Численное моделирование МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Алаторцев, Алексей Владимирович

• Алаторцев, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алаторцев, Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Постановка задачи.

Обзор литературы.

Обзор работы.

Основные результаты.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МГД-ПРОЦЕССОВ В

АЛЮМИНИЕВОМ ЭЛЕКТРОЛИЗЕРЕ.

§ 1.1 Исходная система уравнений.

§ 1.2 Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости.

§ 1.3 Уравнение электромагнитной индукции.

§ 1.4 Расчет анодного тока в средах.

§ 1.5 Учёт геометрии ванны и анодов в математической модели

§ 1.6 Полная математическая модель.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.

§ 2.1 Разделение на этапы по физическим процессам.

§ 2.2 Численный метод решения задачи по этапам.

§ 2.3 Устойчивость разностного метода.

§ 2.4 Оценка точности метода.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

§ 3.1 Тестовые расчеты.

Одномерный плоский случай.

Двумерный случай.

§ 3.2 Оценка адекватности результатов расчетов по конкретной ванне.

Расчет 766-ой ванны по 1-му аноду.

Расчет 766-ой ванны по 22-м анодам.

§ 3.3 Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве.

Замена выгоревших анодных блоков.

Исследование влияния геометрии рабочего пространства электролизера на МГД-стабильность.

Возможности по моделированию неполадок.

§ 3.4 Устранение неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия»

Постановка задачи

Необходимо провести математическое моделирование процесса промышленного электролиза алюминия в условиях, максимально приближенных к реальным. Требуется построить нестационарную математическую модель движения двух жидких слоев, описывающую электромагнитные и гидродинамические процессы в своей взаимосвязи, с учетом как токов, исходящих из анодов, так и индуцированного тока. Модель должна учитывать геометрию ванны и вязкое трение между средами и на их границах. Результаты численного расчета должны позволять визуализировать динамику изменения поверхности раздела между средами, скоростей в средах жидкого металла и электролита, а так же основных электромагнитных величин в обеих средах.

В производственных автоматизированных системах управления технологическим процессом (АСУТП) для определения порога устойчивости электролизера на практике часто используется критерий Бояревича-Ромерио [17], который в реальном времени позволяет следить за МГД-стабильностью технологического процесса и позволяет эффективно управлять электролизом. Опираясь на результаты моделирования, требуется предложить способ снятия неопределенности в выборе ведущей пары мод разложения поверхности металла для конкретных электролизных ванн.

Обзор литературы

В настоящее время первичный алюминий производится путем электролиза криолит-глиноземного расплава в электролизной ванне [14,16]. Основными компонентами криолит-глиноземного расплава являются: глинозем а120з, криолит иазашб, и фтористый алюминий A1F3. В промышленном электролите всегда присутствует фтористый кальций - CaF2, который снижает температуру плавления и снижает потери алюминия.

Электролит в расплавленном состоянии диссоциирует на ионы. Положительно заряженные ионы (катионы) разряжаются на катоде, отрицательные ионы (анионы) - на угольном аноде.

Основной процесс на катоде - восстановление трехвалентного алюминия А1 + Зе = А1, на угольном аноде - происходит разряд кислородосодержащих ионов с образованием окислов углерода СО и СО2. На рис. 1 изображена рабочая зона межполюсного зазора электролизера.

О О О о о о ° ° о о Транспорт С02

Реакционная зона ° конвекцией О о о

Перенос металла конвекцией

-V

Электролит

1 lOBCp^ill vy VII/ 11VV Л. UilJ^A

Алюминий

Пограничный слой

Рис. 1. Рабочая зона межполюсного зазора электролизера.

Суммарная реакция, происходящая в электролизере, может быть представлена в виде уравнения:

А1203 + ХС = 2А1 + (2Х-3)СО + (3-Х)С02

То есть в процессе электролиза в основном расходуется глинозем и углерод (в смеси пека и кокса), электроэнергия на разложение глинозема и поддержание рабочей температуры, дополнительно расходуются фтористые соли.

Процесс электролиза непрерывный, поэтому в электролит периодически загружают глинозем (а в самообжигающийся анод - анодную массу). Для поддержания уровня и состава электролита загружают свежий и вторичный криолит, оборотный электролит, фтористый алюминий, и кальцированную соду.

Основным показателем работы электролизёра является выход по току. Выход по току - отношение количества практически полученного алюминия к количеству, которое должно выделиться на катоде согласно закону Фарадея. Величина выхода по току таким образом рассчитывается по формуле:

Л = —^—100% /•/•0,335

В процессе производства алюминия возникают нежелательные явления (циркуляция металла, волнообразование на поверхности металла, перекос анода и др.), что ведет к негативным последствиям: к размыву гарнисажа, разрушению подовых и анодных блоков, прорыву металла, перемешиванию алюминия с электролитом и пр. В результате нарушается технологический режим, снижается выход по току и уменьшается срок службы электролизеров. Важно знать, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на процессах, происходящих в электролизере.

Считается, что первопричина снижения выхода по току - окисление растворенного алюминия анодным газом (СО2). Основная реакция, вызывающая потери металла:

2а1 + зс02 а1203 + зсо

Алюминий попадает в рабочую зону либо в следствие растворения, либо в следствие диспергирования.

Для уменьшения энергетических потерь следует по возможности уменьшать слой электролита, но при этом на поверхности раздела металл-электролит могут возникнуть колебания. При некоторых условиях наблюдается рост амплитуд этих волн, который называется неустойчивостью или магнитогидродинамической (МГД) нестабильностью. Даже простое незатухающее колебание поверхности раздела должно быть устранено, так как при нем возрастает массоперенос растворенного алюминия от катода в межполюсное пространство, где он снова окисляется. МГД-нестабильность является основным препятствием увеличения выхода по току, и её устранение является одним из самых тонких мест в технологическом процессе производства первичного алюминия.

В настоящее время развито две технологии производства первичного алюминия: в электролизерах с предварительно обожженными анодами, и в электролизерах с самообжигающимися анодами. Наиболее распространенными в мире являются электролизеры с обожженными анодами (70% добываемого алюминия). Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает периодическую замену анодов, в процессе чего могут происходить нежелательные возмущения среды, приводящие к снижению эффективности производства. При замене выгоревших анодов, которые выводят по 1-2 шт. по мере их выгорания, происходит перераспределение токов (суммарная величина которых порядка двухсот кА) по анодам, что влечет за собой изменение распределения токов в металле и электролите, а значит, ведет к изменению величины электромагнитной силы, действующей в этих средах. Это, в свою очередь, вызывает изменение распределения скоростей в электролите и металле, образование вихрей в средах, что ведет к возмущению границы раздела сред металла и электролита. Часто при этом возникает МГД-нестабильность, зазор между анодом и жидким металлом становится меньше допустимого критического (значение минимального допустимого МПР для каждой электролизной ванны индивидуально и составляет в среднем 3 см).

Известно, что плотность чистого алюминия зависит от температуры следующим образом:

Г = 18 °С: рА1 =2,1 г/смг;

Т = 658 °С: рА1 =2,382 г/см3 (температура плавления алюминия);

Т > 658 °С: рм = 2,382 - 0,000273(t-658) г/см3;

Т = 950 °С: рА1= 2,302 т/см3; а плотность криолита:

Г = 18 °С: pNaiAIFi =2,948 г/см3;

Т = 1000 °С : Pno.aif6~2'08 Г//сл/3 (температура плавления криолита);

Т > 1000 °С: pNa)AiF6=2,0& - 0,00088(t-1000) г/см3;

Таким образом, с ростом температуры плотность алюминия падает меленнее чем плотность криолита, в итоге, уже при 950 °С плотность алюминия больше плотности криолита на 10%. Поэтому выделяющийся в результате электролиза алюминий осаждается на падине ванны под электролитом.

Если температура меньше 950 °С, то электролит может кристаллизоваться и плотность алюминия станет меньше плотности криолита. Тогда металл всплывет на поверхность. Чем выше электропроводность электролита, тем меньше падение напряжения при прохождении через него тока, т.е. затраты электроэнергии будут меньше. Максимальная удельная электропроводность электролита равна 446 См/м при температуре 1000 °С. Если в электролит добавить фтористый натрий и фтористый алюминий, то его удельная электропроводность будет почти в 2 раза меньше (267 См/м), т.е. затраты энергии возрастут. Однако повышение температуры на каждые 10 °С понижает выход по току на 3-4%. При температуре равной 940 °С выход по току равняется 95%, при температуре равной 980 °С выход по току равен 74%. Поэтому температуру поддерживают в пределах 940 - 970 °С.

Важным параметром, влияющим на эффективность работы электролизера, является межполюсное расстояние (МПР). МПР - это расстояние между подошвой анодов и поверхностью металла. Чем больше межполюсное расстояние, тем больше выход по току. Если межполюсное расстояние больше 6 см, то выход по току растет не значительно. Если межполюсное расстояние меньше 3 см, то выход по току резко падает, так как алюминий попадает в реакционную зону, где происходит его обратное окисление. Поэтому для большинства ванн оптимальное МПР лежит в диапазоне 4-6 см.

Одна из основных технологических задач - создание условий в межполюсном пространстве, при которых уменьшается поток растворенного и диспергированного алюминия с поверхности катода и снижается вероятность его вторичного окисления, а также создание условий, при которых уменьшается вероятность зажатия ванны (когда МПР становится меньше допустимого).

Таким образом, при электролизе криолито-глиноземных расплавов на выход по току влияет:

• Плотность тока,

• Межполюсное расстояние,

• Температура электролита,

• Состав электролита, и, конечно, качество обслуживания ванны.

Неполадки в работе ванн - это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы.

В [14] подробно описаны неполадки, которые могут возникать в технологическом процессе производства первичного алюминия. К основным неполадкам в работе ванн авторы относят следующие:

• Холодный ход ванны;

• Выпадение глинозема на подину ванны;

• Затяжной, «негаснущий» анодный эффект;

• Горячий ход ванны.

Холодный ход ванны наблюдается если ванна получает недостаточное количество тепла, его причинами может быть пониженная сила тока серии, малое МПР, а также большое количество металла в ванне.

Выпадение глинозема на подину ванны, или «отравление ванны глиноземом» может происходить, если в ванну загружено глинозема больше того количества, которое может раствориться в электролите. Также это может происходить при холодном ходе ванны.

Анодный эффект возникает при снижении концентрации глинозема в электролите до 1-2%, поэтому его гасят внесением глинозема в ванну. Главный признак анодного эффекта - резкое, почти мгновенное, повышение напряжения в ванне. Основной причиной анодного эффекта является ухудшение смачиваемости поверхности анода электролитом из-за увеличения поверхностного натяжения на границе раздела электролит-анод. Поэтому на поверхности анода появляется сплошная прослойка из пузырьков газа - продукта электролиза. Растет сопротивление на границе электролит-анод, что влечет за собой потери тока и резкое повышение напряжения. Для и каждой ванны существует критическая плотность тока. Чем она выше, тем реже возникает анодный эффект. Величина критической плотности тока зависит главным образом от состава электролита и температуры. Затяжной анодный эффект характеризуется тем что он длится несколько часов и его не удается ликвидировать обычным приемом - загрузкой в электролит очередной порции глинозема. Если затяжной анодный эффект не прекратить, то неизбежен прорыв электролита и металла и даже полный выход ванны из строя.

Горячий ход ванны характеризуется высокой температурой электролита, что создает условия для более усиленного окисления растворенного алюминия, что, в свою очередь, также вызывает повышение температуры и ведет к понижению выхода по току. Его причинами могут быть:

• Чрезмерно малое МПР (избыточное тепло выделяется в рабочей зоне при обратном окислении алюминия);

• Сильно возросшее напряжение из-за увеличения МПР;

• Недостаточное количество алюминия в ванне;

• Анодный эффект;

• Перегрев электролита на каком-то участке (местный перегрев) при неравномерном распределении тока. Главная причина -сильный перепад поверхности раздела металл-электролит. При этом плотность тока растёт и электролит перегревается, происходит усиленное окисление алюминия и повышается температура ванны.

Сильный перепад поверхности раздела возникает, когда:

• Нарушена параллельность между нижней поверхностью анодов и дном ванны из-за перекоса анодов после выливки алюминия и перетяжки рамы анодов.

• Анод неравномерно расходуется из-за неоднородности материала, из которого он состоит, и в нижней его части образуется конус, который может так вырасти, что начнет касаться алюминия.

• Анод замыкается с алюминием через обломившийся кусок анода или кусок подового блока, который не вынули из ванны.

• Анод касается настыли.

Для ликвидации горячего хода ванны устраняют возможную причину нарушения режима электролиза:

• Если горячий ход произошел из-за роста тока, то его снижают до нормального.

• Если увеличено напряжение из-за большого МПР, то аноды опускают.

• Корректируют состав электролита.

• Если причиной горячего хода являются местные перегревы, то в первую очередь устраняют их. Характерными внешними признаками ванны с местными перегревами являются: колебание напряжения, неравномерное бурление электролита вокруг анода, перегрев электролита там, где нет бурления и большой накал анода на этом участке, образование на этом аноде «шейки».

• Если причиной является перекос анода, то его устраняют, регулируя подвески анода.

Поскольку физические эксперименты по оптимизации работы электролизера затруднительны, а замеры полей при температуре близкой к 1000 °С на практике дают погрешность порядка 15%, возрастает роль проведения численного эксперимента на основе математического моделирования.

Существуют различные уравнения, связывающие выход по току с магнитогидродинамическими явлениями (МГД-явлениями) в электролизёре [21,22]. При изучении магнитогидродинамических явлений можно выделить две задачи:

• Получение математической модели, описывающей основные поля в стационарном состоянии (магнитное, электрическое, форму стационарной поверхности раздела, линии течения в металле и электролите, скорости движения обоих жидкостей, формы рабочего пространства и т.д.);

• Получение математической модели, описывающей динамику поверхности раздела.

Приведем краткий обзор основных результатов, относящихся ко второй задаче. Существование различных подходов, дающих объяснения возникновению волн на поверхности металла, а значит приводящих к разным критериям устойчивости, свидетельствует о значимости этого явления для эксплуатационных качеств электролизера. Первая двумерная модель в приближении «мелкой воды» была предложена в [29,30]. В данной модели используется нелинейное волновое уравнение для описания поверхности невязкой жидкости. Нелинейность обусловлена электромагнитной силой. К сожалению, в [29,30] не приводится вывод этого уравнения. В работе [28] для анализа волн в металле предложен «Метод быстрых анодных погружений».

Аналитический критерий устойчивости впервые предложен в [26]. В качестве основного механизма неустойчивости в этой работе выбрано взаимодействие между горизонтальными электрическими токами и вертикальной компонентой вектора магнитной индукции. Введено понятие эффективного межполюсного расстояния 1),=^+—\\ Ds отражает зависимость возмущенных распределений тока от анодных сопротивлений.

Критерий Селе является необходимым условием и отражает тот факт, что если электролизер работает устойчиво, то выполняется условие: h1+^L)Hm >—^^—А, где JZ,BZ —невозмущенные компоненты плотности <*\ 8(Р\-Рг) тока и магнитного поля соответственно.

В работе [23] рассматривается электролизер бесконечных размеров. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса. Используется классическая техника линейной теории гидродинамической устойчивости, за исключением того, что для моделирования течений на середине каждого слоя предполагается линейный закон трения в приэлектродной области [23]. Авторы отмечают, что электромагнитная неустойчивость может развиваться, если плотность тока в жидком алюминии достаточно велика. Она может порождать крупномасштабные волны (1,5-2 м), распространяющиеся в направлении горизонтального тока. Возрастание уровня турбулентности (или возрастание коэффициента трения) может стабилизировать возмущения Это предполагает существование некоторого механизма насыщения и требует развитие нелинейных моделей, способных различать условия насыщения от условий развития хаоса. В работе [19] получен результат, который противоречит [26] и [23]. А именно: рассматривается электролизер со сплошным анодом. Система запитана вертикальным электрическим проводником, расположенным выше анодного блока. Какова бы ни была длина проводника, система (в рамках используемой модели) неустойчива. Если добавить однородное поле в z-направлении, то система становится устойчивой в случае, когда Вг -компонента магнитного поля превышает некоторое критическое значение 10" Тл. Авторы объясняют это различие тем, что они учли индуцированный электрический ток, в то время как в статьях, опубликованных ранее, индуцированным током пренебрегают. Уравнения выводятся при следующих предположениях:

• Движения несжимаемых жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

• Электромагнитное поле подчиняется квазистационарным уравнениям Максвелла.

• Электрические токи вне электролизера, в анодных и катодных блоках известны и не зависят от времени.

• Флуктуации вокруг стационарного движения настолько маленькие, что уравнения можно линеаризовать в окрестности стационарного решения.

• Изменения электромагнитного поля настолько маленькие, что ротор электрического поля равен нулю.

• В линеаризованной системе для флуктуаций можно пренебречь вязкими членами.

• При расчетах дополнительно предполагалось:

• Стационарное поле скоростей - нулевое.

• Стационарная поверхность - плоская.

• Аноды и катод представляют из себя два слоя.

В работах [27] и [17] рассматриваются стоячие волны. В [17] выводится волновое уравнение методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра взяты: отношение глубины слоев к горизонтальным размерам ванны, отношение амплитуды волны к глубине, отношение проводимости электролита к проводимости металла. Получены уравнения, аналогичные уравнениям в работе [29,30], усиленные наличием анодного слоя. Модифицирован критерий Селе. В работе [20] демонстрируются области справедливости подходов на основе теории «мелкой воды», хорошо описываются неустойчивости, порожденные вертикальным магнитным полем. Авторы строят трехмерное интегро-дифференциальное уравнение для описания колебаний в металле, осредняя его по глубине слоя, получают новое двумерное волновое уравнение. Тщательно моделируются аноды, приведена трактовка граничных условий. Вследствие этого, коэффициент в волновом уравнении отличается от [17]. Новое волновое уравнение было выведено из теории «мелкой воды» в работе [18] и в других работах этих же авторов. В этом уравнении сила Лоренца выражена непосредственно в терминах движения жидкости. Приводится общий энергетический критерий для того, чтобы установить, какие движения могут быть неустойчивыми. Это могут быть как бегущие, так и стоячие волны. Приводится достаточное условие стабильности, которое не требует решения основных уравнений магнитной гидродинамики.

В настоящей работе предлагается новая нестационарная математическая модель для описания МГД-процессов в промышленном алюминиевом электролизере, которая не разделяет описание основного и возмущенного движений и дает представление о состоянии поверхности раздела сред и скоростей движения в динамике.

Обзор работы

• В главе 1 предложена математическая модель полного физического моделирования физических процессов в промышленном алюминиевом электролизере.

• В главе 2 описан численный метод решения предложенной системы уравнений.

• В главе 3 проведены расчеты, подтверждающие адекватность предложенной модели, представлены результаты расчетов моделирования конкретных электролизных ванн, проведен численный эксперимент по исследованию МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов, а также предложен алгоритм снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио.

Основные результаты

Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.

Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.

Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.

Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.

Автор выражает глубокую благодарность за постоянную помощь, поддержку и внимание своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Н.П. Савенковой.

Особую благодарность автор выражает академику РАЕН, доктору физико-математических наук, профессору физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Р.Н. Кузьмину за постоянное внимание, консультации по физической постановке задачи и полезные советы в ходе выполнения диссертационной работы.

Автор благодарен преподавателям кафедры вычислительных методов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору А.П. Фаворскому, профессору Г.Г. Еленину, профессору А.В. Гулину, профессору В.Б. Андрееву, доценту С.И. Мухину, доценту Н.В. Соснину за обсуждение работы и ценные замечания.

Автор глубоко признателен доктору технических наук, профессору Красноярского государственного университета О.Г. Проворовой за научные консультации и конструктивное обсуждение результатов численных экспериментов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Алаторцев, Алексей Владимирович

Основные результаты работы:

• Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.

• Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.

• Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.

• Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алаторцев, Алексей Владимирович, 2006 год

1. Бояревич В.В. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере //Магнитная гидродинамика. 1987. № 1. С. 107-115.

2. Бояревич В.В., Калис Х.Э., Миллере Р.П., Погодкина И.Э. Математическая модель для расчета параметров алюминиевого электролизера // Цветные металлы. 1988. № 7. С. 63-66.

3. Математическое моделирование физических полей в алюминиевых электролизерах / Альчиков В.В. и др.; под ред. В.И. Быкова, B.C. Злобина.-Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. С.6-75.

4. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «Кабаре» // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 101-116.

5. Головизнин В.М., Самарский А.А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной переменной // Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 1. С. 86100.

6. Кузьмин Р.Н., Кулешов А.А., Савенкова Н.П., Филиппова С.В. Моделирование аварий на промышленном объекте с истечением тяжелых газов и жидкостей // Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 8. С. 33-42.

7. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. — М.: Наука, 1979.

8. Овчинников В.В., Проворова О.Г., Пингин В.В., Пискажева Т.В. Математические модели и МГД-явления в электролизере Содерберга // Цветные металлы. 1997. № 1. С. 61-63.

9. Проворова О.Г. Математические модели для эффективного управления некоторыми теплофизическими процессами : дис. . доктор техн. наук / Новосибирский государственный университет. — Новосибирск, 1997.

10. Ю.Проворова О.Г., Пингин В.В., Овчинников В.В., Пискажева Т.В., Горин Д.А. Математические модели физических полей в электролизере Содерберга // Магнитная гидродинамика. 1998. Т.34. С. 375-385.11 .Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. — М.: Научный мир, 2000.

12. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1992.

13. Сушков А.И., Троицкий И. А. Металлургия Алюминия. — М.: Металлургия, 1965.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

15. Федотьев Н.П., Алабышев А.Ф. и др. Прикладная электрохимия. — Санкт-Петербург : Госхимиздат, 1962. С. 275-330.

16. Bojarevics V.V., Romerio M.V. Long waves instability of liquid metal-electrolyte interface in aluminium electrolysis cells: a generalization of Sele's criterion // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1994. Vol.13, №1. P.33-56.

17. Davidson P.A., Lindsay R.J. Stability of interfacial waves in aluminium reduction cells //J. Fluid Mech. 1998. Vol. 362. P. 273-295.

18. Desloux J., Flueck M., Romerio M.V. Modelling for Instabilities in Hall-Heroult Cells: Mathematical and Newmerical Aspects // Magnetohydrodynamics in Process Metallurgy. 1991. P. 107-110.

19. Droste Ch., Segatz M., Vogelsang D. Magnetohydrodynamics Instability Analysis in Reduction Cells // Light Metals. 1998. P. 419-427.

20. Grjotheim K., Kvande H. Introduction to Aluminum Electrolysis. — Dusseldorf: Aluminium-Verlag, 1993.

21. Grjotheim K., Welch B. Aluminum Smelter Technology. — Dusseldorf: Aluminium-Verlag, 1988.

22. Moreau R. Zeigler D. The Moreau-Ewans hydrodynamic model applied to actual Hall-Heroult cells // Metallurgical Transactions. 1988. Vol.19. P. 734744.

23. Moreau R., Ewans J.W. An analysis of hydrodynamics of aluminum reduction cells//J. Electrochem Soc. 1984. Vol. 131,№ 10. P. 2251-2259.

24. Moreau R., Ziegler D. Stability of Aluminium Cells-a new approach // Light Metals. 1986. P. 359-364.

25. Sele T. Instabilities of the Metal Surface in Electrolytic Cells // Light Metals. 1977. P. 7-24.

26. Sneyd A.D., Wang A. Interfacial Instabilities due to MHD Mode Coupling in Aluminium Reduction Cells // J. Fluid Mech. 1994. P. 343-359.

27. Tang H.Q., Urata N. Metal pad wave analysis using a fast anode lowering method // Light Metals, 1997. P. 387-393.

28. Urata N., Mori K., Ikeuchi H. Behavior of Bath and Molten Metal in Aluminium Electrolytic Cell // Kaikiuzoku (Light Metals, Japan), 1976. P. 573-583.

29. Urata N. Magnetic and metal pad instability // Light Metals. 1985. P. 581589.

30. Содержание дисссртации изложено в следующих работах:

31. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г. , Савенкова Н.П. Динамическая модель магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Прикладная физика. 2004. № 5. С. 33-42.

32. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Численное моделирование магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов X международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2003. €.81.

33. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Исследование МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов XI международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2004. С.89.

34. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Моделирование динамики поверхности раздела в алюминиевом электролизере при замене анода // Сб. тезисов XIII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2006. С. 111.

35. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Математические модели промышленного электролиза // Сб. Тезисов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2006». Москва, Физический факультет МГУ, 2006. С. 67-68.