Эффекты лазерного усиления в неупорядоченных двухмерных массивах микрорезонаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Баженов Андрей Юрьевич

• Баженов Андрей Юрьевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Баженов Андрей Юрьевич

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Аналитический обзор литературы. Лазеры и

современные методы получения когерентного излучения

1.1 Сравнительный анализ физических методов получения когерентного излучения

1.1.1 Явление стимулированного излучения и лазерного усиления

1.1.2 Явление конденсации Бозе-Эйнштейна; поляритонный

лазер

1.1.3 Явление сверхизлучения; сверхизлучающий лазер

1.1.4 Случайные лазеры

1.2 Лазерная генерация в неупорядоченных средах

1.2.1 Когерентные свойства излучения в неупорядоченных средах110

1.2.2 Экспериментальные методы создания случайных лазеров

1.3 Фазовые переходы при взаимодействии света с веществом

1.3.1 Равновесные фазовые переходы к сверхизлучению в

модели Дике

1.3.2 Диссипативный фазовый переход в лазере

1.4 Фазовые переходы в неоднородной модели Изинга с расположением спинов в узлах безмасштабной сети

1.5 Выводы к главе

Глава 2. Сверхизлучающий лазер на основе фазовых переходов в модели Дике-Изинга со спин-спиновым

взаимодействием

2.1 Лазероподобная модель Дике-Изинга на основе материала в

виде сложных сетевых структур

2.1.1 Основные уравнения теории среднего поля

2.1.2 Сетевая организация двухмерных лазерных материалов и

ее свойства

2.2 Влияние топологических свойств сетевой организации материала

на лазероподобные фазовые переходы в модели Дике-Изинга

2.2.1 Фазовые переходы в модели Дике-Изинга с регулярной сетевой организацией взаимодействующих спинов

2.2.2 Сверхизлучательный фазовый переход в модели Дике-Изинга с организацией взаимодействующих спинов

в виде случайной и сложной сетей

2.2.3 Сверхизлучательный квантовый фазовый переход в

модели Дике-Изинга

2.3 Фазовый переход к сверхизлучающему лазеру в модели Дике-Изинга

2.4 Влияние корреляции степени узлов на лазероподобный фазовый переход в модели Дике-Изинга

2.4.1 Модель лазерного материала в виде ассортативной сети

2.4.2 Фазовые переходы в модели Дике-Изинга с учетом корреляции степени узлов

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Лазерные фазовые переходы в двухмерных

неупорядоченных массивах микрорезонаторов

3.1 Фазовый переход к сверхизлучению в двухмерных микроструктурах с интерфейсом сложной сети

3.1.1 Модель двухмерной микроструктуры с сетевым интерфейсом

3.1.2 Фазовый переход и лазероподобное усиление в двухмерном квантовом материале с сетевым интерфейсом

3.2 Лазерная генерация в массиве микрорезонаторов с пространственно сетевой архитектурой их расположения

3.2.1 Основные уравнения

3.2.2 Неравновесный фазовый переход к лазерной генерации в неупорядоченной системе микрорезонаторов

3.3 Выводы к главе

Глава 4. Квантовая сенсорика на основе сверхизлучательного

фазового перехода

4.1 Физическая модель квантового сенсора температуры

4.2 Сверхизлучение и лазерная генерация в условиях неоднородного уширения

4.2.1 Формирование квантовых связанных состояний среды и

поля в условиях сверхизлучения и лазерной генерации

4.2.2 Инверсия населённости в условиях сверхизлучения и лазерной генерации

4.3 Квантовый сенсор температуры на сверхизлучательном фазовом переходе

4.4 Выводы к главе

Заключение

Список сокращений и часто используемых обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Приложение А. Квантовые параметрические возбуждения в

лазероподобных средах

Приложение Б. Тексты основных публикаций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты лазерного усиления в неупорядоченных двухмерных массивах микрорезонаторов»

Реферат Общая характеристика работы

Актуальность темы. Лазеры представляют собой одно из величайших достижений квантовой теории взаимодействия излучения с веществом и экспериментальной квантовой физики за более чем 100 лет ее существования, см., напр., [1; 2]. Принцип действия этих устройств основан на усилении света посредством вынужденного излучения ансамбля частиц, обладающих дискретным спектром энергии. Современные квантовые технологии позволяют создавать различные лазерные и лазероподобные (когерентные) устройства, которые широко используются в науке, промышленности, экологии, медицине и пр. Одной из приоритетных задач является создание малогабаритных высококогерентных и энергосберегающих источников лазерного излучения, которые можно было бы задействовать в схемах квантовых вычислений, квантовой метрологии и сенсорике. В этой связи особое место занимают случайные лазеры, источники сверхизлучения (СИ) и сверхизлучающие лазеры (superradiant lasers), а также источники когерентного света, основанные на бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) фотонов и/или экситонных поляритонов.

В настоящее время для сложных по своей природе устройств атомного, поляритонного конденсатов, сверхизлучающих систем, излучение которых связано с некоторым упорядоченным состоянием вещества, в научном сообществе установились такие термины как «атомный лазер», «поляритонный лазер», «сверхизлучающий лазер», соответственно, см., напр., [3; 4]. В их основе можно обнаружить оригинальные принципы лазерной (бозонной) стимуляции и усиления излучения, хотя зачастую такие устройства далеки от первоначально разработанных и созданных лазерных генераторов светового поля.

Понимание сущности процессов, связанных с лазерной генерацией и когерентностью, всегда являлось ключевой задачей лазерной физики еще с момента ее становления [1; 5]. В этой связи необходимо отметить явление сверхизлучения, связанное с квантовыми корреляциями дипольных моментов в среде. Это явление представляет собой по сути предельный случай лазерного устройства, обладающего низкодобротным резонатором. Основные (когерентные) статистические особенности как лазерного излучения, так и сверхизлучения были объяснены путем изучения корреляционной функции фотонов в рамках теорий

квантовой и нелинейной оптики. С недавних пор особый интерес в квантовой метрологии представляют так называемые сверхизлучающие лазеры, для которых удалось сфазировать между собой более одного миллиона диполей из двухуровневых атомов [6]. С другой стороны, теория фазовых переходов (ФП) и критических явлений, основанная на статистическом и термодинамическом подходах, смогла объяснить образование когерентных состояний вещества в конденсированных средах (речь идет, в частности, о бозе-конденсации частиц), а также макроскопические когерентные эффекты СИ.

Основное различие между рассматриваемыми двумя фундаментальными (теоретическими) подходами состоит в том, что изначально ФП рассматривались только для термодинамически равновесных систем. Однако лазерные системы не являются таковыми. В этом случае уместно говорить лишь об определенной аналогии процессов, происходящих в открытых (накачиваемо - дисси-пативных) и термодинамически равновесных лазероподобных системах, демонстрирующих фазовые переходы [7].

К настоящему времени, с развитием экспериментальных возможностей, ученым удалось наблюдать БЭК в различных физических средах: атомы щелочных металлов, экситонные поляритоны, магноны, фотоны и фононы. БЭК - новое макроскопически когерентное состояние ансамбля частиц, очень похожее по своим статистическим характеристикам на лазерное излучение, сформированное существенно выше порога лазерной генерации. В особенности, такая аналогия становится необходимой, если речь идет о БЭК газа фотонов, экси-тонных поляритонов, т.е. явлений, происходящих в системах с эффективным взаимодействием вещества и светового поля [3; 8].

В определенной степени применение различных (теоретических) методов и подходов к изучению физических систем, демонстрирующих явления БЭК, СИ и лазерной генерации, является вопросом удобства описания системы, которая к тому же может иметь достаточно сложную структуру. Таковыми, например, являются цепочки и массивы микрорезонаторов, каждый из которых уже сам по себе может представлять мини-источник когерентного излучения. В реальной жизни такие системы, как правило, не находятся в термодинамическом равновесии из-за их открытой (накачиваемо - диссипативной) природы, и следует учитывать эффекты конечной размерности системы в целом. Однако в условиях высокодобротного резонатора удается исследовать систему за проме-

жутки времени, когда можно пренебречь влиянием различных диссипативных процессов.

С практической точки зрения рассматриваемые системы применяются при разработке оптических компьютеров, различных фотонных симуляторов и устройств памяти и т.д. Таким образом, исследование фазовых переходов, приводящее в конечном итоге к макроскопическому эффекту лазерной генерации и формированию когерентного состояния поля и вещества, представляет актуальную проблему современной квантовой теории лазерных систем, имеющую множество важных практических приложений.

Также весьма полезной и активно развивающейся с недавних пор является концепция случайного лазера. В рамках данной концепции распространение излучения в неупорядоченной среде приводит к усилению света [9]. Случайные лазеры работают по тем же принципам, что и обычные, но их моды определяются многократным рассеянием, а не (общим) лазерным резонатором, т.е. оптическая обратная связь обеспечивается рассеивающими частицами неупорядоченного материала случайного лазера. С недавних пор все возрастающий интерес в эксперименте здесь связан с получением лазерного излучения в неупорядоченных усиливающих полупроводниковых материалах, а также светопро-водящих нановолокнах, помещенных в краситель Родамин 60 и образующих двухмерный лазерный материал в виде случайных графов [10]. Показано, что увеличение средней степени узлов графа сопровождается уменьшением порогового значения перехода к лазерной генерации, что имеет важное значение при создании безрезонаторных низкопороговых лазерных источников излучения, обладающих определенной сетевой архитектурой. Перечисленные выше особенности лазерной генерации в неупорядоченных средах открывают совершенно новые перспективы для создания источников когерентного лазерного излучения, основанных на использовании неупорядоченных массивов микрорезонаторов.

Целью диссертационной работы является разработка новых источников когерентного излучения на основе взаимодействия светового поля с веществом в неупорядоченных двухмерных массивах микрорезонаторов с топологией сложных сетей и графов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать модель сверхизлучающего лазера на основе неупорядоченных в пространстве двухмерных массивов двухуровневых квантовых систем (ДКС), взаимодействующих как с классическим, так и с квантовым световым полем.

2. Выявить особенности термодинамически равновесных лазероподобных фазовых переходов в микроструктурах на основе модели Дике-Изинга, обладающих топологией конечномерных графов (сетей) с регулярным, случайным, а также степенным распределением степеней узлов (СР-СУ).

3. Исследовать особенности неравновесного фазового перехода к лазерной генерации для неупорядоченных в пространстве двухмерных массивов микрорезонаторов, содержащих двухуровневые квантовые системы.

4. Разработать модель квантового сенсора температуры, работающего на основе сверхизлучательного фазового перехода в ансамбле двухуровневых квантовых систем.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В неупорядоченных двухмерных массивах микрорезонаторов, характеризующихся взаимодействием коллективной фотонной моды с ансамблем двухуровневых квантовых систем (атомов, квантовых точек) при конечных температурах, частота Раби определяется статистическими особенностями сетевой архитектуры этих массивов.

2. В отсутствие внешнего (классического) магнитного поля, в пределе нулевой температуры для термодинамически равновесной модели Дике-Изинга, характеризующей двухмерный лазерный материал в виде регулярной, случайной или сложной сети взаимодействующих спинов 1/2 (двухуровневых квантовых систем), возможен фазовый переход второго рода к режиму сверхизлучающего лазера.

3. Неравновесный фазовый переход к лазерной генерации в двухмерных массивах микрорезонаторов с пространственной сетевой архитектурой, подчиняющейся степенному закону распределения степеней узлов р(к) ~ к-1 (7 > 1) наступает, начиная с порогового значения разности

населенности , обратно пропорциональной средней степени узлов сети (к).

4. Предельная величина погрешности оценки температуры биологических микрообъектов оптическим сенсором состоящем из ансамбля N двухуровневых квантовых систем пропорциональна критической температуре фазового перехода зондирующего сверхизлучающего лазера со средним числом фотонов порядка N и ограничена пределом Гейзенберга 1/Ы.

Научная новизна:

1. Впервые исследована проблема лазероподобных фазовых переходов в термодинамически равновесной модели Дике-Изинга со слабо взаимодействующими между собой спинами 1/2, размещенными в узлах регулярной, случайной, или сложной сети, формирующей двухмерную среду. Показано, что для регулярной сети, образующей полный граф с постоянной степенью узлов к0 = N — 1, среднее число фотонов сверхизлучения прямо пропорционально N3, а не N2, как это имеет место для модели Дике, где N ^ 1 есть число спинов - узлов сети.

2. Предложен новый метод получения режима сверхсильной связи ансамбля двухуровневых квантовых систем, расположенных в узлах сети (графа) со степенным распределением степеней узлов (СРСУ) р(к) ~ к-1 и коллективной фотонной моды. Показано, что такой режим может быть реализован благодаря особенностям сетевого расположения микрорезонаторов, обеспечивающего одновременное взаимодействие двухуровневых квантовых систем с квантованным полем посредством многочисленных волноводных каналов (ребер графа), ответственных за образование хабов.

3. Разработана модель нового оптического (лазерного) материала, состоящего из двухмерных массивов микрорезонаторов, содержащих двухуровневые системы, и расположенных в N узлах сети (графа). Показано, что для лазера класса А, основанного на таком материале, коэффициент усиления лазерного излучения пропорционален средней степени узлов (к), что обеспечивает гигантское усиление светового по-

ля при (к) ^ 1 для СРСУ-сети в области изменения показателя степени 1 < 7 < 2, а также регулярной сети в виде полного графа с (к) = ко = N - 1.

4. Впервые предложен квантовый оптический сенсор для измерения физически малых изменений температуры в биологических микрообъектах, принцип действия которого основан на явлении фазового перехода к сверхизлучению в ансамбле двухуровневых квантовых систем, помещенных вместе с микрообъектом в открытый полупроводниковый микрорезонатор.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть востребованы при разработке новых лазерных сред (для случайных лазеров) и, соответственно, новых (высокоэффективных) источников когерентного лазерного излучения на их основе. Эти результаты открывают качественно новые перспективы для обработки квантовой информации и квантовых вычислений двухуровневыми системами с сетевой организацией. Результаты диссертации также могут быть полезны при создании оптических датчиков и сенсоров температуры, действие которых основано на физических свойствах сверхизлучательных фазовых переходов.

Достоверность подтверждается использованием общепринятых методов статистической и лазерной физики, а также квантовой оптики. Она (достоверность) также хорошо согласуется с опубликованными экспериментальными и теоретическими результатами, полученными в работах других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П. Сверхизлучательные фазовые переходы в обобщенной спин-бозонной модели с бихроматическим полем // VIII Всероссийский конгресс молодых ученых. ИТМО, 2019;

2. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П. Термодатчик на сверхизлучательном фазовом переходе // XXIII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», 2019;

3. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П., Царёв Д.В. Термодатчик на сверхизлучательном фазовом переходе // ХЫХ Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, 2020;

4. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П. Квантовый температурный сенсор на сверхизлучательном фазовом переходе //IX Всероссийский конгресс молодых ученых. ИТМО, 2020;

5. Баженов А.Ю. Квантовый температурный сенсор на сверхизлучательном фазовом переходе// XII Международная конференция Фундаментальные проблемы оптики (ФПО 2020);

6. Bazhenov A.Y., Alodjants A.P. Quantum temperature sensor based on superradiant phase-transition // International Conference Laser Optics 2020;

7. Баженов А.Ю. Квантовый температурный сенсор на сверхизлучательном фазовом переходе//Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2020»;

8. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П., Царёв Д.В. Фазовые переходы в комплексных сетевых структурах // L научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, 2021;

9. Баженов А.Ю. Сверхизлучательные фазовые переходы в комплексных сетевых структурах //Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2021»;

10. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П. Сверхизлучательные фазовые переходы в комплексных сетевых структурах // X Всероссийский конгресс молодых ученых. ИТМО, 2021;

11. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П., Никитина М.М. Сверхизлучательный фазовый переход в комплексных сетевых структурах // XII международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (ФЭКС-2021) памяти профессора Виталия Владимировича Самарцева;

12. Баженов А.Ю. Фазовые переходы в модели Изинга-Дикке для комплексных сетевых структур, описывающих распределенное спин-спиновое взаимодействие // LI научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО (ППС), 2022;

13. Баженов А.Ю. Фазовые переходы в модели Дике-Изинга для комплексных сетевых структур, описывающих распределенное спин-спиновое взаимодействие // XI Конгресс молодых ученых, 2022;

14. Баженов А.Ю., Алоджанц А.П. Высокотемпературный сверхизлучательный фазовый переход в квантовых метаматериалах с безмасштаб-

ным сетевым интерфейсом // Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2022».

Личный вклад. Постановка целей и задач исследования, выбор подходов и методов их решений, представленных в данной работе, осуществлялись совместно с научным руководителем. Все расчёты проведены автором лично. Подготовка публикаций и интерпретация полученных результатов производились совместно с научным руководителем и соавторами статей.

Внедрение результатов работы. Результаты работы в части разработки и исследования моделей фазовых переходов со спин-спиновым взаимодействием выполнялись при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 19-52-52012 MHT-a. Результаты работы в части исследования СИ ФП для модели Дике-Изинга со спин-спиновым взаимодействием использовались в ходе выполнения научно-исследовательских работ при поддержке магистерско-аспирантского НИР № 620164 "Методы искусственного интеллекта для киберфизических систем". Научные исследования по главе 2 выполнены при поддержке гос. задания №2019-1339 Министерства науки и высшего образования РФ. Результаты, представленные в главе 3 выполнены при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации на базе ФГАОУ ВО «ЮУрГУ (НИУ)» (соглашение №075-15-2022-1116).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 5 работах в изданиях из перечня Scopus, WOS и 1 ВАК:

1. Bazhenov A. Y., Tsarev D. V., Alodjants A. P. Temperature quantum sensor on superradiant phase-transition // Physica B: Condensed Matter. - 2020. - Т. 579. - С.411879.

2. Bazhenov A. Y., Tsarev D. V., Alodjants A. P. Mean-field theory of superradiant phase transition in complex networks// Physical Review E. -2021. - Т. 103. - №. 6. - С.062309.

3. Баженов A^., Никитина М. М., Алоджанц А. П. Сверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах с комплексной сетевой архитектурой // Письма в ЖЭТФ. - 2022 - T. 115. - №.11. - С. 6S5.

4. Bazhenov A.Yu., Nikitina M., Alodjants A. High temperature superradiant phase transition in novel quantum metamaterials// Optics Letters. - 2022. - Т. 47. - С.3119.

5. Alodjants A. P., Bazhenov A. Y., Nikitina M. M. Phase Transitions in Quantum Complex Networks //Journal of Physics: Conference Series. -IOP Publishing. - 2022. - Т. 2249. - №. 1. - С. 012014.

6. Alodjants, A. P., Bazhenov, A. Yu., Khrennikov, A. Y., Bukhanovsky, A. V. Mean-field theory of social laser// Scientific Reports. - 2022. -T.12. -№.1. - C.1-17.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка сокращений и часто используемых обозначений, словаря терминов, списка литературы и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 296 страниц с 47 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 122 наименований.

Содержание работы

Введение диссертационной работы содержит обоснование ее актуальности. Здесь сформулирована цель работы и решаемые задачи, обсуждается научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приведены основные защищаемые положения, дана краткая характеристика содержания диссертации.

Глава 1 «Аналитический обзор литературы. Лазеры и современные методы получения когерентного излучения»

Первая глава посвящена обзору основных работ по теме исследования. В ней формулируются основные подходы и методы получения когерентного излучения, описывается текущее состояние теоретических и экспериментальных исследований в мире по данному направлению, которое имеет непосредственное отношение к диссертационной работе.

Основная тема диссертации связана с теоретическим исследованием особенностей лазерной генерации, а также сверхизлучения в неупорядоченных искусственных двухмерных микроструктурах, которые имеют определенную сетевую топологию, позволяющую осуществлять распределенную обратную связь между двухуровневыми квантовыми системами (ДКС). Целью главы 1 является представление различных способов и особенностей получения когерентного излучения в существующих лазерных материалах, которые по своим физическим свойствам наиболее близки к предложенным в работе (сетевым) структурам.

В параграфе 1.1 обсуждаются схемы различных типов взаимодействий излучения с веществом, таких как стимулированное лазерное усиление [5], бозе-эйнштейновская конденсация экситонных поляритонов [8], сверхизлучение [11] и сверхизлучающий лазер [6], случайный лазер [9], которые требуют наличия резонаторов в своей основе, или наоборот, могут обойтись без него, см. рис. 1.

В традиционных лазерах получение когерентного излучения основано на явлении усиления посредством вынужденного излучения, см. рис. 1(а), при котором возбуждённый атом способен излучить фотон под действием другого фотона без его поглощения, если энергия последнего находится в резонансе с разностью энергий уровней атома до и после излучения [12]. Для создания положительной обратной связи, при которой излучённые фотоны вызывают по-

С777-*-

Рисунок 1 — Схемы различных типов взаимодействий излучения с веществом, приводящих к образованию когерентного излучения; (а) - лазер с резонатором Фабри-Перо; З - зеркало, (б) - БЭК экситонных поляритонов; Б.З. -брэгговское зеркало, (в) - сверхизлучение, (г) - случайный лазер с пространственно распределенной обратной связью

следующие акты индуцированного излучения, систему помещают в резонатор. В простейшем случае это резонатор Фабри-Перо с парой параллельно расположенных зеркал, см. рис. 1(а).

Схожим образом устроены источники когерентного света, получаемые на основе фазового перехода к БЭК экситонных поляритонов, см. рис. 1(б). Явление БЭК основано на том, что в условиях термодинамического равновесия при температурах квантового вырождения бозе-газа тепловые (де-бройлевские) волны частиц начинают перекрываться. С понижением температуры ниже критической происходит макроскопическое заполнение бозе-частицами самого нижнего квантового состояния, обладающего нулевым импульсом [13]. В частности, для микрорезонатора, приведенного на рис. 1(б), это конденсат экситонных поляри-тонов, образующихся в плоскости полупроводникового материала и имеющих в этой плоскости импульсы \д\ ~ 0. В результате конденсат бозе-частиц образует одну большую волну, аналогичную по своим когерентным свойствам полю лазерного излучения. Физически, необходимым требованием к реализации БЭК

экситонных поляритонов является достижение так называемой сильной связи при взаимодействии квантованного поля резонатора с экситонами, при котором параметр связи становится порядка или больше обратного времени жизни фотона в резонаторе, а также времени жизни экситонов, см. [3]. В более общем случае в режиме сильной связи ДКС и квантованного поля должно выполняться условие

9 > ^ Г,т—\ (1)

где д - параметр связи ДКС с полем (резонатора), т - характерное время жизни возбужденного состояния ДКС по отношению к спонтанным переходам, Т -скорость деполяризации, к - скорость потерь фотонов в резонаторе.

Несмотря на то, что в существующих экспериментах конденсат экситон-ных поляритонов в микрорезонаторе представлял открытую (термодинамически неравновесную) накачиваемо-диссипативную систему взаимодействующих бозе-частиц, по всей совокупности обнаруженных свойств бозе-конденсация эк-ситонных поляритонов в микрорезонаторе принципиально отличается от эффекта лазерной генерации в полупроводниковых микроструктурах [14]. В частности, отсутствием инверсии населенности ансамбля ДКС. В случае с БЭК особое значение играет высокая добротность микрорезонатора, которая должна позволять экситонным поляритонам успеть термализоваться. Кроме этого, поскольку такие микроструктуры двухмерные необходимо также наличие удерживающего потенциала для ансамбля поляритонов.

В параграфе 1.2 обсуждаются актуальные вопросы разработки и функционирования случайных лазеров, основанных на рассеянии света в неупорядоченных материалах. Рассеяние в неупорядоченных оптических материалах является сложным, но может быть полностью когерентным. В случайном лазере распространение лучей происходит в неупорядоченной усиливающей среде, так что "траектория" рассеяния представляет из себя некоторый случайный граф, см. [9], а также рис. 2(а,б). Стоит отметить, что принцип работы случайного лазера идентичен обычному, однако оптические моды случайного лазера определяются многократным рассеянием, а не лазерным резонатором т.е. оптическая обратная связь обеспечивается рассеивающими частицами неупорядоченного среды случайного лазера. Существенной особенностью случайной генерации являются пространственно распределенное оптическое усиление и многократное

рассеяние, которое возникает, если размер системы Ь больше, чем средняя длина свободного пробега ^ фотонов в среде. В зависимости от силы рассеяния, то есть относительной величины и длины волны света Л случайную генерацию можно разделить на два основных семейства: диффузионные случайные лазеры и случайные лазеры с андерсоновской локализацией.

Диффузионные случайные лазеры (см. рис. 2(а)) реализуются при слабом рассеянии (Л < ^ < V) так, что оптические моды спектрально и пространственно перекрываются. Это приводит к образованию уширенных оптических мод, покрывающих всю систему.

Рисунок 2 — Схематические изображения рассеяния фотонов в материале случайного лазера; (а) - диффузионный режим, (б) - локализованный (андерсоновский) режим мод с когерентным рассеянием назад [15]

Случайные лазеры с андерсоновской локализацией фотонов (см. рис. 2(б)) реализуются при сильном рассеянии (^ < Л < Ь), когда возникает когерентное

обратное рассеяние так, что волновой вектор проникающего в среду фотона к

и выходящего назад к out почти противоположно направлены. В приближении Иоффе-Регеля угол между этими векторами, т.е. угол рассеяния, % ^ 1. Это приводит к сильной интерференции и локализации фотонов с определенной фазой. В данном случае могут формироваться пространственно локализованные моды, и соответствующие им пики генерации с шириной линии порядка 0.01-0.1 нм. В этих лазерах ширина линии мод меньше расстояния между модами, поэтому моды не перекрываются и не связаны, за исключением косвенной связи мод, которая происходит через оптическое усиление.

Статистика фотонов случайного лазера с когерентной обратной связью похожа на статистику традиционного лазера, но сильно отличается от фотонной статистики случайного лазера с некогерентной обратной связью.

б)

В случайном лазере с когерентной обратной связью флуктуации числа фотонов в каждой моде гасятся насыщением усиления, которое значительно выше порогового.

Для случайного лазера с некогерентной обратной связью насыщением усиления подавляются только флуктуации общего числа фотонов во всех модах лазерного излучения, а на флуктуации числа фотонов в одиночной моде это не влияет.

В контексте темы исследований диссертации следует выделить работу [10] по созданию случайного лазера, где лазерная генерация осуществлялась на основе лазерного материала, способного образовывать случайные графовые структуры. В качестве материальной основы лазера использовались полимерные нановолокна с диаметром 200—500 нм, допированные красителем (Родамин 60), см. рис. 3. Эти волокна, выполняющие роль светопроводящих волноводов, являются ребрами графов (на рис. 3(в) представлен граф, которым моделировалась сеть материала случайного лазера). Каждое субволновое нановолокно направляет свет на расстояние не более длины распространения в 100 мкм. В результате случайная фотонная сеть показывает большую эффективность лазерной генерации при комнатной температуре, а также при возбуждении одним зеленым лазерным импульсом длительностью 500 пс (Л = 532 нм), который освещает пятно диаметром порядка 160 мкм в плоскости сети.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Баженов Андрей Юрьевич, 2022 год

Список литературы

1. Lamb W. E, Schleich W. P., et. al. Laser physics: Quantum controversy in action // Reviews of Modern Physics. — 1999. — Vol. 71, no. 2. — s263.

2. Багаев С. Н., и др., (ред). Начало лазерной эры в СССР (сборник статей) // ФИАН, LPI. — 2010. — с. 160.

3. Proukakis N. P., Snoke D. W., Littlewood P. B. ( Universal themes of Bose-Einstein condensation. — Cambridge University Press, 2017.

4. Norcia M. A., et al. Superradiance on the millihertz linewidth strontium clock transition // Science Advances. — 2016. — Vol. 2, no. 10. — e1601231.

5. Haken H. Laser light dynamics. — Amsterdam: North-Holland, 1985.

6. Bohnet J. G., et al. A steady-state superradiant laser with less than one intracavity photon // Nature. — 2012. — Vol. 484, no. 7392. — P. 78-81.

7. DeGiorgio V., Scully M. O. Analogy between the laser threshold region and a second-order phase transition // Physical Review A. — 1970. — Vol. 2, no. 4. — P. 1170.

8. Kirton P., Keeling J. Nonequilibrium model of photon condensation // Physical Review Letters. — 2013. — No. 111. — P. 100404.

9. Wiersma D. The physics and applications of random lasers // Nature Physics. — 2008. — No. 4. — P. 359-367.

10. Gaio M., et al. A nanophotonic laser on a graph // Nature Communications. — 2019. — Vol. 10, no. 1. — P. 1-7.

11. Wang Y. K., Hioe F. T. Phase transition in the Dicke model of superradiance // Physical Review A. — 1973. — Vol. 7, no. 3. — P. 831.

12. Scully M. O.and Zubairy M. S. Quantum Optics. — Cambridge: Cam, 1997.

13. Pitaevskii L. P., Stringari S., Stringari S. Bose-einstein condensation. — Oxford University Press, 2003.

14. Тимофеев В. Б. О бозе-конденсации экситонов в квазидвумерных полупроводниковых гетероструктурах // Физика низких температур. — 2012. — т. 38. — с. 693—702.

15. Sapienza R. Determining random lasing action // Nature Reviews Physics. — 2019. — Vol. 1, no. 11. — P. 690-695.

16. Chow W. W, et al. InGaAs quantum-dot micropillar emitters: From spontaneous emission and superradiance to lasing // 19th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON). — 2017. — P. 1-4.

17. Dousse A., et al. Scalable implementation of strongly coupled cavity-quantum dot devices // Applied Physics Letters. — 2009. — Vol. 94, no. 12. — P. 121102.

18. Sapienza L., et al. Cavity quantum electrodynamics with Anderson-localized modes // Science. — 2010. — Vol. 327, no. 5971. — P. 13521355.

19. Debnath K., Zhang Y, Molmer K. Lasing in the superradiant crossover regime // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 6. — P. 063837.

20. Norcia M. A., K. T. J. Cold-strontium laser in the superradiant crossover regime // Physical Review X. — 2016. — Vol. 6, no. 1. — P. 011025.

21. Johnson A., et al. Observation of collective superstrong coupling of cold atoms to a 30-m long optical resonator // Physical Review Letters. — 2019. — Vol. 123, no. 24. — P. 243602.

22. Leone M., Vazquez A., Zecchina R. Ferromagnetic ordering in graphs with arbitrary degree distribution // European Physical J. — 2002. — Vol. 28. — P. 191-197.

23. Suzuki S., Inoue J. I., Chakrabarti B. K. Quantum Ising phases and transitions in transverse ising models. — Springer Heidelberg, New York, Dordrecht, 2012.

24. Cong L., et al. A metamaterial analog of the Ising model // Advanced Materials. — 2018. — Vol. 30, no. 40. — P. 1804210.

25. Krishnan J., et al. A modified Ising model of Barabasi-Albert network with gene-type spins // Journal of Mathematical Biology. — 2020. — Vol. 81, no. 3. — P. 769-798.

26. Galam S., Martins A. C. R. Two-dimensional Ising transition through a technique from two-state opinion-dynamics models // Physical Review E. — 2015. — Vol. 91, no. 1. — P. 012108.

27. Barabasi A. Network sciences. — Cambridge University Press, 2016. — 475 p.

28. Gammelmark S., Molmer K. Phase transitions and Heisenberg limited metrology in an Ising chain interacting with a single-mode cavity field // New Journal of Physics. — 2011. — Vol. 13, no. 5. — P. 053035.

29. Akkermans E. Gero A., Kaiser R. Photon localization and Dicke superra-diance in atomic gases // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101, no. 10. — P. 103602.

30. Halu A., et al. Phase transition of light on complex quantum networks // Physical Review E. — 2013. — Vol. 87, no. 2. — P. 022104.

31. Баженов A., Никитина М., Алоджанц А. Сверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах с комплексной сетевой архитектурой // Письма в ЖЭТФ. — 2022. — т. 115, № 11. — с. 685.

32. Luxmoore I. J., et al. III-V quantum light source and cavity-QED on Silicon // Scientific Reports. — 2013. — Vol. 3, no. 1. — P. 1-5.

33. Tredicce J. R., et al. Instabilities in lasers with an injected signal // /J. Opt. Soc. Am. B. — 1985. — Vol. 2, no. 1. — P. 173.

34. Kovalev A. V., Viktorov E. A. Class-A mode-locked lasers: Fundamental solutions // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2017. — Vol. 27, no. 11. — P. 114318.

35. Kucsko G., et al. Nanometre-scale thermometry in a living cell // Nature. — 2013. — Vol. 500, no. 7460. — P. 54-58.

36. Eastham P. R., Littlewood P. B. Bose condensation of cavity polaritons beyond the linear regime: The thermal equilibrium of a model microcavity // Physical Review B. — 2001. — Vol. 64, no. 23. — P. 235101.

37. Imry Y. Finite-size rounding of a first-order phase transition // Physical Review B. — 1980. — Vol. 21, no. 5. — P. 2042.

38. Stace T. M. Quantum limits of thermometry // Physical Review A. — 2010. — Vol. 82, no. 1. — P. 011611.

Synopsis

Topic relevance. Lasers have been representing one of the greatest achievements of the quantum theory of radiation - matter interaction and experimental quantum physics for more than 100 years of its existence, see [1; 2]. The principle of such devices operation is based on the amplification of light by stimulated emission of particles ensemble with a discrete energy spectrum. Modern quantum technologies make it possible to create various laser and laser-like (coherent) devices that are widely used in science, industry, ecology, medicine, etc. One of the priority tasks is the creation of small-sized highly coherent and energy-saving sources of laser radiation that could be used in quantum computing, quantum metrology, and sensorics. In this regard, random lasers, sources of superradiance (SR), and superradiant lasers take a special place, as well as light sources based on the Bose-Einstein condensation (BEC) of photons and/or exciton-polaritons.

Currently, the scientific community has established such terms as "laser" "polariton laser" , "superradiant laser" for complex devices of atomic and polariton condensates, superradiant systems, whose radiation is associated with some ordered state of matter [3; 4]. They are based on the original principles of laser (bosonic) stimulation and amplification of radiation, although such devices are far from the originally developed and created laser generators of the light field.

Understanding the essence of the processes associated with laser generation and coherence has always been a key task of laser physics since its inception [1; 5]. It is necessary to note the phenomenon of superradiance associated with quantum correlations of dipole moments in the medium. This phenomenon represents the limiting case of a laser device with a low Q-factor cavity. The main (coherent) statistical features of both laser radiation and superradiance were explained by studying the photon correlation function in the framework of the theories of quantum and nonlinear optics. Recently, the so-called superradiant lasers, for which more than one million dipoles of two-level atoms have been synchronized [6], have become of particular interest in quantum metrology. On the other hand, the theory of phase transitions (PT) and critical phenomena, based on statistical and thermodynamic approaches, could explain the formation of coherent states of matter in the condensed media (in particular Bose condensation of particles), as well as macroscopic coherent SR effects.

The main difference between two fundamental (theoretical) approaches is that, initially, phase transitions were considered only for thermodynamically equilibrium systems. However, laser systems are not at thermal equilibrium. In this case, it is appropriate to speak about only a certain analogy of the processes occurring in open (pumped - dissipative) and thermodynamically equilibrium laser-like systems that demonstrate phase transitions [7].

To date, with the development of experimental capabilities, scientists have been observed BEC in various physical media: alkali metal atoms, exciton polaritons, magnons, photons, and phonons. BEC is a new macroscopically coherent state of an ensemble of particles. In its statistical characteristics it is similar to laser radiation formed well above the lasing threshold. In particular, such an analogy becomes necessary when it comes to the BEC of photon gas, exciton polaritons, i.e. phenomena occurring in systems with effective interaction of light field with matter

[3; 8].

In some sense, the application of various (theoretical) methods and approaches to study physical systems demonstrating the phenomena of BEC, SR, and laser generation is a matter of convenience in describing the system, which can also be quite complexly structured. For example, we can refer to the chains and arrays of microcavities, each of which by itself can represent a mini-source of coherent radiation. In real life, such systems are not in thermodynamic equilibrium due to their open (pumped - dissipative) nature, and the effects of the finite dimension of the system should be taken into account. However, under the conditions of a high-quality cavity, it is possible to study the system over time intervals, when the influence of various dissipative processes can be neglected.

From a practical point of view, the systems under consideration are used in the development of optical computers, various photon simulators and memory devices, etc. Thus, the study of phase transitions, which ultimately leads to the macroscopic effect of laser generation and the formation of a coherent state of the field and matter is an urgent problem in the modern quantum theory of laser systems, which has many important practical applications.

Recently, the concept of a random laser has also been very useful and actively developed. Within the framework of this concept, the propagation of radiation in a disordered medium leads to the light amplification [9]. In general, random lasers operate on the same principles as ordinary lasers, but their modes are

determined by multiple scattering, and not by a (common) laser cavity, i.e. optical feedback is provided by scattering particles of disordered material of a random laser. Recently, the increasing interest in the experiment is associated with the obtaining the laser radiation in disordered amplifying semiconductor materials, as well as light-conducting nanofibers placed in the Rhodamine 6G dye and forming a two-dimensional laser material in the form of random graphs [10]. It is shown that the increase in the average degree of graph leads to the decrease in the threshold value of the transition to laser generation, which is important in the development of cavityless low-threshold laser radiation sources with a certain network architecture. The mentioned features of laser generation in disordered media provide completely new prospects for creating coherent radiation sources based on the use of disordered arrays of microcavities.

The aim of the thesis is to develop new sources of coherent radiation based on the interaction of light field with matter in disordered two-dimensional arrays of microcavities with the topology of complex networks and graphs.

To achieve the aim, the following tasks are to be solved:

1. Developing the model of superradiant laser based on spatially disordered two-dimensional arrays of two-level quantum systems (TLS) interacting with both classical and quantum light fields.

2. Revealing the features of thermodynamically equilibrium laser-like phase transition in microstructures based on the Dicke-Ising model, which have the topology of finite-dimensional graphs (networks) with regular, random, and power-law degree distribution (PLDD).

3. Studying the features of the non-equilibrium phase transition to lasing for spatially disordered two-dimensional arrays of microcavities containing two-level quantum systems.

4. Developing the model of a quantum temperature sensor operating on the basis of the superradiant phase transition in an ensemble of two-level quantum systems.

Principal statements of the thesis:

1. In disordered two-dimensional arrays of microcavities characterized by the interaction of a collective photon mode with an ensemble of two-

level quantum systems (atoms, quantum dots) at finite temperatures, the Rabi frequency is determined by the statistical features of the network architecture of the arrays of microcavities.

2. In the thermodynamically equilibrium Dicke-Ising model, which characterizes a two-dimensional laser material in the form of a regular, random, or complex network of interacting spins 1/2 (two-level quantum systems), in the absence of an external (classical) magnetic field and in the limit of zero temperature a second-order phase transition to the superradiant laser regime is possible.

3. A nonequilibrium phase transition to laser radiation in two-dimensional arrays of microcavities with a spatial network architecture, obeying the power-law degree distribution, p(k) ~ k—1 (7 > 1), occurs starting from a threshold value of the population inversion, az^hr, which is inversely proportional to the average node degree of the network, (k).

4. The limiting error of temperature estimation for the biological microobjects by an optical sensor, which consists of an ensemble of N two-level quantum systems, is proportional to the critical temperature of the phase transition of a probing superradiant laser with an average number of photons of the order of N. This value is limited by the Heisenberg limit, 1/N.

Novelty:

1. For the first time, the problem of laser-like phase transitions has been studied in the thermodynamically equilibrium Dicke-Ising model with weakly interacting spins 1/2 located at the nodes of regular, random, and complex network structures, forming a two-dimensional medium. It is shown that for a regular network forming a complete graph with constant node degree k0 = N — 1, the average number of superradiant photons is proportional to N3, not N2 as it takes place in the Dicke model, where N ^ 1 is the number of spins (nodes in the network).

2. A new method is proposed for obtaining the superstrong coupling regime for an ensemble of two-level quantum systems, located at the nodes of a network (graph) with power-law degree distribution p(k) ~ k—1, and a collective

photon mode. It is shown that such a regime can be implemented due to the features of the network arrangement of microcavities, which ensures the simultaneous interaction of two-level quantum systems with a quantized field through numerous waveguide channels (graph edges) responsible for the hubs formation.

3. A model have been developed for a new optical (laser) material, consisting of two-array microcavities containing two-level systems located at the nodes of a network (graph). It is shown that for a class A laser based on this material, the gain of laser radiation is proportional to the average node degree, (k), which provides a huge amplification of the light field at (k) ^ 1 for the PLDD-network in the range of the exponent degree 1 < 7 < 2, as well as for a regular network in the form of a complete graph with (k) = k0 = N — 1.

4. For the first time, a quantum temperature sensor has been proposed to measure physically small temperature fluctuations in biological micro-objects; the operating principle of such a sensor is based on the phase transition to superradiance in an ensemble of two-level quantum systems placed together with a micro-object in an open semiconductor microcavity.

Theoretical and practical significance

The results obtained in this work can be used in the development of new laser media (for random lasers) and new (highly efficient) sources of coherent laser radiation based on them. These results open up qualitatively new prospects for quantum information processing and quantum computing by two-level systems with a network organization. The results of the thesis can also be useful in the creation of optical and temperature sensors, the operation of which is based on the physical properties of superradiant phase transitions.

The reliability is confirmed by the use of generally accepted methods of statistical and laser physics, quantum optics. It agrees with publisehd experimental and theoretical results obtained in the works of other authors.

Results approbation. The main results of the work were reported at:

1. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P. Superradiant phase transitions in a generalized spin-boson model with a bichromatic field // VIII All-Russian Congress of Young Scientists. ITMO, 2019;

2. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P. Superradiant phase transition thermal sensor // XXIII All-Russian Youth Scientific School "Coherent Optics and Optical Spectroscopy 2019;

3. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P., Tsarev D.V. Temperature sensor based on superradiant phase transition // XLIX Scientific and educational conference of ITMO University, 2020;

4. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P. Quantum temperature sensor based on superradiant phase transition //IX All-Russian Congress of Young Scientists. ITMO, 2020;

5. Bazhenov A.Yu. Quantum temperature sensor based on superradiant phase transition// XII International Conference Fundamental Problems of Optics (FPO 2020);

6. Bazhenov A.Y., Alodjants A.P. Quantum temperature sensor based on superradiant phase-transition // International Conference Laser Optics 2020;

7. Bazhenov A.Yu. Quantum temperature sensor based on superradiant phase transition//International Youth Scientific Forum "Lomonosov-2020";

8. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P., Tsarev D.V. Phase transitions in complex network structures // L scientific and educational conference of ITMO University, 2021;

9. Bazhenov A.Yu. Superradiant phase transitions in complex network structures // International Youth Scientific Forum "Lomonosov-2021";

10. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P. Superradiant phase transitions in complex network structures // X All-Russian Congress of Young Scientists. ITMO, 2021;

11. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P., Nikitina M.M. Superradiant phase transition in complex network structures // XII International Symposium on Photon Echo and Coherent Spectroscopy (FEKS-2021) in memory of Professor Samartsev Vitaly Vladimirovich;

12. Bazhenov A.Yu. Phase transitions in the Ising-Dicke model for complex network structures describing distributed spin-spin interaction // LI scientific and educational-methodical conference of ITMO University (PPS), 2022;

13. Bazhenov A.Yu. Phase transitions in the Dicke-Ising model for complex network structures describing distributed spin-spin interaction //XI Congress of Young Scientists, 2022;

14. Bazhenov A.Yu., Alodjants A.P. High-temperature superradiant phase transition in quantum metamaterials with a scale-free network interface // International Youth Scientific Forum "Lomonosov-2022".

Author's personal contribution.

The setting of goals and objectives of the study, the choice of approaches and methods for their solution presented in this work was carried out jointly with the supervisor. All calculations were made by the author personally. The preparation of publications and the interpretation of the results obtained were carried out jointly with the supervisor and co-authors of the articles.

Implementation of thesis results.

The results of the work regarding the development and study of models of phase transitions with spin-spin interaction in the network, as well as Chapter 4, were supported by the Russian Foundation for Basic Research (RFBR), grant No. 19-52-52012 MHT-a. The results of the work regarding the study of the superradiant phase transition in the Dicke-Ising model with spin-spin interaction were used in the course of research work with the support of Master's and Postgraduate Research Project No. 620164 "Artificial Intelligence Methods for Cyber-Physical Systems". Scientific research in Chapter 2 was supported by the state task No. 2019-1339 of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation. The results of the thesis presented in Chapter 3 were supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation on the basis of the Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education "SUSU (NRU)" (agreement No. 075-15-2022-1116).

Publications. The main materials of the thesis were published in 5 papers in journals from the list of Scopus, WOS and 1 from the Higher Attestation Commission list:

1. Bazhenov A. Y., Tsarev D. V., Alodjants A. P. Temperature quantum sensor on superradiant phase-transition // Physica B: Condensed Matter. - 2020. - T. 579. - C. 411879.

2. Bazhenov A. Y., Tsarev D. V., Alodjants A. P. Mean-field theory of superradiant phase transition in complex networks // Physical Review E.

- 2021. - T. 103. - №. 6. - C. 062309.

3. Bazhenov A. Y., Nikitina M. M., Alodjants A. P. Superradiant Phase Transition in Microstructures with a Complex Network Architecture // JETP Letters. - 2022. - T. 115. - №. 11. - C. 644-650.

4. Bazhenov A.Yu., Nikitina M., Alodjants A. High temperature superradiant phase transition in novel quantum metamaterials // Optics Letters. - 2022.

- T. 47. - C. 3119.

5. Alodjants A. P., Bazhenov A. Y., Nikitina M. M. Phase Transitions in Quantum Complex Networks //Journal of Physics: Conference Series. -IOP Publishing. - 2022. - T. 2249. - №. 1. - C. 012014.

6. Alodjants, A. P., Bazhenov, A. Yu., Khrennikov, A. Y., Bukhanovsky, A. V. Mean-field theory of social laser// Scientific Reports. - 2022. T.12. -№. 1. - C. 1-17.

Thesis structure and scope. The thesis consists of an introduction, four chapters, a conclusion, list of abbreviations and symbols, glossary of terms and two appendices. The total volume of the thesis is 296 pages with 47 figures and 1 table. The list of references contains 122 titles.

Thesis content

Introduction of the thesis contains the rationale for its relevance. The purpose of the work and the tasks to be solved are formulated. The scientific novelty and practical significance of the results obtained are discussed. The principle statements and brief description of the thesis content is given.

Chapter 1 «Analytical review of literature. Lasers and modern methods for obtaining coherent radiation»

The first chapter is devoted to an overview of the main works on the research topic. It formulates the main approaches and methods for obtaining coherent radiation, describes the state of the art in the world, both in theory and in experiment, which are directly related to the thesis work.

The main topic of the thesis is related to the theoretical study of the laser generation features, as well as superradiance in disordered artificial two-dimensional microstructures with a certain network topology that allows distributed feedback between two-level systems (TLSs). The purpose of Chapter 1 is to present various methods and features of obtaining coherent radiation in existing laser materials, which are close in their physical properties to the (network) structures proposed in the work.

Section 1.1 discusses schemes of various types of interactions of radiation with matter, such as stimulated laser amplification [5], Bose-Einstein condensation of exciton polaritons [8], superradiance [11] and superradiant laser [6], and random laser [9], which require the presence of cavities in their basis or, contrary, can operate without it, see fig. 1.

In traditional lasers, obtaining the coherent radiation is based on the phenomenon of amplification by stimulated emission, see fig. 1(a), when an excited atom is able to emit a photon under the influence of another photon without absorbing it if the energy of the latter is resonant to the energy levels difference for the atom before and after radiation [12]. To create a positive feedback, in which the emitted photons cause subsequent acts of induced emission, the system is placed in a cavity. In the simplest case, it is a Fabry-Perot cavity with a pair of mirrors, see fig. 1(a).

Coherent light sources obtained on the basis of the phase transition to BEC of exciton polaritons are arranged in a similar way, see fig. 1(b). The BEC phenomenon

C777'*-

Figure 1 — Schemes of various types of interactions of radiation with matter leading to the formation of coherent radiation; (a) - laser with a Fabry-Perot cavity, (b) - BEC of exciton polaritons, (c) - superradiance, (d) - random laser

with spatially distributed feedback

is based on the fact that, under conditions of thermodynamic equilibrium at Bose gas quantum degeneracy temperatures, thermal (de Broglie) waves of particles begin to overlap. At a temperature below the critical one, macroscopic occupation of the lowest quantum state with zero momentum by Bose particles occurs. In particular, for the microcavity shown in fig. 1(b), this is a condensate of exciton polaritons formed in the plane of a semiconductor material and having momenta |q\ ~ 0 in this plane [13]. As a result, the condensed Bose gas of particles forms one large wave, similar in its coherent properties to the laser radiation field. Physically, a necessary requirement for the implementation of the BEC of exciton polaritons is the achievement of the so-called strong coupling regime in interaction of the quantized cavity field with excitons, in which the coupling parameter becomes of the order of or greater than the reciprocal lifetime of a photon in the cavity, as well as the lifetime of excitons, see [3]. In a more general case, the condition of the strong regime of coupling between the TLS and the quantized field is

9 > «, Y, T-1, (1)

where g is the coupling parameter between TLS and the cavity field; r is the characteristic lifetime of the excited state of the TLS with respect to spontaneous transitions; Y is the depolarization rate; k is the photon loss rate in the cavity.

Despite the fact that in the existing experiments the condensate of exciton polaritons in a microcavity represented an open (thermodynamically non-equilibrium) pumping-dissipative system of interacting Bose particles, the Bose condensation of exciton polaritons in a microcavity fundamentally differs from the effect of laser generation in semiconductor microstructures [14]. In particular, the population inversion of the TLS ensemble is absent. In the case of BEC, the high quality factor of the microcavity is of particular importance, which should allow exciton polaritons to have time to thermalize. In addition, since such microstructures are two-dimensional, it is also necessary to have a confining potential for an ensemble of polaritons.

In Section 1.2 topical issues of development and operation of random lasers based on light scattering in disordered materials are discussed. Scattering in disordered optical materials is complex but can be completely coherent. In a random laser, the rays propagate in a disordered amplifying medium, so that the scattering "trajectory" represents a random graph, see [9] and fig. 2(a,b). Noteworthy, the principles of random laser operation is identical to the usual one. However, the optical modes of a random laser are determined by multiple scattering, and not by a laser cavity, i.e. optical feedback is provided by scattering particles of a disordered medium of a random laser. An essential feature of random generation is the spatially distributed optical amplification and multiple scattering, which occurs if the size of the system L is greater than the mean free path Lt of a photon in the medium. Depending on the scattering strength (the relative value of Lt) and the wavelength of light, A, random generation can be divided into two main families: diffusion random lasers and random lasers with Anderson localization.

Diffusion random lasers (see fig. 2(a)) are implemented with weak scattering (A < Lt < L), so the optical modes spectrally and spatially overlap, which leads to the formation of broadened optical modes covering the entire system.

Random lasers with Anderson localization of photons (see fig. 2(b)) are realized with strong scattering (Lt < A < L), when coherent backscattering occurs, so the wave vector of photons entaring the medium, kin, and leaving it backwards, kout, are almost oppositely directed. In the Ioffe-Regel approximation, the angle between

a) _________________________________________________b)

Figure 2 — Schematic representations of photon scattering in the material of a random laser; (a) - diffusion mode, (b) - localized mode with coherent

backscattering [15]

these vectors, i.e. scattering angle, x ^ 1. This leads to the strong interference and localization of photons with a certain phase. In this case, spatially localized modes can be formed, and the corresponding generation peaks with a linewidth of the order of 0.01-0.1 nm can be formed. In these lasers, the mode linewidth is smaller than the mode spacing, so the modes are not coupled and do not overlap, except for the indirect mode coupling that occurs through optical amplification.

The photon statistics of a random laser with coherent feedback is similar to statistics of a conventional laser. At the same time it is very different from the photon statistics of a random laser with incoherent feedback.

The fluctuations in the number of photons in each mode are suppressed by saturation of the gain in the random laser with coherent feedback; the gain is much higher than the threshold.

For a random laser with incoherent feedback, gain saturation suppresses only fluctuations in the total number of photons in all modes of laser radiation. The gain saturation does not affect fluctuations in the number of photons in a single mode.

In the context of the thesis research topic, it is worth highlighting the work [10] on the creation of a random laser, where laser generation was carried out on the basis of a laser material capable of forming random graph structures. As the material basis of the laser, they used polymer nanofibers 200 — 500 nm in diameter, doped with a dye (Rhodamine 6G), see fig. 3. These fibers, which act as waveguides, are the edges of the graphs (fig. 3(c) shows the graph used to model the network of random laser material). Each subwavelength nanofiber directs light over a distance of no longer than a propagation length of 100 ^m. As a result, the photonic network

shows a high efficiency of laser generation at room temperature, as well as when excited by a single green laser pulse with a duration of 500 ps (A = 532 nm), which illuminates a spot with a diameter of about 160 in the plane of the network.

* 3 D u , , , , 580 590 600 0 400 800

Deeree Link length (urn)

A(nm) P(nJ)

Figure 3 — Random graph laser [10]. Top row: images of polymer nanofibers doped

with dye (Rhodamine 6G) in the far field (a) - fluorescence and (b) - laser generation. The white lines and red circles in the upper left corner of the image (a) illustrate the edges and nodes of the network, respectively; (c) - graph simulating a laser medium and consisting of 143 nodes and 293 edges; the average degree is 6; (d) - degree distribution of the graph; (e) - length distribution of the graph; (f) -the spatial laser spectrum collected along the vertical dotted line shown in (b), (inset: laser peak at the lasing threshold); (g) - dependence of the peak intensity (arb. unit) on the pump power (nJ) at A = 532 nm

At pump intensities of 20 nJ, fluorescence reveals the network structure of the laser material, see fig. 3(a). The graph of the peak radiation intensity demonstrates the transition to laser at a pump power of 200 nJ, see fig. 3(g). In this case, separate nodes of the network structure are brightly highlighted, which is clearly seen in fig. 3(b) and correspond to the random laser mode. An important result of [10] is the fact that an increase in the average degree of graph nodes is accompanied by a decrease in the threshold value for the transition to laser generation. The

emission spectrum, see fig.3(e), demonstrates its significant multimode nature with insignificant changes from pulse to pulse, while the experimental linewidth is limited by the spectrometer resolution of 0.05 nm.

Figure 4 — (a) - emitting device based on a quantum dot enclosed in a microcolumn acting as a microcavity [16]; (b) - arrays of microcolumns [17]; (c) -

disordered photonic crystal structure (membrane) for observing Anderson localization of light (red circles mark the periodicity of the structure) [18]. Orange color indicates closed contours formed by the wave vectors of localized modes

Note that the random laser model considered above is completely classical. In thesis, we are interested in two-dimensional materials with a network interface, which contain quantum systems capable to formation of the coherent radiation with its subsequent amplification. Among the semiconductor systems that could be used to organize microstructures with a network interface, one should single out micro-(nano)cavity structures - micropillars with quantum dots (QDs) inside, see fig. 4 (a,b), as well as QD in photonic crystal microcavities, see fig. 4(c), on the basis

of which it is possible to form the architecture of networks discussed in Chapter 3 of the thesis.

Photonic crystals are composite nanostructures, in which periodic modulation of the refractive index forms a photonic frequency bandgap, in which light propagation is completely suppressed, see fig. 4(a). If we modify a two-dimensional photonic crystal membrane, then we can break the periodicity. This leads to the formation of directional light radiation. Such photonic crystal waveguides have strong dispersion, i.e. the propagation of light depends on the optical frequency. The development of a photonic crystal waveguide makes it possible to improve the interaction of light with matter, which is necessary for highly efficient singlephoton sources. Although multiple scattering is generally considered to interfere with the device, resulting in optical loss, the effect of wave interference in multiple scattering stops the light from propagating and produces highly localized Anderson modes, see fig. 4(d). Localized modes in a photonic crystal waveguide arise due to the predominantly one-dimensional nature of light propagation, provided that the localization length is less than the length of the waveguide.

Equilibrium phase transitions to SR in the Dicke model, as well as a dissipative phase transition in an ordinary laser, are discussed in Section 1.3.

The phenomenon of superradiance is commonly studied in terms of the Dicke model [8]. The phenomenon of superradiance is associated with the induced (quantum) correlation (spontaneous polarization) of two-level quantum systems (atoms, QDs) interacting with the photonic mode. If the number of excited TLSs exceeds a certain threshold value, the radiation becomes sharply anisotropic and represents a short pulse with intensity Iz ~ N2, where N is the number of TLS. In this case, the number of (super)radiated photons remains less than the number of atoms that caused SR. In a general case, the model of a superradiant system can be considered close to a conventional laser within the bad cavity limit, see [19]. Unlike a traditional laser, the superradiance process develops on a characteristic time scale, which is much shorter than the decoherence (dephasing) times of an atomic system. The latter property makes it possible to completely remove the cavity, considering the thermodynamically equilibrium system of the TLSs and the field, for which these times are considered to be sufficiently large. In this sense, the sources of coherent SR are similar in systems with BEC of polaritons.

Recently, the growing interest in the effect of superradiance, obtained on the basis of an atomic TLSs ensemble, is associated with the creation of the so-called superradiant laser [6]; the authors report to obtain spontaneous synchronization of more than one million atomic dipoles continuously maintained by a small number of photons (the authors estimate this number as less than one photon in the cavity).

The order parameter - the normalized amplitude of the superradiant field, A, is important in the study of SR phase transitions. This parameter is defined as

A = tn = V "TP (2)

where N is the number of TLS in the interaction region; Nph is the average number of SR photons. Equation (2) uses basis of coherent states | a) for a quantized transverse field containing in avarage Nph = (a\a)a|a) = a2 photons; in the PT theory, a is assumed to be a real value [5].

The authors of [19] considered conditions, under which both the traditional superradiance effect, when A < 1, and the superradiant laser mode, when A > 1, occur in the system. However, for laser materials in the form of a network structure, a continuous crossover from the SR phase of the system with A < 1 to laser generation, for which A > 1, can be realized. Thus, light source in the A > 1 limit is a new laser device, referred in the literature as a superradiant laser [20].

The thesis proposes a conceptually different approach to the creation of a superradiant laser, based on the use of the network structure with TLSs as a laser medium; under certain conditions (network structure topology) it allows to achieve ultrastrong interaction of the field with matter. In this case, the effective coupling parameter,

can reach the order of the collective photon mode frequency, upu, or the transition frequency of TLS, cf. [21].

In this regard, a combined liser-like Dicke-Ising model defined on a network structure, consisting from the Dicke [11] and Ising [22] models, is discussed in the thesis. These models are well known in the literature; they allow phase transitions to SR, as well as a transition from the ordered (FM) to the disordered (PM) states, respectively. In particular, the SR phase is associated with the appearance of spontaneous polarization of radiation under conditions of a second-order phase transition upon reaching certain critical temperature Tc or critical value of the coupling parameter of the TLS ensemble and the single-mode field (see [11]), gc =

(w0wphcoth [^w0/2])1/2, where /3 = 1/T is the reciprocal temperature (hereinafter, the Boltzmann and Planck constants are omitted for brevity of notation). Thus, for g = gc the Dicke model describes the phase transition to superradiance. Nearby the phase transition point, the equation for the order parameter is well approximated by expression A ~ y/g — gc.

The features of the PT in the Ising model defined on complex network structures is discussed in Section 1.4. The Ising model is quite universal in the study of second-order phase transitions and has direct analogies to the study of cooperative phenomena and formation of superradiance. Traditionally, the Ising model was considered for periodic structures with interacting spins in one, two, and three dimensions [23]. However, today it is used to study phase transitions in more complex (disordered and inhomogeneous) structures. Artificial materials and metamaterials [24], biological [25] and social systems [26] serve examples of such systems. In the thesis, the Ising model is defined on the so-called annealed networks, for which the probability of forming a connection between the i-th and j-th vertices is given as pij = ^^, where (k) = ^ ^ ki is the average node degree of network. Thus, the larger coefficient ki is, the greater is the probability of forming an edge between two graph vertices.

In the thesis, an analogy is drawn between a thermodynamically equilibrium phase transition occurring in a ferromagnetics, and a dissipative phase transition that appear in a laser. It is shown that the threshold of laser generation, which is determined by the difference in the populations of the TLSs, can be compared with the temperature phase transition to the ordered state of spins 1/2, which is observed in ferromagnetic materials. The features of the phase transition in the inhomogeneous Ising model with a distributed spin-spin interaction organized as a scale-free network are considered. It is shown that the phase transition to the FM state is the result of the finite size effect the network structure that represents laser material and directly depends on the statistical properties of its organization.

Chapter 2 «Superradiant laser based on phase transitions in the Dicke-Ising model with spin-spin interaction»

Chapter 2 is devoted to the study of the coherent radiation formation problem with help of the second-order thermodynamically equilibrium phase transitions in a two-dimensional material in the form of a network structure (laser medium).

Firstly, the limit of superradiant phase formation [8] in a non-inverse medium is considered. In this case, the number of photons, Nph, is less than the number of particles (TLSs), N. Secondly, the case is considered, when the number of photons, Nph, becomes greater than the number of particles, N, and we deal with the regime of a superradiant laser [20]. This Chapter shows that the crossover between these two modes occurs smoothly, and therefore it makes sense to speak of a second-order laser-like phase transition, which describes the transition from the normal phase (Nph = 0) to the state of superradiance, and then to the lasing regime, which are determined by nonzero values of Nph.

Section 2.1 is devoted to the description of the proposed two-dimensional laser material in the form of a network structure based on the laser-like Dike-Ising model. It consists of an ensemble of N spins 1/2 (two-level systems) that randomly occupy N nodes of a complex network. The network is represented as a graph with some non-trivial properties following from the node degree distribution topology and other characteristics, see [27]. The spins interact with each other, as well as with the classical (local) field, h, and the quantized (transverse) field, which cause the system to be polarized along the z and x axes, respectively. We describe the transverse field using the annihilation (a) and creation (a^) operators. The complete Hamiltonian of the system (cf. with [28]) has the form

1 n 1 N

h = - - 2 Sh^+upha](i - 2:7^S+a]), (3)

ij i=1 i=1

where a- and of, i = 1,...,^ characterize the spin components of the i-th particle in the z and x directions, respectively.

The thesis considers three types of two-dimensional laser materials, which represent complex networks that we use in the Dike-Ising model. Their properties are determined by distribution function p(k): a) a regular network that poses p(k) = S(k-k0) with some constant node degree k = k0; b) a random network, for which the node degree distribution function obeys the Poisson distribution law, p(k) = —; c) a complex network with power-law degree distribution (PLDD) p(k) = (7, where 7 >1 is the exponent degree.

The network architectures of the studied two-dimensional laser materials are shown in fig. 5. All the mentioned network structures are characterized by the first

((k)) and second ((k2)) moments of the node degree distribution, which are defined

max

as (kl) = J klp(k)dk, I = 1,2, where kmax (kmin) is the maximum (minimum)

node degree value for a given network. The statistical properties of the chosen network are described by the average power, (k), as well as by parameter ( = . In fact, this parameter contains information about statistical features of spin-spin interaction and represents the key parameter that determines the lasing threshold, SR phase transition temperature, etc.

The dependence of (k) and ( on the 7 degree is shown in Fig. 5(e). For PLDD-network, (k) and ( show growth in the region 1 < ^ < 3. On the other hand, for ^ > 3 (k) and ( tend to kmin. The thesis shows that these features of the parameters of a complex network play a decisive role in the problem of the SR phase transition for the Dicke-Ising model.

The properties of the system, characterized by Hamiltonian (3), can be determined using two order parameters. The first order parameter, Sz, is the collectively weighted spin component, defined as

1 N

Sz = ^y E ). (4)

* i=1

This parameter determines the condition of the FM-PM phase transition. If Sz = 0, then the spin system enters paramagnetic phase. From the two-level systems behavior point of view, value Sz = 0 means the same (on average) population of the upper and lower states, which physically means the saturation of the TLSs. In the model under consideration we are not interested in the direction of the collective spin. Thus, value Sz = 1, which describes a completely ferromagnetic spin state, formally determines both the complete absence of inversion and its complete presence in a laser material consisting of a TLSs ensemble.

From a physical point of view, the establishment of a certain collective spin (TLS populations) also depends on the second order parameter representing the normalized average amplitude of the transverse light field, defined in (2). In the coherent states basis, we obtain a set of equations for the order parameters of the

Figure 5 — (a) - regular, (b) - random, (c) - PLDD networks for N = 1000 and (k) = 4. The red (green) nodes in (a) - (c) correspond to the states with "spin up"

("spin down"). The average total spin component is Sz = 0. (d) - the degree distributions of the networks shown in figs. (a)-(c), respectively. The magenta and blue curves correspond to the Poisson and power-law degree distributions, respectively. The single (red) point characterizes the distribution of the delta function with ko = 4. The inset shows the node degree distribution on a logarithmic scale for the Barabasi-Albert (BA) network [27]. Three dots located in the right corner on the inset indicate the presence of hubs for the BA network. (e) - dependence of average degree (k) and (-parameter on 7 for a complex network representing a two-dimensional laser material containing N = 1000 nodes

system in the form

Sz =

kp(k) (SSzk + U)

~W) r

tanh

* r

2

dk;

(5a)

™max ^

xna = W P(k) tanhr[2r] dk.

(5b)

k

In (5) we make replacement r = \J(6SZk + H)2 + 4A2 by using normalized parameters 6 = 4J/g, H = h/g, Qa = wph/g, fig = /3.

Section 2.2 is devoted to revealing the influence of the topological properties of material network organization on laser-like phase transitions in the Dicke-Ising model. In particular, fig. 6 demonstrates numerical solutions of (5) equations for various temperatures and 7 for PLDD (crosses, triangles) and random (circles) networks in the H ^ 0 limit. Taking into account the chosen parameters of the system, the solution of (5) for the PLDD-network exists in the region 2 < ^ < 3.75, where (k) takes small values, see fig. 5(e). The red dotted line in fig. 6 indicates that Tc decreases for a power-law network as 7 decreases. At the same time, the value of the collective spin SZ increases. In particular, it can be seen from the figure in fig. 6 that a fully ordered collective spin state (SZ = 1) is achieved at Tc = 0.11 and 7 = 2.01 (see th turquoise cross in fig. 6). Thus, as the exponent 7 decreases, the value of (k) and ( grows strongly, and the system of spins tends to the ferromagnetic state. It is noteworthy that the red dotted curve in fig. 6 demonstrates the vanishing of order parameter A with an increase in average degree (k). The physical explanation of this fact is as follows. Complex (PLDD)-networks support local interaction between spins due to some specific topological characteristics (hubs, clusters). This interaction leads to the presence of an strong effective local field Heff ~ 2 J(k)SZ in the anomalous region of the network parameters. This effective field is responsible for the establishment of a ferromagnetic state, even at practically zero value of the external magnetic field H.

Phase boundaries for random networks are shown in fig. 6 as two curves (red and black) with circles. The difference from curves with a power-law degree distribution is determined by the value of (k), although they have a general tendency for A to vanish as (k) increases.

The (5) equations allow for simple analytical solutions regarding the PM-PM phase transition that occurs in complex systems in the SR state. In particular, the green curve with triangles in fig. 6 corresponds to the range 3.25 < 7 < 3.75, belongs to this limit. The solution of (5) in the limit SZ ^ 0 has the form

=-1 r2 a n. (6)

tanh-1[ 2^ ]

Figure 6 — Phase boundary SZ — A. System parameters: 6 = 0.25, = 1, and

i

N = 1000. For a complex network kmn = 2 and kmax = kminN(natural cut off). For a random network architecture kmn = 0 and kmax = 11 (for (k) = 3.87) and kmax = 9 (for (k) = 3.1). The green dotted line corresponds to the approximate solution described in the work

Near the disordered state at SZ ~ 0, Ac ~ 0, equations (6) simplify and allow to determine the critical temperature of the phase transition to the SR and ordered (FM) state as

T(0) = i6C.

(7)

It follows from equations (6) and (7) that at ( ^ to for a complex network corresponding to the thermodynamic limit of an infinite number of TLSs, critical temperature of the PM-FM phase transition TcA and temperature T(0 tend to infinity. However, the final critical temperature of the PT, expression (7), exists due to the effects of the finite size of the network because in practice (-parameter is limited. This fact agrees well with the existing results obtained for the Ising model defined on a complex network, cf. [22].

An important feature of the considered Dicke-Ising model is the fact that the quantum phase transition to superradiance can also occur at zero temperature and the finite value of field H. The quantum phase transition to superradiance occurs

under the conditions of completely ordered FM phase, with Sz = 1, which at the

^max -. >

critical frequency of the transverse field = f qLLdk is destroyed forming

© k+W

'vmi.ri.

superradiance.

The dependence for order parameter À on frequency of transverse field Qa near the phase transition point has the form

A = A0,/1 - , (8)

Ja,c

where X0 = J^, I = f dk. In thesis we shown that equation (8)

characterizes the PT to the superradiant state for the network parameters that satisfy condition — (k) ^ 1.

Section 2.3 is devoted to the study of phase transitions to a superradiant laser in the Dicke-Ising model. In particular, we are interested in the PM phase limit, for which Sz ~ 0; it corresponds to the practical absence of inversion in the TLS system. For a regular network in the form of a complete graph, critical value of the number of photons Nph,c required to achieve a phase transition in complete graph is (ko ^ N):

s2n 3

Nph,e ^ . (9)

Hence, laser generation occurs when — N > 2, i.e. in the limit

Ac = ^^ > 1. (10)

Contrary, for — N < 2, the superradiance regime is realized. Crossover - the transition between the SR regime and laser generation takes place at — N = 2, cf. [29].

Expression (9) has an important physical meaning. It shows that the average number of photons in superradiance for the Dicke-Ising model is proportional to N3, not N2. It happens when radiation interacts with matter in the framework of the Dicke model, cf. [8].

For a network with the Poisson degree distribution ( = 1 + (k), so condition (10) can be satisfied for the appropriate values of quantity — that defines spin-spin interaction.

In addition, we obtained the condition 1 < Ac < ^f, which must be satisfied by the parameters of a material with a network architecture in order to form laser generation from SR phase. This condition is also valid for a regular network, since ( = ( k) = ko ~ N.

Phase boundaries of the transition to a superradiant laser for a two-dimensional laser material with a complex network structure is shown in fig. 7. This figure shows the dependence of order parameter Ac as a function of 7 for the PLDD-network for various values of the number of particles (number of nodes) and temperature. It is physically important that in the limit of zero temperature, the transition to laser generation mainly takes place for materials with a scale-free network architecture in the range 2 <7 < 3. As follows from fig. 7, the final value if the temperature plays a significant role in the region of the superradiance regime at 7 > 3; we can see that there exists 7, for which order parameter Ac vanishes. On the other hand, at T = 0 and for large 7 the corresponding curves tend to some asymptotic value Ac ~ Skmin/2. As seen from fig. 7, for the chosen values of the spinspin interaction parameters, and minimal connectivity of the PLDD-network kmin, this value remains in the superradiance domain. To achieve lasing in the entire range of 7, it is necessary that the combination of parameters Qkmtn/2 become greater than unity. From a practical point of view, such a condition is quite feasible, since it can be achieved by choosing the value of m n, which determines the topology of the laser material.

The influence of degree of nodes correlations for the network structure on laser-like phase transitions in the Dicke-Ising model is analyzed in Section 2.4. In particular, two-dimensional network structures of laser material with positive (assortative network) and negative (disassortative network) correlations are considered. In the case of positive (negative) correlation, nodes with a high degree of connectivity are connected in average to other nodes with a high (low) degree, respectively.

It is shown that the presence of a negative correlation of the node degree leads to decrease in the ordering of spin system, but the polarization along the x direction increases. It happens due to the network becomes more regular for negative correlation of the node degree.

On the contrary, the positive correlation of the node degree increases the local field that acts on each spin by increasing the number clusters, which also increases

Figure 7 — Critical value of normalized transverse field amplitude Ac (the order parameter) as a function of 7 for a laser material in the form of an PLDD-network for various values of number of nodes N. The dashed lines correspond to temperature of the FM-PM phase transition Tc\ = 0.5, the dashed-dotted lines correspond to Tc\ = 0. The limit Ac = 1 (the dashed black line) corresponds to the crossover from the SR state of the system to the lasing regime. System parameters:

— 2, O — 0.25

the order of the spins along the direction. For large node degree correlations, the system becomes extremely sensitive to changes in temperature T. In addition, enhancement of the network correlation coefficient, supports decreasing the critical temperature. This is explained by an increase in the number of clusters that are poorly connected to each other, which prevents the establishment of a ferromagnetic state with increasing the temperature.

The results obtained in the thesis demostrate that for laser materials with a correlation of various node degrees of network structure, the transition to the superradiance, or to superradiant laser regime, complicately depends on assortativity parameter A. At the same time, it is shown that the limits of both small and large values of this parameter does not contributes to a more efficient transition to laser generation.

Chapter 3 «Laser phase transitions in two-dimensional disordered arrays of microcavities»

This Chapter considers the problem of both equilibrium and non-equilibrium phase transitions to a laser and superradiance for two-dimensional disordered arrays of microcavities possessing network interface.

In Section 31, we consider a two-dimensional microstructure with a network interface, which is N localized TLSs occupying the nodes of the graph, as shown in fig. 8. Any -th node has some number of edges that connect it with other nodes. The number of edges that belong to any -th node is characterized by the degree of this node kj. Thus, in contrast to the Dicke-Ising model considered in Chapter 2, TLSs do not interact directly with each other, but can do that only through the light-guiding edges of the graph. Light-guiding edges are carried out in a random laser with a graph architecture, see fig. 3. The thesis considers in detail the issue of the physical implementation of the proposed laser material established in fig. 8.

Hamiltonian H describing the interaction of the photon field with the TLS system within the graph structure of waveguides in fig. 8 has the following form (cf.

[30])

N f z ki ki \

H = £ + f £ «1«, + -j= £ (W + ala-)\ , (11)

i \ V V V J

where a,(a,) is the operator of annihilation (creation) of a photon of the v-th waveguide mode; a* is the population inversion operator for the i-th TLS; is the resonant frequency of the TLS transition from the ground to excited state; is the coupling constant of the TLS with a photon field having a frequency of uph.

Assuming the system is in thermodynamic equilibrium. We use here the grand canonical ensemble approach, which accounts nonzero chemical potential Thereby, we can redefine frequencies Q0;i = — n and Qph = uph — n in eq. (11) for TLS ensemble and photon field, respectively. As a result, we obtain the following system of coupled equations, which enables to determine field amplitude A, excitation density

(a) (b)

10° 101 102 103 k

Figure 8 — Samples of two-dimensional materials with an interface in the form of network structures having a power-law degree distribution p(k) & k-1 (photonic channels) with (a) 7 = 1.5, (b) 7 = 2.5 and (c) 7 = 4.5; (d) - degree distributions in a double logarithmic scale. The insert in (d) shows the dependence of (k) and ( on 7 (on a logarithmic scale along the y-axis) for a network architecture with

N = 300 nodes and k,m;m = 2

p, and chemical potential fi:

^p h

9

2 T^2

(k)

k2 , — tanh

№ 2

p(k)dk;

(12a)

2 max

P = (k) - \\ -T0 tanh

p(k)dk,

(12b)

k

k

where r = \J^0 + 4 k2 g2X2; and it is assumed that all TLSs are identical to each other, so Q0,i =

We investigate the problem of phase transition, as well as laser-like amplification in a two-dimensional quantum material with a network interface.

The expression for the chemical potential is fairly easy to obtain analytically in the limit of ultralow (( ^ 1) as well as high (( ^ 0) temperatures [31]. In the first case, from (12) we obtain

Mi,2 = ^rp ± 2 VA'2 — 8g2C (p — (k)A2). (13)

This expression defines two (polariton) branches of bound states of quantized radiation with TLS; A = uph — u0 is frequency detuning of the resonance field of TLS and photon field.

In the case of ultralow temperatures, expression (13) remains valid, but with replacement ( ^ (k). Note that for network structures for which 7 > 3 the estimation ( & ( k) is valid, see the inset to fig. 8(d).

It follows from eq. (13) that the frequency of the Rabi splitting (the last term in (13)) increases significantly depending on ( in the anomalous domain of 7 for the PLDD-network, see epy inset in fig. 8(d). Thus, it is possible to enhance the collective interaction of the TLS with the quantized field by choosing the appropriate , which determines the topology of the system shown in fig. 8.

Fig. 9(a) demonstrates the crossover from superradiance to laser depending on excitation density p. For numerical estimation given in fig. 9, InGaAs/GaAs QDs are taken as TLSs, which are imbeded in photonic crystals structure and arranged in the form of an PLDD-graph, cf. fig. 9 and fig. 8. In particular, for the system in fig. 9 the strong coupling regime was experimentally achieved in [32]; it occurrs at g = 106 MeV for Uph/2tt & 353THz (A = 850 nm).

In the low excitation density limit, we can put A ^ 0, Sz ~ —1, which implies p ~ —0.5 i.e. there is no TLS inversion, and we deal with the superradiance when the number of TLSs is greater than the number of photons. In this case eq. (13) describes two polariton excitation branches of the system, which determine the coupled states of quantized field and matter: the upper (fi1) and lower (fi2) branches, respectively. The critical temperature of SR phase transition Tc = 4tfnh-gi(2p) can be very high due to statistical properties inherent to the network itself, and described by the

( parameter, which increases sharply in the anomalous regime, even in the low excitation density limit.

At p = 0, the TLS ensemble reaches saturation when the number of particles at the lower and upper levels is equal, Sz — 0. In the limit p > 0 we obtain TLS population inversion, which becomes maximal at p = 0.5 (Sz = 1).

(a) (b) Figure 9 — Non-normalized order parameter a = \\/N and normalized chemical potential p/g (the inset) at T = 0 as functions of (a) - excitation density p for 7 =1.5 (black), 7 = 1.7 (red), 7 = 2 (purple), 7 = 4 (green) curves, respectively, and (b) - exponent degree 7. The number of network nodes is N = 300 that is a number of quantum dots. Other parameters are A/g = 9, &o/g = 792, kmin = 2,

g^ = 1836 peV

In the presence of a relatively large detuning A, the TLS ensemble undergoes a structural transition to another (parametric) type of excitations, which arises when the radiation is amplified, and occurs at p > 0.5. In this case, the chemical potential at the phase transition point undergoes a jump (see the inset in fig. 9(a)) from the lower polariton branch to the upper one due to the presence of a complete inversion of the TLS (A — 0), so p\ — P2 — A determines the energy scale of the jump.

The conditions for achieving such a transition follow from (13) and have the form of inequalities |A| > 2g(k) and |A| > 2^v/C in the cases of low and high temperatures, respectively. In fig. 9, the corresponding inequality is not satisfied for the black, red, and purple curves, which correspond to small, but finite values of (.

Fig. 9(b) demonstrates the influence of the network topology of quantum material on the SR state formation, verified for several points, which correspond

to the inversion-less region, the saturation region and the region with population inversion, respectively. At large 7, the chemical potential demonstrates asymptotic behavior and has well-distinguishable frequency gap between the polariton branches, see the inset to fig. 9(b).

For a given temperature T in the excitation density range -0.5 < p < 0, i.e. for an inversion-less TLS, we can obtain

= 2T 2[tanli -1(2 p)]2, M 92

that determines critical value (c when superradiant PT occurs. In particular, the superradiant phase is formed at ( > (c, which is determined by the number of TLSs and the network topology.

In Section 3.2, the nonequilibrium phase transition to lasing in disordered system of microcavities is studied. The model, which is taken as a basis in this section, can be formulated in a general form in terms of the second quantization apparatus for transitions between TLS levels. Thus, we have N TLSs, which can be in the ground (|g)) and/or excited (|e )) states with energies Eg and Ee (Ee > Eg), respectively. Each (j-th) TLS is characterized by resonant frequency (energy) of the transition = Eej — Egj, j = 1,2,...,N. Further, we assume that the interaction of the TLS ensemble with radiation occurs in the multimode regime. It is described by annihilation (creation) operators av(a\), which freely evolve in time with the same frequency for all modes, uph. In the framework of the dipole approximation, as well as in the rotating wave approximation, the total Hamiltonian of the system is given by (cf. (11))

N

" = £ ^ (^ — ^ ) + 1 N (15)

+ NN EE \UPh aVav + 9j (aV bljbej + b]e]bg^dv ) + iP (aV — av) , j=1 V=1

where bgj, be,j - annihilation operators of the Bose particle (atom) on the ground I g) and excited |e ) energy levels of the TLS, respectively. In (15), gj characterizes the parameter of interaction of the TLS with field av; it is assumed that g,b = g for all TLSs; kj characterizes the degree of the j-th node. Parameter P in (15) is

related to the external classical coherent injection field, which additionally excites the active medium (creates its polarization), see [7; 33]. In a laser, this field can be injected into the cavity at the same frequency oo ph as the frequency of the cavity mode.

We analyze the nonequilibrium phase transition to laser generation based on Hamiltonian (15) by means of Heisenberg-Langevin formalism. The approach used in this paragraph is in general relevant to so-called A class lasers [34]. This approach allowes to obtain a stationary equation for amplitude of the coherent laser field a = (av) (for all nodes v) in the form

(fc — n) a — + p = 0, (16)

where az = ^ aj0 = n&q is the macroscopic population inversion; k is the rate

j

of photon losses in the waveguides which are edges of graph that represents laser medium, see fig. 8.

In the thesis, a is assumed to be a real value, since it is also the order parameter for the considered dissipative phase transition to the lasing, cf. [5]. Equation (16) makes it possible to obtain the lasing threshold in a disordered system of microcavities in the following form

k,t

= ^. (17)

Normalized population inversion = — ^ is

j

z kY , .

a°,thr = jN(k). (18)

Expressions (17) and (18) have an important physical meaning for the laser, made on the basis of a two-dimensional material in the form of a network structure, and represent one of the key results of the thesis. In particular, the laser amplifying medium assumes dependence azjhr rc 1/(k), which implies the possibility of implementing an almost thresholdless laser regime ( azjhr ^ 0) in the anomalous region 1 < "f < 2 of the complex network, where ( k) grows indefinitely, see the inset to fig. 8(d). The combination of parameters in the denominator of expression (18)

is collective coupling parameter G = g\JN(k), which describes the interaction of N TLSs with the field in the disordered structure of microcavities with the PLDD-network architecture. As noted, when the ensemble of TLSs interacts with a singlemode field, interaction force g can be increased in y/N times. This occurs in gas (atomic) media, solids (lattices), and Bose-condensates. However, as seen from (18), the network organization of the material makes it possible to additionally improve the efficiency of interaction in y7(k) times.

On the other hand, for a given population inversion az, expression (17) allows to determine threshold value of the average degree of network nodes (k)thr in the form

KY

(k)hr = -j-. (19)

g °z

In the vicinity of the threshold point, i.e. when az ^ &z,thr, for the order parameter we have

« ~ \It~2~?- Η - 0 * (20)

y 4g2rÇs,thr \&z,thr J

where = ^j- is the normalized third-order node degree correlation parameter.

Above threshold, i.e. for N nodes of the network allowing condition az > az,thr (or, (k- > (k-thr) to be fulfilled, non-zero field a of the coherent laser radiation is formed. In the vicinity of (k- ~ (k-thr in the presence of injection P, the expression for order parameter a has the form

/ p y \i/3 / p Y \1/3

« = U2P^thr) - Up2™{k-lr) ' (21)

where (3jhr is the same (3, but taken at the lasing threshold point. The right-handed side of equation (21) is correct for those PLDD-networks, for which approaches

(k)thr.

Expression (21) makes it possible to reveal an analogy between the PT occurring in the Ising model defined on complex networks (see Section 1.4) and the dissipative PT in a laser, which is based on a material in the form of PLDD-network. Injection parameter P, which is present in (21), plays a decisive role in this. This value is similar to an external magnetic field in spin alignment in the framework

of the Ising model. Namely, near the lasing threshold, even a small injection signal P contributes to the establishment of a nonzero order parameter (the finite amplitude of the laser field in the network structure, cf. [7]).

Chapter 4 «Quantum sensorics based on superradiant phase transition»

Identification of small temperature fluctuation that occur in biological micro-objects (for example, in a living cell) is one of the key methods for diagnosing biochemical processes and diseases, cf. [35]. In this Chapter of the thesis, the practical problem of developing a quantum temperature sensor that enables to measure (estimate) temperature of biological micro-object, and operates by means of the principles of superradiance is considered.

In Section 4-1, a physical model of the laser temperature sensor developed in this work is given; the principle of operation is schematically shown in fig. 10. The object under study, for example, a biological cell, is placed in an open semiconductor Fabry-Perot microcavity containing N TLSs localized in space (for example, QDs) interacting with the cavity mode. In this case we deal with two subsystems (the TLS ensemble and the photonic field), which are in equilibrium with the environment at some characteristic temperature T within the framework of the thermodynamic approach to SR. It is assumed that a single TLS is determined by an exciton state that admits valence (ground) I g) and conduction (excited) |e) states, respectively [36].

The system of equations describing the interaction of an ensemble of QDs with a single-mode cavity radiation (in the absence of any network architecture of the laser material) has the follow form (12). The main difference is the inclusion of inhomogeneous (Gaussian) broadening in the QD ensemble.

The model of the proposed sensor is based on the use of lower-branch polaritons. Let us assume that one operating point is associated with a temperature that is close (but not equal) to critical value Tc, and at the same time the excitation density is close to p = —0.5. Under these conditions, exciton polaritons can condense, and coherent radiation is formed in a sample with TLS. In the vicinity of Tc, we can estimate the temperature by detecting number of cavity photons Nph = NX2 emitted by the sample with frequency , which includes temperature phase shift S(T), see fig. 10.

(a) (b)

Figure 10 — Quantum thermometry based on a semiconductor microcavity. (a) -scheme for measuring the local change in the temperature of a sample containing an ensemble of N TLSs (quantum dots or quantum wells), a gold nanoparticle (NP), and the object (shown in pink). The change in temperature occurs due to

heating of the nanoparticle that happen by means of controlled laser (CL) irradiation. The temperature change is measured by means of superradiant signal

(SS) of the TLS ensemble that occurs due to the SR phase transition; (b) -diagram of the energy levels of individual TLSs; uph - cavity field frequency, u0 -

TLS transition frequency, S(T) - temperature-dependent phase shift, ^1,2 = uph ± - frequencies of optically allowed transitions due to Rabi splitting

Slight increasing of temperature leads to phase shift 6(T) decreasing in A2. In experiment, this can be achieved by heating the nanoparticle, see fig. 10. The normal state with A = 0 and T > Tc determines the second operating point of the quantum sensor.

In Section 4-2, the effect of inhomogeneous broadening on the formation of superradiance and lasing in the QD ensemble is studied. It is shown that the inhomogeneous broadening introduces some new features into the behavior of the SR PT. Namely, at p = -0.5 the chemical potential goes to infinity. Physically, this feature can be explained as follows.

It follows from the basic equations that the normal (nonradiating) state with order parameter A = 0 and without broadening can exist only in an ensemble of two-level QDs at p = -0.5, which corresponds to the absence of population inversion; the chemical potential takes finite negative values. The inhomogeneous broadening tends to fill the upper level due to the "tails" of the Gaussian distribution. However, for A = 0 this leads to infinitely large negative values of the chemical potential.

For other values of excitation density p, order parameter A decreases, and the inhomogeneous broadening suppresses the SR PT. At the same time, the behavior of the corresponding chemical potential becomes smoother.

In Section 4-3 the behavior of the temperature sensitivity of the proposed quantum sensor is analyzed. The temperature sensitivity depends on the temperature measurement error (its small change) for the biological microobject, which depends on quantum field fluctuations in the cavity. However, the temperature measurement accuracy for the considered sensor is also determined by the specifics of the phase transition to superradiance near the critical point. Namely, this accuracy is limited by the effect of the finite size of the system, which leads to "blurring" of the phase transition region close to critical point Tc. In the thesis, expression

(AT )sql = AT = ! Tc í (22)

is obtained for the accuracy of measuring the temperature of a quantum sensor based on SR PT, where ac is the second-order critical value of the specific heat [37]. Thus, (22) implies that the temperature measurement error estimation for the coherent number of photons is (AT)sql = AT rc 1/y/N0;Ph, which is consistent with the results of [38]. However, a finite number of TLSs leads to an additional scaling that depends on N. If the number of photons is comparable to the number of TLSs from

_ 1 3 — Qc

(22) we obtain (AT)sql = TCN 22—. Therefore, for ac > 0, and especially as ac tends to 1, the temperature measurement accuracy (as well as the corresponding temperature sensitivity) reaches the Heisenberg limit, which scales as 1/N [28]. This result is not unexpected, since the temperature measurement accuracy increases both due to the involvement of the macroscopic number of photons, Nph, and the number of TLSs interacting with them, N.

Expression (22) makes it possible to achieve temperature measurement accuracy AT ~ (10-2^ 10-3)TC due to the collective SR effect. Critical temperature Tc for narrow-gap semiconductor materials is in the range of several Kelvin. Thus, a thermosensor based on an SR PT with exciton polaritons makes it possible to measure temperature at mK accuracy level,cf. [35]. From a practical point of view, such a sensors can be useful in biophotonics in the study of processes occurring at the cellular level of the living matter organization.

In Conclusion the main results of the thesis are formulated.

The two-dimensional laser material concept is proposed with the topology of a network (graph) with power-law degree distribution p(k) ~ k-1 ( k is the node degree, 7 is the degree exponent); the correlation of which plays a fundamental role in various (cooperative) radiative processes of two-level quantum systems occupying network nodes and interacting with a quantized optical field. Namely, the distinguishing feature of such a material is the fact that values ( ) and demonstrate a significant increase in the range 1 < ^ < 3, when the number of hubs (nodes with the highest degrees of connectivity, significantly exceeding (k)) grows. In the thesis we have shown that these features of the parameters of a complex network play a decisive role in the problem of SR phase transition for the models considered in the thesis.

A model has been developed for a superradiant laser based on disordered (in space) two-dimensional arrays of spins 1/2 (two-level quantum systems) located at the nodes of the PLDD-network. The problem of the second-order laser-like phase transitions in this model is examined. It is found that, under conditions close to the PM state, the phase transition to a superradiant laser takes place in the range of exponent degree 7 corresponding to the scale-free network, 2 < ^ < 3; in this case, average number of photons Nph is greater than number of TLSs N (network nodes). For the material in the form of a random network (7 > 3), the PT to superradiance occurs in the system when opposite relation Nph < N is satisfied. It is shown that the crossover between these two regimes occurs at Nph = N and depends on the effective parameter of the spin-spin interaction.

It is shown that even in the limit of the absence of external field, % ^ 0, there is a sufficiently strong (ferromagnetic) interaction between the spins in the anomalous regime of a complex network structure with the exponent 1 < ^ < 2. The SR PT occurs at the boundary of this regime (7 ~ 2), when the effective local field vanishes, which acts on each spin from the other spins that effectively interact with the given one. On the other hand, in the scale-free (7 > 2) and random network, a superradiant state is established, characterized by spontaneous (transverse) polarization along the x axis.

It is found that for laser materials with a correlation of various node degrees of the network structure in the limit of the absence of an external field % ^ 0, as well as under conditions close to the PM phase, the transition to the superradiant laser

regime depends in a complex way on the assortativity parameter of the network structure A. At the same time, it is shown that in the limiting cases of both small and large values of this parameter, the criterion for such a transition does not change significantly in comparison with the case of a complex network without correlation of various node degrees.

For the first time, a quantum material has been proposed, consisting of a disordered two-dimensional array of microcavities with TLSs located at the nodes of the PLDD-network (graph), for which the effect is predicted of a significant increase in the Rabi splitting frequency, depending on the ( = (k2)/(k) parameter defining the normalized second moment of the node degree. It is found that this effect in the anomalous mode of 7 can provide a superstrong mode of interaction between TLSs (embodied in microcavities) and the collective photon mode due to the simultaneous interaction of TLSs with the quantized field through numerous waveguide channels (graph edges) responsible for the formation hubs.

It has been revealed that in a thermodynamically equilibrium medium in the form of a disordered two-dimensional array of microcavities with TLS located at the nodes of the PLDD-network (graph), a crossover from superradiance to a laser occurs. It depends on excitation density p and frequency detuning A. It is shown that in the limit of low-density excitations, p ^ -0.5, TLS inversion is absent and we deal with the superradiance when the TLS number is greater than the average number of photons. In this case, two polariton excitation branches are formed in a two-dimensional array of microcavities, which determine the bound states of the quantized field and matter.

It was found that in the limit of p > 0.5 for the excitation density, the array of microcavities demonstrates the inversion of TLS populations, which leads to a structural transition to parametric-type excitations, accompanied by a strong increase in radiation in the limit of a relatively large detuning Delta; in this case, either |A| > 2g(k) or |A| > 2gthese conditions are valid in the limit of ultralow or high temperatures, respectively. Physically, this limit corresponds to the crossover from the superradiance to superradiant laser in an inverted medium, when the average number of photons is much greater than the number of TLSs. In this case, the chemical potential at the PT point undergoes a sharp jump from

the lower polariton branch to the upper one due to the presence of complete TLS inversion.

It is shown that in a nonequilibrium system of two-dimensional arrays of microcavities with a power-law degree distribution, lasing can be achieved with a vanishing population inversion in the anomalous region 1 < ^f < 2. In this case, the gain of laser radiation turns out to be proportional to average degree of nodes (k), which provides a giant gain at (k) ^ 1 for the same range of 7. The connection between the physical mechanism of the transition to laser generation with phase transition, occurring in the Ising model with spin-spin interaction, determined on complex networks, as well as with the formation of coherent radiation in a random laser is found.

A quantum optical temperature sensor is proposed; it bases on the effect of a laser-like phase transition in an ensemble of TLSs interacting with single-mode light radiation in a semiconductor open microcavity with a biological microobject, a small temperature change of which is to be estimated. It was found that the temperature sensitivity is limited both by quantum fluctuations of the superradiant field and specifics of the phase transition to superradiance near the critical point, which consists in the effect of the finite size of the system. This effect leads to "bluring" of the sensor's working region, comparable to the region of the phase transition.

Reference

1. Lamb W. E, Schleich W. P., et. al. Laser physics: Quantum controversy in action // Reviews of Modern Physics. — 1999. — Vol. 71, no. 2. — s263.

2. Bagaev S. N., et al. Beginning of The Laser Era in The USSR (Digest of articles) // FIAN, LPI. — 2010. — P. 160.

3. Proukakis N. P., Snoke D. W., Littlewood P. B. ( Universal themes of Bose-Einstein condensation. — Cambridge University Press, 2017.

4. Norcia M. A., et al. Superradiance on the millihertz linewidth strontium clock transition // Science Advances. — 2016. — Vol. 2, no. 10. — e1601231.

5. Haken H. Laser light dynamics. — Amsterdam: North-Holland, 1985.

6. Bohnet J. G., et al. A steady-state superradiant laser with less than one intracavity photon // Nature. — 2012. — Vol. 484, no. 7392. — P. 78-81.

7. DeGiorgio V., Scully M. O. Analogy between the laser threshold region and a second-order phase transition // Physical Review A. — 1970. — Vol. 2, no. 4. — P. 1170.

8. Kirton P., Keeling J. Nonequilibrium model of photon condensation // Physical Review Letters. — 2013. — No. 111. — P. 100404.

9. Wiersma D. The physics and applications of random lasers // Nature Physics. — 2008. — No. 4. — P. 359-367.

10. Gaio M., et al. A nanophotonic laser on a graph // Nature Communications. — 2019. — Vol. 10, no. 1. — P. 1-7.

11. Wang Y. K., Hioe F. T. Phase transition in the Dicke model of superradiance // Physical Review A. — 1973. — Vol. 7, no. 3. — P. 831.

12. Scully M. O.and Zubairy M. S. Quantum Optics. — Cambridge: Cam, 1997.

13. Pitaevskii L. P., Stringari S., Stringari S. Bose-einstein condensation. — Oxford University Press, 2003.

14. Timofeev V. B. On Bose condensation of excitons in quasi-two-dimensional semiconductor heterostructures // Low Temperature Physics. — 2012. — Vol. 38. — P. 693-702.

15. Sapienza R. Determining random lasing action // Nature Reviews Physics. — 2019. — Vol. 1, no. 11. — P. 690-695.

16. Chow W. W, et al. InGaAs quantum-dot micropillar emitters: From spontaneous emission and superradiance to lasing // 19th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON). — 2017. — P. 1-4.

17. Dousse A., et al. Scalable implementation of strongly coupled cavity-quantum dot devices // Applied Physics Letters. — 2009. — Vol. 94, no. 12. — P. 121102.

18. Sapienza L., et al. Cavity quantum electrodynamics with Anderson-localized modes // Science. — 2010. — Vol. 327, no. 5971. — P. 13521355.

19. Debnath K., Zhang Y, Molmer K. Lasing in the superradiant crossover regime // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 6. — P. 063837.

20. Norcia M. A., K. T. J. Cold-strontium laser in the superradiant crossover regime // Physical Review X. — 2016. — Vol. 6, no. 1. — P. 011025.

21. Johnson A., et al. Observation of collective superstrong coupling of cold atoms to a 30-m long optical resonator // Physical Review Letters. — 2019. — Vol. 123, no. 24. — P. 243602.

22. Leone M., Vazquez A., Zecchina R. Ferromagnetic ordering in graphs with arbitrary degree distribution // European Physical J. — 2002. — Vol. 28. — P. 191-197.

23. Suzuki S., Inoue J. I., Chakrabarti B. K. Quantum Ising phases and transitions in transverse ising models. — Springer Heidelberg, New York, Dordrecht, 2012.

24. Cong L., et al. A metamaterial analog of the Ising model // Advanced Materials. — 2018. — Vol. 30, no. 40. — P. 1804210.

25. Krishnan J., et al. A modified Ising model of Barabasi-Albert network with gene-type spins // Journal of Mathematical Biology. — 2020. — Vol. 81, no. 3. — P. 769-798.

26. Galam S., Martins A. C. R. Two-dimensional Ising transition through a technique from two-state opinion-dynamics models // Physical Review E. — 2015. — Vol. 91, no. 1. — P. 012108.

27. Barabasi A. Network sciences. — Cambridge University Press, 2016. — 475 p.

28. Gammelmark S., Molmer K. Phase transitions and Heisenberg limited metrology in an Ising chain interacting with a single-mode cavity field // New Journal of Physics. — 2011. — Vol. 13, no. 5. — P. 053035.

29. Akkermans E. Gero A., Kaiser R. Photon localization and Dicke superra-diance in atomic gases // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101, no. 10. — P. 103602.

30. Halu A., et al. Phase transition of light on complex quantum networks // Physical Review E. — 2013. — Vol. 87, no. 2. — P. 022104.

31. Bazhenov A. Y, Nikitina M. M., Alodjants A. P. Superradiant Phase Transition in Microstructures with a Complex Network Architecture // JETP Letters. — 2022. — Vol. 115. — P. 644-650.

32. Luxmoore I. J., et al. III-V quantum light source and cavity-QED on Silicon // Scientific Reports. — 2013. — Vol. 3, no. 1. — P. 1-5.

33. Tredicce J. R., et al. Instabilities in lasers with an injected signal // /J. Opt. Soc. Am. B. — 1985. — Vol. 2, no. 1. — P. 173.

34. Kovalev A. V., Viktorov E. A. Class-A mode-locked lasers: Fundamental solutions // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2017. — Vol. 27, no. 11. — P. 114318.

35. Kucsko G, et al. Nanometre-scale thermometry in a living cell // Nature. — 2013. — Vol. 500, no. 7460. — P. 54-58.

36. Eastham P. R., Littlewood P. B. Bose condensation of cavity polaritons beyond the linear regime: The thermal equilibrium of a model microcavity // Physical Review B. — 2001. — Vol. 64, no. 23. — P. 235101.

37. Imry Y. Finite-size rounding of a first-order phase transition // Physical Review B. — 1980. — Vol. 21, no. 5. — P. 2042.

38. Stace T. M. Quantum limits of thermometry // Physical Review A. — 2010. — Vol. 82, no. 1. — P. 011611.

Введение

Лазеры представляют собой одно из величайших достижений квантовой теории взаимодействия излучения с веществом и экспериментальной квантовой физики за более чем 100 лет ее существования, см., напр., [1; 2]. Принцип действия этих устройств основан на усилении света посредством вынужденного излучения ансамбля частиц, обладающих дискретным спектром энергии. Современные квантовые технологии позволяют создавать различные лазерные и лазероподобные (когерентные) устройства, которые широко используются в науке, промышленности, экологии, медицине и пр. Одной из приоритетных задач является создание малогабаритных высококогерентных и энергосберегающих источников лазерного излучения, которые можно было бы задействовать в схемах квантовых вычислений, квантовой метрологии и сенсорике. В этой связи особое место занимают случайные лазеры, источники сверхизлучения (СИ) и сверхизлучающие лазеры (superradiant lasers), а также источники когерентного света, основанные на бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) фотонов и/или экситонных поляритонов.

В настоящее время для сложных по своей природе устройств атомного, поляритонного конденсатов, сверхизлучающих систем, излучение которых связано с некоторым упорядоченным состоянием вещества, в научном сообществе установились такие термины как «атомный лазер», «поляритонный лазер», «сверхизлучающий лазер», соответственно, см., напр., [3; 4]. В их основе можно обнаружить оригинальные принципы лазерной (бозонной) стимуляции и усиления излучения, хотя зачастую такие устройства далеки от первоначально разработанных и созданных лазерных генераторов светового поля.

Понимание сущности процессов, связанных с лазерной генерацией и когерентностью, всегда являлось ключевой задачей лазерной физики еще с момента ее становления [1; 5]. В этой связи необходимо отметить явление сверхизлучения, связанное с квантовыми корреляциями дипольных моментов в среде. Это явление представляет собой по сути предельный случай лазерного устройства, обладающего низкодобротным резонатором. Основные (когерентные) статистические особенности как лазерного излучения, так и сверхизлучения были объяснены путем изучения корреляционной функции фотонов в рамках теорий квантовой и нелинейной оптики. С недавних пор особый интерес в квантовой метрологии представляют так называемые сверхизлучающие лазеры, для ко-

торых удалось сфазировать между собой более одного миллиона диполей из двухуровневых атомов [6]. С другой стороны, теория фазовых переходов (ФП) и критических явлений, основанная на статистическом и термодинамическом подходах, смогла объяснить образование когерентных состояний вещества в конденсированных средах (речь идет, в частности, о бозе-конденсации частиц), а также макроскопические когерентные эффекты СИ.

Основное различие между рассматриваемыми двумя фундаментальными (теоретическими) подходами состоит в том, что изначально ФП рассматривались только для термодинамически равновесных систем. Однако лазерные системы не являются таковыми. В этом случае уместно говорить лишь об определенной аналогии процессов, происходящих в открытых (накачиваемо - дисси-пативных) и термодинамически равновесных лазероподобных системах, демонстрирующих фазовые переходы [7].

К настоящему времени, с развитием экспериментальных возможностей, ученым удалось наблюдать БЭК в различных физических средах: атомы щелочных металлов, экситонные поляритоны, магноны, фотоны и фононы. БЭК - новое макроскопически когерентное состояние ансамбля частиц, очень похожее по своим статистическим характеристикам на лазерное излучение, сформированное существенно выше порога лазерной генерации. В особенности, такая аналогия становится необходимой, если речь идет о БЭК газа фотонов, экси-тонных поляритонов, т.е. явлений, происходящих в системах с эффективным взаимодействием вещества и светового поля [3; 8].

В определенной степени применение различных (теоретических) методов и подходов к изучению физических систем, демонстрирующих явления БЭК, СИ и лазерной генерации, является вопросом удобства описания системы, которая к тому же может иметь достаточно сложную структуру. Таковыми, например, являются цепочки и массивы микрорезонаторов, каждый из которых уже сам по себе может представлять мини-источник когерентного излучения. В реальной жизни такие системы, как правило, не находятся в термодинамическом равновесии из-за их открытой (накачиваемо - диссипативной) природы, и следует учитывать эффекты конечной размерности системы в целом. Однако в условиях высокодобротного резонатора удается исследовать систему за промежутки времени, когда можно пренебречь влиянием различных диссипативных процессов.

С практической точки зрения рассматриваемые системы применяются при разработке оптических компьютеров, различных фотонных симуляторов и устройств памяти и т.д. Таким образом, исследование фазовых переходов, приводящее в конечном итоге к макроскопическому эффекту лазерной генерации и формированию когерентного состояния поля и вещества, представляет актуальную проблему современной квантовой теории лазерных систем, имеющую множество важных практических приложений.

Также весьма полезной и активно развивающейся с недавних пор является концепция случайного лазера. В рамках данной концепции распространение излучения в неупорядоченной среде приводит к усилению света [9]. Случайные лазеры работают по тем же принципам, что и обычные, но их моды определяются многократным рассеянием, а не (общим) лазерным резонатором, т.е. оптическая обратная связь обеспечивается рассеивающими частицами неупорядоченного материала случайного лазера. С недавних пор все возрастающий интерес в эксперименте здесь связан с получением лазерного излучения в неупорядоченных усиливающих полупроводниковых материалах, а также светопро-водящих нановолокнах, помещенных в краситель Родамин 60 и образующих двухмерный лазерный материал в виде случайных графов [10]. Показано, что увеличение средней степени узлов графа сопровождается уменьшением порогового значения перехода к лазерной генерации, что имеет важное значение при создании безрезонаторных низкопороговых лазерных источников излучения, обладающих определенной сетевой архитектурой. Перечисленные выше особенности лазерной генерации в неупорядоченных средах открывают совершенно новые перспективы для создания источников когерентного лазерного излучения, основанных на использовании неупорядоченных массивов микрорезонаторов.

Целью диссертационной работы является разработка новых источников когерентного излучения на основе взаимодействия светового поля с веществом в неупорядоченных двухмерных массивах микрорезонаторов с топологией сложных сетей и графов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать модель сверхизлучающего лазера на основе неупорядоченных в пространстве двухмерных массивов двухуровневых квантовых