Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Каменская, Светлана Александровна

• Каменская, Светлана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каменская, Светлана Александровна

Введение

Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Фазовое пространство системы

1.2.1. Достаточные условия существования периодического решения с двумя точками переключения

1.2.2. Инвариантное множество фазового пространства системы (1.1), (1.2)

§ 1.3. Необходимые условия существования периодических решений с переключениями

1.3.1. Необходимые условия существования периодических решении с двумя точками переключения

1.3.2. Необходимые условия существования периодических решений с двумя точками переключения для системы ' с симметричной петлей гистерезиса.•

1.3.3. Достаточные условия сведения системы (1.1), (1.2) к системе (1.1), (1.23)

1.3.4. Необходимые условия существования периодических ф решений с 2q точками переключения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением»

В настоящее время растет интерес к исследованиям в области анализа ф и управления нелинейными колебательными системами. Такие задачи возникают при математическом моделировании различных управляемых процессов в механике, электротехнике, биологии, экологии, химии, медицине [1, 2, б, 33, 51, 52, 53, 54, 57, 60].

В данной работе в качестве математической модели рассматривается n-мерная система дифференциальных уравнений вида х = Ах + bf(a) а = Гтх, (1) где (-)т — знак транспонирования; матрица А, векторы Ь, Г — постоян-ф ные; х G Еп — вектор состояний системы; функционал f(a(t)), описывающий нелинейность типа двухпозициопного реле с гистерезисом [48, 32] с пороговыми числами 1\ и b (h < U) и выходами rri\ и то (т\ < 777-2), определен при t > 0 на классе непрерывных функций следующим образом: во-первых, из неравенства a(t) < I2 следует равенство f(a) = mi, а из неравенства a(t) > 1\ следует равенство f(a) = то, и, во-вторых, из неравенств l\ < a(i) < U (t 1 < t < (2) следует равенство u{ti) = crfo), то есть в случае 1\ < сг(0) < h входу cr(t) отвечает два допустимых выхода, а в противном случае — один допустимый выход [46].

В приложениях функционал f(<r(t)) называют нелинейной характери-^ стикой системы [1, 44]. Гистерезисную нелинейность можно трактовать как управление, зависящее от скалярного произведения постоянного вектора Г, определяющего обратную связь в системе, на вектор состояний системы х. В математических моделях систем управления нелинейности вида f(a) описывают реально существующее пространственное запаздывание управляющих механизмов (см., например, модель двухпозициопного авторулевого — системы стабилизации курса судна — с запаздыванием [1]) и могут как способствовать процессу стабилизации, так # и вызывать нежелательные колебательные процессы соответствующего технического объекта. Модели рассматриваемого вида могут возникнуть в задачах управления ориентацией космических аппаратов и стабилизацией при выполнении маневров или коррекции траектории [6]. ® Различные определения гистерезисной нелинейности, а также обширную библиографию можно найти, например, в [5, 56, 57, 60].

Гистерезисные нелинейности как один из источников реальных, «тонких нелинейных эффектов» [1, 38] в системах управления изучались давно [37, 38, 39, 58]. В работе [39] А.И. Лурье использует точный аналитический метод поиска периодических решений релейных систем, основанный на представлении искомых функций в виде полных или укороченных рядов Фурье. В работах А.А. Андронова и сотрудников его шко-^ лы [1] для исследования систем вида (1) с нелинейной функцией, объединяющей все типовые нелинейности (такие как мертвая зона, насыщение, гистерезисная петля), применялся метод точечных отображений, поэтому рассматривались в основном системы второго порядка. В монографии [41] Р.А. Нелепина изложен метод сечений пространства параметров, при помощи которого исследование динамики систем высокого порядка сводится к исследованию хорошо изученных систем 1-го и 2-го порядков. Ю.И. Неймарк посвятил работы [42, 43] исследованию движений динамических систем, среди которых были рассмотрены системы с неоднозначностями типа сухого трения и петлевой характеристикой реле, • и изучению структуры разбиения фазового пространства на траектории.

В монографии [9] В.И. Зубов рассмотрел большое число примеров построения и изучения колебательных режимов в системах управления с различными модификациями гистерезисных нелинейностей; для случая нелинейности типа двухпозиционного реле с гистерезисом была предложена задача полного качественного исследования поведения интегральных кривых системы (1) и сформулирована следующая гипотеза: «.если действительные части всех собственных чисел матрицы А отличны Ф от нуля, то система (1) при условии — ТтA~lbm\ > U, —YTA~lbrri2 < h имеет единственное периодическое стационарное собственное колебание.

Это периодическое решение будет автоколебанием, область притяжения которого совпадает со всем фазовым пространством в том случае, когда нулевое решение системы х = Ах асимптотически устойчиво». ® Для случая |/i| = /2 = /, где I — достаточно малое вещественное число, эта гипотеза была доказана самим В.И. Зубовым [11]. С работой [11] тесно связана работа [3] B.C. Антончика и Е.Я. Смирнова о релейной стабилизации программных движений с помощью релейного гистерезисного управления с достаточно малыми |/i| и I2.

В работе [4] Г.К. Баландина получены достаточные условия существования единственного периодического решения в случае диагональной, гурвицевой матрицы А и рассмотрен вопрос об устойчивости это-^ го решения. Ю.С. Колесов, используя понятие позитивного гурвицева многочлена, указал множество в фазовом пространстве, которому должен принадлежать вектор Г, чтобы у системы (1) существовало единственное устойчивое периодическое решение [34]. A.M. Камачкипу в работе [20] в предположениях гипотезы В.И. Зубова при условии ГТЬ ф О удалось показать существование по крайней мере одного автоколебания системы (1), а в случае, когда Г является собственным вектором матрицы Ат, и его единственность, без предположений о малости /1 и /2; а в работе [18], — что даже орбитальная устойчивость стационарного собственного колебания существенно зависят от расположения в фазовом Ф пространстве вектора Г и точек переключения периодического решения.

Дальнейшее изучение фазового пространства и пространства параметров систем вида (1), в том числе и при учете внешнего воздействия, разделилось на два направления исследования — качественными методами и функциональными методами. Первое направление в основном связано с именами сотрудников СПбГУ [12, 13], а второе основано на работах М.А. Красносельского и А.В. Покровского [32, 46, 45, 31, 47], которые касаются систем вида (1) с гурвицевой матрицей А, в том числе А и при учете внешних воздействий.

Существенный вклад в изучение систем вида (1), в том числе и при учете внешних воздействий, частотными методами внесли работы В.А. Якубовича и сотрудников его школы [49, 50, 7, 35, 36].

В монографии [30] Н.Е. Кирина получены эллипсоидальные оценки области притяжения системы вида (1) с нелинейностью /(сг) при достаточно малых li и /<2, а также решен вопрос о минимизации ы-пределыюго множества в этой системе в случае Е2 с помощью негладких функций Ляпунова.

В данной работе предлагается развитие подходов В.И. Зубова к изучению периодических решений систем с гистерезисом, без предположения о малости пороговых чисел 1\ и fa.

Цель работы заключается в проведении исследований, направленных на развитие теории управления, в частности, развитие теории управления колебательными системами, и построения на ее основе законов управления, создающих в системе колебания с заданными характеристиками.

Научная новизна работы. В работе получены достаточные условия на параметры системы, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду. В условиях гипотезы В.И. Зубова показано, что симметричность фазового портрета системы не гарантирует ни единственности, ни устойчивости имеющихся решений.

Показано, что у рассматриваемой системы не может быть более, чем конченого числа асимптотически орбитальио устойчивых периодических решений, удовлетворяющих дополнительным ограничениям.

С помощью метода функций Ляпунова установлены достаточные условия на параметры и периодические решения системы, при выполнении которых эти решения являются асимптотически орбиталыю устойчивыми

Получены выражения для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы.

В фазовом пространстве системы на поверхностях переключения ее правой части выделены особые множества, обладающие тем свойством, что, если они пусты, то выполняются упомянутые выше дополнительные ® ограничения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых решений.

В пространстве коэффициентов вектора обратной связи и пространстве выходных параметров реле, при условии, что все остальные параметры системы зафиксированы, построены и детально описаны области значений, при которых система имеет хотя бы одно периодическое решение.

Теоретическая и практическая значимость заключается в выделении из класса систем вида (1) систем, обладающих устойчивыми периодическими решениями, которые являются грубыми по отношению к параметрам системы. Полученные результаты применимы для конструирования систем управления на начальной стадии их проектирования.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, 3 глав, разбитых на параграфы, заключения, библиографического списка и 2 приложений.

В первой главе обсуждаются вопросы существования и локализации в фазовом пространстве периодических решений системы (1).

В § 1.1 изложена постановка задачи стабилизации системы (1); даны • определения основных понятий (периодического решения системы (1), точек переключения и времен перехода периодического решения, асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения), используемых в диссертационной работе.

В § 1.2 обсуждаются достаточные условия существования периодических решений с переключениями, а также рассмотрена геометрия фазового пространства системы вида (1) в случае, когда действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны. В фазовом простран-Ф стве при помощи функций Ляпунова построено ограниченное замкнутое множество G, в которое за конечное время попадают все интегральные кривые. Установлено, что, если периодические решения системы (1) существуют, их точки переключения лежат в ограниченных замкнутых областях, являющихся пересечением множества G с поверхностями пере-w ключения Ттх — г = 1,2. Результат иллюстрируется на примере.

В § 1.3 приведен способ отыскания периодических решений системы (1). На основании метода [9], предложенного Зубовым В.И., в предположении, что матрица А не имеет чисто мнимых собственных чисел, из необходимых условий существования замкнутых траекторий построены системы трансцендентных алгебраических уравнений относительно времен перехода (промежутков времени, за которое изображающая точка периодического решения попадает из одной точки переключения в другую) как для периодических решений, имеющих две точки переключения, так и для периодических решений с четным, большим двух числом точек переключения.

В случае системы вида (1) с симметричной петлей гистерезиса, то есть при |mi| = rri2, |/i| = lo, количество уравнений трансцендентной системы относительно времен перехода периодического решения может быть уменьшено. В связи с этим получены достаточные условия на параметры системы (1), то есть компоненты матрицы А, векторов Ь, Г, числа mi, 7712, /ь /2, при выполнении которых система вида (1) может быть сведена к системе с симметричной петлей гистерезиса путем параллельного переноса # координат (теорема 1.2.). При этом показано, что только симметричные или сводящиеся к симметричным системы могут иметь периодические решения с двумя точками переключения, времена перехода каждого из которых равны полупериоду решения.

Приведены примеры, характеризующие сложность динамики систем вида (1).

Во второй главе исследованы вопросы об асимптотической орбитальной устойчивости периодических, обладающих переключениями, решений системы (1) и о количестве решений, обладающих этим свойством.

В § 2.1 доказаны теоремы о конечном числе асимптотически орбиталь-но устойчивых решений с двумя точками переключения (теорема 2.1.) и конечном числе асимптотически орбитально устойчивых решений с ® конечным, большим двух, четным числом точек переключения (теорема 2.2.). При этом на точки переключения периодических решений накладываются дополнительные условия.

В § 2.2 исследовано поведение интегральных кривых системы (1) в достаточно малой окрестности периодической орбиты. В предположении что точки переключения известны, получены достаточные условия существования функции Ляпунова, с помощью которой доказана асимптотическая орбитальная устойчивость периодического решения, как для случая, когда периодическое решение не выходит из зоны неоднозначности функции f(cr) (теорема 2.3.), так и в случае, когда имеет место выход периодического решения из зоны неоднозначности функции /(сг) (теорема 2.4.). Результаты иллюстрируются на примере.

В третьей главе рассмотрены вопросы непрерывной зависимости времен перехода периодических режимов от параметров системы (1); выбора значений выходных параметров mi, rri2 управляющей функции либо коэффициентов вектора обратной связи Г, в предположении, что все остальные параметры системы заданы.

В § 3.1 получены условия, при выполнении которых имеет место непре-ф рывная зависимость времен перехода от параметров системы (утверждение З.1.). Показано, что асимптотически орбитально устойчивых периодических решений с двумя точками переключения, времена перехода которых обладают непрерывной зависимостью от параметров системы, а на точки переключения наложены дополнительные условия, может быть только конечное число.

В § 3.2 построены подмножества фазового пространства системы, такие, что, если эти подмножества пусты, то выполняются дополнительные условия, наложенные на точки переключения периодических режимов теоремами 2.1. и 2.2. (утверждение 3.2.).

В § 3.3 построены сечения пространства выходных параметров mi, rri2 и пространства коэффициентов вектора обратной связи Г, в предположении, что все остальные параметры системы (1) зафиксированы. При ® этом введено понятие области допустимых значений каждого из указанных пространств.

В § 3.4 показано, что кроме выбора параметров управляющей функции необходимо указать множество начальных данных, принадлежащих области притяжения периодического решения, так как возможно нарушение связности этих областей, отвечающих различным решениям. Получены условия, при выполнении которых не пусто множество допустимых значений в пространстве выходных параметров управления, если на тп\ и Ш2 накладываются дополнительные ограничения (утверждение 3.3.). Также получены условия, при выполнении которых не пусто множество допустимых значений пространства коэффициентов вектора обратной связи, если на величину нормы этого вектора накладываются дополнительные ограничения (утверждение 3.4.).

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Библиографический список содержит 60 наименований. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 55]. # В приложении 1 приведены дополнительные выкладки к различным разделам диссертационной работы.

В приложении 2 дается краткий обзор функций прикладных программ, используемых для численного исследования примеров.

В диссертационной работе использована двойная нумерация формул, теорем, утверждений, определений, следствий, замечаний. Первая цифра означает номер главы, вторая — текущий номер в главе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. Библиографический список приведен в алфавитном порядке. Для рисунков используется сквозная для всей работы нумерация.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Каменская, Светлана Александровна

Заключение

Рассмотренная в диссертации математическая модель взята из практики ф проектирования систем управления. В работе

1) получены достаточные условия на параметры автономной системы с релейным гистерезисом, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду, при этом показано, что симметричность не гарантирует ни единственности, ни устойчивости решений системы;

2) доказано, что у рассматриваемой системы число асимптотически орбитально устойчивых периодических решений с 2q (q G N) точками переключения, удовлетворяющих дополнительным условиям на точки переключения, конечно;

3) получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, не выходящее из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым;

4) получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, имеющее выход из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым;

5) получено выражение для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы в некоторой окрестности заданной точки пространства параметров;

6) получено аналитическое выражение для выделения в фазовом пространстве системы множества, такого, что если хотя бы одна из точек решения принадлежит этому множеству, то имеет место каса

Ф ние периодической орбиты с поверхностью переключения. Показано, что если эти множества пусты, то выполняются дополнительные условия на точки переключения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых периодических решений; в пространстве выходных параметров управления и в пространстве коэффициентов вектора обратной связи построены множества значений, при которых система имеет по крайней мере одно периодическое решение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каменская, Светлана Александровна, 2005 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамический систем. М.: Наука, 1966.

3. Антончик B.C., Смирнов Е.Я. К вопросу релейной стабилизации программных движений // Дифференциальные уравнения, 1971. Т. 7. № 3. С. 538-539.

4. Брокате М. Оптимальное управление системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелинейными характеристиками гистерезисного типа // АиТ, 1991. № 12. С. 3-51; 1992. № 1. С. 3-40.

5. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976.

6. Гелиг, Якубович В.А., Леонов Г.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

8. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

9. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

10. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. JL: Судпромгиз, 1966, 352с.

11. Зубов Н.В., Зубов С.В. Лекции по теории стабилизации динамических систем.: Учебное пособие. СПб.: Мобильность плюс, 1996.

12. Зубов Н.В., Зубов С. В. Математические методы стабилизации динамических систем / Под ред. Ю.З. Алешкова. С.-Петерб. гос. ун-т. СПб.: изд-во СПбГУ, 1996.

13. Зубов С.В. Об одной системе с гистирезисом // Дифференциальные уравнения, 1978. Т. 14. № 6. С. 1133-1135.

14. Зубов С.В. Автоколебания в системах с гистерезисом. В кн.: Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. С. 310-326

15. Камачкип A.M. Достаточные условия единственности периодических решений системы управления с гистерезисом // Труды СВМО, 2003. Т. 5. № 1. С. 62-67.

16. Камачкин A.M. Орбитальная устойчивость периодического решения системы автоматического регулирования с запаздыванием управляющих механизмов // Прикладная и вычислительная математика в судостроении. Труды ЛКИ: Л.: Изд-во ЛКИ, 1981. С. 94-98.

17. Камачкин A.M. Существование и единственность периодического решения релейной системы с гистерезисом // Дифференциалные уравнения, 1972. Т. 8. № 8. С. 1505-1506.

18. Камачкин A.M., Каменская С.А. Структура пространства параметров и фазового пространства гистерезисной системы n-го порядка // IX Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. В 3 ч. Гродно: ГрГУ, 2004. Ч. 3. С. 114-115.

19. Камачкин A.M., Каменская С.А. Существование и свойства периодических решений системы с гистерезисом // Труды СВМО, 2004. Т. 6. № 1. С. 51-60.

20. Каменская С.А. О конфигурации периодических режимов одной п-мерной системы с гитерезисом // Труды СВМО, 2005. Т. 7, № 1. С. 333-340.

21. Каменская С.А. Разбиение пространства параметров n-мерной гистерезисной системы на области различного динамического поведения // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 108-109.

22. Каменская С.А. Формирование гистерезисного закона управления динамикой // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: Материалы международной конференции (Брест, 5-8 октября 2005 г.), в 2 ч. Минск: БГПУ, 2005. Ч. 1. С. 130-136.

23. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб., 1993.

24. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. Об одном нелокальном признаке существования циклов систем с гистерезисом // АиТ, 2003. № 2. С.66-88.

25. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

26. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1993. Т. 199. С. 122-124.

27. Колесов Ю. С. Периодические решения уравнений n-го порядка с релейным управлением // АиТ. 1969. Т. 30. № 11. С. 178-181.

28. Леонов Г.А. Частотный критерий стабилизации нелинейных систем гармоническим внешним воздействием // АиТ, 1986. № 1. С. 169-174.

29. Леонов Г.А. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: изд-во СПбГУ, 1992.

30. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: изд-во техникотеоретической литер., 1955.

31. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

32. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // АиТ, 1947. № 5. С. 335-348.

33. Мизулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.

34. Неленин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1971.

35. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

36. Неймарк Ю.И. Динамика систем: Качественно-численное исследование динамических систем. Горький: Сб. ГГУ, 1988.

37. Неленин Р.А., Камачкин A.M., Туркин И.И., Шамберов В.Н. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления. Л.: изд-во ЛГУ, 1990.

38. Покровский А.В. Системы с сильными нелинейностями // Математическая теория систем / Под ред. М.А. Красносельского. М.: Наука, 1986. С. 96-111.

39. Покровский А.В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // АиТ, 1986. № 4. С. 16-23.

40. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических решений в системах с гистерезисными нелинейностями. Воронеж, 2002.

41. Ципкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

42. Якубович В.А. Частотные условия колебаний в нелинейных регулируемых системах с одной однозначной или гистерезисной нелинейностью // АиТ, 1975. е 12. С. 51-64.

43. Якубович В.А. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического регулирования / Под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1976. С. 42-177.

44. Brokate М., Sprecels J. Hysteresis and Phase Transitions. N.Y.: Springer, 1996.

45. Criminale W.O., Mar T.F. The electric bell as a nonlinear oscillator // SIAM Review, 1991. Vol. 33. No. 1. P. 644-649.

46. Epstein I.R., Showalter K. Nonlinear chemical dynamics: Oscillations, patterns and chaos //J. Phys. Chem., 1996. Vol. 100. No. 31. P. 1313113147.

47. Grasman J., Jansen M.J. W. Mutually synchronized relaxation oscillators as prototypes of oscillating systems in biology //J. Math. Biol., 1979. Vol. 7. No. 2. P. 171-197.

48. Kamachkin A.M., Kamenskaya S.A. Qualitative Investigation of the Solution Stability in n-dimensional Hysteresis System // Book of Abstract of 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control — SSSC04, 2004. P. 61.

49. Macki J. W., Nistri P., Zecca P. Mathematical Models for Hysteresis j j SIAM Review, 1993. Vol. 35. No. 1. P. 94-123.

50. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis. N.Y.: Springer, 1991.

51. Minagava S. A Proposal of a New Method of Phase Analysis of On-Off Control Systems with Relation to Sinusoidal Input // Bulletin of ISME, 1961. Vol. 4. P. 650-657.

52. Varigonda S., Giorgiou T.T. Dynamics of Relay Relaxation Oscillators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. Vol. 46. No. 1. P. 65-77.

53. Visitin A. Differential Models of Hysteresis. Berlin: Springer, 1994.