Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Азаров, Дмитрий Николаевич

• Азаров, Дмитрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Азаров, Дмитрий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой

§ 1. Основные результаты первой главы

§ 2. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой корневым классом групп

§ 3. О свободном произведении конечных групп с одной объединенной подгруппой

§ 4. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой

ГЛАВА 2. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 5. Основные результаты второй главы

§ 6. Некоторые замечания о конечно порожденных нильпотентных группах

§ 7. Об отделимости подгрупп конечно порожденных нильпотентных групп

§ 8. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 9. О нильпотентной аппроксируемости некоторых свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой

ГЛАВА 3. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 10. Основные результаты третьей главы

§11. Предварительные замечания

§ 12. О свободном произведении конечного числа свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 13. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

ГЛАВА 4. О свободном произведении некоторых разрешимых групп с одной объединенной подгруппой

§ 14. Основные результаты четвертой главы

§ 15. О свободном произведении абелевых групп с одной объединенной подруппой

§ 16. О свободном произведении ограниченных разрешимых групп с одной циклической объединенной подгруппой

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп»

Актуальность темы

Пусть К - абстрактный класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируется классом /С, если для любого элемента д группы G, отличного от 1, существует гомоморфизм (р группы G на некоторую группу из К такой, что gip ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Тр всех конечных р-групп называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.

Класс всех групп, аппроксимируемых классом /С, будем обозначать через rK,. В частности, через цТ и &FV будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечными р-группами.

К числу наиболее важных аппроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом К, относится также и аппроксимируемость классом К, относительно сопряженности. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов х и у группы G существует гомоморфизм <р группы G на некоторую группу В из К такой, что элементы х<р и уср не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом Тр относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр. [5] с. 47).

Многие апппроксимационные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными р-группами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [21],[16]).

Наряду с изучением аппроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой. Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп, обладающих данным аппроксимационным свойством, может, вообще говоря, и не обладать этим свойством даже в случае, когда данное свойство наследуется обычными свободными произведениями групп.

Пусть

С?= (А*В;

- свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма (р.

Наиболее продуктивным направлением изучения аппроксимаци-онных свойств группы С? оказалось исследование этих свойств при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители А и В, объединяемые подгруппы Н и К и изоморфизм ср. Из нескольких десятков результатов, относящихся к этому направлению и доказанных в разное время, мы здесь приводим только некоторые утверждения, наиболее значимые для дальнейшего изложения.

В 1963г. Г.Баумслаг [9] доказал, что С € цТ, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. А, В е яТ в. \Н\ < оо.

2. А,В - конечно порожденные нильпотентные группы и Н -циклическая.

3. А,В - свободные группы и Я - циклическая.

В 1980г. Д.Дайер [14] доказала, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп А и В наследуется группой С? в случае, когда |Я| < оо. В той же работе устанавливается, что условия 2 и 3 достаточны для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы

В [13] Д.Дайер установила, что С Е кТ, если А, В - почти полициклические группы и Н - циклическая.

Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных ни ль потентных групп с произвольной объединенной подгруппой найден в [19].

В 1964г. Хигмен [17] получил критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В [15] получено достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением.

Различные аппроксимационные свойства свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой исследовались также в [2], [10]-[12], [21]-[24].

В работе Ширвани [20] рассматривается свободное произведение любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой. Для такого свободного произведения доказывается критерий финитной аппроксимируемости при условии, что свободные сомножители удовлетворяют нетривиальному тождеству.

Многие из перечисленных выше результатов, относящихся к свободному произведению двух групп с объединенной подгруппой, могут быть без труда распространены на случай древесного произведения конечного числа групп. Тем не менее, вопросы, касающиеся аппрок-симационных свойств древесного произведения любого числа групп, изучены в значительно меньшей мере по сравнению с аналогичными вопросами для случая свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Нам представляется весьма актуальным изучение различных аппроксимационных свойств свободного произведения любого числа групп с одной объединенной подгруппой, как наиболее важного частного случал древесного произведения групп.

Цель работы и ее научная новизна

Пусть (^а)а€Л ~ некоторое семейство групп. И пусть для каждого Л € Л Яд - подгруппа группы (7д. Предположим также, что для каждой пары А,^ € Л существует изоморфизм (р\^ : Яд —► Я^, причем для любых Л, /х, V 6 Л выполняются следующие условия: <Рал = idнx, = <р\р(рр„ = <РПусть а = (<?а(л € Л); Лу>Ам = л (л е Ял, А,м е л))

- группа, порождаемая элементами всех групп 6а (А е Л) и определяемая определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида: = /г, где к 6 Ял, А,/2 6 Л. Хорошо известно, что каждая группа Сд естественным образом вло-жима в группу С?, и если отождествить Од с соответствующей подгруппой группы ¿7, то для любых различных А,д € Л

П Сц = ЯЛ = Нц.

Обозначим через Я подгруппу группы 6?, совпадающую с каждой из этих подгрупп Яд. Будем говорить, что група О является свободным произведением групп Ста (А 6 Л) с одной объединенной подгруппой Я (и считать, когда это удобно, группы Сд подгруппами группы С).

Целью данной работы является изучение некоторых аппрокси-мационных свойств группы С и, в первую очередь, аппроксимируемости группы С некоторыми классами конечных групп. Наряду с финитной аппроксимируемостью, а также аппроксимируемостью конечными р-группами в работе рассматривается и более универсальное свойство - аппроксимируемость классом Т-р всех конечных Р-групп, где V ~ непустое множество простых чисел. Кроме того, исследуется нильпотентная аппроксимируемость группы и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Все перечисленные аппроксимационные свойства группы С исследуются при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н.

Ряд результатов данной работы представляет собой обобщения некоторых из перечисленных выше теорем Г.Баумслага, Д.Дайер и Хигмена, относящихся к случаю свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, на случай свободного произведения G любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой Н. Вместе с тем, многие из доказанных в работе результатов, касающихся аппроксимационных свойств группы (7, являются новыми даже для случал свободного произведения двух групп с объединанной подгруппой.

Краткое описание работы

Пусть, как и выше, (7 - свободное произведение групп С\ (А € Л) с одной объединенной подгруппой Н.

В первой главе работы предполагается, что Я - конечная подгруппа. При этом ограничении для группы С получены критерии финитной аппроксимируемости, аппроксимируемости конечными р-группами, а также критерий финитной аппроксимируемости относительно сопряженности.

Одна из приведенных выше теорем Г.Баумслага утверждает, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с объединенной конечной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой. Аналогичный результат получен Д.Дайер для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Следующие две теоремы, доказанные в первой главе, обобщают эти результаты:

Пусть |Я"| < оо и для каждого А € Л С?л € лТ. Группа (7 Е вТ тогда и только тогда > когда для каждого А 6 Л существует нормальная подгруппа II х конечного индекса группы Сд, тривиально пересекающая Нх, и такая, что индексы [С?а : IIх] ограничены в совокупности.

Пусть \Н | < оо и все Сх финитно аппроксимируемы относительно сопряженности. Группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда для каждого А € Л существует нормальная подгруппа 11\ конечного индекса группы £д такая, что индексы [&а : ^а] ограничены и для любых элементов 1г,к £ Н, не сопряженных в О, элементы К11\ и ких не сопряжены в О\/11\ при любом Л € Л.

Как отмечалось выше Хигменом получен критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В первой гла-ве доказывается критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения (7 любого числа групп Сг\ £ вИ~р с одной объединенной конечной подгруппой Н. В основе этого результата лежит следующая конструкция, предложенная Д.И.Молдаванским:

Пусть р-простое число. И пусть для каждого Л 6 Л 11\ - нормальная подгруппа конечного р-индекса группы С\. Семейство (Цд)а€Л называется р-совместимым, если для каждого Л (Е Л существует последовательность иХ = иХо<иХ1<.<.<иХ;х=0Х нормальных подгрупп группы (7 а с факторами порядка р такая, что для любых £ Л изоморфизм (р^ переводит множество пересечений

П Ям, • • • , ип Ям на множество пересечений и„0 п #„, • • •, и^^ П #„.

Упомянутый выше критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами имеет следующий вид:

Пусть \Н\ < оо и для каждого А 6 Л (?д 6 Группа С? €

В.Т-Р тогда и только тогда, когда для каждого А (Е Л существует нормальная подгруппа IIх конечного индекса группы такая, что ихП Н — 1, индексы [<7а : их] ограничены и семейство (?7а)а€Л Р~ совместимо.

Во второй главе на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н накладываются следующие ограничения: а) Все Сд - конечно порожденные нильпотентные группы, причем полициклические ранги групп Сд и порядки их конечных частей ограничены в совокупности. б) Объединяемая подгруппа Н является бесконечной циклической и строго содержится во всех свободных сомножителях (?д, причем |Л| > 2.

При этих ограничениях во второй главе получены критерий аппроксимируемости группы Ст классом Т-р, где V - непустое множество простых чисел, а также критерий аппроксимируемости группы О конечными нильпотентными группами. Формулировкам этих резальтатов предпошлем некоторые предварительные замечания и обозначения.

Пусть выполняются условия (а) и (б). Для каждого Л € Л обозначим через п\ индекс подгруппы Н в своем изоляторе в группе Хорошо известно, что п\ - конечное число (см. напр. [8], лемма 4.5). Обозначим через (¿с подгруппу аддитивной группы рациональных чисел, порождаемую всеми дробями вида 1/пд, где Л € Л. Пусть П -множество всех простых чисел р таких, что группа р-ичных дробей фр содержится в (¿а- В случае, когда множество П не пусто, через т будем обозначать порядок подгруппы Н по модулю пересечения всех нормальных подгрупп конечного П-индекса группы Как показано во второй главе, т - конечное число.

Далее, через /г обозначим один из порождающих элементов подгруппы Н. Пусть V - непустое множество простых чисел. Через С}-р будем обозначать группу Р-ичных дробей.

Сформулируем теперь критерий аппроксимируемости группы О конечными V-группами, являющийся центральным результатом второй главы.

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Если П ф 0, то группа С 6 цТт тогда и только тогда, когда С}с < и для каждого А Е Л нормальное замыкание элемента Нт в группе (?д является группой без П-кручения. Если ж.е П = 0, то группа О Е яТ-р тогда и только тогда, когда < Ят><

В частном случае, когда V - множество всех простых чисел, данный результат представляет собой критерий финитной аппроксимируемости группы О и обобщает приведенную выше теорему Г.Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой.

В другом частном случае, когда V = {р} - одноэлементное множество, сформулированный результат позволяет доказать следующий простой критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами:

Пусть выполняются условия (а) и (б). И пусть р - простое число. Группа (7 £ яТр тогда и только тогда, когда числа п\ ограничены и являются степенями числа р.

Далее, через ^ будем обозначать класс всех конечных нильпотентных групп. Во второй главе доказан следующий критерий аппроксимируемости группы О классом Гм:

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Тогда следующие три условия равносильны:

1. С Е RJ:N^

2. Существует простое число р такое, что все п\ являются степенями числа р и подгруппа, высекаемая в Н пересечением всех нормальных подгрупп конечного р-индекса группы С, лежит в центре группы (7.

3. Существуют простые числа р и ц такие, что С €

В третьей главе предполагается, что все (?д - свободные группы и Н = (к) - неединичная циклическая подгруппа. Для каждого Л 6 Л через п\ обозначим наибольшее целое положительное число такое, что уравнение хпх = К разрешимо в группе Сд.

Как доказал Г.Баумслаг, свободное произведение двух свободных групп с циклической объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Следующее утверждение, доказанное в третьей главе, в некоторой степени дополняет этот результат Г.Баумслага:

Пусть |А| < оо, все Сд - свободные группы и Н - неединичная циклическая подгруппа. Тогда группа О аппроксимируется конечными разрешимыми группами. Более того, группа <7 аппроксимируется конечными разрешимыми V-группами, где V - непустое множество простых чисел, содержащее все простые делители произведения всех чисел п\ (Л Е Л).

Это утверждение можно рассматривать и как результат, обобщающий и дополняющий следующую теорему, доказанную Гилденхъ-юзом [15]:

Пусть .Р - свободное произведение свободных групп А я В с бесконечной циклической объединенной подгруппой Н — (/г), тип- наибольшие целые положительные числа такие, что уравнения хт — h и уп = h разрешимы в группах А и В соответственно. Если числа m и п являются степенями одного и того же простого числа р, то G G rTv.

Найденное Гилденхъюзом достаточное условие аппроксимируемости группы F конечными р-группами не является необходимым. Это вытекает из следующего критерия аппроксимируемости группы G конечными р-группами и нильпотентными группами, доказанного в третьей главе:

Пусть все G\ - свободные группы, H - неединичная циклическая группа и А - конечное множество. Тогда

1. Если все п\, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rTv для любого простого числа р.

2. Если же среди чисел п\ хотя бы два отличны от 1, то G £ rTv тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями числа р.

3. Группа G аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа V

Сформулируем теперь центральные результаты третьей главы, доказанные для свободного произведения любого числа свободных групп с циклическим объединением. Через 7w(Gx), как обычно, будем обозначать п-й член нижнего центрального ряда группы G\.

Пусть для каждого Л G Л G\ - свободная группа конечного ранга и ранги групп G\ ограничены в совокупности. И пусть H - неединичная циклическая подгруппа. Тогда

1. Если все па, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rJ~p тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение hln{Gx) (*) не разрешимо в группе G\/yn(G\) при любом Л G Л.

2. Если среди чисел п\ хотя бы два отличны от 1, то G G rTp тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями числа р и существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение (*) не разрешимо в группе G\/"yn(Gx) при любом Л G Л.

3. Если хотя бы одна из групп G\ не циклическая, то G G rJ-"n тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа Р

4. Пусть все (Зд - циклические и хотя бы для двух А,д 6 Л Gд Ф Н ф Оц. Группа (? € д7"лг тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями одного и того лее простого числа.

В четвертой главе получен следующий критерий аппроксимируемости классом Т-р группы (7 при условии, что все Сд - абелевы группы:

Пусть все Сд - абелевы группы, |Л| > 2 и для каждого А £ Л С\ ф Я. Группа Сг € лТ-р тогда и только тогда, когда для каждого А £д/Я € д^р и

ПЯ» = 1» пёР где V - множество всех целых положительных V-чисел, Нп - подгруппа группы И, порожденная множеством и (<?5 П я). а€л

Кроме того, в четвертой главе доказывается следующий результат:

Пусть Л - конечное множество и Я - циклическая подгруппа. Группа С € д?7, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

1. Все Сгд являются конечными расширениями ограниченных разрешимых групп.

2. Все £гд являются конечными расширениями групп, аппроксимируемых ограниченными разрешимыми группами без кручения.

Понятие ограниченной разрешимой группы введено А.И.Мальцевым [7]. Так как любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, то приведенное утверждение обобщает и дополняет отмеченный выше результат Д.Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух почти полициклических групп с циклической объединенной подгруппой.

Здесь мы привели только некоторые результаты, доказанные в работе. Полные списки этих результатов, а также необходимые комментарии приводятся в начале каждой главы.

В работе используются некоторые хорошо известные свойства свободных произведений групп с объединенной подгруппой, связанные с понятием несократимой записи элемента (см. напр. [18], [6] с. 207236). Ссылки на другие используемые результаты приводятся по мере необходимости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Азаров, Дмитрий Николаевич, 2000 год

1. Горяга А.В. Пример конечного расширения ФАС-группы, не являющегося ФАС-группой // Сиб. мат.ж. 1986. т. 27. № 3. с. 203 - 205.

2. Залесский П.А., Тавгенъ О.И. Замкнутость орбит и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных амальгамированных произведение // Мат. заметки. 1995. т. 58. № 4. с. 525 535.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

4. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука. 1967.

5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир. 1980.

6. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука. 1974.

7. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен, зап. Иван. гос. пед. ин-та. Иваново, 1958. т. 18. № 5. с. 49 60.

8. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. 1968. т. 12. X* 1. с. 3 36.

9. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. v. 106. p. 193 209.

10. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one relator groups // Communs Pure and Appl. Math. 1968. v.21. № 5. p. 491 - 506.

11. Boler J. The free products of residuaily finite groups amalgamated along retracts is residuaily finite // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. v. 37. № 1. p. 50 52.

12. Brunner ABurns R., Solitar D. The subgroup separabihty of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contemp Math. 1984. v. 33 p. 90 115.

13. Dyer J. On the residual finiteness of generalized free products // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. v. 133. № 1. p. 131 143.

14. Dyer J. Separating conjugates in amalgamated free products and HNN-extensioas // J. Austral. Math. Soc. 1980. v. A29. № 1. p. 35 51.

15. Gildenhuys D. One-relator groups that are residuaily of prime power order //J. Austral. Math. Soc. 1975. v. A19. p. 385 410.

16. Grunberg К. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. v. 7. p. 29 62.

17. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. 1964. v. 1. p. 301 305.

18. Neumann B. An essau on free products of groups with amalgamations // Philos. Trans. Roy. Soc. of London. 1954. v. 246. p. 503 554.

19. Raptis EVarsas D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups. A characterization // J. Austral. Math. Soc. 1992. v. 35. № 3. p. 408 420.

20. Shirvani M. A convers to a residual finiteness theorem of G.Baumslag // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. v. 104. № 3. p. 703 706.

21. Stebe P. A residual property of sertain groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. v. 26. p. 37 42.

22. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Matn. Soc. 1971. v. 156. p. 119 129.

23. Tang C. Y. On the subgroup separability of generalized free products of nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. v. 113. № 2. p. 313 318.

24. Tretkoff M. The residual finiteness of certain amalgamated free products // Wath Z. 1973. № 2. p. 179 182.

25. Азаров Д.Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38 № 1. С. 3 13.

26. Азаров Д.Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений групп с циклическим объединением // Матем. заметки. 1998. Т. 64 № 1. С. 3 8.

27. Азаров Д.Н. Аппроксимационные свойства свободных произведений нильпотентных групп с циклическим объединением // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фадцева: С.-Петербург. 1997. Тез.докл. С. 153.

28. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений групп с циклическим объединением // На-учн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 1. Иваново 1997. С. 4- 10.

29. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Научн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 2. Иваново 1999. С. 3-4.