing systems of linear differential equations to a passive form / V. L. Topunov // Acta Appl. Math. — 1989. — Vol. 16. — Pp. 191-206.

205. Того, E. F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics / E. F. Того, — Berlin, Springer-Verlag, 1997.

206. Trari, Q.-N. Parallel computation and Grobner bases: An application for converting bases with the Grobner walk / Q.-N. Tran. — 1998.— Pp. 519-531.

207. V., Weispfenning. Differential term-orders / Weispfenning V. // International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. — Kiev: ACM press, 1993. Pp. 245-253.

208. Wu, W.-T. On the foundation of algebraic differential geometry / W.-T. Wu // System Sciences and Mathematical Sciences. — 1989. — Vol. 2. Pp. 289-312.

209. Yan, T. The geobucket data structure for polynomials / T. Yan // Journal of Symbolic Computation.— 1998.— Vol. 25, no. 3.— Pp. 285-294.

210. Zhang, S. An implementation for the algorithm of janet bases of linear differential ideals in the maple system / S. Zhang, Z. Li // Acta Mathematicae Applicatae Sinica.— 2006.— Vol. 20, no. 4.— Pp. 605-616.

211. Zharkov, A. Yu. Involutive Polynomial Bases: General Case / A. Yu. Zharkov. Preprint JINR E5-94-224, Dubna, 1994.- (Preprint E5-94-224, Joint Institute for Nuclear Research).

212. Zharkov, A. Yu. Private communication / A. Yu. Zharkov.

213. Zharkov, A. Yu. Solving zero-dimensional involutive systems / A. Yu. Zharkov // Algorithms in Algebraic Geometry and Applications / Ed. by L. Gonzales-Vega, T. Recio. — Vol. 143 of Progress in Mathematics. Birkhauser, Basel, 1996,- Pp. 389-399.

214. Zharkov, A. Yu. Algorithm for reducing systems of PDEs to involutive form / A. Yu. Zharkov, Yu. A. Blinkov // Proceeding of the International Workshop New Computer Techologics in Control Systems. — Pereslavl-Zalessky, Russia: 1994,— Pp. 90-92.

215. Zharkov, A. Yu. Involutive Bases of Zero-Dimensional Ideals / A. Yu. Zharkov, Yu. A. Blinkov. Preprint E5-94-318 JINR, Dubna, 1994. — P. 10.

216. Zharkov, A. Yu. Involution approach to investigating polynomial systems / A. Yu. Zharkov, Yu. A. Blinkov // Mathematics and Computers in Simulation. — 1996.— Vol. 42, no. 4-6.— Pp. 323-332.

217. Арайс, E. А. Реализация метода внешних форм Картана на ЭВМ /

218. Е. А Арайс, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко // Доклады АН СССР. — 1974. Т. 214, № 4. - С. 737-738.

219. Блинков, Ю. А. Деление и алгоритмы в задаче о принадлежности к идеалу / Ю. А. Блинков // Известия Саратовского университета. 2001.- Т. 1, № 2,- С. 156-167.

220. Блинков, Ю. А. Инволютивные базисы торических идеалов / Ю. А. Блинков // Математика-Механика. Сб. науч. тр.— 2001.— Т. 3.- С. 14-16.

221. Блинков, Ю. А. Метод сепарирующих мономов для инволютивных делений / Ю. А. Блинков // Программирование. — 2001.— Т. 27, № 3. С. 43-45.

222. Блинков, Ю. А. Вычисление базисов Жане торических идеалов / Ю. А. Блинков // Программирование. — 2002. — Т. 28, № 5. — С. 65-68.

223. Блинков, Ю. А. Специализированная система компьютерной алгебры GINV / Ю. А. Блинков, В. П. Гердт // Программирование. — 2008. Т. 34, № 2. - С. 67-80.

224. Блинков, Ю. А. Метод конечных объемов для уравнения высших порядков / Ю. А. Блинков, В. В. Мозжилкин // Аэродинамика: Нелинейные проблемы. Межвуз. науч. сб. — 1997.— Т. 14(17).— С. 141-149.