Быстрые алгоритмы моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей на основе метода наименьших модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Азарян, Алексан Артурович

• Азарян, Алексан Артурович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Азарян, Алексан Артурович

Введение................................................................................................................................5

Глава 1. Обзор устойчивых методов моделирования линейных регрессионных зависимостей.......................................................................................................................16

1.1. Проблема обеспечения устойчивости моделирования линейных зависимостей в условиях стохастической неоднородности..................................................................16

1.2. Метод наименьших модулей..................................................................................25

1.2.1. Точные алгоритмы реализации метода наименьших модулей.....................26

1.2.2. Приближенные алгоритмы реализации метода наименьших модулей........29

1.2.3. Анализ задачи моделирования линейных многомерных регрессионных зависимостей на основе метода наименьших модулей............................................31

1.3. Робастные методы и обобщенный метод наименьших модулей........................34

1.4. Выводы по первой главе и постановка задач исследования...............................36

Глава 2. Метод устойчивого моделирования линейных многомерных регрессионных зависимостей с помощью спуска по узловым прямым..................................................38

2.1. Спуск по узловым прямым как решение проблемы вычислительно эффективного моделирования линейных регрессионных зависимостей на основе метода наименьших модулей.........................................................................................38

2.2. Алгоритмы спуска по узловым прямым для метода наименьших модулей......40

2.2.1. Описание алгоритмов спуска по узловым прямым для метода наименьших модулей.........................................................................................................................42

2.2.2. Исследование вычислительных затрат алгоритмов спуска для МНМ.........47

2.3. Алгоритмы спуска по узловым прямым для обобщенного метода наименьших модулей............................................................................................................................61

2.3.1. Описание алгоритма реализации ОМНМ для линейных моделей на основе спуска по узловым прямым.........................................................................................62

2.3.2. Исследование вычислительных затрат алгоритма реализации ОМНМ на основе спуска по узловым прямым............................................................................64

2.4. Оценивание нелинейных регрессионных моделей с помощью ОМНМ............70

2.5. Выводы по второй главе..........................................................................................72

Глава 3. Программное обеспечение для вычислительно эффективного моделирования линейных регрессионных зависимостей на основе спуска по узловым прямым........74

3.1. Структура комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов для исследования эффективности алгоритмов моделирования.................................................................................................................74

3.2. Сравнительный анализ алгоритмов спуска по узловым прямым с известными точными и приближенными методами реализации метода наименьших модулей . 78

3.2.1. Сравнение с точными алгоритмами на основе полного перебора узловых точек и сведения к задаче линейного программирования.......................................78

3.2.2. Сравнение с приближенными алгоритмами на основе вариационно-взвешенных квадратических приближений и численных методов спуска нулевого порядка .......................................................................................................................... 82

3.3. Сравнительный анализ алгоритма спуска по узловым прямым с известными точными и приближенными методами реализации обобщенного метода наименьших модулей......................................................................................................88

3.4. Комплекс программ для моделирования и исследования линейных регрессионных моделей с помощью спуска по узловым прямым.............................90

3.5. Выводы по третьей главе........................................................................................92

Глава 4. Результаты решения прикладных задач............................................................93

4.1. Примеры реализации и сравнения на модельных данных разработанных алгоритмов на основе спуска по узловым прямым с известными алгоритмами...... 94

4.1.1. Пример моделирования линейной регрессионной зависимости в условиях стохастической неоднородности предложенным и известными алгоритмами реализации МНМ.........................................................................................................94

4.1.2. Пример моделирования регрессионной зависимости в условиях стохастической неоднородности предложенным и известными алгоритмами реализации ОМНМ......................................................................................................98

4.2. Примеры практического использования результатов работы...........................102

4.2.1. Моделирование условного среднего экономического ущерба муниципальных образований Свердловской области от пожаров на основе метода наименьших модулей.................................................................................................103

4.2.2. Прогнозирование относительной производительности центрального процессора..................................................................................................................107

4.2.3. Оптимизация периода эксплуатации высоконагруженной техники на основе анализа средних удельных затрат............................................................................110

4.2.4. Оптимизация численности плательщиков страховых взносов в пенсионную систему за счет легализации неформальной занятости в регионах......................117

4.3. Выводы по четвертой главе..................................................................................125

Заключение.......................................................................................................................128

Список литературы..........................................................................................................131

Приложения......................................................................................................................146

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Быстрые алгоритмы моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей на основе метода наименьших модулей»

Актуальность темы исследования

Математическое моделирование регрессионных зависимостей по экспериментальным данным выполняется с помощью статистических методов оценки параметров моделей. Во многих случаях имеется достаточная информация об изучаемых объектах, процессах и о свойствах, действующих на них возмущений. Это позволяет воспользоваться эффективными методами оценивания неизвестных параметров с использованием классических методов максимального правдоподобия [27]. Для задачи оценивания линейных регрессионных моделей в предположении нормального распределения случайных погрешностей измерений методом максимального правдоподобия является метод наименьших квадратов (МНК) [17]. На основе МНК создана целостная система статистической обработки. С учетом простоты реализации он является наиболее распространенным статистическим методом построения зависимостей [9, 23, 30, 49, 67, 72, 91, 99, 117] и др.

Однако при построении математических моделей по экспериментальным данным, например, в задачах мониторинга и диагностики технических и экономических систем, приходится сталкиваться со стохастической неоднородностью. В математической статистике под однородной совокупностью понимают выборку из одной генеральной совокупности [2]. Строгого определения неоднородности нет. Приведем определение, предложенное С.А. Смоляком и Б.П. Титаренко [55]: «Будем считать однородной такую совокупность, элементы которой формируются под воздействием общих основных причин и условий, а их законы распределения имеют простую структуру, и неоднородной - если разные ее элементы формируются под влиянием разных причин и условий либо если она может быть представлена в виде объединения некоторого числа однородных совокупностей с более простой структурой законов распределения элементов».

Применительно к регрессионным моделям к основным признакам стохастической неоднородности следует отнести [55, 63]: не полное соответствие модели части наблюдений; возможное наличие в выборке резко выделяющихся наблюдений, не обязательно обусловленных ошибками измерений; зачастую не экспериментальный, не однородный характер данных; использование различных группировок и округлений; возможная зависимость результатов наблюдений.

Данные особенности при использовании классических процедур оценивания могут привести к грубым ошибкам. В этой ситуации используют устойчивые (робастные и непараметрические) методы оценивания [8, 28, 33, 35, 38, 46, 47, 52, 5557, 68-71, 80, 82, 84, 89, 93, 95, 98, 105, 108, 114 и др.]. Однако эти методы проигрывают МНК в быстродействии. Поэтому актуальным направлением исследований является повышение вычислительной эффективности регрессионного моделирования по экспериментальным данным в условиях стохастической неоднородности.

Степень разработанности темы исследования

В основе устойчивого регрессионного моделирования лежит метод наименьших модулей (МНМ) [36, 81, 109], также называемый ^-аппроксимацией. Важной особенностью МНМ является его детерминированный характер, т.к. здесь не требуется привлечения гипотез о вероятностных свойствах изучаемых явлений [4].

Первые упоминания о МНМ связываются с работами Р. Босковича (R.J. Boscovich) [88] и П.С. Лапласа (P.-S. de Laplace) [96] второй половины XVIII века. Из современных исследований в области ^-аппроксимации отметим работы М.В. Болдина, Г.И. Симоновой и Ю.Н. Тюрина [8], В.И. Мудрова и В.Л. Кушко [36], А.В. Панюкова [43], И.Б. Челпанова [47], П. Блумфилда (P. Bloomfield) и У. Стейгера (W.L. Steiger) [81], Д. Биркеса (D. Birkes) и Я. Додже (Ya. Dodge) [86], Г. Бассета (G. Basset) и Р. Коенкера (R. Koenker) [79], Д. Полларда (D. Pollard) [106] и др.

Вопросы алгоритмической реализации МНМ в линейном регрессионном моделировании рассматривались в работах А.И. Матасова и П.А. Акимова [4, 5, 32], С.И. Зуховицкого и Л.И. Авдеевой [21], В.И. Мудрова и В.Л. Кушко [36], А.Н. Тырсина [62], Р. Армстронга (R.D. Armstrong) и Д. Кунга (D.S. Kung) [77], А. Барродейла (I. Barrodale) и Ф. Робертса (F.D.K. Roberts) [78], Е. Вейсфельда (E. Weiszfeld) [115], Г. Весоловски (G. O.Wesolowsky) [116], С. Нарула (S.C. Narula) и Дж. Веллингтона (J.F. Wellington) [100], В. Фишера (W.D. Fisher) [90] и др.

Используемая при оценивании параметров регрессии функция потерь либо является модулем, либо функцией от модуля [3, 13, 76, 94, 107]. При оценивании пространственных линейных регрессионных моделей обычно удается ограничиться МНМ-оценками или оценками, использующими выпуклые функции потерь. Однако одностороннее засорение экспериментальных данных и включение в состав независимых переменных временных лагов от выходной переменной приводит к смещению и неустойчивости МНМ-оценок [8, 63]. С целью устранения этих недостатков используют оценки с функциями потерь, имеющими горизонтальную асимптоту [3]. Непосредственное использование выпукло-вогнутых функций потерь приводит к появлению множества неизвестных локальных минимумов у целевой функции, что затрудняет поиск глобального минимума. Этот недостаток можно устранить за счет использования в качестве начального приближения вектора параметров модели его МНМ-оценки или оценки, полученной с помощью обобщенного метода наименьших модулей (ОМНМ) [63]. Отметим, что ОМНМ можно непосредственно использовать для устойчивого оценивания моделей.

Известные точные алгоритмы реализации МНМ и ОМНМ являются достаточно эффективными лишь для малых размерностей моделей и ограниченного объема выборок, а приближенные алгоритмы имеют ограниченную точность, поскольку требование увеличения точности приводит к резкому росту их вычислительных затрат. Это существенно затрудняет использование данных методов в динамических

задачах мониторинга и диагностики. Поэтому в таких приложениях алгоритмы моделирования за ограниченное время и с приемлемой для практического использования точностью представляют значительный интерес. Отметим, что вопрос о сходимости приближенных алгоритмов остается открытым [4].

Таким образом, актуальны разработка единого подхода к вычислительно эффективному моделированию многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности на основе МНМ и ОМНМ, не имеющих ограничений на порядок моделей и объем экспериментальных данных и проведение исследований для его теоретического обоснования.

Цели и задачи исследования

Целью работы является разработка и теоретическое обоснование нового подхода к вычислительно эффективному моделированию многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности, а также создание на его основе комплекса алгоритмов и программ реализации метода наименьших модулей и обобщенного метода наименьших модулей.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Предложить и исследовать новый подход для вычислительно эффективного моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей на основе методов наименьших модулей и обобщенных наименьших модулей.

2. Разработать и исследовать алгоритмы вычислительно эффективного моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей на основе методов наименьших модулей и обобщенных наименьших модулей.

3. Выполнить анализ вычислительной трудоемкости предложенных алгоритмов и провести их сравнение с известными результатами.

4. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов с целью исследования эффективности предложенных алгоритмов моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей.

Научная новизна

В области математического моделирования:

1. Впервые установлена закономерность, позволяющая осуществлять моделирование многомерных линейных регрессионных зависимостей методом наименьших модулей локально - посредством спуска по узловым прямым. На основе этого предложен новый подход к вычислительно эффективному математическому моделированию многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности, основанный на спуске по узловым прямым.

2. Предложенный подход к моделированию многомерных линейных регрессионных зависимостей, основанный на спуске по узловым прямым, реализован для обобщенного метода наименьших модулей. Установлена закономерность сокращения числа рассматриваемых возможных решений с увеличением размерности данных и числа наблюдений, позволившая обеспечить вычислительную эффективность моделирования линейных регрессионных зависимостей обобщенным методом наименьших модулей.

3. Установлено, что обобщенный метод наименьших модулей при некоторых ограничениях можно распространить и на случай моделирования многомерных нелинейных регрессионных зависимостей.

В области численных методов:

1. Разработаны вычислительно эффективные алгоритмы для моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей методом наименьших модулей.

2. Доказана сходимость предложенных алгоритмов оценивания параметров многомерных линейных регрессионных моделей методом наименьших модулей к точному решению за конечное число шагов.

3. Разработан вычислительно эффективный алгоритм моделирования линейных зависимостей методом обобщенных наименьших модулей.

4. Выполнен анализ вычислительной трудоемкости разработанных алгоритмов моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей.

В области комплексов программ:

1. Разработан программный комплекс, позволяющий: проводить вычислительные эксперименты как на модельных, так и на реальных данных с целью исследования эффективности предложенных алгоритмов оценивания многомерных линейных регрессионных моделей; применять и строить линейные модели с помощью разработанных алгоритмов для проведения вычислительных экспериментов; в качестве платформы для реализации разработанных алгоритмов используется язык программирования R.

2. С помощью разработанного комплекса программ решено несколько задач моделирования в технике и экономике.

Теоретическая и практическая значимость работы

Значимость диссертационного исследования обусловлена решением актуальных задач моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности с применением современного математического аппарата. Полученные результаты развивают теорию моделирования регрессионных зависимостей на основе метода наименьших модулей. Разработанные алгоритмы моделирования реализуют общую идею спуска по узловым прямым и превосходят по вычислительной эффективности все известные аналоги. Алгоритмическая реализация в рамках предложенной идеи спуска по узловым прямым обобщенного метода наименьших модулей позволяет моделировать авторегрессионные зависимости. Наряду с высоким быстродействием они обладают достаточно простой структурой.

Использование разработанных алгоритмов и программ позволит существенно снизить вычислительные затраты при практическом моделировании реальных систем и явлений в виде регрессионных зависимостей. Представленные результаты

вычислительных экспериментов свидетельствуют об адекватности проведенного математического моделирования и эффективности подхода на основе спуска по узловым прямым для дальнейшего его развития в технике и экономике в задачах диагностики систем и объектов в различных предметных областях в режиме реального времени.

Методология и методы диссертационного исследования

Объектом исследования являются многомерные линейные регрессионные модели, параметры которых оцениваются в условиях стохастической неоднородности экспериментальных данных.

Предметом исследования является единый подход к построению алгоритмов моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности и его теоретическое обоснование.

Для решения поставленных задач в работе используются методы математического моделирования, математической статистики, теории случайных процессов, статистических испытаний Монте-Карло, матричной алгебры, численных методов решения экстремальных задач, линейного программирования.

Для программной реализации предложенных методов и алгоритмов были применены современные информационные технологии и средства программирования. Был разработан программный комплекс в среде RStudio с применением языка программирования R.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:

В части «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»:

1. Разработан новый подход к математическому моделированию многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности методом наименьших модулей, основанный на спуске по узловым прямым.

В части «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»:

1. Аналитически и с помощью метода статистических испытаний исследованы методы моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности экспериментальных данных; установлена закономерность, состоящая в вычислительно эффективном нахождении параметров математических моделей с помощью спуска по узловым прямым.

2. Повышение вычислительной эффективности моделирования линейных зависимостей на основе метода обобщенных наименьших модулей с помощью спуска по узловым прямым за счет установленной закономерности сокращения числа рассматриваемых возможных решений при использовании предложенного подхода.

3. Установлены классы многомерных нелинейных регрессионных зависимостей, для которых можно применять обобщенный метод наименьших модулей для вычислительно эффективного моделирования.

В части «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»:

1. Разработаны вычислительно эффективные алгоритмы оценивания параметров линейных регрессионных моделей методом наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым.

2. Установлена сходимость разработанных алгоритмов оценивания параметров многомерных линейных регрессионных моделей методом наименьших модулей к точному решению за конечное число шагов.

3. Разработан вычислительный алгоритм оценивания параметров линейных моделей методом обобщенных наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым.

4. Выполнен анализ вычислительной трудоемкости предложенных алгоритмов, основанный на сочетании математических методов матричной алгебры и комбинаторики с современными технологиями математического моделирования, вычислительного эксперимента и статистических испытаний.

В части «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»:

1. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов с целью исследования эффективности предложенных алгоритмов оценивания параметров многомерных линейных моделей, написанный на языке программирования Я.

2. Поведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов по сравнению с известными решениями и адекватность проведенного моделирования.

Степень достоверности результатов

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечены математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата и методов математического моделирования, согласованием результатов вычислительных экспериментов с модельными примерами, решением большого количества тестовых задач и практическим применением разработанного комплекса программ. Адекватность математической модели подтверждалась примерами ее использования. Полученные в работе результаты и выводы согласуются с результатами других авторов. Все результаты, выносимые на защиту, опубликованы.

Апробация результатов

Теоретические и практические результаты исследований диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: 2-я научно-техническая конференция молодых ученых Уральского энергетического института (Екатеринбург,

2017), XI Международная школа-симпозиум «Анализ, моделирование, управление, развитие социально-экономических систем» (Симферополь-Судак, 2017), XVIII Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2017), XIX Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2018), 12-я международная конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Алтайский край, пос. Катунь, 2018). Также результаты работы обсуждались на научном семинаре Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина (УрФУ) «Модели и методы оптимизации, оценивания данных и управления в технических и экономических системах» под руководством д.ф.-м.н. А.Ф. Шорикова (Екатеринбург,

2018), научном семинаре отдела математического программирования Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН под руководством д.ф.-м.н. М.Ю. Хачая (Екатеринбург, 2018) и семинарах кафедры прикладной математики УрФУ (Екатеринбург, 2016-2018).

Работа выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ по грантам РФФИ № 16-06-00048 и № 17-01-00315.

Комплекс из трех программ, предназначенный для моделирования и исследования регрессионных зависимостей с помощью МНМ и ОМНМ, зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ [118-135], в том числе 6 статей в рецензируемых научных изданиях и журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ [124, 126, 132-135], из которых одна включена в наукометрические

базы MathSciNet и Zentralblatt MATH [135], одна - в Zentralblatt MATH [132] и одна -в GeoRef и Chemical Abstracts [126], глава монографии [123] и 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [127, 129, 130].

Личное участие автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором. Все результаты диссертационной работы, в том числе разработка, исследование и обоснование математических моделей и методов их исследования, разработка комплекса компьютерных моделей и экспериментальных методик, доказательство всех утверждений, проведение численных расчетов и моделирования, получены лично автором диссертации. Научным руководителем предложены постановки задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений. Полный объем составляет 148 страниц, включая 21 рисунок, 27 таблиц, список литературы из 135 наименований и 3 приложения.

Глава 1. Обзор устойчивых методов моделирования

линейных регрессионных зависимостей

Первая глава посвящена обзору устойчивых методов математического моделирования многомерных линейных регрессионных зависимостей в условиях стохастической неоднородности.

1.1. Проблема обеспечения устойчивости моделирования линейных зависимостей в условиях стохастической неоднородности

Одной из типовых задач при статистической обработке результатов экспериментальных исследований является оценивание коэффициентов линейных моделей вида [2, 31, 75, 101]:

(1.1)

- вектор наблюдаемых значений зависимой переменной; X =

/х11 х12 ■■■ х1т Х21 х22 ■■■ х2т

I - матрица значений

Хп1 хп2 ■■■ хпт/

(не случайных)

вектор

ненаблюдаемых случайных погрешностей (ошибок) измерений; а, к = 1, д

/а1\ а.2 (1) а2 ,1 = 1,р - неизвестные

\ат/ 1 \ат )

неизвестные коэффициенты и а =

векторы коэффициентов.

Выражение (1.1) - это модель авторегрессии и распределённого лага (ADL(p,q)-модель, смешанная модель), в которой текущие значения у[ временного ряда зависят как от прошлых значений у—к этого ряда, так и от текущих х^ и прошлых значений других временных рядов.

Если р = 0, т.е. ADL(0,q), имеем частный случай (1.1) - модель авторегрессии

АЖ?)

У1 = а + Ь(1)у1-1 + Ъ<Яу-2 + - + Ь(Ч)У-Я + £1, (1.2)

которая при введении линейной комбинации лагов случайной компоненты будет моделью авторегрессии-скользящего среднего ARMA(p, д)

= а + ^ ЪЮу-ь + £1 + ^

Ь &1-],

(1.3)

к=1

} = 1

где ,] = 1,ц - коэффициенты скользящего среднего.

Частный случай (1.1), вариант АОЬ(р,0), представляет собой модель распределённого лага ^Ь(р)

У1 = а + ах^ + а(1\-± + - + а(р\-р + £Ь.

(1.4)

Частный случай ADL(0,0) является линейной многомерной регрессионной моделью, которая имеет вид [3, 17, 51]

уь= 01 + 0.2X12 + а3х13 + -+ атх1т + £и 1 = 1,п, (1.5)

где У1, I = 1,п - наблюдаемые значения зависимой переменной; х^, у = 1, т ,1 =

1 , п - значения объясняющих (независимых) переменных; 1 = 1 , п - случайные

погрешности (ошибки) измерений; ] = 1, т - искомые коэффициенты линейной множественной регрессии. Модель (1.5) можно представить в матричной форме:

у = Ха + £, (1.6)

где у =

/У1 У 2

- вектор наблюдаемых значений зависимой переменной; Х =

= {ху}

пхш

/1 *12 1 *22

х1ш х2ш

- матрица значений объясняющих (независимых)

1

переменных х

(у ) =

хп2 ¡Х1] х2у

X

пш/

|,У = 1,т; £ =

ух.

п

1 2

п

вектор случайных погрешностей

(ошибок) измерений; а =

/«1 «2

\«Ш/

- искомый вектор коэффициентов регрессии.

Обозначив ^(х(1),х(2), ...,х(ш)) = о1 + о2х(2) +-----+ ошх(ш), запишем (1.5) как

у = ^(х(1),х(2),...,х(ш))+ 8.

Функция регрессии <^(х(1),х(2), ...,х(ш)) = Е[у/Х = х] представляет собой закономерную часть (условное математическое ожидание) одномерного отклика у, а 8 - случайную часть отклика (остаток).

Отметим, что формально можно линейную модель (1.1) представить в матричной форме (1.6). В дальнейшем будем рассматривать матричное представление линейной многомерной регрессионной модели.

Построение конкретной математической модели по имеющимся наблюдениям реализуется с помощью статистических методов оценки ее параметров. Многие задачи, связанные с обработкой статистических данных, решаются в предположении существования достаточной информации об изучаемых объектах, процессах,

явлениях и о свойствах, действующих на них возмущений. Для широкого класса задач разработаны методы эффективного оценивания неизвестных параметров с использованием классических методов максимального правдоподобия [24, 27].

В частности, в предположении, что случайные ошибки нормально распределены, методом максимального правдоподобия является МНК [2]. На основе МНК создана целостная система статистической обработки. С учетом простоты реализации он является наиболее распространенным статистическим методом построения зависимостей. Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809 г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало широкому применению статистических методов при решении задач восстановления регрессионных зависимостей [28].

Рассмотрим основное уравнение линейного регрессионного анализа (1.5). Использование МНК для оценивания неизвестных параметров модели (1.5) требует выполнения ряда предпосылок, называемых условиями Гаусса-Маркова [17]: 1°. Объясняющие переменные х(1), х(2),..., х(ш) - неслучайные величины; 2°. V I £[£¿1 = 0 (равенство нулю математического ожидания ошибок); 3°. V I £[£2] = (гомоскедастичность ошибок); 4°. V I ^ к £[£; = 0(т.е. компоненты £ попарно не коррелируют); 5°. Матрица Х имеет ранг ^(Х) = т<ии определена в виде

Х =

(1 х12 .■■ х1ш 1 х22 .■■ х2ш

1

хп2 .■■ хпш/

При их выполнении МНК-оценки параметров модели (1.5) являются состоятельными и несмещенными [51]. Кроме того, в случае нормального закона распределения погрешностей МНК-оценки являются эффективной в классе всех несмещенных оценок. Однако на практике часто нормальность закона распределения

погрешностей будет нарушаться. Некоторые нарушения нормальности закона распределения могут приводить к значительной потере эффективности МНК-оценок и их отклонению от истинных значений искомых параметров [13, 55]. Подчеркнем, что истинный закон распределения погрешностей измерений остается неизвестным.

Известно также, что МНК-оценки весьма чувствительны к наличию резко выделяющихся наблюдений среди обрабатываемых данных, что привело к разработке специальных методов исключения этих наблюдений из статистической совокупности. Однако, как указывается в [20], 5-10% аномальных значений в общей массе данных это скорее правило, а не исключение. При их учете реальное распределение ошибок может оказаться отличным от нормального. Таким образом, принимая гипотезу нормальности, мы автоматически предполагаем, что основная масса отклонений сосредоточена на некотором интервале. Вероятность большого отклонения при этом весьма мала. В реальной ситуации эта гипотеза является чересчур жесткой. Дело в том, что предполагаемая модель редко является абсолютно точно специфицированной; в частности, наблюдения могут быть засорены. Разумнее поэтому предположить, что отклонения с большей вероятностью могут принимать и большие значения [70]. Причины могут быть две - ошибка регистрации или действительно наличие аномалии, характеризующей качественно иной признак. Это можно формально трактовать как непостоянство дисперсии случайных ошибок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Азарян, Алексан Артурович, 2018 год

Список литературы

1. Авдийский, В.И. Неопределенность, изменчивость и противоречивость в задачах анализа рисков поведения экономических систем / В.И. Авдийский, В.М. Безденежных // Эффективное антикризисное управление. - 2011. - №2 3. С. 46-61.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

3. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 488 с.

4. Акимов, П.А. Метод ^-аппроксимации в навигационных задачах оценивания: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Акимов Павел Александрович. - Москва, 2011. - 133 с.

5. Акимов, П.А. Уровни неоптимальности алгоритма Вейсфельда в методе наименьших модулей / П.А. Акимов, А.И. Матасов // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 2. - С. 4-16.

6. Андреева, О.А. Стабильность и нестабильность в контексте социокультурного развития / О.А. Андреева. - Таганрог: ТИУиЭ, 2000. - 232 с.

7. Андрианов, Ю.В. Оценка автотранспортных средств / Ю.В. Андрианов. - М.: Дело, 2002. - 488 с.

8. Болдин, М.В. Знаковый статистический анализ линейных моделей / М.В. Болдин, Г.И. Симонова, Ю.Н. Тюрин. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

9. Вапник, В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В.Н. Вапник. - М.: Наука. Физматлит, 1979. - 448 с.

10. Васильев, Ф.П. - Численные методы решения экстремальных задач. - 2-е изд., перераб. и доп. / Ф.П. Васильев. - М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ. 1988. - 552 с.

11. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910 с.

12. Вибрационный контроль технического состояния газотурбинных газоперекачивающих агрегатов / Ю.Н. Васильев, М.Е. Бесклетный, Е.А. Игуменцев и др. - М.: Недра, 1987. - 197 с.

13. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ. - Пер. с болг. / И. Вучков, Л. Бояджиева, Е. Солаков. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 239 с.

14. Герике, Б.Л. Вибродиагностика горных машин и оборудования: Учебное пособие / Б.Л. Герике, И.Л. Абрамов, П.Б. Герике. - Кемерово: КузГТУ, 2007. -167 с.

15. Гимпельсон, В.Е. Жить в тени или умереть на свету? / В.Е. Гимпельсон В.Е., Р.И. Капелюшников // Вопросы экономики. 2013. № 11. С.65-87.

16. Грановский, В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая. - Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

17. Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия / Е.З. Демиденко. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

18. Добрынин, С.А. Методы автоматизированного исследования вибрации машин: Справочник / С.А. Добрынин, М.С. Фельдман, Г.И. Фирсов. - М.: Машиностроение, 1987. - 224 с.

19. Ермаков, С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. - 2-е изд., доп. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ. 1975. 472 с.

20. Ершов, А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор) / А.А. Ершов. Автоматика и телемеханика. 1978. №8. С. 66-100.

21. Зуховицкий, С.И. Линейное и выпуклое программирование. - 2-е изд., перераб. и доп. / С.И. Зуховицкий, Л.И. Авдеева. - М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 1967. - 460 с.

22. Ильин, В.А. Линейная алгебра: Учеб. для вузов. - 5-е изд. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

23. Калман, Р. Очерки по математической теории систем: Пер. с англ. / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 400 с.

24. Кендалл, М. Статистические выводы и связи: Пер. с англ. / М. Кендалл, А. Стьюарт. - М.: Наука. Физматлит, 1973. - 900 с.

25. Кормен, Т.Х. Алгоритмы: построение и анализ. - 3-е изд.: Пер. с англ. / Т.Х. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. - М.: Вильямс, 2013. - 1328 с.

26. Краковский, Ю.М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования / Ю.М. Краковский. - Новосибирск: Наука, 2006. - 227 с.

27. Крамер, Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

28. Крянев, А.В. Математические методы обработки неопределенных данных. - 2-е изд., испр. / А.В. Крянев, Г.В. Лукин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 216 с.

29. Леман, Э. Теория точечного оценивания: Пер. с англ. / Э. Леман. - М: Наука. Физматлит, 1991. - 448 с.

30. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - 2-е изд., доп. и исправл. / Ю.В. Линник. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1962. - 352 с.

31. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. - 6-е изд., перераб. и доп. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. - М.: Дело, 2004. - 576 с.

32. Матасов, А.И. Итерационный алгоритм для -аппроксимации в динамических задачах оценивания / А.И. Матасов, П.А. Акимов // Автоматика и телемеханика. - 2015. - № 5. - С. 7-26.

33. Мешалкин, Л.Д. Новый подход к параметризации регрессионных зависимостей / Л.Д. Мешалкин, А.И. Курочкина // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1979. - Т. 87. - С. 79-86.

34. Михайлов, Г.А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло/ Г.А. Михайлов, А.В. Войтишек. - М.: Академия. 2006. 368 с.

35. Мостеллер, Ф. Анализ данных и регрессия: Пер. с англ. / Ф. Мостеллер, Дж. Тьюки. Вып. 1, 2. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 317 с.; 239 с.

36. Мудров, В.И. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

37. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации: Пер с англ. / Г. Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1979. - 512 с.

38. Орлов, А.И. Прикладная статистика: Учебник / А.И. Орлов. - М.: Экзамен, 2004. - 656 с.

39. Основы оценки стоимости машин и оборудования: Учебник / А.П. Ковалев, А.А. Кушель, И.В. Королев, П.В. Фадеев; Под ред. М.А. Федотовой. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 288 с.

40. Оценка стоимости транспортных средств: Учебное пособие / М.П. Улицкий, Ю.В. Андрианов, Б.Е. Лужанский, С.М. Чемерикин; Под ред. М.П. Улицкого. -М.: Финансы и статистика, 2005. - 304 с.

41. Ощепков, А.Ю. Влияние минимальной заработной платы на неформальную занятость / А.Ю. Ощепков. М.: Изд. дом Высшей школы экономики. 2013. 49 с.

42. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высшая школа, 2002. - 544 с.

43. Панюков, А.В. Взаимосвязь взвешенного и обобщённого вариантов метода наименьших модулей / А.В. Панюков, А.Н. Тырсин // Известия Челябинского научного центра. 2007. - №1(35). - С. 6-11.

44. Панюков, А.В. Применение массивно-параллельных вычислений для решения задач линейного программирования с абсолютной точностью / А.В. Панюков, В.В. Горбик // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 2. - С. 73-88.

45. Петрович, М.Л. Регрессионный анализ и его математическое обеспечение на ЕС ЭВМ: Практическое руководство / М. Л. Петрович. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 199 с.

46. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния: Пер. с англ. / Ф. Хампель, Э. Рончетти, П. Рауссеу, В. Штаэль - М.: Мир, 1989. - 512 с.

47. Робастные методы статистического анализа навигационной информации: Обзор / Авторы-сост. Н.В. Бабкин, А.А. Мусаев, А.В Макшанов; Под ред. И.Б. Челпанова. - Л.: ЦНИИ «Румб», 1985. - 206 с.

48. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ: Пер. с англ. / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973. 470 с.

49. Румшинский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента / Л.З. Румшинский. - М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1971. 192 с.

50. Сапожников, В.В. Основы технической диагностики: Учебное пособие / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников. - М.: Маршрут, 2004. - 318 с.

51. Себер, Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер. с англ. / Дж. Себер. - М.: Мир, 1980. - 456 с.

52. Симахин, В.А. Адаптивные оценки параметров сдвига и масштаба / В.А. Симахин, О.С. Черепанов, Л.Г. Шаманаева // Известия высших учебных заведений. Физика. 2017. Т. 60. № 7. С. 26-32.

53. Синявская, О.В. Неформальная занятость в современной России: измерение, масштабы, динамика / О.В. Синявская. М.: Поматур. 2005. 55 с.

54. Смоляк, С.А. Оценка стоимости машин с учетом их ремонтов / С.А. Смоляк // Анализ и моделирование экономических процессов: Сборник статей, вып. 9. -М.: ЦЭМИ РАН, 2012. - С.47-72.

55. Смоляк, С.А. Устойчивые методы оценивания / С.А. Смоляк, Б.П. Титаренко. -М.: Статистика, 1980. - 208 с.

56. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Копьютерный подход / Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко, С.Н. Постовалов, Е.В. Чимитова. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2011. - 888 с.

57. Тарасенко, Ф.П. Непараметрическая статистика / Ф.П. Тарасенко. - Томск: Изд-во Томского университета, 1976. - 292 с.

58. Техническое обслуживание и ремонт горного оборудования: Учебник / Ю.Д. Глухарев, В.Ф. Замышляев, В.В. Карамзин и др.; Под ред. В.Ф. Замышляева. -М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 400 с.

59. Тужиков, Е.Н. Методика оценки эффективности деятельности органов местного самоуправления по обеспечению первичных мер пожарной безопасности (на примере Свердловской области): дис. ... канд. тех. наук: 05.13.10 / Тужиков Евгений Николаевич. - Екатеринбург, 2014. - 186 с.

60. Тырсин, А.Н. Математическое моделирование оптимального срока эксплуатации автотранспорта на угольных карьерах / А.Н. Тырсин, И.А. Клявин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, В. 2. -С.371-372.

61. Тырсин, А.Н. Оценивание линейной регрессии на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, Л.А. Соколов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2010. № 5(21). С. 134-142.

62. Тырсин, А.Н. Оценивание линейных регрессионных уравнений с помощью метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, К.Е. Максимов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2012. - Т. 78, № 7. - С. 65-71.

63. Тырсин, А.Н. Робастная параметрическая идентификация моделей диагностики на основе обобщенного метода наименьших модулей: дис. ... докт. тех. наук: 05.13.18 / Тырсин Александр Николаевич. - Челябинск, 2007. - 327 с.

64. Тырсин, А.Н. Робастное построение линейных регрессионных моделей по экспериментальным данным // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2005. - Т. 71, № 11. - С. 53-57.

65. Тырсин, А.Н. Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 236-250.

66. Тырсин, А.Н. Эффективные вычислительные алгоритмы построения регрессионных моделей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, К.Е. Максимов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всеросс. науч. конф. с международным участием. Ч. 4. Информационные технологии в математическом моделировании. - Самара: СГТУ, 2009. - С. 137-139.

67. Тюрин, Ю.Н. Многомерная статистика. Гауссовские линейные модели / Ю.Н. Тюрин. - М.: Издательство Московского университета, 2011. - 136 с.

68. Хардле, В. Прикладная непараметрическая регрессия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - 349 с.

69. Хеттманспергер, Т. Статистические выводы, основанные на рангах: Пер. с англ. / Т. Хеттманспергер. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 334 с.

70. Хьюбер, П. Робастность в статистике: Пер. с англ. / П. Хьюбер. - М.: Мир, 1984. - 304 с.

71. Шурыгин, А.М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз / А.М. Шурыгин. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 224 с.

72. Эконометрия / В.И. Суслов, Н.М. Ибрагимов, Л.П. Талышева, А.А. Цыплаков. -Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005. - 744 с.

73. Adler, I. A Simplex Variant Solving an m X d Linear Program in 0(min(m2, d2)) Expected Number of Pivot Steps / I. Adler, R. Karp, R. Shamir // Tech. Rep. CSD 83/158, Computer Sci. Dept. - University of California, Berkeley. 1983.

74. Adler, I.A simplex type algorithm whose average number of steps is bounded between two quadratic functions of the smaller dimension / I. Adler, N. Mqiddo // Proc. 16-th Ann. ACM Symp. on Theory of Computing. 1984. PP. 312-323.

75. Almon, Sh. The Distributed Lag between Capital Appropriations and Expenditures / Sh. Almon // Econometrica. 1965. Vol. 33, No. 1. PP. 178-196.

76. Andrews, D.F. A robust method for multiple linear regression / D.F. Andrews // Technometrics. - 1974. - V. 16, № 4. - PP. 523-531.

77. Armstrong, R.D. Algorithm AS132: Least absolute value estimates for a simple linear regression problem / R.D. Armstrong, D.S. Kung // Appl. Stat. 1978. Vol. 7. PP. 363366.

78. Barrodale, I. An improved algorithm for discrete linear approximation / I. Barrodale, F.D.K. Roberts // SIAM J. Numer. Anal. 1973. Vol. 10. PP. 839-848.

79. Basset, G.W. Asymptotic theory of least absolute error / G.W. Basset, R. Koenker // J. Amer. Statist. Assoc. 1978. - Vol. 73. - PP. 618-622.

80. Birkes, D. Alternative Methods of Regression / D. Birkes, Ya. Dodge. - John Wiley & Sons. 1993.

81. Bloomfield, P. Least Absolute Deviations: Theory, Applications, and Algorithms / P. Bloomfield, W.L. Steiger. - Brikhauser, 1983.

82. Box, G.E.P. Non normality and test on variances / G.E.P. Box // Biometrica. - 1953. - Vol. 40. - PP. 318-354.

83. Charnes, A. Optimal estimation of executive compensation by linear programming / A. Charnes, W.W. Cooper, R.O. Ferguson // Management Sei. 1955. Vol. 2. PP. 138— 151.

84. Clarke, B. Robustness Theory and Application / B. Clarke. - John Wiley & Sons, Inc. - 2018.

85. Dantzig, G.B. Linear programming and extensions / G.B. Dantzig. - Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963.

86. Dodge, Y. Lt -norm based data analysis / Y. Dodge // Comput. Statist, and Data Anal. 1987. - Vol. 5. PP. 239-253.

87. Ein-Dor, P. Attributes of the performance of central processing units: a relative performance prediction model / P. Ein-Dor, J. Feldmesser // Communications of the ACM. 1987. Vol. 30 (4). PP. 308—317.

88. Eisenhart, C. Boscovitch and the Combination of Observations / L.L. Whyte, (Ed.), Roger Joseph Boscovitch. New York: Fordham University Press, 1961.

89. Eubank, R.L. Nonparametric Regression and Spline Smoothing / R.L. Eubank. -Marcel Dekker, Inc. - 1999.

90. Fisher, W.D. A note on curve fitting with minimum deviations by linear programming / W.D. Fisher // J. Amer. Stat. Assoc. 1961. Vol. 56. PP. 359-362.

91. Hansen, P.C. Least Squares Data Fitting with Applications / P.C. Hansen, V. Pereyra, G. Scherer. - Johns Hopkins University Press. - 2017.

92. Hawley, R.W. On Edgeworth's method for minimum absolute error linear regression / R.W. Hawley, N.C. Gallagher Jr. // IEEE Trans. Signal Processing. 1994. Vol. 42. No. 8. PP. 2045-2054.

93. Huber, P.J. Robust Statistics. - 2nd ed. / P.J. Huber, E.M. Ronchetti. - John Wiley & Sons, Inc. - 2009.

94. Jureckova, J. Nonparametric estimates of regression coefficients / J. Jureckova // Annals of Mathematical Statistics. - 1971. - Vol. 42, № 4. - PP. 1328-1338.

95. Kharin, Y. Robustness in Statistical Forecasting / Y. Kharin. - Springer. 2013.

96. Laplace, P.S. Sur Quelques du Systeme du Monde. Memories de l'Academie Royale des Science de Paris (1789). Paris, Gauthier-Villars, 1895.

97. Lok, P. The application of a diagnostic model and surveys in organizational development / P. Lok, J. Crowford // Journal of Managerial Psychology. - 2000. -V. 15, № 2. - PP. 108-125.

98. Maronna, R.A. Robust Statistics: Theory and Methods / R.A. Maronna, R.D. Martin, V.J. Yohai. - John Wiley & Sons. 2006.

99. Montgomery, D.C. Introduction to Linear Regression Analysis. - 5th ed. / D.C. Montgomery, E.A. Peck, G.G. Vining. - John Wiley & Sons. - 2012.

100. Narula, S.C. Algorithm AS108: Multiple linear regression with minimum sum of absolute errors / S.C. Narula, J.F. Wellington // Applied Stat. 1977. Vol. 26. PP. 106111.

101. Nkoro, E. Autoregressive Distributed Lag (ARDL) cointegration technique: application and interpretation / E. Nkoro, A.K. Uko // Journal of Statistical and Econometric Methods. 2016. Vol. 5 No 4. PP. 63-91.

102. Nocedal, J. Numerical Optimization. - 2nd ed. / J. Nocedal, S.J. Wright. - Springer. 2006.

103. Pan, V. On the Complexity of a Pivot Step of the Revised Simplex Algorithm / V. Pan // Comp. & Maths, with Appls. 1985. Vol. 11. No.11. PP. 1127-1140.

104. Panyukov, A.V. Stable Parametric Identification of Vibratory Diagnostics Objects / A.V. Panyukov, A.N. Tyrsin // Journal of Vibroengineering. 2008. Vol. 10. No 2. PP. 142-146.

105. Poljak, B.T. Robust identification / B.T. Poljak, Ja.Z. Tsypkin // Automatica. 1980. Vol. 16. № 1. PP. 53-63.

106. Pollard, D. Asymptotics for Least Absolute Deviation Regression Estimators / D. Pollard // Econometrics Theory. - 1991. Vol. 7. - PP. 186-199.

107. Ramsay, J.O. A comparative study of several robust estimates of slope, intersept and scale in linear regression / J.O. Ramsay // Journal of the American Statistical Association. - 1977. - Vol. 72, № 3. - PP. 608-615.

108. Rousseeuw, P.J. Robust Regression and Outlier Detection / P.J. Rousseeuw, A.M. Leroy. - John Wiley & Sons, Inc. - 1987.

109. Statistical Data Analysis Based on the Lt-norm and Related Methods / Ed. Y. Dodge // Papers of the 4th International Conference on Statistical Analysis on the L± -norm and Related Methods. - Basel: Birkhauser, 2002.

110. Todd, M.J. Polynomial Expected Behavior of a Pivoting Algorithm for Linear Complementarity and Linear Programming Problems / M. J. Todd // Tech. Rep. 585, School of Operations Research and Industrial Engineering. Cornell Univ., Ithaca, N.Y. 1983.

111. Tukey, J.W. A survey of sampling from contaminated distribution / J.W. Tukey // In: Contributions to Probability and Statistics. Stanford: Stanford Univ. Press, 1960. - PP. 443-485.

112. Wagner, H.M. Linear programming techniques for regression / H.M. Wagner // J. Amer. Stat. Assoc. 1959/ Vol. 54. PP. 206-212.

113. Wagner, H.M. Non-linear regression with minimal assumptions / H.M. Wagner // J. Amer. Stat. Assoc. 1962. Vol. 57. PP. 572-578.

114. Wasserman, L. All of Nonparametric Statistics / L. Wasserman. - Springer. 2006.

115. Weiszfeld, E. On the point for which the sum of the distances to n given points is minimum / E. Weiszfeld // Annals of Operations Research. - 2008. - Vol. 167, № 1. - PP. 7-41. Translated from the French original [Tohoku Mathematics Journal. 1937. V. 43. PP. 355-386] and annotated by Frank Plastria.

116. Wesolowsky, G.O. A new descent algorithm for the least absolute value regression problem / G.O.Wesolowsky // Communications in Statistics, Simulation and Computation. 1981. - Vol. B10. No. 5. PP. 479- 491.

117. Wolberg, J.R. Data Analysis Using the Method of Least Squares. Extracting the Most Information from Experiments / J.R. Wolberg. - Springer. 2006.

Публикации автора по теме диссертации

118. Азарян, А.А. Быстрые алгоритмы устойчивого оценивания линейных регрессионных моделей / А.А. Азарян, А.Н. Тырсин // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Материалы 12-й международной конференции, Алтайский край, пос. Катунь, 4-8 июня 2018 г. -Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2018. С. 103-104.

119. Азарян, А.А. Быстрый алгоритм оценивания линейных регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.А. Азарян, А.Н. Тырсин // Актуальные направления фундаментальных и прикладных исследований. Т. 2: Материалы XV международной научно-практической конференции, 9-10 апреля 2018 г. - North Charleston, USA, 2018. С. 68-73.

120. Азарян, А.А. Комплекс проблемно-ориентированных программ для реализации, оценивания и исследования алгоритмов устойчивого построения линейных моделей / А.А. Азарян // Проблемы внедрения результатов инновационных разработок: Сборник статей по итогам международной научно-практической конференции (Самара, 22 июня 2018 г.). Ч.2. - Стерлитамак: АМИ, 2018. С. 2736.

121. Азарян, А.А. Повышение быстродействия точного алгоритма реализации метода наименьших модулей при оценивании параметров линейных регрессионных моделей / А.А. Азарян, А.Н. Тырсин // Труды второй научно-технической конференции молодых ученых Уральского энергетического института, Екатеринбург, 15-19 мая 2017. - Екатеринбург: УрФУ, 2017. - С. 385-387. URL: http://elar.urfu.ru/handle/10995/55268.

122. Азарян, А.А. Эффективные алгоритмы оценивания линейных регрессионных моделей на основе метода наименьших модулей / А.А. Азарян, А.Н. Тырсин // Анализ, моделирование, управление, развитие социально-экономических систем: сборник научных трудов XI Международной школы-симпозиума, Симферополь-Судак, 14-27 сентября 2017 / Под общей редакцией А.В. Сигала. - Симферополь: ИП Корниенко А.А., 2017. С. 11-16.

123. «Лукавые» данные и реальная динамика социально-экономического развития субъектов РФ / Куклин А.А., Чичканов В.П., Никулина Н.Л., Чистова Е.В., Берсенев В.Л., Печеркина М.С., Васильева А.В., Наслунга К.С., Шипицына С.Е., Коробков И.В., Тырсин А.Н., Найденов А.С., Пыхов П.А., Яндыганов П.Я., Азарян А.А., Сурина А.А.; под ред. А.А. Куклина и В.П. Чичканова. Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2017. - 364 с. (§§ 7.1, 7.2. Моделирование сбалансированности пенсионной системы России, с. 182-199).

124. Тырсин, А.Н. Методы устойчивого построения линейных моделей на основе спуска по узловым прямым / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2018. № 1(25) С. 188-202.

125. Тырсин, А.Н. Об одном алгоритме реализации обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2017. Т. 24, В. 4. С. 375-376.

126. Тырсин, А.Н. Оптимизация периода эксплуатации высоконагруженной техники на основе анализа средних удельных затрат / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Известия вузов. Горный журнал. 2017. № 5. С. 4-8.

127. Тырсин, А.Н. Оптимизация численности плательщиков страховых взносов в пенсионную систему за счет легализации неформальной занятости в регионах / А.Н. Тырсин, Е.В. Чистова, А.А. Куклин, А.А. Азарян: свидетельство № 2018610916; заявл. 22.11.2017; зарегистр. 19.01.2018; Реестр программ для ЭВМ.

128. Тырсин, А.Н. Оценивание нелинейных регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Материалы XIX Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Санкт-Петербург, п. Репино, 21-27 апреля 2018 г. URL: http: //www.tvp.ru/conferen/vsppmXIX/repso044.pdf.

129. Тырсин, А.Н. Оценка линейных моделей методом обобщенных наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян: свидетельство № 2018614491; заявл. 27.02.2018; зарегистр. 06.04.2018; Реестр программ для ЭВМ.

130. Тырсин, А.Н. Программа реализации метода наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян: свидетельство № 2018610336; заявл. 13.11.2017; зарегистр. 10.01.2018; Реестр программ для ЭВМ.

131. Тырсин, А.Н. Робастное оценивание стохастических моделей временных рядов в задачах диагностики / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян, Л.Н. Корчёмкина // Современные тенденции развития науки и технологий. 2016. № 11-2. - С.132-137. URL: http://issledo.ru/wp-content/uploads/2016/12/Sb_k-11-2.pdf.

132. Тырсин, А.Н. Точное оценивание линейных регрессионных моделей методом наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». 2018. № 2. С. 47-56.

133. Тырсин, А.Н. Точные алгоритмы реализации метода наименьших модулей на основе спуска по узловым прямым / А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2017. № 4. С. 21-32.

134. Чистова, Е.В. Легализация неформальной занятости как резерв повышения поступлений в пенсионную систему России / Е.В. Чистова, А.Н. Тырсин, А.А. Азарян // Пространственная экономика. 2017. № 4. С. 130-147.

135. Azaryan, A.A. Analysis of algorithms for stable estimation of coefficients of multiple linear regression models / A.A. Azaryan // Journal of Computational and Engineering Mathematics. 2018. Vol. 5. № 3. PP. 17-23.

Приложения