Алгоритмы структурных построений на основе статистической модели по скважинным и сейсмическим данным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат технических наук Новокрещин, Алексей Васильевич

• Новокрещин, Алексей Васильевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Новокрещин, Алексей Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТРУКТУРНЫХ ПОСТРОЕНИЙ ПО СКВАЖИННЫМ И СЕЙСМИЧЕСКИМ ДАННЫМ.

1.1. Постановка задачи структурных построений на основе статистической модели.

1.2. Модели в задачах структурных построений.

1.2.1. Модели структурных построений при отсутствии дополнительных данных.

1.2.2. Модели использования априорной информации и дополнительных данных.

1.3. Алгоритмы выполнения структурных построений

1.3.1. Сеточный алгоритм выполнения структурных построений.

1.3.2. Алгоритмы прогноза средней скорости по данным эффективных скоростей.

1.4. Оценка погрешности и критерии выбора алгоритма структурных построений

1.4.1. Внутренние оценки погрешности структурных построений.

1.4.2. Критерии выбора алгоритмов структурных построений.

1.4.3. Оценки, характеризующие погрешность выполненных структурных построений.

Глава 2. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТРУКТУРНЫХ ПОСТРОЕНИЙ.

2.1. Методы интерполяции и фильтрации данных

2.1.1. Анализ методов интерполяции

2.1.2. Линейная относительно данных интерполяция

2.1.3. Оптимальная интерполяция — крайгинг

2.2. Привлечение априорной информации и дополнительных данных для улучшения прогноза

2.2.1. Методы на основе гипотезы универсального крайгинга.

2.2.2. Многомерные геостатистические методы оценивания

2.2.3. Подходы построения оценки в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных

Глава 3. АЛГОРИТМЫ СТРУКТУРНЫХ ПОСТРОЕНИЙ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО СКВАЖИННЫМ И СЕЙСМИЧЕСКИМ ДАННЫМ

3.1. Алгоритмы интерполяции сейсмических и скважии-ных данных.

3.1.1. Интерполяция параметров сейсмических данных

3.1.2. Интерполяция скважинных данных.

3.2. Профильный алгоритм

3.2.1. Современный вид профильного алгоритма

3.2.2. Практическая реализация алгоритма.

3.2.3. Апробация профильного алгоритма.

3.3. Адаптивный алгоритм построения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных.

3.3.1. Алгоритм построения непрерывных адаптивных геостатистических оценок.

3.3.2. Апробация алгоритма адаптивной комбинации оценок.

3.4. Алгоритм построения оценки средней скорости по данным эффективных скоростей и скважинным данным

3.4.1. Последовательность операций алгоритма

3.4.2. Результаты опробования алгоритма.

3.5. Алгоритм структурных построений с использованием данных глубин, определённых по эксплуатационным скважинам.

3.5.1. Качественная оценка погрешности данных глубин, определённых по наклонным скважинам

3.5.2. Оптимальная интерполяция неравноточных данных эксплуатационных скважин

3.5.3. Построение модели случайной функции по наблюдаемым данным.

3.5.4. Результаты опробования алгоритма.

3.6. Построение карт стандартных отклонений прогноза глубин.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы структурных построений на основе статистической модели по скважинным и сейсмическим данным»

Объектом исследований в настоящей работе являются геостатистические методы оценивания и алгоритмы структурных построений границ раздела геологических тел по данным сейсмических исследований методом общей глубинной точки (МОГТ): временам слежения отражающих горизонтов по мигрированным сейсмическим разрезам; эффективным кинематическим параметрам, определяемым в ходе скоростного анализа сейсмограмм, и данным геофизических исследований скважин — глубин геологических границ, — на предмет создания новых, более эффективных алгоритмов структурных построений и способов оценивания.

Актуальность. Одна из основных задач интерпретации сейсмических данных состоит в выполнении структурных построений — прогноза глубин границ раздела геологических тел. При структурных построениях используются данные о границах раздела геологических тел, определённые по скважипным наблюдениям, времена слежения отражающих горизонтов по мигрированным сейсмическим разрезам и эффективные кинематические параметры, определяемые в процессе обработки сейсмических данных.

Точность оценки запасов месторождения углеводородов более чем на 50% определяется точностью построенной структурной модели этого месторождения [Thore et al., 2002]. А наибольшая неопределённость глубинной модели возникает именно на этапе структурных построений.

Технология процесса интерпретации, включающая в себя корреляцию осей сипфазности по временным разрезам, интерполяцию, операции над сеточными функциями, графическое представление результатов и т.п., бурно прогрессировала в последние два десятилетия. В то же время вопросы, связанные с обоснованием гипотез, моделей, с анализом точности и оптимизацией алгоритмов структурных построений не получили практического применения. Более того, алгоритмы прогноза глубин геологических границ трансформировались в соответствии с появляющимися технологическими средствами. При этом, критериями выбора технологических средств при построении алгоритмов были простота и скорость выполнения операций, а не оптимизация достоверности структурных построений.

Основным недостатком существующих практических алгоритмов оценивания глубин геологических границ является непроработанность используемых на практике гипотез и соответствующих им математических моделей. Под моделью зачастую понимается только одна её составляющая, связывающая значения времён слежения горизонтов с глубинами геологической границы. Другие составляющие (достоверность и пространственное распределение имеющихся сейсмических и скважинных данных) присутствуют в неявном виде.

Попытка внедрения вероятностных и статистических моделей решения структурных задач [Кивелиди и др., 1982], предпринятая около 20 лет назад, не получила широкого практического применения из-за несовершенства методологии изучения статистических свойств исследуемых

4 1 ' с объектов, и, в основном, из-за отсутствия на тот период мощных вычислительных средств. На сегодняшний день, благодаря появлению более совершенных компьютеров, широкое практическое применение получили статистическая модель описания геологических объектов и геостатистическая методология [Matheron, 1971] изучения статистических свойств исследуемых объектов с помощью структурного анализа, а также методы многомерного оценивания и включения в статистическую модель априорной и дополнительной информации, получаемой в ходе обработки и интерпретации сейсмических данных [Omre, 1987, Xu et al., 1992, Chiles and Delfiner, 1999, Дюбрул, 2002].

В связи с вышесказанным, возникает необходимость в разработке новых более эффективных и оптимальных, в соответствии с минимизацией погрешностей прогноза, способов оценивания и алгоритмов структурных построений на основе статистической модели с применением геостатистической методологии.

Цель работы — повышение точности прогноза глубин отражающих горизонтов в сложных сейсмогеологических условиях путём разработки новых способов построения оценок и алгоритмов выполнения структурных построений на основе статистической модели по сейсмическим и скважинным данным.

Задача исследований — с использованием методологии структурного анализа и геостатистических методов разработать новые алгоритмы построения оценок, реализующие их программы и алгоритмы структурных построений для получения прогнозов глубин геологических границ по скважинным и сейсмическим данным различной полноты и достоверности, а также оценки стандартного отклонения погрешностей этих прогнозов.

Методы исследований и фактический материал.

Теоретической основой для решения задачи является раздел теории вероятностей — теория случайных функций. Для изучения структуры статистической модели наблюдаемых данных используется геостатистическая методология прикладного моделирования — структурный анализ. В работе использовались методы: регрессионного анализа, геостатистические методы оптимального оценивания, пространственно весовой регрессии, линейной алгебры, а также ресурсоёмкие компьютерные системы геостатистического оценивания «Gstat» [Pebesma, 2004], «Surfer»1 и программы разработанные соискателем.

В диссертации используется фактический материал (времена слежения отражающих горизонтов и эффективные кинематические параметры, определённые по сейсмическим данным, глубины геологических границ, определённые по данным геофизических исследований скважин), полученный при выполнении производственных и тематических работ, с проверкой точности оценок с помощью внутренних критериев, статистических тестов и результатами последующего бурения скважин.

Описание алгоритмов структурных построений сделано на основе сейсмических и скважиниых данных: Останинской (2005, 2006 гг.), Конда-ковской (2007 г.), Казанской (2006 г.) площадей; Самотлорского (2001, 2002 гг.), Русскинского (2005 г.) месторождений и др.

Практические выгоды использования адаптивного способа оценивания продемонстрированы на примере прогноза средней скорости до горизонта по северной части Самотлорского месторождения. xhttp://www.goldensoftware.com

При выявлении погрешностей данных по наклонным скважинам анализировался фонд скважинных данных по Русскинскому (511 скважин) и Самотлорскому (16420 скважин) месторождениям.

Прогнозные построения подтверждены результатами исследований вновь пробуренных поисково-разведочных скважин по рекомендациям и на основании структурных построений, выполненных ОАО «Сиб-нефтегеофизика» на территориях Самотлорской (2002 г.), Остапинской (2007 г.), Казанской (2007, 2008 гг.) и других площадей.

Защищаемые научные результаты и положение:

1. С использованием метода оптимальной интерполяции неравноточных данных разработаны: профильный алгоритм структурных построений и алгоритм прогноза средней скорости по данным эффективных скоростей.

2. На основе метода пространственно локальной регрессии и комбинирования оценок разработан адаптивный алгоритм построения геостатистических оценок, основанных на экранирующей гипотезе марковского типа, и оценки в виде простой комбинации прогноза по интерполяции и по линейной регрессии, а также создана программа, реализующая этот способ.

3. С применением методов математической статистики установлено, что глубины геологических границ, определённые по наклонным скважинам, содержат погрешности, дисперсия которых зависит от удлинения скважин. По результатам структурного анализа установлено, что причиной этой погрешности являются ошибки локации стволов скважин.

4. Разработан и программно реализован алгоритм оптимальной интерполяции пространственных данных, содержащих независимые погрешности позиционирования с различными дисперсиями.

Научная новизна. Личный вклад.

1. Использован метод оптимальной интерполяции пространственно распределённых неравноточных данных при разработке алгоритмов структурных построений по скважинным и сейсмическим данным:

• разработан профильный алгоритм структурных построений, учитывающий перавноточность определения параметров скоростной модели по данным скважин, расположенных на разных удалениях от точек сейсмических наблюдений (совместно с А. П. Сысоевым);

• на основе проведённого теста Cross-Validation по трём площадям с различными плотностями 2D сейсмических профилей обоснована эффективность этого алгоритма в сравнении с традиционным сеточным алгоритмом;

• разработан алгоритм прогноза средней скорости продольных сейсмических волн по неравпоточным измерениям эффективной скорости, полученным на основе горизонтального скоростного анализа сейсмограмм ОСТ;

• по сходимости результатов интерполяции измеренной эффективной скорости к значениям средней скорости обоснована эффективность использования интерполяции, учитывающей неравноточпость измерений, в сравнении с интерполяцией, игнорирующей неравпоточность данных.

2. На основе географически весовой регрессии и геостатистических методов построения эффективных оценок разработан адаптивный алгоритм получения непрерывных оценок в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных:

• разработан адаптивный способ построения прогноза в виде простой комбинации оценок по пространственно локальной регрессии и по интерполяции (в соавторстве с С. В. Елецким);

• впоследствии соискателем подход адаптации на основе пространственно локальной регрессии был расширен на геостатистические методы, основанные на экранирующей гипотезе марковского типа (кокрайгинг и мульти-совместный кокрайгинг), для нестационарной функции взаимной ковариации прогнозируемой и дополнительной переменной, а также реализована программа построения этих оценок.

3. Погрешности глубин геологических границ, определённых по наклонным скважинам, впервые рассмотрены с позиций структурного анализа:

• при использовании скважинных данных двух эксплуатируемых месторождений эмпирически доказана зависимость дисперсий погрешностей определения глубин по наклонным скважинам от удлинения их стволов;

• разработан алгоритм оценки функции ковариацрш погрешности данных, определённых по наклонным скважинам, в зависимости от их удлинений;

• разработанный Н. Кресси и Дж. Корнак алгоритм интерполяции данных с ошибками локации расширен для неодинаково распределённых погрешностей позиционирования, и реализована программа оптимальной интерполяции в этих условиях.

4. С использованием оценки дисперсии погрешности крайгинг интерполяции разработан алгоритм оценки дисперсии погрешности прогноза глубин для модели средней скорости (совместно с А. П. Сысоевым). Впоследствии соискателем этот подход был обобщён для произвольных моделей выполнения структурных построений.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Результаты диссертации являются вкладом в развитие методической базы решения задач структурных построений, геостатистикР1, доведены до практического использования и внедрены в процесс интерпретации сейсмических данных. Разработанные алгоритмы существенно повышают точность структурных построений.

Результаты работы внедрены в производственную практику ОАО «Сибнефтегеофизика» и применены при выполнении структурных построений по территориям лицензионной деятельности нефтяных компаний: ОАО «Газпром», ОАО «Новосибирскпефтегаз», ОАО «Пур-нефтегазгеология», ОАО «Самотлорнефтегаз», ОАО «Славнефть-Мегионнефтегаз», ОАО «ТНК-Нижневартовск», ОАО «Томскнсфть» ВНК, ОАО «Хантымансийскнефтегазгеология» и др.

Впервые карты оценки стандартного отклонения прогноза глубин были представлены в отчёте о результатах работ сейсморазведочпой партии №20/98-99 в Нижневартовском районе Тюменской области (1999г.) На сегодняшний день эти карты являются неотъемлемой частью большинства отчётов по интерпретации сейсмических данных, выполняемых в ОАО «Сибнефтегеофизика». Алгоритм построения скоростной модели по данным эффективных скоростей применяется при структурных построениях на всех отчётных площадях при условии наличия сейсмограмм ОСТ.

Разработанные алгоритмы и программные средства предназначены для широкого использования геологами- и геофизиками-практиками. А алгоритмы и программы выполнения адаптивного прогноза и прогноза при наличии неодинаково распределённых ошибок позиционирования могут быть использованы также в отраслях знаний, связанных с изучением регионализованных переменных, таких, как экология, метеорология, экономика и др.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научно-практической конференции «Геомодель-2000» (Геленджик, 2000), на научно-практической конференции «Геомодель-2001» (Москва, 2001), на Международной конференции молодых учёных, специалистов и студентов «Геофизика-2001» (Новосибирск, 2001), на Международной геолого-геофизической выставке «Санкт-Петербург-2006» (Санкт-Петербург, 2006).

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации изложены в восьми опубликованных работах. Из них три работы — это тезисы докладов на российских и международных конференциях. Пять статей — в ведущих рецензируемых научных журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией («Геофизика», «Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений»).

Благодарности. Автор глубоко признателен преподавателям НГУ: д.ф.-м.н. A. JT. Бухгейму, д.ф.-м.н. В. Г. Яхно, д.ф.-м.н. В. Г. Романову, к.т.н. В. Д. Блинову, д.ф.-м.н. Г. М. Цибульчику, академику С. В. Голь-дину — за участие в формировании его научного мировоззрения.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.т.н. А. П. Сысоеву и научному консультанту д.т.н. С. М. Зеркалю за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к научной работе соискателя па протяжении более чем 10 лет.

Автор выражает благодарность своим коллегам — высококлассным специалистам: Т. М. Брагиной, Т. И. Чернышовой, 3. И. Громовой,

B. М. Моисеенко, В. П. Калгипу, М. В. Лебедеву — за примеры творческого решения сложных производственных задач. Совместная работа и дискуссии с к.т.н. К. Н. Зверинским сыграли немаловажную роль при формировании навыков решения практических задач. Автор благодарен

C. В. Елецкому за обсуждения и сотрудничество при создании первых приближений адаптивного способа построения оценок и их программных реализаций.

Автор благодарен В. И. Самойловой за ценные консультации и рекомендации по методическим вопросам подготовки диссертации.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы из 82 наименований и 3-х приложений. Полный объём работы: 218 страниц текста, 46 рисунков, 3 таблицы.

Расположение материалов в работе подчинено логической последовательности анализа подходов решения рассматриваемой задачи: \

• постановка задачи структурных построений в статистической модели по скважинным и сейсмическим данным и анализ существующих алгоритмов решения;

• анализ геостатистических методов, применяемых для создания алгоритмов решения поставленной задачи;

• алгоритмы решения задачи в условиях неравноточности сейсмических и скважинных данных и в условиях нестационарной линейной зависимости прогнозируемой переменной от дополнительных данных, а также алгоритм оценки погрешности структурных построений.

Постановки задач структурных построений и способы их решения определяются двумя факторами: структурой и объёмом данных, видом зависимости между переменными и параметрами модели. Многообразие конкретных условий задачи, характерное для практики, порождает необходимость рассматривать различные методы и алгоритмы решения.

Поэтому в первой главе конкретизируются используемые скважин-ные и сейсмические данные, формулируются требуемые свойства решения задачи, и делается постановка задачи структурных построений на основе статистической модели данных. Анализируются основные гипотезы, приводящие к упрощению задачи, и соответствующие им модели. А также рассматриваются основные алгоритмы и подходы оценивания погрешности решения поставленной задачи.

При решении задач структурных построений модель на основе случайной функции используется в большом количестве работ. Наиболее обширное описание геостатистических методов решения задачи структурных построений с практическими примерами дано в работе [Дюбрул, 2002]. Более подробно с математической точки зрения примеры решения задачи структурных построений на основе статистической модели описаны в работе [Chiles and Delfiner, 1999]. Модели связей глубин и времён горизонтов рассмотрены в работах [Abrahamsen, 1995, Сысоев и др., 2001]. Факторы, влияющие на точность структурных построений, и подходы оценивания погрешности прогноза глубин анализируются в статьях [Thore ct al, 2002, Сысоев, 2005].

Существуют различные модели и способы решения задач интерпретации сейсмических данных. Их можно условно разделить на два взаимодополняющих подхода: детерминированный и вероятностно-статистический [Дюбрул, 2002, Никитин, 2004].

В статистической модели наблюдаемое явление рассматривается как некоторая реализация случайной функции. Для изучения структуры случайной функции применяется геостатистическая методология структурного анализа, основным инструментом которого является структурная функция или вариограмма. Для оценки неизвестных параметров используются методы оптимального оценивания, основанные на минимизации функционала среднеквадратичного отклонения погрешности прогноза.

С математической точки зрения эти методы базируется на разделе теории вероятностей, известном под названием "теория случайных функций". Основы этой теории были заложены работами А. Н. Колмогорова и Н. Винера по интерполяции и фильтрации стационарных случайных процессов [Колмогоров, 19416, Wiener, 1950]. Дальнейшее развитие статистической теории пространственно распределённых данных связано с работами Д. Г. Криге, JI. С. Гандина, Дж. Матерона, А. М. Яглома, Б. Д. Рипли, [Яглом, 1981, Давид, 1980, Гандин, 1959, Матерон, 1968, Matheron, 1971, Ripley, 1981].

В частности, в своих работах Дж. Матерон для описания структуры наблюдаемых явлений (метеорологических полей, распределения рудных запасов, геологических и петрофизических свойств) использовал введённую А. Н. Колмогоровым структурную функцию [Колмогоров, 1941а], которую зарубежные исследователи называют полувариограммой или просто вариограммой. Для некоторых типов случайных функций существует связь между вариограммой и другой важной характеристикой статистической структуры — ковариационной функцией. Вариограмма является более универсальным инструментом изучения свойств случайной функции, так как она существует даже в том случае, когда не существует ковариация [Давид, 1980].

С использованием информации о статистической структуре исследуемых явлений — вариограммы и ковариационной функции — был разработан метод оптимального оценивания и интерполяции пространственно распределённых данных JL С. Гандиным [Гандин, 1959, 1963, Гандин и Каган, 1976] и Дж. Матероном [Матерон, 1968, Matheron, 1971]. Дж. Матерон назвал этот метод крайгипг в честь южноафриканского горного инженера Д. Г. Криге, который, вероятно, был первым, кто использовал наилучшие линейные несмещённые оценки при подсчёте минеральных запасов [Давид, 1980].

Дж. Матерон обобщил различные методы решения задач, использовавшиеся в лесоведении, рудной геологии, метеорологии, теории стохастических процессов и случайных полей, ввёл термин геостатистика и разработал основные положения этой методологии [Давид, 1980]. Геостатистика может быть определена как «приложения вероятностных методов к анализу и изучению регионализованных переменных» [Chiles and Delfmer, 1999, с. 2]. Это более понятное определение, чем «статистика в науках о земле».

Геостатистика, в целом, может не представлять новизны для специалистов по математической статистике. Однако можно утверждать, что в науках о земле, в том числе и геофизике, существуют весьма специфические проблемы, решение которых приводит к разработке оригинальных теоретических представлений, гипотез и к введению специфической терминологии. Это не означает, что целью геостатистики является пересмотр терминологии, существующей в рамках математической статистики. Однако имеет смысл развивать методологию, которая была бы специально предназначена для решения практических задач наук о земле и, соответственно, обладала своим языком. Термин «крайгинг» был введён для обозначения статистического термина: «наилучшее линейное несмещённое оценивание» реализации стационарной второго порядка случайной функции [Давид, 1980, с. 227]. Главными положениями геостатистических работ, являются разработки в области прикладного моделирования, основанного на использовании вариограмм [Дюбрул, 2002]. Таким образом, геостатистика является своеобразным мостом, соединяющим наблюдаемые в ходе эксперимента данные и статистические методы обработки и интерпретации этих данных.

Геостатистические разработки можно разделить на две широкие категории [Дюбрул, 2002]. Первую из них, основанную на методе оптимальной интерполяции — крайгинге, можно назвать детерминированной геостатистикой. Сюда входит большое число методов: универсальный крайгинг, универсальный крайгинг с внешним дрейфом, байесовский крайгинг, ко-крайгинг, совместный кокрайгинг и др. Хотя эти методы основаны на случайной модели наблюдаемых и прогнозируемых переменных, они- дают одно решение, и поэтому их можно назвать детерминированными методами. Методы именно этого раздела геостатистики нашли применение при решении задач структурных построений.

Вторая категория методов основана на идее обусловленного стохастического моделирования и в качестве решений даёт семейство реализаций, совместимых с априорной моделью и имеющимися данными. Поэтому её называют стохастической геостатистикой. Она включает в себя методы: индикаторного моделирования, совместного моделирования и геостатистическую инверсию.

В настоящее время статистические модели применяются для решения широкого круга задач, связанных с обработкой и интерпретацией геологических и сейсмических данных. Это стало возможным благодаря работам [Гольцман, 1971, Белов, 1973, Давид, 1980, Дэвис, 1990а,б, Omre, 1987, Xu et al., 1992, Никитин, 1979].

В течение последних 30 лет совместное развитие геостатистических методов и программных систем моделирования привело к все большему включению геостатистики в процесс отдельных научно-технических дисциплин: геологии, геофизики и разработки. В связи с этим, многие современные методы оценивания появились благодаря трудам специалистов, работающих в области разработки нефтяных месторождений и сейсморазведке: Г. Омре, В. Ху, П. Чилес, П. Делфинер О. Дюбрул [Omre, 1987, Xu et al, 1992, Chiles and Delfiner, 1999, Дюбрул, 2002].

Методы построения оптимальных геостатистических оценок основаны на гипотезах стационарности случайной функции. А структурный анализ является неотъемлемой частью алгоритмов практического применения геостатистических методов оценивания. Поэтому изложение методологических аспектов геостатистики: терминологии, гипотез стационарности, структурного анализа, — сделанное преимущественно на основе книги Ж. П. Чилесаи П. Делфинера [Chiles and Delfiner, 1999] приведено в приложении А (стр. 166). В русскоязычной литературе наиболее современное изложение структурного анализа сделано в книге [Каневский и др., 1999].

В связи с вышесказанным, вторая глава посвящена анализу преимущественно геостатистических детерминированных методов одномерного (раздел 2.1, стр. 45) и многомерного (раздел 2.2, стр. 68) линейного оценивания, применяемых для решения задачи структурных построений в статистической модели.

В разделе 2.1.3 (стр. 66) крайгинг интерполяция данных с погрешностями позиционирования KALE2 [Cressie and Kornak, 2003] расширена для неодинаково распределённых ошибок локации. Также найдено ана

2kriging adjusting for location error литическое выражение функции ковариации случайной функции, осложнённой нормально распределёнными погрешностями позиционирования с изменяющимися дисперсиями, для гауссовской функции ковариации исходной случайной функции. С помощью численного интегрирования найдена аппроксимация трансформации линейной вариограммы в условиях погрешностей локации данных.

В разделе 2.2.3 (стр. 80) предлагается способ получения непрерывной адаптивной оценки в условиях нестационарной линейной зависимости оцениваемого параметра от дополнительных данных на основе компиляции метода географически весовой регрессии (стр. 81) и комбинирования оценок (стр. 84). Замечено, что пространственно весовая регрессия позволяет также получить непрерывные адаптивные оценки геостатистических методов, основанных на экранирующей гипотезе марковского типа.

В третьей главе описываются и обосновываются алгоритмы решения задачи структурных построений в статистической модели по сейсмическим и скважинпым данным. Многообразие алгоритмов порождено производственной необходимостью, поэтому все результаты иллюстрируются практическими примерами. Расположение материала в этой главе сделано но типам задач, в соответствии с имеющимися данными: 1) времена слежения горизонтов и глубины геологических границ, определённые по разведочным скважинам; 2) времена слежения горизонтов, измерения эффективных скоростей и глубины геологических границ; 3) времена слежения горизонтов и глубины геологических границ, определённые по эксплуатационным скважинам.

Предложены алгоритмы, построенные с использованием метода оптимальной интерполяции неравноточных данных: профильный алгоритм структурных построений (раздел 3.2, стр. 97) и алгоритм прогноза средней скорости по измеренным эффективным скоростям (раздел 3.4, стр. 113). Отличительной особенностью этих алгоритмов является то, что в них не игнорируется неравноточность данных, используемых для построения скоростной модели.

Опробование и обоснование эффективности профильного алгоритма представлено на основе данных трёх площадей с различными плотностями сейсмических данных. Исследуется изменение эффективности алгоритма по мере разуплотнения сети сейсмических профилей. Эффективность алгоритма использования данных горизонтального скоростного анализа обосновывается на примере опробования по трём площадям.

На примере северной части Самотлорского месторождения рассмотрен алгоритм адаптации пространственных оценок, в том числе двух геостатистических оценок: совместного кокрайгинга и мульти-совместиого ко-крайгинга (раздел 3.3, стр. 103). Подход адаптации на основе пространственно весовой регрессии сравнивается с традиционным подходом, основанным па локальной выборке данных.

На примере скважинных данных двух месторождений сделано описание алгоритма, позволяющего использовать неравноточные данные эксплуатационных скважин (раздел 3.5, стр. 131), в том числе, и данные, имеющие неодинаково распределённые ошибки позиционирования. Алгоритмы построения оценок, учитывающие неравноточность данных наклонных скважин, сравниваются с алгоритмами, игнорирующими неодинаковую распределённость погрешностей измеренных данных.

С использованием сеточных функций оценки дисперсии погрешности интерполяции предложен алгоритм построения оценки стандартного отклонения погрешности прогноза глубин геологических границ в виде карты (раздел 3.6, стр. 152).

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Новокрещин, Алексей Васильевич

Основные результаты второй главы

Многие методы интерполяции, включая сплайновые методы, являются линейными относительно данных, среди которых наилучшую несмещённую оценку даёт метод крайгинг интерполяции.

В рамках геостатистической методологии алгоритм построения оценки интересующей функции можно представить в виде следующей последовательности:

1. Построение оценок вариограмм и кроссвариограмм. comb (г)

2. Выбор гипотезы стационарности случайных функций, реализациями которых являются имеющиеся данные.

3. Выполнение оценки средних случайных функций на основе тренд анализа данных.

4. Построение стационарных оценок вариограмм и кроссвариограмм.

5. Построение оценки с помощью одного из геостатистических методов.

Геостатистические методы оценивания и их ограничения:

Простой крайгинг — известное среднее стационарной в широком смысле случайной функции.

Обычный крайгинг — неизвестное постоянное среднее слабо стационарной случайной функции.

Универсальный крайгинг — среднее случайной функции может быть представлено в виде разложения по базисным функциям координат.

Универсальный крайгинг с внешним дрейфом — известна модель зависимости среднего случайной функции от детерминированной вторичной переменной.

Байесовский крайгинг — наличие априорных сведений о параметрах модели среднего случайной функции.

Кокрайгинг — наиболее общий многомерный метод построения линейной оценки; среднее случайных функций должно быть известно, либо иметь представление в виде разложения по базисным функциям координат (универсальный кокрайгинг).

Совместный кокрайгинг — кокрайгинг в условиях экранирующей гипотезы марковского типа. Если используются данные вторичной переменной в точках, где известна первичная переменная, то этот метод называется мульти-совместным кокрайгингом.

Сложность практической реализации метода кокрайгинг связана с необходимостью оценить вариограммы и кроссвариограммы всех имеющихся переменных, что не всегда удаётся выполнить при небольшом объёме данных. Поэтому на практике используют упрощения этого метода: мульти-совместный кокрайгинг или совместный кокрайгинг.

При решении задач структурных построений методы, имеющие байесовскую структуру оценки (байесовский крайгинг, совместный кокрайгинг), могут успешно применяться для выполнения прогноза скоростной модели. Для построения непосредственно структурных карт их применение нежелательно, особенно при наличии дизъюнктивных нарушений. Вблизи скважин оценка по этим методам в большей степени будет выполняться по интерполяции данных глубин горизонта и в меньшей степени будет зависеть от поведения времён слежения горизонта. Поэтому применение этих методов приведёт к некоторому сглаживанию структурных элементов, отражённых в сейсмических данных, в том числе и разрывных нарушений.

Возможности метода универсального крайгинга с внешним дрейфом для построения структурных поверхностей ограничены предположением зависимости среднего глубин от детерминированной функции времён слежения горизонта, которые могут быть известны с некоторой погрешностью. Поэтому его применение оправдано лишь в простых сейсмогеоло-гических условиях, когда проявляется отчётливая регрессионная зависимость глубины горизонта от его времени слежения с низкой выборочной дисперсией отклонения данных глубин от регрессионной модели.

Существуют ситуации, когда наблюдается дрейф параметров зависимостей глубины горизонта от его времени слежения или средней скорости до горизонта от дополнительных данных. Если не выявлены факторы, объясняющие такое поведение зависимостей, то приходится находить адаптивные оценки параметров модели таким образом, чтобы они в большей степени учитывали локальную взаимосвязь данных. В качестве возможного способа получения адаптивных оценок может быть использована пространственно локальная регрессия, параметры которой оцениваются на основе минимизации среднеквадратичного функционала с весовыми коэффициентами, служащими мерой удалённости данных.

Комбинирование оценок, полученных по различным моделям оценивания, может повысить точность прогноза. Если весовые коэффициенты комбинации оценок строятся с использованием коэффициента корреляции, полученного по модели локальной регрессии, то такая комбинация становится адаптивной.

Глава 3. АЛГОРИТМЫ СТРУКТУРНЫХ ПОСТРОЕНИЙ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО СКВАЖИННЫМ И СЕЙСМИЧЕСКИМ ДАННЫМ

3.1. Алгоритмы интерполяции сейсмических и скважинных данных

При выполнении структурных построений по системе сейсмических и скважиппых данных часто возникает необходимость перехода от нерегулярной сети наблюдений к регулярной. Поэтому в первом разделе этой главы опишем алгоритмы интерполяции сейсмических и скважинных данных.

3.1.1. Интерполяция параметров сейсмических данных

Данные времён слежения горизонтов обычно известны по более плотной сети наблюдений, чем это требуется для решения задач структурных построений, например, для построения структурной карты масштаба 1 : 25000 достаточно использовать шаг сеточной функции равный 50м.

Алгоритм выполнения интерполяции параметров сейсмических наблюдений состоит из трёх последовательных операций:

1. фильтрация и разрядка данных,

2. структурный анализ данных,

3. выполнение интерполяции.

Фильтрация и разрядка данных

При интерполяции происходит редискретизация данных. Если данные по некоторым направлениям известны с меньшим шагом, чем сеточная функция интерполированных значений, то, согласно теореме отсчётов Котельникова-Шеннона1[Гольденберг и др., 1985], при этом происходит так называемое наложение частот. Высокие частоты, содержащиеся в исходном сигнале, зеркально, относительно частоты Найквиста, накладываются на редискретизованный результат интерполяции. Если наблюдения выполнены с шагом dx вдоль профилей или по площади, то максимальная частота ограничена значением 1/2dx, т.е. fmax < l/2dx. Пусть интерполяция данных выполняется с шагом Ах, большим чем dx, тогда максимальная частота, содержащаяся в результате будет ограничена значением 1/(2 • Ах).

Рассмотрим пример. Наблюдения выполнены по профилям с шагом, равным 12.5м, максимальная частота данных ограничена: fmax < 0.04 м-1. Далее делается интерполяция этих данных с шагом равным 100м, частота Найквиста /дг = 1/(2 • 100м) = 0.005 м-1. При этом все составляющие, имеющие частоту в интервале от 0.005 м-1 до 0.04 м-1, зеркально относительно частоты Найквиста, накладываются в интервал от 0 до 0.005 м-1.

Для того чтобы избежать такого наложения, необходима предварительная фильтрация и/или разрядка данных [Smith and Wessel, 1990]. Кроме того, разрядка приводит к сокращению объёма данных и, как следствие, к сокращению времени, затрачиваемого на выполнение последующих процедур интерполяции. Параметрами фильтрации и разрядки данных являются прямоугольная область определения данных {Xmin, Хтах, Утгп, Утах) и размеры окна фильтрации (DX, DY). Осреднение должно проводиться отдельно в областях, ограниченных пунктирной линией (рис. 3.1), т.е. отдельно по разные стороны от дизъюнктивных нарушений (красная линия па рис. 3.1).

Пусть к - номер связанной области в окне размера (DX,DY), и в этой области известны значений данных /(г^) в точках г^, тогда фильтрованное значение, соответствующее этой области, в общем случае будет иметь вид:

3.1) полное название: «Теорема отсчётов Уиттакера-Найквиста-Котельникова-Шеннона»

Рис. 3.1. Схема расположения точек сейсмических данных и точек результата фильтрации данных. где u)i — весовые коэффициенты фильтра. Примеры фильтрации и разрядки данных: по среднему J(rk) = ^ /(г*), г* = XlKi (точки красного цвета на рис. 3.1), медианное 1 /(г*) = Median [/(rj], г^ = Arg Median [/(г»)], медианное 2 /(г*) — Median [/(гг)], r^ — Median [г,] (точки зелёного цвета рис. 3.1).

Помимо очищения от помех, связанных с процедурой редискретизации и ускорения вычислений при выполнении последующей интерполяции, предварительная фильтрация сейсмических данных позволяет несколько сгладить нежелательные эффекты, связанные с остаточными невязками времён слежения горизонта на пересечениях профилей.

Структурный анализ данных времён слежения горизонтов

Как отмечается (стр. 201), при достаточно больших изменениях среднего случайной функции экспериментальная вариограмма может не отражать поведения случайной составляющей интерполируемых данных. Поэтому первым этапом структурного анализа является оценка среднего случайной функции с помощью тренд анализа. В том случае, если трендом нельзя пренебречь, то данные /(г7) представляются в виде суммы дрейфа d и остатка z, являющегося реализацией слабо стационарной случайной функции Z с нулевым средним,

А оценка экспериментальной вариограммы выполняется уже по данным

Экспериментальная вариограмма по сейсмическим данным, в силу их большого количества, оценивается достаточно хорошо. Поэтому подбор модельной вариограммы обычно не представляет особых трудностей. Тем не менее, модельная вариограмма не обязана в точности описывать экспериментальную вариограмму. В неё могут быть заложены некоторые априорные сведения о возможном поведении вариограммы случайной функции или свойства, позволяющие получить требуемый результат интерполяции. Например, для того чтобы результат последующей интерполяции осреднял значения данных в окрестностях пересечений профилей с остаточными невязками данных, эффект самородка Cqz модельной вариограммы должен равняться половине максимума квадрата разницы значений данных в точках пересечений профилей гх: rJ0 = d(ri) + z(rj).

3.2)

3.3)

Применение крайгинга для интерполяции сейсмических данных

Объём данных времён слежения горизонта, даже после выполнения предварительной фильтрации и разрядки данных, слишком большой для осуществления крайгинг интерполяции в режиме глобальной окрестности. Поэтому интерполяцию необходимо выполнять, привлекая данные только в непосредственной близости от точки прогноза — в режиме локальной окрестности.

Локальная окрестность построения оценки, при изотропной варио-грамме, обычно задаётся в виде окружности с центром в точке прогноза. Основными параметрами выбора данных в режиме локальной окрестности являются: радиус окружности R; максимальное количество используемых данных, которые попадают внутрь окружности Nmax; количество секторов окружности 5; количество точек данных, привлекаемых из каждого сектора N3. Чем больше значения этих параметров, тем более точно будет выполняться интерполяция, но при этом больше будет затрачиваться времени на вычисления.

Позволим себе дать некоторые рекомендации по выбору этих параметров, оптимизирующих время вычислений, при получении результата интерполяции 2D сейсмических данных приемлемого качества (Таблица 3.1). В конкретных случаях значения этих параметров выбираются

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Созданные алгоритмы решения задачи структурных построений на основе статистической модели по сейсмическим и скважинным данным выгодно отличаются от известных и имеют ряд преимуществ.

В профильном алгоритме структурных построений взаимное расположение данных глубин геологических границ, определённых по скважинам и ОСТ сейсмических наблюдений, приводит к неравноточности определения параметров скоростной модели. Неравноточность измерений эффективных скоростей обусловлена различной кратностью и качеством сейсмограмм ОСТ, что необходимо учитывать при их совместной фильтрации и интерполяции.

Это предопределило использование в алгоритмах оптимальной интерполяции неравноточных данных, корректно фильтрующей погрешности измерений. По представительным данным ряда площадей обоснована эффективность его применения в сравнении с применением крайгинг интерполяции, игнорирующей неравноточность данных.

Профильный алгоритм структурных построений был использован при выполнении работ на площадях лицензионной деятельности ОАО «Славнефть-Мегионнефтегаз», ОАО «Самотлорнефтегаз», ОАО «Нижневартовское нефтедобывающее предприятие» и др. Алгоритм прогноза средней скорости но измерениям эффективных скоростей, позволяющий также автоматизировать и исключить ручную редакцию данных, успешно применён при выполнении структурных построений по более чем десяти площадям Томской области и Ямала. В настоящее время этот алгоритм является стандартным этапом интерпретации, выполняемой в ОАО «Сибнефтегсофизика»

Комбинирование оценок по интерполяции и по пространственно локальной регрессии, с использованием адаптивного коэффициента корреляции, позволяет получить оценку с меньшей погрешностью, чем погрешности каждой из комбинируемых оценок в отдельности. На основе географически весовой регрессии также разработан способ адаптации геостатистических оценок, основанных на экранирующей гипотезе марковского типа: совместного кокрайгинга и мульти-совместного кокрайгинга. Этот подход позволил получить пе только непрерывность геостатистических оценок с непрерывно изменяющейся функцией взаимной ковариации, но и меньшие погрешности оценивания, по сравнению с традиционным способом адаптации, основанным на локальной выборке данных, что является вкладом в развитие адаптивных геостатистических алгоритмов.

Созданная программа, реализующая адаптивный алгоритм построения оценок использована при построении карт прогноза глубин геологических границ, а также эффективных мощностей продуктивных пластов по площадям: Усть-Пурпейской, Кондаковской, Поиьжевой, Самотлор-ской и д.р.

С применением статистических методов эмпирически доказана зависимость дисперсии погрешности определения глубин от удлинений скважин. С помощью структурного анализа, проведённого по данным Са-мотлорского месторождения, выявлено, что причиной этой погрешности являются ошибки локации стволов скважин. Поэтому был создан и программно реализован алгоритм совместной фильтрации и интерполяции пространственных данных, содержащих независимые погрешности позиционирования с различными дисперсиями, что является универсальным расширением алгоритма KALE.

Для ускорения вычислений по этому алгоритму сделана аппроксимация модели вариограммы случайной функции, осложнённой погрешностями позиционирования при линейной модели вариограммы исходной случайной функции. Эта аппроксимация является результатом, дополняющим методологию прикладного моделирования регионализованных переменных — структурного анализа. Как результат, имеющий существенное практическое значение для построения моделей разрабатываемых месторождений, создан алгоритм прогноза с использованием данных, определённых по наклонным скважинам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Новокрещин, Алексей Васильевич, 2008 год

1. Авербух А. Г. и др. / Интерпретация данных сейсморазведки: Спра-вочник / А. Г. Авербух, С. К. Барыкин, И. Г. Бинкин и др.; Под ред. О. А. Потапова. — М.: Недра, 1990. — 448 с.

2. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справ, изд. / Под ред. С. А. Айвазяна. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 487 с.

3. Аронов В. И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризация залежей нефти и газа на ЭВМ. — М.: Недра, 1990. — 301 с.

4. Белов И. D. Математические модели в геологии и геостатистика. — М.:1. Наука, 1973. 184 с.

5. Бляс Э. А. Новый взгляд на скорости ОГТ в слоистых латеральнонеоднородных средах // Технологии Сейсморазведки. — 2005. — № 3. С. 7-25.

6. Боровков А. А. Математическая статистика.—Учебник. — М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 472 с.

7. Гандин Л. С., Каган P. Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. — JL: Гидрометеоиздат, 1976. — 359 с.

8. Гандин Л. С. Задача об оптимальной интерполяции // Тр. Глав, геофиз. обсерв. 1959. - Т. 99. - С. 67-75.

9. Гандин Л. С. Объективный анализ метеорологических полей.— JL:

10. Гидрометиоздат, 1963.— 118 с.

11. Голъденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Ридио и связь, 1985. — 312 с.

12. Гольдин С. В. и др. / Двумерная кинематическая интерпретация сейсмограмм в слоистых средах / С. В. Гольдин, JT. Г. Киселёва, В. Г. Пашков, В. С. Черняк; Под ред. С. В. Крылова. — Новосибирск: Наука, 1993. — 209 с.

13. Гольдин С. В. Введение в геометрическую сейсмику: Учеб. пособие. —

14. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. — 264 с.

15. Гольцман Ф. М. Статистические модели интерпретации. — М.: Наука,1971.

16. Давид М. Геостатистические методы при оценке запасов руд: Пер. сангл. — Л.: Недра, 1980. — 360 с.

17. Денисов С. Б. и др. / Формирование массивов скважин для выполнения пересчёта запасов нефти и газа длительно разрабатываемых месторождений / С. Б. Денисов, С. И. Билибин, Т. Ф. Дьяконова и др. // Геофизический Вестник. — 2001. — № 6. — С. 14-19.

18. Дэвис Д. С. Статистический анализ данных в геологии: Пер. с англ.

19. В 2т. М.: Недра, 1990. - Т. 1. - 319 с.

20. Дэвис Д. С. Статистический анализ данных в геологии: Пер. с англ.

21. В 2т. М.: Недра, 1990. - Т. 2. - 427 с.

22. Дюбрул О. Использование геостатистики для включения в геологическую модель сейсмических данных. — SEG, EAGE, 2002. — 296 с.

23. Евдокимов А. А., Жерняк Г. Ф., Сысоев А. П. Анализ влияния неоднородностей ВЧР на оценки кинематических параметров отражённых волн // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. — 2006. — № 10. — С. 48-58.

24. Ицхоки О. Выбор модели и парадоксы прогнозирования // Квантиль. 2006. - № 1. - С. 43-51.

25. Каневский М. Ф. и др. / Элементарное введение в геостатистику /

26. М. Ф. Каневский, В. В. Демьянов, Е. А. Савельева и др. // Обзорная информация. Проблемы окружающей среды и природныхресурсов.— 1999.— Т. 11.— С. 2-131. http://www.ibrae.ac.ru/ ~mkanev/eng/Book-geostat.html.

27. Кивелиди В. X., Старобинец М. Е., Эскин В. М. Вероятностные методы в сейсморазведке. — М.: Недра, 1982. — 247 с.

28. Козлов Е. А., Киселев П. В., Захарова Н. Г. Инструкция по оценке качества структурных построений и надежности выявленных и подготовленных объектов по данным сейсморазведки МОВ-ОГТ.- М.: ВНИИгеофизика, 1984.- 39 с.

29. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. 1941. - Т. 30, № 4. - С. 299-303.

30. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Известия АН СССР, Серия Математическая. — 1941. — Т. 5, № 1. — С. 3-14.

31. Левянт В. Б., Шустер В. Л., Антонова И. Ю. Статистика подтверждаемое™ прогнозов структурных поверхностей и посчётных параметров при использовании сейсморазведки 3D // Технологии Сейсморазведки. — 2005. — № 3. — С. 105-120.

32. Матерон Ж. Геостатистика: Пер. с фран. — М.: Мир, 1968. — 448 с.

33. Никитин А. А. Статистические методы выделения геофизическиханомалий. — М.: Недра, 1979. — 280 с.

34. Никитин А. А. Детерминированность и вероятность в обработкеи интерпретации геофизических данных // Геофизика. — 2004. — № 3. С. 10-16.

35. Новокрещин А. В., Елецкий С. В. Способ устойчивого адаптивного прогноза параметров среды в условиях нестационарной зависимости от априорной информации // Геофизика, — 2005.— № 6.— С. 20-22.

36. Новокрещип А. В. Проблема пространственной неопределённости взадачах структурных построений // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. — 2006. — № 10. — С. 68-71.

37. Новокрещин А. В. Использование данных по наклонным скважинампри выполнении структурных построений // Геофизика. — 2008. — № 2. С. 65-72.

38. Пузырёв Н. Н. Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию / РАН, Сиб. отд-ние, Объед. ин-т геоло-гиии, геофизики и минералогии. Научный ред. д.г.-м.н. И. Р. Обо-лецева.- Новосибирск: Изд-во СО РАН, НИЦ ОИГГМ, 1997. — 301 с.

39. Сысоев А. П., Новокрещин А. В. Статистические модели интерпретации по совокупности сейсмических и скважинных данных // Геофизика. 2001. - № 1. - С. 31-42.

40. Сысоев А. П., Янсвиц Р. Б. Влияние рельефа на оценки кинематических параметров отраженных волн // Геофизический Вестник.— 2004. — № 12.-С. 10-15.

41. Сысоев А. П., Новокрещин А. В., Кузнецов В. А. Анализ эмпирических зависимостей h(t) для повышения точности структурных построений // Геофизика. — 2001.— № Специальный выпуск.— С. 67-72.

42. Сысоев А. П. Коррекция статических поправок по системе пересекающихся профилей // Геофизика. — 1998. — № 4. — С. 31-40.

43. Сысоев А. П. Внутренний критерий точности структурных построений по системе сейсмических и скважинных данных // Геофизический Вестник. — 2005. № 6, - С. 7-13.

44. Сысоев А. П. О структурировании сейсморазведочных работ // Технологии сейсморазведки. — 2007. — № 3. — С. 96-98.

45. Черняк В. С. Искажающий эффект поправок за рельеф в сейсморазведке // Технологии Сейсморазведки. — 2005. — № 3. — С. 45-48.

46. Черняк В. С. Остаточные аномалии Vcdp после ввода в сейсмограммы поправок за мпоголетнемёрзлые породы и способ избавления от них // Технологии Сейсморазведки. — 2006. — № 3. — С. 43-46.

47. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайныхфункций. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981.— 280 с.

48. Abrahamsen P., Omre Н., Lia О. Stochastic models for seismic depthconversion of geological horizons // Conference: Offshore Europe '91. Proceedings. Aberdeen, Scotland. — 1991.

49. Abrahamsen P. Ambiguous models for subsurface prediction: Internalreport / Norwegian Computing Center. — Norsk, 1995. — Pp. 1-30. http: //publications .nr.no/ambiguous.pdf.

50. Abrahamsen P. Geostatistic for seismic depth conversion: Internal report / Norwegian Computing Center. — Norsk, 1996. — Pp. 1-9. http://publications.nr.no/SAND0696.pdf.

51. Atkinson P. M. et al. / Spatial statistics for remote sensing / P. M. Atkinson, S. de Bruin, P. Curran et al.; Ed. by A. Stein, F. Van der Meer, B. Gorte. — New York: Kluwer academic publushers, 2002. — 284 pp.

52. Billings S. D., Beatson R. K., Newsam G. N. Interpolation of geophysicaldata using continuous global surfaces // Geophysics. — 2002. — Vol. 67, no. 6. Pp. 1810-1822.

53. Billings S. D., Newsam G. N., Beatson R. K. Smooth fitting of geophysical data using continuous global surfaces // Geophysics. — 2002. — Vol. 67, no. 6. Pp. 1823-1834.

54. Briggs I. C. Machine contouring using minimum curvature // Geophysics. 1974. - Vol. 39, no. 1. - Pp. 39-48.

55. Charles T. et al. Experience with the quantification of subsurface uncertainties / T. Charles, J. M. Guemene, B. Corre et al. // Asia Pacific

56. Oil and Gas Conference and Exhibition.held in Jakarta, Indonesia.— Society of Petroleum Engineers, paper no. 68703: 2001. — Pp. 1-10.

57. Chiles J.-P., Delfiner P. Geostatistics: modeling spatial uncertainly.—

58. New York: John Wiley & Sons, 1999. — 696 pp.

59. Cleveland W. S. Robust locally weighted regression and smoothing scatterplots // Journal of the American Statistical Association. — 1979. — Vol. 74, no. 368. Pp. 859-836.

60. Cressie N., Komak J. Spatial statistics in the presence of location errorwith an application to remote sensing of the environment // Statistical Science. 2003. - Vol. 18, no. 4. - Pp. 436-456.

61. Delhomme J. P. et al. / Contribution of geostatistics to describing aquifergas-storage reservoirs / J. P. Delhomme, M. Boucher, G. Meunier, J. F. // Oil & Gas Science and Technology. — 1981. — Vol. 36, no. 3. — Pp. 309-327.

62. Efron В., Tibshirani R. An introduction to the bootstrap. — New York:

63. Chapman & Hall, 1993. 436 pp.

64. Fotheringham A. S., Brunsdon C., Charlton M. Geographically weightedregression: the analysis of spatially varying relationships. — New York: John Wiley and Sons, 2002. 282 pp.

65. Friedman J. H. Multivariate adaptive regession splines // The Annals of

66. Statistics.— 1991,-Vol. 19, no. 1.- Pp. 1-67.

67. Goldberger S. A. Best linear unbiased prediction in the generalized linearregression model // Journal of the American Statistical Association. — 1962. Vol. 57, no. 298. - Pp. 369-375.

68. Granger C. W. J., Bates J. The combination of forecasts // Operations

69. Research Quarterly. — 1969. Vol. 20, no. 4. - Pp. 451-468.

70. Guemene J. M., Thore P., Meesemaecker R. Structural uncertaintiesand their impact on a gulf of Guinea field and satellite prospects // Florence 2002, 64th EAGE Annual Conference & Exhibition. EAGE: 2002.- Pp. 1-4.

71. Jeffery R. W., Stewart I. C., Alexander D. W. Geostatistical estimationof depth conversion velocity using well control and gravity data // First Break. 1996. - Vol. 14, no. 8. - Pp. 313-320.

72. Lloyd C. D., Atkinson P. M. Interpolation elevation with locally-adaptivekriging // Atkinson P. M., Martin D. GIS and geocomputation.— Innovations in GIS: CRC Press, 2000. Vol. 7. - Pp. 241-254.

73. Loader C. Local regression and likelihood. — New York: Springer, 1999. —290 pp.

74. Matheron G. The theory of regionalized variables and its applications. —

75. Ecole des Mines de Paris: Les cahiers du Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau, 1971, — 218 pp. http://cg.ensmp. fr/MAINen.html.

76. Mitasova H., Mitas L. Interpolation by Regularized Spline with Tension:

77. Theory and Implementation // Mathematical Geology. — 1993. — Vol. 25, no. 6. Pp. 641-655.

78. Oliver M. A., Webster R., Slocum K. Filtering SPOT imagery by kriging analysis // International Journal of Remote Sensing. — 2000. — Vol. 21, no. 4.- Pp. 735-752.

79. Omre H. Bayesian Kriging merging observations and qualified guessesin kriging 11 Mathematical Geology. — 1987. — Vol. 19. — Pp. 25-39.

80. Pebesma E. J., Wesseling C. G. Gstat, a program for geostatistical modelling, prediction and simulation // Computers and Geosciences. — 1998.-Vol. 19, no. 1.- Pp. 17-31.

81. Pebesma E. J. Gstat: Multivariable Geostatistics for S // Proceedings ofthe 3rd International Workshop on Distributed Statistical Computing (DSC 2003).-Vienna (Austria): 2003.- Pp. 1-12. http://www.ci. tuwien.ac.at/Conferences/DSC-2003.

82. Pebesma E. J. Gstat, user's manual / Dept. of Physical Geography,

83. Utrecht University. — Utrecht, 2004.— 108 pp. http://www.gstat. org/manual/gstat.html.

84. Ripley B. D. Spatial Statistics. — New York: A John Wiley & Sons, Inc.,1981.- 253 pp.

85. Ruiz-Alzola J., Alberola-Lopez C., Westin C.-F. Kriging filters for multidimensional signal processing // Signal Processing. — 2005. — Vol. 85, no. 2. Pp. 413-439.

86. Shepard D. A two-dimensional interpolation function for irregularlyspaced data // Proceedings of the 1968 23rd ACM national conference. New York: ACM, 1968. - Pp. 517-524.

87. Smith W. H. F., Wessel P. Gridding with continous curvature splines intension // Geophysics. — 1990. — Vol. 55, no. 3. — Pp. 293-305.

88. Stock J. H., Watson M. W. Forecasting with many predictors //

89. Handbook of Economic Forecasting / J. Geweke, С. H. Whiteman, C. W. J. Granger et al. North Holland: Elsevier, 2006. - Pp. 515554.

90. Thore P. et al. / Structural uncertainties: Determination, management,and applications / P. Thore, A. Shtuka, M. Lecour, R. Ait-Ettajer, T. Cognot // Geophysics. 2002. - Vol. 67, no. 5. - Pp. 840-852.

91. Wiener N. Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary

92. Time Series. — New York: The MIT Press and John Wiley & Sons, Inc., 1950. — 163 pp.

93. Zadeh L. A., Ragazzini J. R. An extension of Wiener's theory of prediction // Journal of Applied Physics. — 1950,— Vol. 21, no. 7.— Pp. 645-655.