Атомы решетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Перепелкина, Ольга Анатольевна

• Перепелкина, Ольга Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перепелкина, Ольга Анатольевна

Введение.

§ 1. Актуальность темы исследований.

§ 2. Основные определения и обозначения.

2.1. Основные определения и обозначения.

2.2. Фильтры и ультрафильтры.

2.3. Ультрапроизведения.

2.4. Аксиоматизируемые классы.

2.5. Ультразамкнутость и наследственность.

§ 3. Краткое содержание работы.

Глава I О решетке универсально аксиоматизируемых классов полугрупп.

§ 1. Основные определения. Структурная теорема.

1.1. Основные определения.

1.2. Операторы К и Тку.

1.3. Теорема об универсальном замыкании класса систем

1.4. Дистрибутивность фильтрованного произведения относительно декартова произведения.

§ 2. Атомы решетки V-классов полугрупп.

2.1. Описание атомов решетки £уП.

2.2. Покрывающие атомов. Постановка задачи.

§ 3. Атомы подрешетки

3.1. Описание атомов подрешетки £у.

Глава II Коммутативные покрытия подрешетки

§ 1.Атомы ЛТдгд и и0.

1.1. Атом С7дгд.

1.2 Атом Щ.

§ 2. Атомы и3>1 и 113>2.

2.1. Атом и8Л.

2.2. Атом и312.

§ 3. Атом ир.

3.1. Универсальная эквивалентность и (ТУ х С?р).

3.2. Атомы 1/р , где р — простое.

§ 4. Основная теорема.

Глава III Некоммутативные атомы решетки

§ 1. Свободная полугруппа ранга два.

1.1.Свободные полугруппы.

1.2. Свойства свободных полугрупп.

1.3. Атом, порожденный свободной полугруппой ранга два.

§ 2.Атомы иг1иг

2.1. иииг.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Атомы решетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп»

§ 1. Актуальность темы исследований.

Изучение решеток, которые образуют относительно включения те или иные классы алгебр данной сигнатуры, является важным направлением алгебраических исследований [30], [52], [4].

В качестве объектов, составляющих элементы решеток, выбирались классы алгебраических систем, определяемые теми или иными формулами языка первой ступени: многообразия, В -многообразия и так далее. В случае многообразий сами эти объекты, то есть многообразия, а также и образуемые ими решетки давно стали классическими объектами исследований [3], [49], [4].

Решетки универсальных (то есть аксиоматизируемых универсальными формулами соответствующего языка первой ступени) классов алгебраических систем, как самостоятельный объект изучения, впервые отмечался, по-видимому, А. И. Мальцевым [30] в докладе "О некоторых пограничных вопросах алгебры и логики" на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году.

Пусть Г — класс формул языка первой ступени сигнатуры О какого-нибудь специального вида, а Я — какой-нибудь класс алгебраических систем той же сигнатуры 0 . Тогда Г-теорией класса Я называется совокупность формул из Г, каждая из которых истинна в каждой системе из класса Я. Обозначим Г - теорию — ГЪД.

Напротив, если задано какое-то конкретное подмножество Г' множества формул Г сигнатуры О , то через К^Т' обозначим класс всех тех алгебраических систем сигнатуры О,, в каждой из которых истинны все формулы из Г' (будем называть его Г' -классом).

Пусть зафиксирован какой-нибудь тип формул Г. Совокупность всех Г-подклассов произвольного Г-класса Я является полной решеткой относительно теоретико-множественного включения. Эту решетку условимся обозначать через . Заметим, что наименьшим элементом в решетке £р (Я) может оказаться пустой класс.

В этом направлении наиболее активно исследуются вопросы:

1) для наиболее важных классов формул Г, описать подрешетки £Г(Я) [3], [6], [20];

2) изучить вопрос о наличии покрывающих элементов в тех или иных решетках, а в частности описать их атомы [7], [13], [25], [49];

3) для наиболее важных классов Я алгебраических систем и наиболее интересных классов формул Г найти алгоритмическую природу теории ТпЯ [13], [28], [29];

4) для наиболее интересных классов формул Г найти общие алгоритмические свойства классов алгебраических систем вида К&Т [9], [12], [19].

То есть, важность такого направления алгебраических исследований, как изучение различных решеток различных алгебраических систем, не вызывает сомнений.

Этому направлению посвящены многие из работ следующих авторов: А. П. Бирюков [5] (описание решетки многообразий идемпотентных полугрупп), С. И. Кублановский [17] и М. В. Сапир [46] (независимо описавших многообразия финитно апроксимируемых полугрупп "по модулю групп"), Ф. Ф. Лысенко [23] (описание эквациональных теорий полугрупповых многообразий, порожденных нильпотентными группами), Г. И. Машевицкий [32] (многообразия вполне простых полугрупп), А. Ю. Ольшанский (описание многообразий финитно апроксимируемых групп) [34],

Одной из первых статей, затрагивающих проблему описания решетки многообразий полугрупп, стала обзорная статья Эванса в 1971 году [52] . В дальнейшем эта тема исследований получила свое развитие в работах многих известных специалистов ( Л. Н. Шеврин, М. В. Волков [51], Е. С. Ляпин [24], [25], Б. К. Богута [7], А. Я. Айзенштат [2] и др.). Описанием решеток квазимногообразий занимались В. А. Горбунов [13], В. И. Туманов [48] и многие другие. Большой интерес вызывают решетки тождественно включительных многообразий и И -многообразий. Им посвящены работы Е. С. Ляпина [24], [25], Б. И. Плоткина [45] , С. Ю. Ку-лабухова [19], [20], С. Н. Братчикова [9], Л. Н. Бобриковой [б].

Занимаясь исследованием тех или иных решеток, естественно, одним из первых поставить вопрос о наличии покрывающего элемента для каждого элемента решетки. Для полугрупп эта проблема отмечалась Эвансом [52].

Первое продвижение в решении этой проблемы для решетки многообразий полугрупп было осуществлено А. Я. Айзенштат в 1972 году [1] . Было доказано, что всякое надкоммутативное многообразие полугрупп имеет покрытие в решетке всех многообразий полугрупп. А. Н. Трахтман в 1974 году [49] показал существование покрывающего элемента для каждого элемента в решетке многообразий алгебр в сигнатуре, не содержащей унарных операций. Тем самым, в частности, была решена проблема Эванса. Целый цикл работ таких авторов, как А. Я. Айзенштат [1], [2], Б. К. Богута [7], [3] ,

A. М. Николаев [8] , посвящен описанию различных покрывающих в решетке многообразий полугрупп.

Покрывающие элементы в решетке квазимногообразий изучались

B. А. Горбуновым [13].

Затрагивая вопрос о покрывающих, нельзя не отметить важность изучения атомов — покрывающих наименьшего элемента в различных решетках. В решетке многообразий полугрупп они описаны Я.Ка-лицким и Д.Скоттом в 1961 году [53], в решетке тождественно вклю-чительных многообразий — Е. С. Ляпиным в 1975 году [25]. Атомы решетки I)-многообразий полугрупп описаны С. Ю. Кулабуховым в 1996 году [20].

Представляется вполне естественным и актуальным исследование решетки классов алгебраических систем, определяемых универсальными формулами. Абстрактной характеристике решетки всех универсальных классов алгебр с одной унарной операцией посвящены работы Б. А. Гильмана 1983 - 1985 года [11], [12] . Так им описаны неразложимые элементы, цепные элементы и все конечные идеалы этой решетки, даны необходимые и достаточные условия существования элементов, сильно покрывающих элементы решетки.

К этому направлению относится и данная работа. Более точно, основной целью данной работы является изучение универсально аксиоматизируемых классов полугрупп с точки зрения решеток, которые они образуют. При этом главный акцент делается на исследование покрывающих, в частности, покрывающих атомов этой решетки.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь Е. С. Ляпина [41], на международной геометрической школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова [44], на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (г. Таганрог), многократно на Ростовском городском семинаре по теории полугрупп (г. Ростов-на-Дону).

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Ссылка на тот или иной пункт состоит из тройки: номер главы, параграфа, пункта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перепелкина, Ольга Анатольевна, 2003 год

1. Айзенштат А. Я. О покрытиях в решетке многообразий полугрупп./ / Современный анализ и геометрия. Сб. науч. трудов. Л., 1972. С. 2-9

2. Айзенштат А. Я. Покрытия нильпотентных многообразий полугрупп./ / Современная алгебра. Сб. науч. трудов. Л., 1980. С. 311.

3. Айзенштат А. Я., Богута Б. К. О решетке многообразий полугрупп/ / Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Сб. науч. трудов. Л., 1979. С. 3-46.

4. Биргоф Г. Теория решеток. М., 1984 г., 568 с.

5. Бирюков А.П. Многообразия идемпотентных полугрупп. Алгебра и логика. Семинар. 1970. Т. 9. 3. С. 255-273.

6. Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных циклических групп// Современная алгебра. Межвуз. Сб. науч. трудов. Ростов-на-Дону, Вып. 2 (22), 1997. С. 6-10.

7. Богута Б. К. О покрытиях многообразий и удвоении решеток// Современная алгебра. Сб. науч. трудов. Л., 1980. С. 10-17.

8. Богута Б. К., Николаев А.М. Заметка о покрытиях полугрупповых многообразий/ / Современная алгебра Сб. науч. трудов. Л., 1980. С. 12-17.

9. Братчиков С. Н. Тождественно включительные многообразия полурешеток// Современная алгебра. Межвуз. Сб. науч. трудов. Ростов-на-Дону, Вып. 2 (22), 1997. С. 18-25.

10. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М., 1976. 648 с.

11. Гилъман Б. А. Абстрактная характеристика конечных решеток универсальных классов// 18 Всесоюз. конф. по алг. Тез. док. Кишинев, 1985. С. 114.

12. Билъман Б. А. Неразложимые элементы решеток универсальных классов// Изв. ВУЗов. Математика. №12. 1983. С. 58-60.

13. Горбунов В. А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость// Алгебра и логика. Семинар. 1977. Т. 16. №5. С. 507-548.

14. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М., 1977. 240 с.

15. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 1. 287 с.

16. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 2. 422 с.

17. Кублановский С. И. О финитной апроксимируемости предмно-гообразий полугрупп относительно предиатов// Современная алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980, С. 58-88.

18. Кублановский С. И, Кривенко В.М. Полугруппы, аппроксимируемые двухэлементными полугруппами// XXIX Герценовские чтения. Математика. 1978.С. 24-26.

19. Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1996. Вып. 1. С. 41-48.

20. Кулабухов С. Ю. О решетке Б-многообразий конечных полугрупп// Междунар. геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1996. С. 116-117.

21. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1973.

22. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М., 1985. 440 с.

23. Лысенко Ф. Ф. Эквационалъные теории, филътроыванные арифметическими функциями// Полугрупповые исслндования отображений. Межвуз. сб.науч.трудов. Л., 1989, С. 40-54.

24. Ляпин Е. С. Полугруппы. М., 1960. 592 с.

25. Ляпин Е. С. Атомы решётки тождественно включительных многообразий полугрупп// Сиб. мат. жур. 1975. Т. XVI. №6. С. 12241230.

26. Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа// Современная алгебра (сборник). Л., 1978. С. 118-133.

27. Ллпин Е. С. Порождаемость классов полугрупп при помощи гомоморфизмов/ / Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 3953.

28. Мальцев А. И. Об умножении классов алгебраических систем// Сиб. мат. жур. 1967. 8. №2. С. 346-365.

29. Мальцев А. И. Универсально-аксиоматизируемые подклассы локально-конечных классов моделей// Сиб. мат. жур. 1967. 8. №5. С. 1005-1014.

30. Мальцев А. И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и логики// Межд. конгресс мат. М., 1966. М., 1968. С. 217-231.

31. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

32. Машевицкий Г. И, Многообразия, порожденные вполне 0-простыми полугруппами. Полугруппы и их гомоморфизмы. Меж-вуз. сб.науч. труд. Л., 1991.

33. Нейман X. Многообразия групп. М., 1969. 264 с.

34. Ольшанский А. Ю. Многообразие финитно апросимируемых групп// Изв. АН СССР т.33, 4, 1969, С. 915-927.

35. Перепелкина О. А. Об универсально аксиоматизируемых классах полурешеток// Сб. раб. аспир. и мол. преп. РГПУ 1998. С. 90-94.

36. Перепелкина О. Л. О решетке универсально аксиоматизируемых классов полурешеток// Трет. Сиб. когресс. по прик. и ин. матем. Н., 1998. С. 24.

37. Перепелкина О. А. О некоторых атомах полурешетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп// Современнаяалгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1998. Вып. 3(23). С. 45-52.

38. Перепелкина О. А. Атомы полурешетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1999. Вып. 4(24). С. 55-59.

39. Перепелкина О. А. Об одном атоме полурешетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 1999. Вып. 4(24). С. 6066.

40. Перепелкина О. А. Атом решетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп, с наименьшим элементом — ОТ.// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д, 2000. Вып. 5(25). С. 36-38.

41. Перепелкина О. А. Атомы полурешетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп/ / Междунар. конф. "Полугруппы: теореия и приложения" в честь Е. С. Ляпина. Тез. докл. Сб., 1999. С. 96-97.

42. Перепелкина О. А. Об универсально аксиоматизируемых классах полугрупп, покрывающих многообразие полурешеток// Междунар. геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1998. С. 205.

43. Перепелкина О. А., Бобрикова Л. Н. Коммутативные универсально аксиоматизируемые покрытия групповых атомов решетки многообразий полугрупп// Междунар. геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1998. С. 205-206.

44. Перепелкина О. А. Об одном атоме полурешетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп// Междунар. геометрическая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2000. С. 116-117.

45. Плоткин Б. И., В овей С. М. Многообразия представлений групп. Рига, 1983.

46. Canup М. В., Голубое Э.А. Многообразия финитно апроксими-руемых полугрупп. Изв. вузов, 1982, 11(246) с.21-29.

47. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1982. 160 с.

48. Туманов В. И. Конечные дистрибутивные решетки многообразий// Алгебра и логика. Семинар. 1983. Т. 22 №2. С. 168-181.

49. Трахтман А. Н. О покрывающих элементах в структуре многообразий алгебр// Мат. зам. 1974. Т. 15 №2. С.307-312.

50. Шеврин Л. Н. . Элементарные структурные свойства полугрупп// Сиб. мат. жур. сб. 1966. т.7 №3. С. 664-684.

51. Шеврин Л. Н., Волков М. В. Тождества полугрупп// Изв. вуз. математика сб. 1985. №11. С. 3-47.

52. Evans Т. The lattice of semigroup varieties// Semigroup Forum. 1971. 2. №1. P. 1-43.

53. Kalicky J., Scott D. Eguational completeness of abstract algebras// Proc. Koninkl. nederl. acad. wet. 1955. A. 58. №5. P. 650-659. Русский перевод: Эквациональная полнота абстрактных алгебр// Ки-берн. сб. №2. 1961. С. 41-52.]

54. Ljapin E. S. Semigroups. Third edition. 1974. Amer. Math. Soc. Chapter XII.

55. Ljapin E. S. Identities valid globaly in semigroups// Semigroup Forum. 1982. V. 24. P. 263-269.

56. Ljapin E. S. Weakly free semigroups in identity inclusive varieties// Semigroups. Colloquia. Mathematica Societatis Janos Bolyai. 39. North-Holland, 1985.

57. Lyndon R. C. Properties preserved under homomorphism// Pacific J. Math. 1959. 9. P. 143-154.