Экспериментальный поиск новых типов межнуклонных взаимодействий, выходящих за рамки Стандартной Модели, с помощью нейтронного рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шапиро Дмитрий Дмитриевич

• Шапиро Дмитрий Дмитриевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Шапиро Дмитрий Дмитриевич

Введение

Актуальность темы исследования

Аномальный магнитный момент мюона

Зарядовый радиус протона

Бериллиевая и гелиевая аномалии

Гравитация и проблема иерархии

Цели и задачи работы

Научная новизна

Апробация результатов

Положения, выносимые на защиту

Структура диссертации

1. Методы поиска новых взаимодействий

1.1. Спин-зависимые взаимодействия

1.1.1. Скаляр-псевдоскалярное взаимодействие

1.1.2. Вектор-аксиальное взаимодействие

1.1.3. Аксиально-аксиальное взаимодействие

1.2. Спин-независимые взаимодействия

2. Ограничение на межнуклонное взаимодействие аксиально-аксиального типа из данных нейтронной дифракции в нецентросимметричном кристалле

2.1. Распространение нейтрона в кристалле без центра симметрии

2.2. Эксперимент по прохождению нейтрона в кристалле без центра симметрии

3. Ограничения на межнуклонное взаимодействие скаляр-скалярного типа из данных порошковой дифракции нейтронов

3.1. Амплитуда рассеяния нейтрона на атоме

3.2. Интегральная интенсивность брэгговского отражения порошковой дифрактограммы

3.2.1. Индекс повторяемости

3.2.2. Фактор Лоренца

3.2.3. Коэффициент экстинкции

3.2.4. Поглощение

3.2.5. Фактор Дебая-Уоллера

3.2.6. Несовершенство прибора

3.2.7. Систематический сдвиг угла

3.3. Дифракция нейтронов на порошке кремния

3.4. Эксперимент по дифракции нейтронов на порошке кремния

3.5. Обработка экспериментальных данных

3.6. Ограничения, полученные из калибровочных данных

3.7. Оценка систематической погрешности

Заключение

Благодарности

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальный поиск новых типов межнуклонных взаимодействий, выходящих за рамки Стандартной Модели, с помощью нейтронного рассеяния»

Введение Актуальность темы исследования

По современным представлениям физики в природе существует 4 типа фундаментальных взаимодействий: сильное, осуществляемое глюонами, слабое, осуществляемое и 1° бозонами, электромагнитное, осуществляемое

фотонами, и гравитационное с предполагаемыми переносчиками гравитонами. Первые 3 из них являются частью Стандартной Модели (СМ), которая вкупе с Общей Теорией Относительности (ОТО) описывает подавляющую часть результатов физических экспериментов. Однако, существует ряд явлений, которые СМ и ОТО не способны объяснить. Среди фундаментальных проблем, возможные решения которых предполагают введение новых взаимодействий, можно выделить проблемы темной материи [1] и темной энергии [2], сильную СР-проблему [3] и барионную асимметрию Вселенной [4]. Мы остановимся подробнее на некоторых экспериментальных данных, не находящих свое объяснение в рамках СМ и являющихся возможным указанием на существование новых сил.

Аномальный магнитный момент мюона

Магнитный момент ц частицы с полуцелым спином 5 может быть записан

как

Ч

М = д2т* (1)

где ч,т- заряд и масса частицы соответственно, д = 2(1 +а) - так называемый д-фактор. Теория Дирака предсказывает д = 2 [5], и отклонение а от этого значения означает существование аномального магнитного момента. Швингер вычислил радиационную поправку первого порядка к д для электрона в рамках квантовой электродинамики [6], получив ае = а/2п, где а - постоянная тонкой структуры. Этот результат согласуется с экспериментом [7]. Для мюона были вычислены радиационные поправки более высоких порядков, а также поправки за счёт обмена массивными частицами, входящими в СМ [8]. Результат составил

ам = 116 591 810(43) X 10

-11

В то же время в эксперименте 2006 года E821 в Брукхейвенской национальной лаборатории было получено значение

ам = 116 592 089 (63) X 10

11

отличающееся от теоретического на 3,6а [9]. Эксперимент Muon g-2, проведенный в FNAL в 2021 году, подтверждает этот результат

ам = 116 592 040 (54) X 10-11 с отклонением в 3,3а от предсказания СМ [10]. Совместно два указанных результата дают значение

ам = 116 592 061 (41) X 10-11,

что отличается от теории уже на 4,2а [10] (см. Рисунок 1). Одно из возможных объяснений аномалии состоит в существовании массивных частиц за рамками СМ, неучтённые поправки от которых вызывают это расхождение.

Рисунок 1 - Отклонение экспериментальных значений а„ от предсказания СМ [10]

Зарядовый радиус протона

Зарядовый радиус протона гр характеризует пространственное распределение его заряда. Существует 3 метода измерения гр: упругое рассеяние лептонов на протонах, спектроскопия атома водорода и спектроскопия мюонного водорода, т.е. водорода, у которого электрон заменён на мюон. Данные, полученные из первых двух методов, хорошо согласовывались между собой, на основании чего рекомендуемое значение комитета CODATA в 2006 году составляло [11]

гр = 0,8768 (69) фм.

Однако, в 2010 году были опубликованы результаты спектроскопии мюонного водорода, которые отличались на 5а от этого значения, давая [12]

гр = 0,84184 (67) фм.

В измерениях тем же методом, проведенных в 2013 году, было получено значение [13]

гр = 0,84087 (39) фм, что отличалось уже на 7,2а от нового рекомендованного значения CODATA за 2010 год [14]

гр = 0,8775 (51) фм.

Расхождение величин гр, полученных разными методами, в литературе получило название «загадка протонного радиуса» (см., например, [15 - 17]). Одно из возможных объяснений состоит в существовании взаимодействий, выходящих за рамки СМ и нарушающих лептонную универсальность [18 - 20].

Отметим, однако, что в 2019 году были повторно проведены эксперименты по упругому рассеянию электронов на протонах [21] и по спектроскопии атома водорода [22], результаты которых уже согласуются с данными спектроскопии мюонного водорода. Соответствующие значения составили

Гр = 0,831 (14) фм, Гр = 0,833 (10) фм.

Кроме того, в 2021 году с помощью новой методики были пересчитаны ранее несовпадающие результаты, полученные в разных экспериментах по электрон-протонному рассеянию [23]. Новые значения гр согласуются как между собой, так и со спектроскопическими данными, совместно давая [23]

Тр = 0,847 (8) фм.

Это позволяет говорить о прогрессе в решении «загадки протонного радиуса». Тем не менее, остаются не выясненными причины существовавшего расхождения ранних результатов (см. Рисунок 2).

Рисунок 2 - Значения зарядового радиуса протона тр, полученные разными методами [23]. Буквы на рисунке соответствуют ссылкам: A=[13], B=[12], C=[24], D=E=[25], F=[26], G=[27], ^[21], Н22], J=[28], ^[29]. Данные CODATA 2014 из [25]. SPM соответствует пересчитанным по новой методике результатам работ [21] и [27], опубликованным в статье [23]

Бериллиевая и гелиевая аномалии

Другим возможным свидетельством существования новых частиц за рамками СМ является аномальное увеличение числа электрон-позитронных пар, образующихся в результате переходов ядер 8Ве и 4Не из возбуждённого состояния в основное с испусканием у-кванта. Впервые этот эффект был обнаружен в 2016 году при бомбардировке протонами различных энергий ядер ^ с получением возбуждённого 8Ве [30]. Вместо последовательного уменьшения числа электрон-позитронных пар при увеличении их угла разлёта наблюдался пик при 140° (см. Рисунок 3). Авторы работы [30] связывают это с существованием новой частицы с массой

тс2 = 16,70 (61) МэВ, которая образуется в результате релаксации и впоследствии распадается на электрон-позитронную пару (см. Рисунок 5). Дальнейшие эксперименты этой же группы авторов по изучению такого же перехода на новой установке ограничили массу частицы величиной [31]

тс2 = 17,01 (26) МэВ.

Кроме того, описываемый эффект наблюдался при угле разлёта 115° в аналогичном эксперименте 2020 года с ядрами 4Не (см. Рисунок 4), что соответствует массе частицы [32]

тс2 = 16,98 (26) МэВ.

Описанные явления в литературе получили название бериллиевой и гелиевой аномалии, а гипотетическая частица стала именоваться частицей Х17, поскольку её предполагаемая масса близка к 17 МэВ (см., например [32, 33]).

В работе [34] была проанализирована возможность объяснения аномалии в рамках ядерной физики и показана несостоятельность такого объяснения. В других работах было предложено множество моделей, предлагающих описание наблюдаемого эффекта за счёт существования новых частиц [34 - 36].

Отметим, однако, что возможные кандидаты на роль Х17 не были обнаружены в эксперименте NA 48/2 по распаду я0 мезонов [37]. Кроме того,

аномалия была описана в рамках СМ в работе [38]. Тем не менее, проблема остаётся открытой и требует проведения новых экспериментов для её разрешения.

Рисунок 3 - Число событий рождения электрон-позитронных пар 1РСС(0) в зависимости от угла разлёта 0 в эксперименте с 8Ве при энергии протонов Ер = 1100 кэВ [32]. Чёрная линия - фон в виде полинома 4й степени. Зелёная линия - симуляция с учётом

вклада от новой частицы. Синие и красные точки - экспериментальные данные работ [30] и [31] соответственно

Рисунок 4 - Число событий рождения электрон-позитронных пар 1РСС в зависимости от угла разлёта 0 в эксперименте

с 4Не при энергии протонов Ер = 900 кэВ [32]. Черные точки - экспериментальный фон, измеренный вне области сигнала. Синяя линия - подгонка этого фона полиномом 4й степени. Зелёная линия - симуляция с учётом вклада от новой частицы. Красные точки -экспериментальные данные из работы [32]

Рисунок 5 - Схема получения возбуждённого состояния 8Ве* при бомбардировке ядра ^ протонами р+, его перехода в основное состояние 8Ве и образования новой частицы X с дальнейшим распадом на электрон-позитронную пару е- и е+ [34]

Гравитация и проблема иерархии

Необычайная малость гравитации по сравнению с остальными фундаментальными взаимодействиями составляет так называемую проблему калибровочной иерархии. Другая формулировка состоит в том, что планковская масса МР « 1019 ГэВ/с2 превосходит характерный масштаб ближайшего по силе электрослабого взаимодействия (массы 70 бозонов) Меш « 102 ГэВ/с2 приблизительно на 17 порядков [39 - 41]. Проблему можно интерпретировать и как большой разрыв между гравитацией и остальными взаимодействиями на графике зависимости силы взаимодействия от расстояния между частицами на масштабах < 10-19 м [42] (см. Рисунок 6). Возможные объяснения предсказывают существование как новых пространственных измерений [39, 43, 44], так и новых взаимодействий [45 - 47], выходящих за рамки СМ.

£

О.

□¡stance [m]

Рисунок 6 - Сила взаимодействия Force в зависимости от расстояния между взаимодействующими частицами Distance [42]. Сплошные линии соответствуют экспериментально проверенному диапазону, штриховые - диапазону, в которых взаимодействие экспериментально не наблюдалось, штрих-пунктирная линия - зависимость силы гравитации в случае существования 2х дополнительных пространственных измерений (см. работу [39]). Цвета линий обозначают взаимодействия: розовый - сильное, зелёный - слабое, синий - электромагнитное, оранжевый - гравитация, серый - объединение первых 3х на

масштабах < 10-19 м

Другая проблема иерархии связана с космологической постоянной. Для объяснения наблюдаемого экспоненциального расширения Вселенной космологическая постоянная должна принимать очень малое, но ненулевое значение, что подтверждается экспериментально [48, 49]. В то же время теоретический расчёт предсказывает величину, на 60 порядков превосходящую это значение [50, 51]. Предполагаемые объяснения находятся за рамками СМ и также предсказывают существование новых взаимодействий [50, 51].

Цели и задачи работы

Целью данной работы является получение ограничений на произведение констант связи нового межнуклонного взаимодействия:

1) Скаляр-скалярного типа при помощи порошковой дифракции нейтронов;

2) Аксиально-аксиального типа из данных нейтронной дифракции в нецентросимметричном кристалле.

Для достижения первой части цели необходимо решить следующие задачи:

1) Разработать идею метода;

2) Провести эксперимент по порошковой дифракции нейтронов;

3) Обработать полученные экспериментальные данные и получить из них ограничение на константу связи скаляр-скалярного взаимодействия;

4) Получить ограничения из существующих данных порошковой дифракции нейтронов;

5) Оценить систематическую погрешность и потенциально достижимую чувствительность метода.

Для достижения второй части цели необходимо решить следующие задачи:

1) Разработать идею метода;

2) Обработать существующие экспериментальные данные по прохождению нейтрона в кристалле без центра симметрии и получить из них ограничение на константу связи аксиально-аксиального взаимодействия.

Научная новизна

Методы, предложенные в данной работе, являются новыми и до этого не встречались в литературе. Полученные ограничения на скаляр-скалярное взаимодействие улучшают уже существующие в диапазоне радиусов взаимодействия X = 10-13 ^ 10-11 м. Ограничения на аксиально-аксиальное взаимодействие не имеют аналогов в диапазоне радиусов взаимодействия X = 10-12 ^ 10-6 м.

Апробация результатов

По результатам проделанной работы были сделаны следующие публикации (индексируются базами РИНЦ, Web of Science, Scopus):

• V.V. Voronin, I.A. Kuznetsov, D.D. Shapiro. Search for Novel Short-Range Forces between Elementary Particles in Neutron Scattering // JETP Letters. 2018. Vol. 107. P. 1

• V.V. Voronin, D.D. Shapiro. Search for New Internucleon Short-Range Interaction in Neutron Scattering // Journal of Surface Investigation. 2020. Vol. 14. S198-S200

• V.V. Voronin, V.V Fedorov, D.D. Shapiro. Constraint on a New Short-Range Spin—Orbit Interaction from Neutron Diffraction Data for a Noncentrosymmetric Crystal // JETP Letters. 2020. Vol. 112. P. 597

Сделаны доклады на конференциях:

• 2018 г.

— Конференция по использованию Рассеяния Нейтронов в Исследовании Конденсированных Сред РНИКС, Петергоф, устный доклад

— Particle Physics with Cold and Ultra-Cold Neutrons, Бад-Хоннеф, Германия, стендовый доклад

• 2019 г.

— 53-Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния, Санкт-Петербург, устный доклад

- European Conference on Neutron Scattering ECNS, Санкт-Петербург, устный доклад

- RACIRI Summer School, Светлогорск, стендовый доклад

- Physics of fundamental Symmetries and Interactions PSI, Филлиген, Швейцария, стендовый доклад

- Школа по Физике Поляризованных Нейтронов, Гатчина, устный доклад

• 2020 г.

- Зимняя Школа ПИЯФ, Рощино, стендовый доклад

- LXX International conference NUCLEUS-2020, online, стендовый доклад

• 2021 г.

- Конференция по использованию Рассеяния Нейтронов в Исследовании Конденсированных Сред РНИКС, Екатеринбург, устный доклад

Получен исследовательский грант РФФИ № 19-32-90202 (2019-2022 гг.). Положения, выносимые на защиту

Положениями, выносимыми на защиту, являются следующие:

1) Предложен новый метод поиска межнуклонного взаимодействия скаляр-скалярного типа;

2) Проведен анализ систематической погрешности и потенциально достижимой точности данного метода;

3) Из экспериментальных данных порошковой дифракции нейтронов получены ограничения, которые улучшают уже существующие в диапазоне радиусов взаимодействия X = 10-13^10-11м;

4) Предложен новый метод поиска межнуклонного взаимодействия аксиально-аксиального типа;

5) Из существующих экспериментальных данных по нейтронной дифракции в нецентросимметричном кристалле получены ограничения,

которые улучшают уже существующие в диапазоне радиусов взаимодействия X = 10-12 ^ 10-6 м.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы. Работа содержит 73 страниц, 21 рисунок и 6 таблиц. Список литературы включает 124 наименования.

• Во Введении описывается актуальность темы исследования, в частности, дан обзор некоторых экспериментальных результатов, не находящих своего объяснения в рамках СМ. Кроме того, сформулированы цели и задачи работы и положения, выносимые на защиту, а также обсуждаются научная новизна и апробация результатов;

• В Главе 1 дан обзор методов поиска новых взаимодействий;

• В Главе 2 описан метод установления ограничений на новое взаимодействие аксиально-аксиального типа из экспериментальных данных нейтронной дифракции в нецентросимметричном кристалле и представлены полученные результаты;

• В Главе 3 описан метод установления ограничений на новое взаимодействие скаляр-скалярного типа с помощью порошковой дифракции нейтронов, а также соответствующий эксперимент, обработка его результатов и оценка систематической погрешности и потенциально достижимой точности метода;

• В Заключении кратко описаны основные результаты и возможные перспективы исследования.

1. Методы поиска новых взаимодействий

Методы поиска новых взаимодействий сильно отличаются в зависимости от типа взаимодействия, а также от масштаба радиуса взаимодействия X = й/ Мс, где М - масса частицы-переносчика. В литературе обычно рассматриваются взаимодействия за счет обмена массивным или безмассовым бозоном со спином 0 или 1 [33, 52 - 55]. Диаграмма Фейнмана, соответствующая такому обмену между двумя фермионами 1 и 2 с массами ть т2 и спинами о^, о2 с передачей импульса , представлена на Рисунке 7.

Рисунок 7 - Диаграмма Фейнмана, соответствующая упругому рассеянию двух фермионов 1 и 2 за счёт обмена бозоном с передачей 4-импульса [53] В зависимости от спина и четности / р бозоны можно классифицировать как скалярные (/р = 0+), псевдоскалярные (/р = 0-), векторные (/р = 1+)и псевдовекторные (аксиальные) (/р = 1-) (см., например, [33]). В случае бесспинового бозона двум вершинам диаграммы с точностью до перестановки соответствуют 3 комбинации констант связи взаимодействия: скаляр-скалярная д|, скаляр-псевдоскалярная д5др и псевдоскаляр-псевдоскалярная др [53]. Если спин бозона равен 1, а его масса т ненулевая, то также возможны 3 комбинации: вектор-векторная дУ, вектор-псевдовекторная (вектор-аксиальная) дуд^ и псевдовектор-псевдовекторная (аксиально-аксиальная) д^ [53]. Здесь и далее предполагается, что константа связи не зависит от типа фермиона, т.е. д^ = д^ и = д2, где I = {5, Р, К,

Все возможные потенциалы, соответствующие взаимодействиям с описанными комбинациями констант связи, а также потенциалы, обусловленные

обменом безмассовым бозоном со спином 1, представлены в работах [52, 53]. Глобально эти потенциалы можно разделить на 2 типа: спин-зависимые и спин-независимые, т.е. зависящие или независящие от спина фермиона, участвующего во взаимодействии.

Различные экспериментальные методы получения ограничений на параметры новых сил - константу связи и радиус взаимодействия - имеют различную чувствительность в зависимости от типа потенциала, а также от масштаба радиуса взаимодействия Л. Среди этих методов важную роль играют измерения с помощью нейтронов. Нейтрон участвует во всех известных фундаментальных взаимодействиях, а также является электрически нейтральным, что делает его эффективным инструментом для поиска новых взаимодействий.

1.1. Спин-зависимые взаимодействия

Существование новой силы, зависящей от спина, может приводить к широкому кругу наблюдаемых эффектов. Из всех возможных типов спин-зависимых взаимодействий в экспериментах, как правило, получают ограничения на скаляр-псевдоскалярное .д^р, вектор-аксиальное .дуд^ и аксиально-аксиальное д^ взаимодействия.

1.1.1. Скаляр-псевдоскалярное взаимодействие

Потенциал скаляр-псевдоскалярного взаимодействия (г) в нерелятивистском приближении можно записать в виде [53]

/1 М\ е-Мг

^(Г) = + + ~2)' (2)

где г = г/г - единичный вектор, направленный от фермиона 2 к фермиону 1, г -расстояние между фермионами, (1^2) означает слагаемое, идентичное первому, с переставленными местами индексами 1 и 2. Здесь и далее в выражениях для потенциалов используется естественная система единиц Н = с = 1, Л = Н/Мс = 1/М.

Возможным переносчиком взаимодействия с таким потенциалом является гипотетическая частица аксион, предложенная для объяснения отсутствия

нарушения СР-четности в сильных взаимодействиях (сильная СР-проблема) [54 -58]. В значительной степени параметры аксиона ограничены космологическими и астрофизическими наблюдениями, однако, незакрытым диапазоном X = 10-6 ^ 10-1 м остаётся так называемое «аксионное окно» [59].

Наличие потенциала (г) может приводить к различным экспериментально наблюдаемым эффектам. Существенная часть этих эффектов измеряется при помощи нейтронов, в частности, ультрахолодных (УХН).

Несколько экспериментов основаны на свойстве УХН образовывать квантовые состояния в гравитационном потенциале Земли [60, 61]. Для наблюдения таких состояний пучок УХН направляют на плоское зеркало, над которым на некотором расстоянии расположен рассеиватель, и измеряют поток нейтронов в зависимости от этого расстояния [60]. Получаемое пространственное распределение чувствительно к возможному наличию потенциала К5р(г), что позволяет получить ограничения на его параметры [60]. Помимо наблюдения самих квантовых состояний УХН, можно изучать и переходы между ними. Для этого зеркала, в щель между которыми направляется пучок УХН, приводят в колебательное движение и измеряют поток нейтронов в зависимости от частоты осцилляций [61]. Потенциал К5р(г) должен приводить к энергетическому сдвигу квантовых состояний и, как следствие, к сдвигу резонансной частоты перехода между состояниями [61]. Отсутствие такого сдвига устанавливает ограничения на параметры потенциала К5р(г).

В другом эксперименте измерялось отношение частот Ларморовской прецессии УХН и атомов ртути 199^, заключенных в одном объеме симметричной камеры хранения [62]. Спин-зависимый потенциал К5р(г) изменяет эту частоту, однако, в силу однородности заполнения объёма камеры атомами 199н и симметрии самой камеры, среднее изменение для 199^ будет нулевым. С другой стороны, УХН заполняют объем неравномерно, скапливаясь внизу камеры за счёт гравитации. В зависимости от направления магнитного поля это приведет

к увеличению или уменьшению частоты прецессии. Из отношения частот 199^ и УХН можно получить ограничения на параметры потенциала УЗР(г).

Ещё одним возможным проявлением УЗР(г) является изменение деполяризации УХН при столкновении со стенами ловушки для хранения. В работах [63, 64] были проанализированы данные экспериментов с такими ловушками с точки зрения ограничений на скаляр-псевдоскалярное взаимодействие. Аналогичный эффект изучался и на атомах 3Не [65].

Потенциал УЗР(г) приводит и к сдвигу частоты ядерно-магнитного резонанса (ЯМР) атомов. В работе [66] исследовался этот эффект с помощью атомов 129Хе и 131Хе. Кроме того, УЗР(г) изменяет частоту ларморовской прецессии атомов, что можно измерить с помощью СКВИД-магнитометрии [67], а также вызывает изменение времени спиновой релаксации 3Не [68].

Ограничения на произведение констант связи потенциала ^5Р(г) в зависимости от радиуса взаимодействия Л представлены на Рисунке 8. В диапазоне Л = 10-4 10-1 м наиболее чувствительными являются эксперименты по измерению частоты ЯМР и частоты ларморовской прецессии атомов. В области Л = 10-6 10-4 м наилучшие ограничения получены в работах по деполяризации и спиновой релаксации 3Не. Нейтронные эксперименты дают комплементарную информацию на всем представленном диапазоне Л = 10-6

10-1 м.

Я(т)

Рисунок 8 - Ограничения на произведение констант связи д^р в зависимости от радиуса взаимодействия X [54]. Разрешенная область находится ниже линий. Числа соответствуют работам: 18а=[61], 19=[62], 20=[60], 21=[63], 22=[64], 23=[65], 24=[66], 35=[67], 40=[68]

1.1.2. Вектор-аксиальное взаимодействие

Потенциал вектор-аксиального взаимодействия К/Л(г) в нерелятивистском приближении можно записать в виде [53]

К/Л(г) = д, ду ^ • { — — ——} - ^^^ [о1 х о2] • г + -)--+

«л!«!/! 1 ^т1 т2 87гг] 2 11 ^ \г2 г/4ят2

+(1 ~ 2), (3)

где р1 = — ¿У1, р2 = — ¿У2 - операторы импульса, {45} = 4Б + Б4 -антикоммутатор двух операторов 4 и Б. Отметим, что, в отличие от потенциала Кр(г), потенциал К/л(г) зависит не только от спина фермиона, но и от его скорости.

В экспериментах, как правило, получают ограничение на первое слагаемое К/л(г) суммы (3). Его наличие приводит к различным наблюдаемым эффектам. Например, потенциал К/Л(г) может вызывать вращение плоскости поляризации поперечно поляризованного пучка нейтронов при прохождении его через вещество, в частности, жидкий гелий 4Не [69]. Измеряя соответствующий угол поворота, можно получить ограничения на параметры К/Л(г) [69]. Еще одним эффектом является изменение времени релаксации поляризованных частиц [70]. Например, в работе [70] использовались существующие данные по временам релаксации 3Не. В другой работе [71] ограничения на дудл вычислены путём комбинирования ограничений на дЛ из эксперимента по измерению аксиально-аксиального взаимодействия с помощью поляризованных атомов К и 3Не [72] и ограничений на д/ из эксперимента по проверке принципа эквивалентности с помощью крутильных весов [73]. Кроме того, эффект от возможного существования потенциала (г) может наблюдаться в эксперименте по спин-эхо малоугловому рассеянию нейтронов (СЭМУРН) [74]. Нейтронный спин-эхо спектрометр когерентно разделяет волновую функцию нейтрона на две с помощью магнитного поля. Затем эти две волновые функции интерферируют обратно за счет поля противоположного направления. Если на одном из участков прохождения нейтрон испытывает какое-либо взаимодействие, то

интерференционная картина меняется, появляется набег фазы за счёт этого взаимодействия и возникает спин-эхо сигнал. Обычно в спектрометрах разделение осуществляется в горизонтальной плоскости, однако если это разделение сделать вертикальным, то разные пути окажутся на разном расстоянии до Земли. Это означает, что нейтрон будет чувствителен к спин-зависимому потенциалу взаимодействия Кул(г) между ним и Землей [74].

Ограничения на параметры .дуд^ потенциала Кул(г) в зависимости от радиуса взаимодействия Л представлены на Рисунке 9. Отметим, что во всех описанных экспериментах аксиальная константа ^ обусловлена взаимодействием со спином нейтрона ^ = д7^. Отметим также, что ограничения на параметры потенциала (г) получены в более широком диапазоне Л по сравнению с соответствующим диапазоном К5Р(г). На макромасштабах (Л > 10-1 м) наилучший результат дают данные по временам релаксации 3Не и комбинирование независимых ограничений на ,ду и дА. В интервале Л = 10-6 ^ 10-1 м самым эффективным является измерение вращения поляризации нейтрона при прохождении через жидкий гелий 4Не.

1СГ5 0.01 10 104 107 1010

А(т)

Рисунок 9 - Ограничения на произведение констант связи в зависимости от радиуса взаимодействия Л [54]. Разрешенная область находится ниже линий. Числа соответствуют

работам: 15=[69], 31Ь=[74], 33=[71], 36=[70]

1.1.3. Аксиально-аксиальное взаимодействие

Потенциал аксиально-аксиального взаимодействия (г) в нерелятивистском приближении можно записать в виде [53]

Кл4(г) = —дЛ •

4 7

+ —)|. (4)

е-мг / /1-47 \ /33-

—д4 47-2( й + Т ^ (г)) — • г) • г)(н+ 72 г

Однако, в литературе, для случая взаимодействия поляризованной частицы с неполяризованным объектом, чаще встречается вид [54, 75, 76]

е-Мг /1

. е-™' /1 \

^44 (г) = —д4 •[Р х г](Г + ^ (5)

где р - оператор импульса частицы.

В экспериментах, как правило, в качестве такой частицы используется нейтрон. Например, в работе [75] измерялся поворот спина нейтрона вокруг оси [р х г] за счёт потенциала ^44 (г) с помощью рамзеевского метода разделенных осциллирующих полей. Поляризованный нейтронный пучок разбивался на два и попадал в область однородного магнитного поля. Один из пучков распространялся вблизи медной пластины, которая является источником потенциала ^44(г), в то время как второй пучок распространялся свободно. Спин нейтрона прецессирует в однородном магнитном поле, при этом наличие ^44 (г) приводит к дополнительному углу поворота нейтронных спинов первого пучка. В результате фазы «рамзеевского паттерна» двух пучков (зависимость числа нейтронов от частоты спин-флиппера) должны сдвинуться относительно друг друга. Из зависимости этого сдвига от расстояния между пучком и пластиной можно получить ограничения на произведение д4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шапиро Дмитрий Дмитриевич, 2023 год

- - - -

Кс(г) = — С-^(1 + = — (С--2 + ^(г)), (7)

где С - гравитационная постоянная, -1, -2 - массы взаимодействующих тел, а = д|/4я С-1-2 - приведенная константа связи.

Методы поиска скаляр-скалярного взаимодействия зависят от масштабов радиуса взаимодействия X. В диапазоне X =10-7^10-3м наилучшие ограничения получаются из экспериментов с крутильными весами [40, 41, 77 -80]. Например, в работе [41] измерялся крутящий момент торсионного маятника, вызванный вращением диска-аттрактора. Исследуемыми телами являлись два диска с десятью равномерно просверленными в них отверстиями, один из которых являлся частью маятника, а второй располагался на некотором расстоянии под ним. За счет вращения нижнего диска-аттрактора с частотой ш возникал крутящий момент, осциллирующий с частотой, кратной 10 ш, который вызывал поворот диска с маятником. Соответствующие различным частотам моменты измерялись в зависимости от расстояния между дисками. Далее, к аттрактору снизу прикреплялся еще один диск с десятью отверстиями, смещенными на 18° и подобранными так, что крутящий момент маятника, вызванный верхним диском аттрактора, компенсировался моментом от нижнего диска. С другой стороны, крутящий момент, вызванный новой короткодействующей силой с радиусом взаимодействия меньшим, чем толщина верхнего диска, не мог быть скомпенсирован, поскольку нижний диск находился слишком далеко от маятника. Измерения проводились при расстояниях между дисками порядка 10-4 - 10-2 м с помощью отражения лазерного луча от зеркала, прикрепленного к аттрактору. Отсутствие нескомпенсированного крутящего момента приводит к ограничениям на параметры К55(г).

В области Л = 10-8 ^ 10-6 м наиболее чувствительными являются измерения казимировых сил [81 - 84]. Например, в работе [81] проводились измерения силы Казимира между пластиной и сферической линзой. Круглая кварцевая пластина была прикреплена к маятнику, находящемуся в строго вертикальном положении. Стабильность этого положения контролировалась компенсирующими пластинками, образующими конденсатор. Напротив кварцевой пластины находилась сферическая линза, которая могла перемещаться перпендикулярно поверхности пластин с помощью пьезоэлементов. При изменении расстояния между телами изменялась и сила Казимира, что приводило к отклонению маятника, а это в свою очередь вызывало изменение подаваемого на компенсирующие пластинки напряжения, необходимого для поддержания вертикального положения. Величина эффекта была измерена с точностью 5%, что позволяет получить ограничения на произведение констант связи

Эксперименты с нейтронами обладают наибольшей чувствительностью в области радиусов взаимодействия А=10-13^10-8 м, а также могут предоставлять комплементарную информацию в диапазоне Л = 10-8 ^ 10-4 м. Многие из таких экспериментов так или иначе связаны с амплитудой нейтронного рассеяния. Например, в работе [85] исследовалась зависимость от атомного номера ядерных амплитуд рассеяния различных элементов, измеренных экспериментально. В присутствие нового взаимодействия в этой зависимости появляется дополнительное слагаемое, что позволяет получить ограничения на В той же работе [85] были проанализированы ядерные амплитуды, измеренные различными методами для одних и тех же элементов. Ограничения получаются вследствие разной чувствительности разных методов к новому взаимодействию. Кроме того, авторами [85] анализировались и данные по электромагнитным амплитудам рассеяния. В работе [86] ограничения задаются точностью измерения фаз в нейтронном интерферометре, обусловленных ядерным и электромагнитным взаимодействиями. Уже упоминавшееся свойство УХН образовывать квантовые состояния в гравитационном потенциале Земли

также может быть использовано для установления ограничений параметров потенциала К55(г) [87].

Во многих экспериментах амплитуда рассеяния нейтронов измеряется напрямую. Существование нового взаимодействия приводит к зависящей от переданного импульса добавке к этой амплитуде [88]. Таким образом, точность измерения амплитуды будет задавать ограничения на параметры потенциала ^55(г). В работах [88, 89] анализировались экспериментальные данные по рассеянию нейтрона на свинце 208 РЬ. Преимущество свинца заключается в его тяжести, поскольку добавка к амплитуде рассеяния зависит, в том числе, и от массы взаимодействующих фермионов. В работах [90, 91] измерялась угловая зависимость сечения рассеяния нейтронов на благородных газах (гелий Не и ксенон Хе). Еще одним методом является использование маятникового эффекта Эвальда (репёе11о8ип§) - интерференции двух прямых и двух дифрагированных нейтронных волн в кристалле [92]. Фазовый сдвиг такой интерференционной картины зависит от структурного фактора плоскости отражения, который в свою очередь определяется амплитудой рассеяния [92].

Другим методом получения ограничений на д| в области X = 10-13 ^ 10-8 м является спектроскопия. В работе [93] анализировались данные прецизионных измерений частот оптических переходов атомов водорода и гелия. Чувствительность к новому взаимодействию определяется точностью совпадения теоретического расчета с результатами эксперимента.

Ограничения на параметры д| потенциала К55(г) в зависимости от радиуса взаимодействия X представлены на Рисунке 11. В области Х> 10-7 м наиболее чувствительными являются эксперименты с торсионными маятниками. В диапазоне Х=10-8^10-6м наилучшие ограничения получаются из измерений казимировых сил. На масштабах X = 10-13 ^ 10-8 м самыми эффективными оказываются эксперименты с нейтронами, а также атомная спектроскопия.

10-н 10-12 10-ю Ю-3 10"6 1СГ4

А(т)

Рисунок 11 - Ограничения на приведенную константу связи а = д|/4я С-!-2 в зависимости от радиуса взаимодействия X [54]. График-вставка соответствует диапазону наилучшей чувствительности нейтронных экспериментов X = 10-13 — 10-8 м. Разрешенная область находится ниже линий. Числа соответствуют работам: 1а=1Ь=[88], 2=[89], 3а=3Ь=[85], 5=[90], 6=[91], 7=[94], 8=[77], 9=[78], 10=[79], 11=[80], 12=[84], 13=[95], 14=[87], 37=[93]

2. Ограничение на межнуклонное взаимодействие аксиально-аксиального типа из данных нейтронной дифракции в нецентросимметричном кристалле

Нами было получено ограничение на произведение констант связи д\ аксиально-аксиального взаимодействия из данных эксперимента по измерению вращения спина нейтрона в кристалле без центра симметрии [96]. Целью этого эксперимента являлось измерение электрического дипольного момента (ЭДМ) нейтрона [97].

2.1. Распространение нейтрона в кристалле без центра симметрии

Оператор спин-орбитального взаимодействия между нуклонами 1 и 2, обусловленного обменом бозоном со спином 1 и массой М (см. Рисунок 7), в нерелятивистском приближении можно записать в виде [96]

9аЬ е-Мг к2 г /1 \

= ^ ^ Х Р] = •Ьх^ + М), (8)

где дд = д2Акс/8п - приведенная константа связи аксиально-аксиального

взаимодействия, тп - масса нейтрона, Фа(г) = 9а е-Мг/г - потенциал взаимодействия нуклона-источника, находящегося в начале координат, с пробным нуклоном (нейтроном), р - оператор импульса нейтрона, Уа~1 - величина аналога магнитного момента нуклона в единицах gAh/2mnc. Рассмотрим поведение нейтрона в кристалле в присутствие такого взаимодействия.

Кристаллический потенциал V(r) является суммой потенциалов упорядоченно расположенных атомов и может быть разложен по векторам обратной решетки д:

V(r) = ^ Уде1°г + V-ge-i°r) = Vo + ^ 2vg cos(gr + <pg), (9)

g g>0 g>0

где Vg = vgel^3 - комплексные амплитуды гармоник потенциала V(r) с модулем vg и фазой фд. Амплитуды гармоник Vg содержат вклады от всех типов взаимодействий VJ1, определяющиеся структурными факторами кристалла F^, которые в свою очередь зависят от амплитуд рассеяния аЧ(д) на соответствующих потенциалах:

Г , 2л:й2

Кп = I ^3ге-дгКп(г) =--(10)

где N = 1/ К - число элементарных ячеек в единице объема К, а структурный фактор имеет вид

^ = ^ ап(д)е-дг е-1^, (11)

где «п(д) - амплитуда рассеяния на ¿-ом атоме ячейки, г - вектор, обозначающий положение ¿-го атома в ячейке, - фактор Дебая-Уоллера, д = д/й - вектор обратной решетки, равный переданному импульсу q (с точностью до приведенной постоянной Планка й).

Среди вкладов в амплитуды гармоник можно выделить вклады от ядерного , электромагнитного и рассматриваемого спин-орбитального ^ взаимодействий с соответствующими амплитудами рассеяния ^(д). Амплитуда

(д), определяющая вклад от последнего, в борновском приближении может быть записана в виде

2

Пг^ — ^_п 1 I л»л —_п 1 ал

(д) = I ¿3ге-1дг^(г) = ,.2, (12)

'7=1

2тсй2 4яй 1 + д2!2'

где Л - атомный номер ¿-го атома. Таким образом, амплитуда гармоники обусловленная новым взаимодействием, принимает вид

2тсй2 V"1 >1 йсМ. д2!2 . А м =--N > =---л е1^ = И<

* * А

где £ ; Л е-дг' " . По аналогии можно получить выражения для гармоник

и , обусловленных вкладами ядерного и электромагнитного взаимодействий соответственно:

К/ = К/ = .

При движении нейтрона в кристалле в направлениях, близких к брэгговским для некоторой системы плоскостей, во взаимодействии нейтрона с кристаллом существенной является только соответствующая гармоника потенциала. Таким

образом, вблизи выполнения условий дифракции потенциал, ответственный за дифракцию, имеет вид: Уд(г) = соБ(дг + фЦ) + соБ(дг + фЦ) + 2У£ соБ(дг + ф£) + ... (14) Для кристалла, имеющего центр симметрии, выбором начала координат в этом центре все фазы обращаются в нуль. Для нецентросимметричного кристалла фазы не совпадают [97-102], так что мы можем положить ^ = 0, и все прочие фазы будут определяться структурой кристалла и распределением зарядов и масс внутри ячейки. Заметим, что, в силу своей малости, остальные члены практически не сдвигают суммарной фазы полного потенциала, которым определяется структура волновой функции нейтрона в кристалле [100]. В результате распространение нейтрона в кристалле определяется ядерным потенциалом, и пространственная структура волновой функции нейтрона повторяет его периодичность, т.е. положения максимумов и минимумов квадрата модуля волновой функции определяются положениями максимумов и минимумов именно ядерного потенциала [97, 99-102]. Это означает, что нейтроны концентрируются либо в минимумах, либо в максимумах ядерного потенциала.

Действительно, волновую функцию <у(г) нейтрона, проходящего через кристалл в условиях, достаточно близких к брэгговским для некоторой системы плоскостей (по сравнению с другими плоскостями), в первом порядке теории возмущений можно записать [100]:

уМ / иы \

ф) = е1кг + 9 е1кзг = е1кг ( 1 — е1дг), (15)

Ек-Екд \ 2Ад )

где к, кд - волновые вектора падающего и отраженного нейтронов, д = д/Ь =

кд — к - вектор обратной решетки, Ек = к2к2/2тп, Екд = к2кд/2тп - энергии

падающего и отраженного нейтронов, и^ = = к2/2тп, Ад= (кд — к2)/2 -параметр отклонения от условия Брэгга и

иУ

\^(г)\2 = 1--^соБ(дг) = 1—АвсоБ(дг), (16)

А9

где Ав= Уд /Ад - безразмерный параметр отклонения от условия Брэгга.

Формулы (15), (16) справедливы при Л9» (Лв<< 1), в непосредственной близости к брэгговскому резонансу следует использовать двухволновое приближение.

В нецентросимметричном кристалле имеется сдвиг фазы между различными типами взаимодействия [97, 99-102], (здесь существенна разница между ядерной фазой и остальными фазами <4 ^ <9 ^ 0), так что в области концентрации нейтронов (максимумов | и(г)|2), определяемой ядерным взаимодействием, возникают ненулевые силовые поля, определяемые градиентами соответствующих потенциалов. Величины полей, действующих на нейтрон, определяются их средними по состоянию и(г) нейтрона. В частности, возникает сильное электрическое поле с напряженностью до 109 В/см [97-101], которое было предложено использовать для поиска ЭДМ нейтрона [100, 101] и использовалось в эксперименте [97].

С другой стороны, наличие ненулевого градиента потенциала К4 (г) в области концентрации нейтронов

V К4 (г) = -2р4д яп(дг + <4) (17)

приводит к ненулевому градиенту этого потенциала в состоянии (15)

(И»^ К/(г)|Кг)) = Лвг/д sin(дг + <4) (18)

и означает ненулевое среднее оператора спин-орбитального взаимодействия (8) я?. ь \ г4

-<И(г)

^74^1 • №4 X р]|Кг)) =

" Л

в

й«4 „4 Л й«4

2шпс

в

2шпс

74^1

п

V л

с 9

7хд

(19)

где мы обозначили

^ =

«4!

4

1 + «д2!

2Л5дsin<Jl

(20)

аналог электрического поля,

"4 =

V л

9

(21)

- аналог швингеровского магнитного поля, которое действует на нейтрон, движущийся в поле Ед, в системе координат, связанной с нейтроном, V - скорость нейтрона.

Наличие взаимодействия (21) приведет к дополнительному повороту спина нейтрона вокруг направления [у х д] на угол

„ L SaYaH^ L hyAgNcL g2Ä2 , A , Sa = ^v = Ab^~v = Ab 2mnc l + g2Ä2Sm ^ 51П ^ , (22)

где aB - угол между направлениями векторов v и д, sin ав = sin(n/2 — flB), dB -угол Брэгга, L - толщина кристалла, шА - частота вращения спина в эффективном поле Нд.

Заметим, что выражение (18) справедливо при Ag» Ug (AB<< 1), его более точное вычисление в двухволновом приближении приводит к результату

{y(r)IWgA(r)l^))=-^A=^v£gs1n(pA. (23)

Таким образом, величина Eg (20) есть максимальное значение градиента потенциала VgÄ(r) при точном выполнении условия Брэгга (AB^ го).

2.2. Эксперимент по прохождению нейтрона в кристалле без центра

симметрии

Нами были проанализированы данные эксперимента по поиску ЭДМ нейтрона кристалл-дифракционным методом [97]. Схема эксперимента представлена на Рисунке 12. Пучок нейтронов, поляризованный вдоль направления импульса с помощью многощелевого поляризатора (Polarizer) и спин-флиппера (л/2 Flipper), дифрагирует на плоскости (110) кристалла кварца размерами 140 X 140 X 35 мм3 (Quartz (110) в центре схемы). Угол дифракции составляет 86°, а однородность межплоскостного расстояния по всему объему кристалла Ad/d < 5 • 10-6, что исследовалось в работах [103, 104]. Параметры плоскости (110), используемой в эксперименте, составляют д = 2,56 • 1010 м-1, Ад = 51, фд = 0,42 [102]. Другой кристалл кварца, параллельный первому (Quartz (110) в правой части схемы), позволяет регулировать отклонение

нейтронов от условия Брэгга (а значит, и величину действующего электрического поля) за счёт изменения межплоскостного расстояния d, что достигается путём нагревания или охлаждения кристалла. Нейтроны со спинами, повернутыми вокруг направления швингеровского магнитного поля Hs на угол , направляются при помощи отражения от плоскости (002) пиролитического графита (PG (002)) на многощелевой анализатор (Analyzer) и регистрируются гелиевым детектором (Detector).

Рисунок 12 - Схема эксперимента по дифракции нейтрона в кристалле без центра симметрии [97]. - внешнее магнитное поле, Н5 - швингеровское магнитное поле, Р^, Р^ - начальная и конечная поляризации пучка соответственно, Т0 - температура кристалла, ДГ - разность температур двух кристаллов, Ьс = 140 мм - длина кристалла Измеренный в эксперименте угол вращения совпадает с теоретическим

значением на уровне ~10-2 (см. Рисунок 13), что позволяет получить .2.

ограничения на д^.

д2А < 4,5 • 10-24(^2 + 1/Л2). Данные ограничения не имеют аналогов в диапазоне радиусов взаимодействия Л =10-12^10-6 м (см. Рисунок 14).

(24)

и

пЗ Он

0.2 п

0.1

0.0

-0.1

-0.2

1 11 , . .....-X.

ТИеогу

И

- * т/ гг "/ -

-4

-2

0

АТ°С

Рисунок 13 - Зависимость угла поворота спина нейтрона за счет швингеровского взаимодействия от разницы температур кристаллов кварца ДГ [97]. Точки - экспериментальные данные, сплошная линия - теоретический расчет. Величина погрешностей экспериментальных точек, определяющих точность совпадения с расчетом, ~10-2

М(эВ)

105 Ю4 103 1 02 1 01 10° 10"1 10"2 10"3 10"4

о

-5

ад

-10

-15

1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1

• •

• • • •

%

■ ...... — Г Г" 36] (эта работа) '2] ?5] '61 ч * % N

1' п ч : ! ¡А

Ю-12 10"11 Ю"10 10"9 10"8 10"7 10"6 10"5 10"4 10"3 Ю"2 10"1

Я (м)

Рисунок 14 - Ограничения на произведение констант связи д\ в зависимости от радиуса взаимодействия Я. Разрешенная область находится ниже линий

3. Ограничения на межнуклонное взаимодействие скаляр-скалярного типа из данных порошковой дифракции нейтронов

Нами предложен и реализован метод получения ограничений на произведение констант связи д2 скаляр-скалярного взаимодействия с помощью порошковой дифракции нейтронов на кремнии. Рассмотрим поведение нейтрона в таком эксперименте в присутствие потенциала взаимодействия (6).

3.1. Амплитуда рассеяния нейтрона на атоме

Известно, что интегральная интенсивность брэгговского отражения порошковой дифрактограммы 1д в кинематическом приближении пропорциональна квадрату структурного фактора Рд [105]:

1д ~ \Рд\2, (25)

который в свою очередь выражается через атомные амплитуды рассеяния щ (д):

= ^aj(g)e-ierJ, (26)

Fg = ^ aj(a)e

j

где a.j(g) - амплитуда рассеяния нейтрона на j-м атоме, д = q/h - вектор обратной решетки, rj - вектор, обозначающий положение j-го атома в элементарной ячейке, а сумма £j e-igrj есть фазовый множитель Кд:

Kg = e-igrJ = ^ e-2ni(hXj+ kyj+ Izj) , (27)

j j

где h, k, l - индексы Миллера, Xj, yj, Zj - координаты j-го атома в элементарной ячейке.

Амплитуду рассеяния а(д) можно представить в виде суммы нескольких вкладов, которые можно условно разделить на 3 класса [106, 107]. Амплитуды класса I вносят основной вклад и определяет информацию, получаемую в нейтронных экспериментах по изучению физики конденсированного состояния. Амплитуды класса II вносят вклад приблизительно на 3 порядка меньше по сравнению с классом I, а амплитуды класса III меньше еще на несколько порядков и являются пренебрежимо малыми величинами (см. Таблицу 1).

Таблица 1 - Вклады в амплитуду рассеяния а(д)

Класс Амплитуда рассеяния Причина возникновения Порядок величины вклада, фм

I ам(д) Сильное взаимодействие 1

ацА(д) Взаимодействие с магнитным моментом атома 1

ацы(д) Взаимодействие с магнитным моментом ядра 10-3

а5(д) Швингеровское (спин-орбитальное) взаимодействие 10-3

II ар(д) Взаимодействие Фолди 10-3

аЕ(д) Взаимодействие с зарядовым распределением нейтрона 10-3

аР(д) Взаимодействие за счет электрической поляризуемости нейтрона 10-3

аЕйм(д) Взаимодействие с ЭДМ нейтрона < 10-8

III а(2(д) Взаимодействие с электрическим зарядом нейтрона < 10-10

а№(д) Слабое взаимодействие 10-34

Амплитуда рассеяния, обусловленная сильным взаимодействием, не зависит от переданного импульса q, и определяется когерентной ядерной длиной рассеяния Ьы [107]:

ам(д) = -Ьи. (28)

Часть вкладов в а(д) возникает вследствие наличия у нейтрона магнитного момента . Его взаимодействие с магнитным полем В приводит к появлению амплитуды рассеяния [107]

При движении нейтрона с импульсом р в электрическом поле Е возникает швингеровское взаимодействие с соответствующей амплитудой [107]

~ Р-пЛЕ* р]. (30)

Взаимодействие Фолди обусловлено взаимодействием магнитного момента нейтрона с зарядовым распределением атома Ра(й) с амплитудой [107]

аР{д) ~ ^пРА(Я) (31)

и не зависит от ориентации спина нейтрона, в отличие от а^(д) и аБ(д).

Сумму всех амплитуд ам(д), связанных с наличием у нейтрона магнитного момента, можно переписать в виде [107]

ам(д) ~ Рп^А + Ьр • Вм + ¿(1 - /(Я))}, (32)

где ВА, Вы - магнитные поля, создаваемые атомом и ядром соответственно, ЬР = -1,4679709(37) • 10-3 фм [107] - длина рассеяния Фолди, 2 - заряд ядра, f(q) -атомный форм-фактор.

Внутреннее зарядовое распределение нейтрона, связанное с его кварковой структурой, приводит к рассеянию на электростатическом потенциале атома с амплитудой [107]

аЕ(д) = ЬЕг(1-Г(д)), (33)

где ЬЕ = т.пг^2/3шеа0 « 10-4 фм - электростатическая длина рассеяния, -среднеквадратичный радиус нейтрона, те - масса электрона, а0 - боровский радиус.

За счет ненулевой электрической поляризуемости ап электрическое поле Е вызывает у нейтрона наведенный ЭДМ апЕ. Взаимодействие такого ЭДМ с Е приводит к возникновению амплитуды рассеяния [107]

3 ^

п п (34)

аР(д) = -Ър =

п rNmea0

где rN - зарядовый радиус ядра. Заметим, что аР(д), как и ядерная амплитуда

рассеяния aN(g), не зависит от переданного импульса q и определяется

зарядовым радиусом ядра rN.

Пренебрегая всеми вкладами класса III, имеем

а(д) = aN(g) + ам(д) + аЕ(д) + аР(д) = -bN + pn^BA + bF pn^BN +

+bneZ(l-f(q))-bP, (35)

где bne = bF + bE - длина рассеяния нейтрона на электроне.

Величина bne измеряется экспериментально, однако, результаты этих экспериментов не согласуются друг с другом. Значение, полученное Аргонской [108] и Гархинской [109] группами, составляет Ьпе = -1,31(3) • 10-3 фм, что согласуется с данными работы [110], в то время как по данным Дубнинской группы [111, 112] Ьпе =-1,59(4) • 10-3 фм. Кроме того, второй результат меньше длины рассеяния Фолди bF = -1,4679709(37) • 10-3 фм [107], а первый превосходит его, что говорит о разных знаках величин электростатической длины рассеяния ЬЕ, полученных в этих экспериментах.

Значения атомных форм-факторов f(q) вычислены в релятивистском приближении Хартри-Фока и затабулированы в международных таблицах по кристаллографии (например, [113]) для всех элементов при различных значениях переданных импульсов q.

Наличие потенциала взаимодействия (6) приведет к возникновению дополнительного вклада ass(g) в амплитуду рассеяния а(д). В борновском приближении ass(g) можно записать как

"ш. С

ass(g) = -^J Vss(r) eiqrd3r. (36)

Потенциал Kss(r) обладает сферической симметрией; тогда выражение (36) можно проинтегрировать по угловым координатам и переписать в виде

ass(g) = J Vss(r) sin(qr) rdr. (37)

0

Подставив (6) в (37) в единицах СИ, а также учтя, что ядро содержит А нуклонов, получим

+°° г

тп 4п д2 Г е л ass(a) = -2ri2 JA4^hC) —sin(4r)rdr =

0

+ оо

2

П

g2s 2тп [ _r = —А —пс

„ п^ ^ i е ¿sin(qr) dr. (38)

4п h2q J УН у у у

0

Проинтегрировав два раза по частям ¡+°е_г/я sin(qr) dr, имеем:

2тп Я2д д2 2тпЯ2/Ь2

а<х(д) =—А — Ьс^--^—=—А — Ьс-=—. (39)

4ж П2Я 1 + Л2Ч2 4ж 1 + Я2ц2 у у

Амплитуда рассеяния а(д) принимает вид

а(д) = ам(д) + ам(д) + аЕ(д) + аР(д) + а55(д) = —Ьм + рп^ВА +

, ч а2 2т„Я2/Ь2

+ЬР • Вы + Ьпег(1 — Г(д)) — ЬР -А^-Ьл:^ * ^ . (40)

Отметим, что зависимость а(д) от переданного импульса ^ содержится в электромагнитном вкладе Ьпе2(1 — f(q)) и во вкладе от нового взаимодействия а55(д). Первый из этих вкладов пропорционален атомному форм-фактору /(я), а второй имеет характерный вид ~ 1/(1 + Я2 ц2).

3.2. Интегральная интенсивность брэгговского отражения порошковой

дифрактограммы

В эксперименте по порошковой дифракции интегральная интенсивность 1д брэгговского отражения определяется рядом факторов. Наряду со структурным фактором Рд, среди них можно выделить индекс повторяемости тд, фактор Лоренца Ьд, коэффициент экстинкции уд, поглощение Ад, фактор Дебая-Уоллера Шд и несовершенство прибора р(2в):

1д ~ тд1дУдАде-2^р(2в)\Рд\2. (41)

3.2.1. Индекс повторяемости

В эксперименте по порошковой дифракции образцом является порошок, представляющий из себя набор ориентированных случайным образом кристаллитов. При попадании пучка нейтронов сразу несколько кристаллических плоскостей удовлетворяют условию дифракции - закону Брэгга-Вульфа

2dsm6 = kЯn, (42)

где й - межплоскостное расстояние, в - угол между падающим (отраженным) пучком и плоскостью, Я - длина волны нейтронов, к - целое число, характеризующее порядок дифракции. Однако, с точки зрения этого условия, некоторые плоскости оказываются эквивалентными, поскольку их

межплоскостные расстояния й одинаковы. Например, плоскости (100), (-100), (010), (0-10), (001), (00-1) в этом смысле неразличимы и имеют индекс повторяемости Ш{100} = 6. Чем больше величина тд, тем больше плоскостей вносят вклад в отражение под углом 6, и тем больше интегральная интенсивность соответствующего рефлекса.

3.2.2. Фактор Лоренца

Порошковая дифрактограмма представляет собой одномерную проекцию трехмерной картины. Углу рассеяния 26 соответствует конус отраженного излучения с углом раствора 46 - дифракционный конус (см. Рисунок 12). Поскольку детектор обладает конечной апертурой, он регистрирует только часть этого конуса. Кроме того, в реальном эксперименте узлы обратной решетки также имеют конечные размеры, а сфера Эвальда - конечную толщину. Для учета этих обстоятельств вводится фактор Лоренца Ьд [105]:

1

1д sm6sm26'

(43)

Рисунок 12 - Дифракционные конусы, образующиеся в эксперименте по порошковой

дифракции [105]

3.2.3. Коэффициент экстинкции

Традиционно экстинкция подразделяется на первичную и вторичную. Первичная экстинкция представляет собой уменьшение интенсивности

брэгговского пика за счет перерассеяния отражённого пучка от нижележащих плоскостей идеального кристалла. Вторичная экстинкция возникает в результате перерассеяния отраженного пучка от блоков одинаковой ориентации в мозаичном кристалле и выражается также в уменьшении интенсивности дифракционного максимума. Величина первичной экстинкции зависит от размеров идеального кристалла, в то время как величина вторичной экстинкции пропорциональна степени близости ориентаций блоков мозаичного кристалла. В обоих случаях уменьшение интегральной интенсивности дифрагированного пучка компенсируется увеличением интенсивности прямого пучка.

В поликристаллическом образце все ориентации кристаллитов представлены с равной вероятностью, поэтому понятие вторичной экстинкции для них неприменимо. Здесь и далее под экстинкцией будет подразумеваться только первичная экстинкция.

В работе [114] показано, что для брэгговской геометрии в приближении

сферических кристаллитов коэффициент экстинкции уд может быть найден как

1

уд = (1 + х)-2, (44)

где х = (3/4ЫсЯп01рд\)2, Б - диаметр сферы (размер кристаллита). Отметим, что уд зависит от структурного фактора Рд.

3.2.4. Поглощение

Уменьшение интегральной интенсивности за счет поглощения может быть учтено в виде соответствующего коэффициента [105]

Ад=1! (45)

V

где V - объем образца, I - расстояние, пройденное нейтроном в образце, дА -эффективный линейный коэффициент поглощения. Отметим, что дА учитывает эффективную плотность образца, отличную от плотности вещества и связанную с тем, что образец представляет собой насыпанный в емкость порошок.

3.2.5. Фактор Дебая-Уоллера

Тепловые колебания атомов в решетке приводят к их смещению из

положения равновесия, в результате чего условие дифракции (44) может

нарушится, и интегральная интенсивность отражения 1д уменьшится.

Соответствующий вклад - фактор Дебая-Уоллера - в случае кубической решетки

может быть записан в виде [115]:

1 _ 16п\ 7Бт2в sin2в 2Шд = -(и2)Ч2 =^—{и2)—Т- = 2В—^, (45)

В 3 3 4 4

где (и2) - среднеквадратичная амплитуда смещения атомов при тепловых колебаниях, ц = в/ Хп - модуль переданного импульса, В = 8п2(и2)/3 -

тепловой параметр.

Явное выражение для В имеет вид [116]:

от

2к2 Г 1 (1

В =

тАквТ] г о

где к, кв - постоянные Планка и Больцмана соответственно, тА - масса атома, Т

- температура образца, V - частота фонона, д(у) - плотность фононных состояний (функция, определяющая число частот, лежащих в интервале от у до (1у), г = ку/квТ. Первое слагаемое под знаком интеграла отражает вклад от нулевых колебаний, а второе содержит в себе температурную зависимость теплового параметра.

В рамках модели Дебая плотность фононных состояний д(у)~у2, и в этом случае выражение (47) можно переписать в виде [115]

6к2 Шх) 1 ™.Аквв0\ х 4

где х = вв/Т - отношение температуры Дебая вв к температуре образца Т, Ф(х)

- функция Дебая

X

1 [ уЛу

фх)=-\--т^т. (48)

х) ехр(у) -1 0

+ (47)

Отметим, что вклад в интегральную интенсивность 1д за счет тепловых колебаний зависит от переданного импульса ц как е-ц2.

3.2.6. Несовершенство прибора В силу несовершенства установки детектируемая интенсивность рассеянного излучения будет неодинаковой для разных углов рассеяния, даже при прочих идеальных условиях. Для учета этого фактора мы вводим функцию прибора р(2в), отражающую инструментальный вклад в интегральную интенсивность 1д.

Важной особенностью функции р(2в), позволяющей отделить её от вклада, обусловленного новым межнуклонным взаимодействием, является тот факт, что р(2в) зависит только от угла рассеяния 26 и не зависит от длины волны нейтронов Л, в то время как добавка за счёт скаляр-скалярной силы зависит от переданного импульса ц = 4лsm6/Л, то есть от длины волны нейтронов Л и угла рассеяния 29. Таким образом, в измерениях с разными Л вклад р(2в) будет одинаков. Учет инструментального вклада описан в п. 3.4.

3.2.7. Систематический сдвиг угла Еще одной причиной систематического изменения дифракционной картины является смещение положения образца относительно центра окружности, образуемой детекторной системой. Это приводит к сдвигу угла 26, под которым регистрируются рассеянные нейтроны. В случае геометрии Дебая-Шеррера, если образец смещен вдоль пучка, сдвиг составляет:

А26ъ^т26, (49)

а если смещение перпендикулярно пучку:

Б

№въ-^2в, (50)

где 5 - величина смещения, Я - радиус окружности, образуемой детекторной системой.

3.3. Дифракция нейтронов на порошке кремния

В качестве образца для эксперимента по порошковой дифракции нами был выбран кремний, что обусловлено рядом его свойств.

Кремний содержит 8 атомов одного сорта в ячейке, координаты которых известны (см. Таблицу 2), и его фазовый множитель Кд считается точно (см. Таблицу 3), а амплитуда рассеяния в выражении (26) может быть вынесена за знак суммирования:

а](д)е= а(д)Кд. (51)

]

Атом кремния является диамагнетиком, и создаваемое им магнитное поле Вм = 0, поэтому соответствующий электромагнитный вклад в амплитуду рассеяния а(д) (35) отсутствует. Кроме того, кремний является центросимметричным кристаллом, в котором Е = 0, поэтому вклад аБ(д) в (35) также отсутствует.

Остальные вклады в амплитуду рассеяния кремния измерены экспериментально. Длина когерентного ядерного рассеяния по данным нейтронной интерферометрии составляет [117]

Ьм = 4,1507(2) фм. Зарядовый радиус ядра кремния, измеренный с помощью рассеяния электронов [118]

гм = 3,106(30) фм,

а также поляризуемость нейтрона, полученная в экспериментах по фотопоглощению [107]

ап ~ 10-3 фм,

определяют поляризационную длину рассеяния кремния:

ЬР « —2 • 10-3 фм. Порядок величины форм-фактора кремния /(д) ~ 10-1 [113], а 1 = 14, поэтому

Ьпе2(1—/(Ч)) ~ 10-3 фм.

Таблица 2 - Координаты атомов в элементарной ячейке кремния в единицах параметра ячейки

Таблица 3 - Фазовые множители К^ кремния

/ X У 2

1 1/8 1/8 1/8

2 3/8 3/8 3/8

3 7/8 7/8 3/8

4 7/8 3/8 7/8

5 3/8 7/8 7/8

6 1/8 5/8 5/8

7 5/8 5/8 1/8

8 5/8 1/8 5/8

Ш 1т(Кд) к\2

111 0 -4^2 32

220 -8 0 64

311 0 4^2 32

400 -8 0 64

331 0 4^2 32

422 8 0 64

333 0 -4^2 32

511 0 4^2 32

440 8 0 64

531 0 -4^2 32

620 8 0 64

533 0 -4^2 32

444 -8 0 64

551 0 -4^2 32

711 0 -4^2 32

642 -8 0 64

553 0 4^2 32

731 0 -4^2 32

Таким образом, в случае рассеяния на кремнии все вклады щ(д) в амплитуду рассеяния а(д) (35) находятся на уровне щ(д)/аы(в) ^ 10-3•

В Таблице 4 и Таблице 5 представлены вычисленные нами значения индексов повторяемости тд, факторов Лоренца Ьд, коэффициентов экстинкции

Таблица 4 - Факторы, определяющие интегральную интенсивность 1д дифракционного

о

максимума. Длина волны нейтронов Л = 1,3 А

Кк1 тв е (литературные данные) е (модель Дебая)

4 К 77 К 300 К 4 К 77 К 300 К

111 8 11,90 0,998 0,99 0,99 0,98 0,99 0,99 0,98

220 12 4,64 0,997 0,97 0,97 0,94 0,98 0,98 0,96

311 24 3,46 0,998 0,96 0,96 0,92 0,97 0,97 0,94

400 6 2,49 0,997 0,95 0,94 0,88 0,96 0,95 0,92

331 24 2,15 0,998 0,94 0,93 0,86 0,95 0,95 0,90

422 24 1,80 0,997 0,92 0,92 0,83 0,94 0,93 0,88

333 8 1,65 0,998 0,91 0,91 0,81 0,93 0,93 0,86

511 24 1,65 0,998 0,91 0,91 0,81 0,93 0,93 0,86

440 12 1,48 0,997 0,90 0,89 0,78 0,92 0,91 0,84

531 48 1,41 0,998 0,89 0,88 0,76 0,91 0,90 0,83

620 24 1,34 0,997 0,87 0,87 0,73 0,90 0,89 0,80

533 24 1,31 0,998 0,86 0,86 0,71 0,89 0,88 0,79

444 8 1,30 0,997 0,85 0,84 0,68 0,88 0,87 0,77

551 24 1,32 0,998 0,84 0,83 0,67 0,87 0,86 0,76

711 24 1,32 0,998 0,84 0,83 0,67 0,87 0,86 0,76

642 48 1,40 0,997 0,83 0,82 0,64 0,86 0,85 0,74

553 24 1,50 0,998 0,82 0,81 0,63 0,85 0,84 0,73

731 48 1,50 0,998 0,82 0,81 0,63 0,85 0,84 0,73

Таблица 5 - Факторы, определяющие интегральную интенсивность 1д дифракционного о максимума. Длина волны нейтронов Л = 2,41 А

Кк1 тв е 2Шз (литературные данные) е (модель Дебая)

4 К 77 К 300 К 4 К 77 К 300 К

111 8 3,65 0,994 0,99 0,99 0,98 0,99 0,99 0,98

220 12 1,63 0,988 0,97 0,97 0,94 0,98 0,98 0,96

311 24 1,36 0,994 0,96 0,96 0,92 0,97 0,97 0,94

400 6 1,38 0,988 0,95 0,94 0,88 0,96 0,95 0,92

уд и вкладов за счет фактора Дебая-Уоллера е-7Жа для отражений при двух

о о

длинах волн Яп = 1,3 А и Яп = 2,41 А, используемых нами в эксперименте.

Для оценки величины коэффициента экстинкции уд использовалось известное для образца распределение кристаллитов по размерам (см. Рисунок 13). Средний размер кристаллита составляет

Б = 4,1 • 10-6 м.

Размер кристаллитов, мкм Рисунок 13 - Распределение по размерам кристаллитов образца

Для вычисления вклада за счет тепловых колебаний использовались литературные данные, поскольку модель Дебая недостаточно точно отражает настоящую физическую картину (см. Таблицу 4 и Таблицу 5). В частности, в случае кремния это вызвано ангармонизмом тепловых колебаний [119].

В работе [120] вычислена плотность фононных состояний д(у) для кремния на основе данных по измерению реальных дисперсионных кривых с помощью неупругого рассеяния нейтронов. Полученное значение теплового параметра В при температуре Т = 293 К составляет [120]

В = 0,4691(16) А2.

В работе [121] вычислены параметры В кремния в широком диапазоне температур с помощью теории возмущений функционала плотности. При низких температурах Т < 50 К величина В практически не меняется и составляет [121]:

В & 0,2 А2,

а при температуре Т & 75 К [121]:

В & 0,23 А2.

Выбор указанных температур продиктован значениями, использовавшимися в эксперименте.

Нами были вычислены величины вкладов е-2Шз в интегральную интенсивность 1д, полученные в дебаевском приближении, а также исходя из опубликованных литературных данных (работы [120], [121]). Результаты представлены в Таблице 4 и Таблице 5 для двух длин волн Л. Поскольку в случае кремния модель Дебая неприменима [119], в дальнейшем использовались расчеты на основе литературных данных.

Для оценки величины поглощения Ад использовалось табличное значение

о

сечения поглощения кремния для длины волны нейтронов Л & 1,8 А [113]

ал = 0,171(3) бн.

В эксперименте измерялся образец массой 1,27 г, находящийся в цилиндрическом держателе диаметром 0,6 см и высотой 6,5 см. Таким образом, средняя плотность образца составила = 0,69 г/см3, что эквивалентно концентрации атомов кремния в единице объема пр = 1,5 • 1022 см-3. Это соответствует величине эффективного линейного коэффициента поглощения

^а = оа^пр& 2,6 • 10-3 см-1, что подтверждается расчетом с помощью калькулятора нейтронного рассеяния НИСТ [122] для длин волн Лх = 1,3 А и Л2 = 2,41 А:

^^ = 2 • 10-3 см-1, ^л = 3 • 10-3 см-1.

Наибольшее расстояние, проходимое нейтроном в цилиндрическом образце, равняется удвоенному диаметру

Imax 1,2 см,

что соответствует максимальному значению коэффициента Ад:

Аа « 0,997.

Утах '

Таким образом, наибольшее значение поправки на поглощение находится на уровне ~10-3.

Для оценки величины систематического сдвига по углу A26 использовалось известное для экспериментальной установки расстояние между образцом и детектором R = 1,47 м. Поскольку максимальные значения sin 26 и cos 26 достигают единицы, при смещении образца, например, на 3 мм (при диаметре образца 6 мм) наибольший угловой сдвиг составит

A26max « 2 • 10-3 рад « 0,1°.

Такой сдвиг приведет к изменению фактора Лоренца L на уровне

AL -—10-3, LJ

где AL - разница факторов Лоренца для смещенного и несмещенного образца.

Таким образом, величины всех вкладов в интегральную интенсивность Ig находятся на уровне ~10-3.