Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кулешов, Александр Андреевич

• Кулешов, Александр Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кулешов, Александр Андреевич

Содержание

Введение

Глава 1. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов

1.1. Задачи с однородными нелокальными условиями

1.2. Задачи с однородными граничными условиями

1.3. Задачи с неоднородными граничными и нелокальными условиями

Глава 2. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости

2.1. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня

2.2. Смешанные задачи для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны

2.3. Теорема единственности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентов»

Введение

Открытое в XVIII веке волновое уравнение является одним из важнейших в математической физике и связано с именами таких ученых, как Д'Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Лагранж. С его помощью, наряду с механическими колебаниями, могут быть описаны процессы распространения электромагнитных, гравитационных и акустических волн в газах, жидкостях и твердых средах. Вклад в изучение классических решений смешанных или, как их еще называют, начально-краевых задач для волнового уравнения внесли многие известные математики. После выхода в свет работ Н.Винера, К.О.Фридрихса, Н.М.Гюнтера и основополагающей работы С.Л.Соболева [1] в первой половине XX в. сформировался интерес к построению обобщенных решений начально-краевых задач. Фундаментальные результаты, касающиеся обобщенных решений смешанных задач для гиперболических уравнений, были получены О.А.Ладыженской [2] и В.А.Ильиным [3]. Начально-краевые задачи играют ключевую роль при изучении задач управления, которые рассматривались А.Г.Бутковским [4], Ж.Л.Лионсом [5], [6], Ф.П.Васильевым и его учениками [7]-[9]. В цикле работ, начатых В.А.Ильиным в 1999г. и продолженных его учениками [11]-[48], а также Е.И.Моисеевым и его учениками [39]-[52], важнейшую роль при решении задач оптимального управления играют решения начально-краевых задач, найденные в явном аналитическом виде. Именно нахождению таких решений и посвящена данная работа.

В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с граничными условиями первого либо второго рода на левом конце и с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского [10], связывающими значение решения или его производной по х в двух точках: в произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В работах В.А.Ильина [15]-[17] в явном виде были найдены обобщенные решения исследуемых задач, а также проведена оптимизация граничного управления, в случае, когда указанные значения связаны

равенством со знаком плюс либо минус. Явный вид решения в случае закрепленного правого конца и неоднородного нелокального условия, связывающего разность значений производных решения по х в граничных точках, был найден А.А.Холомеевой [51]. Основным результатом главы 1 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых задач в случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решения или его производной по х в указанных двух точках.

Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости. Отметим, что В.А.Ильиным [18] были найдены решения исследуемых задач в случае равных времен прохождения волны по каждому из участков; в [19]—[21] проведена оптимизация граничного управления краевым условием первого, а в [22] - второго рода. В случае условия равенства импедансов решения исследуемых смешанных задач, а также оптимизация граничного управления, рассматриваются в [23] и [24] соответственно. Задачи о возбуждении и успокоении колебаний неоднородного стержня с помощью граничного управления на одном конце были также рассмотрены В.А.Ильиным в [25] и [26] соответственно. Основным результатом главы 2 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых смешанных задач в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участков.

Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решении задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.

Автор глубоко благодарен В.А.Ильину за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе. Автор благодарен Ф.П.Васильеву, А.А.Амосову, В.М.Говорову, М.М.Потапову, А.В.Разгулину за ценные советы и обсуждения отдельных вопросов по теме диссертации. Также автор благодарит А.А.Никитина, И.Н.Смирнова за полезные обсуждения рассматриваемых задач.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кулешов, Александр Андреевич

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы:

1. Найден аналитический вид обобщенных решений смешанных задач с нулевыми начальными условиями для уравнения поперечных колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов.

2. Найден аналитический вид обобщенных решений смешанных задач с нулевыми начальными условиями для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, а также для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня, состоящих из двух участков разной плотности и упругости, с граничными условиями первого и второго родов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кулешов, Александр Андреевич, 2012 год

Список литературы

[1] Soboleff S. Methode nouvelle a résoudre le problème de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales // Матем. сб., 1936, 1(43):1, с. 39-72.

[2] Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1953.

[3] Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи математических наук, 1960, т. 15, вып. 2 (92), с. 97- Щ.

[4] Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

[5] Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

[6] Lions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Review. 1988. Vol. 30. No. 1. pp. 1-68.

[7] Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 11, с. 1893 - 1900.

[8] Васильев Ф.П. Методы оптимизации. В 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011.

[9] Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин A.B. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. М.: Макс пресс, 2010.

[10] Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969, т. 185, № 4, с. 739-740.

[11] Ильин В.А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 1, с. 137 - 138.

[12] Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № И, с. 1517-1531

[13] Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513 - 1528.

[14] Ильин В.А. Единственность обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, № 5, с. 672 - 680.

[15] Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады Академии наук, 2008, т. 420, № 3, с. 309 - 313.

[16] Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады Академии наук, 2008, т. 420, № 4, с. 44% - 446-

[17] Ильин В.А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № 11, с. Ц87 - Ц98.

[18] Ильин В.А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков // Доклады Академии наук, 2009, т. 429, № 6, с. 742 - 745.

[19] Ильин В.А. Оптимизация граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков // Доклады Академии наук, 2011, т. 440, № 2, с. 159 - 163.

[20] Ильин В.А. Схема оптимизации граничного управления смещением на двух концах процессом колебаний стержня, состоящего из двух разнородных участков // Доклады Академии наук, 2011, т. 441, № 6, с. 731 - 733.

[21] Ильин В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков // Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, № 7, с. 978 - 986.

[22] Ильин В.А. Оптимизация производимого упругой силой граничного управления колебаниями состоящего из двух разнородных участков стержня // Доклады Академии наук, 2011, т. 440, № 6, с. 731 - 735.

[23] Ильин В.А., Луференко П.В. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Доклады Академии наук, 2009, т. 428, № 1, с. 12-15.

[24] Ильин В.А., Луференко П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными колебаниями стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые импедансы // Доклады Академии наук, 2009, т. 429, № 4, с. 455 - 458.

[25] Ильин В.А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков // Доклады Академии наук, 2010, т. 435, № 6, с. 732 - 735.

[26] Ильин В.А. О полном успокоении с помощью граничного управления на одном конце колебаний неоднородного стержня // Труды ин-та Математики и механики УрО РАН, 2011, т. 17, № 2, с. 88 - 96.

[27] Никитин A.A. Граничное управление упругой силой на одном конце струны // Доклады Академии наук, 2006, т. 406, № 4, с. 458-461.

[28] Никитин A.A. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика, 2007, № 2, с. 120-126.

[29] Никитин A.A. Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием // Доклады Академии наук 2007, т. № б, с. 743-745.

[30] Никитин A.A. О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями. // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, № 12, с. 1692-1700.

[31] Никитин A.A., Кулешов A.A. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № 5, с 681-690.

[32] Никитин A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении // Дифференциальные уравнения, 2011, т. 46, № 12, с. 1773-1782.

[33] Смирнов И.Н. Формула типа Даламбера для колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности, описываемых телеграфным уравнением // Доклады Академии Наук, 2010, т. 433, № 1, с. 25-29.

[34] Смирнов И.Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные

упругости, но одинаковые импедансы. Одностороннее управление // Доклады Академии наук, 2010, т. 435, № 1, с. 22-25.

[35] Смирнов И.Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Доклады Академии наук, 2010, т. 435, № 2, с. 172-177.

[36] Смирнов И.Н. Решение смешанных задач с граничным управлением упругой силой для телеграфного уравнения // Дифференциальные уравнения, 2011, т.

47, № з, с. 433-441.

[37] Смирнов И.Н. О колебаниях процесса, описываемого телеграфным уравнением, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и цпругости // Доклады Академии наук, 2012, т. 442, № 3, с. 318-322.

[38] Рогожников A.M. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Доклады Академии наук, 2011, т. 441 > Щ, с. 449-451-

[39] Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады Академии наук. 2002, т. 387, № 5, с. 600-603.

[40] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление радиально симметричными колебаниями круглой мембраны // Доклады Академии наук. 2003, т. 393, № 6, с. 730-734-

[41] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады Академии наук, 2004, т-394, № 2, с. 154-158.

[42] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады Академии наук, 2004, т■ 399, № б, с. 727-731.

[43] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи математических наук, 2005, т. 60, вып. 6, с. 89-1Ц.

[44] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень р ^ 1 // Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, № 11, с. 1558-1570.

[45] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, № 12, с. 1699-1711.

[46] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений смещениями на двух концах струны за произвольный достаточно большой промежуток времени // Доклады Академии наук. 2007, т. 417, № 2, с. 160-166.

[47] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, № 12, с. 1655-1663.

[48] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44) № 1, с. 89-110.

[49] Моисеев E.H., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода // Дифференциальные уравнения, 2010, т. 46, № 11, с. 1623 - 1630.

[50] Моисеев E.H., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием четности второго рода // Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, № 1, с. 127 - 134-

[51] Холомеева A.A. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № б, с. 696 - 700.

[52] Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны с модельными нелокальными условиями одного из двух типов // Доклады Академии наук, 2011, т. 437, № 2, с. 164-167.

[53] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

[54] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

[55] Осипов Ю.С.,Васильев Ф.П.,Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Издательство Московского университета, 1999.

Публикации автора по теме диссертации.

[56] Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов // Доклады Академии наук, 2009, т. 426, № 3, с. 307-309.

[57] Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с однородными нелокальными условиями // Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, № 6, с. 810-817.

[58] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с однородными граничными и неоднородными нелокальными условиями // Дифференциальные уравнения, 2010, т. 46, Ш 1, с. 98-104-

[59] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Доклады Академии наук, 2012, т. 442, № 4, с. 451-454.

[60] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости // Доклады Академии наук, 2012, т. 442, № 5, с. 594-597.

[61] Кулешов A.A. Некоторые смешанные задачи для уравнения колебаний стержня, состоящего из двух разнородных участков // Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине И.Г.Петровского (XXIII совместное заседание ММ О и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов, М.: Изд-во МГУ, 2011, с. 248-249.