Аналитико-численные методы оценки диапазона быстрого захвата для двумерных систем фазовой синхронизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Благов Михаил Валерьевич

• Благов Михаил Валерьевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Благов Михаил Валерьевич

Введение

1 СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром

1.1 СФС с кусочно-линейной характеристикой фазового детектора

1.1.1 Аналитико-численный метод расчета диапазона быстрого захвата

1.1.2 Теорема о диапазоне быстрого захвата

1.1.3 Диаграммы диапазона быстрого захвата

1.2 СФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора

1.2.1 Численный метод расчета диапазона быстрого захвата

1.2.2 Диаграммы диапазона быстрого захвата

1.3 СФС с тангенциальной характеристикой фазового детектора

1.3.1 Теорема о бесконечности диапазона быстрого захвата

1.3.2 Сравнение СФС с синусоидальной и тангенциальной характеристиками фазового детектора в МаШЬ БтиНпк

2 СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром

2.1 СФС с кусочно-линейной характеристикой фазового детектора

2.1.1 Аналитико-численный метод расчета диапазона быстрого захвата

2.1.2 Теорема о диапазоне быстрого захвата

2.1.3 Диаграммы диапазона быстрого захвата

Заключение

Список литературы

Список рисунков

А Интегрирование СФС с идеальным пропорционально-

интегрирующим фильтром

A.1 Интегрирование траекторий СФС на участках линейности характеристики фазового детектора

Б Интегрирование СФС с пропорционально-интегрирующим

фильтром

Б.1 Сведение системы в форме Лурье к уравнению второго порядка . 97 Б.2 Интегрирование траекторий СФС на участках линейности характеристики фазового детектора

В Комплексы программ в пакете вычислений Mat lab

B.1 Программная реализация символьного построения траекторий СФС 109 В.2 Программная реализация построения диаграмм диапазона быстрого захвата

Введение

Системы фазовой синхронизации (СФС) впервые были предложены в 1923 г. в работах Э. Аплтона (нобелевский лауреат 1947 г. по физике) [1] и А. Беллис-циза в 1932 г. [2, 3]. Широкое применение СФС получили в радиотехнике и телевещании [4-8], в системах беспроводной [9-11] и оптической связи [12-15], навигации [16] и компьютерных архитектурах [17-19].

Первые идеи строгого анализа таких систем принадлежат известному итальянскому математику Ф. Трикоми [20] и основаны на качественном анализе фазовых портретов. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работах A.A. Андронова [21] и его последователей (М.В. Капранов [22], Л.Н. Белюсти-на [23-26], В.В. Матросов [27], В.Д. Шалфеев [28], H.A. Губарь [29], Б.И. Шах-тарин [30] и др.).

Задачам математического моделирования и анализа СФС посвящены опубликованные в 1966 г. классические монографии Ф. Гарднера [31], Э. Витер-би [32], В.В. Шахгильдяна и A.A. Ляховкина [33], в которых описаны инженерные подходы к анализу и синтезу двумерных моделей СФС, и уделено внимание изучению таких ключевых инженерных характеристик СФС, как диапазон удержания (hold-in range) и диапазон захвата (pull-in range).

Для проведения качественного анализа многомерных моделей СФС потребовалось развитие ляпуновских методов. Первые результаты в этом направлении были получены в 1950-60-е годы в работах Ю.Н. Бакаева [34,35], а затем развиты в 1970-е годы Г.А. Леоновым [36-39]: классические методы теории устойчивости были обобщены для систем с цилиндрическим фазовым пространством и разрывными пели ценностям и. что позволило предложить эффективные методы анализа и синтеза многомерных моделей СФС.

Появление новых инженерных приложений в сфере компьютерной техники, системах глобальной навигации и связи и увеличение рабочих частот по-

ставило новые задачи более точной оценки поведения СФС в переходных режимах [40,41]. При этом, благодаря развитию технологий производства СФС, появилась возможность более точной практической реализации синтезируемых математических моделей. Это позволило перейти от классических моделей СФС с устойчивыми фильтрами к моделям с полуустойчивыми фильтрами (с нулевым полюсом) с целью расширения области устойчивости замкнутой системы и ускорения процесса захвата частоты [42].

Анализ и синтез СФС с такими фильтрами потребовал дальнешего развития математических методов исследования для уточнения оценок характеристик переходных процессов. Одной из актуальных инженерных задач оценки переходных режимов СФС является задача Ф. Гарднера об оценке диапазона быстрого захвата, опубликованная в его монографии 2005 года [40]. Диапазон быстрого захвата соответствует синхронизации СФС за один такт эталонного генератора1. Это критически важно для приложений, связанных с цифровой передачей данных (например, для схемы Костаса [43-49]).

Строгий подход к решению задачи Гарднера был предложен в докторской диссертации Н.В. Кузнецова [42]. Возможность получения аналитических оценок диапазона быстрого захвата СФС и оценки сверху для СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром были показаны в диссертации К.Д. Александрова [50].

В настоящей диссертационной работе продолжено развитие этих идей и получены консервативные оценки диапазона быстрого захвата СФС на основании его строгого математического определения; предложен эффективный аналитико-численный метод расчета диапазона быстрого захвата и построения диаграмм зависимости его величины от параметров системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитико-численные методы оценки диапазона быстрого захвата для двумерных систем фазовой синхронизации»

Цели работы

1. Получение аналитических оценок диапазона быстрого захвата для классических математических моделей СФС второго порядка.

2. Разработка эффективных численных алгоритмов построения диаграмм зависимости диапазона быстрого захвата СФС от параметров системы.

3. Реализация разработанных алгоритмов в виде комплекса программ.

1 «If, for some reason, the frequency difference between input and VCO is less than the loop bandwidth, the loop will lock up almost instantaneously without slipping cycles. The maximum frequency difference for which this fast acquisition is possible is called the lock-in frequency» [40].

Основные положения, выносимые на защиту

1. Алгоритм аиалитико-числениого определения диапазона быстрого захвата классической модели СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром первого порядка и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора.

2. Алгоритм аналитико-численного определения диапазона быстрого захвата классической модели СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром первого порядка и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора.

3. Программная реализация алгоритма аналитико-численного определения диапазона быстрого захвата для классических моделей СФС с фильтрами первого порядка и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора в пакете вычислений MATLAB.

4. Теорема о бесконечности диапазона быстрого захвата для модели СФС Л. Робинсона [51] с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром первого порядка и тангенциальной характеристикой фазового детектора.

Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством. Также результаты подтверждаются сравнением с численным моделированием и ранее известными оценками в работах Ф. Гарднера [40], Д. Стенсбая и А. Хака [52,53], Н.В. Кузнецова, К.Д. Александрова [54,55], Р. Веста [18].

Научная новизна: все выносимые на защиту результаты получены автором самостоятельно и являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученный в диссертации алгоритм аналитико-численного определения диапазона быстрого захвата может использоваться для определения рабочих параметров СФС при их проектировании. Подход к аналитико-численному определению диапазона быстрого захвата возможно применить к СФС на основе схем Костаса и СФС с другими передаточными функциями фильтра.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (Брно, Чехия, 2015),

13th International Symposium «Intelligent Systems 2018» (Санкт-Петербург, Россия, 2018), 11-я Российская мультиконференция по проблемам управления (Санкт-Петербург, Россия, 2018), 11th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (Вена, Австрия, 2019), 13-е Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, Россия, 2019), на семинарах Кафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета и семинарах Факультета информационных технологий Университета Ювяскюля (University of Jyväskylä, Finland).

Публикации. Основные результаты работы представлены в 5 печатных работах [56-60], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Всего по результатам диссертации автором опубликовано 7 работ [56-62], получено свидетельство на программу для ЭВМ [63].

В работах [56-58,61,62] диссертанту принадлежит численное моделирование, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты. В работе [59] диссертанту принадлежит алгоритм для вычисления диапазона быстрого захвата для СФС с кусочно-линейной характеристикой фазового детектора и численное моделирование, соавторам принадлежит постановка задачи и остальные результаты. В работе [60] диссертанту принадлежат численное моделирование и доказательство теоремы о бесконечности диапазона быстрого захвата для СФС с тангенциальной характеристикой фазового детектора, соавторам принадлежит постановка задачи и остальные результаты.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и двух приложений. Полный объем диссертации 136 страниц машинописного текста с 27 рисунками. Список литературы содержит 106 наименований.

Модель СФС в пространстве сигналов

Рассмотрим классическую схему СФС, изображенную на Рис. 1 [31,32,64,65] в пространстве сигналов, т.е. на уровне физической реализации.

Здесь ЭГ (REF) — генератор эталонных высокочастотных колебаний, ПГ (VCO) — подстраиваемый генератор высокочастотных колебаний. Сигналы этих генераторов — fref (9ref(t)) и /vco(övco(t)) соответственно. При этом fref(в)

/ref(0ref(£))

vco

> k fv со (^vco(^))

ПГ

9{t)

Рисунок 1. Схема СФС на уровне физической реализации в пространстве

сигналов.

— форма сигнала ЭГ, а /усо(0) — форма сигнал а ПГ, 01е{ (£) — фаза сигнала ЭГ, вуСО(¿) — фаза сигнала ПГ. Элемент 0 — это используемый в качестве фазового детектора перемножитель. Произведение сигналов (0Гef (¿)) /уСО(9УСО(^)) поступает на вход фильтра низких частот (ФНЧ, линейного фильтра, ЬРГ), выход которого обозначен как д((р).

Изменение частоты (ПГ) корректирующим сигналом д(Ъ) будем считать линейным, как в работах [31,32,64]:

Qvco(t) = f + Kvcog(t).

(i)

Здесь ^Vee _ эт0 собственная частота подстраиваемого генератора (free running frequency). Также будем считать частоту эталонного генератора постоянной:

$ref (t) = Wref.

Для дальнейшего анализа удобно ввести следующие обозначения согласно

¿Г = Wref - fe, 0e(t) = 0Т ef (t) - evCo(t). (2)

Величина ш^гее называется начальной разностью частот эталонного и подстраиваемого генераторов, а величина 9e(t) называется расфазировкой.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую линейный фильтр [67,68]:

х = Ах + btf(t), g(t) = с*х + htf(t).

В системе (3) — вход фильтра; — его выход; х(Ъ) — вектор состояния фильтра; х0 = ж(0) — его начальное состояние; А — постоянная матрица; Ь, с, И — постоянные векторы.

Передаточная функция фильтра записывается в виде:

^(й) = -с*(А - )-1Ь + И (4)

Объединяя ранее рассмотренные уравнения подстраиваемого генератора (1) и линейного фильтра (3), получаем нелинейную неавтономную систему дифференциальных уравнений (5), описывающую СФС в пространстве сигналов 67,68]:

х(Ъ) = Ах() + Ь^е!(ш^£)/усо(^I - ве(г)),

С (5)

ве(1) = ¿Г - КУсоС*х(1) - К^^- ве(Ъ)).

Модель СФС в пространстве фаз сигналов

Исследование СФС в пространстве сигналов — трудная задача, так как при её решении необходимо одновременно рассматривать высокочастотные сигналы генераторов и низкочастотный управляющий сигнал, корректирующий частоту подстраиваемого генератора. Это не позволяет эффективно проводить анализ и моделирование физических моделей схем СФС в пространстве сигналов. Чтобы избежать указанных проблем, в классических инженерных работах [31,32,64] предлагается перейти от анализа неавтономной системы в пространстве сигналов к анализу автономной системы в пространстве фаз сигналов. Такая модель СФС широко применяется для изучения переходных процессов СФС [68,69]. Возможность проведения такого перехода при помощи специальных методов усреднения [67,70-72] обсуждается, например, в работах [66,73].

Рассмотрим схему СФС (см. Рис. 2) в пространстве фаз сигналов (также называемом frequency-domain [65]). Здесь перемножитель сигналов заменяется на нелинейный элемент - фазовый детектор (ФД), на вход которого поступают фазы 0Tef(t), 9vco(t) сигналов. Выход ФД p(Qe(t)) = ^(0Tef(t) — 9vco(t)), называемый характеристикой ФД, зависит от разности фаз сигналов, а вид характеристики ФД определяется формами рассматриваемых сигналов. Соотношение

Рисунок 2. Блок-схема СФС в пространстве фаз сигналов.

между входом 0е(£)) и выходом фильтра С(Ъ) в пространстве фаз сигналов имеет вид:

х = Ах + Ь(р( ое(г)),

с(г) = с*х + ве(г)). ^

Из уравнений подстраиваемого генератора (1) и линейного фильтра (6) получим автономную систему дифференциальных уравнений для схемы на Рис. 2:

х = Ах + Ьш( ве),

■ г е (7)

ве = ^Г - Кусо(С*Х + Ыр(ве)).

Для построения нелинейных математических моделей СФС в пространстве фаз сигналов необходимо определять характеристику фазового детектора (ФД)

нелинейного элемента, на вход которого поступают два сравниваемых высокочастотных сигнала, а выход содержит низкочастотный корректирующий сигнал, соответствующий разности фаз сравниваемых сигналов.

В работах [73 77] для сигналов общего вида и постоянной частоты входного сигнала приведен простой аналитический способ вычисления характеристик фазовых детекторов классической схемы СФС. Отметим, что рассмотрение работы схемы с несинусоидальными сигналами также сводится к рассмотрению специальных типов фазовых детекторов, позволяющих улучшить характеристики работы при наличии шума (см. [78,79]).

Поведение системы (7) не меняется при замене

х(1), ве(г)) ^ Ыгее, -х(г), -ве(г)), (8)

и

что позволяет рассматривать ее только дляц;гее > 0, вводя понятие отклонения частот:

кГееI = - 4Гсеое|. (9)

Диапазоны удержания, захвата и быстрого захвата

Наиболее важными характеристиками СФС являются диапазоны отклонений частоты, обеспечивающих подстройку фаз сигналов и переход СФС в рабочий режим [31,32,64]:

— диапазон удержания (hold-in range): если отклонение частот находится в этом диапазоне, то СФС может синхронизироваться и перейти в рабочий режим;

— диапазон захвата (pull-in range): если отклонение частот находится в этом диапазоне, то СФС обязательно синхронизируется и переходит в рабочий режим;

— диапазон быстрого захвата (lock-in range): если отклонение частот находится в этом диапазоне, то СФС обязательно синхронизируется и переходит в рабочий режим, причем, при изменении частоты достигает синхронизации за один такт подстраиваемого генератора.

Эти понятия широко используются в современной литературе (см., например, работы [18,40,80-83]).

Введём строгие математические определения основных понятий согласно работам [11,42,50,66,84].

Определение 1. Наибольший интервал отклонения частот Е [0,ии) такой, что математическая модель СФС в пространстве фаз сигналов (7) имеет локально устойчивое состояние равновесия, называется диапазоном удержания. Отклонение частоты называется частотой удержания.

Другими словами, значение отклонения частоты принадлежит диапазону удержания, если небольшие возмущения состояния модели не влекут выход модели из синхронизации. Для частот, которые соответствуют диапазону удержания, модель, находящаяся в состоянии равновесия, отслеживает малые изменения частоты входящего сигнала, т.е. достигает нового состояния равновесия (tracking process).

Исследование диапазона удержания может проводиться при помощи классических критериев локальной устойчивости [85 89].

Рисунок 3. Фазовый портрет модели СФС в пространстве фаз сигналов с пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой

фазового детектора при ufee ф [0,шн).

Предположим, что питание СФС было изначально отключено и затем включено в момент времени t = 0. Пусть начальная разность частот достаточно велика, тогда схема может войти в синхронный режим работы (рабочий режим) не «сразу», а частота ПГ будет постепенно подстраиваться под частоту входного сигнала, и схема будет постепенно синхронизироваться (этот процесс называется acquisition process). Такой эффект называется динамической устойчивостью (transient stability). Понятие диапазона захвата (pull-in range) используется для обозначения таких отклонений частот, для которых синхронизация гарантирована (см., например, [18,31,82,90]).

Для определения диапазона захвата введём вспомогательное определение из теории устойчивости согласно [38].

Определение 2. Если для некоторого и^ее каждая траектория системы, (7) стремится к некоторому состоянию равновесия, то система с таким, значением называется глобально устойчивой.

Определение 3. Наибольший интервал, отклонения частот и^ее Е [0,ыр) такой, что математическая, модель СФС в пространстве фаз сигналов (7) является, глобально устойчивой, называется диапазоном, захвата. Отклонение частоты шр называется част,от,ой, захвата.

100

200

100

200

(а)

.free

е [0,^р)

(b) f е [о,^Р)

Рисунок 4. Фазовые портреты модели СФС в пространстве фаз сигналов с пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой

фазового детектора. Бордовая траектория стремится к устойчивому состоянию равновесия при ¡х>^гее Е [0, ыр) и не достигает его при ц^66 Е [0,шр).

Диапазон захвата является подмножеством диапазона удержания [18 [0,Ыр) С [0,шн).

Для определения диапазона быстрого захвата важным понятием является проскальзывание циклов [31], широко распространенное в инженерной литературе, см. например, работы [91 100].

Определение 4. Если, sup |#е(0) — 0e(t)l > 2-к, говорят, что происходит про-

t> о

с к,ал,ьз ы,в ани е ц икл о в.

Определение 5. Диапазоном, быстрого захвата называется максимальный интервал, отклонений частот |wgree| Е [0,о>/) внутри диапазона захвата такой, что модель СФС в пространстве фаз сигналов, находящаяся в состоянии

0

0

е

free

равновесия, после мгновенного изменения частоты внутри этого интервал,а достигает состояния, равновесия, без проскальзывания циклов.

Рисунок 5. Поведение модели СФС в пространстве фаз сигналов при резком переключении частоты. При переключении частоты на величины Аы^ Ды2 и Д(х>з последующая синхронизация происходит без проскальзывания циклов. При переключении частоты на величину модель синхронизируется с

проскальзыванием циклов.

Определение 6. Частота Ш1 называется частотой быстрого захвата.

Определение 5 позволяет хорошо объяснить процесс быстрого захвата с практической точки зрения, однако, неудобно для математического описания процесса. Рассмотрим вспомогательное определение согласно [42,50].

Определение 7. Область в фазовом пространстве системы (7)

Аоск-ш (^А^,^) = |(0е(О),ж(О)):8ир|0е(*) - ^|<=2^}7П € Ж

называется локальной областью быстрого захвата для, устойчивого состояния, равновесия.

Другими словами, (0(0), ж(0)) € ^Оск-т {иеее, к, ? если траектория, выпущенная из этой точки, притягивается к состоянию равновесия (^ср^ес!) без проскальзывания циклов.

Аналогично определяется локальная область быстрого захвата для седло-вого состояния равновесия ^[0ск_т К",^,*™)-

Для любого из диапазона захвата фазовый портрет системы (7) имеет локальные области быстрого захвата.

Определение 8. Объединение локальных областей быстрого захвата

Аоск-т (ч^66) = Аоск-т (^е^, ^е-с^'^, Хщ8^ ) называется областью быст-

пех ^ '

рого захвата.

Рисунок 6. Фазовый портрет модели СФС с параметрами ^(й) = , т1 = 0.0633 т2 = 0.0225 ^УСО = 250, ы^"66 = 0. Серой заливкой отмечены локальные области быстрого захвата для устойчивых состояний равновесия. Здесь для траектории, начинающейся в точке А, происходят проскальзывания циклов, в отличие от траектории, начинающейся в точке В. Таким образом, даже для нулевой расфазировки можно наблюдать проскальзывание циклов.

Определение 9. Диапазоном быстрого захвата называется максимальный интервал, отклонений частот такой, что для, каждого отклонения, частоты, Л66 е [0,и/) модель (7) является глобально устойчивой, и область

Аоск-т^/66)

содержит, все состояния равновесия системы (7), соответствующие ш^66 е (-Ш/ ,ш/).

-4тг -37Г -27Г -7Г О 7Г 27Г -4"7Г -37Г -27Г -7Г О 7Г 27Г

(а) ^гее 6 [0,^) (Ь) ^гее 6 [0,Ш1)

Рисунок 7. Фазовый портрет модели СФС в пространстве фаз сигналов (2) с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой фазового детектора. Бордовые траектории стремятся к устойчивому состоянию равновесия без проскальзывания циклов при 6 [0,^) и с проскальзыванием циклов при 6 [0,^). Тёмно-серой заливкой отмечена область Аоск-т ((—ЧзГее,иеве))•

Определение 9 более удобно для математического рассмотрения, поэтому оно будет использоваться в этой работе в дальнейшем.

Глшзв

СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром

Для идеального пропорционально-интегрирующего фильтра первого порядка [18] передаточная функция Р(й) задается выражением

. = ^, (,!)

где т\ > 0 г2 > 0. В таком случае система (7) принимает вид:

0е = ^ - ^со (х + ^<р(6е)) .

Начальное состояние цепи характеризуется начальным сдвигом фазы ПГ относительно ЭГ 0е(0) и начальным состоянием фильтра ж(0).

1.2

1.1 СФС с кусочно-линейной характеристикой фазового детектора

Рассмотрим модель СФС в пространстве фаз сигналов (7) в случае, если сигналы эталонного генератора и подстраиваемого геиератора /тсо являются

импульсными:

/усо = ОО8(0усо(^)).

(1.3)

(1.4)

В этом случае характеристика фазового детектора <р(9е) будет треугольной ГТ611:

=

=

кОе — 2ккп

при — 1 + < 0е(£) < 1 + -Ъ®е + -1т (*" + 2^п)

при к + 2^п < 0е(г) < — 1 + 2^(п + 1),

2

п е Ж, к = —.

п

(1.5)

к

к

Рисунок 1.1. Кусочно-линейная характеристика фазового детектора при& = -

Диапазоны удержания и захвата

Рассмотрим условия полной синхронизации для нелинейной математической модели СФС в пространстве фаз сигналов (1.2), т.е. разность частот рав-

1 Далее функция ве) будет рассматриваться при произвольном коэффициенте к е ,

няется 0 и разность фаз 9e(t) постоянна:

0e(i) = 0, 9e(t) = 0eq. Состояние фильтра также постоянно x(t) = xeq. Состояния равновесия

пп( s,u) n(s ,и)\

"еq , xeq 1 определяются из равенств

i (fe))=°, (16)

( fri е q(^e

¿г - к^СоХеЧ (^eree) = о

и существуют при любых параметрах системы. При этом состояния равновесия

free

(free \

,n Е Z (1.7)

^vco J

устойчивы: в зависимости от прочих параметров системы (1.2) это фокус, узел или вырожденный узел; состояния равновесия

(^free \

+ 2пп, —e I,

^vco /

Х™) = Ж + 2mi,-re— ,п Е Z (1.8)

неустойчивы: являются сёдлами при любых параметрах системы (1.2).

Диапазон удержания (1.2) является бесконечным [73], т.к. при любой разности частот ц[гее в системе существуют устойчивые состояния равновесия Диапазон захвата (1.2) также является бесконечным [55,73], т.е. для произвольного и^ее модель СФС в пространстве фаз сигналов синхронизируется для любого начального состояния ($е(0),ж(0)). Доказательство этого строится на рассмотрении функции Ляпунова [38,55]:

^ 2

У {' - Ё) + ¡¡к/ ^ ^ 0' ^

0

У(х, ве) = -^^ (ве) < 0 Уве = ве<1. (1.10)

Т1

Для любого ^ее мпожество \г(х,0е) = 0 не содержит целых траекторий системы, кроме состояний равновесия.

Диапазон быстрого захвата

Численный анализ проскальзывания циклов в классической СФС выполнен в [91]. Аналитические методы для оценки числа циклов проскальзывания в зависимости от параметров модели представлены, например, в [101,102]. В работах [42,50] были предложены методы строгого вычисления диапазона быстрого захвата и приведены его оценки сверху для рассматриваемой модели.

1.1.1 Аналитико-численный метод расчета диапазона быстрого захвата

Чтобы определить границу диапазона быстрого захвата, необходимо рассмотреть форму областей Доск—¿п(ц[Гее) И Доск—т( — ^еГее)- Область быстрого захвата Доск—ш((х>еГее) является объединением локальных областей быстрого захвата Доск_1п(^гее), п Е Ж. Каждая локальная область быстрого захвата ^1оСк-т(<^еГее) (см- Рис- 1-2) ограничена входящими в седловое состояние равновесия (#^(^гее), ж^(^гее)) сепаратрисами Qn(6e,uíJee) и Яп(ве(и^ее), и^ее) и

(п(п—1)и/ |Уее\ (п—1)и/ |тее\\

дед (Ш1е1ее),Хе д (ш1е1ее)) се-

,е,^гее) и Яп—1(ве,^еел

(п—1)и( &ее\ , г 'ед (Ше ) + 2п ныл — иед (ше

Изменение сдвигает фазовую плоскость по-вертикали (по переменной х). Таким образом, пересечение областей быстрого захвата Доск—¿п(—^гее, ц^ее) является объединением пересечений локальных областей быстрого захвата (см. Рис. 1.3).

Частота быстрого захвата и/ системы (1.2) согласно определению 9 равна максимальному отклонению частот |ы/1, такому что состояния равновесия

: I ^ I < к I ,П Е Ж} (1.11)

содержатся в пересечении локальных областей быстрого захвата Доск—ш(— 1 , Пусть отклонение частот | ш^ее | — 0 (см. Рис. 1.3а). В этом случае симметричные состояния равновесия (1.2), (вп(/>и)( 1 ^гее 1 ),хп(в>и)( 1 ^гее 1 )) и (вп(;>и)(— 1 ^гее 1 )1хп(д",и)(~ 1 ^гее 1 )), совна-дают и находятся внутри Доск—ь (0) Далее следует увелпчнвать | ш{^ее | до тех нор, пока (с(5'м)( 1 ^гее 1 ),45'м)( 1 ^гее 1 )) и (с( 5 'м)( 1 — ^гее 1 ),х%5 'м)( — 1 ^гее 1 ))

паратрнсамп Qn—1(0e,ш]Гee)^ ^^(Ое,^^), а также вертикальными прямыми ж — в^д—1)и(^ее) + 2ъпих — 0™(^ее) + 2-кп.

-4-7Г -3-7Г -27Г -7Г О 7Г 27Г

ве

Рисунок 1.2. Фазовый портрет системы (7). Серой заливкой отмечена оценка локальной области быстрого захвата ^1°оск_1П(^ее). Подписи указывают па положение состояний равновесия и сепаратрис сёдел, ограничивающих

области быстрого захвата.

не достигнут границ Доск-т (- |^еГее|) и ^ЬскМп (|^еГее|) соответственно (см. Рис. 1.3Ь). Этот случай соответствует частоте быстрого захвата ш/. Дальнейшее увеличение |^гее| приведёт к тому, что симметричные состояния равновесия системы (7) окажутся вне пересечения областей быстрого захвата (см. Рис. 1.3с).

Таким образом, частота быстрого захвата ш/ системы (1.2) соответствует случаю

Хп^и\-щ) = яп(6%-1)>/ ),Ш!), (1.12)

что эквивалентно в силу симметрии

) = ), -<*). (1-13)

Из соотношения (1.12) получается соотношение для нахождения частоты быстрого захвата и/:

) = хп^а,и)(ш1) + <2п(0%-1)>/), 0). (1.14)

-4"7Г -37Г -27Г -7Г О

Ое

(a) jcD| =0

7Г

2тг

-47Г -37Г -2тг -7Г 0

(Ь) 0 < |ü |

7Г

2тг

-2тг

(с) |о) | = (¿1 (а) | > (¿1

Рисунок 1.3. Фазовые портреты для модели (1.2) с параметрами: ^(5) = 1+^Т2 г1 = 0.0633, т2 = 0.0225 ^уСО = 250. Чёрные (тонкие) линии соответствуют модели с положительным ^гее = \й|. Красные (средней толщины) линии — модели с отрицательным ^гее = -\й |. Состояния равновесия обозначены точками, сепаратрисы входят в сёдла и выходят из них, области быстрого захвата

обозначены светло-серой заливкой. Бордовые (толстые) линии из чёрного состояния равновесия после резкого изменения = -\й |. Левая верхняя и левая нижняя иллюстрации изображают поведение системы при

и

free

< и > соответственно. Правая верхняя и правая нижняя

картинки изображают оценку диапазона быстрого захвата в соответствие со всеми состояниями равновесия ~ 70.77) и только с устойчивыми состояниями равновесия ^ 85.25), соответственно.

е

Точная формула частоты быстрого захвата выражается путем подстановки выражения для в формулу (1.14):

KycoQni^eq j 0) , .

щ =--2-• v1-15)

Отметим, что в работах [54,66] диапазон быстрого захвата был оценён только относительно устойчивых состояний равновесия. С математической точки зрения, при таких оценках возможно проскальзывание циклов при переключении из неустойчивого состояния равновесия (см. рис. 1.3с1).

1.1.2 Теорема о диапазоне быстрого захвата

Теорема 1. Частота быстрого захвата для модели СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром (1.2) и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора (1.5) определяется как

ui = l^J yi, (1.16)

2 V Ti

где yi является решением системы уравнений (1.17). Здесь а = ^J^1

N(9е,у,а,к) и М(9е,у,а,к) задаются выражениями (1.18) и (1.19) соответственно, у\ и y'l вспомогательные переменные.

lim N ,a,k) - lim N (ве,уъа,к) = 0,

i -0 V 2 J ^+0

<

lim N (6e,yi,a,k) - lim N (ве,у2,а,к) = 0, (1.17)

ве^-1+0

lim M (ве,у2,а,к) - lim M (9e,yi,a,k) = 0.

ве^- 1 -0 ве^-Я + 0

N (ве,у,а,к) =

' 2 1п ^ + акуве + кв,2| + а^апЬ (=)

при (а&)2 — 4к > 0 и

ак+2 д/(а к)2—4 к

< 1,

11п

= <

|у2 + акуве + ^2| + 7ащгТк шхх^Ь (^4=)

при, (ак)2 — 4к > 0 и 21п 1у2 + акуве + квЦ -при, (ак)2 — 4к < 0.

ак+21-

_Ре

у/(а к)2—4 к

ак_

д/4 к—(ак)2

> 1,

агс1ап

/ ак+2 -§-е \

1^/4 к—(ак)2)

(1.18)

М (ве,у,а,к) = <

2 1п

(эт — к) у2 — ау (ве + п) — (ве + ж)2

аг^апЬ

2 А (^* )—а

^2+4(-—1) \ ^2+4(-—5)

при

2 1п

< 1,

^2+4(- — 1) (*■ — к) у2 — ау (ве + эт) — (ве +

агссоШ

2А (*—1)—а

^2+4(-—I) \ ^2+4(-—*)

А ("—* )—а

при

^2+4(- — 1)

(1.19)

> 1.

Доказательство. Для определённой характеристики фазового детектора (к в (1.5) фиксировано) частота быстрого захвата может быть рассмотрена как функция от параметров системы (1.2): шI = (КуСО,Т1,г2)7 т.е. каждой тройке (КуСО, т\, г2) соответствует своё значеииеы/. Для того, чтобы представить зависимость частоты быстрого захвата^ от параметров модели (1.2) на двумерном графике, проведём следующую процедуру. Рассмотрим линейное преобразова-

а

а

ние х ^ £ ^ т^. Система (1.2) примет вид:

X = ш( ве),

е)' 2 (1.20) ве = Т2^Г - ^Г22 (X + Ч>(ве)) .

Такое линейное преобразование изменяет масштаб фазового портрета системы (1.2) по переменной ж и не влияет па проскальзывания циклов и диапазон быстрого захвата.

Для системы с изменённым масштабом (1.20) значение т2(¿1 является функцией одного параметра К^°Т2. Отметим, что для системы (1.20) соотношение (1.14) принимает вид

КусотЩ0)

и* =--^-. (1'21)

I X Т 2

Перепишем (1.20), обозначая а = \jи применяя преобразовання t = Hi и у = - а (х + ве)):

ве = У,

У (1.22) У = (веЬ - ве) .

Это позволяет исключить ufJee из дальнейшего рассмотрения.

Отметим, что состояния равновесия ^ О^^, yeqS,u^ системы (1.20) и соот-

(nn(s,u) n(s,u)\ /-, 00\

"eq , Xeq 1 СИСТ6МЫ (l.ZZj ОДНОГО И ТОГО

же типа и связаны соотношением

(free \

efqs,u\ ^--axneeqs,uA ,п Е Z. (1.23)

Сепаратриса ве, Jjee) из (1.21) соответствует сепаратрисе ве) па фазовой плоскости (1.22) и выполнено соотношение

(free \

free

Q0(ee, ^Г) = - ^^ - S0(ee)\ . (1.24)

Следовательно, определяется формулой

Найдём 50 (О-1") = 50(—п). Для упрощения получения уравнений, задающих поведение сепаратрисы седла в фазовом пространстве системы, поделим второе уравнение системы (1.22) на первое и проинтегрируем траектории на отрезках гладкости характеристики фазового детектора:

Ж = —^№) — "Г. (1-26)

В работе [23] аналогичный подход рассматривается для несколько иной системы уравнений, а в работе [52] подобный способ рассмотрения используется для оценки частоты выхода из синхронизма для СФС с треугольной характеристикой фазового детектора.

После этого следует рассмотреть траектории (1.26) на трёх отрезках по#е и найти для них траектории системы на фазовой плоскости (см. рис. 1.4).

Для отрезка 9е е I = , , сепаратриса 50(#е) описывается прямой, совпадающей с собственным вектором седлового состояния равновесия2

X" =

а + ^ а2 + 4(^ — к) 2

\ 1 /

(1.27)

Соответствующая траектория системы является прямой3

л/а2 + 4(^ — к) — а

У = -п-(* — ■ (1-28)

2 — к)

2Вычисление собственных векторов седлового состояния равновесия приведено в Приложении АЛ.

3Вывод уравнения прямой приведён в Приложении АЛ.

Рисунок 1.4. Фазовый портрет (1.22), иллюстрирующий шаги процесса интегрирования сепаратрисы. Красная (толстая сплошная) линия на отрезке I — собственный вектор седла (и, 0). Синяя (пунктирная) линия на отрезке II и зелёная (пунктирная) линия на отрезке III интегральные кривые.

Тогда

Для ве е II = [-£

переменными

* (1) (,„)

, 1] уравнение (1.26) примет вид

(у 7 к0е . ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Благов Михаил Валерьевич, 2020 год

Список литературы

1. Appleton E.V. Automatic synchronization of triode oscillators // Proc. Cambridge Phil Soc. - 1923. - Vol. 21. - P. 231.

2. Bellescize H. La réception synchrone // L'onde Électrique. — 1932. — Vol. 11.

- Pp. 230-340.

3. Bellescize H. Synchronizing system. — 1935. — US Patent 1,990,428.

4. Wendt К., Fredentall G. Automatic frequency and phase control of synchronization in TV receivers // Proc. IRE. — 1943. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 1-15.

5. George T.S. Analysis of Synchronizing Systems for Dot-Interlaced Color Television j j Proceedings of the IRE. - 1951. - Vol. 39, no. 2. - Pp. 124-131.

6. Gruen W. Theory of AFC synchronization /j Proceedings of the IRE. — 1953.

- Vol. 8, no. 41. - Pp. Ю43-1048.

7. Richman D. Theory of Synchronization, Applied to NTSC Color Television // Proceedings of the IRE. - Vol. 41. - 1953. - Pp. 403-403.

8. Richman D. Color-carrier reference phase synchronization accuracy in NTSC color television // Proceedings of the IRE. — 1954. — Vol. 42, no. 1. — Pp. 106-133.

9. Du K.L., Swamy M.N.S. Wireless Communication Systems: from RF subsystems to 4G enabling technologies. — Cambridge University Press, 2010.

10. Rouphael T.J. Wireless Receiver Architectures and Design: Antennas, RF, Synthesizers, Mixed Signal, and Digital Signal Processing. — Elsevier Science, 2014.

11. Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop / R.E. Best, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov et al. // IFAC Annual Reviews in Control — 2016. — Vol. 42. - Pp. 27-49.

12. Cho P.S. Optical Phase-Locked Loop Performance in Homodyne Detection Using Pulsed and CW LO // Optical Amplifiers and Their Applications/Coherent Optical Technologies and Applications. — Optical Society of America, 2006. - P. JWB24.

13. Ho K.P. Phase-Modulated Optical Communication Systems. — Springer, 2005.

14. Helaluddin G. M. An improved optical Costas loop PSK receiver: simulation analysis // Journal of Scientific & Industrial Research. — 2008. — Vol. 67. — Pp. 203-208.

15. Rosenkranz W., Schaefer S. Receiver design for optical inter-satellite links based on digital signal processing // 18th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON) / IEEE. - 2016. - Pp. 1-4.

16. Kaplan E.D., Hegarty C.J. Understanding GPS/GNSS: Principles and Applications. — 3rd edition. — Artech House, 2017.

17. Kolumban G. Phase-locked loops // The Encyclopedia of RF and Microwave Engineering / Ed. by K. Chang. — New-York: John Wiley & Sons, 2005. — Vol. 4. - Pp. 3735-3767.

18. Best R.E. Phase locked loops: design, simulation, and applications. — McGraw-Hill Professional, 2007.

19. Best R.E. Costas Loops: Theory, Design, and Simulation. — Springer International Publishing, 2018.

20. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotech-nica // Annali della R. Shcuola Normale Superiore di Pisa. — 1933. — Vol. 2, no. 2. - Pp. 1-20.

21. Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — M.-JL: ОНТИ, 1937. — [English transl.: Andronov A.A., Chaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton University Press. 1949].

22. Капранов M.B. Полоса захвата при фазовой автоподстройке частоты // Радиотехника. - 1956. - Т. И, № 12. - С. 37-52.

23. Белюстина Л.Н. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. вузов. Радиофизика. — 1959. — Т. 2, № 2. — С. 277-291.

24. О величине полосы захвата системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром / Л.Н. Белюстина, В.В. Быков, К.Г. Кипеле-ва, В.Д. Шалфеев // Изв. вузов. Радиофизика. — 1970. — Т. 13, № 4. — С. 561-567.

25. Белюстина Л.И., Кивелева Г.В., Шалфеев В.Д. Применение ЭВМ к расчету полосы захвата нелинейных систем фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. - 1972. - Т. 27, № 7. - С. 36-39.

26. Белюстина Л.Н., Белых В. И. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. 9, ..V" 3. - С. 403-415.

27. Matrosov V. V. Nonlinear dynamics of phase-locked loop with the second-order filter // Radiophysics and Quantum Electronics. — 2006. — 03. — Vol. 49. — Pp. 239-249.

28. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации. — Н. Новгород, 2013.

29. Губарь И. А. Исследование одной кусочно-линейной динамической системы с тремя параметрами // ПММ. — 1961. — Т. 25, № 6. — С. 1011-1023.

30. Шахтарин Б.И. Исследование кусочно-линейной системы ФАП // Радиотехника и электроника. — 1969. — № 8. — С. 1415-1424.

31. Gardner F.M. Phase-lock techniques. — New York: John Wiley & Sons, 1966.

32. Viterbi A. Principles of coherent communications. — New York: McGraw-Hill, 1966.

33. Шахгилъдян В.В., Ляховкин А.А. Фазовая автоподстройка частоты. — Связь, 1966.

34. Бакаев Ю.Н. Некоторые вопросы нелинейной теории фазовых систем // Л/.: Труды ВВИА им. НЕ. Жуковского. - 1959. - № 800.

35. Бакаев Ю.Н. Построение рабочих зон систем автоматического регулирования фазы // Изв. АН СССР, отд. техн. паук, энергетика и автоматика _ i960. Л" 2. С. 132-136.

36. Леонов Г.А. Об устойчивости нелинейных регулируемых систем с неединственным положением равновесия // Автоматика и телемеханика. — 1971. ^ Т. 10. - С. 23-28.

37. Леонов Г.А. Об одном классе динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством // Сибирский математический журнал. — 1976. — Т. 17, № 1. - С. 91-112.

38. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович, В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — Наука, 1978. — [English transl: Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities, 2004, World Scientific].

39. Леонов Г.А., Селеджи C.M. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. — СПб.: Невский диалект., 2002.

40. Gardner F.M. Phaselock Techniques. — 3rd edition. — Wiley, 2005.

41. Discontinuity and Complexity in Nonlinear Physical Systems / R.E. Best, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov et al. — Springer, 2014. — Vol. 6.

42. Кузнецов H.B. Аналитико-численные методы анализа скрытых колебаний (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). — Санкт-Петербургский государственный университет, 2016. — [отзывы: И.М.Буркин, Н.Г.Кузнецов, Г.А.Леонов,

Е.А.Микрин, В.Г.Пешехонов, Р.М.Юсупов, В.И.Некоркин и А.М.Сергеев (ведущая организация, ИПФ РАН)].

43. Waters С. W. Costas loop QPSK demodulator. — Google Patents, 1982. — US Patent 4,344,178.

44. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for general waveform of input signal / N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, P. Neittaanmaki et al. // IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 -Proceedings. - 2012. - Pp. 109-112.

45. BPSK Costas loop: Simulation of nonlinear models in Mat Lab Simulink / N.V. Kuznetsov, O.A. Kuznetsova, G.A. Leonov et al. // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 83-87.

46. Simulation of nonlinear models of modified BPSK Costas loop for non sinusoidal waveforms in Mat Lab Simulink / N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev // 2014 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT).

- Vol. 2015-January. - IEEE, 2014. - Pp. 88-94.

47. Nonlinear Models of BPSK Costas Loop / E.V. Kudryashova, O.A. Kuznetsova, N.V. Kuznetsov et al. // ICINCO 20Ц - Proceedings of the 11th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. — 2014. — Vol. 1. Pp. 704-710.

48. A short survey on nonlinear models of QPSK Costas loop / N.V. Kuznetsov, O.A. Kuznetsova, G.A. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, no. 1. - Pp. 6525-6533.

49. Ladvanszky J. 4QAM Demodulation with Complex Costas Loop // EDI-CON.

- Boston, USA: 2017.

50. Александров К.Д. Вычисление полосы захвата без проскальзывания систем фазовой синхронизации (диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук). — Санкт-Петербургский государственный университет, 2016.

51. Robinson L.M. Phase-lock receivers. — 1965. — US Patent 3,204,185.

52. Huque A.S., Stensby J.L. An exact formula for the pull-out frequency of a 2nd-order type II phase lock loop // IEEE Communications Letters. — 2011. - Vol. 15, no. 12. - Pp. 1384-1387.

53. Huque A.S., Stensby J.L. An analytical approximation for the pull-out frequency of a PLL employing a sinusoidal phase detector // ETRI Journal. — 2013. - Vol. 35, no. 2. - Pp. 218-225.

54. Pull-in range of the classical PLL with impulse signals / K.D. Alexandrov, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 1. - Pp. 562-567.

55. Pull-in range of the PLL-based circuits with proportionally-integrating filter / K.D. Alexandrov, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov et al. // IFAC-PapersOnLine. _ 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 720-724.

56. Simulation of PLL with impulse signals in MATLAB: Limitations, hidden oscillations, and pull-in range / M.V. Blagov, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov et al. // 2015 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - 2015. - Oct. - Pp. 85-90.

57. Computation of lock-in range for classic PLL with lead-lag filter and impulse signals / M.V. Blagov, E.V. Kudryashova, N.V. Kuznetsov et al. // IFAC-PapersOnLine. - 2016. - Vol. 49, no. 14. - Pp. 42 - 44.

58. Диапазон захвата без проскальзывания для схем фазовой автоподстройки частоты / М.В. Благов, М.С. Красникова, Н.В. Кузнецов и др. // 11-я Всероссийская мультиконференция по проблемам управления. — 2018. — С. 152-158.

59. О диапазоне быстрого захвата для систем фазовой синхронизации с кусочно-линейной характеристикой фазового детектора /Н.В. Кузнецов,

М.В. Благов, К.Д. Александров и др. // Differential Equations & Control Processes. - 2019. - С. 74-89.

60. Hold-in, Pull-in and Lock-in Ranges for Phase-locked Loop with Tangential Characteristic of the Phase Detector / M.V. Blagov, O.A. Kuznetsova, E.V. Kudryashova et al. // Procedia Computer Science. — 2019. — Vol. 150. - Pp. 558 - 566.

61. Non-linear analysis of a modified QPSK Costas loop / N.V. Kuznetsov, M.V. Blagov, E.V. Kudryashova et al. // IFAC papers online. — 2019. — no. 16. - Pp. 31-35.

62. Рабочие диапазоны схем автоподстройки частоты / М.В. Благов, М.Ю. Ло-бачев, М.В. Юлдашев, Р.В. Юлдашев // Сборник трудов XIII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2019. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. — 2019. — С. 123 - 126.

63. Благов М.В., Лобачев М.Ю., Кузнецов Н.В. и др. Свидетельство на программу для ЭВМ. Программа для вычисления диапазона быстрого захвата системы фазовой синхронизации с пропорционально-интегрирующим фильтром (LRC). — 2019. — Свидетельство на программу для ЭВМ № 2020613062.

64. Шахгилъдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. — Москва: Связь, 1972.

65. Davis W.A. Radio Frequency Circuit Design. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering. — Wiley, IEEE Press, 2011.

66. Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory. / G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. — 2015. — Vol. 62. — Pp. 2454-2464.

67. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of phase-locked loop. Dynamics on circle, torus and cylinder. — World Scientific, 2007.

68. Abramovitch D. Phase-Locked Loops: A control Centric Tutorial. — IEEE, 2002. - Vol. 1. - Pp. 1-15.

69. Abramovitch D. Method for guaranteeing stable non-linear PLLs. — 2004. — US Patent App. 10/414791, http://www.google.com/patents/US20040208274.

70. Крылов H.M., Боголюбов H. H. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

71. Mitropolsky Y.A., Bogolubov N.N. Asymptotic Methods in the Theory of NonLinear Oscillations. — New York: Gordon and Breach, 1961.

72. Samoilenko A.M., Petryshyn R. Multifrequency Oscillations of Nonlinear Systems. Mathematics and Its Applications. — Springer, 2004.

73. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Nonlinear Mathematical Models of Phase-Locked Loops. Stability and Oscillations. — Cambridge Scientific Publisher, 2014.

74. Analytical method for computation of phase-detector characteristic / G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldahsev, R.V. Yuldashev // IEEE Transactions on Circuits and Systems - II: Express Briefs. — 2012. — Vol. 59, no. 10. - Pp. 633-647.

75. Nonlinear dynamical model of Costas loop and an approach to the analysis of its stability in the large / G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev // Signal processing. — 2015. — Vol. 108. — Pp. 124-135.

76. Computation of the phase detector characteristic of classical PLL / G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev // Doklady Mathematics. - 2015. - Vol. 91, no. 2. - Pp. 246-249.

77. Computation of the phase detector characteristic of a QPSK Costas loop / G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev // Doklady Mathematics. - 2016. - Vol. 93, no. 3. - Pp. 348-353.

78. Rosenkranz W. Phase-locked loops with limiter phase detectors in the presence of noise // IEEE Transactions on communications. — 1982. — Vol. COM-30, no. 10. - Pp. 805-809.

79. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. — Радио и связь, 1999.

80. Pederson D.O., Mayaram К. Analog Integrated Circuits for Communication: Principles, Simulation and Design. — Springer, 2008.

81. Bakshi U.A., Godse A.P. Linear ICs and applications. — Technical Publications, 2009.

82. Blanchard A. Phase-Locked Loops. — Wiley, 1976.

83. Brendel F. Millimeter-Wave Radio-over-Fiber Links based on Mode-Locked Laser Diodes. Karlsruher Forschungsberichte aus dem Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik. — KIT Scientific Publishing, 2013.

84. Rigorous mathematical definitions of the hold-in and pull-in ranges for phase-locked loops. / N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, M.V. Yuldashev, R.V. Yulda-shev // IF AG-Pa,persOnLme. - 2015. - Vol. 48, no. 11. - Pp. 710-713.

85. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion: particularly steady motion. — Macmillan and Company, 1877.

86. Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt // Mathematische Annalen. — 1895. — Vol. 46, no. 2. - Pp. 273-284.

87. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости по-ложения равновесия семейства систем линейных диф-ференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14. — С. 2086-2088.

88. Gopal М. Control systems: principles and design. — Tata McGraw-Hill Education, 2002.

89. Gantmacher F.R., Brenner J.L. Applications of the Theory of Matrices. — Courier Corporation, 2005.

90. Talbot D.B. Frequency Acquisition Techniques for Phase Locked Loops. — Wiley-IEEE Press, 2012.

91. Ascheid G., Meyr H. Cycle Slips in Phase-Locked Loops: A Tutorial Survey // Communications, IEEE Transactions on. — 1982. — Vol. 30, no. 10. — Pp. 2228-2241.

92. Yeo K.S., Do M.A., Boon C.C. Design of CMOS RF Integrated Circuits and Systems. — World Scientific, 2010.

93. Egan W.F. Phase-Lock Basics. — 2nd edition. — New York: John Wiley & Sons, 2007.

94. Wolaver D.H. Phase-locked Loop Circuit Design. — Prentice Hall, 1991.

95. Hsieh G.C., Hung J.C. Phase-locked loop techniques. A survey // IndustriaI Electronics, IEEE Transactions on. — 1996. — Vol. 43, no. 6. — Pp. 609-615.

96. Irwin J.D. The Industrial Electronics Handbook. — Taylor & Francis, 1997.

97. Craninckx J., Steyaert M. Wireless CMOS Frequency Synthesizer Design. — Springer, 1998.

98. De Muer В., Steyaert M. CMOS Fractional-N Synthesizers: Design for High Spectral Purity and Monolithic Integration. — Springer, 2003.

99. Shu K., Sanchez-Sinencio E. CMOS PLL synthesizers: analysis and design. — Springer, 2005.

100. Meyer-Baese U. Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays. — Springer, 2004.

101. Ершова О.В., Леонов Г.А. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автомат, и телемех. - 1983. - Т. 44, № 5. - С. 65-72.

102. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Nonlocal Methods for Pendulumlike Feedback Systems. — Stuttgart-Leipzig: Teubner Verlagsgesselschaft, 1992.

103. Бакаев Ю.Н. Об одном возможном способе улучшения динамических свойств систем автоматического регулирования // Изв.АН СССР, отд. техн. паук, энергетика и автоматика. — 1961. — № 1. — С. 144-145.

104. The birth of the global stability theory and the theory of hidden oscillations / N.V. Kuznetsov, M.Y. Lobachev, M.V. Yuldashev et al. // 2020 European Control Conference (ECC). - 2020. - Pp. 769-774.

105. Kuznetsov N.V. Theory of hidden oscillations and stability of control systems // Journal of Computer and Systems Sciences International — 2020. _ no. 59. _ pp. 647-668.

106. Лурье А.И. О канонической форме уравнений теории автоматического регулирования // Прикладная математика и механика. — 1948. — Т. 12, № 5.

Список рисунков

1 Схема СФС на уровне физической реализации в пространстве сигналов................................... 8

2 Блок-схема СФС в пространстве фаз сигналов............ 10

3 Фазовый портрет модели СФС в пространстве фаз сигналов с пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой фазового детектора при ф [0,^)........ 12

4 Фазовые портреты модели СФС в пространстве фаз сигналов с пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой фазового детектора. Бордовая траектория стремится к устойчивому состоянию равновесия при и^ее Ф [0,о^) и

не достигает его при ф [0, шр)................... 13

(a) ^гее € [0,^) ........................... 13

(b) |^гее ф [0,^)........................... 13

5 Поведение модели СФС в пространстве фаз сигналов при резком переключении частоты. При переключении частоты на величины Д(х>1, Д(х>2 и Д<^3 последующая синхронизация происходит без проскальзывания циклов. При переключении частоты на величину Д^4 модель синхронизируется с проскальзыванием циклов. . . 14

6 Фазовый портрет модели СФС с параметрами ^(й) =

П = 0.0633, 72 = 0.0225, Кчс0 = 250, ^гее = 0. Серой заливкой отмечены локальные области быстрого захвата для устойчивых состояний равновесия. Здесь для траектории, начинающейся в точке А, происходят проскальзывания циклов, в отличие от траектории, начинающейся в точке В. Таким образом, даже для нулевой расфазировки можно наблюдать проскальзывание циклов. 15

7 Фазовый портрет модели СФС в пространстве фаз сигналов (2) с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром и треугольной характеристикой фазового детектора. Бордовые траектории стремятся к устойчивому состоянию равновесия без проскальзывания циклов при и^ее Е [0,^/) и с проскальзыванием циклов при ц[гее Е [0, Ш1). Тёмно-серой заливкой отмечена область Асек-т ((-^Гее,^Гее)).......................... 16

(а) ^гее Е [0,Ы/)............................ 16

(Ь) ^гееЕ [о, и/)............................ 16

1.1 Кусочно-линейная характеристика фазового детектора при к = 2. 18

1.2 Фазовый портрет системы (7). Серой заливкой отмечена оценка локальной области быстрого захвата Л°сек_1п(ц[гее). Подписи указывают на положение состояний равновесия и сепаратрис сёдел, ограничивающих области быстрого захвата............. 21

1.3 Фазовые портреты для модели (1.2) с параметрами: Р(й) =

т\ = 0.0633, т2 = 0.0225, К^ес = 250. Чёрные (тонкие) линии соответствуют модели с положительными^ = \ш\. Красные (средней толщины) линии — модели с отрицательными^ = — \ш\. Состояния равновесия обозначены точками, сепаратрисы входят в сёдла и выходят из них, области быстрого захвата обозначены светлосерой заливкой. Бордовые (толстые) линии из чёрного состояния равновесия после резкого изменения= — \ш\. Левая верхняя и левая нижняя иллюстрации изображают поведение системы при ¡х>^гее < и ¡х>^гее > соответственно. Правая верхняя и правая нижняя картинки изображают оценку диапазона быстрого захвата в соответствие со всеми состояниями равновесия (^ ~ 70.77) и только с устойчивыми состояниями равновесия (^ ~ 85.25), соответственно.............................. 22

(a) \ш \ =0............................... 22

(b) 0 < \ш\ <Ш1............................ 22

(c) \Со \ = и/.............................. 22

(а) \ш\ >Ш1.............................. 22

1.4 Фазовый портрет (1.22), иллюстрирующий шаги процесса интегрирования сепаратрисы. Красная (толстая сплошная) линия на отрезке I — собственный вектор седла (ж, 0). Синяя (пунктирная) линия на отрезке II и зелёная (пунктирная) линия на отрезке III

_ интегральные кривые......................... 27

1.5 Диаграммы диапазона быстрого захвата для классичесой СФС с треугольной характеристикой фазового детектора и идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром при т2 = 0.0225. Сплошная линия и светло-серая заливка соответствуют оценке К.Д. Александрова [54], прерывистая линия и тёмно-серая заливка — оценке, данной в этой работе. Область ниже линии «точка-тире» — оценка диапазона быстрого захвата Р. Беста [18].....32

1.6 Диаграммы диапазона быстрого захвата для классичесой СФС с треугольной характеристикой фазового детектора и идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром прит2 = 0, 0.1,..., 1. На верхнем изображении — оценка относительно устойчивых состояний равновесия, на нижнем — относительно всех состояний равновесия................................ 33

1.7 Диаграммы диапазона быстрого захвата для классичесой СФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора и идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром при т2 = 0.0225. Сплошная линия и светло-серая заливка соответствуют оценке К.Д. Александрова [54], прерывистая линия и тёмно-серая заливка — оценке, данной в этой работе. Область ниже линии «точка-тире» — оценка диапазона быстрого захвата

Р. Беста [18]............................... 35

1.8 Диаграммы диапазона быстрого захвата для классичесой СФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора и идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром при т2 = 0, 0.1,..., 1. На верхнем изображении — оценка относительно устойчивых состояний равновесия, на нижнем — относительно всех.................................... 36

1.9 Фазовый портрет модели ФАП с тангенциальной характеристикой фазового детектора......................... 39

1.10 Векторное поле системы СФС с тангенциальной характеристикой фазового детектора в малой окрестности прямой ве = |...... 39

1.11 Simulink-модели для системы СФС с синусоидальной (слева) и тангенциальной (справа) характеристиками фазового детектора. Здесь ^VCO^ = 100, Ti = 0.01 r2 = 0.05, Kvco = 200. Начальный входной сигнал ¡x>ref = 100 и затем происходит скачок до ¡x>ref =

350.................................... 40

1.12 Simulink-моделирование для СФС с синусоидальной (слева) и тангенциальной (справа) характеристиками фазового детектора. . . 41

1.13 Разность фаз между входным сигналом и сигналом ПГ. На левой иллюстрации — проскальзывание циклов для классической системы СФС, на правой - отсутствие проскальзывания циклов для системы СФС с тангенциальной характеристикой фазового детектора................................ 41

2.1 Фазовый портрет системы (2.16) для параметров Кусо = 250, т\ = 0.0225, т2 = 0.0633. На каждом изображении черные (тонкие) линии соответствуют фазовому портрету (2.16) до переключения частоты ((х>еГее = % = 1,2,3), красные (толстые) линии соответствуют фазовому портрету (2.16) после переключения частоты (и^ее = % = 1,2,3). Бордовые (самые толстые) линии соответствуют состояниям синхронизации системы (2.16) до пе-

реключения частоты........................... 49

(a) Максимальная частота = 73.7320, при переключении которой на —ш\ происходит синхронизация без проскальзывания циклов из любого состояния равновесия......... 49

(b) Максимальная частота и2 = 77.7440, при переключении которой па — и2 происходит синхронизация без проскальзывания циклов из устойчивого состояния равновесия...... 49

(c) При частоте = 80 синхронизации без проскальзывания циклов из состояния синхронизации не происходит...... 49

2.2 Произвольная фазовая траектория в верхней полуплоскости. @ = 0.3, «о = 0.1, Ао = 14, к = 2. В данном случае устойчивое состояние равновесия является фокусом................... 53

2.3 Кусочное интегрирование сепаратрисы седла. [5 = 0.3, а0 = 0.1, А0 = 14, к = 2. В данном случае устойчивое состояние равновесия является фокусом......................... 54

2.4 Диаграмма зависимости диапазона захвата от параметров системы (2.2) с характеристикой фазового детектора (1.5)........ 56

2.5 Диаграммы диапазона быстрого захвата для классичесой СФС с треугольной характеристикой фазового детектора и пропорционально-интегрирующего фильтра при Г2 = 0, 0.1,...,1. 57

2.6 Зелёная пунктирная линия — оценка сепаратрисного цикла. Красная сплошная линия, примыкающая к ней — оценка полуустойчивого цикла (скрытого аттрактора). Толстая синяя сплошная линия — оценка диапазона быстрого захвата, полученная в данной работе. Фиолетовая линия «точка-тире» — оценка Р. Веста..... 58

А.1 Функция N(6е, у, а, к) с константами С(01) (пунктирные линии и сплошная линия на интервале (0,1)) и С(_ 1 0) (линии вида «точка-тире» и сплошная линия на интервале (—1,0)). Сепаратриса задаётся сплошными участками каждой интегральной кривой.................................... 88

Прило^жснис А

Интегрирование СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром

А.1 Интегрирование траекторий СФС на участках линейности характеристики фазового детектора

Вычисление собственных векторов седла

Пусть к < 9е < — 1- Тогда функция примет вид

к — О

Р(0е) = -1е , (А.1)

^ _ к

а её производная

^(0е) = ^З^Г. (А-2)

^ _ к

Система (1.2) преобразуется к (А.З)

Ое = У,

У= У + ¿Т (^ _ ^)

к

(А.З)

На рассматриваемом интервале у системы (А.З) существует единственное состояние равновесия (0щ,ущ) = (к, 0).

Для определения его типа построим характеристический полином и найдём его корни:

Х(А) =

-Л

1

- * - *

-Л

= Л2-

а

-А-

1

^ — к

- — к'

(А.4)

а ± \ а

\ и

Л1,2

У«2 +4 (* — к) 2 (* — к)

(А.5)

Один из корней ли2 всегда положителен, другой отрицателен. Значит, состояние равновесия (п, 0) всегда является седлом. Обозначим (^^у^) = 0). Сепаратрисы седла вблизи состояния равновесия совпадают с собственными векторами седла.

Найдём собственные вектора Х0и, Х0и седла • Собственный вектор

X0и находится из уравнения:

(

—Ли

1

— Ли

)

= о.

(А.6)

Подставим значение соответствующего собственного числа

а а2 + 4(^ — к)

2

- — к)

V

-1

а а2 + 4(^ — к)

2 — к)

/

=о

(А.7)

и преобразуем

а

+ + — к)

2

- — к)

й — л / а

V«2 + — к)

2

- — к)

/

X и

= о.

(А.8)

а

1

а

1

1

а

1

1

а

Домножим вторую строку предыдущего уравнения на

+ у/ а2 + 4(^ — 1)

а + ,/а2 + — 1)

2(

- — 1)

а + ^ а2 + 4(^ — к)

а2 — а2 — 4 (п — к

)

4 — к) )

XI

= О,

(А.9)

2

1

а + А а2 + 4(^ — к)

2

- — 1)

а + а2 + 4(^ — к)

V ^кО

1

/

= О.

(А.10)

Таким образом, решением является вектор

X?

с

а + л/а2 + 4(^ — 1)

V

2 — 1)

/

(А.11)

Выберем с =

+ 4(^ — к) — а

2

. Тогда

+ 4(^ — к) —а

V

2 1

/

(А.12)

Далее найдём собственный вектор X2 аналогичным образом:

(

— Л2

-1 - *

л и

— Л2

)

Л2

= О,

(А.13)

1

с

1

1

а

а — л/а2 + 4(^ — к)

2

- — к)

V

-1

а —у] а2 + 4(^ — к)

— й )

Х2и = О, (А.14)

а — л/а2 + 4(^ — к)

2 — к)

а а2 + 4(^ — к)

V

- *

2 — к) /

Х2и

= о.

(А.15)

Домножим вторую строку предыдущего уравнения на

а — ^ а2 + 4(^ — к)

2

( а — А/а2 + 4(^ — к)

2 — к)

а — ^ а2 + 4(^ — к)

V

а2 — а2 — 4 (

4 — к) )

и Л2

= о,

(А.16)

^ а — V«2 + 4(^ — к) ^

2 — к)

а —л/а2 + 4(^ — к)

2

- — к)

1

Хи 2

= о.

/

(А.17)

Таким образом, решением является вектор

^ =

С

а — у/ а2 + 4(^ — к)

(А.18)

1

а

я—

к

1

1

1

1

С

Выберем с =

а + а2 + 4(^ — к)

2

Хи

2

а + а2 + 4(^ — к) 2

V

/

(А.19)

Уравнения траектории СФС в пространстве фаз сигналов

Интервал I

Выпишем уравнение прямой, проходящей через точки

(ве1 ,?Л ) = (*, 0) , (0е2,Ы =

ж —

а + ^ а2 + 4(^ — к)

2

V

!

(А.20)

Имеем

У — 0 1-0

0е- Я"

2 (Ж — ^е) ^^ + 4(^ — к) — а

а + А/а2 + 4(^ — к)

2 — к)

(V — ^е)

(А.21)

наконец,

У =

+ 4(^ — к) —а

2 — к)

(Я" — 0е)

(А.22)

Интервал II

Пусть — к < 0е < к, тогда функция (р(ве) примет вид

= кве,

^ (Ое) = к,

(А.23) (А.24)

1

1

а система (1.2) запишется как (А.25)