Численное моделирование ударного взаимодействия тел с мерзлым грунтом с применением квазиравномерных сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Повереннов, Евгений Юрьевич

• Повереннов, Евгений Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Повереннов, Евгений Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. Состояние вопроса. Цели исследования.

1.1 Обзор моделей деформирования грунтовых сред.

1.2. О проблеме исследования ударного взаимодействия деформируемых тел с грунтовыми средами.

1.3. О проблеме моделирования неотражающих условий на границах расчетных областей.

1.4. Выводы из обзора. Цели и задачи диссертационной работы. Научная новизна. Практическая ценность.

2. Математическая постановка задачи вертикального удара и проникания тела в мерзлый грунт.

3. Применение метода квазиравномерных сеток для численного решения динамических задач теории упругости в полу бесконечных областях.

3.1. Понятие квазиравномерной сетки.

3.2. Описание одномерного аналога используемой конечно-разностной схемы.

3.3. Применение метода для решения одномерной задачи.

3.4. Формулировка двумерной системы динамической теории упругости в различных системах координат.

3.5. Применение метода для решения плоской задачи в декартовой системе координат.

3.6. Применение метода для решения плоской задачи в полярной системе координат.

3.7. Применение метода для решения осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат.

3.8. Применение метода для решения осесимметричной задачи в сферической системе координат.

3.9. Программная реализация в ППП «Динамика-2».

4.Численное исследование процессов удара осесимметричных тел в мерзлый и слоистый грунты.

4.1. Решение задачи об импульсном воздействии на границу полубесконечной среды с локальным упругопластическим поведением материала.

4.2. Решение одномерной задачи о распространении плоской волны в мерзлом грунте.

4.3. Сравнение результатов численного моделирования по внедрению ударников в мерзлый грунт с экспериментальными данными С.\¥.Уош^.

4.4. Решение задачи вертикального удара и проникания упругого ударника в мерзлый грунт с применением квазиравномерных сеток.

4.5. Исследование особенностей ударноволновых процессов в мерзлом и слоистом грунте.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование ударного взаимодействия тел с мерзлым грунтом с применением квазиравномерных сеток»

Вопросы ударного взаимодействия тел с полубесконечными природными областями возникают в строительстве, сейсмологии, военной сфере. Информация о сопротивляемости среды подобного рода динамическому нагружению используется как при проектировании ударяющего объекта и обеспечения им требуемых характеристик, так и при создании противоударных средств защиты. При построении численных (сеточных) алгоритмов решения задач о динамическом нагружении полубесконечной области возникает проблема выбора размеров расчетной области. Размеры должны быть выбраны таким образом, чтобы сформировавшиеся волновые поля не влияли на решение вблизи источника возмущения за счет переотражения от искусственных границ в течение определенного интервала времени. Решение данной проблемы за счет выбора больших размеров расчетной области неизбежно влечет проблему увеличения количества ячеек, времени счета и непосредственно связано с ограниченностью возможностей вычислительной техники.

Одним из примеров таких задач является ударное взаимодействие тел с мерзлыми грунтами. Вследствие наличия в составе мерзлого грунта компонента - льда данный вид грунтовой среды обладает более высокими пороговыми значениями структурной прочности, которая существенно зависит от температуры и влажности среды. Вместе с тем мерзлые грунты имеют скорости распространения упругих возмущений, существенно превышающие их значения для грунтов в немерзлом состоянии. Область возмущения волнового движения среды оказывается значительно больше, чем в случае немерзлых грунтов. Природные грунты являются в общем случае многокомпонентными средами неоднородной структуры с нелинейными физико-механическими свойствами, зависящими от состава, условий залегания, вида внешнего воздействия. Основным источником информации по ударноволновому нагружению мерзлых грунтов в настоящее время являются результаты экспериментов, вместе с тем существует лишь очень ограниченное число работ по численному исследованию процессов их ударного взаимодействия с высокоскоростными телами. В связи с вышесказанным создание эффективных численных методик и алгоритмов решения задач ударного взаимодействия тел с мерзлыми грунтами, а также исследование особенностей и закономерностей таких процессов является актуальным.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Повереннов, Евгений Юрьевич

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны алгоритмы на основе сочетания регулярных и квазиравномерных сеток для моделирования неотражающих краевых условий для решения одномерных и двумерных динамических задач теории упругости в неограниченных областях и в различных системах координат. Алгоритмы используют явные аппроксимации производных по времени и процедуру сглаживания осцилляций, возникающих на сильно неравномерных сетках. Алгоритмы реализованы в виде модулей, программно совместимых с ППП «Динамика-2».

2. Проведены численные исследования свойств алгоритма на модельных и прикладных задачах ударноволнового нагружения деформируемого полупространства. Определены значения параметров сглаживающих операторов, показана эффективность применения квазиравномерных сеток в сочетании с регулярными сетками в задачах волнообразования вдали от области приложения нагрузки, в том числе для решения задач, допускающих локальное пластическое поведение среды. На основании численных экспериментов по импульсному нагружению упругого полупространства сделаны следующие выводы:

- Применение процедуры сглаживания позволяет подавить (или минимизировать) паразитные возмущения в решении, связанные с сильной неравномерностью сетки во вспомогательной подобласти;

- В случае применения в качестве сглаживающей функции степенной зависимости для каждого количества узлов во вспомогательной подобласти существуют свои оптимальные значения параметров сглаживания. При этом близость к нулю параметров сглаживания приводит к появлению паразитных возмущений в решении, чрезмерное увеличение - к слишком большому сглаживанию и занижению амплитуд волн;

3. Решены новые задачи удара и проникания деформируемых тел в однородный мерзлый грунт, а также в слоистый (мерзлый-немерзлый). Исследовано влияние конечной глубины промерзания грунта на характеристики волновых процессов в грунте и динамику ударника.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Повереннов, Евгений Юрьевич, 2012 год

1. Абрамов А. О переносе граничных условий для множества линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Журнал выч. мат. и матем. физики. 1961. Том 1, №3. с. 542-545.

2. Алексеев H.A., Сагомонян А.Я., Рахматулин Х.А. Об основных уравнениях динамики грунтов. ГТМТФ, 1963, №2.

3. Альтшулер JI.B., Павловский М.Н. Исследования глины и глинистого сланца при сильных динамических воздействиях //ПМТФ. 1971. №1. С.171-176.

4. Алынин А.Б., Альшина Е.А., Калиткин H.H. Численное решение гиперболических задач в неограниченной области.// Математическое моделирование 2004, т. 16, №4 с. 114-126.

5. Альшина Е.А., Калиткин H.H., Панченко C.J1. Численное решение краевых задач в неограниченных областях.// Математическое моделирование 2002 , т. 14, №11, с. 10-22.

6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1969.

7. Баженов В.Г., Врагов A.M., Котов B.JL, Зефиров C.B., Кочетков A.B., Крылов C.B., Ломунов А.К. Анализ применимости модифицированного метода Кольского для динамических испытаний грунтовых сред в деформируемой обойме // ПМТФ. 2000. т.41, № 3. С. 155-162.

8. Баженов В.Г., Врагов A.M., Котов B.J1., Кочетков A.B. Исследование удара и проникания тел вращения в мягкий грунт.// ПММ. 2003. №4.

9. Баландин В.В., Котов B.JL, Крылов C.B., Цветкова Е.В. Исследование взаимодействия полусферического ударника с грунтовой средой.// Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник/Нижегородский университет. 2001., с. 141-148.

10. Барлас Н.Я., Кравец В.Г., Ляхов Г.М. Волны в слоистых грунтах //Там же. 1979. №1. С.147-152.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

13. Бивин Ю.К. Прямое проникание группы тел в упругопластическую среду//МТТ, 1996, №1,С.80-87.

14. Велданов В. А. Ударное взаимодействие тел с грунтом и бетоном//Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Сб. тезисов международной конференции III Харитоновские тематические научные чтения. Саров, 26.02-2.03.2001. С. 120.

15. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов/ В.М. Вержбицкий. М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

16. Вовк A.A., Смирнов А.Г., Кравец В.Г. Динамика водонасыщенных грунтов // Киев: Hayкова думка. 1975.

17. Вовк A.A., Михалюк A.B., Черный Г.И. и др. Механические свойства мерзлых грунтов при динамическом нагружении //Основания, фундаменты и механика грунтов. 1980. №2. С. 14-17.

18. Вовк A.A., Замышляев Б.В., Евтерев Л.С. и др. Поведение грунтов под действием импульсных нагрузок. Киев: Наук.думка, 1984. 286с.

19. Вовк A.A., Черный Г.И., Кравец В.Г. Действие взрыва в грунтах. Киев: Наук, думка. 1974.

20. Гафуров M., Хакимов M. (1990). Исследование неотражающих двумерных условий на границах расчетной области для вязкоупругой среды// Численные граничные условия Казань: Физ. - Тех. Инст., 1990. - С. 131-141.

21. Гильманов А.Н., Аганин А. Исследование неотражающих условий на искусственных границах вычислительной области// Динамика оболочек в потоке Казань: Физ.-Тех. Инст. - С. 77-87.

22. Годунов С.К., Рябенький В. Спектральный критерий устойчивости граничных задач для несамосопряженных дифференциальных уравнений// Успехи Мат. Наук, 1963 -Т. 18.

23. Горшков А.Г., Куранова Н.С. Взаимодействие оболочки вращения с ударными волнами в различных средах. // Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций летательных аппаратов: сб. научн. тр. / МАИ. 1986. с. 10-18.

24. Горшков А.Г., Лобода А.И., Смелянский C.B. Поведение конических оболочек при ударе о грунт // Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом: сб.науч.тр. /М.: Изд-во МГУ. 1984. С. 136-144.

25. Григорян С.С., Красс М.С. Проблемы термомеханики грунтов.//М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986, 143с.

26. Григорян С.С. К решению задачи о подземном взрыве в мягких грунтах. -ПММ, 1964, т.28, вып.6

27. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. -ПММ, 1960, т.24, вып.6.

28. Григорян С.С. Приближенное решение задачи о проникании тела в грунт/С.С. Григорян // Механика жидкости и газа. 1993, №4 С. 18-24.

29. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. - 240 с.

30. Ильгамов М.А. О неотражающих условиях на границах вычислительной области// Динамика оболочек в потоке Казань: Физ.-Тех. Инст., 1985. С. 4-76.

31. Ильгамов М.А. Поглощающий слой в вычислительной области// Численные граничные условия-Казань: Физ.-Тех. Инст., 1990. С. 55-65.

32. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.

33. Ишлинский А.Ю., Зволинский Н.В., Степаненко Н.В. К динамике грунтовых масс. //ДАН СССР, т.95, №4, М., 1954 (см. также ПММ, t.XIX, вып.6. М., 1955).

34. Ишлинский А.Ю., О плоском движении песка. Украинский математический журнал, т.VI, №4,1954.

35. Калиткин H.H., Кузнецов Н.О., Панченко С.Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // ДАН 2000, т. 374, №5, с 598-601.

36. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.

37. Катцан Г. Язык Фортран 77: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 208 с.

38. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

39. Кочетков A.B., Повереннов Е.Ю. Эффективный алгоритм решения динамических осесимметрических задач теории упругости в полубесконечных областях. Приволжский научный журнал 2007 г., №4, с. 14-20.

40. Кочетков A.B., Повереннов Е.Ю. Применение метода квазиравномерных сеток при решении динамических задач теории упругости в неограниченных областях. Журнал «Математическое моделирование» 2007 г., том 19, №5, с. 8192.

41. Кочетков A.B., Повереннов Е.Ю. Численное решение задач динамической теории упругости методом квазиравномерных сеток в неограниченных областях. Вестник ННГУ. Серия «Механика»: вып. 1(8), 2006, с. 157-166.

42. Красников Н.Д. Динамические свойства грунтов и методы их определения //Ленинград, изд-во литературы по строительству, 1970, 238с.

43. Кристеску Н. Динамическая пластичность. -В кн.: Сб.перев., Механика, 1969, №3.

44. Лучко И.А., Плаксий В.А. Прикладные задачи динамики грунтов. //Киев: Наукова думка. 1979.

45. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах/ М.: Наука. 1982.м

46. Ляхов Г.М. Модель мерзлых грунтов для описания волновых процессов //Проблемы термомеханики грунтов. Изд-во МГУ, 1986. С. 16-36.

47. Ляхов Г.М., Пачепский Г.И. Об учете вязких и пластических свойств при решении волновых задач //ЖПМТФ. 1973. №2. С.114-120.

48. Ляхов Г.М., Фраш Г.Б. Взрывные волны в мерзлых грунтах //ПМТФ. 1983. №6. С.52-57.

49. Ляхов Г.М., Поляков Н.И. Волны в плотных средах и нагрузки на сооружения. М.:Недра, 1967. 232с.

50. Ляхов Г.М. Основы динамики взрыва в грунтах и жидких средах //М., изд-во "Недра", 1964.

51. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета «Тензор» // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. С. 185-211.

52. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. -М.: Мир, 1977.

53. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.- М., 1975, 399 с.

54. Меткалф М. Оптимизация в Фортране: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 264 с.

55. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел-Новосибирск: Наука, 1979.

56. Николаевский В.Н. Современные проблемы динамики грунтов //Определяющие законы механики грунтов: сб.перев./М.: Мир. 1975. С.210-229.

57. Николаевский В.Н. О связи объемных и сдвиговых пластических деформаций и об ударных волнах в мягких грунтах //ДАН СССР, 1967. Т177, №3, С.542-545.

58. Нох В.Д. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. С. 128-184.

59. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -328 с.

60. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

61. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов // М.: Изд-во МГУ. 1964.

62. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Изд-во «Мир», 1972.

63. Рузанов А.И., Волков И.А. Методы исследования процессов распространения волн в твердых деформируемых телах: учебное пособие /Нижегородский ун-т, Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1991. 120с.

64. Рыков Г.В. Экспериментальное исследование поля напряжений при взрыве в песчаном грунте //ПМТФ. 1964. №1. С.85-89.

65. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

66. Сагомонян А.Я. Волны напряжений в сплошных средах. Часть II. Распространение волн в упругих и упругопластических средах. Курс лекций. Изд-во Моск. ун-та, 1979, 208 с.

67. Сагомонян А.Я. Проникание. Изд-во МГУ, Москва, 1974 г.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.т. 1,2. М.: Наука, 1983.

69. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. 1976.

70. Труханов Ю.Я. Экспериментальное исследование полей напряжений и скоростей частиц при взрыве в мерзлом грунте //Физика горения и взрыва. 1967. №1. с.128-136.

71. Уилкинс M.J1. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967. С. 212-263.

72. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер с англ. М.: Мир, 1991. - 504 с.

73. Цытович Н.А. Механика грунтов. //М. "Высшая школа". 1983. -288с.

74. Abarbanel S., Murman Е. (1982). Stability of two-dimensional hyperbolic initial boundary value problems for explicit and implicit schemes// J. Сотр. Phys. 1982. -V. 48.-P. 160-167.

75. Abarbanel S. Gottlieb D. Stability of two dimensional initial boundary value problems using leap-frog typr schemes// J. Math. Сотр. 1979. - V.33, №148. - P. 1145-1155.

76. Achenbach J. (1991). Reflection and transmission of rayleigh surface waves by a material interphase// J. Appl. Mech. 1991. - V. 58. - P. 688-694.

77. Aitken G.W., Swinzow G.K., Farrell D.R. Projectile and fragment penetration in snow and frozen soil. -1976. P. 1-14.

78. Arakawa M. Shock Wave and Fracture Propagation in Water Ice by High Velocity Impact// J. Сотр. Phys. 2000. - V. 27, N 3. - P. 305-308.

79. Barry A., Bielak J. and MacCamy R. (1988). On absorbing boundary conditions for wave propagation// J. Сотр. Phys. 1988. - V. 79. - P. 449-468.

80. Baumeister K. (1986). Time-dependent wave envelope finite difference analysis of sound propagation// AIAA J. 1986. - V. 24, №1. - P. 32-38.

81. Bayliss A., Goldstein C. and Turkel E. (1985). On accuracy conditions for the numerical computation of waves// J. Сотр. Phys. 1985. - V. 59. - P. 396-404.

82. Bayliss A. and Turkel E. (1982). Far-field boundary conditions for compressible flows // J. Сотр. Phys. 1982. - V. 48. - P. 182-199.

83. Bayliss A. and Turkel E. (1983). Outflow boundary conditions for fluid dynamics // J. Сотр. Phys. 1983.-V. 48.-P. 182-199.

84. Beam R., Warming R. and Yee H. (1982). Stability analysis of numerical boundary conditions and implicit difference approximations for hyperbolic equations // J. Сотр. Phys. 1982. - V. 48. - P. 200-222.

85. Bennet A. (1976). Open boundary conditions for dispersive waves// J. Atmosph. Scienc. 1976. - V. 33. - P. 176-182.

86. Bettes P. and Zienkiewicz O. (1977). Diffraction and refraction of surfaces waves using finite and infinite elements// Int. J. Num. Meth. Eng. 1977. - V. 11. - P. 1271-1290.

87. Blaschak J. and Kriegsmann G. (1988). A comparative study of absorbing boundary conditions// J. Comp. Phys. 1988. - V. 77. - P. 109-138.

88. Bonet N., Nigro N., Stori M. and Idelsohn S. (1998). A discrete non-local (DNL) outgoing boundary condition for diffraction of surface waves// J. Comm. Num. Meth. Eng. 1998.-P. 849-861.

89. Brineau C. and Creuse E. (2000). An efficient boundary condition for the simulation of a compressible viscous flow over a plain dihedral// ECCO-MAS 2000. P. 1-17.

90. Bramley J. and Sloan D. A comparison of boundary methods for the numerical solution of hyperbolic systems of equations// J. Eng. Math. 1977. - V.l 1, №3. - P. 227-239.

91. Castellani A. (1974). Boundary conditions to simulate an infinite space Milano: Instituto Politechnico di Milano, 1982.

92. Cerjan C., Kosloff D., Kosloff R. and Reshef M. (1985). Non-reflecting boundary condition for discrete acoustic and elastic wave equation// J. Geophys. 1985. - V. 50, №4. - P. 705-708.

93. Chen J. (1973). Numerical boundary conditions and computational modes // // J. Comp. Phys. 1973. - V. 13. - P. 522-535.

94. Clayton R. and Engquist B. (1977). Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equation// Bull. Seism. Soc. Am. 1977. - V. 67, №6. - P. 1529-1540.

95. Cristescu N. Probleme dinamice in teoria plastitatti. -Bucuresti, Editura tehnica, 1958.

96. Dayal U., Alien J.H. Reddy D.V. Low velocity projectile penetration f, clay. //J.Geotherm Eng. Div. 1980., N8, pp, 919-937).

97. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves// J. Math. Comp. 1977. - V.31, №139. - P. 629-652.

98. Eldeman W.E., Bakken L.N. Loads on a conical body impacting sand and polyurethane foam//Sandia Corp. Livermore Lab. Jan. 1965, Contract AT(29-l)-789. SCL-DR-64-144.

99. Feng and Kang (1984). Asymptotic radiation conditions for reduced wave equations // J. Comp. Math. 1984. - V. 2. - P. 60-70.

100. Ferm L., Gustafsson B. Far-field boundary conditions for steady state solutions to hyperbolic systems// Proc. International Conference on Hyperbolic Problems St. Etienne: 1986. - P. 40-50.

101. Forrestal M.J., Grady D.E. Penetration experiments for normal impact into geological targets//mt.J.Solids Structures, V.I 8, 1982, №1, pp. 229-234.

102. Fung K. -Y. (1984). Far-field boundary conditions for unsteady transonic flows//AIAA J. 1984.-V. 19.-P. 180-183.

103. Gary J. (1978). On boundary conditions for hyperbolic difference schemes// J. Comp. Phys. 1978. - V. 26. - P. 339-351.

104. Giles M. (1989). Nonreflected boundary conditions for Euler equation calculations. AIAA Paper, №89-1912.

105. Givoli D. (1991). Non-reflecting boundary conditions: a review// J. Comp. Phys. 1991,-V. 94, №1.-P. 1-29.

106. Givoli D. and Patlashenko I. (1998). Optimal local non-reflecting boundary conditions// J. Appl. Num. Math. 1998. - V. 27. - P. 367-384.

107. Givoli D. and Keller J. (1989). A finite element method for large domains// J. Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 1989. - V. 76. - P. 41-66.

108. Goldstein C. (1981). The finite element method with non-uniform mesh size for unbounded domains// J. Math. Comp. 1981. - V. 36. - P. 154-164.

109. Gottlieb D., Turkel E. Dissipative two-four methods for time-dependent problems// Math. Comp. 1976. - V.30, №136. - P. 703-723.

110. Griffiths D.F. (1997). The 'no boundary condition' outflow boundary condition// Int. J. Num. Meth. Fliuds. 197. - V. 24. - P. 393-411.

111. Grote M.J. and Keller J. (1996). Exact nonreflecting boundary conditions for the time-dependent wave equations// SIAM J. Appl. Math. 1995. - V. 55, №2. - P. 280-297.

112. Gustafsson B. The convergence rate for difference approximations to mixed initial boundary value problems// J. Math. Comp. 1975. -V.29. - P. 396-406.

113. Hallquist, J.O., "A Numerical Treatment of Sliding Interfaces and Impact," in: K.C. Park and D.K.Garthng (eds.) Computational Techniques for Interface Problems, AMD Vol. 30. ASME, New York (1978).

114. Halpern L. Absorbing boundary conditions for the discretization schemes of the one-dimensional wave equations// J. Math. Comp. 1982. - V.38, №158. - P. 415-429.

115. Hariharan S., Johnson D. A framework for evaluating boundary conditions// J. of Comp. Acoustics. 1995. - V.3. №3. -P.241-259.

116. Heinrich J.C. and Vionnet C.A. (1995). On boundary conditions for unbounded flows// J. Commun. Num. Meth. Eng. 1995. - V.l 1. - P. 179-186.

117. Hestholm S.O. and Ruud B.O. (1998). Radiation boundary conditions for elastic wave propagation// J. Geophys. 1998. - V. 63. - P. 1017-1023.

118. Higdon R. Radiation boundary conditions for elastic wave propagation// SIAM J. Num. Anal. 1990. - V. 27, №4. - P. 831-870.

119. Hirt C.W., Amsden A.A. and Cook J.L. (1974). An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all flow speeds// J. Comp. Phys. 1974. - V. 14, №3. - P. 227-253.

120. Israeli M. and Orzag S. (1981). Approximation of radiation boundary conditions//J. Comp. Phys. 1981.-V. 41.-P. 115-135.

121. Karp S. A convergent far-field expansion for two-dimensional radiation function// J. Comm. Pure Appl. Math. 1961. - V. 14. - P. 427-434.

122. Kami S. To the boundary and back a numerical study// Int. J. Num. Meth. In Fluids. - 1991.-V.13.-P. 201-216.

123. Kreiss H. Difference approximations for initial boundary-value problems. -London: Proc. Roy. Soc., 1971. P.225-261.

124. LS-DYNA keyword user's manual. Version 960;2001.

125. LS-DYNA theoretical manual, 1998.

126. Lindman E. «Free-space» boundary conditions for the time-dependent wave equation// J. Comp. Phys.- 1975. -V.l8. P. 66-78.

127. Lysmer J. and Kuhlemeyer R. Finite dynamic model for infinite media// J. Eng. Mech. Div. Am. Soc. Civil Engrs., EM-95. 1969. - №4. - P. 859-877.

128. Luchini P., Tognaccini R. Direction-adaptive nonreflecting boundary conditions//J. Comp. Phys.- 1996. -V.128, №1. P. 121-133.

129. Majda A. and Osher S. Initial boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundaries// J. Comm. Pure Appl. Math. -1975.-V. 28.-P. 607-675.

130. Malvern L. The propagation of longitudinal waves of plastic deformation in a bar of material exhibiting a strain rate effect. -J. Appl. Mech., 1951, N18.

131. Matsuno T. False reflection of waves of the boundary due to use of finite difference// J. Meteor. Soc. Japan. 1966. - V. 44. - P. 145-157.

132. Moore T., Blashak J., Taflove A., Kriegsmann G. Theory and application of radiation boundary operators// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1988. - V.36. №12. -P.1797-1812.

133. Moretti G. Experiments on initial and boundary conditions// Numerical and Physical Aspects of Aerodynamics Flows New-York, 1982. - P. 15-34.

134. Nitta T. The outflow boundary condition in numerical time integration of advective equations// J. Meteor. Soc. Japan. 1962. - V. 40, №1. - P. 13-94.

135. Oliger J. Fourth order difference methods for the initial boundary-value problem for hyperbolic equations// J. Math. Comp. 1976. - V.28. - P. 15-25.

136. Olson L. (1991). Discretization errors in infinite domain problems// J. Struc. Acoust.- 1991.-V. 128.-P. 113-116.

137. Peng C. and Toksoz M.N. (1995). An optimal absorbing boundary condition for elastic wave modeling// J. Geophys. 1995. - V. 60. - P. 296-301.

138. Richardson L. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problem involving differential equations London: Trans. Roy. Soc., 1910 -P. 307-357.

139. Smith W. (1974). A non-reflecting plane boundary propagation problems// J. Comp. Phys. 1974. - V. 15. - P. 492-503.

140. Stewart S.T., Ahrens T.J. Shock wave propagation in porous ice.- 1999-P.1243-1246.

141. Thompson K. Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems// J. Comp. Phys. 1987. - V. 68, №1. - P. 1-24.

142. Turkel E On the practical use of high-order methods for hyperbolic systems// J. Comp. Phys.- 1980. -V.35, №3. P. 319-340.

143. Watson W. Evaluation of several nonreflecting computational boundary conditions for duct acoustics// J. Comp. Acoustics. 1995. - V.3, №4. - P. 327-342.

144. Wood W. (1976). On the finite element solution of an exterior boundary value// Int. J. Num. Methods Eng. 1976. - V. 10. - P. 150-160.

145. Yee H., Beam R., Warming R. Boundary approximations for implicit schemes for one-dimensional inviscid equations of gasdynamics// AIAA J. 1982. -V.20. -P / 1203-1211.

146. Young C. W. Penetration Equations. Contractor report. SAND97-2426. Applied Research Associates, Inc., 1997.