Эффекты памяти в спиновой динамике двумерных электронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат физико-математических наук Любинский, Илья Семенович

• Любинский, Илья Семенович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Любинский, Илья Семенович

Введение

1 Влияние слабой локализации на спиновую релаксацию

1.1 Введение.

1.2 Интерпретация слабой локализации в терминах малой поправки к сечению рассеяния на примеси.

1.3 Вывод кинетического уравнения.

1.4 Решение кинетического уравнения. Асимптотика спиновой поляризации на больших временах

1.5 Специальный случай

1.6 Подавление долговременной асимптотики спиновой поляризации в магнитном поле

1.7 Выводы.

2 Влияние слабой локализации на эффект Ханле

2.1 Введение.

2.2 Качественное рассмотрение.

2.3 Основные уравнения.

2.4 Частный случай 1: квантовая яма с направлением роста [100]

2.5 Частный случай 2: квантовая яма с направлением роста [110]

2.6 Общее решение.

2.7 Неаналитическая зависимость степени спиновой поляризации от внешнего магнитного поля.

2.8 Выводы.

3 Классические эффекты памяти в спиновой релаксации

3.1 Введение.

3.2 Решение для системы с сильными рассеивателями.

3.3 Решение для системы с плавным беспорядком.

3.4 Выводы.

4 Релаксация спина в ограниченном объеме

4.1 Введение.

4.2 Качественное рассмотрение.

4.3 Строгая постановка задачи.

4.4 Вывод диффузионного уравнения с граничными условиями.

4.5 Анализ диффузионного уравнения в безразмерных параметрах

4.6 Область применимости классического подхода.

4.7 Выводы.

5 Релаксация спина в режиме прыжковой проводимости

5.1 Введение.

5.2 Релаксация спина при Т W (модельный случай).

5.2.1 Релаксация на оптимальных примесных конфигурациях

5.2.2 Аналог механизма Дьяконова-Переля для электронов в примесной зоне.

5.2.3 Релаксация за счет ухода на протекательный кластер

5.2.4 Релаксация в режиме ловушек.

5.3 Релаксация спина при TcW.

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты памяти в спиновой динамике двумерных электронов»

Спиновые эффекты в полупроводниковых гетероструктурах представляют интерес как с физической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений в области спинтроники [1]. Основным предметом изучения спинтроники являются механизмы генерации поляризованных по спину носителей, динамика спина в полупроводниках, а также механизмы детектирования спиновой поляризации. С практической точки зрения целью таких исследований является создание нового типа электронных устройств, в которых, наряду с зарядом, используется спин частиц. Для эффективного управления спином в таких устройствах необходимо, чтобы характерное время жизни поляризованных по спину носителей было достаточно большим. В связи с этим особую важность представляет изучение динамики спина и, в частности, спиновой релаксации в полупроводниковых гетероструктурах.

В настоящее время известен ряд механизмов, приводящих к релаксации спина электронов в полупроводниковых гетероструктурах, например, рассеяние на магнитных примесях, взаимодействие с ядерным спином и т.д. В полупроводниковых гетероструктурах на основе материалов типа Л3Б5 основным механизмом спиновой релаксации обычно является механизм Дьяконова-Переля [2]. Особенностью таких материалов является отсутствие в них центра инверсии, что обуславливает наличие спинового расщепления, зависящего от импульса электрона [3]. Расщеп

Рис. 1: Механизм релаксации Дьяконова-Переля. При рассеянии на примесях импульс электрона и, соответственно, направление оси прецессии спина меняются случайным образом, что приводит к угловой диффузии вектора спина. ление спектра по спину описывается следующим слагаемым в гамильтониане:

Hs = Ш per/2, (1) где h - постоянная Планка, а - вектор, составленный из матриц Паули, - нечетная функция импульса электрона р. Выражение (1) по своей структуре совпадает с гамильтонианом, описывающим взаимодействие спина с внешним магнитным полем. Таким образом, расщепление спектра по спину можно рассматривать как взаимодействие спина с эффективном магнитным полем, зависящим от импульса электрона, при этом Пр - есть частота прецессии спина в эффективном магнитном поле, а направление вектора fip задает направление оси прецессии. При рассеянии па примесях импульс электрона и, как следствие, направление оси прецессии меняются случайным образом, что приводит к угловой диффузии вектора спина (рис.1) и, соответственно, к спиновой релаксации [2]. Такой механизм релаксации получил название механизма Дьяконова-Переля.

В объемных материалах типа А3В5 расщепление спектра по спину пропорционально третьей степени импульса электрона [3]:

Цм = ®Рх(Р1~Р1), у = apy{p2z~pl), apz(p2x-p2),

2)

3)

4) где а - некоторая константа. Наличие линейного по импульсу вклада в спиновое расщеплении в объемных материалах запрещено имеющимися в кристалле группами симметрии.

В двумерных квантовых ямах расщепление спектра может быть связано как со свойствами объемного материала, из которого выращена квантовая яма (эффект Дрессельхауза [3]), так и с асимметрией самой квантовой ямы (эффект Вычкова-Рашбы [4]). Эффективный гамильтониан, описывающий «двумерный» электрон, находящийся на нижнем уровне размерного квантования, получается усреднением исходного «трехмерного» гамильтониана с собственной волновой функцией нижнего уровня размерного квантования: где Фо - собственная волновая функция нижнего уровня размерного квантования, зависящая от координаты в направлении, перпендикулярном плоскости квантовой ямы. В результате такого усреднения в спиновом расщеплении появляются слагаемые, линейные по импульсу электрона в плоскости квантовой ямы р и квадратичные по характерному импульсу в направлении, перпендикулярном квантовой яме [5] pi к, h/w (здесь ги - ширина квантовой ямы). Рассмотрим для примера случай квантовой ямы, лежащей в плоскости (х,у), причем оси х и у совпадают с направлениями кристаллографических осей. В этом случае выражение (1), в котором flp дается уравнениями (2), (3) и (4), следует усреднить с волновой функцией

H2d = (Ф0|Я|Фо>,

5)

Фо- Усреднение S~ip приводит к следующему результату:

Прх = ®Рх{Р1-Р2±) Пру = аРу{р± ~ Р1) Орг = О,

6) (7)

8) где р\ = (pi) (кроме того, мы учли, что среднее значение оператора импульса на локализованном состоянии равно нулю (pz) = 0).

Как мы видим, выражения (6), (7) и (8) содержат как линейные, так и кубические по импульсу в плоскости квантовой ямы слагаемые. В ситуации, когда концентрация электронов и температура достаточно малы, все электроны находятся на нижнем уровне размерного квантования и р ■< р±. Тогда кубическими членами в спиновом расщеплении можно пренебречь. Конкретный вид линейных по импульсу членов в спиновом расщеплении зависит от направления роста квантовой ямы.

Спиновое расщепление, обусловленное асимметрией квантовой ямы, может быть записано в виде Hs = а[Е х р]ег, где Е - встроенное электрическое поле в направлении, перпендикулярном плоскости квантовой ямы, а - некоторая константа [4]. Данный вклад в спиновое расщепление представляет собой релятивистскую поправку к уравнению Шредингера и описывает взаимодействие спина с магнитным полем, которое появляется в собственной системе отсчета электрона при движении в электрическом поле.

В общем случае гамильтониан, описывающий спиновое расщепление в системе двумерных электронов, может быть представлен в виде: где Г2Р = ар - частота прецессии спина в эффективном магнитном, а - тензор 3x2. Вид тензора а зависит как от направления роста, так и от профиля квантовой ямы.

Hs = Шрст/2,

9)

При этом можно выделить два качественно различных случая.

В первом случае Г2р зависит от обеих компонент р и, соответственно, всегда лежит в некоторой выделенной плоскости. Такой случай реализуется, например, в симметричной квантовой яме, выращенной в направлении [100]. Если, например, данная квантовая яма лежит в плоскости (х,у), то, как видно из (6), (7) и (8), тензор а записывается в виде:

Возможен также случай, когда Ир зависит только от одной компоненты импульса и направлено вдоль некоторой фиксированной оси. Такой случай представляет особенный интерес с практической точки зрения, так как при этом одна из компонент спина практически не релаксирует. Так, ряд последних исследований [6, 7, 8, 9, 10, 11] посвящен симметричным квантовым ямам на основе GaAs, выращенным в направлении [110]. В таких структурах эффективное магнитное поле оказывается всегда перпендикулярным плоскости квантовой ямы. В результате, компонента спина, перпендикулярная плоскости квантовой ямы, не релаксирует [5] (точнее, релаксирует очень медленно за счет более слабых эффектов). Аналогичная ситуация может быть достигнута в асимметричных квантовых ямах, выращенных в направлении [100], в случае, когда члены Дрессельхауза и Бычкова-Рашбы в спиновом расщеплении имеют одинаковую силу [12, 13, 14, 15, 16] (в этом случае случайное магнитное поле лежит в плоскости квантовой ямы, однако оно по-прежнему параллельно некоторой фиксированной оси)1.

Рассмотрим более подробно механизм релаксации Дьяконова-Переля. По мере движения электрона по кристаллу его спин прецессирует с частотой fip вокруг вектора Г2р. Импульс электрона и, соответственно, направление оси прецессии ме

1 Спиновое расщепление Бычкова-Рашбы обусловлено встроенным полем в квантовой яме и может регулироваться с помощью приложенного напряжения на затворе [17].

10) няются случайным образом при рассеяниях на примесях. Это позволяет рассматривать эффективное магнитное поле, обусловленное спиновым расщеплением, как случайно меняющуюся величину. Угловое движение вектора спина под действием такого поля носит диффузионный характер (рис.1). При этом время одного шага диффузии совпадает с транспортным временем т, а характерный угол поворота за один шаг диффузии ф = От, где О - характерная частота прецессии спина в эффективном магнитном поле. В результате, коэффициент угловой диффузии спина по порядку величины равен:

Ds » ф2/т и 02т. (11)

Для того чтобы произошла релаксация спина, вектор спина в процессе угловой диффузии должен отклониться на угол порядка единицы. Таким образом, обратное время спиновой релаксации 1 по порядку величины совпадает с Ds [2]:

1/ts » Ds И 02Т. (12)

В двумерном случае, когда движение электрона в одном направлении ограничено квантовой ямой, расщепление спектра и, соответственно, частота прецессии спина пропорциональны скорости электрона в плоскости квантовой ямы О ~ v. В результате, скорость спиновой релаксации для двумерных электронов оказывается пропорциональна коэффициенту диффузии электронов и, соответственно, проводимости2:

1/г5~£>~<Т. (13)

Наличие связи между скоростью спиновой релаксации и проводимостью предполагает, что ряд широко известных в проводимости эффектов также влияет и на скорость спиновой релаксации. К таким эффектам можно отнести:

2 Проводимость связана с коэффициентом диффузии соотношением Эйнштейна, которое носит универсальный характер.

1. Эффект слабой локализации, обусловленный интерференцией электронных волн, обошедших замкнутую траекторию в противоположных направлениях.

2. Переход из металлической в диэлектрическую фазу по мере увеличения беспорядка (переход металл-диэлектрик).

3. Классические эффекты памяти, обусловленные процессами баллистического или диффузионного возврата электронов к некоторой примеси.

Связь между проводимостью и скоростью спиновой релаксации (13) предполагает наличие аналогичных эффектов в спиновой динамике. Такие эффекты представляют не только теоретический, но и практический интерес, так как могут приводить к замедлению спиновой релаксации. В частности, эффекты памяти могут приводить к долговременным корреляциям, в том числе на временах, превышающих время спиновой релаксации по механизму Дьяконова-Переля. Локализация электронов приводит к переходу системы в диэлектрическую фазу и экспоненциальному подавлению проводимости с уменьшением температуры, что также предполагает подавление спиновой релаксации.

В связи с этим представляется актуальным:

1. Исследовать влияние эффекта слабой локализации на спиновую релаксацию.

2. Исследовать динамику спиновой поляризации во внешнем магнитном поле в режиме слабой локализации для разного вида спинового расщепления. Изучить влияние слабой локализации на зависимость стационарной спиновой поляризации от внешнего магнитного поля (эффект Ханле).

3. Исследовать влияние классических эффектов памяти на динамику спина на временах, превышающих классическое время спиновой релаксации по механизму Дьяконова-Переля.

4. Исследовать влияние пространственной локализации электронов на спиновую релаксацию.

5. Исследовать релаксацию спина электронов в примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром. Исследовать связь спиновой релаксации с проводимостью в такой системе.

Цель работы: Теоретически изучить влияние эффектов локализации и эффектов памяти на динамику спина в режиме металлической проводимости. Исследовать влияние внешнего магнитного поля на динамику спина, а также на стационарную спиновую поляризацию с учетом данных эффектов. Исследовать релаксацию спина в полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром в случае, когда проводимость носит активационный характер.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Развит метод описания динамики спиновой поляризации в режиме слабой локализации с помощью кинетического уравнения для функции распределения спина. Показано, что эффект слабой локализации может быть учтен путем введения в уравнение, описывающее динамику спина, нелокальной по времени поправки к интегралу столкновений.

2. Описана динамика спиновой поляризации на больших временах с учетом квантовых и классических эффектов памяти. Показано, что такие эффекты приводят к замедлению релаксации спина на временах, превышающих классическое время спиновой релаксации по Дьяконову-Перелю. Также показано, что на таких временах релаксация спина носит неэкспоненциальный характер.

3. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на долговременную динамику спиновой поляризации, а также на стационарную спиновую поляризацию б режиме слабой локализации. Показано, что в области слабых полей чувствительность стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю может существенно повышаться за счет интерференционных эффектов.

4. Показано, что в двумерных системах ограничение классического движения электрона областью малых размеров может приводить к существенному подавлению спиновой релаксации.

5. Исследована релаксация спина в примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром. Разработан подход, позволяющий использовать результаты теории протекания для описания спиновой релаксации в указанной системе. Проведен анализ роли протекательного кластера в спиновой релаксации.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволили предложить новые механизмы замедления спиновой релаксации, а также предсказать режим с повышенной чувствительностью стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на международных конференциях: «Nanostructures: Physics And Technology» (Санкт-Петербург, 2004-2006 гг.), «Fundamentals of Electronic Nanosystems NATO Advanced Workshop» (Санкт-Петербург, 2005-2006 гг.), а также на семинарах сектора теории конденсированного состояния ПИЯФ им. Б. П. Константинова РАН (2006 г.) и сектора теории электрических и оптических явлений в полупроводниках ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН (2004-2006 гг.).

Исследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом

Фундаментальных Исследований, фондом некоммерческих программ «Династия», а также грантами РАН и грантами ведущих научных школ РФ.

Публикации.

По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано семь научных работ, список которых приведен в заключении диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы, а также двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Физика полупроводников», Любинский, Илья Семенович

5.4 Выводы роль стока (релаксацию на нем можно считать мгновенной). Наконец, при очень сильных спиновых расщеплениях реализуется режим ловушек. В роли последних выступают примеси, изолированные от остальной системы на масштабах времени, превышающих текущее время. В последних двух случаях релаксация носит неэкспоненциальный характер, что является проявлением неоднородности системы.

Заключение

Совокупность представленных в диссертации результатов исследований позволяет сформулировать следующие научные положения, выносимые на защиту:

1. Слабая локализация приводит к замедлению релаксации спина в двумерных полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром. Спиновая поляризация спадает на больших временах как 1/1 Экспоненциальный закон затухания восстанавливается за счет неупругого рассеяния и внешнего магнитного поля, как параллельного, так и перпендикулярного плоскости квантовой ямы.

2. В условиях стационарной накачки спина в образец эффект слабой локализации приводит к неаналитической зависимости стационарной спиновой поляризации от внешнего магнитного поля.

3. Классические эффекты памяти, связанные с повторными рассеяниями на примеси, приводят к замедлению спиновой релаксации. При этом спиновая поляризация спадает на больших временах как 1/t2.

4. В двумерной диффузионной системе с характерными размерами, не превышающим длину спиновой релаксации L$ = у/Dts, скорость спиновой релаксации параметрически мала по сравнению со скоростью релаксации в бесконечной системе. Тензор скорости спиновой релаксации сильно анизотропен -его компоненты различаются параметрически.

5. В примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром могут реализовываться различные режимы спиновой релаксации. При очень слабых спиновых расщеплениях спиновая релаксация определяется редкими нетипичными конфигурациями примесей, где релаксация происходит очень быстро. С усилением спинового расщепления реализуется режим, при котором релаксация происходит за счет ухода электронов на бесконечный про-текательный кластер, где релаксация происходит очень быстро. При очень сильном спиновом расщеплении релаксация определяется уходом с изолированных примесей.

В заключение, автор выражает благодарность Валентину Юрьевичу Ка-чоровскому за чуткое руководство и Александру Петровичу Дмитриеву за плодотворные дискуссии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Любинский, Илья Семенович, 2006 год

1. Semiconductor Spintronics and Quantum Computation, eds. D.D. Awschalom, D. Loss, and N. Samarth (Springer-Verlag, Berlin, 2002).

2. М.И. Дьяконов, В. И. Перель, ФТТ, 13, 3581 (1971).

3. G. Dresselhaus, Phys. Rev., 100, 580 (1955).

4. Ю. А. Бычков, E. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ, 39, 66 (1984).

5. М.И. Дьяконов, В.Ю. Качоровский, ФТП 20, 178 (1986).

6. Y. Ohno, R. Terauchi, Т. Adachi et al, Phys. Rev. Lett. 83, 4196 (1999).

7. T. Adachi et al, Physica E (Amsterdam) 10, 36 (2001).

8. W.H. Lau and M.E. Flatte, J. Appl. Phys. 91, 8682 (2002).

9. O. Z. Karimov, G. H. John, R. T. Harley et al., Phys. Rev. Lett. 91, 246601 (2003).

10. K.C. Hall, K. Giindodu, E. Altunkaya et al, Phys. Rev. В 68, 115311 (2003).

11. S. Dohrmann, D. Hagele, J. Rudolph et al., Phys. Rev. Lett. 93, 147405 (2004).

12. F.G. Pikus and G.E. Pikus, Phys. Rev. B, 51, 16928 (1995).

13. N. S. Averkiev and L.E. Golub, Phys. Rev. B, 60, 15582 (1999).

14. A.A. Kisilev and K.W. Kim, Phys. Status Solidi (b) 221, 491 (2000).

15. J. Schliemann, J. С. Egues, and D. Loss, Phys. Rev. Lett. 90, 146801 (2003).

16. J. Schliemann and D. Loss, Phys. Rev. В 68, 165311 (2003).

17. J. Nitta, T. Akazaki, H. Takayanagi, and T. Enoki, Phys. Rev. Lett. 78, 1335 (1997).

18. V.I. Kozub, Sov. Phys. Solid State, 26, 1186 (1984).

19. Yu.M. Gal'perin and V.I. Kozub, Sov. Phys. JETP, 73, 179 (1991).

20. JI. П. Горьков, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий, Письма в ЖЭТФ, 30, 248(1979).

21. P. A. Lee and T.V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys., V. 57, 287 (1985).

22. A. Singh, Phys. Rev. B, 39, 505 (1989); 40, 783 (1989).

23. A. G. Mal'shukov, K. A. Chao, and M.Willander, Phys. Rev. Lett., V. 76, 37941996).

24. A. G. Mal'shukov, K. A. Chao, and M.Willander, Phys. Rev. B, 52, 5233 (1995).

25. R. I. Dzhioev, К. V. Kavokin, V. L. Korenev et al, Phys. Rev. B, 66, 245204 (2002).

26. S. Hershfield and V. Ambegaokar, Physical Review B, 34, 2147 (1986).

27. G. Strinati, C. Castelani, and C. Di Castro, Phys. Rev. B, 40, 12237 (1989).

28. A. P. Dmitriev, I.V. Gornyi, and V.Yu. Kachorovskii, Phys. Rev. B, 56, 99101997).

29. S. Chakravarty and A. Schmid, Physics Report, 140, 195 (1986).

30. B.L. Altshuler, A. G. Aronov, and D.E. IChmelnitskii, J. Phys. C: Solid State Phys., 15, 7367 (1982).

31. Optical orientation, eds. F. Meier and B. P. Zakharchenya, (North Holland, Amsterdam, 1984).

32. S.V. Iordanskii, Yu.B. Lyanda-Geller, and G.E. Pikus, JETP Letters 60, 206 (1994).

33. W. Knap, C. Skierbiszewski, A. Zduniak et al, Phys. Rev. В 53 3912 (1996).

34. I.S. Lyubinskiy, V.Yu. Kachorovskii, Phys. Rev. В 70, 205335 (2004).

35. M. Fogler, A.Yu. Dobin, V.I. Perel, and B.I. Shklovskii, Phys. Rev. В 56, 6823 (1997).

36. E.M. Baskin and M.V. Entin, Physica В 249, 805 (1998).

37. A. V. Bobylev et al., J. Stat. Phys. 87, 1205 (1997).

38. A. D. Mirlin, D. G. Polyakov, F. Evers, and P. Wolfle, Phys. Rev. Lett. 87, 126805 (2001).

39. D.G. Polyakov, F. Evers, A. D. Mirlin, and P. Wolfle, Phys. Rev. В 64, 205306 (2001).

40. A. Dmitriev, M. Dyakonov, and R. Jullien, Phys. Rev. В 64, 233321 2001.

41. A. D. Mirlin, J. Wilke, F. Evers et al., Phys. Rev. Lett. 83, 2801 (1999).

42. A. Dmitriev, M. Dyakonov, and R. Jullien, Phys. Rev. Lett. 89, 266804 (2002).

43. V.V. Cheianov, A.P. Dmitriev, V.Yu. Kachorovskii, Phys. Rev. В 68, 201304(R) (2003); Phys. Rev. В 70, 245307 (2004).

44. J. Wilke, A.D. Mirlin, D.G. Polyakov et al, Phys. Rev. В 61, 13774 (2000).

45. D. G. Polyakov, F. Evers and I. V. Gornyi, Phys. Rev. В 65, 125326 (2002).46 4748 49 [5051 52 [53 [54 [55 [56 [57 [5859

46. M.H. Ernst and A. Weyland, Phys. Lett. 34 A, 39 (1971).

47. E. H. Hauge, in Transport Phenomena, edited by G. Kirczenow and J. Marro, Lecture Notes in Physics, Vol. 31 (Springer, Berlin, 1974), p. 337.

48. A. Dmitriev, M. Dyakonov, and R. Jullien, Phys. Rev. В 71, 155333 (2005).

49. S. Levitov and E.I. Rashba, Phys. Rev. B, 67, 115324 (2003).

50. F. Evers, A. D. Mirlin, D.G. Polyakov, and P. Wolfle, Usp. Fiz. Nauk (Suppl.) 171, 27 (2001).

51. M.M. Glazov and E.L. Ivchenko, JETP Lett., 75, 403 (2002).

52. A. Bournel, P. Dollfus, P. Bruno, and P. Hesto, Eur. Phys. J AP 4, 1 (1998).

53. A. G. Mal'shukov and K. A. Chao, Phys. Rev. В 61, R2413 (2000).

54. A. W. Holleitner, V. Sih, R.C. Myers et al., cond-mat/0602155 (2006).

55. C.H. Chang, A. G. Mal'shukov, and K. A. Chao, Phys. Rev. В 70, 254309 (2004). V.M. Galitski, A. A. Burkov, and S.D. Sarma, cond-mat/0601677 (2006).

56. B.I. Shklovskii, cond-mat/0602221.

57. B.I. Shklovskii and A.L. Efros, Electronic Properties of Doped Semoconductors (Springer-Verlag, Berlin, 1984).

58. N. F. Mott, J. Non-Cryst. Solids 1, 1 (1972).

59. N. Ja. Vilenkin, Representation of Lie Groups and Special Functions, Kluwer Academic Publishers Group (1992).

60. M. Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, Dover Publications Inc., New York (1964).

61. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

62. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Slowing down of spin relaxation in two-dimensional systems by quantum interference effects //Phys. Rev. В 70, 205335 (2004).

63. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Suppression of spin relaxation by quantum interference effects //in proceedings of 12th international symposium «Na-nostructures: Physics and Technology», St Petersburg, Russia, June 21-25, 2004.

64. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Hanle Effect Driven by Weak Localization //Phys. Rev. Lett. 94, 076406 (2005).

65. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Weak-localization-induced anomaly in Hanle effect //in proceedings of 13th international symposium «Nanostructures: Physics and Technology», St Petersburg, Russia, June 20-25, 2005.

66. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Classical memory effects on spin dynamics in two-dimensional systems //Phys. Rev. В 73, 041301 (2006).

67. И. С. Любинский, Релаксация спина в двумерных системах малых размеров //Письма в ЖЭТФ 83, 395 (2006).

68. I. S. Lyubinskiy and V. Yu. Kachorovskii, Spin dynamics in the regime of hopping conductivity //in proceedings of 14th international symposium «Nanostructures: Physics and Technology», St Petersburg, Russia, June 26-30, 2006.