Алгоритмы оценки частотных составляющих полигармонического сигнала для повышения разрешающей способности радиотехнических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Кагаленко Михаил Борисович

• Кагаленко Михаил Борисович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Кагаленко Михаил Борисович

Введение

Глава 1. Метод нелинейных наименьших квадратов

для оценки параметров радиотехнических сигналов

1.1 Вводные замечания

1.2 Постановка задачи спектрального анализа наименьших квадратов

1.3 Оценка частоты и амплитуды гармонического сигнала

1.4 Оценка параметров гармонического сигнала при наличии линейной амплитудной модуляции

1.5 Оценка параметров полигармонического сигнала

1.5.1 Семейство «жадных» алгоритмов

1.5.2 Предлагаемый алгоритм оценки частотных составляющих сигнала

1.6 Чувствительность оценки частоты гармонического сигнала к шуму 32 1.6.1 Качественный анализ оценки и численные тесты

1.7 Экспериментальные исследования

1.7.1 Сравнение предлагаемого алгоритма с алгоритмом ортогонального согласованного сопоставления

1.7.2 Обработка сигнала СВЧ-уровнемера

1.8 Выводы к главе

Глава 2. Оценка частот полигармонического сигнала путём

построения оптимального приближения параметрической

модели

2.1 Вводные замечания

2.2 Вычисление оптимального по норме Ганкеля рационального приближения многокомпонентной функции

2.2.1 Многокомпонентный вариант теоремы ААК

2.2.2 Численная реализация

2.3 Оценка частот полигармонического сигнала путём построения оптимального приближения параметрической модели

2.4 Экспериментальные исследования

2.4.1 Тесты с использованием численно сгенерированных сигналов

2.4.2 Тесты с использованием экспериментально полученных сигналов

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Синтез цифровых фильтров методом оптимальной

аппроксимации

3.1 Вводные замечания

3.2 Известные особенности задачи разработки фильтра

3.2.1 Передаточная функция

3.2.2 Комбинированная процедура разработки «эталонного» фильтра

3.3 Моделирующий гауссовский фильтр

3.3.1 Одномодовый фильтр

3.3.2 Многомодовый фильтр

3.4 Разработка банка полосовых фильтров

3.5 Выводы к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Доказательства теорем подраздела

А.1 Теорема ААК и вспомогательные утверждения

А.2 Численная реализация

Приложение Б. Алгоритм подпространства Крылова для сингулярного разложения в комплексном неортогональном базисе

Приложение В. Алгоритм вычисления коэффициентов КИХ-

фильтра с АЧХ в форме Гауссова окна

Приложение Г. Коэффициенты фильтра из главы

Приложение Д. Параметры тестового сигнала главы

Приложение Е. Акты о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы оценки частотных составляющих полигармонического сигнала для повышения разрешающей способности радиотехнических систем»

Введение

Актуальность темы исследования. Степень её разработанности. Количественная оценка распределения мощности по частотам на основе дискретных отсчётов относится к числу основных задач, возникающих при обработке радиотехнических сигналов [1]. Действительные полигармонические сигналы возникают при таких измерениях, как приём звуковых сигналов микрофонами [2], наблюдения за циклами изменения светимости астрономических объектов [3], а также измерение пульса пациента [4, 5]. Комплексные сигналы наблюдаются в магнитно-резонансных сканерах [6] и квадратурных детекторах радиоприёмных устройств [7], уровнемеров и радаров. Частоты сигналов могут иметь мнимую составляющую, что соответствует экспоненциально затухающим синусоидам, — например, получаемым при измерениях химической структуры методом ядерного магнитного резонанса [8]. В ряде приложений анализ физической природы системы указывает, что N отсчётов полигармонического комплексного сигнала имеют

где для каждой из К частотных составляющих ak —комплексная амплитуда, fk — частота синусоидальной составляющей, dk — фактор затухания, tn — время отсчёта, еп — комплексный аддитивный шум. Эта модель сигнала описывает функционирование многих радиотехнических систем и служит основой представленной работы.

При известных частотах = 1,.. .К, оценка амплитуд at в выражении (1) сводится к стандартной задаче линейной регрессии, надёжные методы решения которой хорошо изучены [9] и реализованы в свободно доступной библиотеке LAPACK ("Linear Algebra Package") [10]. Если К = N и частоты fa распределены в интервале [-1; 1] c постоянным шагом 2/N, то вычисление амплитуд at достигается алгоритмом дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

В отсутствие шума N отсчётов c постоянным временным шагом позволяют однозначно определить амплитуды и частоты К = N/2 комплексных экспонент, используя алгоритм Прони [11], однако в практических применениях такая

вид

(1)

к=1

п = 1,...N,

ситуация крайне маловероятна. При наличии шума алгоритм Прони не даёт состоятельную оценку частот [12]. Избыточное по сравнению с количеством частотных составляющих число отсчётов сигнала позволяет снизить влияние шума на оценки параметров. Оценка неизвестного числа частот по дискретным отсчётам при К < N/2 остаётся предметом исследований, и в дальнейшем основное внимание будет сосредоточено на вопросах практической реализации такого подхода.

Вопросам оценивания спектра посвящено весьма значительное число публикаций российских и зарубежных учёных. Представим краткий обзор темы, так как исчерпывающий анализ всех известных подходов выходит за рамки данной работы.

Методы оценки спектра можно разделить на две группы — непараметрические и параметрические. Первые можно рассматривать как основанные на фильтрации [13], причём окно полосового фильтра пробегает весь интересующий диапазон частот, а мощность сигнала на выходе принимается за оценку мощности соответствующей спектральной составляющей. К преимуществам непараметрических методов можно отнести тот факт, что они делают минимум предположений о структуре сигнала, что снижает их чувствительность к отклонениям его формы от ожидаемой. Кроме того, непараметрические методы требуют сравнительно невысоких вычислительных затрат. Это связано с тем, что реализация непараметрических методов во многих случаях основывается на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ), которое допускает экономную реализацию, известную как «быстрое преобразование Фурье» (БПФ). Формула БПФ была впервые опубликована в 1866 году в собрании трудов немецкого математика Карла—Фридриха Гаусса, который использовал её в 1805 году для расчёта коэффициентов тригонометрической интерполяции результатов астрономических наблюдений [14]. Однако работа Гаусса прошла незамеченной, и алгоритм БПФ обрёл популярность лишь после опубликованной в 1965 году статьи Кули—Тьюки [15]. Периодограмма представляет собой вектор квадратов модулей коэффициентов ДПФ сигнала. Этот простой метод выявления периодических составляющих имеет ряд ограничений, к основным из которых можно отнести спектральное разрешение и влияние шума на оценку спектра. Разрешение периодограммы для N выборок ограничено шириной главного лепестка - 1/И и утечкой энергии в боковые лепестки. Умножение сигнала на сглаживающее окно позволяет несколько снизить влияние боковых лепестков, но за это приходится расплачиваться ухудшением спектрального разрешения вследствие увеличения ширины главно-

го лепестка. Периодограмма не является состоятельной статистической оценкой спектральной плотности, поскольку её стандартное отклонение не убывает при неограниченном росте числа выборок. Улучшить статистические свойства периодограммы позволяют методы, использующие усреднение и сглаживающие окна. Так, в методе Бартлетта последовательность из N выборок сигнала разбивается на Ь фрагментов, для каждого из которых вычисляются периодограммы, а их средний квадрат модуля служит результатом алгоритма. Это уменьшает дисперсию оценки спектра на множитель Ь, но при этом разрешение (величина, обратная ширине центрального лепестка) также уменьшается на Ь. Если при разбиении последовательности выборок допустить частичное перекрытие фрагментов и затем перед вычислением ДПФ умножить каждый фрагмент на сглаживающие окно, то получим метод Уэлча. Оконная обработка оценки автокорреляционной последовательности, известная как метод Блэкмана—Тьюки, преследует схожие цели. Перечисленные методы ищут оптимальный баланс между разрешением, утечкой мощности в боковые лепестки и дисперсией оценки. При этом общим для них является фундаментальное ограничение на разрешающую способность при обработке коротких последовательностей выборок. Поэтому непараметрические методы не являются наилучшим выбором, когда требуется на основе ограниченного числа выборок получить как можно более точное описание сигнала с «линейчатым» спектром, представляющим собой сумму нескольких узкополосных сигналов.

С другой стороны, параметрические методы начинают с постулирования математической модели сигнала, а затем подбирают её свободные параметры так, чтобы смоделированные выборки оказалась как можно ближе к исходным. Найденные значения параметров дают оценки спектральных характеристик сигнала. Параметрические методы потенциально способны достичь более высокой точности и разрешения. Однако за это приходится платить ростом вычислительных затрат и сложности реализации. Отклонение сигналов от «идеальной» синусоиды, часто наблюдаемое в практических задачах (например, амплитудная модуляция), может потребовать введения дополнительных параметров в модель. Использование алгоритмов оптимизации затрудняется тем, что в задачах спектрального анализа целевая функция оказывается невыпуклой, имея большое число локальных экстремумов.

В непараметрических методах существенную сложность может представлять разработка фильтров, адаптированных к конкретной задаче. Аналитические

решения здесь доступны только в наиболее простых случаях. Хотя методы оптимизации позволяют подобрать коэффициенты для фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ), фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), часто достигая соответствия требуемой амплитудно-частотной характеристики при меньшем порядке, оказываются труднее в разработке. Ранее опубликованные алгоритмы, использующие градиентный поиск [16—18], требуют задания исходных (предшествующих процедуре оптимизации) положений полюсов фильтра, так как целевая функция является невыпуклой, то есть имеет локальные экстремумы. Со схожими трудностями сталкиваются и основанные на алгоритме Ремеза подходы [19—21], где сходимость к глобально наилучшему решению зависит от исходной точки и настроек алгоритма. Стохастические эволюционные методы глобальной оптимизации [22—25] потенциально способны найти наилучшее решение, однако по своей природе являются вероятностными, то есть не дают гарантий сходимости. Кроме того, вычислительная сложность таких методов растёт экспоненциально при увеличении размерности задачи.

Параметрические методы могут использовать в качестве модели явно заданную функцию, что позволяет обрабатывать сигналы с неравномерной по времени выборкой [26] и формой, отклоняющейся от синусоиды (например, с полиномиальной по времени амплитудной модуляцией). Использование критерия наименьших квадратов приводит к асимптотически нормальным методам [27]. Так как модель зависит от частот нелинейно, этот подход называют «метод нелинейных наименьших квадратов» (ННК) [13, разд. 4.3], либо «спектральный анализ наименьших квадратов» (САНК) [28, 29]. Если аддитивный шум является стационарным, некоррелированным и распределённым согласно закону Гаусса, то метод ННК совпадает с методом максимального правдоподобия [1].

С другой стороны, авторегрессионные методы скользящего среднего (АРСС) [30] постулируют форму исследуемого сигнала неявно, подразумевая его соответствие разностному уравнению, коэффициенты которого должны быть подобраны индивидуально для каждого обрабатываемого сигнала. Преимущество методов АРСС перед ННК заключается в том, что первые, как правило, не используют многомерный глобальный поиск минимума невыпуклой функции для получения оценок частот. С другой стороны, методы АРСС в большей степени, чем ННК, подвержены влиянию корреляций в аддитивном случайном шуме. Ещё одним ограничением является то, что АРСС—алгоритмы требуют постоянства временного шага выборки.

Методы АРСС предполагают, что сигнал порождается линейной системой с рациональной передаточной функцией, на вход которой подаётся случайный шум, дискретный импульс или последовательность импульсов (последний вариант используется в моделировании речи [31, § 5.3.3]). Этим обусловливается связь проблемы нахождения АРСС—модели сигнала с проблемой разработки цифровых фильтров. В непараметрических методах фильтр применяется к исследуемому сигналу, давая на выходе оценки спектра, а в алгоритмах АРСС коэффициенты фильтра (после сравнительно несложных математических преобразований) позволяют вычислить спектральные характеристики сигнала. Несмотря на различие роли фильтра, упомянутые выше проблемы и особенности его разработки характерны и для параметрических методов АРСС.

В качестве критерия близости сигнала к модели может выступить минимум Евклидовой нормы невязки, то есть вектора разности между выборками сигнала и вектором смоделированных выборок при фиксированных параметрах модели. Наличие локальных экстремумов в целевой функции оптимизации следует считать одной из основных трудностей в практическом использовании параметрических методов спектрального оценивания. Кроме того, число спектральных составляющих экспериментального сигнала в большинстве случаев заранее неизвестно.

Одним из важных приложений анализа спектральных составляющих является обработка сигналов радиоволновых уровнемеров с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Эти устройства находят широкое применение при организации технологических процессов в различных отраслях промышленности [32]. Неоднородности в технологической ёмкости или волноводном тракте приводят к появлению в приёмном устройстве сигнала биений, представляющего собой, как правило, сумму нескольких спектральных составляющих, частота каждой из которых пропорциональна дальности до отражателя. Наиболее точные приборы оценивают расстояние, применяя методы цифровой обработки сигналов к дискретным отсчётам сигнала.

Практическая важность повышения точности измерения уровня при наличии мешающих отражений уже привлекли к теме внимание ряда исследователей. Кандидатская и докторская диссертации В.М. Давыдочкина [33, 34] детально исследовали адаптивные весовые функции, позволяющие снизить влияние помех и несовершенств радиоволнового тракта на оценку расстояния. В диссертации В.С. Паршина [35] рассмотрены статистические аспекты влияния шума и мешающих отражений, а также предложены методы обработки сигналов на основе

компенсации помех, распознавания образов и следящих методов. В диссертационной работе В.В. Езерского [36] предложены адаптивные методы формирования радиосигнала, оптимизирующие параметры ЛЧМ на основе анализа принятого сигнала и характеристик радиопередающего оборудования. Названные исследования концентрируют внимание на максимально точном определении основной спектральной составляющей сигнала, рассматривая дополнительные компоненты как помехи, параметры которых не представляют интереса. Однако нахождение нескольких синусоидальных составляющих сигнала одновременно может представлять практический интерес в таких приложениях, как измерение уровня слоев в резервуаре, содержащем несколько несмешивающихся жидкостей (например, воду и нефть).

Можно выделить области, где известные алгоритмы допускают улучшения. Существует потребность в методах реализации спектрального анализа наименьших квадратов, которые позволили бы найти описание сигнала моделью вида (1) с заданной точностью, используя минимально возможное число частотных компонент К. Критерии для оценки числа спектральных составляющих могут быть вычислены на основе собственных значений автокорреляционной матрицы сигнала; информационный критерий Акаике [37] и принцип минимальной длины описания [38] относятся к числу классических. Однако оценка самой автокорреляции требует знания значительного числа выборок сигнала. При этом несмещённая оценка автокорреляционной матрицы может не обладать свойством положительной определённости, так что полученная с её помощью авторегрессионная модель не будет стабильной. С другой стороны, смещённая оценка, гарантирующая положительную определённость автокорреляционной матрицы, является сравнительно менее точной [13, гл. 3.4.2].

«Жадные» алгоритмы [39] используются для определения частот заранее неизвестного числа синусоид по выборкам сигнала. Вычисления начинаются с оптимизации модели, содержащей одну спектральную составляющую. Если ошибка описания сигнала моделью слишком велика, добавляются новые составляющие до тех пор, пока не будет удовлетворён критерий остановки. Однако при наличии в сигнале близких частот, те из них, что были неточно найдены на ранних этапах, искусственно завышают размерность К модели (1). Данное ограничение таких «жадных» алгоритмов, как метод ортогонального согласованного сопоставления (ОСС) [40], является уже известным, и для его преодоления предложены методы, использующие добавление нескольких частот одновременно на каждом этапе ал-

горитма [41, 42], а также алгоритмы, подразумевающие не только добавление, но и удаление некоторых частот из модели на каждом шаге вычислений [43]. Однако такие подходы основаны на выборе частотных составляющих из дискретного «словаря». Если ставится задача отыскания частот с наибольшей возможной точностью, размер «словаря» может оказаться слишком большим.

Целью данной работы является разработка вычислительных алгоритмов для повышения разрешающей способности радиотехнических систем, минимизирующих число спектральных составляющих в параметрической модели полигармонического сигнала и обеспечивающих разрешение близко расположенных частот, используя ограниченное число измеренных отсчётов сигнала.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработать алгоритм аппроксимации сигнала с помощью метода нелинейных наименьших квадратов, минимизирующий порядок модели, требуемый для описания сигнала с заданной точностью.

2. Обосновать методы построения оптимального по норме Ганкеля приближения многокомпонентной функции и разработать численную реализацию, применимую к рациональным функциям с кратными полюсами.

3. Разработать алгоритмы представления сигналов в форме авторегрессионной модели скользящего среднего, позволяющей понижать её порядок с использованием метода оптимальной редукции.

4. Разработать алгоритмы формирования фильтров и банков фильтров с заданной амплитудно-частотной характеристикой.

Методы исследования. В диссертации применялись теория и алгоритмы оптимизации, теория операторов Ганкеля, методы вычислительной линейной алгебры. Результаты проверены с помощью вычислительных экспериментов, а также путём обработки экспериментально полученных сигналов.

Научная новизна.

1. Предложена реализация алгоритма итеративного увеличения размерности модели сигнала в методе нелинейных наименьших квадратов, использующая критерий пошаговой регрессии для добавления частотных составляющих и включающая этап градиентного уточнения модели на каждой итерации.

2. Получены справедливые при всех частотах аналитические выражения дисперсии оценки частоты гармонического сигнала методом

нелинейных наименьших квадратов, что позволяет анализировать чувствительность к шуму радиоволновых уровнемеров на всём диапазоне расстояний.

3. Предложена модификация метода Писаренко, обеспечивающая количественно правильное описание амплитуд частотных составляющих сигнала.

4. Математически обоснованы и численно реализованы алгоритмы оптимального по норме Ганкеля приближения многокомпонентной функции и основанная на них процедура спектрального анализа, позволившая определить направление на источник звука путём обработки сигналов от массива ненаправленных микрофонов, сократив в пять раз требуемое число временных выборок по сравнению с известными алгоритмами.

5. Показано, что применение многокомпонентных алгоритмов оптимального приближения для совместной оптимизации банка фильтров позволяет на порядок улучшить соответствие требуемой АЧХ по сравнению с оптимизацией составляющих банк фильтров по отдельности.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Предложена реализация алгоритма нелинейных наименьших квадратов, отличающаяся процедурой выбора предполагаемых частот и последующим уточнением параметрической модели, что позволяет снизить её размерность до трёх раз по сравнению с методом ортогонального согласованного сопоставления, а применительно к задаче измерения частоты биений в вычислителе уровнемера снизить погрешность, вызванную мешающим отражателем, в 1,8 раза.

2. Получены аналитические выражения дисперсии оценки частоты гармонического сигнала, справедливые, в отличие от известных, для всего интервала её возможных значений, что позволяет оценивать чувствительность оценки к отношению сигнал—шум в окрестности нулевой частоты и частоты Котельникова.

3. Предложена модификация метода Писаренко, обеспечивающая, в отличие от базового метода, возможность оценки амплитуд частотных составляющих полигармонического сигнала.

4. Математически обоснованы и численно реализованы алгоритмы оптимального по норме Ганкеля приближения многокомпонентной функции и основанная на них процедура спектрального анализа, позволившая

определить направление на источник звука путём обработки сигналов от массива ненаправленных микрофонов, сократив до пяти раз требуемое число временных выборок по сравнению с известными алгоритмами.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- математическим обоснованием предлагаемых алгоритмов на основе ранее опубликованных теоретических результатов;

- результатами математического моделирования, то есть обработки искусственно сгенерированных сигналов с известными спектральными компонентами и аддитивным шумом и последующего сравнения заданных и обнаруженных частот;

- обработкой экспериментальных сигналов биений, полученных с помощью ЛЧМ уровнемера, который установлен на стенде, обеспечивающим известное положение основного и мешающих отражений;

- результатами обработки зафиксированных с помощью массива микрофонов звуковых сигналов при точно контролируемом направлении на источник звука;

- сравнением характеристик синтезированных цифровых фильтров с заданными.

Теоретическая и практическая значимость и внедрение результатов работы. Полученные результаты применены на Рязанском приборостроительном ООО предприятии «Контакт-1» для обнаружения мешающих отражений на фоне более сильного основного сигнала, а также внедрены в программное обеспечение прибора БАРС 351 для измерения положения границы между несмешивающи-мися жидкостями, что подтверждено актом о внедрении. Кроме того, результаты используются в учебном процессе Рязанского государственного радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина, что также подтверждено актом о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на восьми конференциях:

- шестнадцатая всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых учёных и специалистов, Рязань, РГРТУ, 2011;

- третья международная средиземноморская конференция по встраиваемым системам, IEEE "Mediteranean Conference on Embedded Computing" — MECO2014 (Scopus);

- двадцать пятая международная Крымская конференция «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо), г. Севастополь, 2015 г.

(РФ);

- двадцать третья Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам Санкт-Петербург, Россия, 2016 г. — ICINS2016 (Scopus);

- пятая международная средиземноморская конференция по встраиваемым системам, IEEE "Mediteranean Conference on Embedded Computing" — MECO2016 (Scopus, WoS);

- шестая международная средиземноморская конференция по встраиваемым системам, IEEE "Mediteranean Conference on Embedded Computing"

— MECO2017 (Scopus, WoS);

- седьмая международная средиземноморская конференция по встраиваемым системам, IEEE "Mediteranean Conference on Embedded Computing"

— MECO2018 (Scopus);

- восьмая международная средиземноморская конференция по встраиваемым системам, IEEE "Mediteranean Conference on Embedded Computing"

— MECO2019 (Scopus).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 15 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 9 — в публикациях, индексируемых Web of Science и Scopus. Зарегистрированы 2 патента (на способ и на полезную модель) .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 6 приложений. Полный объём диссертации составляет 141 страницу, включая 43 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 142 наименования.

Глава 1. Метод нелинейных наименьших квадратов для оценки параметров радиотехнических сигналов

1.1 Вводные замечания

В цифровой обработке сигналов широко используется спектральный анализ наименьших квадратов (САНК), также известный как метод нелинейных наименьших квадратов (ННК). Это параметрический метод количественной оценки колебательных компонент сигнала. Он основан на подборе амплитуд, частот и фаз синусоидальных составляющих модели сигнала с целью минимизировать невязку, то есть сумму квадратов разности между отсчётами сигнала и его модели. Параметры, обеспечивающие минимум невязки, интерпретируются как оценки неизвестных характеристик сигнала. Такая оценка стремится к истинным значениям при увеличении числа отсчётов или отношения сигнал/шум [44] как для комплексных, так и действительных сигналов в то время, как периодограмма Фурье действительного сигнала не обладает таким свойством в силу наличия «зеркального» канала.

Кроме устойчивости к шуму, важным преимуществом метода ННК является его применимость к оцифрованным сигналам с непостоянным периодом выборки. В астрономии он используется на протяжении более 50 лет для количественной оценки колебательных компонент наблюдений [45], где он известен как «периодограмма Ломба—Скаргла» [3]. Астрономический объект может иметь несколько наложенных друг на друга циклов изменения светимости, то есть сигнал на выходе фотодетектора является полигармоническим. Интервалы между последовательными наблюдениями во многом определяются факторами, не поддающимися контролю. Это затрудняет использование методов, подразумевающих выборку с постоянным шагом по времени, таких как анализ Фурье или авторегрессионные методы.

Более сложные измеренные сигналы, например, имеющие амплитудную модуляцию, не создают принципиальных трудностей для спектрального анализа наименьших квадратов, так как характеристики модуляции могут рассматриваться как дополнительные параметры модели.

Спектральный анализ наименьших квадратов может быть обоснован методами математической статистики в предположении, что ошибка в измерении отсчётов суммы синусоид является белым гауссовским шумом. В этом случае ННК можно интерпретировать как «метод максимального правдоподобия»[13]. Ряд радиотехнических исследований [34, 46] рассматривают ННК под этим именем. Однако стоит отметить, что точность оценки частот ННК при увеличении числа выборок приближается к границе Крамера—Рао и при наличии корреляций в аддитивном шуме [47] даже в том случае, когда модель не учитывает эти корреляции [48].

Практическая важность ННК можно считать установленным фактом, но методы его вычислительной реализации остаются предметом исследований. Эффективные и быстродействующие алгоритмы нахождения оценки наименьших квадратов детально проработаны в тех случаях, когда целевая функция зависит линейно от оцениваемых параметров [9,10, 49]. В задачах спектрального анализа такая линейная зависимость имеет место, если оценки частоты зафиксированы и требуется определить амплитуды и фазы компонент сигнала. Однако зависимость целевой функции от частот носит нелинейный, колебательный характер. Иными словами, целевая функция ННК в дополнение к глобальному минимуму имеет большое число локальных. Методы многомерной градиентной оптимизации [50, 51] гарантируют нахождение минимума, если известны начальные значения в окрестности искомых, при этом размер области обратно пропорционален числу выборок сигнала. Поэтому вычислительная сложность комбинаторных методов, основанных на детерминированном или вероятностном («генетические» алгоритмы) переборе возможных кандидатов возрастает пропорционально числу выборок, возведённому в степень размерности задачи (числа неизвестных частот).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кагаленко Михаил Борисович, 2021 год

Список литературы

1. Марпл, С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения [Текст] / С. Л. Марпл. — Мир, 1990.

2. Robin, S. Pyramic Dataset : 48-Channel Anechoic Audio Recordings of 3D Sources [Text] / S. Robin. — Version 1.0.0. — 03/2018.

3. VanderPlas, J. T. Understanding the Lomb-Scargle Periodogram [Text] / J. T. VanderPlas // The Astrophysical J. Supplement Series. — 2018. — Vol. 236, no. 1. — P. 16.

4. Kohler, B.-U. The principles of software QRS detection [Text] / B.-U. Kohler, C. Hennig, R. Orglmeister // IEEE Engineering in Medicine and Biology Magazine. — 2002. — Vol. 21, no. 1. — P. 42—57.

5. A Wavelet-Based ECG Delineator: Evaluation on Standard Databases [Text] / J. Martinez [et al.] // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 2004. — Apr. — Vol. 51, no. 4. — P. 570—581.

6. Мэнсфилд, П. Быстрая магнитно-резонансная томография [Текст] / П. Мэнсфилд // Успехи физических наук. — 2005. — Т. 175, № 10. — С. 1044.

7. Радиотехнические системы [Текст] / под ред. Ю. М. Казаринов. — Высшая школа, 1990. — 496 с.

8. Lambert, J. NMR Spectroscopy, an Introduction to Principles, Applications and Experimental Methods [Text] / J. Lambert, E. Mazzola. — New Jersey : Pearson Educatin Inc., 2004. — pagetotal.

9. Björck, A Numerical Methods for Least Squares Problems [Text] / A. Björck. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1996. — 407 p.

10. LAPACK Users' Guide [Text] / E. Anderson [et al.]. — Third. — Philadelphia, PA : Society for Industrial, Applied Mathematics, 1999.

11. Kay, S. M. Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory [Text] / S. M. Kay. — 1993.

12. On the Consistency of Prony's Method and Related Algorithms [Text] / M. Kahn [et al.] // Journal of Computational and Graphical Statistics. — 1992. — Vol. 1, no. 4. — P. 329—349.

13. Spectral analysis of signals [Text] / P. Stoica, R. L. Moses, [et al.]. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 2005. — 427 p.

14. Heideman, M. T. Gauss and the history of the fast Fourier transform [Text] / M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus // Archive History Exact Sci. — 1985. — Vol. 34, no. 3. — P. 265—277.

15. Cooley, J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series [Текст] / J. W. Cooley, J. W. Tukey // Mathematics of computation. — 1965. — Т. 19, № 90. — С. 297—301.

16. Ellacott, S. Rational Chebyshev Approximation in the Complex Plane [Text] / S. Ellacott, J. Williams // SIAM J. on Numer. Analysis. — 1976. — Vol. 13, no. 3. — P. 310—323.

17. Chen, X. Design of IIR filters in the complex domain [Text] / X. Chen, T. Parks // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, Signal Processing. — 1990. — Vol. 38, no. 6. — P. 910—920.

18. Lang, M. Least-squares design of IIR filters with prescribed magnitude and phase responses and a pole radius constraint [Text] / M. Lang // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2000. — Vol. 48, no. 11. — P. 3109—3121.

19. Ремез, Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения [Текст] / Е. Я. Ремез. — Изд-во Академии наук Украинской ССР, 1969. — 623 с.

20. Martinez, H. Design of recursive digital filters with optimum magnitude and attenuation poles on the unit circle [Text] / H. Martinez, T. Parks // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, Signal Processing. — 1978. — Vol. 26, no. 2. — P. 150—156.

21. Jackson, L. An improved Martinez/Parks algorithm for IIR design with unequal numbers of poles and zeros [Text] / L. Jackson // IEEE Transactions on Signal Processing. — 1994. — Vol. 42, no. 5. — P. 1234—1238.

22. Storn, R. Differential evolution design of an IIR-filter [Text] / R. Storn // Proceedings of IEEE International Conference on Evolutionary Computation. — IEEE. — P. 268—273.

23. Karaboga, N. Digital IIR Filter Design Using Differential Evolution Algorithm [Text] / N. Karaboga // EURASIP J. on Adv. Signal Processing. — 2005. — Vol. 2005, no. 8.

24. Dai, C. Seeker Optimization Algorithm for Digital IIR Filter Design [Text] / C. Dai, W. Chen, Y. Zhu // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2010. — Vol. 57, no. 5. — P. 1710—1718.

25. Das, S. Differential Evolution: A Survey of the State-of-the-Art [Text] / S. Das, P. N. Suganthan // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. — 2011. — Vol. 15, no. 1. — P. 4—31.

26. Lomb, N. R. Least-squares frequency analysis of unequally spaced data [Text] / N. R. Lomb // Astrophysics and Space Science. — 1976. — Feb. — Vol. 39, no. 2. — P. 447—462.

27. Li, T.-H. On Asymptotic Normality of Nonlinear Least Squares for Sinusoidal Parameter Estimation [Text] / T.-H. Li, K.-S. Song // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2008. — Sept. — Vol. 56, no. 9. — P. 4511—4515.

28. Vanicek, P. Approximate spectral analysis by least-squares fit [Text] / P. Van-icek // Astrophysics and Space Science. — 1969. — Vol. 4, no. 4. — P. 387—391.

29. Vanicek, P. Further development and properties of the spectral analysis by least-squares [Text] / P. Vanicek // Astrophysics and Space Science. —1971. — July. — Vol. 12, no. 1. — P. 10—33.

30. Бокс, Д. Анализ временных рядов прогноз и управление [Текст]. Т. 1 / Д. Бокс, Г. Дженкинс. — Москва : Мир, 1974. — 406 с.

31. Rabiner, L. Theory and Applications of Digital Speech Processing [Text] / L. Ra-biner, R. Schafer. — 1st. — USA : Prentice Hall Press, 2010.

32. Отечественные радиолокационные уровнемеры с частотной модуляцией. Практика промышленного применения [Текст] / Б. Атаянц [и др.]. — 2017. — 360 с.

33. Давыдочкин, В. М. Весовые функции и алгоритмы для повышения точности оценки частоты и амплитуды выборки гармонического сигнала на фоне сигналоподобных помех [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.12.04,05.12.14 / Давыдочкин Вячеслав Михайлович. — Рязань, 2008. — 20 с.

34. Давыдочкин, В. М. Методы и алгоритмы прецезионного измерения уровня жидкости ЧМ-радиолокаторами при действии комплекса мешающих факторов [Текст] : дис. ... д-ра техн. наук : 05.12.14 / Давыдочкин Вячеслав Михайлович. — Москва, 2019. — 346 с.

35. Паршин, В. С. Методы и алгоритмы распознавания и оценки параметров случайных процессов в спектральной области при действии мешающих факторов [Текст] : дис. ... д-ра техн. наук : 05.12.04,05.12.14 / Паршин Валерий Степанович. — Рязань, 2013. — 443 с.

36. Езерский, В. В. Методы повышения точности измерения расстояния в радиодальномере с частотной модуляцией для промышленных систем ближней радиолокации [Текст] : дис. . д-ра техн. наук : 05.12.14 / Езер-ский Виктор Витольдович. — Москва, 2006. — 443 с.

37. Hirotogu, A. Information theory and an extension of the maximum likelihood principle [Text] / A. Hirotogu // Second International Symposium on Information Theory. Budapest: Akademiai Kado. — 1973.

38. Wax, M. Detection of signals by information theoretic criteria [Text] / M. Wax, T. Kailath // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. — 1985. — Apr. — Vol. 33, no. 2. — P. 387—392.

39. Tropp, J. Greed is good: Algorithmic results for sparse approximation [Text] / J. Tropp // Information Theory, IEEE Transactions on. — 2004. — Vol. 50, no. 10. — P. 2231—2242.

40. Tropp, J. A. Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit [Text] / J. A. Tropp, A. C. Gilbert // IEEE Transactions on Information Theory. — 2007. — Dec. — Vol. 53, no. 12. — P. 4655—4666.

41. Wang, J. Generalized Orthogonal Matching Pursuit [Text] / J. Wang, S. Kwon, B. Shim // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2012. — Dec. — Vol. 60, no. 12. — P. 6202—6216.

42. Liu, E. The Orthogonal Super Greedy Algorithm and Applications in Compressed Sensing [Text] / E. Liu, V. N. Temlyakov // IEEE Transactions on Information Theory. — 2012. — Apr. — Vol. 58, no. 4. — P. 2040—2047.

43. Dai, W. Subspace Pursuit for Compressive Sensing Signal Reconstruction [Text] / W. Dai, O. Milenkovic // IEEE Transactions on Information Theory. — 2009. — May. — Vol. 55, no. 5. — P. 2230—2249.

44. Rice, J. A On frequency estimation [Text] / J. A. Rice, M. Rosenblatt // Biometrika. — 1988. — Vol. 75, no. 3. — P. 477—484.

45. Barning, F. J. The numerical analysis of the light-curve of 12 Lacertae [Text] / F. J. Barning // Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands. — 1963. — Vol. 17. — P. 22.

46. Прецизионные системы ближней частотной радиолокации промышленного применения [Текст] / Б. Атаянц [и др.]. — Москва : Радиотехника, 2012. — 512 с.

47. Israeloff, N. E. Can Zipf distinguish language from noise in noncoding DNA? [Text] / N. E. Israeloff, M. Kagalenko, K. Chan // Physical Review Letters. — 1996. — Vol. 76, no. 11. — P. 1976.

48. Stoica, P. Statistical analysis of two nonlinear least-squares estimators of sine-wave parameters in the colored-noise case [Text] / P. Stoica, A. Nehorai // Circuits, Systems, and Signal Processing. — 1989. — Mar. — Vol. 8, no. 1. — P. 3—15.

49. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods [Text] / R. Barrett [et al.]. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1994.

50. Гилл, Ф. Практическая оптимизация [Текст] / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. — Москва : Мир, 1985.

51. Nocedal, J. Numerical optimization [Text] / J. Nocedal, S. Wright. — Springer Science & Business Media, 2006.

52. Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов: Пер. с англ [Текст] / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. — Наука, 1986. — 232 с.

53. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц [Текст] / Ф. Р. Гантмахер. — 5-е изд. — Физматлит, 2004. — 560 с.

54. Дж., Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений [Текст] / Д. Дж., Р. Шнабель. — Мир. — 1988.

55. Golub, G. H. The Differentiation of Pseudo-Inverses and Nonlinear Least Squares Problems Whose Variables Separate [Text] / G. H. Golub, V. Pereyra // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1973. — Vol. 10, no. 2. — P. 413—432.

56. MR spectroscopy quantitation: a review of time-domain methods [Text] / L. Van-hamme [et al.] // NMR in Biomedicine. — 2001. — Vol. 14, no. 4. — P. 233—246.

57. Golub, G. Separable nonlinear least squares: the variable projection method and its applications [Text] / G. Golub, V. Pereyra // Inverse Problems. — 2003. — Apr. — Vol. 19, no. 2. — R1—R26.

58. The application of advanced processing technique to the triad of precision laser gyroscopes [Text] / A.V. Molchanov, V.A. Belokurov, M.V. Chirkin, M.B. Ka-galenko [et al.] // 23rd Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems, ICINS 2016 - Proceedings / ed. by P. V.G. — 06/2016. — P. 120—122.

59. Хорн, Р. Матричный Анализ [Текст] / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — Москва: Мир, 1989.

60. Brent, R. P. Algorithms for minimization without derivatives [Text] / R. P. Brent. — Prentice-Hall, 1973.

61. Кагаленко, М. Б. Обнаружение запараллеливания питающих фидеров энергетической подстанции путём непрерывного наблюдения [Текст] / М. Б. Ка-галенко // Вестник Рязанского радиотехнического университета. — 2013. — Т. 46, № 4. — С. 112—115.

62. Способ обнаружения несанкционированного запараллеливания фидеров распределительных подстанций на стороне потребителя и устройство для его осуществления [Текст] : пат. 2520163C2 Рос. Федерация : МПК G01R 19/00 (2006.01) / П.К. Веселов, А.Ю. Змазнова, М.Б. Кагаленко [и др.] ; О. акционерное общество "Межрегиональная распределительная сетевая компания Центра и Поволжья" (RU). — № 2012143238/28 ; заявл. 09.10.2012 ; опубл. 20.06.2014, Бюл. № 17. — 8с.: ил.

63. Besson, O. Nonlinear least-squares approach to frequency estimation and detection for sinusoidal signals with arbitrary envelope [Text] / O. Besson, P. Stoica // Digital Signal Processing. — 1999. — Vol. 9, no. 1. — P. 45—56.

64. Кагаленко, М. Б. Оценка частоты синусоидального сигнала при возможном наличии амплитудной модуляции [Текст] / М. Б. Кагаленко // 25-я Международная Крымская конференция СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии. — 2015. — С. 1196—1197.

65. Кагаленко, М. Б. Оценка параметров синусоидального сигнала при линейной амплитудной модуляции [Текст] / М. Б. Кагаленко // Вестник Рязанского радиотехнического университета. — 2015. — Т. 54, № 4. — С. 60-64.

66. Kiefer, J. Sequential minimax search for a maximum [Text] / J. Kiefer // Proceedings of the American mathematical society. — 1953. — Vol. 4, no. 3. — P. 502—506.

67. Pati, Y. C. Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition [Text] / Y. C. Pati, R. Rezaiifar, P. S. Kr-ishnaprasad // Signals, Systems and Computers, 1993.1993 Conference Record of The Twenty-Seventh Asilomar Conference on / ed. by A. Singh. — IEEE, 1993. — P. 40—44.

68. Mallat, S. G. Matching pursuits with time-frequency dictionaries [Text] / S. G. Mallat, Z. Zhang // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1993. — Vol. 41, no. 12. — P. 3397—3415.

69. Friedman, J. The Elements of Statistical Learning [Text]. Vol. 1 / J. Friedman, T. Hastie, R. Tibshirani. — Springer series in statistics Springer, Berlin, 2001.

70. Kagalenko, M. Iterative procedure for estimating frequency components of a polyharmonic signal [Text] / M. Kagalenko // 2017 6th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2017) / ed. by R. Stojanovic [et al.]. — 06/2017. — P. 221—225.

71. John E. Dennis, J. An adaptive nonlinear least-squares algorithm [Text] / J. John E. Dennis, D. M. Gay, R. E. Welsch // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1981. — Sept. — Vol. 7, no. 3. — P. 348—368.

72. Gay, D. M. Usage summary for selected optimization routines [Text] : Computing science technical report / D. M. Gay ; AT&T Bell Laboratories. — Murray Hill, NJ 07974, 10/1990. — No. 153.

73. Rife, D. Single tone parameter estimation from discrete-time observations [Text] / D. Rife, R. Boorstyn // IEEE Transactions on Information Theory. — 1974. — Sept. — Vol. 20, no. 5. — P. 591—598.

74. Stoica, P. MUSIC, maximum likelihood, and Cramer-Rao bound [Text] / P. Stoica, A. Nehorai // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. — 1989. — May. — Vol. 37, no. 5. — P. 720—741.

75. Dilaveroglu, E. Nonmatrix Cramer-Rao bound expressions for high-resolution frequency estimators [Text] / E. Dilaveroglu // IEEE Transactions on Signal Processing. — 1998. — Vol. 46, no. 2. — P. 463—474.

76. Stoica, P. On biased estimators and the unbiased Cramer-Rao lower bound [Text] / P. Stoica, R. L. Moses // Signal Processing. — 1990. — Vol. 21, no. 4. — P. 349—350.

77. Кагаленко, М. Б. Точность оценки частоты гармонического сигнала методом нелинейных наименьших квадратов [Текст] / М. Б. Кагаленко // XVI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых учёных и специалистов. — Рязанский государственный радиотехнический университет, 11.2011. — С. 46—48.

78. Кагаленко, М. Б. Точность оценки частоты гармонического сигнала методом нелинейных наименьших квадратов [Текст] / М. Б. Кагаленко // Цифровая обработка сигналов. — 2012. — Т. 1. — С. 76—80.

79. Kagalenko, M. Variance of the nonlinear least squares estimate of the frequency separation of two complex exponents [Text] / M. Kagalenko // 2014 3rd Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2014) / ed. by R. Stojanovic, L. Jozwiak, D. Jurisic. — Institute of Electrical, Electronics Engineers Inc., 06/2014. — P. 135—139.

80. Bjorck, A Numerical methods for computing angles between linear subspaces [Text] / A. Bjorck, G. H. Golub // Mathematics of computation. — 1973. — Vol. 27, no. 123. — P. 579—594.

81. Крамер, Г. Математические методы статистики: Пер. с англ./Под ред. академика АН Колмогорова [Текст] / Г. Крамер. — М.: Мир, 1975.

82. Basu, S. A global lower bound on parameter estimation error with periodic distortion functions [Text] / S. Basu, Y. Bresler // Information Theory, IEEE Transactions on. — 2000. — Vol. 46, no. 3. — P. 1145—1150.

83. Bell, K. L. Explicit Ziv-Zakai lower bound for bearing estimation [Text] / K. L. Bell, Y. Ephraim, H. L. Van Trees // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1996. — Vol. 44, no. 11. — P. 2810—2824.

84. Bashan, E. Estimation near Zero Information points: angle-of-arrival near the endfire [Text] / E. Bashan, A. J. Weiss, Y. Bar-Shalom // Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on. — 2007. — Vol. 43, no. 4. — P. 1250—1264.

85. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного, изд. 3-е [Текст] / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1965.

86. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — Москва : Физматгиз, 1963.

87. Online dictionary learning for sparse coding [Text] / J. Mairal [et al.] // Proceedings of the 26th annual international conference on machine learning. — ACM. 2009. - P. 689-696.

88. Mairal, J. SPArse Modeling Software [Text] / J. Mairal ; Institut national de recherche en sciences et technologies du numerique. — Version 2.6. — 03/01/2019. — URL: http://spams-devel.gforge.inria.fr/.

89. Радарный уровнемер БАРС352И [Текст]. — URL: http://www.kontakt-1. ru/produkcziya/katalog - produkczii/radarnyie- urovnemeryi- (beskontaktnyie-urovnemeryiyradarnyij-urovnemer-bars352i.html (дата обр. 20.03.2020).

90. Блоки формирования и обработки сигналов семейства радиолокационных уровнемеров с частотной модуляцией [Текст] / Б. Атаянц [и др.] // Материалы 25-й международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо'2015). — 2004. — С. 987—988.

91. Кагаленко, М. Б. Оценка частот полигармонического сигнала методом редукции порядка параметрической модели [Текст] / М. Б. Кагаленко // Вестник Рязанского радиотехнического университета. — 2018. — Т. 63, № 1. — С. 14—19.

92. Кошелев, В. И. АРСС модели случайных процессов. Прикладные задачи синтеза и оптимизации [Текст] / В. И. Кошелев. — Москва: Радио и Связь. — 112 с.

93. Wahlberg, B. ARMA spectral estimation of narrow-band processes via model reduction [Text] / B. Wahlberg // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. — 1990. — July. — Vol. 38, no. 7. — P. 1144—1154.

94. Beylkin, G. On approximation of functions by exponential sums [Text] / G. Beylkin, L. Monzón // Appl. Computational Harmonic Analysis. — 2005. — Vol. 19, no. 1. — P. 17—48.

95. Beylkin, G. Nonlinear inversion of a band-limited Fourier transform [Text] / G. Beylkin, L. Monzón // Applied and Computational Harmonic Analysis. — 2009. — Nov. — Vol. 27, no. 3. - P. 351—366.

96. Baker, G. A Padé approximants [Text]. Vol. 59 / G. A. Baker, P. R. GravesMorris. — Cambridge University Press, 1996.

97. Caratheodory, C. Über den Zusammenhang der extremen von harmonischen funktionen mit ihren koeffizienten und uber den picard-landauschen satz [Текст] / C. Caratheodory, L. Fejér // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1911. — Дек. — Т. 32, № 1. — С. 218—239.

98. Адамян, В. М. Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обобщенная задача Шура--Такаги [Текст] / В. М. Адамян, Д. З. Аров, М. Г. Крейн // Математический сборник. — 1971. — Т. 86, № 1. — С. 34—75.

99. Трейль, С. Р. Теорема Адамяна-Арова-Крейна: векторный вариант [Текст] / С. Р. Трейль // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1985. — Т. 141. — С. 56—71.

100. Kagalenko, M. Comparison of backpropagation and synthetic aperture imaging algorithms for processing GPR data [Text] / M. Kagalenko, W. Weedon // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (Digest). Vol. 3. — 1996. — P. 2179—2182.

101. Пеллер, В. В. Операторы Ганкеля и их приложения [Текст] : пер. с англ. / В. В. Пеллер. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ижевский институт компьютерных исследований, 2005. — 1028 с.

102. Peller, V. Hankel operators and their applications [Text] / V. Peller. — Springer Science & Business Media, 2003. — 784 p.

103. Гофман, К. Банаховы пространства аналитических функций [Текст] / К. Гофман. — Москва : ИЛ, 1963.

104. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве [Текст] / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — Москва : Наука, 1965.

105. Young, N. J. The singular-value decomposition of an infinite Hankel matrix [Text] / N. J. Young // Linear Algebra and its Applications. —1983. — Vol. 50. — P. 639—656.

106. Delsarte, P. On the role of the Nevanlinna-Pick problem in circuit and system theory [Text] / P. Delsarte, Y. Genin, Y. Kamp // International Journal of Circuit Theory and Applications. — 1981. — Vol. 9, no. 2. — P. 177—187.

107. LAPACK Users' guide [Text]. Vol. 9 / E. Anderson [et al.]. — SIAM, 1999.

108. Demmel, J. Accurate singular value decompositions of structured matrices [Text] / J. Demmel // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 2000. — Vol. 21, no. 2. — P. 562—580.

109. Ehrlich, L. W. A modified Newton method for polynomials [Text] / L. W. Ehrlich // Communications of the ACM. — 1967. — Vol. 10, no. 2. — P. 107—108.

110. Aberth, O. Iteration methods for finding all zeros of a polynomial simultaneously [Text] / O. Aberth // Mathematics of computation. —1973. — Vol. 27, no. 122. — P. 339—344.

111. Bini, D. A. Solving Secular and Polynomial equations: A Multiprecision Algorithm [Text] / D. A. Bini, L. Robol // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2014. — Vol. 272. — P. 276—292.

112. Kagalenko, M. Modified Pisarenko spectrum for frequency analysis [Text] / M. Kagalenko // 2018 7th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2018) / ed. by L. Jozwiak [et al.]. — 06/2018. — P. 221—225.

113. Кошелев, В. И. Анализ характеристик фильтров и параметрических моделей процессов в частотной области [Текст] / В. И. Кошелев // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. — 2017. — № 60. — С. 27—32.

114. Daruis, L. Para-orthogonal polynomials in frequency analysis [Text] / L. Daruis, O. Njastad, W. Van Assche // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2003. — Vol. 33, no. 2. — P. 629—646.

115. Pyramic: Full Stack Open Microphone Array Architecture and Dataset [Text] / R. Scheibler [et al.] // 2018 16th International Workshop on Acoustic Signal Enhancement (IWAENC). — IEEE, 2018.

116. Schmidt, R. Multiple emitter location and signal parameter estimation [Text] / R. Schmidt // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1986. — Mar. — Vol. 34, no. 3. — P. 276—280.

117. Scheibler, R. Pyroomacoustics: A Python Package for Audio Room Simulation and Array Processing Algorithms [Text] / R. Scheibler, E. Bezzam, I. Dok-manic // 2018 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP). — IEEE, 2018.

118. Allen, J. Short term spectral analysis, synthesis, and modification by discrete Fourier transform [Text] / J. Allen // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, Signal Processing. — 1977. — Vol. 25, no. 3. — P. 235—238.

119. Friedlander, B. The modified Yule-Walker method of ARMA spectral estimation [Text] / B. Friedlander, B. Porat // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. — 1984. — No. 2. — P. 158—173.

120. Recursive digital filter design - MATLAB yulewalk [Text]. — 2019. — URL: https: / / www. mathworks. com / help / signal / ref / yulewalk. html (visited on 03/01/2019).

121. Kagalenko, M. Optimal in the Hankel norm reduction of digital IIR filter order [Text] / M. Kagalenko // 2016 5th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2016) / ed. by L. Jozwiak, R. Stojanovic, B. Lutovac. — 06/2016. — P. 251—255.

122. Gutknecht, M. The Carathéodory-Fejér method for recursive digital filter design [Text] / M. Gutknecht, J. Smith, L. Trefethen // IEEE transactions on acoustics, speech, and signal processing. — 1983. — Vol. 31, no. 6. — P. 1417—1426.

123. Chen, B. S. IIR filter design via optimal Hankel-norm approximation [Text] / B. S. Chen, S. C. Peng, B. W. Chiou // IEEE Proceedings G - Circuits, Devices and Systems. — 1992. — Vol. 139, no. 5. — P. 586—590.

124. Beylkin, G. On the design of highly accurate and efficient IIR and FIR filters [Text] / G. Beylkin, R. D. Lewis, L. Monzón // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2012. — Vol. 60, no. 8. — P. 4045—4054.

125. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов [Текст] / Л. Рабинер, Б. Гоулд. — Мир, 1978. — 835 с.

126. Оппенгейм, А Цифровая обработка сигналов [Текст] : пер. с англ. / А. Оп-пенгейм, Р. Шафер. — Москва : Техносфера, 2006. — 856 с.

127. Деммель, Д. Вычислительная линейная алгебра [Текст] / Д. Деммель. — Москва: Мир, 2001.

128. Jackson, L. B. Digital Filters and Signal Processing: With MATLAB Exercises [Text] / L. B. Jackson. — Springer Science & Business Media, 1996.

129. Бейкер, Д. мл. Аппроксимации Паде [Текст] / Д. мл Бейкер, П. Грейвс-Моррис, И. В. Рахманов. — Москва : Мир, 1986. — 328 с.

130. Alkire, B. Convex optimization problems involving finite autocorrelation sequences. [Text] / B. Alkire, L. Vandenberghe // Math. Program. — 2002. — Vol. 93, no. 3. — P. 331—359.

131. Wu, S.-P. FIR filter design via spectral factorization and convex optimization [Text] / S.-P. Wu, S. Boyd, L. Vandenberghe // Applied and computational control, signals, and circuits / ed. by B. N. Datta. — Boston, MA : Birkhäuser, 1999. — P. 215—245.

132. Ахиезер, Н. О некоторых вопросах теории моментов [Текст] / Н. Ахиезер, М. Крейн. — Гостехиздат, 1938. — 255 с.

133. А. С. Немировский. Оптимальные методы гладкой выпуклой минимизации [Текст] / А. С. Немировский, Ю. Е. Нестеров // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, вып. 3. — С. 356—369.

134. Andersen, M. S. CVXOPT: A Python package for convex optimization, version 1.2.3 [Текст] / M. S. Andersen, J. Dahl, L. Vandenberghe // Available at cvxopt.org. — 2019.

135. Belokurov, V. The use of Characteristic Functions in the Multi-Frame Accumulation Algorithm [Text] / V. Belokurov, V. Koshelev, M. Kagalenko // 2019 8th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2019). — 06/2019. — P. 256—261.

136. Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике [Текст] / В. В. Быков. — Советское радио, 1971. — 328 с.

137. Kagalenko, M. Multicomponent Optimal in the Hankel Norm Order Reduction for Design of the Digital Filter Banks [Text] / M. Kagalenko // 2019 8th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2019). — 06/2019. — P. 497—501.

138. ECG beat detection using filter banks [Text] / V. X. Afonso [et al.] // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1999. — Vol. 46, no. 2. — P. 192—202.

139. Программно-аппаратный комплекс мониторинга состояния воздушных линий электропередач [Текст] : пат. 174052U1 Рос. Федерация : МПК G01C 11/06 (2006.01) / В.И. Кошелев, Е.С. Штрунова, М.Б. Кагаленко [и др.] ; Ф. государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Рязанский государственный радиотехнический университет" (RU). — № 2015157300 ; заявл. 30.12.2015 ; опубл. 27.09.2017, Бюл. № 27. — 7с.: ил.

140. Cullum, J. K. Lanczos Algorithms for Large Symmetric Eigenvalue Computations: Vol. 1: Theory [Text]. Vol. 41 / J. K. Cullum, R. A. Willoughby. — SIAM, 2002.

141. Golub, G. Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix [Text] / G. Golub, W. Kahan // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. — 1965. — Vol. 2, no. 2. — P. 205—224.

142. Parlett, B. N. The Lanczos algorithm with selective orthogonalization [Text] / B. N. Parlett, D. S. Scott // Mathematics of computation. — 1979. — Vol. 33, no. 145. — P. 217—238.

Список рисунков

1.1 График Я (у(0) ,у)...............................21

1.2 График (у(0) ,у) ..............................25

1.3 График Я(у(0),\)...............................26

1.4 Сравнение критериев ОСС и ПР......................29

1.5 ОСС и ПР при неточной частоте......................31

1.6 Три зоны поведения дисперсии.......................38

1.7 Дисперсия оценки частоты при ф = 0, N = 1000 ..........................39

1.8 Стандартное отклонение оценки расстояния ЛЧМ уровнемером .... 40

1.9 Смещение оценки расстояния ЛЧМ уровнемером............41

1.10 Частоты ОСС ..................................................................42

1.11 Стенд БАРС.................................43

1.12 Спектр БАРС.................................45

1.13 Спектр БАРС ..................................................................46

1.14 Моделирование БАРС ........................................................48

1.15 Моделирование БАРС ........................................................49

1.16 Эксперимент БАРС.............................50

2.1 Базисный вектор модифицированного алгоритма Писаренко......69

2.2 Коэффициент детерминации базисного вектора модифицированного алгоритма Писаренко как функция абсолютной величины полюса ... 70

2.3 Функция плотности тестового сигнала ..................77

2.4 Сингулярные числа Ганкеля для тестового сигнала............78

2.5 Ошибка нахождения частот в зависимости от уровня шума.......78

2.6 Общий вид установки для записи звуковых сигналов системой микрофонов ..................................................................79

2.7 Координаты микрофонов..........................79

2.8 Ошибка вычисленного углового положения источника звука......80

2.9 Влияние шума на ошибку вычисленного с помощью многокомпонентного приближения ААК углового положения источника звука ..............................................................81

3.1 Параллельная форма построения цифрового фильтра ....................86

3.2 Пример фильтра с кусочно-линейной АЧХ................88

3.3 Амплитуда передаточной функции Н^х(/), полученной с использованием оптимизации числителя.................90

3.4 Отклонение от заданной амплитудно-частотной характеристики фильтра, полученного с использованием оптимизации числителя ... 91

3.5 Амплитуды передаточных функций вариантов моделирующего фильтра 92

3.6 Отклонения от требуемой АЧХ передаточных функций вариантов моделирующего фильтра .......................... 93

3.7 Сингулярные значения оператора Ганкеля для расчёта Гауссова фильтра 94

3.8 Импульсные характеристики вариантов моделирующего фильтра ... 95

3.9 Максимальные отклонения от заданной АЧХ вариантов моделирующего фильтра в зависимости от длины импульсной характеристики ............................... 96

3.10 Амплитудно-частотные характеристики вариантов двухмодового моделирующего фильтра .......................... 97

3.11 Отклонения от требуемой АЧХ передаточных функций вариантов двухмодового моделирующего фильтра .................. 98

3.12 Амплитуды передаточных функций фильтров, составляющих банк ... 99

3.13 Сингулярные числа многокомпонентного оператора Ганкеля......100

3.14 Амплитудные характеристики фильтров оптимизированного банка . . 101

3.15 Полюса оптимизированного банка фильтров...............102

3.16 Отклонение от «эталона» при ААК—редукции единичного фильтра и одного составляющего банка фильтров .................. 103

3.17 Блок-схема параллельной реализации БИХ-фильтра...........103

3.18 Блок-схема банка фильтров ......................... 103

Список таблиц

1 Максимальные ошибки при обработке сигналов с двумя частотными составляющими ............................... 47

2 Коэффициенты оптимизированного моделирующего фильтра, обеспечивающего Гауссову АЧХ с шириной Л/т = 0.1 .........137

3 Параметры тестового сигнала .......................138

Приложение А Доказательства теорем подраздела 2.2.1

А.1 Теорема ААХ и вспомогательные утверждения

Доказательство теоремы 2.7. Пусть rank Нр = М. Для разложения в ряд к-го компонента р

Рк (z) = Y^anz~n

п>0

справедливо

1 т

P-zmYj anz~n = zm\ рк(z)-Yj *nz~n

n>0 n=1

поэтому P-R(z)Рк (z) = 0 равносильно

M / m \ Mm

*nZ~n\ = R(z)Рк(z)-YYrma -m-n

о = 2rmZ-m Рк(z) - X ®nZ J = R(z)Рк (z) - X 2Гт®nZ-

m=0 n=1 ) m=1 n=l

= R (z) Рк (z)- P (z),

причём степень полинома P(z) не превосходит M - 1. Последнее равенство означает, что при всех 1 < к < К функция р^ (z) является рациональной и её знаменатель делит R (z). Так как по определению ранга оператора R (z) имеет наименьшую степень из всех полиномов, принадлежащих к ядру оператора ker Нр,

deg р = deg R(z) = rank Нр.

Обратно, если р рационален,

= (р 1(z) РК( W1(zY" ' ЧК(z))'

и Q (z) - наименьший общий кратный полином для q 1,... qk, то deg Q = deg р и

P-Р* (z)Q (z) = P-Р (z) = 0,

причём Q (z) имеет наименьшую степень, при которой это равенство выполняется для всех 1 < к < К. Следовательно, Нр2 (z) = 0 и

rank Нр = deg Q(z) = deg р.

Лемма А.1. Пусть |^(1), п(1)} и |^(2), п(2)} —любые две я-шмидтовы пары оператора Нр. Тогда

^(1)= п(1)^ П(2).

Доказательство. Для целого п > 0

= ^(1), ^(2)) = ^(1), Нрп(2)) =

= 1 (гп ^(1), Р+р • п(2)) = 1 (гп ^(1), р • п(2)\ = = 1 (гп р^(1), п(2)) = 1 (Р-^ Р^(1), п(2) = 1 (г" Р-Р^(1), п(2)) = 1 (^ Нр^(1), п(2)

= [гп п(1), п(2)) = п(1) • п(2)(-^).

При п < 0 доказательство аналогично. Из равенства коэффициентов Фурье всех порядков следует равенство самих функций. □

В отличие от «скалярных» операторов Ганкеля [101, следствие 4.1.5], из данной леммы не следует равенство рациональных функций, составленных из пар Шмидта:

^(1) ф ^(2) •

Доказательство теоремы 2.10. Мы в значительной степени повторяем доказательство «скалярной» теоремы ААК [101, теорема 4.1.1].

Простому сингулярному числу соответствует пара Шмидта п}. Обозначим

п

р = ^ •

Из леммы А.1 непосредственно следует, что

у р у = 7^ = 1. (А.1)

Пусть

Г5 = ,

тогда из (А.1) следует ||rs у < sm. Для доказательства теоремы 2.10 достаточно показать, что

rank (Г - Г) = т.

Пара Шмидта {%, п} оператора Г также является ¿-шмидтовой парой rs. Действительно,

rs % = sP-П % = sn %

Г* P n • n P %% %

Г* n = = sP+— = S%

% %

Пусть внешне-внутренняя факторизация [101, приложение 2.2] правого вектора Шмидта %:

% = &%*, I = 1,

%* — внешняя функция, %* е Я2. Так как Г% = rs%, из (2.4) следует, что

Ггп% = rsZn %

для всех целых п > 0. Операторы Г и rs совпадают на минимальном инвариантном относительно умножения на z подпространстве Я2, содержащем %. Согласно теореме Бёрлинга, это подпространство имеет вид &Я2. Для доказательства теоремы достаточно показать, что

d = dim (Я2 © &Я2) = т.

Определим функции

© = ^, %*

г = р • ©.

Так как %* — внешняя функция, 1 /%* е Я2 и значит, © е H. Из леммы А.1 следует, что |©| = 1, поэтому для «скалярного» оператора Ганкеля

Гг = Hr = H© • Нр

(см. (2.5)) справедливо

г; гг < г* • г,

следовательно, для сингулярных чисел этих операторов выполнено неравенство

sf (Гг) < sf (Г).

Лемма А.2. Сингулярное число s оператора Гг имеет кратность не меньше d = dim (Н2 © &Я2).

Следует отметить, что в скалярном случае Kl = 1 функция © = & и данная лемма идентична [101, лемма 4.1.6]. Однако при Kl > 1 кратность сингулярного числа s оператора Г& не ограничена снизу d, так как, вообще говоря, n € &HL.

Доказательство леммы А.2. Так как Г*п =

zP+р • n = P-z (р • n) = ^ %.

Обозначим через т внутренний делитель & (т.е. &т-1 е Я2). Для «правого» вектора Шмидта \ справедливо

Ггт^ = P-^^= P-T& P-z (р • П) = sP-T&zI = sP-xzi = sz следовательно,

г;ггт^ = ¿P+^^ z Ti = sP+T (р • n) = (А.2)

Поскольку d = dim (H2 © &Я2), возможно найти внутренние делители {&/} 1<j<d функции & такие, что &d = &, 1 &j+1 Ф const и &1 ф const. Тогда из (А.2) следует, что подпространство

Ej = span |&Я2,&1&Я2,... &j&Н<

состоит из собственных векторов оператора Г*Гг, отвечающих собственному числу s2. Так как Е1 \ &Я2 ф 0 и Ej+1 \ Ej ф 0, 1 < j < d, выполнены неравенства

dim ker (Г^Гг - s21) > dim Ed > d + 1

Лемма позволяет завершить доказательство теоремы. Так как Sm+1 (Г) < sm (Г) = Sd (Гг) < Sd (Г) , заключаем, что d < т. Операторы Г и Г совпадают на &Я2:

(Г - Г) &Я2 = {0} .

Из конечности dim (Я2 © &Я2) следует, что внутренняя функция & является произведением Бляшке с числом нулей, равным d. Обозначим R полиномиальный знаменатель d = deg R. Поскольку

(Г - Г) R = 0,

по определению ранга оператора Ганкеля

rank (Г - Г) < d.

Пусть Г = Г - Г , тогда

Srn (Г) = у Г у = у Г - Гг у >Sd (Г) , значит, т = d и Гг имеет рациональный символ степени d. □

А.2 Численная реализация

Доказательство леммы 2.11. Как нетрудно видеть, существуют такие коэффици-

Р

7 (и)

енты , что

т Лп)

(z-d)т 41 (z-dy

q=1

Умножая обе стороны на (z- d)д 1 и интегрируя по контуру вокруг d, получаем

( )

Qm-q

(т - q)! dzm-q

0,

=

т - q

т - q > п

dn-m+q, т -q ^ п.

(А.3)

Для матрицы оператора справедливо

Яг

[(z - d)-m] , [z(z - d)-m]- , [z2(z - d)-m]

[(z-d)-1], [(z-d)-2},... [(z-d)-m]

b10) b^

b(0) b(D

um um

FnB,

и сравнивая (А.3) с разложением в ряд

(г - <!)'

= 1

к=п

к- 1

с1к-пг~к,

получаем

В

[(г - с1)-т ], [(г - с1)-т+1},... [(г - й)-1]

т

WFJ

□

Доказательство замечания 2.12. Определим векторы-столбцы коэффициентов (2.6):

.(к)

Лк) Лк) (к) (к) С1,1, ■ ■ ■ С1,т1, с2,1' • • • с2,т2' ■ ■ ■

(А.4)

а также матрицу Б согласно

Б = ^ с (к) с(к) т ■

=1

(А.5)

Аналогично (2.17), разобьём матрицу GL на прямоугольные {тj х т[)-блоки

GLJ; = £ Wf*F^Fi, ^,

=1

и рассмотрим соответствующие блоки Б, G, А. Далее в ходе доказательства ¿тп^тп,атп обозначают элементы этих блоков: 1 < т,п < . Для ту-й строки GLJI имеем:

=1 =

откуда получаем треугольную систему линейных уравнений

511 • • Я1тг ^т j 1 & т j ,1

511 512 ^т j т -1 = j т -1

511 . ^т j ,т1 ®т j ,Ш1 _

Данная система позволяет вычислить последнюю строку блока матрицы Б. Повторяя для тj - 1,тj - 2, ■■ ■ 1, находим остальные элементы блока, а затем всю матрицу. Используя разложение по собственным значениям

б = дед*,

определим

с = Е1/2д*.

Если

( )

= [С]

то из (2.18,А.5) следует, что С|_ = А.

□

Приложение Б

Алгоритм подпространства Крылова для сингулярного разложения в комплексном неортогональном базисе

Ранг матрицы Ганкеля М может оказаться существенно больше, чем требуемый порядок рациональной аппроксимации К:

М » К.

Поэтому представляет интерес алгоритм, позволяющий вычислять только ограниченное число наибольших сингулярных чисел

¿0 > ¿1 > • • • > $К

матрицы Нр. Для этого часто используются алгоритмы подпространства Крылова [140]. Эти алгоритмы используют матрицу не в явном виде, а через функцию, вычисляющую произведение матрицы на вектор. Стандартный алгоритм Ланцо-ша применим только к эрмитовым матрицам, поэтому в качестве основы взят алгоритм Голуба—Кахана—Ланцоша (ГКЛ) [141]. Этот итеративный алгоритм пошагово вычисляет редукцию к бидиагональной форме, представляя результат в виде

Нр =

а1 0"

в2 «2 В = • •

0 вм ам _

Сравнивая с выявляющей ранг декомпозицией (2.14), делаем вывод, что левые и правые векторы Ритца могут быть представлены, соответственно, в виде

И = Е|Ив, = ЁУв, где матрицы ив,Ув на у-м шаге алгоритма имеют у столбцов:

ив = (иь ...и7-), Ув = (У1, ... V,) .

Правые и левые вектора Ритца должны быть ортонормальны:

URUR = VRVR = I, (Б.1)

что ведёт к условию

u* GLU = v*k Gv/ = Ьк I.

Алгоритм ГКЛ требует вычисления произведений правых векторов Ритца на матрицу Нр, а также левых векторов Ритца на эрмитово-сопряжённую матрицу, что в базисе (2.8) сводится к

HpUR = FGLUB, HpVR = FLGVB .

Поэтому приведение бесконечной матрицы Ганкеля к бидиагональному виду может быть получено путём выполнения итераций алгоритма Голуба—Кахана— Ланцоша, где нормы правых и левых векторов Ритца вычисляются согласно выражениям

II u У = U*GLU, У V у = v* Gv.

Полученный алгоритм представлен ниже.

uo ^ U0/УU0У ;

vo ^ Gluo; vo ^ vo/У voУ ;

^ 1 ;

repeat

u ^ Gv/-i- oy-iu-i ;

в = lull ;

u ^ u / h ;

v ^ Gluj - PJvJ-i ;

а ^ ¡V11 ;

v ^ v /а ;

+1 ;

Вычислить критерий остановки

until критерий остановки;

Алгоритм 2: Алгоритм Голуба—Кахана—Ланцоша в неортогональном базисе

В ходе итераций алгоритма ГКЛ соотношения ортогональности (Б.1) могут нарушиться из-за численных ошибок округления. Это может быть исправлено выполнением выборочной реортогонализации [142]. Искомое сингулярное разложение матрицы Ганкеля достигается вычислением сингулярного разложения бидиагональной матрицы B:

B = LSR*.

Специальная структура этой матрицы позволяет вычислить сингулярное разложение с небольшими вычислительными затратами. Диагональная матрица S содержит сингулярные числа матрицы Ганкеля, в то время, как правые и левые сингулярные векторы даются выражениями:

Hp = USV*,

U = FLUF , UF = UB L,

V = FVF, Vf = VBR .

Приложение В

Алгоритм вычисления коэффициентов КИХ- фильтра с АЧХ в форме Гауссова

окна

Рассчитать коэффициенты С фильтра с амплитудно- частотной характеристикой PG(/), подчиняющейся Гауссовому закону:

Исходные параметры: А/т

М ^ floor (то) + 1 ;

Y ;

цикл от к = 0 до М выполнять

F ^ 2 А/т (

F ^ 2 А/т -к);

;

конец