Аналитическое и численное исследование структурообразующих объектов в фазовом пространстве простых гидродинамических потоков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дидов Александр Алексеевич

• Дидов Александр Алексеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Дидов Александр Алексеевич

Введение

Глава 1. Анализ свойств структурообразующих объектов фазового

пространства ABC -потока

1.1 Краткая история изучения ABC -потока

1.2 Анализ стационарных точек и их бифуркаций

1.2.1 Стационарные решения

1.2.2 Анализ устойчивости решений

1.2.3 Собственные значения

1.2.4 Заключительные замечания по параграфу

1.3 Нелинейные резонансы

1.3.1 Модельный поток в случае плоского течения

1.3.2 Резонансные структуры в случае малого вертикального возмущения

С <

1.3.3 Численное подтверждение существования резонансов порядка п : т

1.3.4 Заключительные замечания по параграфу

1.4 Квазиклассическая динамика квантовых частиц в одномерной решётке

1.4.1 Модель Обри-Андре: история исследования

1.4.2 Модель Обри-Андре: уравнения динамики

1.4.3 Невозмущенная квазиклассическая динамика

1.4.4 Возмущённая квазиклассическая динамика

1.4.5 Квантовая динамика

1.4.6 Заключительные замечания по параграфу

1.5 Заключительные замечания по главе

Глава 2. Периодические орбиты в модели хаотической адвекции с

точечным вихрем в периодическом потоке

2.1 Хаотическая адвекция и гиперболические периодические орбиты

2.2 Прототипная модель хаотической адвекции: фиксированный точечный вихрь

в поле скорости с постоянной и периодической составляющими

2.3 Периодические орбиты в случае ^ =

2.4 Возникновение и бифуркации периодических орбит

2.4.1 Обозначения орбит

2.4.2 Типы бифуркаций периодических орбит

Стр.

2.4.3 Седловая орбита

2.4.4 Универсальный каскад удвоения периода эллиптических орбит

2.4.5 Орбиты вторичных резонансов

2.4.6 Бифуркация типа вилка без удвоения периода

2.4.7 Бифуркация рождения пары орбит

2.5 Заключительные замечания по главе

Глава 3. Фрактальная структура хаотического рассеяния на точечном

вихре в поле (квази)периодического возмущения

3.1 Хаотическое рассеяние. Базовые определения и понятия

3.2 Хаотическое рассеяние в случае периодического возмущения

3.3 Закон убывания длин сегментов эпистроф в случае (квази)периодического возмущения

3.4 Эффективная частота возмущения и механизмы хаотического рассеяния

3.4.1 Функция и фрактал хаотического рассеяния

3.4.2 Транспорт пассивных примесей

3.5 Доминирующая частота в случае (квази)периодического возмущения

3.5.1 Рациональные соотношения частот

3.5.2 Иррациональные соотношения частот

3.6 Заключительные замечания по главе

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность исследования

Динамический хаос как фундаментальное явление природы активно изучается на протяжении последних 50 лет [1-9]. Термин "хаотический" применяется для детерминированных систем, множество траекторий которых проявляют экспоненциальную чувствительность к малым изменениям начальных условий и (или) управляющих параметров. В диссипативных системах происходит уменьшение фазового объёма, а в гамильтоновых системах фазовый объем сохраняется. В диссертации исследуются примеры закрытых и открытых простых га-мильтоновых систем с малым числом степеней свободы. В хаотическом режиме движения фазовое пространство таких систем разбивается на регулярную и хаотическую компоненты и на переходные области между ними. Фазовое пространство даже простых гамильтоновых систем является очень сложным — оно зачастую состоит из самоподобных перемежающихся областей все более и более мелкого масштаба.

Одномерный маятник под действием периодической силы и в отсутствие шумового возмущения может вращаться или колебаться периодически при заданных начальных условиях и/или управляющих параметров и способен вращаться и/или колебаться нерегулярно при других заданных значениях. В динамической системе с хаотическим движением расстояние между изначально близкими траекториями в фазовом пространстве растёт экспоненциально во времени

||5г{*)|| = ||6г(0)||еЛ (1)

где Л — положительное число, известное как максимальный показатель Ляпунова. Эта величина характеризует асимптотически при £ ^ ж среднюю скорость разбегания траекторий, а || • || — норма вектора положения маятника г. Из (1) следует, что практически невозможно предсказать положение маятника г за так называемым "горизонтом предсказуемости",

который может быть весьма малым,

1 , II Дг

т , ~ _ 1п

- Л1п ||Д_

где |Д|| — доверительный интервал, а ||Д^(0)|| — практически неизбежная неточность в определении начального положения маятника. Детерминированная динамическая система, имеющая хотя бы один положительный показатель Ляпунова почти для всех начальных условий и моментов (в смысле ненулевой меры), называется полностью хаотической. Теория хаоса — это ветвь теории динамических систем, развитая из геометрического подхода к дифференциальным уравнениям Пуанкаре [10], Андроновым [11] и многими другими.

Фазовое пространство типичной хаотической гамильтоновой системы содержит "острова" устойчивости, находящиеся в хаотическом море. Зависимость горизонта предсказуемости Тргеа от отсутствия нашего знания о точном местоположении является логарифмической, т. е. она намного слабее, чем от меры динамической неустойчивости, количественно определяемой Л. Для любой разумной степени точности при задании начальных условий существует интервал времени, за пределами которого прогноз невозможен, и это время может быть сравнительно небольшим для хаотических систем. Это основная причина, по которой точный прогноз погоды невозможен, независимо от того, насколько совершенны детекторы для измерения начальных параметров и насколько мощные компьютеры используются при расчётах.

Методы теории динамических систем активно используются в последние 30 лет для описания адвекции пассивных частиц в потоках жидкости в большом диапазоне масштабов, от микрожидкостей (microfluids) до геофизических потоков в океане и атмосфере. Если ад-вектируемые частицы мгновенно принимают значение скорости потока и не влияют на его свойства, то они называются "пассивными", и их движение описывается простым уравнением

ш = ^ (3)

где г = (х,у,г) и V = (и,у,-м) — векторы положения и скорости в точке (х,у,г), соответственно. Эта формула означает, что лагранжева скорость пассивной частицы (левая часть ур. 3) равна эйлеровой скорости потока в месте нахождения этой частицы (правая часть ур. 3). В механике жидкости под пассивными частицами подразумеваются частицы воды (воздуха) с их свойствами или мелкие инородные тела в потоке. Уравнения движения (3) в нетривиальных случаях представляют собой набор из трёх нелинейных детерминированных дифференциальных уравнений, фазовое пространство которых является физическим пространством для адвектируемых частиц. Решения этих уравнений могут быть хаотическими в смысле экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий и/или управляющих параметров, как в ур. (1).

Что касается динамического хаоса в идеальных жидкостях, то именно Арнольд [12] впервые предположил хаос в линиях тока (и, следовательно, в траекториях) для особого класса трёхмерных стационарных потоков, так называемых потоками Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса (АВС). Численное подтверждение наличия хаотического поведения траекторий в стационарном потоке было получено в работе [13], и более подробное аналитическое и численное исследование было проведено в работе [14].

Термин "хаотическая адвекция" был введён Х. Арефом [15; 16], который понял, что уравнения адвекции для двумерных потоков могут иметь гамильтонову форму. Для несжимаемых плоских потоков компоненты скорости могут быть выражены в терминах функции

тока. Таким образом, уравнения движения (3) могут быть представлены в гамильтоновой форме

dx д Ф dy д Ф

dt =и{ху,*) = - дЦ, -dt=v(xy,t)= дХ, (4)

где функция тока Ф играет роль гамильтониана и координаты (x, у) частицы являются канонически сопряжёнными переменными. Известно, что все независимые от времени гамиль-тоновы системы с одной степенью свободы являются интегрируемыми. Это означает, что все частицы жидкости движутся вдоль линий тока не зависящей от времени функции тока. Уравнения адвекции (4) с периодической по времени функцией тока могут быть неинтегри-руемыми, что приводит к появлению хаотических траекторий частиц. Хаотическая адвекция была изучена аналитически и численно в ряде простых моделей и в лабораторных экспериментах (см., например, обзор в [16; 17]).

Поскольку фазовая плоскость динамической системы является физическим пространством для жидких частиц, многие абстрактные математические объекты из теории динамических систем (стационарные точки, торы Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), устойчивые и неустойчивые многообразия, периодические и хаотические траектории и т. д.) имеют свои материальные аналоги в жидких потоках. Хорошо известно, что помимо "тривиальных" эллиптических стационарных точек, движение вокруг которых устойчиво, существуют гиперболические стационарные точки, которые организуют движение жидкости в своей окрестности особым образом. В стационарном потоке гиперболические точки обычно связаны сепаратрисами, которые одновременно являются их устойчивыми и неустойчивыми инвариантными многообразиями. В периодическом по времени потоке они становятся соответствующими периодическими гиперболическими траекториями с двумя инвариантными многообразиями, которые в общем случае трансверсально пересекаются, что приводит к сложной гомо- или гетероклинической структуре. Движение жидкости в этих областях настолько сложно, что его можно строго назвать хаотическим. Это явление известно как "хаотическая адвекция". Изначально близкие частицы жидкости в таких структурах быстро разбегаются в пространстве, обеспечивая эффективный механизм перемешивания. Фазовое пространство типичного хаотического открытого потока состоит из КАМ-торов с регулярными траекториями частиц, вложенных в хаотическое "море", и хаотического инвариантного множества (состоящего из всех периодических и непериодических гиперболических орбит) [18-20].

Устойчивые и неустойчивые многообразия являются важными структурообразующими объектами в потоке, поскольку они "притягивают" и "отталкивают" частицы жидкости и разделяют поток на области с качественно различными режимами движения. Инвариантным многообразием в двумерном потоке является материальная линия, состоящая из одних и тех же частиц жидкости. По определению устойчивым, Ws, и неустойчивым, Wu, многооб-

разиями гиперболической траектории у(Ь) называются материальные линии, состоящие из множества точек, через которые в момент времени проходят траектории частиц жидкости, приближающиеся к у(£) при Ь ^ ж ( и í ^ — ж ( Ши). На двумерной плоскости (х, у) они представляют собой сложные кривые, бесконечные во времени и пространстве (теоретически), которые действуют как транспортные барьеры (см., например, [21;22]).

Эксперименты с хаотическими потоками обеспечивают визуализацию некоторых абстрактных математических понятий динамического хаоса, включая КАМ-торов, стационарных точек, устойчивых и неустойчивых многообразий и т. д.. Описание и иллюстрации некоторых экспериментов с лабораторными плоскими потоками можно найти в книге [17]. В одном из них установка, состоящая из прямоугольного резервуара с двумя противоположными стенками, которые могут двигаться периодически или в более сложной зависимости от времени, создаёт двумерное плоское поле скоростей [17]. Растяжение и складывание при хаотическом перемешивании в этом потоке хорошо видно на рис. 1, который иллюстрирует временную эволюцию двух пятен красителя. Нижнее пятно, первоначально помещённое внутрь "острова" устойчивости (КАМ-тор), задерживается внутри этого "острова", в то время как верхнее пятно, первоначально помещённое вблизи гиперболической точки в хаотическом "море", подвергается значительному растяжению после нескольких периодов колебаний стенки. Таким образом, "устойчивое" пятно краски просто вращается без существенной деформации, тогда как "хаотическое" пятно растягивается и складывается множество раз. Его сильная деформация вызвана влиянием неустойчивого многообразия соответствующей гиперболической точки. Схема на рис. дает приблизительное изображение этого многообразия.

Пусть функция тока имеет вид

Ф(Ь) = Фо + (Ь), (5)

где Ф0 — стационарная компонента, Ф1 (Ь) — возмущение с периодом Т0 и ^ — малая амплитуда возмущения. Возникновение динамического хаоса можно проиллюстрировать на примере простого периодического потока, фазовый портрет которого схематично показан на рис. 2. Конкретный пример такого потока с вихрем в неподвижной точке и фоновым периодическим течением будет рассмотрен в главе 2. Основным объектом здесь является петля сепаратрисы, которая проходит через седловую (гиперболическую) точку и разделяет области финитного и инфинитного движения. Движение вдоль сепаратрисы бесконечно во времени. Без возмущения "устойчивый ус" сепаратрисы, по которому фазовая точка приближается к седлу, совпадает с "неустойчивым усом", по которому она удаляется.

В океане имеются области со множеством гиперболических траекторий с ограниченным временем жизни, каждая со своими ограниченными во времени и пространстве устойчивыми

а) • Ь) —--—

•

Рисунок 1 — Временная эволюция двух пятен красителя в эксперименте с хаотическим потоком под действием периодического возмущения [17]. Нижнее пятно красителя было

первоначально помещено внутрь "острова" устойчивости, а верхнее пятно — вблизи гиперболической точки в хаотическом "море". С течением времени нижнее пятно слабо деформировалось внутри "острова", в то время как верхнее пятно подверглось значительному растяжению через несколько периодов.

Рисунок 2 — Возникновение стохастического слоя в гамильтоновой системе под действием внешнего возмущения: а) невозмущенная петля сепаратрисы (пунктирная линия) с функцией тока Ф8и, невозмущенные траектории частиц жидкости внутри и вне петли (тонкие сплошные кривые) с функциями тока Ф0(Ь) и Ф0(е), соответственно, и траектория частицы при возмущении (жирная кривая), Ь) расщепление устойчивого и неустойчивого многообразий седла, с) поперечные пересечения многообразий,

схематическое представление.

и неустойчивыми многообразиями: они появляются, существуют некоторое время и исчезают. В недавней работе [23] было показано, что гиперболические области с многообразиями не

являются абстрактными объектами, а существуют в реальном океане. Были зафиксированы траектории двух буев, которые с течением времени приближались к вычисленной по спутниковым данным гиперболической точке в районе Курильских островов вдоль её устойчивого многообразия, а приблизившись, начали удаляться от неё вдоль неустойчивого многообразия. Один из дрифтеров через Курильский пролив вошёл в Охотское море, а другой направился в открытый океан. Расстояние между ними через некоторое время достигло тысячи км.

Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в моделях простых гидродинамических потоков, являющихся прототипами хаотической адвекции в двумерных и трехмерных фазовых пространствах. В настоящей работе исследуются, вероятно, две простейшие двух- и трёхмерные модели: со стационарным точечным вихрем на фоне течения с (квази)периодической составляющей набегающего потока и со стационарным ABC-потоком. Изучение первой модели помимо академического интереса стимулировано существованием квазистационарных топографических вихрей в океане над подводными горами и их влиянием на биопродуктивность и рыбный промысел [8]. Изучение второй — влиянием конвекционного потока в жидком токопроводя-щем ядре на формирование магнитного поля планет [24]. Подобные модели привлекательны для теоретического анализа механизмов возникновения хаотической адвекции и могут быть положены в основу понимания некоторых процессов перемешивания и транспорта пассивных примесей не только в лабораторных условиях, но и в природных средах.

Поскольку фазовое пространство исследуемых потоков совпадает с их конфигурационным пространством, то геофизические потоки и лабораторные эксперименты с красителями представляют уникальную возможность наблюдать невооружённым глазом в форме пространственных картин такие фундаментальные структуры и свойства хаотической динамики как инвариантные множества, фрактальные границы, динамические ловушки, статистические аномалии и прочее.

На примере ABC -потока и модели с точечным вихрем и периодическим возмущением основное внимание уделено изучению поведения объектов фазового пространства (стационарных точек, периодических траекторий, нелинейных резонансов, многообразий хаотического инвариантного множества). На примере модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением хаотическая адвекция рассматривается, как проблема хаотического рассеяния: из набегающего потока частицы по регулярным траекториям попадают в вихревую зону перемешивания и вымываются наружу, где вновь двигаются регулярно. Показано, что этот процесс имеет фрактальную природу, следствием которой, в частности, является эффект пленения трассеров в вихревой зоне.

Подчеркнём, что обнаруженные в работе фракталы не являются следствием специфики упрощённой модели с точечным вихрем. Данные явления типичны для гамильтоновых

систем со слабым перемешиванием. Они должны наблюдаться в реальных экспериментах по хаотической адвекции в кюветах и в более сложных моделях с топографическими вихрями различной конфигурации и граничными условиями. Переносимые течением с периодически и (квази)периодически осциллирующими составляющими пассивные примеси (например, планктон или загрязнители) попадают в зону перемешивания, где их движение может быть хаотичным, и вымываются наружу в зону регулярного выходящего течения. Таким образом, возникает типичная задача хаотического рассеяния с необходимостью описания транспорта и перемешивания пассивных примесей (лабораторными прототипами геофизических топографических вихрей являются столбы Тейлора — цилиндрические вихри в потоке однородной жидкости над подводными препятствиями).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое и численное исследование структурообразующих объектов в фазовом пространстве простых гидродинамических потоков»

Цель работы

Теоретическое и численное исследование структурообразующих объектов в фазовом пространстве двух- и трёхмерных моделей простых гидродинамических потоков и их роли в транспорте и перемешивании пассивной примеси.

Задачи работы

1. Найти стационарные решения уравнений движения в ABC-потоке и проанализировать их устойчивость. Аналитически и численно изучить и описать условия возникновения нелинейных резонансов в почти интегрируемом случае.

2. Определить механизмы, ответственные за делокализацию в модели ультрахолодных атомов (модель Обри-Андре) в классическом пределе, в котором уравнения движения атомов по форме совпадают с уравнениями движения пассивных трассеров в ABC-потоке в интегрируемом случае.

3. Идентифицировать и описать гиперболические периодические орбиты в модели с точечным вихрем и внешним периодическим возмущением. Изучить бифуркации эллиптических периодических орбит при увеличении амплитуды внешнего возмущения.

4. Исследовать фрактальные свойства хаотического рассеяния в модели с точечным вихрем при вариации спектра и амплитуды (квази)периодического возмущения. Изучить метаморфозы функции и фрактала рассеяния при вариации соотношения между амплитудами двух компонент внешнего возмущения. Изучить зависимость эффективной частоты от спектра возмущения.

Научная новизна

1. Для модели трёхмерного стационарного ABC -потока получены стационарные решения в общем случае и описаны бифуркации стационарных точек при вариации управляющих параметров. Впервые выявлены и изучены "крупные" нелинейные ре-зонансы в почти интегрируемом случае.

2. Изучено явление делокализации в модели ультрахолодных атомов (модель Обри-Андре). Рассмотрена динамика невзаимодействующих ультрахолодных атомов в би-хроматических оптических решётках. Впервые показано, что в модели Обри-Андре делокализация атомов в классическом пределе связана с разрушением центральной инвариантной кривой в фазовом пространстве. Это приводит к специфической зависимости транспортных характеристик от частоты движения: эффективная делока-лизация происходит только при резонансе внешнего движения с колебаниями вблизи вырожденных торов.

3. Исследованы нелинейные резонансы КАМ-овской и не КАМ-овской природы в модели с точечным вихрем в периодическом потоке. Построен спектр распределения ре-зонансов по длинам периодических траекторий, изучена природа их генезиса. Показано, что помимо универсального каскада бифуркаций удвоения периода возможны и иные универсальные бифуркационные сценарии (последовательность бифуркаций типа "вилка" с и без удвоения периода), общие для различных периодических орбит.

4. Впервые продемонстрировано сложное взаимодействие гиперболических орбит вторичных резонансов с эллиптической орбитой "материнского" резонанса в модели с точечным вихрем, находящемся на фоне потока с постоянной и периодически модулированной компонентами.

5. Для задачи хаотического рассеяния пассивных трассеров на гиперболической орбите и её многообразиях в модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением впервые показано, что при вариации спектральных характеристик внешнего возмущения в функции рассеяния образуются или исчезают сингулярные пики с сохранением экспоненциального закона убывания длин сегментов эпистроф во фрактале рассеяния.

6. Для модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением впервые показано, что перестройка функции и структуры фрактала рассеяния происходит по двум сценариям, которые определяются спектром возмущения. Продемонстрированы режимы перестройки структуры фрактала рассеяния для сегментов эпистрофы на первом уровне и получены аналитические выражения, количественно описывающие структурное изменение функции и фрактала рассеяния при вариации амплитуды возмущения.

7. Для модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением впервые показано, что при вариации амплитуды и спектра возмущения выделяется область значений доминирующих частот, при которых происходит наиболее эффективный "вынос" частиц из области хаотического перемешивания.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты могут быть использованы при изучении хаотической динамики в открытых маломерных гамильтоновых системах с гомо- или гетероклинической петлей на фазовом портрете. Кроме этого, они могут оказаться полезными для выявления механизмов рассеяния пассивной примеси (питательных веществ, фито- и зоопланктона) на топографических вихрях в океане. Полученные результаты можно использовать для оценки времён выноса загрязненных веществ из вихрей при ликвидации последствий антропогенных катастроф [25].

Результаты численного моделирования делокализации атомов в модели Обри-Андре, связанной с разрушением центральной инвариантной кривой в фазовом пространстве, могут быть применены в контексте решения общей проблемы перехода метал-изолятор, в частности, в физике твёрдого тела при решении задачи управления транспортом ультрахолодных атомов в бихроматических оптических решётках.

Научная значимость работы подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями. Диссертационная работа была частично поддержана следующими грантами:

1. Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 19-32-90031, № 19-55-10001, № 20-05-00124);

2. Российского научного фонда (проекты № 19-17-00006, № 16-17-10025).

Методология и методы исследования

Для поиска стационарных решений уравнений движения, аналитического и численного исследования нелинейных резонансов и периодических орбит КАМ-овской и не КАМ-овской природы в гамильтоновых системах используются стандартные методы теории динамических систем: методы решения дифференциальных уравнений, построение отображения Пуанкаре, карты показателя Ляпунова, карты возврата (смещение частицы за заданный промежуток времени). Для локализации периодических орбит используется методика, описанная в работе [26]. Для каждой найденной орбиты вычисляется её средняя длина за п периодов возмущения и показатель среднего растяжения, рассчитываемый на основе методики вычисления матрицы эволюции, описанной в работе [27]. Для оценки связи динамических, транспортных и топологических свойств хаотического рассеяния в системе с (квази)периодическим возмущением используется соотношение для эффективной частоты, ранее введённое в работе [28] для модели с точечным вихрем и шумовым возмущением.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для трёхмерного ABC -потока в общем случае получены стационарные решения и найдены условия их существования. Аналитически показано, что особые точки соответствуют типу "седло-узел" при любых значениях управляющих параметров. В почти интегрируемом случае показано, что гамильтониан движения в горизонтальной плоскости определяет частоту вертикального движения, благодаря чему выявлена новая ветвь первичных резонансов.

2. В модели с точечным вихрем и периодическим возмущением обнаружена универсальная последовательность бифуркаций гиперболических периодических орбит. Продемонстрировано сложное взаимодействие гиперболических орбит вторичных резонан-сов с эллиптической орбитой первичного резонанса.

3. В модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением обнаружено существование двух механизмов трансформации сегментов эпистроф во фрактале хаотического рассеяния при вариации спектра возмущения. Выявлена амплитудно-частотная зависимость формы пятен пассивных трассеров (называемых "лепестками"), порционно покидающих вихревую область.

Достоверность полученных результатов обеспечивалась использованием современных методов теоретического и численного анализа из теории динамических систем и гидродинамики. Представленные в диссертационной работе результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами независимо.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (Владивосток, 2016 г.);

2. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (Владивосток, 2017 г.);

3. International conference «Vortices and coherent structures: from the ocean to microfluids» (Vladivostok, 2017);

4. XVIII Научная школа «Нелинейные волны-2018» (Нижний Новгород, 2018 г.);

5. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (Владивосток, 2019 г.);

6. XIX Научная школа «Нелинейные волны-2020» (Нижний Новгород, 2020 г.);

7. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (Владивосток, 2021 г.);

8. X конференция молодых учёных «Океанологические исследования» (Владивосток, 2021 г.).

Личный вклад автора

Автор принимал участие в постановке задач исследования совместно с научным руководителем. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в проведённые и опубликованные исследования. Вклад автора в работы, выполненные в соавторстве, считается равнозначным.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, входящих в базу данных Web of Science Core Collection [29-32] (3 в журналах 1-го квартиля), 8 — в сборниках трудов всероссийских научных конференций и сборниках трудов ТОИ ДВО РАН [33-40].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 150 наименований. Полный объём диссертации составляет 119 страниц, включая 45 рисунков и 5 таблиц.

Глава 1. Анализ свойств структурообразующих объектов фазового

пространства ABC -потока

ABC-поток представляет собой простейшую трёхмерную модель для изучения различных нелинейных динамических процессов, например, динамики магнитных полей в звёздах или жидкости в гидродинамических потоках. В настоящей главе представлены стационарные решения ABC-потока и проведён анализ их устойчивости. Также изучаются нелинейные резонансы в почти интегрируемом случае. Дополнительно представлена модель ультрахолодных атомов (модель Обри-Андре), уравнения движения которой в квазиклассическом приближении совпадают с уравнениями ABC-потока в интегрируемом случае, что позволяет использовать полученные результаты по ABC-потоку для описания динамики ультрахолодных атомов.

1.1 Краткая история изучения ABC -потока

В 1965 г. В. Арнольд в работе [12] впервые предположил возможность хаоса линий тока с нетривиальной топологией в трёхмерном стационарном течении. Важным свойством предложенной В. Арнольдом системы дифференциальных уравнений трёхмерного поля скорости оказалось то, что система является стационарным решением уравнений динамики идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Эйлера). Более того, при надлежащем выборе сил ( f = —vA V = v V, где v — кинематическая вязкость, V — вектор скорости), чтобы скомпенсировать обусловленные вязкостью потери, предложенная система уравнений может быть рассмотрена как частное решение уравнений Навье - Стокса.

В работе [13] были представлены численные доказательства существования хаоса в предложенной модели для некоторых значений управляющих параметров. Независимо в работе [41] был рассмотрен частный случай, на примере которого была показана значимость предложенной модели для исследования кинематики магнитной жидкости в трёхмерных течениях. В дальнейшем хаотический аспект был разработан и применён для широкого класса двумерных неустойчивых течений, получив название "хаотическая адвекция" в работах [15; 16; 42-47].

В работе [14] полученное В. Арнольдом решение для уравнений Эйлера было предложено назвать ABC -потоком (в честь Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса). Отличительной особенностью данного потока является то, что скорость и завихренность всюду параллельны. В

последствии стационарные трёхмерные течения с аналогичным свойством стали относить к так называемому классу ABC-потоков.

Система дифференциальных уравнений ABC -потока, имеющая всего три управляющих параметра, относится к классу автономных систем и имеет относительно простую форму записи (система уравнений более подробно обсуждается в следующем параграфе), однако при ненулевых значениях управляющих параметров в ABC-потоке можно наблюдать достаточно сложную структуру линий тока. Для качественного представления на рис. 1.1 показан ABC-поток для управляющих параметров, удовлетворяющих условию А * В * С = 0.

У 0 0 X

Рисунок 1.1 — Качественное представление ABC-потока при ненулевых значениях управляющих параметров (А =1,В = у/2/3, С = у/Щ. Изображение представлено в ознакомительных целях (подробнее в работе [48]).

История исследования ABC -потока весьма обширна в различных областях физики и математики, поскольку данное течение имеет значительное преимущество в его изучении из-за пространственной симметрии и наличия в фазовом пространстве различных структурообразующих объектов: КАМ-торов, эллиптических орбит и хаотического инвариантного множества, которое состоит из периодических и непериодических гиперболических орбит, а также их устойчивых и неустойчивых многообразий. Большой вклад в изучение модели был сделан в работе [14], в которой подробно исследована топология фазового пространства ABC -потока как аналитически, так и численно для различных значений управляющих параметров А, В, С.

Значительная часть работ посвящена аналитическому исследованию ABC-потока. В 1993 г., в работе [49] получен критерий существования хаотических и резонансных линий тока в ABC -потоке, используя метод Мельникова, опубликованный в работе [50]. В 1998 г., в

работе [51] получены дополнительные аналитические критерии существования хаотических линий тока в ABC-потоке. В работе [52] доказано, что в случае А = В = С для ABC-потока невозможно аналитически получить интеграл движения. Позже в работе [53] исследовалась неинтегрируемость ABC -потока для случая А * В * С = 0 (где А2 = В2), и было предоставлено доказательство того, что система уравнений ABC -потока не обладает действительным интегралом движения в случае С2/А2 < 2. Случай интегрируемости ABC -потока, когда один из параметров A, B или C полагается равным нулю, рассмотрен в работе [14]. Другие случаи существования интеграла движения были рассмотрены в работах [54-56].

Отдельная ветка исследований связана с изучением магнитных свойств жидкости или плазмы на примере трёхмерной модели ABC -потока, поскольку многие объекты фазового пространства ABC -потока можно увидеть невооружённым глазом в физическом простран-стве.В работе [13] численно обнаружено, что частицы в ABC-потоке могут экспоненциально расходиться. Это приводит к экспоненциальному росту магнитного поля в случае нулевой магнитной вязкости. В работе [41] рассмотрен частный случай A = B = C =1 (каждый управляющий параметр вносит максимальный вклад в формирование поля скорости), в котором ABC-поток был представлен как модель для исследования динамо-эффекта. В работах [57-59] проведены численные и аналитические исследования динамики ABC -потока. Было показано, что в ABC -потоке может возникать магнитное поле в виде сигароподобных структур, и сделан вывод, что сложно их рассматривать как крупномасштабную целую структуру. ABC -поток также является прототипом для быстрых динамических процессов, связанных с порождением магнитного поля в астрофизических объектах крупных размеров, и динамические свойства данного течения могут быть исследованы посредством вариации магнитного числа Рейнольдса Rm. В работе [60] исследовалась возможность проявления динамо-эффекта в ABC -потоке для некоторых значений магнитного числа Рейнольдса. В работе [61] изучались магнитные свойства ABC -потока для обширной области значений магнитного числа Рейнольдса от Rm < 1600 до Rm < 25000. Показано, что даже при достижении предельного значения Rm в системе не удаётся обнаружить проявление так называемого "fast dynamo" режима. В 2013 г., в работе [62] авторы использовали симметрию ABC-потока для возможности изучения динамо-эффекта для больших значений магнитного числа Рейнольд-са вплоть до Rm = 104. В 2015 г., в работе [63] исследована динамика течения вплоть до значений Rm = 5 • 105. В работе [64] исследовались магнитные свойства ABC -потока, имеющего явную зависимость от времени.

Глава устроена следующим образом, в параграфе 1.2 проводится аналитическое исследование условий существования и бифуркаций стационарных точек в ABC-потоке, формирующих скелет трёхмерного фазового пространства рассматриваемой модели. Для каждой найденной стационарной точки проводится анализ устойчивости линий тока в её окрестно-

сти и аналитически выводятся выражения для собственных чисел (показатели Ляпунова) матрицы устойчивости.

В параграфе 1.3 изучаются нелинейные резонансы ABC -потока в почти интегрируемом случае (С ^ 1). Полагая один из трёх управляющих параметров равным нулю, получены две интегрируемые подсистемы с двумерным движением в горизонтальной плоскости и одномерным вертикальным движением. Если один из управляющих параметров близок к нулю, периодическое вертикальное движение можно рассматривать как внешнее возмущение движения в горизонтальной плоскости. Это приводит к тому, что частота внешнего возмущения в системе зависит от её гамильтониана, что позволяет наблюдать существование нескольких цепочек резонансов одного порядка и пересоединение их сепаратрис при определённых условиях. В результате ABC-поток представляет собой интересный пример гамильтоновой системы с 3/2 степенями свободы, в которой возможно одновременное существование двух резонансов одного порядка.

В параграфе 1.4 на примере гамильтониана Харпера (модель, описывающая динамику квантовых частиц в одномерной решётке), уравнения движения которого в квазиклассическом приближении соответствуют уравнениям движения гидродинамической модели АВС-потока в случае плоского течения, показано, что если частота модуляции соответствует резонансному воздействию на вырожденные торы в классическом фазовом пространстве, то в физической модели ультрахолодных атомов в одномерной квазипериодической оптической решётке с иррациональным соотношением периодов происходит эффективная делокализация атомов.

1.2 Анализ стационарных точек и их бифуркаций

1.2.1 Стационарные решения

Автономная система дифференциальных уравнений для ABC -потока записывается как

dx

— = VX = A sin(z) + C cos(y),

i^ = Vy = B sin(x) + A cos(z), (1.1)

dy dt

-¡- = VZ = C sin(y) + B cos(x)

dt

где A, B и C — произвольные безразмерные параметры. Система уравнений (1.1) является периодической: x = x+2n, у = у+2п и z = z+2n. Используя условия координатной периодичности, будем рассматривать только один "координатный куб" в интервале x, у, z £ [—п, п). Также положим параметры A, B и C £ [0, то), принимая во внимание тот факт, что для любого отрицательного значения параметра A, B или C симметрия уравнений ABC-потока позволяет вернуть систему к исходному виду.

Нормируем систему уравнений ABC-потока на параметр A, как в работе [14], полагая

1 = A ^ B ^ C ^ 0. (1.2)

Поскольку система уравнений (1.1) является симметричной в любом направлении по координатным осям, любой безразмерный параметр может быть использован как нормировочный, что позволяет избежать случая, когда нормировочный параметр равен нулю. Пусть t' = At, тогда система уравнений (1.1) запишется как

^ = VX = sin(z) + C cos(y), dt

i^ = Vy = B' sin(x) + cos(z), (1.3)

dy dt

—¡~ = VZ = CC sin(y) + B' cos(x)

dt

где B' = B/A и C = C/A. Далее, если не оговариваются дополнительные условия, штрихи будут опускаться.

Найдём стационарные точки ABC-потока. Полагая dx/dt = dy/dt = dz/dt = 0, система уравнений (1.3) запишется как

sin( Zo) = -C cos( Уо),

B sin(x0) = — cos(z0), (1.4)

C sin(y0) = — B cos(x0),

где М(хо,yo,Zo) — стационарная точка. Возведём в квадрат систему (1.4) и воспользуемся тождеством cos2(a) + sin2(а) = 1, получим

sin2(zo) = С2(1 - sin2Ы),

В2 sin2(x0) = 1 - sin2(z0), (1.5)

С2 sin2(^) = В2(1 - sin2(xo)).

После замены

X = sin2(x0), Y = sin2(y0), Z = sin2(z0), (1.6)

решение системы (1.5) записывается как

B2 - C2 + 1 _C2 + B2 - 1 C2 - В2 + 1

X =-2B2-, У =--, Z =-2-. (L7)

Подставляя решения X, Y и Z из (1.7) в (1.6), получим

х0 = bx arcsin (Рх) , х0 = Ьх {п - arcsin (Рх)} ,

Уо = Ьу arcsin (Ру), уо = Ьу {п - arcsin (Ру)} , (1.8)

z0 = bz arcsin (Pz), z0 = bz {п - arcsin (Pz)} ,

где ^_

В2 - С2 + 1 2B2

Рх = \l-ГТ^-, bx = ±1,

В2 + С2 - 1 (19)

гу = \/ 2С2 , °у = ±

С2 - В2 + 1

Pz =у-2-, = ±1.

Для существования решений исходной системы уравнений ABC-потока (1.3) полагаем, что параметры Рх, Ру и Pz £ [0,1], из чего следует, что область существования решений в параметрическом пространстве В и С (см. рис. 1.2) будет ограничена дополнительной кривой

С2 ^ 1 - В2. (1.10)

Запишем полученные решения (1.8) в общем виде:

Хо = Ь

1 (1 - Yx) П + Yx arcsin (Р.)

1(1 - Yу) п + Yу a-rcsm^)

Уо = Ьу Zq = bz

где коэффициенты Ь и y i (i = x,y,z) определяются как

1.11)

1 (1 - Yz) п + Yz arcsin (Pz)

+ 1, г £ [0,п), 1+1, г £ [-п/2,п/2),

bí = < Yi = < (1.12)

-1, i £ [-п, 0), 1-1, i £ [-п, - п/2) U [п/2,п).

Рисунок 1.2 — Параметрическое пространство исходной системы уравнений ABC-потока (1.3) с наложенным условием на параметры (1.2) (область значений под линией C2 = B2). Заштрихованная область — область существования стационарных точек.

Из условия (1.12) следует, что для решения (1.11), записанного в общем виде, существует 64 комбинации коэффициентов Ь и Однако только 8 удовлетворяют исходной системе уравнений (1.3), и они представлены в таблице 1. Каждая стационарная точка обладает собственным набором комбинаций коэффициентов Ь и поэтому в каждом октанте кубического координатного объёма в фазовом пространстве содержится одна стационарная точка. Кратко рассмотрим поведение стационарных точек (1.11) на бифуркационной линии (1.10),

Таблица 1 — Значение коэффициентов Ь и y¿ для каждой стационарной точки.

Решение 1 2 3 4 5 6 7 8

Параметр Знак

Ьх — — + + + + — —

Ух — + + — — + + —

Ьу + — — + + — — +

Уу — — — — + + + +

bz + + + + — — — —

Ух + + — — — — + +

отделяющей область существования стационарных точек в параметрическом пространстве. В случае, когда варьируемые параметры В и С удовлетворяют условию для бифуркационной линии С2 = 1 — В2, в системе существует 4 стационарные точки: (1, 2), (3, 4), (5, 6) и (7, 8), где в скобках приведены номера объединившихся решений. В точке (В = 1, С = 0) система уравнений (1.3) является интегрируемой. В данном случае решения (1, 2, 3, 4) и (5, 6, 7, 8) объединяются и формируют стационарные линии (х = п/2, Уу, г = —п) и (х = — п/2, Уу, г = 0).

1.2.2 Анализ устойчивости решений

Рассмотрим поведение фазовых траекторий вблизи стационарных точек (1.11). Линеаризуя систему (1.3) в окрестности стационарных точек, получаем уравнения

Дж = сов ( 6

2 (1 - у г) п + агсвт Рх

Дг-

- Ьу С вт ( 2 (1 - У у) п + у у агсвт Ру) Ду,

Ду =В сов ( 6

2(1 - Ух) п + ух агсвт Рх

Дх—

- Ьх вт ( 2(1 - У г) п + у г агсвт Рх ) Дх,

1.13)

Дг =С сов 6

2(1 - у у) п + у у агсвт Ру

1

Ду-

- ^ 81^2(1 - ^ п + ^ — Ъ) Д-,

где Дх = х — хо, Ду = у — у0 и Дх = г - г0. Так как сов(—а) = сов(а), следовательно, в системе уравнений (1.13) можно опустить коэффициенты 6г в аргументах косинусов. Также воспользуемся тригонометрическими тождествами вт(п— а) = вт(а) и сов(п- а) = - сов(а), что в конечном итоге позволяет записать данную систему уравнений в следующем виде

Дж = УгУ/1 - Р1Дг - СРУДу, Ду = - Р2 Дх - РхДг,

Дг = ууС- Р2 Ду - ЪхВРхДх.

П-14)

Решение системы уравнений (1.14) определяется корнями характеристического уравнения

-А -ЪуСРу у^у/Г—Р2

ухв у/Г-р! -а -6 ХВРХ у УС у/Г—Ц

-6, рх А

А3 + А (ъху2ВРХ^1 - Р2 + ЪгУуСР^ 1 - Р2 + ВСРуу/1 - Р2^ -

- ВС (ухууугу/1 - Р2 - Р2л/1 - Р2 - ЪхЪуЪхРхРур/) = 0. (1.

15)

Численные значения коэффициентов у^ и приведены в таблице 1, а знак их произведения представлен в таблице 2. Пусть

1 2

д =ВРХ^1 - р2 + СР^ 1 - р2 + ВСРу у/Г—р2 = Г (1 + с2 + в2) ВС (VI - р? ^Г—Ру VI - р? + Р*Ру р) =

= ^\](в2 + С2 - 1) (1 - (В2 - С2)2).

w

Г1.16)

X

X

У

В итоге, характеристическое уравнение (1.15) записывается в простой форме

Л3 - Лд - £Ш = 0, (1.17)

где знак коэффициента £ = ухууух = -6Х6У6г зависит от выбора решения системы уравнений (1.4)

{ + 1, для решений 1, 3, 5, 7,

(1.18)

-1, для решений 2, 4, 6, 8. Таблица 2 — Знак произведения коэффициентов у^ и 6».

Решение 1 2 3 4 5 6 7 8

Параметр Знак

6хУг

6г Уу

6у Ух

6х6у6Х - + - + - + - +

УхУу Ух + - + - + - + -

Полином (1.17) может быть записан в двух вариантах (для случаев £ = —1 и £ =1). Рассмотрим каждый случай отдельно. Пусть £ = —1, тогда (1.17) записывается как

11(Л) = л3 - лд + w = 0. (1.19)

Полином (1.19) имеет точки экстремума Л1 = - у/ф/3 и Л2 = у/ф/3. Поскольку 11(0) > 0, следовательно полином имеет один действительный отрицательный корень. Два других корня могут быть либо комплексно-сопряжённой парой с положительной действительной частью (11 (Л2) > 0), либо действительной положительной парой (11 (Л2) ^ 0). Докажем, что 11 (Л2) ^ 0 для всех значений параметров В и С. Подставляя точку экстремума в У!(Л), получаем

И(Л2) = - + ТУ ^ 0. (1.20)

После упрощения и подстановки (1.16) в (1.20) получаем неравенство

1 ^ ~>2 , г<2

(1 + В2 + С2) ^(1 + В2 + С2) ^(В2 + С2 - 1) (1 - (В2 - С2)2). (1.21

Зл/3

Так как слева и справа положительные величины, то возведя неравенство (1.21) в квадрат, получим

1 (1 + В2 + с2)3 > (В2 + С2 - 1) (1 - (В2 - с2)2) . (1.22)

Пусть

д = В2 + С2, р = В2 - С2. (1.23)

Для области существования решений в параметрическом пространстве В и С (см. рис. 1.2) параметры q € [1,2] и р € [0,1]. Подставляя q и р в неравенство (1.22), получаем

1 (1 + 9)3 £ 1 - р2, (1.24)

27 (q - 1)

Поскольку 1 - р2 ^ 1, усилим неравенство (1.24), положив

Т(д) = (1 + q)3 - 27(д - 1) £ 0. (1.25)

Неравенство (1.25) является верным, поскольку Т(1) > 0 и Т(дт;п) = 0, где qm\n = 2 — точка минимума функции ТТаким образом, полином (1.19) имеет 3 действительных корня (два положительных и один отрицательный). В случае q = 2 и р = 0 (В = С =1) полином (1.19) имеет кратный положительный корень.

Рассмотрим случай, когда ^ = +1. Полином (1.17) запишется как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дидов Александр Алексеевич, 2022 год

Список литературы

1. Eckhardt Bruno. Irregular scattering // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 33, no. 1-3. — Pp. 89-98.

2. Gaspard Pierre, Rice Stuart A. Scattering from a classically chaotic repellor // The Journal of Chemical Physics. — 1989. — Vol. 90, no. 4. — Pp. 2225-2241.

3. Ott Edward, Tél Tamas. Chaotic scattering: An introduction // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 417-426.

4. Lai Ying-Cheng, Tél Tamas. Transient Chaos: Complex Dynamics on Finite Time Scales. — New York: Springer, 2011. — Pp. XVI, 496.

5. Prants Sergey V., Uleysky Michael Yu., Budyansky Maxim V. Lagrangian Oceanography: Large-scale Transport and Mixing in the Ocean. Physics of Earth and Space Environments.

— Springer, 2017. — Pp. XIV, 273.

6. Reichl Linda. The Transition to Chaos: Conservative Classical and Quantum Systems. — 3 edition. — Springer, 2021. — Pp. XIV, 555.

7. Weak Chaos and Quasi-Regular Patterns / George Moiseevich Zaslavsky, R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov, A. A. Chernikov. — Cambridge University Press, 1991. — Vol. 1 of Cambridge Nonlinear Science Series.

8. Koshel K. V., Prants S. V. Chaotic Advection in the Ocean. — Moscow: Institute for Computer Science, 2008. — [in Russian].

9. Ray and Wave Chaos in Ocean Acoustics: Chaos in Waveguides / Denis Makarov, Sergey Prants, Anatoly Virovlyansky, George Zaslavsky. — Singapore: World Scientific, 2011.

— Vol. 1 of Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos.

10. Poincaré Henri. New methods of celestial mechanics. — Springfield: NASA, 1967. — Vol. 450-452 of NASA technical translation.

11. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillators. — Oxford: Pergamon Press Ltd., 1966. — Vol. 4 of International Series of Monographs in Physics. — P. 848.

12. Arnold V.I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. — 1965. — Vol. 261. — Pp. 17-20. — [in French]. URL: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4022z/f18.item.r= .zoom.

13. Henon M. Sur la topologie des lignes de courant dans un cas particulier // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences: Séerie A. — 1966. — Vol. 262.

— Pp. 312-314. — [in French]. URL: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6236863n/f326. item.

14. Chaotic streamlines in the ABC flows / T. Dombre, U. Frisch, J. M. Greene et al. // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 167. — Pp. 353-391.

15. Aref Hassan. Stirring by chaotic advection // Journal of Fluid Mechanics. — 1984. — Vol. 143. — Pp. 1-21.

16. Aref Hassan. The development of chaotic advection // Physics of Fluids. — 2002. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 1315-1325.

17. Ottino J. M. The Kinematics of Mixing: Stretching, Chaos, and Transport. — Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1989. — Vol. 3 of Cambridge texts in applied mathematics.

18. Ott Edward. Chaos in dynamical systems. — 2 edition. — Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2002.

19. Chemical and biological activity in open flows: A dynamical system approach / Tamas Tel, Alessandro de Moura, Celso Grebogi, Gyorgy Kârolyi // Physics Reports. — 2005. — Vol. 413, no. 2-3. — Pp. 91-196.

20. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Chaotic scattering, transport, and fractals in a simple hydrodynamic flow // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2004. — Vol. 99.

— Pp. 1018-1027.

21. Wiggins Stephen. Chaotic Transport in Dynamical Systems. — New York: Springer, 1992. — Vol. 2 of Interdisciplinary Applied Mathematics. — P. 301.

22. Samelson Roger M., Wiggins Stephen. Lagrangian Transport in Geophysical Jets and Waves: The Dynamical Systems Approach. — Springer Science+Business Media, LLC, 2006. — Vol. 31 of Interdisciplinary Applied Mathematics.

23. Lagrangian analysis of formation, structure, evolution and splitting of anticyclonic Kuril eddies / S. V. Prants, V. B. Lobanov, M. V. Budyansky, M. Yu. Uleysky // Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers. — 2016. — Vol. 109. — Pp. 61-75.

24. Tomin D. N., Sokoloff D. D. Magnetic field in a fluctuating ABC flow // Astronomy Letters.

— 2009. — Vol. 35, no. 5. — Pp. 321-325.

25. The impact of circulation features on the dispersion of radionuclides after the nuclear submarine accident in Chazhma Bay (Japan Sea) in 1985: A retrospective Lagrangian simulation / M.V. Budyansky, P.A. Fayman, M.Yu. Uleysky, S.V. Prants // Marine Pollution Bulletin.

— 2022. — Vol. 177. — P. 113483.

26. Uleysky M. Yu., Budyansky M. V., Prants S. V. Genesis and bifurcations of unstable periodic orbits in a jet flow // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2008. — Vol. 41, no. 21. — P. 215102.

27. Hyperbolicity in the Ocean / S. V. Prants, M. V. Budyansky, M. Yu. Uleysky, J Zhang // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. — 2015. — Vol. 4, no. 3. — Pp. 257-270.

28. Budyansky M. V., Uleysky M. Yu., Prants S. V. Lagrangian coherent structures, transport and chaotic mixing in simple kinematic ocean models // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2007. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 31-44.

29. Didov A. A., Uleysky M. Yu. Analysis of stationary points and their bifurcations in the АБС-flow // Applied Mathematics and Computation. — 2018. — Vol. 330. — Pp. 56-64.

30. Didov A. A., Uleysky M. Yu. Nonlinear resonances in the АБС-flow // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2018. — Vol. 28, no. 1. — P. 013123.

31. Didov A.A., Uleysky M.Yu., Budyansky M.V. Stable and unstable periodic orbits and their bifurcations in the nonlinear dynamical system with a fixed point vortex in a periodic flow // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2020. — Vol. 91. — P. 105426.

32. Didov A.A., Kon'kov L.E., Makarov D.V. Transport through degenerate tori and quantum-to-classical crossover in a driven Aubry-Andre model // The European Physical Journal B.

— 2020. — Vol. 93, no. 1. — P. 13.

33. Дидов А. А., Улейский М.Ю., Будянский М.В. Хаотическое рассеяние и его фрактальные свойства в нелинейной динамической системе с фиксированным вихрем под воздействием двухчастотного набегающего потока // Океанологические исследования: материалы IX конференции молодых учёных. — Владивосток: ТОИ ДВО РАН, 2021. — С. 10-12.

34. Дидов А. А., Улейский М.Ю., Будянский М.В. Фрактальная природа хаотического рассеяния в модельном потоке с точечным вихрем // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам. — Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2021. — С. 406-408.

35. Дидов А. А., Улейский М.Ю., Будянский М.В. Устойчивые и неустойчивые периодические орбиты и их бифуркации в нелинейной динамической системе с фиксированным точечным вихрем в периодическом потоке // Тезисы докладов XIX научной школы. Нелинейные волны-2020. — Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2020. — С. 101-102.

36. Дидов А. А., Улейский М.Ю., Будянский М.В. Анализ бифуркаций стационарных точек в точечном вихре с периодическим возмущением // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам. — Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2019. — С. 434-437.

37. Дидов А. А., Улейский М.Ю. Резонансные структуры и их бифуркации в АВС-потоке // Тезисы докладов XVIII научной школы: Нелинейные волны-2018. — Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2018. — С. 41-42.

38. Didov A.A., Uleysky M.Yu. Nonlinear resonances in the ABC-flow // International conference "Vortices and coherent structures: from the ocean to microfluids". — Vladivostok: POI FEB RAS, 2017. — P. 16.

39. Дидов А. А., Улейский М.Ю. Нелинейные резонансы в АВС-потоке // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам. — Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2017. — С. 478-481.

40. Дидов А. А., Улейский М.Ю. Анализ стационарных точек и их бифуркаций в ABC-тече-нии // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам. — Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2016. — С. 370-371.

41. Childress Stephen. New Solutions of the Kinematic Dynamo Problem // Journal of Mathematics and Physics. — 1970. — Vol. 11, no. 10. — Pp. 3063-3076.

42. Meleshko V. V., Aref H. A blinking rotlet model for chaotic advection // Physics of Fluids.

— 1996. — Vol. 8, no. 12. — Pp. 3215-3217.

43. Koshel' Konstantin V., Prants Sergei V. Chaotic advection in the ocean // Physics-Uspekhi.

— 2006. — Vol. 49, no. 11. — Pp. 1151-1178.

44. Uleysky M. Yu., Budyansky M. V., Prants S. V. Effect of dynamical traps on chaotic transport in a meandering jet flow // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.

— 2007. — Vol. 17, no. 4. — P. 043105.

45. Koshel K. V., Sokolovskiy M. A., Davies P. A. Chaotic advection and nonlinear resonances in an oceanic flow above submerged obstacle // Fluid Dynamics Research. — 2008. — Vol. 40, no. 10. — Pp. 695-736.

46. Budyansky M. V., Uleysky M. Yu., Prants S. V. Detection of barriers to cross-jet Lagrangian transport and its destruction in a meandering flow // Physical Review E. — 2009. — Vol. 79, no. 5. — P. 056215.

47. Uleysky M. Yu., Budyansky M. V., Prants S. V. Mechanism of destruction of transport barriers in geophysical jets with Rossby waves // Physical Review E. — 2010. — Vol. 81, no. 1. — P. 017202.

48. Farazmand Mohammad, Haller George. Polar rotation angle identifies elliptic islands in unsteady dynamical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2016. — Vol. 315. — Pp. 1-12.

49. Chaotic and Resonant Streamlines in the ABC Flow / Xiao-Hua Zhao, Keng-Huat Kwek, JI-Bin Li, Ke-Lei Huang // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1993. — Vol. 53, no. 1. — Pp. 71-77.

50. Melnikov V.K. On the stability of the center for time periodic perturbations // Transactions of the Moscow Mathematical Society. — 1963. — Vol. 12. — Pp. 1-57.

51. Huang De-Bin, Zhao Xiao-Hua, Dai Hui-Hui. Invariant tori and chaotic streamlines in the ABC flow // Physics Letters A. — 1998. — Vol. 237, no. 3. — Pp. 136-140.

52. Ziglin S. L. An Analytic Proof of the Nonintegrability of the ABC-flow for A = B = C // Functional Analysis and Its Applications. — 2003. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 225-227.

53. Maciejewski Andrzej J., Przybylska Maria. Non-integrability of ABC flow // Physics Letters A. — 2002. — Vol. 303, no. 4. — Pp. 265-272.

54. Llibre Jaume, Valls Claudia. A note on the first integrals of the ABC system // Journal of Mathematics and Physics. — 2012. — Vol. 53, no. 2. — P. 023505.

55. Ziglin S. L. The ABC-flow is not integrable for A = B // Functional Analysis and Its Applications. — 1996. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 137-138.

56. Ziglin S. L. On the absence of a real-analytic first integral for ABC flow when A = B // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1998. — Vol. 8, no. 1. — P. 272.

57. Arnold V. I., Korkina E. I. The growth of a magnetic-field in a 3-dimensional steady incompressible flow // Vestnik Moskovskogo Universiteta, Seriya 1: Matematika. Mecanika. — 1983. — no. 3. — Pp. 43-51. — [in Russian].

58. Galloway David, Frisch Uriel. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. — 1984. — Vol. 29, no. 1-4. — Pp. 13-18.

59. Moffatt H. K., Proctor M. R. E. Topological constraints associated with fast dynamo action // Journal of Fluid Mechanics. — 1985. — Vol. 154. — Pp. 493-507.

60. Galloway David. ABC flows then and now // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics.

— 2012. — Vol. 106, no. 4-5. — Pp. 450-467.

61. Bouya Ismael, Dormy Emmanuel. Revisiting the ABC flow dynamo // Physics of Fluids. — 2013. — Vol. 25, no. 3. — P. 037103.

62. Jones Samuel E., Gilbert Andrew D. Dynamo action in the ABC flows using symmetries // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. — 2013. — Vol. 108, no. 1. — Pp. 83-116.

63. Bouya Ismael, Dormy Emmanuel. Toward an asymptotic behaviour of the ABC dynamo // EPL. — 2015. — Vol. 110, no. 1. — P. 14003.

64. Brummell N. H., Cattaneo F., Tobias S. M. Linear and nonlinear dynamo properties of time-dependent ABC flows // Fluid Dynamics Research. — 2001. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 237-265.

65. Korn Granino A., Korn Theresa M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. — 2 edition. — Dover Publications, 2000.

66. Michal V. P., Altshuler B. L., Shlyapnikov G. V. Delocalization of Weakly Interacting Bosons in a 1D Quasiperiodic Potential // Physical Review Letters. — 2014. — Vol. 113, no. 4. — P. 045304.

67. Kolovsky Andrey R., Mantica Giorgio. Driven Harper model // Physical Review B. — 2012.

— Vol. 86, no. 5. — P. 054306.

68. Harper P G. Single Band Motion of Conduction Electrons in a Uniform Magnetic Field // Proceedings of the Physical Society. Section A. — 1955. — Vol. 68, no. 10. — Pp. 874-878.

69. Azbel' M. Ya. Energy spectrum of a conduction electron in a magnetic field // Soviet Physics JETP. — 1964. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 634-645. — URL: http://jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/e_ 019_03_0634.pdf.

70. Topological States and Adiabatic Pumping in Quasicrystals / Yaacov E. Kraus, Yoav Lahini, Zohar Ringel et al. // Physical Review Letters. — 2012. — Vol. 109, no. 10. — P. 106402.

71. Anderson localization of a non-interacting Bose-Einstein condensate / Giacomo Roati, Chiara D'Errico, Leonardo Fallani et al. // Nature. — 2008. — Vol. 453, no. 7197. — Pp. 895-898.

72. Observation of a Localization Transition in Quasiperiodic Photonic Lattices / Y. Lahini, R. Pugatch, F. Pozzi et al. // Physical Review Letters. — 2009. — Vol. 103, no. 1. — P. 013901.

73. Yuce C. VT symmetric Aubry - Andre model // Physics Letters A. — 2014. — Vol. 378, no. 30-31. — Pp. 2024-2028.

74. Quantum diffusion with disorder, noise and interaction / C D'Errico, M Moratti, E Lucioni et al. // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15, no. 4. — P. 045007.

75. Li Xiao, Li Xiaopeng, Das Sarma S. Mobility edges in one-dimensional bichromatic incommensurate potentials // Physical Review B. — 2017. — Vol. 96, no. 8. — P. 085119.

76. Single-Particle Mobility Edge in a One-Dimensional Quasiperiodic Optical Lattice / Henrik P. Lüschen, Sebastian Scherg, Thomas Kohlert et al. // Physical Review Letters. — 2018.

— Vol. 120, no. 16. — P. 160404.

77. Dai C. M., Wang W., Yi X. X. Dynamical localization-delocalization crossover in the Aubry

— Andre - Harper model // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 1. — P. 013635.

78. Observation of Many-Body Localization in a One-Dimensional System with a Single-Particle Mobility Edge / Thomas Kohlert, Sebastian Scherg, Xiao Li et al. // Physical Review Letters.

— 2019. — Vol. 122, no. 17. — P. 170403.

79. Wilkinson M. Critical properties of electron eigenstates in incommensurate systems // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1984. — Vol. 391, no. 1801. — Pp. 305-350.

80. Buslaev V.S., Fedotov A.A. Bloch solutions for difference equations // Algebra i Analiz. — 1995. — Vol. 7, no. 4. — Pp. 74-122. — [in Russian]. URL: http://www.mathnet.ru/php/ getFT.phtml?jrnid=aa&paperid=563&what=fullt&option_lang=eng.

81. Fedotov A. A. On Minimal Entire Solutions of the One-Dimensional Difference Schrodinger Equation with the Potential v(z) = e-2mz // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — Vol. 238, no. 5. — Pp. 750-761.

82. Kimi Kato L., Egydio de Carvalho R. Transport barriers with shearless attractors // Physical Review E. — 2019. — Vol. 99, no. 3.

83. del Castillo-Negrete D., Martinell J.J. Gyroaverage effects on nontwist Hamiltonians: Sep-aratrix reconnection and chaos suppression // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2012. — Vol. 17, no. 5. — Pp. 2031-2044.

84. Firpo M.-C., Constantinescu D. Study of the interplay between magnetic shear and resonances using Hamiltonian models for the magnetic field lines // Physics of Plasmas. — 2011.

— Vol. 18, no. 3. — P. 032506.

85. Constantinescu Dana, Firpo Marie-Christine. Localizing transport barriers in degenerate 3/2 d.o.f. Hamiltonian systems with application to magnetic confinement fusion // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2013. — Vol. 23, no. 02. — P. 1350034.

86. Uleysky M. Yu., Budyansky M. V., Prants S. V. Chaotic transport across two-dimensional jet streams // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2010. — Vol. 111, no. 6.

— Pp. 1039-1049.

87. Soskin S.M., Mannella R., McClintock P.V.E. Zero-dispersion phenomena in oscillatory systems // Physics Reports. — 2003. — Vol. 373, no. 4-5. — Pp. 247-408.

88. Virovlyansky Anatolii L, Makarov Denis V, Prants Sergei V. Ray and wave chaos in underwater acoustic waveguides // Physics-Uspekhi. — 2012. — Vol. 55, no. 1. — Pp. 18-46.

89. Wave chaos in a randomly inhomogeneous waveguide: Spectral analysis of the finite-range evolution operator / D. V. Makarov, L. E. Kon'kov, M. Yu. Uleysky, P. S. Petrov // Physical Review E. — 2013. — Vol. 87, no. 1. — P. 012911.

90. Kudo K., Monteiro T. S. Quantum transport and spin dynamics on shearless tori // Physical Review E. — 2008. — Vol. 77, no. 5. — P. 055203(R).

91. Chirikov Boris V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. — 1979. — Vol. 52, no. 5. — Pp. 263-379.

92. Cerruti Nicholas R., Tomsovic Steven. Sensitivity of Wave Field Evolution and Manifold Stability in Chaotic Systems // Physical Review Letters. — 2002. — Vol. 88, no. 5. — P. 054103.

93. Stochastic Behavior in Classical and Quantum Hamiltonian Systems / Ed. by Giulio Casati, Joseph Ford. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — Vol. 93 of Lecture Notes in Physics. — Pp. VI, 379.

94. Chirikov B.V., Izrailev F.M., Shepelyansky D.L. Quantum chaos: Localization vs. ergodici-ty // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 33, no. 1-3. — Pp. 77-88.

95. Recovery of ordered periodic orbits with increasing wavelength for sound propagation in a range-dependent waveguide / L. E. Kon'kov, D. V. Makarov, E. V. Sosedko, M. Yu. Uleysky // Physical Review E. — 2007. — Vol. 76, no. 5. — P. 056212.

96. Budyansky M. V., Prants S. V. A mechanism of chaotic mixing in an elementary deterministic flow // Technical Physics Letters. — 2001. — Vol. 27, no. 6. — Pp. 508-510.

97. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering of passive particles by a topographical vortex and an alternating current // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2004. — Vol. 195, no. 3-4. — Pp. 369-378.

98. Prants S. V. Chaotic Lagrangian transport and mixing in the ocean // The European Physical Journal Special Topics. — 2014. — Vol. 223, no. 13. — Pp. 2723-2743.

99. Geometry and topology of escape. I. Epistrophes / K. A. Mitchell, J. P. Handley, B. Tighe et al. // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2003. — Vol. 13, no. 3.

— Pp. 880-891.

100. Prants S. V., Budyansky M. V., Uleysky M. Yu. Lagrangian fronts in the ocean // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. — 2014. — Vol. 50, no. 3. — Pp. 284-291.

101. Prants S. V., Budyansky M. V., Uleysky M. Yu. Identifying Lagrangian fronts with favourable fishery conditions // Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers. — 2014. — Vol. 90. — Pp. 27-35.

102. Top marine predators track Lagrangian coherent structures / Emilie Tew Kai, Vincent Rossi, Joel Sudre et al. // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2009. — Vol. 106, no. 20. — Pp. 8245-8250.

103. Tew Kai Emilie, Marsac Francis. Influence of mesoscale eddies on spatial structuring of top predators' communities in the Mozambique Channel // Progress in Oceanography. — 2010.

— Vol. 86, no. 1-2. — Pp. 214-223.

104. Frigatebird behaviour at the ocean-atmosphere interface: integrating animal behaviour with multi-satellite data / S. De Monte, C. Cotte, F. d'Ovidio et al. // Journal of The Royal Society Interface. — 2012. — Vol. 9, no. 77. — Pp. 3351-3358.

105. Flexible preference of southern elephant seals for distinct mesoscale features within the Antarctic Circumpolar Current / Cedric Cotte, Francesco d'Ovidio, Anne-Cecile Dragon et al. // Progress in Oceanography. — 2015. — Vol. 131. — Pp. 46-58.

106. Zaslavsky George M. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. — New York: Oxford University Press, 2005.

107. Zaslavsky George M. The Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. — 2 edition. — Singapore: World Scientific, 2007. — P. 328.

108. Guckenheim,er John, Holmes Philip. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. — New York: Springer-Verlag, 1983. — Vol. 42 of Applied Mathematical Sciences. — Pp. XVI, 462.

109. Ziglin S. L. Nonintegrability of a problem on the motion of four point vortices // Soviet Mathematics, Doklady. — 1980. — Vol. 21. — Pp. 296-299.

110. Aref Hassan, Pomphrey Neil. Integrable and chaotic motions of four vortices // Physics Letters A. — 1980. — Vol. 78, no. 4. — Pp. 297-300.

111. Neufeld Z, Tel T. The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: ad-vection in the field of three identical point vortices // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1997. — Vol. 30, no. 6. — Pp. 2263-2280.

112. Budyansky M. V., Uleysky M. Yu., Prants S. V. Fractals and dynamic traps in the simplest model of chaotic advection with a topographic vortex // Doklady Earth Sciences. — 2002. — Vol. 387, no. 8. — Pp. 929-932.

113. Ryzhov E.A., Koshel K.V., Carton X.J. Passive scalar advection in the vicinity of two point vortices in a deformation flow // European Journal of Mechanics — B/Fluids. — 2012. — Vol. 34. — Pp. 121-130.

114. Koshel K. V., Sokolovskiy M. A., Verron J. Three-vortex quasi-geostrophic dynamics in a two-layer fluid. Part 2. Regular and chaotic advection around the perturbed steady states // Journal of Fluid Mechanics. — 2013. — Vol. 717. — Pp. 255-280.

115. Ryzhov Eugene A., Koshel Konstantin V. Advection of passive scalars induced by a bay-trapped nonstationary vortex // Ocean Dynamics. — 2018. — Vol. 68, no. 3. — Pp. 411-422.

116. Interaction of an along-shore propagating vortex with a vortex enclosed in a circular bay / Eugene A. Ryzhov, Konstantin V. Koshel, Mikhail A. Sokolovskiy, Xavier Carton // Physics of Fluids. — 2018. — Vol. 30, no. 1. — P. 016602.

117. Solomon T. H., Tomas S., Warner J. L. Chaotic mixing of immiscible impurities in a two-dimensional flow // Physics of Fluids. — 1998. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 342-350.

118. Advection of a vortex pair atmosphere in a velocity field of point vortices / V. V. Meleshko, M. Yu. Konstantinov, A. A. Gurzhi, T. P. Konovaljuk // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. — 1992. — Vol. 4, no. 12. — Pp. 2779-2797.

119. Boffetta G, Celani A, Franzese P. Trapping of passive tracers in a point vortex system // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1996. — Vol. 29, no. 14. — Pp. 3749-3759.

120. Quispel G. Reinout W. Analytical crossover results for the Feigenbaum constants: Crossover from conservative to dissipative systems // Physical Review A. — 1985. — Vol. 31, no. 6. — Pp. 3924-3928.

121. MacKay R. S. Renormalisation in Area-Preserving Maps. — World Scientific, 1993. — Vol. 6 of Advanced Series in Nonlinear Dynamics.

122. Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and Chaotic Dynamics. — 2nd edition. — New York: Springer, 1992. — Vol. 38 of Applied Mathematical Sciences.

123. Petit J.-M., Henon M. Satellite encounters // Icarus. — 1986. — Vol. 66, no. 3. — Pp. 536-555.

124. Boyd Patricia T., McMillan Stephen L. W. Chaotic scattering in the gravitational three-body problem // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 507-523.

125. Rankin C. C., Miller William H. Classical S Matrix for Linear Reactive Collisions of H+Cl2 // The Journal of Chemical Physics. — 1971. — Vol. 55, no. 7. — Pp. 3150-3156.

126. Noid D. W., Gray Stephen K., Rice Stuart A. Fractal behavior in classical collisional energy transfer // The Journal of Chemical Physics. — 1986. — Vol. 84, no. 5. — Pp. 2649-2652.

127. Experimental study of Lagrangian turbulence in a Stokes flow / J. Chaiken, R. Chevray, M. Tabor, Q. M. Tan // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1986. — Vol. 408, no. 1834. — Pp. 165-174.

128. Chien W.-L., Rising H., Ottino J. M. Laminar mixing and chaotic mixing in several cavity flows // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 170. — Pp. 355-377.

129. Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in an unsteady vortical flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. — Vol. 214. — Pp. 347-394.

130. Jung C., Tel T., Ziemniak E. Application of scattering chaos to particle transport in a hydrodynamical flow // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993.

— Vol. 3, no. 4. — Pp. 555-568.

131. Solomon T. H., Weeks Eric R., Swinney Harry L. Observation of anomalous diffusion and Levy flights in a two-dimensional rotating flow // Physical Review Letters. — 1993. — Vol. 71, no. 24. — Pp. 3975-3978.

132. Sommerer John C., Ku Hwar-Ching, Gilreath Harold E. Experimental Evidence for Chaotic Scattering in a Fluid Wake // Physical Review Letters. — 1996. — Vol. 77, no. 25. — Pp. 5055-5058.

133. Prants S. V. Hamiltonian Chaos with a Cold Atom in an Optical Lattice // Hamiltonian Chaos Beyond the KAM Theory: Dedicated to George M. Zaslavsky (1935-2008) / Ed. by Albert C. J. Luo, Valentin Afraimovich. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. — Pp. 193-223.

134. Tersigni Samuel H., Gaspard Pierre, Rice Stuart A. Influence of vibrational frequency mismatch on phase-space bottlenecks to intramolecular energy redistribution and molecular fragmentation // The Journal of Chemical Physics. — 1990. — Vol. 92, no. 3. — Pp. 1775-1789.

135. Hillermeier C. F., Bliimel R., Smilansky U. Ionization of H Rydberg atoms: Fractals and power-law decay // Physical Review A. — 1992. — Vol. 45, no. 6. — Pp. 3486-3502.

136. Prants S. V., Kon'kov L. E. Chaotic motion of atom in the coherent field of a standing light wave // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2001. — Vol. 73, no. 4.

— Pp. 180-183.

137. Prants S. V. Chaos, fractals, and atomic flights in cavities // JETP Letters. — 2002. — Vol. 75, no. 12. — Pp. 651-658.

138. Argonov V. Yu., Prants S. V. Fractals and chaotic scattering of atoms in the field of a standing light wave // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2003. — Vol. 96, no. 5. — Pp. 832-845.

139. Prants S. V., Uleysky M. Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Physics Letters A. — 2003. — Vol. 309, no. 5-6. — Pp. 357-362.

140. Beeker Arne, Eckelt Peter. Scaling and decay in periodically driven scattering systems // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 487-494.

141. Rapisarda Andrea, Baldo Marcello. Coexistence of regular and chaotic scattering in heavy-ion collisions // Physical Review Letters. — 1991. — Vol. 66, no. 20. — Pp. 2581-2584.

142. Baldo M., Lanza E. G., Rapisarda A. Chaotic scattering in heavy-ion reactions // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 691-706.

143. Argonov V., Prants S. Theory of dissipative chaotic atomic transport in an optical lattice // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 4. — P. 043413.

144. Makarov Denis, Uleysky Michael. Specific Poincare map for a randomly-perturbed nonlinear oscillator // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2005. — Vol. 39, no. 3. — Pp. 489-497.

145. Balint-Kurti Gabriel G, Palov Alexander P. Theory of Molecular Collisions. Theoretical and Computational Chemistry Series no. 7. — Cambridge: The Royal Society of Chemistry, 2015.

146. Budyansky M.V., Prants S.V. Chaotic mixing and fractals in a geophysical jet current // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2008. — Vol. 13, no. 2.

— Pp. 434-443.

147. Lagrangian study of transport and mixing in a mesoscale eddy street / S. V. Prants, M. V. Budyansky, V. I. Ponomarev, M. Yu. Uleysky // Ocean Modelling. — 2011. — Vol. 38, no. 1-2. — Pp. 114-125.

148. Kozlov V. F. Models of topographic vortices in the ocean. — Moscow: Nauka, 1983. — P. 200.

— [in Russian].

149. Gledzer Alexey E. On the Lagrangian transport near oscillating vortex in running flow // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. — 2011. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 75-100. — [in Russian]. URL: http://nd.ics.org.ru/upload/iblock/451/ND_2011_v7_n1_04.pdf.

150. Schroeder Manfred Robert. Fractals, chaos, power laws: minutes from an infinite paradise. — New York: W. H. Freeman and Company, 1991. — Pp. XVIII, 429.