Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Ложников, Дмитрий Андреевич

• Ложников, Дмитрий Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ложников, Дмитрий Андреевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Характеристика работы

1.2 Краткое содержание диссертации

1.2.1 Введение

1.2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта

1.2.3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта

1.2.4 Асимптотическое решение при малых временах

1.2.5 Распространение длинных волн над подводными банками

и хребтами

1.3 Благодарности

1.4 Публикации автора но теме диссертации

2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта

2.1 Постановка задачи

2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта

2.3 Алгоритм построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности регулярных точек фронта

2.4 Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами

2.5 Алгоритм вычисления суммы функций, построенных на сетках с

не совпадающими узлами

3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта

3.1 Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек

3.2 Примеры волновых фронтов и поведение основных величин вдоль фронта

3.3 Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронта

с асимптотикой для окрестности фокальных точек

3.4 Доказательство теоремы

4 Асимптотическое решение при малых временах

5 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами

5.1 Образование фокальных точек и волн над круглыми банками

5.2 Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появление пространственно-временных каустик

5.3 Поведение возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик: подводный хребет как генератор захваченных волн

5.4 Волны над кривыми хребтами

5.5 Алгоритм построения каустик

6 Заключение

Список литературы

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками»

Введение

1.1 Характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами. Для систем такого типа основная масса публикаций в математической литературе была посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение син-гулярностей (типа 6 -функции) и часто называемых "разложениями по гладкости" (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В. Гийемин, Ш. Стернберг и др. [1, 2, 3, 4]). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк [5, 6, 7, 8, 9, 10, И], В.М. Бабич, В.С. Вулдырев и Л.А.Молотков [12, 13, 14, 15], Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг [16], Л.М. Бреховских [17], А. Майда, В.Г. Данилов, Ле Ву Ань [18, 19, 20], В.В. Кучеренко [21], Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов [22], С.Ю. Доброхотов [23], [24], [25], [26], [27]. Публикаций, посвященных асимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в

математической литературе было существенно меньше. Для гиперболических систем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка [11]. На гиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщены в [28]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не очень эффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Подход к получению максимально эффективных формул для таких задач и основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах [29], [30]. Затем в разных ситуациях он был реализован в цикле работ С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я. Секерж-Зеньковича (отметим [31, 32, 33, 34, 35]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретных ситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точек фронтов), точек самопересечения фронтов, представления решения при малых временах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем с неременными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями. Отметим, что рассмотренные задачи для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованной системы уравнений мелкой воды возникают, в частности, при описании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами). Исследования таких волн проводятся как численными, так и аналитическими методами. Литература, посвященная проблеме цунами, очень обширна. Отметим работы Ю.И. Шокина, Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, A.C. Алексеева, В.К. Гусякова, К.В. Симонова, З.И. Федотовой и соавторов [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54], а также обзорные работы [55], [56], [57], [58], [59], [60], [61]. Также отметим монографию E.H. Пелиновского "Гидродинамика волн цунами", содержащую аналитические подходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [62], [63], [64]. Одна-

ко, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнему остается еще много интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение волн и визуализацией соответствующих аналитических формул.

Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболических систем. Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Маслова была высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задач математической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализации результатов математического моделирования. По-существу в диссертации соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн (порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном, включая волны над подводными банками и хребтами.

Цель работы. Основная цель работы — построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетом имеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками, над подводными неоднородностями, типа донных хребтов, а также изучение поведения асимптотического решения при малых временах.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестности точек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и бо-

лее участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделано сравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта с решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнений мелкой воды. Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решения практически совпадают.

В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости от степени разложения по степеням малого параметра асимптотического решения в окрестности фокальной точки.

В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах.

В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики.

Все алгоритмы запрограммированы на языке С/С++ и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.

Методика исследования основана на использовании квазиклассических асимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова для построения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией. Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик.

Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубывающими функциями, локализованными в окрестности фронтов. Поэтому здесь используется подход, предложенный в работах С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я. Тудоровского, позволяющий в результате интегрирования по дополнительному параметру, перейти от быстро убывающих решений к быстро осциллирующим, для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова, а затем упростить результаты, используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ.

Теоретическая и практическая ценность. Было проведено исследование асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Составлен алгоритм численной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения, описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами. Обнаружено явление образования цугов волн, порождаемых локализованными источниками в бездисперсионных средах.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на международной конференции "Days of Diffraction" в 2011 и 2012 гг, на конференции МФТИ в 2011, 2012 гг, на семинаре М.И. Вишика механико-математического факультета МГУ в 2012 г, на семинаре под руководством Г.М. Кобелькова и А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАН в 2013 г.

Публикации. Основные результаты публикации отражены в работах [65], [66], [67], [68]. Из результатов совместных работ в диссертацию автором включены результаты, полученные им лично.

1.2 Краткое содержание диссертации

1.2.1 Введение

Во введении делается обзор литературы, обосновывается актуальность работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, научная новизна, приводится список публикаций автора по теме диссертации.

1.2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта

Постановка задачи. Мы рассматриваем длинные волны в области с характерным размером Ь, порожденные локализованным источником с характерным размером I. Мы предполагаем, что I Ь. Данное предположение дает нам малый параметр ¡л = 1/Ь. Такие волны описываются линеаризованной системой уравнений мелкой воды в безразмерных переменных

^ + сИу{С2и)= 0, ^ + Уг/ = 0, С(х) = у/Щх), 1 = (Ж1112)6К2, (1.1)

г/|,=0 = тр (^-¡Р) > = 0. (1.2)

Здесь г](х, ¿) — возвышение свободной поверхности жидкости, 0{х) — глубина бассейна, т)°(г) — заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее, чем 5 > 1. Задача (1.1), (1.2) возникает, в частности, при моделировании распространения волн цунами в океане [69],[70].

В качестве основного примера начального возвышения свободной поверхности жидкости, мы используем следующую функцию (см. [32], [71], [72])

д

^^ = (1 + ^/602 + ^/62)2)3/2' (1"3)

где Ь\, 62, А — положительные параметры.

Построение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта. Довольно эффективные асимптотические формулы для решения задачи Коши с локализованными начальными данными были получены в работах [29], [30], [32], [33], [34], [35]. Сначала решение задачи (1.1), (1.2) локализовано в окрестности точки (точка соответствует положению источника). Затем решение локализовано в окрестности замкнутой кривой, которая сначала гладкая и близка к окружности, но впоследствии на ней могут появляться точки поворота и фокальные точки.

Рис. 1.1. Прохождение волнового фронта над круглой подводной банкой

Данная ситуация изображена на Рисунке 1.1, на котором изображен кусок волнового фронта в момент прохождения на круглой симметричной подводной банкой. Здесь точки А, С — это фокальные точки, В — это точка самопересечения фронта. Волновой фронт изображен жирной линией, дно изображено контурным графиком.

Согласно работам [30], [34], [35] асимптотика, соответствующая волновой части решения задачи (1.1), строится следующим образом. Рассмотрим 4-0

фазовое пространство Е^ х с координатами р = I ^ ], х = [ 1 ) , и 2Б

Р2 \

конфигурационное пространство М^ с координатами х. Рассмотрим в М^ следующую задачу Коши для системы уравнений Гамильтона с гамильтонианом Н(х,р) = \р\-С(х):

Р=-Нх = -\р\УС(х), х = Нр = щС(х),

р\1=о = п(^), х\^о = Х°, фе [0,2тг], (1.4)

где п(ф) — (соэ^, 8\пф)т. Обозначим через Т{ф, а, ¿), Х(ф, а, ¿) решения системы (1.4), удовлетворяющие начальным условиям р\^о = п(Ф) и х^=о = а-п(ф).

Положив а = 0, мы получаем вектор-функции Х(ф, £) = Х(ф, 0, ¿), Р(ф, ¿) = Т>(ф,0,1). При каждом фиксированном ф эти функции определяют характеристики в фазовом пространстве. Множество Г( концов этих характеристик в фиксированный момент времени £ и ф 6 [0, 2ж\ называется волновым фронтом в фазовом пространстве. Его проекция 7г = {я = Х(Ь,ф)\,ф Е [0, 27г]} на плоскость М^ называется волновым фронтом на плоскости. Кривая всегда гладкая. В противоположность ей, кривая ^ после некоторого момента времени I* может иметь точки самопересечения и фокальные точки. Асимптотика решения локализована в окрестности кривой 7но необходимо отметить, что максимум модуля возвышения \г)\ расположен около фронта а не прямо над ним. Фокальные точки определяются как точки, в которых равна нулю производная Хф = Щ — 0. Регулярными точками называются точки, в которых Хф ф 0.

Точку х из окрестности фронта 7^ можно зафиксировать с помощью двух координат: ф(х, ¿), у(х, ¿). Здесь ф(х, £) определяется из условия ортогональности вектора у = х — Х{ф,Ь) вектору Хф, касательному к 7( в точке Х(ф,{): {х — Х(ф, £), Хф(ф, ¿)) = 0. Также нам потребуется индекс Морса для каждой точки фронта Х(ф,1). Индекс Морса определяется как количество фокальных точек, лежащих на траектории {Х(ф,т),т Е [+0, £]}, или, что то же самое,

как число перемен знака у якобиана АеЬ(Х^Х^) на интервале [+0, ¿]. Также определим Со = С(х°) и фазу

S(t, х) = (P(ip{t, x),t),x- Х(ф(1, x),t)) = \l D{x^]x) t)) ■ У■ (1-5)

Теорема [30]: При £ > Ob некоторой окрестности волнового фронта 7 не зависящей от fi, и вне некоторой окрестности фокальных точек справедливо следующее соотношение:

г){:г, t) = y/JI^2 1 1 С°

xRe

Здесь и далее под 0(fia) понимается оценка в норме С(М2).

+ 0(>/2). (1.6)

Функция F(z, ф) имеет вид

р — Í7T / 4 roo

F(z, ф) = _= / Jpf¡°{p, ф)е{гр(1р, (1.7)

V¿7Г Jo

где fj°(z) —- это преобразование Фурье функции 77o(2)

= J rf{z) ехр(г'(&, z))dz.

Дальнейшее упрощение формулы (1.7) основано на выборе специального вида источника. Важный пример функции гр дается формулой (1.3), в которой А, Ь\, 62 — действительные параметры. Преобразование Фурье функции г)°{г) имеет

вид fj°(p, ф) = А-е Р(ф) = y/bf cos2 ф + Ъ\ sin2 ф, и вследствие его простой

формы можно вычислить интеграл (1.7) в элементарных функциях

Ae~li

F{Z' Ф) =--—-ГзД, (1-8)

2у/2 (у/Ъ\ cos2 ф + Ъ\ sin2 ф - izj

где

В диссертации описан алгоритм численного построения асимптотических формул в окрестности регулярных точек фронта. Кратко он выглядит следующим образом. Сначала нужно вычислить фронт, который определятся как множество концов траекторий гамильтоновой системы (1.4). При этом система Гамильтона решается численно. В данной работе использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. После того, как посчитан фронт, через каждую точку фронта проводится отрезок, перпендикулярный фронту так, чтобы он делился точкой фронта пополам.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

X

Рис. 1.2. Пример сетки для окрестности регулярных точек фронта

Затем на каждом таком отрезке строится неравномерная сетка так, чтобы ее узлы были гуще около фронта. Все отрезки строятся одинаковой длины, сетка также делается одинаковой на всех отрезках. На Рисунке 1.2 изображен кусок сетки, построенной для окрестности регулярных точек фронта. Затем в узлах сетки вычисляется возвышение свободной поверхности жидкости. Если волновой фронт имеет такую форму, что линии сетки, соответствующие различным участкам волнового фронта не имеют пересечений, то при вычислении возвышения по формуле (1.6) суммирования не будет. Если же линии сетки имеют пересечения, то итоговое возвышение вычисляется как сумма возвышений

от различных участков волнового фронта. При этом, вклад в итоговое возвышение (в точке сетки, соответствующей какому-то участку фронта) от других участков волнового фронта в данной работе вычислялся с помощью линейной интерполяции. Примером таких областей могут служить точки самопересечения фронта (точка В на Рисунке 1.1).

Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами. В данной работе при численном решении уравнений (1.1), (1.2) использовалась явная схема, построенная на разнесенном шаблоне (см. [36], схема 22°). В качестве сравниваемой области была выбрана окрестность точки самопересечения фронта.

02~

Рис. 1.3. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численной реализации асимптотических формул

На Рисунке 1.4 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, нолученное при численном решении уравнений мелкой воды. Небольшие осцилляции, которые здесь можно наблюдать получаются как результат замены дифференциального уравнения разностной схемой.

Рис. 1.4. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, численное решение уравнений мелкой воды

1.2.3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта

Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Рассмотрим на фронте Г< некоторую фокальную точку т*ь = (Р(ф*, а*,

а*. I)) с координатами ф*, а*. В окрестности такой точки асимптотическое решение можно представить двумя различными способами [34]. Первый способ основывается на том, что если в некоторой окрестности фокальной точки г* отличен от нуля якобиан

¿е1С{0'2\ф,а) = г1ал:2^-г1фл:2сп

то в этой окрестности решение можно представить в виде интеграла

%

00 оо

О — оо

р

у/\<1еШ0>2Ц

¿¿■(а-Г^а^Х^а^+р!-!!)

хЛе{0'2\ф,а)

фх • Ар > .

(1.9)

а=а(0.2) (Р1 ^ Х21)

Здесь А — это амплитуда, е^0,2\ф,а) — срезающая функция, носитель которой принадлежит некоторой окрестности фокальной точки, а величины а =

а(0'2\р\, х2, £), Ф = ф^,2\р\,х2,Ь) являются решениями уравнений

Х2(ф,а,Ь) = х2.

Второй способ справедлив в том случае, когда в некоторой окрестности фокальной точки отличен от нуля якобиан

Перейти от рассмотрения одного случая к другому можно просто заменив индексы 1—> 2 и 2 —> 1 у координат X и импульсов V. В связи с этим можно рассматривать дальнейшие упрощения формулы для г]*ч в случае, когда отли-

Функция (1.9) достаточно быстро убывает при удалении от фронта Г^, поэтому интеграл (1.9) можно упростить. Это упрощение основано на соображениях комплексного ростка [10] или погранслоя [73]. Для реализации этих соображений нам понадобятся разложения фазы в интеграле (1.9). Частично такие разложения были проделаны в работе [34]. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема: 1). В окрестности фокальной точки г* справедливо равенство

с!еЬС{т(ф, а) = ХХаТ2ф - ХХфТ%

чен от нуля якобиан с{еЬС<^'2\ф, а).

х

Р1Х2ф) - (у с0, п°(^)) • рхх2ф\

0 -ос

(1.10)

где

х

(РНР2 - Др^) + (УС0, п°(ф)) • {РЫР2 - РхР2ф) [Р\фХ2 - Р,Х2ф) - <УС°, п°(^)> • Р^Х2ф

(1.11)

2). Если в качестве взять функцию (1.3), то

РЫХ2 ~ Р1Х21Р - (УС0, п°(ф)) ■ РхХгф

\Р1ф\-у/\Р\-С(Х,1)-е(ф)

х •

с1ф

(1.12)

(т - ^ • ф)

2

Фаза Ф вычисляется по формуле (1.11). Величина 1пс1(г*) — это индекс Маслова фокальной точки. Он может принимать одно из четырех значений: 0,1, 2, 3. В работе [29] показано, что для задачи (1.1), (1.2) его можно вычислить через индекс Морса, приходящей в эту точку траектории системы Гамильтона.

В диссертации приводится алгоритм построения асимптотического решения в окрестности фокальной точки. Алгоритм основан на том факте, что формулы (1.10)- (1.12) имеют одинаковый вид в любой системе координат, которая получена из исходной при помощи сдвига и поворота и устроен таким образом, что построенное возвышение в окрестности фокальной точки наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности регулярных точек фронта. Основные трудности, которые возникают в данной задаче следующие. Формулы (1.10)- (1.12) справедливы только в той окрестности фокальной точки, в которой отличен от нуля якобиан: подкоренное выражение, стоящее в знаменателе во всех формулах. При произвольном выборе системы координат, якобиан обращается в нуль близко от фокальной точки. Тем самым, область действия формул (1.10)- (1.12) получается небольшой. Более того, может так получиться, что после построения возвышений в окрестности фокальной точки и в окрестности регулярных точек фронта, между областями, в которых построены поверхности будет разрыв, т.е. они не будут перекрываться. В связи с этим были предприняты следующие шаги. Сначала строится возвышение в окрестности регулярных точек фронта. Оно строится так, чтобы максимально близко подходило к фокальной точке.

Затем мы начинаем строить возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки. Делается это так. Мы помещаем центр новой системы координат в фокальную точку и вычисляем в ней возвышение свободной поверхности жидкости. Затем мы начинаем поворачивать новую систему координат в пределах ф £ [0, 27т] с каким-то шагом 6ф и в каждой новой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. На самом деле не нужно вычислять возвышение в каждой системе координат. Сначала нужно оценить насколько близко от фокальной точки обращается в нуль новый якобиан. Если он обращается в нуль на расстоянии большем, чем минимально допустимое, то в такой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. В итоге у нас получается набор возвышений. Среди них делается отбор возвышения, которое наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное для окрестности регулярных точек фронта. В зависимости от того, как определять наилучшее соответствие фокального возвышения регулярному, могут отбираться различные фокальные профили.

Рис. 1.5. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки

На Рисунке 1.5 изображена склейка возвышения свободной поверхности

жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки. Здесь критерием наилучшего перехода является минимум от максимума разности возвышений в области их пересечения.

1.2.4 Асимптотическое решение при малых временах

Асимптотическое решение задачи (1.1), (1.2) было построено в работах [30], [34] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова. При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому что начальное лагранжево многообразие не проектируется диффеоморфно на плоскость (х\,х2)- С другой стороны малые времена представляют интерес, потому что при малых временах происходит зарождение волны цунами, волна имеет достаточно большую амплитуду и ее можно наблюдать. Поэтому в данной работе на временах t < Т ■ ц мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемые каноническим оператором Маслова. Для источников специального вида получены явные формулы. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема: 1). Главный член в асимптотике решения задачи (1.1), (1-2) при t <Т • (i, где Т > 0 — константа, имеет вид

{2тт оо ^

//

О О

+oW + o(í). (1.13)

2). Для источника (1.3) справедлива формула

1 í J_йф_1

ф' t]~ 2v^'Re\J m) - i ■ «n<m *) - c{o) • t - (vc(o),x) ■ Í))2 j

+0(/¿) + 0(í). (1.14)

Случай симметричного источника. В случае, когда источник является симметричным, т.е. 6} = 62 = Ь, то интеграл (1.14) можно вычислить явно

р ■ У(рп(ф)) ■ eiZ-UnWrt-viuyt-wuwM) dll)dp

«n W,x)-C(0)-t-(VC(0),x}-t)

г?(М) = ■ Не

а

(а2 - I)3/2 где а - -^(С(0) - <УС(0), х)) + г^.

(1.15)

Рис. 1.6. Случай симметричного источника

Рис. 1.7. Случай несимметричного источника. Угол в = О

Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник является несимметричным, интеграл, который стоит в формуле (1.14), явно не вычисляется, и его надо считать численно. На Рисунках 1.6, 1.7 изображено асимптотическое решение линеаризованной системы уравнений мелкой воды при малых временах. На Рисунке 1.6 изображен случай симметричного источника, а на Рисунке 1.7 случай несимметричного источника.

1.2.5 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами

Волны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляют собой довольно интересные объекты в теории волн на воде и физике океана. Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарные состояния в З-Э задаче о волнах на воде, или как решения пространственно-

двумерного волнового уравнения с оператором Ланласа-Бельтрами —Х/С2(хь а:2)У в пространственной части, если используется длинноволновое приближение. Здесь С2 = дО{х\, х2), где 0{х\,х2) — глубина в точке х = (х1,х2), а 9 ~~ ускорение силы тяжести. Существование захваченных волн используется для объяснения многих эффектов в физике океана. В частности, распространение длинных волн цунами без потери энергии связано с длинными подводными хребтами в океане. В этой области существует большое количество работ. Мы отметим только некоторые из них [69, 70, 74, 75, 76, 77]. Отметим также, что, как правило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются для случая, когда неоднородность дна в функции П(х1,х2) зависит только от од-

ной пространственной переменной £1 или от полярного радиуса г = \/х2 + х\. Распространение волн в нестационарном случае над подводными хребтами изучено не очень хорошо. В данной главе будут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводными хребтами, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками. Такая постановка задачи относится к так называемой поршневой модели в теории волн цунами, в случае когда подводный источник располагается на вершине хребта или рядом с его вершиной.

В качестве примеров дна мы используем следующие функции.

1. Подводная банка и прямой хребет описываются формулой

В(х1,Х2) = 1--^-о, (1-16)

1 + {{х1-а1)/Ъ1)2 + {{х2-а2)/Ъ2)2'

здесь ао, а\, а2, Ь\, Ъ2 — действительные параметры.

2. Подводный хребет, изогнутый по дуге окружности описывается формулой

а0

П(Х!,Х2) = 1--5-? (1.17)

1 + ((и-аи)/Ьи)2 + ((ф-Я-аф)/Ьф)2

Рис. 1.8. Возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности первых

четырех точек самопересечения фронта

здесь ÜQ, аи, Ьи, Ьф, R — действительные параметры,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ложников, Дмитрий Андреевич, 2014 год

Литература

[1] Ludwig, Donald, Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem, Commun. Pure Appl. Math. 13, 473-508 (1960).

[2] B.M. Бабич, Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, Матем. сб., 52(94):2 (1960), 709-738

[3] В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981

[4] Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.4■ Интегральные операторы Фурье, Мир, М., 1988

[5] В.П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, М.: МГУ, 1965

[6] В.П. Маслов, Операторные методы, М.: Наука, 1973

[7] В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приблио/сение для уравнений квантовой механики, М.: Наука, 1976

[8] В.П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений, М.: Наука, 1988

[9] В. П. Маслов, Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М.: Наука, 1987

[10] В.П. Маслов, Комплексный метод ВКВ в нелинейных уравнениях, Москва, Наука, 1977

[11] В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Логарифмическая асимптотика быстро убывающих решений гиперболических по Петровскому уравнений, Матем. Заметки, 1989, 45:5, 50-62

[12] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М.:Наука, 1972

[13] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, И.А. Молотков, Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны, СПбГУ, 1985

[14] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, Искусство асимптотик, Вестник Ленинград., 1977, 13, N0 3, 5-12

[15] В.М. Бабич, Об одном формальном способе построения коротковолновой асимптотики функции Грина, Тр. МИАН СССР, 115 (1971), 10-13

[16] Б.Р. Вайнберг, Асимптотические методы в уравнениях математической физики, М.: МГУ, 1982

[17] Л.М. Бреховских, Волны в слоистых средах, М.: Наука, 1973

[18] Ле Ву Ань, Классическая асимптотика свободного уравнения Шредин-гера для вычисления поправок в методе стационарной фазы, ТМФ, 25:2 (1975), 270-274

[19] Ле Ву Ань, Комплексный метод ВКБ для вычисления асимптотики фазовых интегралов, ТМФ, 28:2 (1976), 281-287

[20] В.Г. Данилов, Ле Ву Ань, Об интегральных операторах Фурье, Матем. сб., 110(152):3(11) (1979), 323-368

[21] В.В. Кучеренко, Асимптотика решения системы А(х,—1кд/дх)и — 0 при Н —> 0 в случае характеристик переменной кратности, Изв. АН СССР, Сер. Мат., 38, N0 3, 625-662, 1974

[22] Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Асимптотики решений дифференциальных уравнений на комплексных многообразиях, Матем. сб., 1988, том 137(179), номер 3(11), страницы 381-416

[23] S.Yu. Dobrokhotov, М. Rouleux, The semi-classical Maupertuis-Jacoby correspondence for quasi Periodic Hamiltonian flows with applications to linear water waves theory, Asymptotic Analysis, 2011, Vol. 74, No.1,2, pp. 33-74

[24] J. Bruening, S. Yu. Dobrokhotov, S. Ya. Sekerzh-Zen'kovich, and T. Ya. Tudorovskiy, Spectral Series of the Schroedinger Operator in a Thin Waveguide with a Periodic Structure. 2. Closed Three-Dimensional Waveguide in a Magnetic Field, Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 1, 2011, pp. 33-53

[25] С.Ю. Доброхотов, Г. Макракис, В.Е. Назайкинский, Т.Я. Тудоровский, Новые формулы для канонического оператора Маслова в окрестности фокальных точек и каустик в двумерных квазиклассических асимптотиках Теоретическая и математическая физика, 177:3 (2013), 355-386

[26] С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, О фазовом сдвиге в анзаце Кузма-ка-Уизема, Теоретическая и математическая физика, Том 166, № 3, март, 2011, С. 303-316

[27] S.Yu. Dobrokhotov, P.N. Zhevandrov, Asymptotic expansions and the Maslov canonical operator in the linear theory of water waves. I. Main constructions and equations for surface gravity waves, Russian J.of Math. Physics, 2003, v.10, N 1, pp.1-31

[28] С. Ю. Доброхотов, П.Н. Жевандров, В.П. Маслов, А.И. Шафаревич, Асимптотические быстро убывающие решения линейных строго гипер-

болических систем с переменными коэффициентами, Матем. Заметки, 1991, 49:4, 31-46

[29] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, В. Tirozzi, T.Ya. Tudorovskiy, The description of tsunami waves propagation based on the Maslov canonical operator Doklady Mathematics, 74, No. 1, 592-596 (20056).

[30] S.Yu. Dobrokhotov, A.I. Shafarevich, B. Tirozzi, Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to the linear shallow water equations, Russ. Jour.Math.Phys., v. 15, N2, 2008, pp. 192-221

[31] С.Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А.И. Шафаревич, Представления быстро-убывающих функций каноническим оператором Маслова, Матем. заметки, 2007, 82:5, 792-796

[32] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, В. Tirozzi, B.Volkov, Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model, Russ. Journ. Earth Sciences, 8, ES403, 1-12 (2006).

[33] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B.Volkov, Asymptotic description of tsunami waves in a frame of the piston model: the general constructions a explicitly solvable models, in Fundamental and Applied Geophysics, (Sankt-Petersburg) N 2, 2009, pp. 15-29 (in Russian)

[34] S.Yu. Dobrokhotov , B. Tirozzi, C.A. Vargas, Behavior near the focal points of asymptotic solutions to the Cauchy problem for the linearized Shallow water equations with initial localized perturbations, Russ.J.Math.Phys. v. 16 N 2, 2009, 228-245

[35] S.Yu. Dobrokhotov, R.Nekrasov, B. Tirozzi, Asymptotic solutions of the linear shallow-water equations with localized initial data, Journal of Engineering Mathematics, Vol. 69, Issue 2 (2011), Page 225-242

[36] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, Численное моделирование волн цунами, Новосибирск, Наука 1983

[37] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, К.В. Симонов, Вычислительный эксперимент в проблеме цунами, Наука, Новосибирск, 1989

[38] В.К. Гусяков, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование Шикотанского (Немуро-Оки) цунами 17 июня 1973 г., В "Эволюция цунами от очага до выхода на берег", Радио и связь, М., 1982, 16-24

[39] В.К. Гусяков, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование возбуэ/сдения и распространения волн цунами в прибрежной зоне, Изв. АН СССР, Сер. Физика земли, М., 1987, No 11, 53-64

[40] В.Ю. Карев, К.В. Симонов, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин, Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Детальное цунамирайонирование тихоокеанского побережья Камчатки, Исследования цунами, No 4, 1990, М., 64-84

[41] A.S. Alexeev, V.K. Gusyakov, L.B. Chubarov, Yu.I. Shokin, Numerical simulation of tsunami generation and propagation in the ocean with a real bathymetry. Nonlinear model., Symp. of Tsunamis, Mexico, 1977, Marine Science Directorate, Ottawa, 1978, 37-51

[42] An.G. Marchuk, L.B. Chubarov, Yu.I. Shokin, Numerical modeling of tsunami waves, LA-Tr-85-40, USA, 1985

[43] A.C. Алексеев, B.K. Гусяков, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин, Численное исследование генерации и распространения волн цунами при реальной топографии дна. Линейная модель, Изучение цунами в открытом океане, Наука, М., 1978, 5-20

[44] З.И. Федотова, О применении инвариантной разностной схемы к расчету колебаний жидкости в бассейне, Числ. методы механики сплошной среды, 9, No 3, Новосибирск, 1978, 137-146

[45] З.И. Федотова, О свойствах разностных схем для длинноволновых приближений уравнений гидродинамики, Вычисл. технологии, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2, No 7, 1993, 237-249

[46] Ю.И. Шокин, Г.С. Ривин, Г.С. Хакимзянов, Л.Б. Чубаров, Вычислительный эксперимент как инструмент для исследования природных явлений, Вычисл. технологии, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1, No 3, 1992, 12-33

[47] Ю.И. Шокин, P.A. Рузиев, Г.С. Хакимзянов, Численное моделирование плоских потенциальных течений жидкости с поверхностными волнами, Препринт No 12, Вычисл. центр, Красноярск, 1990

[48] Ю.И. Шокин, Г.С. Хакимзянов, Конечно-разностный метод расчета вихревых и потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью, Вычисл. технологии, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 3, No 8, 1994, 133-142

[49] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, В.К. Гусяков, З.И. Федотова, Ан.Г. Марчук, О комплексе программ для численного моделирования цунами, Модульный анализ, ИТПМ, Новосибирск, 1978, 73-100

[50] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, В.В. Кобков, З.И. Федотова, Численное моделирование процессов генерации и распространения цунами при подводном землетрясении, Препринт No 31, ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1980

[51] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, О программной реализации методик численного моделирования цунами, Вопросы разработки и эксплуатации пакетов прикладных программ, ИТПМ, СО АН СССР, Новосибирск, 1981, 33-44

[52] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование распространения цунами, Числ. анализ, ИТПМ СО АН РАН, Новосибирск, 1978, 119-128

[53] Ан.Г. Марчук, Один метод расчета генерации и распространения волн цунами в бассейне переменной глубины, Модульный анализ, ИТПМ СО АН РАН СССР, Новосибирск, 1978, 42-47

[54] Ан.Г. Марчук, Е.Б. Грошев, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование поведения волн цунами в шельфовой зоне, Исследования цунами, Наука, М., No 1, 1986, 94-102

[55] В.К. Гусяков, Обзор работ по проблеме возбуэ/сдения волн цунами, В "Методы расчета возникновения и распространения цунами", Наука, М., 1978, 18-29

[56] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Очерк Истории Исследования Проблемы Цунами в Сибирском Отделении Российской Академии Наук, Вычислительный технологии, том 4, No 5, 1999

[57] G.F. Carrier, The dynamics of tsunamis. Mathematical problems in the geophysical sciences Lecture in Applied Mathematics, 13, 1971, 157-187

[58] W. Preisendorfer, Recent tsunami theory, Report HIG-71-15, Honolulu, 1971

[59] Сообщение о научных работах по цунами, 1975-1978 гг, Под ред. С.Л. Соловьева, 1979

[60] Сообщение о научных работах по цунами в СССР, в 1979-1982 гг, Под ред. С.Л. Соловьева, 1983

[61] Сообщение о научных работах по сейсмологии и физике недр Земли. Цунами. 1983-1986 гг, Под ред. С.Л. Соловьева, 1987

[62] K.Yu. Bogachev, G.M. Kobelkov, Numerical solution of a tidal wave problem, in Proceeding of "Parallel Computational Fluid Dynamics", v.2, 2004, J.-Wiley Press

[63] A.B. Друца, Г.М. Кобельков, О сходимости разностных схем для уравнений динамики океана, Матем. сб., 2012, 203:8, 17-38

[64] А.В. Друца, Существование "в целом" решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии, Матем. сб., 2011, 202:10, 55-86

[65] Д.А. Ложников, С.А. Сергеев, О поведении локализованного решения волнового уравнения в окрестности точки локализации при малых временах, Матем. Заметки, 2012, 91:1, 149-153

[66] D.A. Lozhnikov, Analytic-Numerical Description of Asymptotic solution of a Cauchy Problem in a Neighbourhood of Singularities for a Linearized System of Shallow-Water Equations, RJMP, 19(1), pp. 44-62, 2012

[67] S.Yu. Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, C.A. Vargas, Asymptotics of waves on the shallow water generating by spatially-localized sources and trapped by underwater ridges, RJMP, 2013

[68] S.Yu. Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, V.E. Nazaikinskii, Wave Trains Associated with a Cascade of Bifurcations of Space-Time Caustics over Elongated Underwater Banks, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 8, No. 5, 2013, pp. 32-43

[69] E.H. Пелииовский, Гидродинамика волн цунами, Нижний Новгород, 1996.

[70] С. Mei, The applied dynamics of ocean surface waves, World Scientific, Singapore, 1989.

[71] S. Wang, The Propagation of the Leading Wave, ASCE Specialty Conference on Coastal Hydrodynamics, University of Delaware, June 29 - July 1, 1987, 657 - 670.

[72] Доценко С.Ф., Сергеевский Б.Ю., Черкасов Л.В., Пространственные волны цунами, вызванные знакопеременным смещением поверхности океана / В сб. "Исследования цунами" 1986, М, с 7-14

[73] М.И. Вишик, Л.А. Люстерник, Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, 1957, 12:5(77), 3-122

[74] P.M. Гарипов, Неустановившиеся волны над подводным хребтом, Докл. АН СССР, 161, No 3, 1965, 547-550

[75] P.M. Гарипов, Волновод в упругой среде, Материалы международной конференции по механике сплошных сред, София, 1968, 83-96

[76] Сунь Цао, О волноводе поверхностных волн в тяжелой жидкости, Изв. СО АН СССР, No 5, 1959, 20-25

[77] Р.Н. LeBlond, L.A. Mysak, Waves in the Ocean, Amsterdam: Elsevier, 1978