Асимптотика ограниченных алгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Смирнов, Андрей Анатольевич

• Смирнов, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнов, Андрей Анатольевич

1 Введение

1.1 Основные определения.

1.2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли.

1.3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли.

1.4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли.

2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли

2.1 Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли

2.2 Коалгебры и транзитивные действия.

2.3 Действия на срезанных многочленах.

2.4 Перечисление ограниченных подалгебр.

3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли

3.1 Инварианты свободных алгебр Ли.

3.2 Основной результат.

4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли

4.1 Рост подалгебр в абелевых р-алгебрах Ли.

4.2 Основной результат: рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика ограниченных алгебр Ли»

Широкое применение в последнее время получило изучение числовых характеристик различных алгебраических объекгов. Например, понятие роста подгр> пп играет важную роль в современной теории групп, этому понятию посвящена недавняя монография [23]. При этом изучение числовых характеристик алгебр и их многообразий приобретает все большее значение, случай ассоциативных алгебр изучается в монографии [19]. Многообразия алгебр Ли — это устоявшаяся область исследований в современной алгебре [6]. Асимптотические задачи также получили широкое распространение [11]. Основными объектами изучения настоящей работы являются (ограниченные) алгебры Ли, а именно, исследуются некоторые их асимптотики. Таким образом, тематика исследований является актуальной.

1.1 Основные определения

Определение 1.1.1 Алгеброй Ли L над по. чем К называется К -модуль L, снабженный бильнейным отображением (х. у) —> [а1, у] прямого произведения L х L в L, называемым коммутированием и удовлетворяющгм следующим двум аксио мам:

1. [.г, х]=0 , откуда [ж, у] = -[у, х] ;

2. [ж, [у, z]] + [у, [z, ж]] + [z, [ж, у]] = 0 (тождество Якоби). Примеры:

1° . Пусть А — ассоциативная алгебра над полем К; полагаем [а, Ъ] = ab — ba. Эта операция коммутирования снабжает К -модуль А структурой алгебры Ли [Л] над К.

2°. Свободная алгебра Ли

Определение 1.1.2 Свободная алгебра Ли L = L(x\,., I'd) ранга d (d может быть бесконечным) определяется следующим универсальным свойством. Пусть Н — алгебра Ли и yi,-.,yd £ Н. Тогда существует единственный гомоморфизм ф: L —у Н такой, что ф(х{) = yi, г = 1. d .

Пусть S — какое-нибудь множество, S — множество неассоциативпых слов, составленных из элементов S (т. е. слов, в которых ставятся все необходимые скобки). Модуль Е, образованный формальными линейными комбинациями элементов S с коэффициентами из поля К, естественным образом снабжается мультипликативной структурой, от которой требуется лишь, чтобы она была билинейным отображением Е х Е в Е. Переходя к фактор-модулю по отношению эквивалентности, определенному тождествами 1 и 2 (имеется ввиду фактор-модуль по подмодулю, порожденному левыми частями тождеств 1, 2), получаем алгебру Ли над К, которая является свободной алгеброй Ли, порожденной множеством S.

3° . Дифференцированием алгебры Ли L называется всякий эндоморфизм (гомоморфизм в себя) К -модуля L, удовлетворяющий условию

D([x,y}) = [D(x),y} + [r. D(y)}.

Дифференцирования алгебры Ли L образуют подалгебру алгебры Ли эндоморфизмов JC-модуля L, обозначаемую через Derд-L.

В следующем определении используются обозначения из примера 1° .

Определение 1.1.3 Ассогщативная алгебра U — U(L) с единицей над полем К называется универсальной обертывающей для алгебры Ли L над К, если существует гомоморфизм алгебры, Ли е: L —> [U], такой, что для любого гомоморфизма алгебры Ли rj: L —> [А], ?де А — некоторая ассоциативная алгебра над полем К с единицей, существует единственный гомоморфизм f ассоциативных алгебр с единицей, f: U —> А, такой, что г) = fe . Иными словами, гомоморфизм f делает коммутативной диа?рамму

L —^ U п f А - А

Свойства универсальной обертывающей алгебры хорошо известны [6]. Пусть L — алгебра Ли над полем К, Е = (ej)гЕ/ — ее базис, причем множество индексов I линейно упорядочено, U(L) — универсальная обертывающая, г: L —> U(L) — канонический гомоморфизм. Тогда единица и множество одночленов вида e(eu)e(ei2).6(eim),

Ч < г2 < . < гт, т > 0. образуют базис алгебры U(L).

Определение 1.1.4 Пусть L и М — две алгебры Ли над полем К. Допустим, чт.о ip — гомоморфизм алгебры Ли L в алгебру дггфференцирований Der^M алгебры М. Превратим множество N пар (х,у), х € L, у 6 М, в алгебру Ли , полагая

Уг) + (ж2, У2) = (®1 + Х2, Ух + y2)s \(х,у) = (\х,\у), Хек [(zi>yi), {х2,у2)} = ([жъж2],^0г1)(у2) - р(х2)(у\) + [lluy2])

Алгебра N называется полупрямым произведением алгебры Ли L на алгебру Ли М, отвечающим гомоморфизму ср.

Будем обозначать полученную алгебру символом L А/ или просто L X М , если (f известен. Если у? — нулевой отображение, то получаем прямое произведение алгебр L и М.

Определение 1.1.5 Пусть

L" последовательность гомоморфизмов алгебр Ли. Говорят, что эта последовательность точная, если ядро g совпадает с образом f, т. е. Imf = Kerg.

Например, если Н — идеал в алгебре Ли L, то последовательность

H^L^L/H точная (здесь ф — вложение и ср ~ каноническое отображение).

Определение 1.1.6 Последовател,ьностъ гомоморфизмов с большим числом членов, например

Т fi т /2 т fn-i т —> Ь2 ■—> -Ь3 —> . . . -> Ьп, называется точной, если она точна в каждом члене, т. е. если

Imfi = Kerfi+1 для всех г — 1,. ,п — 2.

Например, точность последовательности означает, что / инъективно, что Im/ = Kerg и что g сюръективно. Эта последовательность по существу не что иное, как точная последовательность

О Я -»■ L L/H О, где Н — Kerg.

Определение 1.1.7 Говорят,, что точная последовательность

О -» V L -> L" О расщепляется, если алгебра Ли L представима о в аде полупрямого произведения L' и L" ^ L", т. е. если L = L"\L.

Определение 1.1.8 Пусть L — алгебра Ли над полем К характеристики р > 0. Определим отображение ad: L —> L, adx(y) = [.х,у] , где х,у G L. Алгебра Ли L называется ограниченной или лиевой р-алгеброй. если в L дополнительно существует унарная операция, удовлетворяющая свойствам

1) (As)M = VA е К, хец

2) ad(j-W) = (adr)p, Ух 6 L;

3) {x + y)W=xW+yM + J2Pi-1lsl(x,y),Vx,yeL- где is^x^y) - коэффициент при tl~l в полиноме ad(tx + y)p~l(x) G L[t]. Также, вг(х,у) ~ лиев полином от х,у степеней г и р — i , соответственно.

Это определение мотивированно следующей конструкцией. Пусть А — ассоциативная алгебра над подем К, характеристики р > 0. Тогда А становится алгеброй Ли с новой операцией [х, у] = ху — ух , где ж, у G А. Отображение х —> хр удовлетворяет свойствам (1) - (3).

Определение 1.1.9 Подалгебра Н С L называется ограниченной, если она замкнута относительно ynapnoit операции.

Приведем еще несколько примеров.

1° . Если R — некоторая К-алгебра, char Я" = р > 0, то ее алгебра Ли дифференцирования Бегк(Д) является р-алгеброй. так как для любого дифференцирования 5: R —>■ R отображение 6Р (в обычном смысле) — также дифференцирование.

2° . Алгебра sl(n, К), char К > 0, является р-подалгеброй в алгебре Кп матриц относительно обычного возведения в степень р.

Пусть х £ L, тогда п-ую итерацию р-отображения обозначим через х^. Ниже, скобки будем опускать и писать просто хр" . Если К -подпространство Н С L замкнуто только относительно уножения, тогда Н называется подалгеброй Ли. В этом случае, определим множество Нр = (К'' ' | h £ Н \ п > О)к ■ Легко видеть, что Нр будет минимальной ограниченной подалгеброй, содержащей Н. Заметим, так же, что [ЯР,ЯР] = [#,#].

Свободная ограниченная алгебра Ли L = L(xi,., х^) ранга d определяется следующим универсальным свойством. Пусть Н — произвольная р-алгебра и Hi, ■ ■ • iVd б Н. Тогда существует единственный гомоморфизм ф: L —* Н такой, что ф(хi) — уг, г — 1,., d. Ее свойства хорошо известны, см. [б]. Если свободная р-алгебра порождена d элементами, то обычно ее обозначают через Frj .

Предположил!, что L — ограниченная алгебра Ли над полем К. Пусть J — идеал универсальной обертывающей алгебры U(L), порожденный всеми элементами вида .гИ —хр, где х £ L. Тогда u(L) = U(L)/J называется ограниченной обертывающей алгеброй. В этой алгебре применение оператора х^ тождественно возведению в р-ую степень хр для всех элементов х £ L. Пусть множество {уг\г £ 1} . линейно упорядоченный базис для р-алгебры L. По аналогии с георемой Пуанкаре-Биркгоффа-Витта, ограниченная обертывающая алгебра имеет следующий базис [7]: u(L) = . | Ч < . < гт, 0 < аг < р\ т > 0)К

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Смирнов, Андрей Анатольевич

Заключение

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Найдена асимптотика для роста числа максимальных подалгебр в свободной конечно порожденной ограниченной алгебре Ли над конечным полем.

2. Исследована производящая функция инвариантов однородного действия конечной группы на свободной модулярной алгебре Ли.

3. Найдена верхняя оценка на рост числа идеалов в свободной метабелевой ограниченной алгебре Ли с ниль-коммутантом над конечным полем.

Публикации автора по теме диссертации в журналах списка ВАК

1] Петроградский В.М. Смирнов А.А. Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли. Сиб. Мат. Ж. 49 (2008), по. 6. 1381-1390.

Другие публикации автора по теме диссертации

2] Петроградский В.М. Смирнов А. А. Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли. Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е.Воскресенского. Самара 2007. тезисы, с. 40-41.

3] Петроградский В.М. Смирнов А.А. Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли, конференция Алгебры Ли. алгебраические группы и теория инвариантов. Самара 2009. тезисы с. 43.

4] Petrogradsky V.M., Smirnov A.A. On asymptotic properties of modular Lie algebras, 7th International Algebraic Conference in Ukraine Kharkov 2009, abstracts, p.121-122.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнов, Андрей Анатольевич, 2009 год

1. Атья М., Макдональд И. Коммутативная алгебра. М. Мир. 1972.

2. Бахтурин Ю.А., Тождества в алгебрах Ли, Москва, Наука, 1985.

3. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1963.

4. Джекобсон Н. Теория колец. М.: Мир. 1951.

5. Маркушевич А.Л. , Маркушевич Л.А., Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение. 1977.

6. Михалев А. А. О неподвижных точках свободной цветной супералгебры Ли относительно действия конечной группы линейных автоморфизмов Успехи Мат. Наук, 47 (1992), по 4, (286), 205-206;

7. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. Успехи Мат .Наук 45 (1990), по. 6(276), 25-45,

8. Петроградский В.М. Об инвариантах действия конечной группы на свободной алгебре Ли, Сиб. мат. ою. 41 (2000), по 4, 915-925.

9. Петроградский В.М. Характеры и инварианты свободных супералгебр Ли, Алгебра и анализ. 13 (2001), по 1, 158-181.

10. Blattner R.J., Induced and produced representations of Lie algebras. Trans. Am. Math. Soc. 144 (1969), 457-474.

11. Bryant R. M., On the fixed points of a finite group acting on a free Lie algebra. J. Loridon Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 2, 215-224.

12. Bryant R. M., Papistas A. I. On tlie fixed points of a finite group acting on a relatively free Lie algebra. Glasgow Math. J. 42 (2000), 167-181.

13. Bryant R. M. Free Lie algebras and formal power series. J.Algebra, 253 (2002), no. 1, 167-188.

14. Drensky V., Fixed algebras of residually nilpotent Lie algebras. Proc. Anier. Math. Soc. 120 (1994), no 4, 1021-1028.

15. Giambruno, A. Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. Mathematical Surveys and Monographs, 122. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.

16. Grunewald. F.J., Segal, D., Smith, G. C. Subgroups of finite index in nilpotent groups. Invent. Math. 93 (1988), no. 1, 185-223.

17. Hall M., Subgroups of finite index in free groups. Can. J. Math. 1 (1949), 187-190.

18. Lubotzky, A. Mann, A. Segal, D. Finitely generated groups of polynomial subgroup growth. Israel J. Math. 82 (1993), no. 1-3, 363-371.

19. Lubotzky A. and Segal D., Subgroup growth, New York etc.: Springer-Verlag, 2003.

20. Petrogradsky V.M., Growth of subalgebras for restricted Lie algebras and transitive actions. Intemat. J. Algebra Comput., 15 (2005), no. 5-6, 1151-1168.

21. Petrogradsky V.M., One-sided ideal growth of free associative algebras. Monatsh. Math., 149 (2006), 243-249.

22. Petrogradsky V.M., Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle, Intemat. J. Algebra Comput., 9 (1999), no 2, 179-212.

23. Petrogradsky V.M., On Witt's formula and invariants for free Lie superalgebras, Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow 2000). 543-551, Springer, 2000.

24. Reutenauer C., Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford, 1993.

25. Riley D. and Tasic V., On the growth of subalgebras in Lie p -algebras, J. Algebra, 237, (2001), no 1, 273-286

26. Segal D., On the growth of ideals and submodules. J.London Math. Soe. (2) 56 (1997), no. 2, 245-203

27. Segal, D. Shalev, A., Groups with fractionally exponential subgroup growth. J. Pure Appl. Algebra 88 (1993), no. 1-3, 205-223.

28. Strade H. and Farnsteiner R., Modular Lie algebras and their representations, New York etc.: Marcel Dekker, 1988.

29. Sweedier M. E. Hopf algebras. New York: W. A. Benjamin, Inc., 1969.