Автоморфизмы исключительных простых алгебр ЛИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Муляр, Ольга Александровна

• Муляр, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муляр, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Определения и предварительные результаты

1.1 Алгебра разделенных степеней.

1.2 Специальные дифференцирования.

1.3 Дифференциальные формы.

1.4 Когомологии алгебры Ли.

1.5 Транзитивные градуированные алгебры Ли.

1.6 Автоморфизмы градуированных алгебр Ли.

Глава 2. Исключительные простые алгебры Ли

2.1 Алгебры Меликяна.

2.2 Алгебры Скрябина Z(m) и Y(m).

2.3 Алгебры серии R.

Глава 3. Геометрические автоморфизмы.

Глава 4. Усеченные коиндуцированные модули.

Глава 5. Усеченные коиндуцированные модули и автоморфизмы.

Глава 6. Дифференцирования исключительных простых алгебр Ли

6.1 Дифференцирования алгебр Меликяна и алгебр Скрябина.

6.2 Дифференцирования алгебр серии R.

Глава 7. Инвариантные подалгебры.

Глава 8. Автоморфизмы алгебр Меликяна g(m) и алгебр Скрябина Y(m).

Глава 9. Алгебра Ли группы автоморфизмов алгебр Скрябина Y(m).

Глава 10. Автоморфизмы алгебр серии R.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы исключительных простых алгебр ЛИ»

Работа относится к актуальному направлению теории алгебр Ли - классификации и исследованию простых алгебр Ли над полями характеристики р > 0. Классификация простых р-алгебр Ли была получена Р. Блоком и Р. Вильсоном [29] в 1984 г. для р > 7. В 1991 г. X. Штраде и Р. Вильсон [44] анонсировали доказательство гипотезы Кострикина-Шафаревича в общем случае также при р > 7. Согласно этой гипотезе простая алгебра Ли либо является классической, либо изоморфна простой алгебре Ли картановского типа. В последние годы появились результаты А. Премета и X. Штраде по классификации простых алгебр Ли при р = 5,7. Классификация простых алгебр Ли для р = 2,3 неизвестна. Здесь существуют отдельные серии простых исключительных алгебр Ли, которые не встречаются в больших характеристиках.

Для классификации простых алгебр Ли особый интерес представляют структурные свойства известных простых алгебр. Основными классами простых алгебр Ли являются классические алгебры Ли и алгебры Ли картановского типа. Автоморфизмы и дифференцирования алгебр Ли картановского типа исследовались М.Ю. Целоусо-вым, В. Кацем, Р. Вильсоном, М.И. Кузнецовым, С.М. Скрябиным ([27], [7], [45], [12], [34], [24], [40], [41]). Автоморфизмы классических алгебр Ли изучались особенно тщательно в связи с классификацией конечных групп (теория групп Шевалле). Однако автоморфизмы классических алгебр в случае малой характеристики основного поля были исследованы сравнительно недавно Д. Фрохардтом и Р.Гриссом

321).

В настоящей работе исследуются автоморфизмы и дифференцирования следующих простых алгебр Ли: алгебр Меликяна д(ш), алгебр Скрябина Z(m) и ^(т), алгебры серии R. Все эти алгебры градуированные и тесно связаны с алгебрами Ли картановского типа.

Описание автоморфизмов основано на инвариантности некоторых максимальных подалгебр. В работе доказывается, что подалгебра /2(о) = Ro + R\ + • • • + Rs алгебры серии R инвариантна относительно автоморфизмов. Аналогичные результаты для алгебр 2(т) и F(m) получены С.М. Скрябиным в 1992 г. ([23]), для алгебры Франк Fr(m) - О.А.Муляр в 2001 г. ([18]), для алгебры Ме-ликяна - М.И.Кузнецовым в 1991 г. ([34]). В 1990 г. С.А. Кириллов показал, что максимальная подалгебра алгебры Меликяна является нормализатором сэндвичевой подалгебры, откуда также следует ее инвариантность ([6]).

Обозначим через L одну из рассматриваемых алгебр. Инвариантность фильтрации, соответствующей градуировке, позволяет определить фильтрацию в группе автоморфизмов Aut L = Aut(p)L D Aut(\)L D . D Aut(j)L D . следующим образом:

Aut(i)L = {ip £ Aut L \ ip — I : L^ —» L(J+i)}.

Обозначим AutoL группу автоморфизмов, сохраняющих Z-градуи-ровку. Очевидно, Aut L - полупрямое произведение AutoL и Aut^L. Таким образом, проблема описания автоморфизмов разбивается на две задачи: описать группы AutoL и Aut^L.

Рассматриваемые алгебры обладают также Z^-градуировкой где Lq - алгебра Ли картановского типа, Lj, г ф 0 — Lg-модуль тензорных плотностей. В таком случае говорят, что алгебра L имеет геометрическую реализацию. Отметим, что для алгебры Меликяна б(т) <7 = 3, для алгебры Скрябина 2(т) q = 4, а для алгебр У(ш) и R(m) q = 2.

Обозначим Aut^L подгруппу геометрических автоморфизмов (так называются автоморфизмы, сохраняющие Lq). Нетрудно видеть, что AutoL С AutoL. В работе доказывается следующее

Предложение 1 Пусть res : АиЦЬ —> Aut W(n : m) - гомоморфизм ограничения (Lq = W(n : m)), fiq - групповая схема корней степени q из 1. Тогда следующая последовательность точна:

1 —> р,ч —> АиЦЬ Aut W(n : m) —> 1. П

Затем описывается группа Aut^L. Отметим, что Ф Е Aut(k) L можно записать следующим образом:

Ф = 1 + Фк + Ф^+1 + . + Ф, + ., где Фj : Ls —» Ls+j, j > к. Нетрудно показать, что Ф& является дифференцированием алгебры L. Очевидно, что Ф& Е Der& L, где Der^L - соответствующий член градуировки в алгебре дифференцирований Der L. Таким образом, описание Aut^L сводится к следующей задаче: найти все дифференцирования D Е Derk L, такие что D = Ф& для подходящего автоморфизма Ф.

Сначала находим все дифференцирования. Для серий g, Z, У выделим следующие общие свойства:

1) L-i = Llx, г = 1,., q - попарно неизоморфные нетривиальные неприводимые Lo-модули;

2) для любого От^ х Е Li, i > О, [х, Li] ф 0 и [х, L-q] ф 0;

3) в соответствующей Zg-градуировке

L = Lq + Lj +----Ь L^pj, Ls = ®i=s(q)Li, a) Lq = W(n : m) = W, где m = (mb ., mn) , b) L^ - неприводимый Lq-модуль, s = 1,q — 1;

4) Подалгебра L(o) = Фг>о^г инвариантна относительно автоморфизмов L;

5) Н*(Ь0,Ь-г) = 0, г = t = 0,1;

6) Lo-модули L-i, i = 1,., q не являются факторами композиционного ряда первого члена Wji] стандартной градуировки алгебры W.

Теорема 1 Пусть L - простая алгебра Ли , удовлетворяющая условиям 1)-6).

1) DerL = где Lq - р-замыкание Lq в DerL, Lj = Lj, если Ls = cw(Ls-q) и Lj = Bk(Q) С Zj С Zk(Q), если L» ^ cw{Ls-q)

2) Для I G L(,i = —1,., — (q — 1) существует V G Lpi, такое что (ad l)p = ad I'. □

Из теоремы 1 непосредственно получаем

Следствие 1 (1) Если L = £J (mi, гаг) - алгебра Меликяна, то

Der L = Z^ 4- Ly + Z/2.

2) Если L = У(т1,т2,тз), то

DerL = Lj.

3) Если L = Я(т1,Ш2,тз), то

DerL ^ Z^ + LT + Lz + Z2(Q), где Z2(Q) - пространство замкнутых форм степени 2. □

Теперь, зная дифференцирования, мы должны выяснить, продолжается ли D Е Der L до автоморфизма алгебры L, где L - это или алгебра Меликяна д(т) или алгебра Скрябина У(ш). Этот вопрос решается с помощью когомологий, так как препятствие к продолжению является элементом Z2(L, L). Для алгебр 0(ш), ^(ш), используя вложение в W, мы сводим вычисление препятствий к нахождению группы Hl(L, W/L). И вот здесь существенным образом используются коиндуцированные модули.

Теорема 2 Пусть L - простая алгебра Ли, удовлетворяющая условиям 1)-6). Предположим, что q < р и Lj - неисключительный W-модуль для любого s G

1) Если i ф 0{mod q),i > 0, то

Aut(i)L/Aut(i+i)L = Li.

2) Если D € Li, i > О, г = 0(mod q), то ad D продолжается до автоморфизма алгебры L тогда и только тогда, когда ad D продолжается до автоморфизма алгебры Lq = W(n : m). □

Алгебра серии R не удовлетворяет этим б свойствам, поэтому для нее приведено отдельное доказательство.

Теорема 3 DerR = Rq + Q2, где Rq — р-замыкание Rq в DerR, Q2 -пространство форм степени 2. □

Пусть G = Aut R, Lie G - алгебра Ли G, Lie G = Qq © Qj - индуцированная Z2—градуировка.

Теорема 4 Qq = Lie Aut W(2 : m), QT = m(2)f22, где m - максимальный идеал 0(2 : ш). □

Опишем структуру диссертации и содержание отдельных глав. В главе 1 собраны сведения из теории алгебр Ли, которые используются в работе. Приводятся определения алгебры разделенных степеней, общей алгебры Ли картановского типа, дифференциальных форм, когомологий алгебры Ли, транзитивных градуированных алгебр Ли, а также приведена общая схема исследования автоморфизмов градуированных алгебр Ли.

Во второй главе дано описание исключительных простых алгебр Ли: алгебр Меликяна g(m), алгебр Скрябина Я(т), ^(т), алгебр серии R.

В третьей главе описаны геометрические автоморфизмы.

В четвертой главе собраны основные определения и теоремы из теории усеченных коиндуцированных модулей ([12]). Приведена теорема о минимальном вложении, формула для вычисления когомоло-гий транзитивной алгебры Ли с коэффициентами в усеченном коин-дуцированном модуле.

В главе 5 доказаны три теоремы об абелевых подалгебрах в W(n : m), У(т) и R(m), которые существенно используются для нахождения алгебры Ли группы автоморфизмов алгебр ^(т) и алгебр серии R.

В шестой главе описаны дифференцирования исключительных простых алгебр Ли. Отдельно рассмотрены алгебры, удовлетворяющие условиям 1)-6) (алгебры Скрябина >2(т), ^(ш), алгебры Меликяна д(т)), и алгебры серии R.

В седьмой главе приведено доказательство инвариантности стандартной максимальной подалгебры алгебры серии R.

В главе 8 исследована продолжаемость дифференцирования до автоморфизмов алгебры Меликяна g(mi, тг) характеристики 5 и алгебры Скрябина У(ш1,т2,тз) характеристики 3.

В девятой главе найдена алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры Скрябина ^(m) = У Для однородного дифференцирования D G DeriY, г > 0, продолжающегося до автоморфизма, строится однопараметрическое семейство s Е К} С Aut У, такое что ра\у2 = ехР 5 ad D. Очевидно, что ^f-|s=o|y2 = ad D |у2. В работе доказывается, что дифференцирование D G DeriY, i > 0 однозначно определяется своим действием на У12- Отсюда получаем, что ^|s=0 = ad De Lie Aut Y.

В главе 10 получено описание автоморфизмов алгебр серии R, найдена алгебра Ли группы автоморфизмов.

Результаты диссертации докладывались на XI Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики, Казань, 1999; IV нижегородской сессии молодых ученых, Н. Новгород, 2000; XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2000; IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, 2000; международном семинаре по теории групп, посвященном семидесятилетию А.И. Старостина и восьмидесятилетию Н.Ф. Сесекина, Екатеринбург, 2001; международной алгебраической конференции, посвященная памяти З.И. Боревича, С.-Петербург, 2002; V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003; на алгебраическом семинаре МГУ (Москва) и опубликованы в работах [13] - [16], [18] - [21], [36], [37].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муляр, Ольга Александровна, 2003 год

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 1.- III. - М.: Мир, 1976. -496 с.

2. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. -М.: Мир, 1984. 258 с.

3. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.:Мир, 1964.

4. Джумадильдаев А.С. Деформации алгебр Ли ^„(т) // Матем. сб. 1989. - Т. 180 (№2). - С. 168-185.

5. Ермолаев Ю.Б. Семейство простых алгебр Ли над полем характеристики 3. V Всесоюзный Конгресс по теории колец, алгебр и модулей: Тез. докл. 1982. - С. 52-53.

6. Кириллов С.А. Сэндвичева подалгебра в алгебрах Меликяна. Ин-т прикладной физики АН СССР, Препринт №285, Горький. 1990.

7. Кац В.Г. Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа // Изв. АН СССР, сер. матем. 1974. - Т. 38. - С. 800-834.

8. Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли // Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. - Т. 34. - С. 744-756.

9. Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Известия АН СССР, сер. матем. -1969. Т. 33. - С. 251-322.

10. Крылюк Я.С. Алгебры картановского типа: представления и продолжения. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1978.

11. Кузнецов М.И. Классификация простых градуированных алгебр Ли с неполупростой компонентой Lq / / Матем. сб. 1989. - Т. 180 (№2). - С. 147-158.

12. Кузнецов М.И. Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики р // Изв. АН СССР, сер. матем. 1989 - Т. 53. - С. 557-589.

13. Кузнецов М.И., Муляр О.А. Алгебры Меликяна и их автоморфизмы. XI Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики: Тез. докл. -Казань: "Хэтер", 1999. С. 68.

14. Кузнецов М.И., Муляр О.А. Автоморфизмы р-алгебры Меликяна. Четвертая нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докл., Ч. I. Н. Новгород:Нижегородский гуманитарный центр, 2000. - С. 69-70.

15. Кузнецов М.И., Муляр О.А. Алгебры Меликяна и их автоморфизмы. IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерз л якова : Тез. докл. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. - С. 99-100.

16. Меликян Г.М. О простых алгебрах Ли характеристики 5 // УМН. 1980. - Т.35, вып.1. - С. 203-204.

17. Муляр О.А. Автоморфизмы неклассических простых алгебр Ли. V Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тез.докл. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2003. - С. 163-164.

18. Муляр О.А. Автоморфизмы и дифференцирования исключительных простых алгебр Ли серии R. Записки научных семинаров ПОМИ

19. Рудаков А.Н. Деформации простых алгебр Ли // Изв. АН СССР, сер. мат. 1971. - Т. 35. - С. 1113-1119.

20. Скрябин С.М., Новые серии простых алгебр Ли // Матем. сб. -1992. Т. 183 (№8). - С. 3-22.

21. Скрябин С.М. Изоморфизмы и дифференцирования модулярных алгебр Ли картановского типа // Успехи мат. наук. 1987.- т. С. 201-202.

22. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. - 272 с.

23. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.:Наука, 1980. - 400 с.

24. Целоусов М.Ю. Дифференцирования алгебр Ли картановского типа // Изв. вузов. Математика. 1970. - №7. - С. 126-134.

25. Чан Нам Зунг. О двух классах простых алгебр Ли над полем характеристики 3 // Вестн. МГУ, сер. Математика и механика.- 1992. №. - С. 12-15.

26. Block R.E., Wilson R.L. Classification of the restricted simple Lie algebras // J. Algebra. 1988. - V.114. - P.115-259.

27. Brown G. Families of simple Lie algebras of characteristic two // Commun. Algebra. 1995. - V. 23. - P. 941-954.

28. Brown G. On the structure of some Lie algebras of Kuznetsov // Michigan Math.J. 1992. - V. 39 (№7). -P. 85-90.

29. Frohardt D.E., Griess R.L.(Jr.). Automorphisms of modular Lie algebras // Nova J. Alg. Geom. 1992. - V.l. - P. 339-345.

30. Hochschild G., Serre J.P. Cohomology of Lie algebras // Ann. Math.- 1953. V. 57 (№). - P. 591-603.

31. Kuznetsov M.I Melikyan Algebras as Lie Algebras of Type G2 // Communications in Algebra. 1991. - V. 19 (№4). - P. 1281-1312.

32. KuznetsovM.I. On Lie algebras of contact type//Communications in Algebra. 1990. - V.l8 (№9). - P. 2943-3013.

33. Kuznetsov M.I, Mulyar O.A. Automorphisms of exceptional simple Lie algebras // Communications in Algebra. 2001. - V.29 (№9). -P. 3919-3934.

34. Mulyar O.A. The automorphisms and derivations of exceptional simple Lie algebras of series R (p = 3). International algebraic conference dedicated to the memory of Z.I. Borevich: Abstracts.-St.Peterburg: POMI, 2002. P. 130-131.

35. Seligman G.B. Modular Lie algebras. N.Y.:Springer-Verlag, New York. Inc., 1967.

36. Skryabin S.M. Tori in Melikyan algebra // J.Algebra, to appear

37. Skryabin S.M. Modular Lie algebras of cart an type over algebraically non-closed fields, I // Communications in Algebra. 1991. - V.19.- P. 1629-1741.

38. Skryabin S.M. Modular Lie algebras of cartan type over algebraically non-closed fields, II // Communications in Algebra. 1995. - V.23.- P. 1403-1453.

39. Strade H. The classification of the simple Lie algebras over fields with positive characteristic. Hamburger Beitrage zur Mathematik, Heft 31: Hamburg, 1997.

40. Strade H.; Farnsteiner R. Modular Lie algebras and their representations. Marcel Dekker Textbooks and Monographs, v. 116; Marcel Dekker, Inc.: New York, 1988.

41. Strade H., Wilson R.L. Classification of simple Lie algebras over algebraically closed fields of prime characteristic // Bull. Amer.Math.Soc. 1991. - V.24 (№2). - P. 357-362.

42. Wilson R.L.Automorphisms of Graded Lie Algebras of Cartan Type. // Communications in Algebra. 1975. - V. 3 (№7). - P. 591-613.

43. Wilson R.L. Classification of generalized Witt algebras over algebraically closed fields // Trans.Amer.Math.Soc. 1971. - V. 153. -P. 191-210.

44. Zassenhaus H. The representations of Lie algebras of prime characteristic // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1954. - V.2. - P. 1-36.