Коллективные тождества полугрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Братчиков, Сергей Николаевич

• Братчиков, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Братчиков, Сергей Николаевич

Введение

§ 1. Основные результаты диссертации

§ 2. Основные определения и обозначения

Глава I. Коллективные тождества в клаесах полугрупп

§ 1. Коллективные тождества эксклюзивных полурешеток

1.1. Предварительные сведения

1.2. Тождественные включения полугрупп с внеш-

ними нулем или единицей

1.3. Тождественные включения некоторых экслю-

зивных полурешеток

1.4. Решетка всех коллективных многообразий эк-

склюзивных полу решеток

§ 2. Коллективные тождества аннулирующих связок полугрупп

2.1. Тождественные включения последовательно аннулирующих связок полугрупп

2.2. Тождественные включения конечной галоид-

ной полугруппы

2.3. Тождественные включения взаимно аннулирующих связок полугрупп

Глава II. Аксиоматизируемость и базируемость коллективных многообразий

§ 1. Коллективные и дизъюнктивные многообразия

1.1. Предварительные сведения

1.2. Не аксиоматизируемые коллективные многообразия

1.3. Коллективные многообразия, являющиеся дизъ-

юнктивными

1.4. Слабо свободные полугруппы в коллективных

многообразиях

§ 2. Отношение следования для коллективных тождеств

2.1. Предварительные сведения и определения

2.2. Механизм получения следствий для коллективных тождеств

2.3. Решетка коллективных подмногообразий мно-

гообразия П (хур = х,ху — ух)

2.4. Бесконечные совокупности коллективных тож-

деств в классе коммутативных полугрупп

Глава III. Конечная базируемость трехэлементных полугрупп

§ 1. История вопроса

§ 2. Коллективные тождества трехэлементных полугрупп

2.1. Предварительные сведения

2.2. Коллективные тождества полугрупп с внеш-

ними нулем или единицей

2.3. Коллективные тождества полугрупп без внешних нуля или единицы

§ 3. Конечная базируемость трехэлементных полугрупп

3.1. Предварительные сведения, известные факты

3.2. Конечная базируемость трехэлементных по-

лугрупп с внешними нулем или единицей

3.3. Конечная базируемость трехэлементных по-

лугрупп без внешних нуля или единицы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коллективные тождества полугрупп»

Введение

Бурное развитие теории полугрупп, произошедшее за последние несколько десятилетий, сопровождается развитием методов исследований, в процессе которого возникают все новые и более общие конструкции и подходы. Одним из таких подходов к изучению классов полугрупп, является использование языка первой ступени, впервые предложенное А. И. Мальцевым (например, [31]) для классификации алгебраических систем в соответствии с их свойствами. Такой, достаточно общий подход, может быть разделен на несколько самостоятельных направлений, значимость которых, в настоящий момент, не вызывает сомнений. К числу таковых относятся теории многообразий, квазимногообразий и дизъюнктивных многообразий полугрупп.

Но как известно, не все свойства полугрупп можно выразить с помощью языка первой ступени. Использование же языка второй ступени представляется крайне затруднительным в силу отсутствия, в общем случае, логической простоты утверждений. Этим и продиктована необходимость в использовании конструкций, которые с одной стороны являлись бы некоторым обобщением ряда "классических" понятий и, с другой стороны, были бы достаточно наглядны и естественны.

Одной из таких конструкций является понятие коллективного тождества, введеное Е. С. Ляпиным в работе [30] в 1991 году. Там же показано, что понятие тождественного включения, введенного ранее, в 1974 году в XII главе монографии [44], эквивалентно понятию коллективного тождества с точки зрения выполнимости в полугруппах.

Коллективные многообразия (определяемые коллективными тождествами классы полугрупп) неоднократно исследовались различными авторами. Основополагающими для теории работами являются исследования Е. С. Ляпина. Им описаны (см. [26, 27]) некоторые участки решетки коллективных многообразий, введено понятие полугруппы, слабо свободной в классе и доказано существование таких полугрупп в некоторых коллективных многообразиях (см. [46]). Строение некоторых коллективных многообразий изучалось в работах А. Е. Евсеева (см. [13, 14])."Проблема конечного базиса для коллективных тождеств рассматривалась Г. И. Машевицким (см. [47]). Отметим также работы Л. Н. Бобриковой [2, 3, 40] и Г. А. Шестакова [37], посвященные изучению коллективных тождеств полугрупп.

Известно, какую важную роль в теории полугрупп (да и вообще алгебраических систем) играет понятие тождества. Достаточно указать обзорные статьи Т. Evans [41], А. Я. Айзенштадт и Б. К. Бо-гуты [1], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [36], посвященные этому направлению.

Понятие коллективного тождества является достаточно естественным обобщением понятия тождества. Поэтому теорию многообразий можно рассматривать как часть теории коллективных многообразий. В связи с этим, в теории коллективных тождеств остается актуальной проблематика теории тождеств. Тем не менее, первая

имеет существенные отличия по многим вопросам. В настоящей работе будут выявлены некоторые из них.

Другим обобщением понятия тождества является дизъюнктивное тождество (позитивная V-формула языка I ступени). Связь между коллективными и дизъюнктивными многообразиями ранее уже рассматривалась, например, С. Ю. Кулабуховым (см. [17]). В данной работе так же будут выявлены некоторые соотношения между ними.

Помимо того, что теория коллективных многообразий включает в себя достаточно развитое направление теории полугрупп — теорию многообразий, интерес к ней продиктован так же тем, что многие классы полугрупп, привлекающие внимание исследователей, являются коллективными многообразиями.

Приведем примеры таких коллективных многообразий.

1. И{х\х2 ё {^1, Х2}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество является подполугруппой. Полугруппы этого

класса не раз исследовались различными авторами. При помощи

>

конструкции последовательно аннулирующей связки они описаны в работе Е. С. Ляпина [24].

2. П(жхж2£з ё {яъ-£2,жз}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество тернарно замкнуто. Строение полугрупп этого класса описано Е. С. Ляпиным [29].

3. ЩХ1Х2Х3 ё {x\x2->%2%z,xi%z}) — класс эксклюзивных полугрупп. Строение данного класса полугрупп неоднократно изучалось различными авторами (Т. Tamura [52], L. О'Corroí и Б. М. Шайн [48], М. Jamada [42]).

" 4. П({ж, у, ху} = {ж, у, ух}) — класс полугрупп, у которых произ-

ведение любых двух неперестановочных между собой элементов равно одному из сомножителей.

5. П(хуг ё {х,у, г,ху,у:г}) — класс полугрупп, в которых всякое подмножество является катенарно ассоциативным (подмножество В полугруппы А называется катенарно ассоциативным если (Ух, у, г € В)(ху,уг € В =Ф- хуг € В). Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами изучались А. Е. Евсеевым [14].

6. П(ху ё {х, ж2,...}) — класс полугрупп, в которых каждая подполугруппа есть правый идеал (данный класс совпадает с классом П(жу ё {х2,х3}) [13]). Полугруппы этого класса изучались Э. Г. Шутовым [38, 39]. Им получены структурные теоремы и, по-видимому, впервые показана аксиоматизируемость этого класса.

7. Щху ё {у,х,х2,.. .},ху ё {х,у,у2,...}) — класс полугрупп, в которых все подполугруппы единично идеальные. Описание полугрупп, принадлежащих данному классу получено Е. С. Ля-пиным и А. Е. Евсеевым [23].

8. И(Х1Х2 ... хп ё {х\,х\,..., Х2, х2, ■. ■, хп, ж2,...}) — класс полугрупп, в которых объединение любых п подполугрупп является подполугруппой. Некоторые подклассы такого коллективного многообразия для п = 2 описаны А. Е. Евсеевым [13].

9. П(х1Х2Хз = У1У2УЪ,ХУ% ё {ху,уг}) — класс всех трехступен-но нильпотентных полугрупп, каждая из которых вложима в некоторую вполне 0-простую полугруппу.

Наиболее близкими к понятию коллективного тождества [коллективного многообразия], как уже отмечалось выше, являются понятия тождества [многообразия] и дизъюнктивного тождества [дизъюнктивного многообразия].

Проблематика в изучении и характеризации коллективных тождеств, очевидно, заимствована из теории многообразий. Она включает в себя:

1) описание коллективных теорий полугрупп;

2) характиризацию решеток коллективных подмногообразий коллективных многообразий;

3) вопросы базируемости коллективных тождеств.

Изучение связи коллективных многообразий с дизъюнктивными приводит к рассмотрению следующих вопросов:

4) аксиоматизируемость коллективных многообразий полугрупп;

5) порождаемость коллективных многообразий некоторыми своими полугруппами при помощи гомоморфизмов.

При выполнении этой работы автор придерживался этого плана.

§ 1. Основные результаты диссертации.

Настоящая работа посвящена изучению коллективных тождеств и классов полугрупп, ими определяемых.

Цель работы заключается в исследовании общих свойств коллективных тождеств и коллективных многообразий, а так же в выявлении, коллективных тождеств, выполняющихся в различных классах полугрупп.

В качестве методов исследования используются некоторые методы теории многообразий полугрупп (в основном анализ и описание эква-циональной теории), общеполугрупповые, а так же некоторые методы из теории множеств и упорядоченностей.

Известно (см. [26]), что коллективные многообразия образуют относительно включения полную решетку Ее, атомы которой исчерпываются коллективными многообразиями:

ГI = П (ху = х), Гг == П (ху = у),

г5)2 = П(ху = ух,х2 = х,ху ё {х,уг}),

Г9,Р = ЩХУ = УХ1 хРУ = У,х € {У,У2, - ■ ■ ,УР, ХУ}),

где коллективные многообразия Г/, Гг, Го совпадают с многообразиями полугрупп левых нулей, правых нулей и полугрупп с нулевым умножением соответственно, а Т3>2 и Г9;Р состоят из двух полугрупп: одноэлементной и, в первом случае двухэлементной полурешетки, а во втором — группы простого порядка р.

Дизъюнктивные многообразия также образуют полную решетку Ед [17], среди атомов которой есть коллективные многообразия Г5;2

и Г5)Р, остальные исчерпываются дизъюнктивными многообразиями:

Го,2 = П(ж — у V у — г V х = 2, ху — Гг;2 = П(® = у V у — г V х = г, ж = ху)] ГГ;2 = П(ж = уУу = хУх = г,х = ух).

Эти классы состоят из одноэлементной полугруппы и двухэлементной из соответствующего многообразия — Го, Г/, Гг.

Класс всех эксклюзивных полурешеток является коллективным многообразием П(ху = ух,х2 = х,хух Е {ху,хг,уг}).

В первом параграфе главы I (теорема 1.1.15) описана решетка всех коллективных многообразий эксклюзивных полурешеток.

Описание эквациональной теории конечной голоидной полугруппы дано в [28]. В работе [27] дано описание коллективных тождеств, выполняюющихся в произвольной полугруппе, разложимой в последовательно аннулирующую связку своих подполугрупп.

В первом параграфе первой главы описаны коллективные тождества полугрупп с внешними нулем или единицей (теорема 1.1.3). Тем самым описание, данное в работе [27] несколько уточняется. Во втором параграфе первой главы в качестве следствия приведенного уточнения дано описание коллективных тождеств конечной голоидной полугруппы (следствие 1.2.4). Там же описаны (теорема 1.2.5) коллективные тождества полугрупп, разложимых во взаимно аннулирующую связку своих подполугрупп некоторого вида. Показано, что решетки коллективных подмногообразий некоторых коллективных многообразий, состоящих из полугрупп, разложимых в аннулирующую связку, конечны (следствия 1.2.2 и 1.2.7).

Коллективные многообразия можно условно разделить на два вида — аксиоматизируемые (они же коллективные многообразия, явля-

ющиеся дизъюнктивными) и не аксиоматизируемые (замечания II. 1.5 и П.1.6). В связи с этим возникает необходимость совместного исследования решеток Ес и Ед. В первом параграфе главы II выявлены некоторые их соотношения.

Понятие полугруппы, свободной в некотором классе полугрупп играет важную роль в теории полугрупповых многообразий. Е. С. Ля-пин в работе [46] ввел понятие слабо свободной в классе полугруппы, которое представляет собой достаточно естественное обобщение понятия свободной полугруппы в классе. Благодаря работам [46] и [18] известно, что аксиоматизируемые коллективные многообразия обладают слабо свободными полугруппами, которые порождают их при

помощи гомоморфизмов. В пункте II. 1.1 указаны не аксиоматизируе-

<

мые коллективные многообразия, обладающие таким свойством, а в пункте II. 1.4 — не аксиоматизируемые коллективные многообразия, им не обладающие.

Во втором параграфе II главы приведены способы получения некоторых следствий для коллективных тождеств. В качестве иллюстрации их совместного использования с механизмом получения следствий для дизъюнктивных тождеств дано описание решетки всех коллективных подмногообразий группового атома решетки многообразий полугрупп (теорема II.2.7), а также показано, что тождество коммутативности не включается в бесконечную неприводимую совокупность коллективных тождеств некоторого вида (теорема II.2.11).

Во втором параграфе главы III описаны коллективные тождества каждой из трехэлементных полугрупп. Это необходимо для получения основного результата III главы.

На протяжении многих лет оставался открытым вопрос, постав-

ленный в 1966 году А. Тарским, о нахождении наименьшего порядка полугруппы, не имеющей конечного базиса тождеств (полную историю вопроса см., например, в [36] или в параграфе I главы III). Усилиями нескольких авторов (полная библиография указана в [36]) этот вопрос был окончательно решен А. Н. Трахтманом в 1991 году (см. [35]): минимальная полугруппа, не имеющая конечного базиса тождеств шестиэлементна.

Г. И. Машевицким в работе [47] приведен пример конечной полугруппы, не имеющей конечного базиса коллективных тождеств. Из результатов работы [26] следует, что любая двухэлементная полугруппа имеет конечный базис коллективных тождеств.

Закономерен вопрос: каков наименьший порядок полугруппы, не имеющей конечного базиса коллективных тождеств?

В теореме Ш.3.10 доказано, что каждая трехэлементная полугруппа имеет конечный базис коллективных тождеств, тем самым положено начало изучению указанного вопроса.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Ссылка на тот или иной пункт состоит из тройки: номер главы, параграфа, пункта. Нумерация лемм, теорем и др. общая внутри параграфов.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции памяти Д. К. Фаддеева [7] (Санкт-Петербург, 1997), на международной конференции, посвященной памяти профессора Л. М. Глускина [6] (Славянск, 1997), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С. Л. Соболева [9] (Новосибирск, 1998), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова [10]

(Ростов-на-Дону, 1998), на заседаниях 'Терценовских чтений" (Санкт-Петербург, 1997-1998), на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (Ростов-на-Дону) и на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (Таганрог) .

§ 2. Основные определения и обозначения.

В рамках данной работы X будет обозначать фиксированный счетный алфавит, Р(Х) и — свободную полугруппу над X

и свободную полугруппу над X с присоединенным пустым словом соответственно. Для отображения <£> из X в некоторую полугруппу б' и слова и = ... Хгп через <р(и) будем обозначать элемент полугруппы 5, равный . . . (р(х1п).

Для непустых подмножеств 17, V С Р(Х) выражение вида 17 = V называется коллективным тождеством (к. тождеством).

Если и Е Р(Х) и У —непустое подмножество Р(Х), то выражение вида и Ё V называется тождественным включением (т. включением) .

Коллективное тождество 17 = У [т. включение и Ё V] выполняется в полугруппе 5 если при любом отображении X в имеет место <р(17) = <р(У) [<р(и) Е ф(У) ]•

Легко видеть, что в случае 17 = {и}, У = {г?} [ У = {г>} ] к. тождество 17 == V [т. включение и Ё V] является тождеством и = V.

Если в к. тождестве 17 = У [т. включении и Ё V] выполняется условие 17 = V [ (Зг> Е У) (и ~г>)] (отношение ~ означает графическое совпадение слов), то это к. тождество [т. включение] выполняется в любой полугруппе. Будем называть его тривиальным.

Всякое т. включение эквивалентно некоторому к. тождеству и всякое к. тождество эквивалентно некоторой системе т. включений [30]. Действительно, т. включению и Ё У эквивалентно к. тождество V и и = У, а к. тождеству {щ,и2,...} = {г>ь г>2,...} эквивалентна

система т. включений:

VI ё {щ,и2,...},У2 ё {щ,и2,...},... •

Это значит, что исследования к. тождеств произвольных классов можно проводить в терминах т. включений.

В соответствии с [17] назовем дизъюнктивным тождеством (или Б-тождеством) замкнутую формулу вида (\/жх ... хь){щ = V = У2 V ... V ип = уп), где хх,..., Хк 6 X. Для краткости будем писать щ = VI V и2 = у2 V ... V ип — уп.

Будем называть к. тождество и = V [т. включение и ё V] к. тождеством [т. включением] бесконечной длины в случае, когда V или и [V} бесконечно. Если т < п, II = {их,... ,ит} и V = {г>1,..., уп}, то к. тождество и = V [т. включение и ё V) будем называть к. тождеством [т. включением] длины п. Иногда такое т. включение будем рассматривать как дизъюнктивное тождество и = V ... V и = г>п, а к. тождество в соответствии с (1) — как совокупность дизъюнктивных тождеств. Если и ж V конечны [V конечно], то к. тождество и = V [т. включение и ё V] будем называть к. тождеством [т. включением] конечной длины.

Символами будем обозначать элементы алфавита X, и,

у, и> — слова над X, а /7, V, ]¥ — непустые множества слов над X (во всех случаях могут присутствовать индексы, апострофы и др.).

Пусть и 6 Р(Х). Определим следующие понятия.

1. 1(и) — длина слова щ

2. Н(и) [¿(и)] —первая [последняя] буква слова и;

3. Ь(и) — множество всех букв, входящих в запись слова щ

4. — число вхождений символа х в слово щ

5. Нж(п) [Тж(п)] — наибольшее начальное [конечное] подслово слова и, не содержащее символа х (понятно, что Нж(п) = Тх(и) лишь в случае х ф Ъ{и));

б: ЬН®(и) = Ь(На?(и)) [ЬТж(гх) =Ь(Т®(м))].

Если У С F(X), то Ь(У) = и Ь(г>). Если а есть к. тождество и = V [т. включение и ё У], то Ь(гт) = Ъ(и) и Ь(У) [Ь(<т) =

ВД иь(У)].

Коллективное тождество II = У, для которого существует биек-ция <р: и —>• У такая, что

(Уи е 11)(Ух € ЦииУ))(Т>х(и) = Вх{(р{и))),

называется уравновешенным, а т. включение и ё V называется уравновешенным, если

(Зу е У)(Уж € Ци)иЬ(у))(Вх(и) = Вх(у)).

Понятно, что уравновешенное к. тождество (т. включение) выполняется в любой коммутативной полугруппе.

Для т. включения и ё У множество {у £ У | Ь(г>) С Ь(-и)} обозначим через У. Понятно, что У может быть пустым.

Для т. включения а = (и ё У) обозначим через а' т. включение и ё У. Понятно, что т. включение и 6 У существует лишь при условии У ф 0.

Пусть т. включение и\ ё У получено из т. включения и ё У, где У ф 0 и Ь(п) С Ь(У), путем удаления всех вхождений некоторого (возможно пустого) множества символов. Будем говорить в этом

случае, что и± Ё У\ получено при помощи вычеркивания из т. включения и £ V. Совокупность всех т. включений, полученных из и Ё V при помощи вычеркивания обозначим через Ех (и € V).

Пусть Г — некоторый класс полугрупп. Совокупность к. тождеств [тождеств], выполняющихся в каждой из полугрупп класса Г, будем называть коллективной теорией (к. теорией) [эквациональной теорией] класса Г и обозначать через 0(Г) [0(Г)]. В силу (1) будем считать, что т. включение, выполняющееся в полугруппах класса

л ___

Г принадлежит в (Г). 01)(Г) будет обозначать совокупность всех Б-тождеств, выполняющихся в полугруппах класса Г.

В работе [2] вместо термина "коллективная теория" употребляется "инклюзивная теория". Это связано с тем, что в указанной работе не упоминаются к. тождества, хотя, как было отмечено ранее, все ее результаты, сформулированые для т. включений, можно использовать для к. тождеств.

Класс, состоящий из всех полугрупп, в каждой из которых выполняется совокупность тождеств [к. тождеств, Б-тождеств] Ф называется многообразием [коллективным многообразием (тождественно включителъным многообразием;), дизъюнктивным многообразием (Б-многообразием)] и обозначается П(Ф). Будем говорить в этом случае, что класс П(Ф) определяется (или задается) совокупностью Ф, а Ф является базисом класса П(Ф).

Будем говорить, что к. многообразие [многообразие, Б-многооб-разие] Г порождается классом Д, если Г является пересечением всех к. многообразий [многообразий, Б-многообразий], содержащих А, или Г = П6(Д) [Г = Йе(Д), Г = П©я(Д)].

Будем говорить, что формула <т следует из совокупности фор-

мул Ф в классе Г, если она истинна на любой полугруппе класса Г, на которой истинна каждая формула из Ф. Аналогично определяется отношение следования для к. тождеств.

Будем говорить, что совокупность Ф неприводима в классе Г, если никакая формула [к. тождество] а 6 Ф не следует из Ф \ а в классе Г.

Если Ф есть конечная совокупность к. тождеств [тождеств, В-тож-деств], то о классе П(Ф) будем говорить, что он имеет конечный базис (или обладает конечным базисом) к. тождеств [тождеств, В-тож-деств].

Если совокупность Ф определяет П9(А) [П©(А), П6д(А),], то будем называть Ф базисом к. тождеств [тождеств, Б-тождеств] класса А.

Если Ф является базисом класса АиФ неприводима в классе Г, то Ф будем называть неприводимым базисом класса А в классе Г. В случае, когда Г есть класс всех полугрупп, будем говорить, что Ф является неприводимым базисом.

Класс полугрупп называется наследственным или замкнутым относительно подполугрупп [замкнутым относительно гомоморфных образов], если вместе с каждой полугруппой он содержит все ее подполугруппы [гомоморфные образы].

Класс полугрупп называется мулътипликатикно замкнутым, если вместе с каждой системой полугрупп он содержит и их декартово произведение.

Напомним, что класс полугрупп является многообразием тогда и только тогда, когда он наследственен, мультипликативно и гомоморфно замкнут.

Будем придерживаться также обозначений: О — полугруппа с нулевым умножением; Ь [Я] — полугруппа левых [правых] нулей; (7П — циклическая группа порядка п;

• 5'° [ б'1 ] — полугруппа, получаемая из Б путем присоединения внешнего нуля [единицы];

£01

— полугруппа (50)1; N — множество натуральных чисел;

Л/*; — множество натуральных чисел, не превосходящих к.

Если ¿>1 и Б2 есть полугруппы, то С Б2 будет озачать, что является подполугруппой полугруппы 5*2 • Будем так же говорить в этом случае, что £1 содержится в £2, а £2 содержит 5]..

Полугруппу, одним из гомоморфных образов которой является не менее чем двухэлементная цепь, будем называть цепью полугрупп, классы соответствующей конгруэнции — компонентами и если некоторый класс является единицей или нулем указанной цепи, то его будем называть единичной или нулевой компонентой соответственно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Братчиков, Сергей Николаевич, 1999 год

Литература.

[1] Айзенштадт А. Я., Богута Б. К. О решетке многообразий полугрупп/ / Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Сб. науч. трудов. Л., 1979. С. 3-46.

[2] Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных циклических групп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2(22). С. 6-9.

[3] Бобрикова Л. Н. Решетка тождественно включительных многообразий тернарно замкнутых полугрупп// Третий сиб. конгр. по прикладн. и индустр. матем., посвягц. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 6.

[4] Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных моногенных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 8-10.

[5] Братчиков С. Н. Об одном операторе замыкания полугрупповых многообразий// Междунар. геометр, школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1996. С. 100-101.

[6] Братчиков С. Н. О тождественно включительных многообразиях полурешеток// Междунар. алгебраич. конф., посвящ. памяти проф. Л. М. Глускина. Славянск, Украина, 1997. С. 3.

[7] Братчиков С. Н. О решетке тождественно включительных многообразий полугрупп идемпотентов// Междунар. алгебр, конф. пам. Д. К. Фаддеева. С.-Петербург, 1997. Тез. докл. С. 172-173.

[8] Братчиков С. Н. Тождественно включительные многообразия полурешеток// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2 (22). С. 18-24.

[9] Братчиков С. Н. Решетка тождественно включительных многообразий полугрупп с единственным порождающим множеством// Третий сиб. конгр. по прикл. и индустр. матем., посвящ. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 8.

[10] Братчиков С. Н. О существовании слабо свободных полугрупп в тождественно включительных многообразиях полугрупп/ / Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1998. С. 182-183.

[11] Братчиков С. Н. Тождественные включения аннулирующих связок полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 27-31.

[12] Братчиков С. Н. Конечная базируемость коллективных тождеств трехэлементных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 3242.

[13] Евсеев А. Е. Полугруппы с некоторыми степенными тождественными включениями// Алгебраические системы с одним действием и отношением. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1985. С. 21-32.

[14] Евсеев А. Е. Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами// Современная алгебра, (в печати)

[15] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М., 1977. 240 с.

[16] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 1. 287 с. Т. 2. 422 с.

[17] Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами/ / Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1. С. 41-48.

[18] Кулабухов С. Ю. Слабо свободные полугруппы в дизъюнктивных многообразиях// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1. С. 49-55.

[19] Кулабухов С. Ю. О решетке Б-многообразий конечных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2 (22). С. 50-55.

[20] Кулабухов С. Ю. Теорема о полноте для полугрупповых дизъюнктивных тождеств// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 78-85.

[21] Ляпин Е. С. Нормальные комплексы ассоциативных систем// Известия АН СССР. Математика. 1950. Т. 14. №2. С. 179-192.

[22] Ляпин Е. С. Полугруппы. М., 1960. 592 с.

[23] Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Полугруппы, у которых все подполугруппы единично идеальные// Изв. ВУЗов. Математика. 110 (101). 1970. С. 44-48.

[24] Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугрупп/ / Теория полугрупп и ее приложения, Вып. 2, Саратов. 1971. С. 41-50.

[25] Ляпин Е. С. О включении полугрупповых тождеств в бесконечные неприводимые совокупности// Мат. заметки. 1972. Т. 12. №1. С. 95-104.

[26] Ляпин Е. С. Атомы решетки тождественно включительных многообразий полугрупп// Сиб. мат. ж. 1975. Т. 16. №6. С. 12241230.

[27] Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1978. С. 118-133.

[28] Ляпин Е. С. Тождества последовательно аннулирующих связок полугрупп// Изв. ВУЗов. Матем., 1979, №1. С. 38-45.

[29] Ляпин Е. С. Полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты// Алгебраические действия и упорядоченности Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1983. С. 82-88.

[30] Ляпин Е. С. Порождаемость классов полугрупп при помощи гомоморфизмов/ / Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 3953.

[31] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

[32] Плоткин Б. И., Вовси С. М. Многообразия представлений групп. Рига, 1983, 338 с.

[33] Свердловская тетрадь. Нерешенные вопросы теории полугрупп. Свердловск. 1979. 41 с.

[34] Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1982.

[35] Трахтман А. Н. Конечность базиса тождеств пятиэлементных полугрупп// Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 7697.

[36] Шеврин Л. Н., Волков М. В. Тождества полугрупп// Изв. ВУЗов. Математика, №11, 1985, С. 3-47.

[37] Шестаков Г. А. Не аксиоматизируемые тождественно включи-тельные многообразия полугрупп// Третий сиб. конгр. по прикл. и индустр. матем., посвящ. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 32.

[38] Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами// Мат. сб. 1962. 57 (99). №2. С. 179-186.

[39] Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1975. Вып. 3. С. 134-158.

[40] Bobricova L. N. On semigroup identical inclusive varieties, not being varieties// Quasigroups. Kishinev, (в печати)

[41] Evans Т. The lattice of semigroup varieties// Semigroup Forum. 1971. 2. №1. P. 1-43.

[42] Jamada М. Note on exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №2. P. 160-167.

[43] Kulabuhov S. Problem of deriving of corollaries from disjunctive identities of semigroups// Quasigroups. Kishinev, (в печати)

[44] Ljapin E. S. Semigroups. Third ed. AMS. 1974. Chapter XII.

[45] Ljapin E. S. Identities valid globaly in semigroups// Semigroup Forum. 1982. V. 24. P. 263-269.

[46] Ljapin E. S. Weakly free semigroups in identity inclusive varieties/ / Semigroups. Colloquia* Mathematica Societatis Janos Bolyai. 39. North-Holland, 1985.

[47] Mashevitzky G. On a finite basis problem for universal positive formulas// Algebra Universalis, 35 (1996) P. 124-140.

[48] O'Corrol L.; Shein В. M. On exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. №1. P. 338-348.

[49] Pelikan. J. On semigroups, in which products are equal to one of the factors// Per. Math. Hungar., V. 4 (2-3), 1973, P. 103-106.

[50] Perkins P. Bases for equational theories of semigroups// J. Algebra, V. 11, №2, 1969, P. 298-314.

[51] Reserch problems// Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 91-92.

[52] Tamura T. On commutative exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1971. V. 2. №2. P. 181-187.