Электромагнитная индукция в сферических моделях Земли с трехмерным распределением электропроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Кувшинов, Алексей Вадимович

• Кувшинов, Алексей Вадимович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кувшинов, Алексей Вадимович

Введение.

Глава 1. Решение уравнений Максвелла в сферических моделях Земли с трехмерным распределением электропроводности.

1.1. Краткий обзор существующих решений

1.1.1. Решение на основе метода конечных разностей.

1.1.2. Решения на основе метода конечных элементов.

1.1.3. Решение на основе спектрального подхода.

1.2. Основные уравнения нового решения

1.3. Тензорные функции Грина радиально-симметричных сред

1.3.1. Построение явных выражений для элементов тензоров.

1.3.2. Построение явных выражений для скалярных функций Грина.

1.4. Выводы

Глава 2. Численные аспекты нового трехмерного решения.

2.1. Численные схемы интегрирования.

2.2. Расчет скалярных функций Грина.

2.3. Решение уравнения рассеяния на сетке.

2.4. Тестирование нового решения.

2.4.1. Модель с глубинным неоднородным тонким слоем

2.4.2. Модель с двумя неоднородными тонкими слоями

2.4.3. Модель с объемной глубинной аномалией.

2.4.4. Модель с объемной анизотропной аномалией.

2.4.5. Модель с поверхностным неоднородным слоем, возбуждаемая токовыми системами в океане

2.5. Численная схема сферического моделирования ЭМ полей на ограниченной площади (региональное моделирование)

2.6. Выводы.

• Глава 3. Исследование океанического эффекта в Sq полях и оценка поперечного сопротивления литосферы.

3.1. Краткий обзор состояния проблемы.

3.2. Модельные исследования в упрощенных моделях.

3.3. Модельные исследования в реалистической модели.

3.3.1. Модель Земли.

3.3.2. Модель источника

3.3.3. Результаты

3.4. Оценка поперечного сопротивления литосферы.

3.5. Выводы.

Глава 4. Исследование океанического эффекта в локальных геомагнитных

Dst откликах.

4.1. Краткий обзор состояния проблемы.

4.2. Модельные исследования.

4.3. Выводы.

Глава 5. Трехмерное моделирование, анализ и интерпретация электромагнитных Dst откликов, полученных с помощью сети подводных кабелей.

5.1. Краткий обзор состояния проблемы.

5.2. Экспериментальные данные.

5.3. Модельные исследования.

5.3.1. Модель с неоднородным океаном.

5.3.2. Модель с неоднородным океаном и неоднородной литосферой.

5.3.3. Модель с неоднородным океаном и неоднородной верхней мантией.

5.4. Квазиодномерная инверсия.

5.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электромагнитная индукция в сферических моделях Земли с трехмерным распределением электропроводности»

Актуальность исследований.

Одним из важных источников наших знаний о глубинном строении Земли являются длиннопериодные вариации электромагнитного поля, регистрируемые на мировой сети геомагнитных обсерваторий, на сети трансокеанических кабелей, а также на низкоорбитальных спутниках, изучающих магнитное поле Земли. Временной и пространственный анализ этих вариаций, построение передаточных функций на основе выполненного анализа, и, наконец, интерпретация этих функций с целью извлечения информации о геоэлектрических свойствах мантийных структур составляют предмет глубинного электромагнитного зондирования Земли (ГЭМЗ).

Традиционно, интерпретация данных ГЭМЗ выполняется в рамках радиально-симметричных геоэлектрических моделей Земли (см. напр. Файнберг, 1983; Дмитриев и др., 1986, 1987; Schultz & Larsen; 1987; Ротанова, 1989; Семенов, 1989; Lizarralde et al., 1995; Olsen, 1992; 1998; Зингер и др., 1993; Ротанова и др., 1994; Logvinov, 1998; Semenov, 1998; Schmucker, 1999; Neal et al., 2000; Ковтун и др., 2002). В то же время в последние годы появляется все больше свидетельств, указывающих на латеральную неоднородность мантии Земли (см. напр. Schultz & Larsen, 1990; Shearer & Masters, 1992; Polack et al., 1993; Ricard et al., 1993; Su et al., 1994; Ritzwoller & Lavely, 1995; Romanowicz, 1995; Tyburczy, 1996; Kenett et al., 1998; Neal et al., 2000). Кроме того, хорошо известно, что на поверхности Земли существует чрезвычайно неоднородный и контрастный проводящий объект - Мировой Океан, который искажает результаты интерпретации функций отклика на многих обсерваториях и в широком диапазоне периодов (см. напр. Fainberg et al., 1983; Kuvshinov et al., 1990; Takeda, 1993; Weiss & Everett, 1998; Tarits & Grammatica, 2000). Наконец, и неоднородности литосферы (зоны субдукции, "плюмы", региональные разломы, переменная толщина литосферы), а также возможная анизотропия электропроводности глубинных геоэлектрических структур (см. напр. Kellet, iMareshal & Kurtz, 1992; Vinnik et al., 1992; Eisel & Bahr, 1993; Bahr, 1997; Ekstrom & Dziewonsky, 1998; Bahr & Simpson, 2002) могут вносить вклад в аномальное поведение данных ГЭМЗ.

Таким образом, для адекватного и достоверного анализа и интерпретации данных ГЭМЗ, становится чрезвычайно актуальным переход от радиально-симметричных моделей Земли к моделям, содержащим трехмерные поверхностные и глубинные неоднородности, в общем случае, анизотропной электропроводности. В то же время, несмотря на настоятельную и очевидную насущность такого перехода, только сейчас, когда объем и качество экспериментальных данных, а также мощь вычислительной техники неизмеримо возросли, такая задача становится реально осуществимой. Базовым же блоком любой такой интерпретации должен быть точный и по возможности быстрый расчет ЭМ полей и откликов в» сферических моделях с произвольным трехмерным распределением электропроводности.

Цели исследований.

Настоящая работа преследовала две основные цели: 1) разработку системы математического моделирования ЭМ полей от гармонических источников в сферических моделях электропроводности Земли, содержащих произвольные трехмерные аномалии; 2) анализ и интерпретация данных ГЭМЗ в рамках трехмерных сферических моделей Земли. Особое внимание при этом планировалось уделить детальному и систематическому изучению океанического эффекта в ЭМ вариациях и откликах от источников в ионосфере и магнитосфере, или более конкретно в Sq вариациях и в Dst откликах.

Основные задачи исследований.

Для достижения первой поставленной цели - создания системы трехмерного моделирования ЭМ полей в сферических моделях электропроводности Земли - необходимо было решить следующие задачи.

1.1. Получить явные представления для электрических и магнитных тензорных функций Грина и для их сверток в средах с радиально-симметричным распределением проводимости. Разработать и программно реализовать алгоритмы их расчета.

1.2. Построить численное решение уравнений Максвелла в сферических моделях Земли, содержащих произвольные трехмерные неоднородности, погруженные в радиально-симметричный разрез.

1.3. Выполнить, на представительном ряде трехмерных моделей, тестирование созданного численного решения путем сравнения с результатами других методов математического моделирования.

1.4. Построить численный алгоритм моделирования ЭМ полей в сферических моделях на ограниченной территории, необходимый для детальных региональных исследований.

В ходе осуществления второй поставленной цели - анализа и интерпретации данных глубинного ЭМ зондирования в рамках трехмерных сферических моделей электропроводности Земли -планировалось решить следующие задачи.

2.1. На основе систематических модельных исследований в упрощенных и реалистических неоднородных моделях Земли ответить на следующие вопросы: а) насколько вариации чувствительны к изменениям поперечного сопротивления высокоомных слоев литосферы; б) в какой степени наблюдаемое аномальное поведение Бя вариаций на береговых обсерваториях определяется влиянием океана.

2.2. Разработать схему геомагнитного зондирования литосферы, на основе которой уточнить оценку ее поперечного сопротивления.

2.3. С помощью моделирований на детальных сетках количественно исследовать океанический эффект в откликах и ответить на вопрос: до каких периодов этот эффект является определяющим в аномальном поведении этих откликов на береговых обсерваториях.

2.4. На основе расчетов в моделях с неоднородным океаном выполнить анализ и интерпретацию данных ГЭМЗ, полученных на сети трансокеанических кабелей и береговых геомагнитных обсерваторий в северной части Тихого океана.

Методы исследований и фактический материал.

В зависимости от специфики решаемой задачи, расчет ЭМт полей в геоэлектрических моделях с трехмерным распределением электропроводности, может выполняться в декартовых, цилиндрических или сферических координатах. Например, к настоящему времени построено достаточно много трехмерных численных решений, позволяющих рассчитывать за разумное время и с требуемой точностью ЭМ поля в плоской геометрии (см. напр. Юдин, 1982; Спичак, 1983; Друскин и Книжнерман, 1984; Dmitriev & Nesmeyanova, 1992; Mackie et al., 1993; Newman & Alumbaugh, 1995; Avdeev et al., 1997; Zhdanov & Fang, 1997; Varentsov, 1999; Druskin et al., 1999; Singer et al., 1999; и многие др.). Эти решения имеют чрезвычайно широкий спектр применения, начиная от задач индукционного каротажа скважин и заканчивая региональными ЭМ исследованиями. Однако при изучении ЭМ индукции в масштабах всей Земли (глобальной ЭМ индукции), возникает необходимость решать задачу в сферических координатах. И в этом случае существует явное отставание, по сравнению с плоским случаем, в количестве и качестве трехмерных численных решений.

Для построения численного решения прямой трехмерной задачи глобальной ЭМ индукции автором был выбран метод объемных интегральных уравнений в его новой, современной постановке. Являясь развитием модифицированного итерационно-диссипативного метода (МИДМ; Зингер, 1995), он основан на сведении исходных дифференциальных уравнений Максвелла к интегральному уравнению рассеяния специального вида, которое затем итерационно решается обобщенным методом сопряженных градиентов со сглаживанием невязки. Заметим, что уравнение рассеяния МИДМ обладает тем привлекательным свойством, что его интегральный оператор но построению хорошо обусловлен, что позволяет получать итерационное решение за весьма умеренное число итераций даже для очень контрастных сред.

Хорошо известно, что ключевым моментом любого решения, основанного на методе интегральных уравнений, является построение и расчет тензорных функций Грина. Для плоского случая эта нетривиальная задача успешно решалась в работах (Дмитриев, 1965; Табаровский, 1975; Weidelt, 1975). Для сферического же случая эта задача только сейчас получила свое решение (Kuvshinov et al., 2002а). Для вывода явных выражений для тензорных функций Грина радиально-симметричных сред использовался подход, основанный на разложении ЭМ полей по векторным сферическим функциям (см. напр. Morse & Feshbach, 1953; Зингер и Файнберг, 1985).

Тестирование построенного численного решения проводилось путем сравнения результатов, полученных в рамках данного решения, с результатами других математических методов ► (в частности, конечных разностей и конечных элементов), на ряде специально сконструированных в работе тестовых трехмерных моделей.

Построенные автором алгоритмы и программы нашли практическое применение (см. напр. Olsen, 1999; Kuvshinov et al., 1999, 2002b, 2003; Kuvshinov & Olsen, 2003a, б) при анализе и интерпретации обширного экспериментального материала, который, в частности, включал в себя: а) временные гармоники (на периодах 24, 12, 8 и 6 часов) Sq вариаций за 1964 год, полученные на 76 геомагнитных среднеширотных обсерваториях (материал был предоставлен автору Ульрихом Шмукером); б) геомагнитные Dst отклики в диапазоне периодов от 1 дня до месяца, полученные на мировой сети обсерваторий (данные были предоставлены автору Нильсом Ольсеном, Такао Коямой и Ульрихом Шмукером); в) электромагнитные отклики в диапазоне периодов от 0.5 до 7 дней, полученные с помощью 8 подводных кабелей, пересекающих Тихий океан (этот материал был предоставлен автору Такао Коямой).

Основные защищаемые положения.

1. Полученные в работе явные выражения для элементов тензорных функций Грина радиально-симметричных сред, а также разработанные алгоритмы их расчета впервые открывают возможность практического использования метода объемных интегральных уравнений для исследования глобальной электромагнитной индукции в трехмерно-неоднородной Земле.

2. Созданное в работе численное решение, основанное на быстром методе интегральных уравнений, позволяет с необходимой для практики глубинного электромагнитного зондирования детальностью и точностью рассчитывать электромагнитные поля от произвольных гармонических источников в сферических моделях Земли с трехмерным распределением электропроводности, в том числе и анизотропным.

3. Выполненные систематические модельные исследования океанического эффекта в Бя вариациях демонстрируют, что: (а) изменение поперечного сопротивления литосферы ведет к видимым изменениям поведения вертикальной компоненты вблизи берега; (б) аномальное поведение вертикальной компоненты на береговых обсерваториях практически целиком определяется влиянием океанов; (в) океанический эффект в тангенциальных компонентах со стороны суши пренебрежимо мал. Эти выводы приводят к новой схеме оценки поперечного сопротивления высокоомных слоев литосферы. Зондирование, выполненное с помощью новой схемы и с использованием обширного экспериментального материала, полученного на мировой сети

• геомагнитных обсерваторий, указывает на величину поперечного сопротивления литосферы в 3-108 - 109 Ом-м2.

4. Детальные расчеты океанического эффекта в откликах, и последующий анализ экспериментальных и модельных результатов, впервые обнаруживают, что аномальное поведение Эв! откликов, наблюдаемое на большинстве береговых геомагнитных обсерваторий вплоть до периодов в 20 суток объясняется влиянием океанов. Этот вывод означает, что достоверная интерпретация Ээ! откликов требует учета искажающего влияния океанов на существенно больших периодах, чем это считалось ранее.

5. Трехмерное моделирование, анализ и интерпретация всего комплекса электромагнитных данных, полученных с помощью сети подводных кабелей и геомагнитных обсерваторий, расположенных в северной части Тихого Океана, указывают на тот факт, что океаническая верхняя мантия на глубинах от 100 до 400 км сложена более высокоомными породами, чем это предполагалось в большинстве работ по глубинному зондированию в этом регионе.

Научная новизна работы. Личный вклад.

В работе* разработано новое, основанное на методе объемных интегральных уравнений, численное решение, позволяющее моделировать электромагнитные поля гармонических возбудителей в сферических моделях Земли с произвольным трехмерным распределением электропроводности, в том числе и анизотропным.

Для целей алгоритмической и программной реализации нового решения, впервые построены явные представления электрических и . магнитных тензорных функций Грина радиально-симметричных сред, а также разработаны эффективные алгоритмы и программы расчета этих функций и их сверток.

На основе нового численного решения создана система математического трехмерного моделирования, не имеющая аналогов в мире как по эффективности (точность, детальность и производительность расчетов), так и по широте охватываемых классов моделей и источников (произвольная геометрия неоднородностей, сильноконтрастные среды, анизотропия электропроводности, произвольные токовые системы в ионосфере и магнитосфере, в океане и на границе ядро/мантия). Важной особенностью созданной системы является возможность выполнять "сферическое" моделирование на ограниченных площадях (региональное моделирование). Данная опция необходима в случаях, когда требуется выполнить моделирование с высокой степенью детальности в конкретных регионах Земли, оставаясь в рамках сферической геометрии.

Предложена и обоснована схема зондирования высокоомной литосферы по геомагнитным данным. На основе этой схемы, и с использованием Бц вариаций, измеренных на мировой сети обсерваторий в 1964 году, получена новая оценка поперечного сопротивления литосферы.

Модельные исследования на детальных сетках впервые продемонстрировали, что влияние океанов в откликах прослеживается! вплоть до периодов в 20 дней. Показано, что согласие между модельными и экспериментальными результатами достигается только тогда, когда разрешение модели выбирается равным 1°х1°, а также когда в модель включается высокоомная литосфера.

Впервые выполнено моделирование ЭМ эффектов от поверхностных и глубинных структур в реалистических сферических моделях Земли, включающих в себя наряду с неоднородными океанами, неоднородные литосферу и мантию.

Впервые выполнено моделирование в трехмерной сферической модели Земли, допускающей анизотропию электропроводности.

Впервые проведен детальный и систематический анализ электромагнитных данных, полученных с помощью сети подводных кабелей, расположенных в северной части Тихого Океана. Показано, что существует явное рассогласование между экспериментальными и модельными откликами, когда при расчетах в качестве подстилающего радиально-симметричного разреза рассматриваются модели океанической верхней мантии из работ (Lizarralde et al., 1995; Semenov, 1998; Neal et al., 2000). Наши модельные исследования и переинтерпретация всего комплекса экспериментальных данных указывают на то, что верхняя мантия под Тихим Океаном в диапазоне глубин до 400 км сложена более высокоомными породами, чем это предполагалось в упомянутых работах.

Представленные в работе результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.

Практическая значимость работы.

Создан эффективный инструмент моделирования гармонических ЭМ полей в трехмерно-неоднородных сферических моделях Земли.

Разработанная система моделирования передана в 5 МГУ им. М. В. Ломоносова и в Институт геофизики HAH (Украина). Система моделирования также используется: в Центре космических исследований (DSRC) при Университете г. Копенгагена (Дания) для оценки эффектов от поверхностных и глубинных неоднородностей в спутниковых и обсерваторских геомагнитных полях (Olsen, 1999; Kuvshinov et al., 2002a,б; Kuvshinov & Olsen, 2003a, б); в Геофизическом центре г. Потсдам (Германия) для оценки эффектов- от полей течений и приливных компонент в геомагнитных полях, наблюдаемых со спутника; в Центре изучения океанической полусферы (ОНРС) Института изучения землетрясений Токийского Университета (Япония), а также в Центре морских научных исследований (JAMSTEC, Япония) для учета/снятия океанического эффекта при интерпретации данных, полученных с помощью подводных трансокеанических кабелей, а также для расчета и анализа ЭМ эффектов в функциях отклика от гипотетических неоднородностей в литосфере и мантии (Kuvshinov et al., 1996; 2003).

Электромагнитные поля, рассчитанные для тестовых трехмерных моделей, используются в качестве "эталонных" при тестировании

• альтернативных численных решений (Everett & Schultz, 1996; Uyeshima &

Schultz, 2000; Yoshimura & Oshiman, 2002).

В работе показано, что для большинства береговых обсерваторий вклад океана в картину аномального поведения Dst откликов является определяющим вплоть до периодов в 20 суток (Kuvshinov et al., 20026). Этот результат является крайне важным для практики ГЭМЗ, поскольку означает, что адекватная интерпретация Dst откликов требует учета искажающего влияния океанов даже на очень больших периодах.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках плановых исследований Института геоэлектромагнитных исследований (Гос. темы № 019600006163 и № 01.2.00104220), а также в рамках проектов, поддержанных Международным Научным Фондом (проект № RIG000), Международным Научным Фондом и Правительством Российской Федерации (проект № RIG300), Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проекты № 93-05-8061 и № 97-05-65725) и Европейским Фондом ИНТАС (проект № 97-157).

Основные результаты исследований по теме данной работы представлялись на: 12, 13, 14, 15 и 16-ом Международных Симпозиумах по электромагнитной индукции в Земле (Брест, Франция, 1994; Онума, Япония, 1996; Синая, Румыния, 1998; Кабо-Фрио, Бразилия, 2000; Санта-Фе, США, 2002), 20, 21, 22 и 24-й Генеральных Ассамблеях Международного Союза Геодезии и Геофизики (Боулдер, США, 1995; Уппсала, Швеция, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999; Саппоро, Япония, 2003), 2-ой Международной Конференции по трехмерной геоэлектрике (Солт-Лейк-Сити, США, 1999), 25 Генеральной Ассамблеи Европейского Геофизического Общества (Ницца, Франция, 2000), на семинарах в ИГЭМИ РАН, кафедры геофизики МГУ и НИИФ СПбГУ, а также на семинарах и лекциях в Университетах гг. Геттингена и Брауншвейга (Германия), Копенгагена (Дания), Токио и Киото (Япония), в

• Геомагнитной обсерватории Какиока (Япония), в Геофизическом центре г.

Потсдам (Германия).

Благодарности.

Автор выражает благодарность Эдуарду Б. Файнбергу, который в 1980 году заинтересовал автора проблемой глубинного ЭМ зондирования Земли и тем самым определил один из основных предметов его научных интересов. Глубокую благодарность автор выражает Борису Ш. Зингеру, которого он считает своим учителем, и в тесном сотрудничестве с которым автор работал с 1980 по 1991 год.

Особую и искреннюю благодарность автор выражает Дмитрию Б. Авдееву, с которым, начиная с 1991 года и по сей день, автор чрезвычайно плотно работает над разработкой и анализом численных схем решения уравнений Максвелла в трехмерных средах, а также над созданием систем трехмерного моделирования ЭМ откликов применительно к различным задачам геоэлектрики.

Автор глубоко признателен Олегу В. Панкратову за возможность вдумчивой и неизменно доброжелательной совместной работы. Многие теоретически нетривиальные вопросы прояснялись для автора именно в результате совместной работы с Олегом В. Панкратовым.

Теплое чувство признательности за поддержку, помощь и участие автор испытывает к Ульриху Шмукеру. Во многом, благодаря его мягкому, но постоянному "давлению", а также интересу к результатам проводимых автором исследований, изучение глобальной ЭМ индукции в неоднородной Земле не прерывалась даже тогда, когда автор был занят в основном прикладными работами.

Отдельную благодарность автор выражает Хисаши Утаде, который предоставил автору возможность в качестве приглашенного профессора Токийского университета выполнить работу по анализу и интерпретации "кабельных" данных.

Автор также благодарит Бориса С. Светова - за поддержку и неизменно доброжелательное отношение к работе, Нильса Ольсена за сотрудничество при исследовании океанического эффекта в откликах и за предоставление экспериментальных данных, Такао Кояму - за предоставление экспериментальных данных, и за сотрудничество при анализе и интерпретации этих данных, Марка Эверетга, Макото Уешиму, Риоко Йошимуру, Петра М. Ахметьева, Игоря В. Егорова, Роберта Тайлера и Стефана Мауса за совместную работу при тестировании системы "сферического" трехмерного моделирования.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Кувшинов, Алексей Вадимович

5.5. Выводы

Мы выполнили детальные ЗЛ) расчеты в модели с реалистическим неоднородным поверхностным слоем, чтобы понять, какая одномерная модель океанической верхней мантии под северной частью Тихого Океана из целого ряда одномерных разрезов, построенных в последние годы, находится в наилучшем согласии со всем доступным объемом экспериментальных откликов, полученных в изучаемом районе. Наш основной вывод из выполненных модельных исследований состоит в следующем. Существует явное рассогласование между экспериментальными и модельными С откликами, когда при расчетах в качестве подстилающего радиально-симметричного разреза рассматриваются модели океанической верхней мантии из работ (ГЛгаггаЫе еХ а1.,1995; Бетепоу, 1998; Кеа1 е! а1., 2000). Наши З-В модельные исследования и переинтерпретация всего комплекса экспериментальных данных указывают на то, что верхняя мантия под Тихим Океаном в диапазоне глубин до 400 км сложена более высокоомными породами, чем это предполагалось ранее. В ходе модельных исследований было обнаружено аномальное поведение С откликов на обсерватории Гонолулу, которое нам не удалось объяснить влиянием океана.

Наконец, в этой главе нами была сделана попытка улучшить согласие между модельными и экспериментальными результатами, рассмотрев более сложные 3-Э сферические модели, включающие наряду с неоднородным поверхностным слоем, неоднородную литосферу и верхнюю мантию. Однако, усложнение модели привело к весьма незначительным изменениям в поведении модельных С откликов.

Заключение

Подводя итог работе, сформулируем основные результаты и выводы выполненных исследований.

1. Построено новое численное решение уравнений Максвелла в сферических моделях Земли с трехмерным распределением электропроводности, в том числе и анизотропным. Построенное решение основано на современной реализации метода объемных интегральных уравнений и не имеет аналогов в мире как по эффективности (точность, детальность и производительность расчетов), так и по широте охватываемых классов моделей и источников (произвольная геометрия неоднородностей, сильноконтрастные среды, анизотропия электропроводности, токовые системы источника произвольной геометрии и положения). Важной особенностью созданного решения является возможность выполнять "сферическое" моделирование на ограниченных площадях (региональное моделирование). Данная "опция" необходима в тех случаях, когда требуется выполнить моделирование с высокой степенью детальности в конкретных регионах Земли.

2. Создание нового численного решения стало возможным благодаря получению явных выражений для тензорных функций Грина радиально-симметричных сред, а также разработке эффективных алгоритмов и программ аккуратного расчета этих функций и их сверток.

3. На основе модельных исследований в рамках созданной системы моделирования был систематически изучен океанический эффект в Sq вариациях. Наши модельные исследования продемонстрировали, что: (а) изменение поперечного сопротивления литосферы в модели ведет к видимым изменениям поведения вертикальной компоненты вблизи берега; (б) использование модели с неоднородными континетами и океанами позволяет объяснить аномальное поведение вертикальной компоненты вариаций, 2, на береговых обсерваториях влиянием океанов; (в) вертикальная компонента Sq вариаций практически повсеместно искажена влиянием океана; только Евразия оказывается достаточно "большой", чтобы 2 достигало в ее центральной части своего локально-нормального значения; (г) океанический эффект в тангенциальных компонентах Бя вариаций со стороны суши пренебрежимо мал.

4. По результатам модельных исследований океанического эффекта предложена схема зондирования высокоомной литосферы, основанная на анализе вертикальной компоненты Эя вариаций на береговых обсерваториях. Применение этой схемы позволило сделать вывод о том, что поперечное сопротивление литосферы, Л15 составляет 3-Ю8 - 109 Ом-м2. Примечательно, что эта оценка оказалась воспроизводимой для всех четырех временных гармоник Бя и для большинства рассмотренных наборов в работе данных.

5. Модельные исследования на детальных сетках впервые продемонстрировали, что влияние океанов в откликах прослеживается вплоть до периодов в 20 дней. Показано, что согласие между модельными и экспериментальными результатами достигается только тогда, когда разрешение модели выбирается равным 1°х1°, а также когда в модель включается высокоомная литосфера. Этот результат является крайне важным для практики глубинных геомагнитных зондирований, т. к. он означает, что количественная интерпретации магнитовариационных данных может потребовать учета искажающего влияния океанов даже на периодах в десятки суток.

6. Впервые выполнено моделирование ЭМ эффектов от поверхностных и глубинных структур в реалистических сферических моделях Земли, включающих в себя наряду с неоднородными океанами, неоднородные литосферу и мантию.

7. Впервые проведен детальный и систематический анализ электромагнитных данных, полученных с помощью сети подводных кабелей, расположенных в северной части Тихого Океана. Показано, что существует явное рассогласование между экспериментальными и модельными откликами, когда при расчетах в качестве подстилающего радиально-симметричного разреза рассматриваются модели океанической верхней мантии из работ (Lizarralde et al., 1995; Semenov, 1998; Neal et al., 2000). Трехмерные модельные исследования и переинтерпретация всего комплекса экспериментальных данных указывают на то, что верхняя мантия под Тихим Океаном в диапазоне глубин до 400 км сложена намного более высокоомными породами, чем это предполагалось в вышеупомянутых работах.

Наконец, сделаем два важных замечания. Первое касается области применимости созданного решения. Очевидно, что разработанное решение может быть использовано не только для моделирования ЭМ полей от "внешних" источников (Sq и Dst источники в ионосфере и магнитосфере) и поверхностных источников (токи от движения водных масс в постоянном магнитном поле Земли), но и для моделирования полей от глубинных источников (токи на границе ядро/мантия), а также от источников искусственного происхождения. Кроме того, электромагнитные поля, рассчитанные в рамках трехмерных сферических моделей Земли могут использоваться в качестве нормальных при моделировании (в плоской геометрии) магнитотеллурических откликов от региональных и локальных трехмерных структур.

Второе замечание относится к перспективам дальнейших исследований в области глубинного электромагнитного зондирования неоднородной Земли. Как известно, в последние годы появился новый, мощный источник высокоточных геомагнитных данных - долговременные спутниковые измерения. Во многих работах (см. напр. Ваньян и др. 1975; Didwall, 1984; Ораевский и др., 1992; 1993; Ротанова и др., 1994; Olsen, 1999; Constable & Constable, 2003) была продемонстрирована возможность использования спутниковых измерений для глобального и регионального геомагнитного зондирования Земли. Главное достоинство спутниковых наблюдений по сравнению с традиционными, наземными -принципиальная возможность получать временные ряды компонент геомагнитного поля, а, значит, и строить функции отклика, на равномерной сети наблюдений (Кувшинов и др., 1998). Важно отметить, что одновременное осуществление нескольких спутниковых миссий ((ЖЗТЕБ, ЭАС-С, СНАМР), а также комплексирование спутниковых и наземных измерений, открывает дополнительные возможности для надежного определения этих функций. Построение же пространственного распределения функций отклика на плотной и регулярной сети наблюдений делает реально осуществимой задачу обнаружения и картирования глубинных неоднородных геоэлектрических структур Земли. Для демонстрации этого факта в работе были выполнены расчеты (см. приложение 8) в трехмерной модели Земли, содержащей наряду с поверхностными неоднородностями глубинные локальные структуры (плюмы и зону субдукции), а также глубинную региональную аномалию (проводник под Тихоокеанской плитой). Расчеты показали, что по крайней мере глубинная региональная аномалия отчетливо видна в "спутниковых" функциях отклика. Таким образом, построение "спутниковых" откликов в максимально широком диапазоне периодов, на максимально подробных сетках, и последующая трехмерная интерпретация этих данных может придать "новое дыхание" глубинным ЭМ исследованиям неоднородной Земли.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кувшинов, Алексей Вадимович, 2004 год

1. Авдеев Д. Б., Кувшинов А. В., Эпова К. А. Трехмерное моделирование диаграмм электромагнитного каротажа в наклонно-горизонтальных скважинах // Физика Земли. 2002. № 11. С. 68-74.

2. Ахметьев П. Аналитическое аппроксимационное решение уравнений Максвелла для трехмерной модели мантии Земли. Геомагнетизм и аэрономия. 2003, принята к печати.

3. Ваньян JI. JL, Файнберг Э.Б., Генис Н.Е. Глубинное зондирование Земли по наземным и спутниковым измерениям магнитного поля экваториальной электроструи // Геомагнетизм и аэрономия. 1975. Т.15. № 1.С. 138-143.

4. Ваньян JT.JL, Палыпин H.A., Семенов В.Ю., Уинч Д. Глубинное магнитотеллурическое зондирование с использованием подводного кабеля Австралия-Новая Зеландия. 1. Анализ экспериментальных данных // Физика Земли. 1994. № 9. С. 94-95.

5. Ваньян JI.JI., Палыпин H.A., Репин И.А. Глубинное магнитотеллурическое зондирование с использованием подводного кабеля Австралия-Новая Зеландия. 2. Интерпретация // Физика Земли. 1995. № 5. С. 53-57.

6. Барашков A.C., Дмитриев В.И. Решение обратных задач в классе квазиодномерных функций // Методы математического моделирования, автоматизации обработки наблюдений и их приложения. М.: Изд-во МГУ. 1986. С. 160-175.

7. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация // М.: Мир. 1985. 509 с.

8. Дмитриев В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. М: МГУ. 1965. С. 386-397.

9. Дмитриев В. И. Электромагнитные поля в неоднородных средах // М.:МГУ, 1969. 131 с.

10. Дмитриев В.И., Ротанова Н.М., Захарова O.K., Балыкина О.Н. Модель глубинной электропроводности по обобщенным результатамглобального зондирования // Геомагнетизм и аэрономия. 1986. Т. 26. С. 299-305.

11. Дмитриев, В.И., O.K. Захарова, и Н.М. Ротанова. Совместная геоэлектрическая интерпретация амплитудных и фазовых характеристик глобального зондирования // Геомагнетизм и Аэрономия. 1987. 27. С. 994-1000.

12. Друскин В. И., Книжнерман JT. А. Спектральный дифференциально-разностный метод численного решения трехмерных нестационарных задач электроразведки // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. №8. С. 63-74.

13. Егоров И. В. Численное моделирование теллурических полей в многослойной сферической модели Земли // Физика Земли. 1998. № 3. С. 62-68.

14. Зингер Б.Ш., Файнберг Э.Б. Метод расчета электромагнитных полей в Мировом океане // Геомагнетизм и аэрономия. 1980. Т. 20. № 1. С. 106110.

15. Зингер Б.Ш., Файнберг Э.Б. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. // М: ИЗМИРАН. 1985. 235 с.

16. Зингер Б.Ш., Кувшинов A.B., Файнберг Э.Б. Определение поперечного сопротивления литосферы по данным глобального геомагнитного зондирования // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. № 5. С. 63-68.

17. Зингер Б. Ш., Кувшинов А. В., Мишина JL П., Файнберг Э. Б. Глобальное геомагнитное зондирование: новая методология и результаты // Физика Земли. 1993. № 1. С. 34-42.

18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике // М: Наука. 1973. 832 с.

19. Кувшинов A.B., Авдеев Д.Б., Панкратов О.В. О глубинном зондировании неоднородной Земли по магнитометрическим данным со спутника // Физика Земли. 1998. № 4. С. 67-73.

20. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980. 536 с.

21. Нуссбаумер Г. Д. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток// М.: Радио и связь. 1985. 248 с.

22. Ораевский В.Н., Ротанова Н.М., Дмитриев В.И., Семенов В.Ю., Бондарь Т.Н., Абрамова Д.Ю. Глобальное магнитовариационное зондирование Земли по данным спутника "МАГСАТ" // Геомагнетизм и аэрономия. 1992. Т.32. № 3. С. 60-66.

23. Ораевский В.Н., Ротанова Н.М., Дмитриев В.И., Бондарь Т.Н., Абрамова Д.Ю. Результаты глубинного магнитовариационного зондирования Земли по наземным данным и спутниковым измерениям ("МАГСАТ")// Геомагнетизм и аэрономия. 1993. Т.ЗЗ. № 2. С. 120-127.

24. Палыпин H.A. Донные глубинные магнитотеллурические зондирования в северо-восточной части Тихого океана // Тихоокеанская геология. 1988. С. 96-99.

25. Ротанова H. М. Глубинные электромагнитные исследования Земли // М.: ИЗМИРАН. 1989. 228 С.

26. Ротанова Н.М., Ораевский В.Н., Семенов В.Ю., Абрамова Д.Ю. Региональное магнитовариационное зондирование Земли по даннымспутника "МАГСАТ" // Геомагнетизм и аэрономия. 1994. Т.34. № 4. С. 123-129.

27. Рокитянский И.И. Индукционные зондирования Земли // Киев: Наукова думка. 1981.296 с.

28. Семенов В.Ю. Оценка электропроводности мантии под континентами Северного полушария // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. № 3. С. 6067.

29. Спичак В. В. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных средах // Дис. на соиск. уч. ст. канд. ф.-м. наук. М. 1983.215 с.

30. Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.:Наука. 1979. 831 с.

31. Табаровский Л. А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики//Новосибирск: Наука, 1975. 139 с.

32. Файнберг Э.Б. Глобальное геомагнитное зондирование // Математическое моделирование электромагнитных полей // М. 1983. С. 79-121.

33. Файнберг Э.Б, Санин С.И. О влиянии Мирового океана на результаты глобального магнитовариационного зондирования // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 7. С. 61-67.

34. Юдин М. Н. Расчет магнитотеллурического поля методом сеток в трехмерно-неоднородных средах // Проблемы морских электромагнитных исследований/ М.: ИЗМИР АН, 1980. С. 96-101.

35. Ashour A. A. Electromagnetic induction in finite thin sheets // Quart. J. Mech. appl. Math. 1965. V. 18. N. 1. P. 73-86.

36. Ashour A. A. Electromagnetic induction in finite thin sheets having conductivity decreasing to zero at the edge with geomagnetic applications I // Geophys. J. R. astr. Soc. 1971a. V. 22. N. 4. P. 417-433.

37. Ashour A. A. Electromagnetic induction in finite thin sheets having conductivity decreasing to zero at the edge with geomagnetic applications II // Geophys. J. R. astr. Soc. 19716. V. 25. N. 5. P. 447-467.

38. Avdeev D. В., Kuvshinov A. V., Pankratov О. V., Newman G.A. Highperformance three-dimensional electromagnetic modeling using modified169

39. Chave A.D., Luther D.S., Lanzerotti L.J., Medford L.V. Geoelectric field measurements on a planetary scale: oceanographic and geophysical applications// Geophys. Res. Lett. 1992, V.19. P. 1411-1414.

40. Cox C. S.Electromagnetic induction in the oceans and inferences on the constitution of the earth // Geophys. Surv. 1980. V.4. P. 137-156.

41. Didwall E.M. The electrical conductivity of the upper mantle as estimated from satellite magnetic field data // J. Geophys. Res. 1984. V. 89. P. 537-542.

42. Dmitriev V. I., Nesmeyanova N. I. Integral equation method in three-dimensional problems of low-frequency electrodynamics // Computational mathematics and modeling. Plenum Pub. Corp., New York: 1992. V.3. P. 313-317.

43. Druskin V., Knizhnerman L., Lee P. A new spectral Lanczos decomposition method for induction modeling in arbitrary 3D geometry // Geophysics. 1999. V. 64. P. 701-706.

44. Egbert G.D., Booker J.R. Very long period magnetotellurics at Tucson observatory: Implications for mantle conductivity // J. Geophys. Res. 1992. V. 97. P. 15099-15112.

45. Egbert G.D., Booker J.R., Schultz A. Very long period magnetotellurics at Tucson observatory: Estimation of impedances // J. geophys. Res. 1992. V. 97. P. 15113-15128.

46. Egbert G.D., Erofeeva S. Efficient inverse modeling of barotropic ocean tides //J. of Oceanic and Atmosph. Technol. 2002. V. 19. P. 183-204.

47. Eisel M., Bahr K. Electrical anisotropy in the lower crust of British Columbia: an interpretation of magnetotelluric profile after tensor decomposition // J. Geomagn. Geoelectr. 1993. V. 45. P. 1115-1126.

48. Ekstrom G., Dziewonski A.M. The unique anisotropy of the Pacific upper mantle//Nature, 1998. V. 394. P.168-172.

49. Everett M. E., Schultz A. Geomagnetic induction in a heterogeneous sphere: azimutally symmetric test computations and the response of an undulating 660-km discontinuity//J. Geophys. Res. 1996. V. 101. P. 2765-2783.

50. Everett M. E., Constable S., Constable C. G. Effects of near-surface conductance on global satellite induction responses // Geophys. J. Int. 2003. V. 153. P. 277-286.

51. Fainberg E.B., Berdichevsky M. N. Deep magneto variational profiling with the method of derivatives // Acta Geodaet., Geophys/ et Montanist. Acad. Sci. Hung., 1977. V. 12. P. 377-391.

52. Fainberg E.B. Electromagnetic induction in the world ocean // Geophys. Surveys. 1980. V. 4. P. 157-171.

53. Fainberg E.B., Singer B.Sh., Kuvshinov A.V. Electromagnetic fields induced in the world's oceans and the spatial distribution of electrical conductivity functions // Phys. Earth Planet. Interiors. 1983. V. 32. P. 293-300.

54. Filloux J. H. Magnetotelluric soundings over the northeast Pacific may reveal spatial dependence of depth and conductance of the astenosphere // Earth Planet. Sci. Let. 1980. V. 46. P. 244-252.

55. Filloux J. H. Magnetotelluric experiment over the ROSE area // J. Geophys. Res. 1982. V. 87. P. 8364-8378.

56. Filloux J. H. Seafloor magnetotelluric soundings in the Mariana island arc area // In: The tectonic and geologic evolution of southeast Asian seas and islands, Part 2, Geophys. Monogr. Ser. 27. Washington D. C. 1983. P. 255-265.

57. Fujii I., Utada H. On geoelectric potential variations over a planetary scale // Memoirs of the Kakioka Magnetic Observatory, 2000. V. 29. P. 1-81.

58. Fujii I., Schultz A. The three-dimensional electromagnetic response of the Earth to ring current and auroral oval excitation // Geophys. J. Int. 2002. V.151. P. 689-709.

59. Grammatica N., Tarits P. Contribution at satellite altitude of electromagnetically induced anomalies arising from a three-dimensional heterogeneously conducting Earth, using Sq as an inducing source field // Geophys. J. Int. 2002. V. 151. P. 913-923.

60. Greenbaum A. Iterative methods for solving linear systems // SIAM, Philadelphia. 1997. 220 P.

61. Hewson-Brown R.C. Induction in arbitrarily shaped oceans III: oceans of finite conductivity// Geophys. J. R. astr. Soc. 1978a. V. 55. P. 645-654.

62. Hewson-Brown R.C., Kendall P.C. Some new ideas on induction in infinitely-conducting oceans of arbitrary shapes I // Geophys. J. R. astr. Soc. 1978a. V. 53. P. 431-444.

63. Hewson-Brown R.C., Kendall P.C. Induction in arbitrarily shaped oceans II: Edge correction for the case of infinite conductivity // J. Geomagn. Geoelect. 1978b. V. 32. Suppl. I. P. 51-58.

64. Hewson-Brown R.C. Induction in arbitrarily shaped oceans III: oceans of finite conductivity// Geophys. J. R. astr. Soc. 19786. V. 55. P. 645-654.

65. Hobbs B.A., Dawes G.J.K. Calculation of the effect of the oceans on geomagnetic variations with an application to the Sq-field during the IGY // Z. Geophys. 1979. V. 46. P. 273-289.

66. Hobbs B.A., Dawes G.J.K. The effect of a simple model of Pacific Ocean on Sq-variations//J. Geomagn. Geoelectr. 1980. V. 32. P. 59-66.

67. Hobbs B.A. A comparison of Sq analyses with model calculations // Geophys. J. R. astr. Soc. 1981. V. 66. P. 435-447.

68. Hutson V.C.L., Kendall P.C., Malin S.R.C. The modelling of oceans by spherical caps // Geophys. J. R. astr. Soc. 1973. V.33. P. 377-387.

69. Kellet R.L., Mareschal M., Kurtz R.D. A model of lower crustal electrical anisotropy for the Pontiac Subprovince of the Canadian Shield // Geophys. J. Int. 1992. V. 111. P. 141-150.

70. Kennet B.L.N., Widiyantoro S., van der Hilst R.D. Joint seismic tomography for bulk sound and shear wave speed in the Earth's mantle // J. Geophys. Res. 1998. V. 103. P. 12469-12493.

71. Koyama T. A study on the electrical conductivity of the mantle by voltage measurements of submarine cable // PhD dissertation. Tokyo. Japan. 2001. 130 p.

72. Koyama T., Shimizu H., Utada H. Possible effects of lateral heterogeneity in the D" layer on electromagnetic variations of core origin // Phys. Earth Planet. Interiors. 2002. V. 129. P. 99-116.

73. Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Singer B.Sh. The effect of the oceans and sedimentary cover on global magnetovariational field distribution // Pure and Applied Geophysics. 1990. V. 134. P. 533-540.

74. Kuvshinov A. V., Pankratov O. V. Electromagnetic induction in a spherical Earth with inhomogeneous conducting mantle: thin sheet forward problem // Abstracts of the 12th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth, Brest, France: 1994.

75. Kuvshinov A. V., Utada H., Avdeev D. B., Pankratov O. V., Fujii I. Numerical modelling the Japan-Guam and Philippines-Guam cable voltage responses // Abstracts of the 13th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth. Onuma, Japan: 1996.

76. Kuvshinov A. V., Avdeev D. B., Pankratov O. V. Electromagnetic induction in a spherical Earth with the surface and deep inhomogeneities // Abstracts of the 21st IUGG General Assembly. Uppsala, Sweden: 1997.

77. Kuvshinov A.V., Olsen N., Avdeev D.B., Pankratov O.V. Electromagnetic induction in the oceans and the anomalous behaviour of coastal C-responses for periods up to 20 days // Geophysical Research Letters. 2002b. V. 29. N. 12. P. 36-1 : 36-4.

78. Kuvshinov A. V., Utada H., Avdeev D. B., Koyama T. 3-D modelling and analysis of the Dst EM responses in the North Pacific Ocean region, revisited // Abstract of the 24nd General Assembly of IUGG. Sapporo, Japan: 2003.

79. Kuvshinov A. V., Olsen N. Modelling the coast effect of geomagnetic storms at ground and satellite altitude // Abstracts of 2nd CHAMP Science meeting. Potsdam. Germany: 2003a.

80. Mackie R.L., Madden T.R., Wannamaker P.E. Three-dimensional magnetotelluric modeling using difference equations Theory and comparisons to integral equation solutions // Geophysics. 1993. V. 58. P. 215226.

81. Martinec Z. Spectral-finite element approach to three-dimensional electromagnetic induction in a spherical Earth // Geophys. J. Int. 1999. V. 136. P. 229-250.

82. Medford L.V., Lanzerotti L.J., Kraus J.S., Maclennan C. G. Transatlantic earth potential variations during the March 1989 magnetic storm // Geophys. Res. Lett., 1989. V. 16. P. 1145-1148.

83. Morse P.M., Feshbach H. Methods of theoretical physics // New York, McGrow-Hill. 1953. 1978 p.

84. Neal S.L., Mackie R. L., Larsen J.C., Schultz A. Variations in the electrical conductivity of the upper mantle beneath North America and the Pacific Ocean // J. Geophys. Res. 2000. V.105. B4. P. 8229-8242.

85. Newman G. A., Alumbaugh D. L. Frequency-domain modeling of airborne electromagnetic responses using staggered finite differences // Geophysical Prospecting. 1995. V. 43. P. 1021-1042.

86. Oldenburg D.W., Ellis R.G. Inversion of geophysical data using an approximate inverse mapping//Geophys. J. Int. 1991. V. 105. P. 325-353.

87. Olsen N. Day-to-day C-response estimation for Sq from lcpd to 6 cpd using the Z:Y-method // J. Geomagnet. Geoelectr. 1992. V. 44. P. 433-447.

88. Olsen N. The electrical conductivity of the mantle beneath Europe derived from C-Responses from 3 h to 720 h // Geophys. J. Int. 1998. V. 133. P. 298-308.

89. Olsen N. Induction studies with satellite data // Surv. Geophys. 1999. V. 20. P. 309-340.

90. Olsen N. A model of the geomagnetic field and its secular variation for epoch 2000 estimated from Orsted data // Geophys. J. Int. 2002. V. 149. P. 454-462.

91. Pankratov O. V., Kuvshinov A.V., Avdeev D.B. High-performance three-dimensional electromagnetic modeling using modified Neumann series. Anisotropic case// J. Geomagn. Geoelectr. 1997. V. 49. P. 1541-1547.

92. Polack H.N, Hurter S.J., Johnson J.R. Heat flow from the Earth's interior: analysis of the global data set // Rev. Geophys. 1993. V. 31. P. 267-280.

93. Price A.T. The induction of electric currents in non-uniform thin sheets and shells // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1949. V. 2. P. 283-310.

94. Ritzwoller M.H., Lavely E. Three-dimensional seismic models of the Earth's mantle//Rev. Geophys. 1995. P. 1-66.

95. Ricard Y., Richards M., Litgow-Bertelloni C., Le Stunff C. A geodynamic model of mantle density inhomogeneity // J. Geophys. Res., 1993. V. 98. P. 21895-21909.

96. Roberts R. G. The long-period electromagnetic response of the earth // Geophys. J. R. astr. Soc. 1984. V. 78. P. 547-572.

97. Romanowicz B. A global tomographic and shear attenuation in the upper mantle //J. Geophys. Res. 1995. V. 100. P. 12375-12394.176

98. Takeda M. Electric currents in the ocean induced by model Dst field and their effects on the estimation of mantle conductivity// Geophys. J. Int. 1993. V. 114. P. 289-292.

99. Tarits P. Electromagnetic studies of global geodynamic processes // Surveys in

100. Geophysics. 1994. V. 15. P. 209-238. Tarits P., Grammatica N. Electromagnetic induction effects by the solar quiet magnetic field at satellite altitude // Geophys. Research Letters. 2000. V.27. P. 4009-4012.

101. Toh H., Schultz A., Uyeshima M., Fujii I. Three-dimensional modelling of the Earth's mantle // Expanded abstract of OHP/ION Joint Symposium on Long-Term Observations in the Oceans. Yamanashi Prefecture. Japan: 2001. P. 55-60.

102. Varentsov Iv. M. The selection of effective finite difference solvers in 3D electromagnetic modeling // Expanded abstracts of the 2nd International Symposium on 3D Electromagnetics. Salt Lake City, Utah: 1999. P. 201204.

103. Weidelt P. Electromagnetic induction in 3D structures // J. Geophys. 1975. V. 41. P. 85-109.

104. Weiss C. J., Everett M. E. Geomagnetic induction in a heterogeneous sphere: fully three-dimensional test computation and the response of a realistic distribution of oceans and continents // Geophys. J. Int. 1998. V. 135. P. 650662.

105. Zhang T.S., Schultz A. A 3-D perturbation solution for the EM induction problem in a spherical Earth the forward problem // Geophys. J. Int. 1992. V. 111. P. 319-334.