Алгоритмы обнаружения динамических объектов по последовательностям квазистационарных стереоизображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Шакенов, Адильбек Кобланович

• Шакенов, Адильбек Кобланович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шакенов, Адильбек Кобланович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ОБЪЕКТОВ ПО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1 Процесс формирования изображений.

1.2 Геометрическая модель камеры.

1.3 Геометрическая модель наблюдения двумя камерами.

1.4 Модель регистрируемых изображений.

1.5 Методы обнаружения объектов по изображениям.

1.6 Обнаружение объектов по изображениям, зарегистрированным двумя камерами.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ РЕГИСТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ОБЩАЯ СХЕМА ОБРАБОТКИ.

2.1 Размер поля обзора и величина пространственного разрешения.

2.2 Размер объекта и модель сигнала.

2.3 Величина смещения объекта.

2.4 Величина смещения стационарного фона.

2.5 Статистические свойства обрабатываемых изображений.

2.6 Схемы алгоритмов обнаружения.

2.7 Основные итоги и выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ФОНА.

3.1 Схема межкадровой обработки.

3.2 Разность двух последовательных кадров.

3.3 Разность двух кадров с компенсацией геометрических искажений в виде аффинного преобразования, оцененного по методу наименьших квадратов.

3.4 Разность двух кадров с учетом дробных смещений, оцененных по методу разложения интенсивности в ряд Тейлора.

3.5 Взаимосвязь интенсивности изображения произвольной точки сцены на трех последовательных кадрах.

3.6 Вычитание взвешенной суммы предыдущего и последующего кадра.

3.7 Вычитание взвешенной суммы предыдущего и последующего кадра с учетом дробных смещений, оцененных по методу разложения интенсивности в ряд Тейлора.

3.8 Двухэтапный алгоритм, основанный на линейной фильтрации трех последовательных кадров.

3.9 Сравнение эффективности алгоритмов компенсации фона.

3.10 Зависимость качества компенсации фона от статистических свойств текстуры.

3.11 Влияние колебания оси визирования на качество компенсации фона.

3 .12 Сравнение алгоритмов по критерию увеличения отношения сигнал/фон.

3 .13 Основные итоги и выводы.

ГЛАВА 4. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ, ЗАРЕГИСТРИРОВАННЫХ ДВУМЯ КАМЕРАМИ, С ЦЕЛЬЮ ОБНАРУЖЕНИЯ ОБЪЕКТА.

4.1 Математическая модель.

4.2 Алгоритм обнаружения по моно последовательности.

4.3 Триангуляционный алгоритм обнаружения.

4.4 Алгоритм совместной обработки с формированием отметок одновременно по двум кадрам.

4.5 Теоретическое сравнение алгоритмов.

4.6 Экспериментальные результаты.

4.7 Исследование зависимости минимальной интенсивности объекта от уровня ложных тревог.

4.8 Обработка с учетом влияния регистрирующей аппаратуры.

4.9 Основные итоги и выводы.

ГЛАВА 5. АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ, ЗАРЕГИСТРИРОВАННЫМ ДВУМЯ КАМЕРАМИ, ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ОБЪЕМ СОВМЕСТНО ОБРАБАТЫВАЕМЫХ ДАННЫХ.

5.1 Триангуляционный алгоритм обнаружения с двойным пороговым отсечением.

5.2 Алгоритм формирования отметок по эпиполярным линиям для случая взаимно известной геометрии.

5.3 Экспериментальные результаты.

5.4 Зависимость вероятности обнаружения от объема совместно обрабатываемых данных.

5.5 Основные итоги и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы обнаружения динамических объектов по последовательностям квазистационарных стереоизображений»

Актуальность работы.

Задаче обнаружения движущихся объектов в цифровых методах обработки изображений всегда уделялось большое внимание и посвящалось значительное число работ. В то же время обнаружение объектов по изображениям, зарегистрированным двумя камерами, расположенными в различных точках пространства, является новым, мало исследованным подходом. Такой режим наблюдения имеет ряд преимуществ по сравнению с обнаружением по изображениям, регистрируемым одной камерой. Наблюдение объекта с различных точек пространства позволяет получить его трехмерные координаты. За счет использования информации о положении объекта в трехмерном пространстве может быть увеличена точность прогнозирования его движения, что дает возможность более эффективно отслеживать траекторию движения объекта. Кроме того, совместная обработка изображений, зарегистрированных каждой камерой, позволяет увеличить вероятность обнаружения, что делает возможным обнаружение объектов меньшей интенсивности.

Значительное развитие технических средств наблюдения и передачи информации позволило проводить совместную обработку данных, зарегистрированных камерами, расположенными на двух спутниках, движущихся по круговой орбите. Такой подход приводит к необходимости создания алгоритмов, позволяющих обрабатывать квазистационарные последовательности, то есть последовательности с субпиксельным смещением фона. Таким образом, является актуальной задача разработки и исследования алгоритмов обнаружения динамических объектов по последовательностям квазистационарных стереоизображений.

Работа проводилась в лаборатории цифровых методов обработки изображений Института автоматики и электрометрии СО РАН, в соответствии с планами НИР на 2001-2006 гг. по темам "Математические методы, модели и программно-алгоритмические средства для создания интеллектуальных систем восприятия и анализа сигналов и изображений, управления и принятия решений", № гос. регистрации 0120.0 405433 и "Разработка математических методов, построение моделей и программно-алгоритмических средств для создания интеллектуальных информационно-вычислительных систем восприятия, анализа и понимания сигналов и изображений", № гос. регистрации 01.2.00 103376.

Целью работы является разработка комплекса алгоритмов для обнаружения малоразмерных быстродвижущихся объектов по серии изображений, полученных с двух спутников, движущихся по круговой орбите.

Задачи исследования:

• разработать алгоритм компенсации стационарного фона для случая движущихся камер с высоким темпом регистрации данных;

• исследовать характеристики и область применимости разработанного алгоритма;

• разработать алгоритм обнаружения объекта по изображениям, зарегистрированным двумя камерами, расположенными в различных точках пространства;

• разработать алгоритм эффективного обнаружения объекта по изображениям, зарегистрированным двумя камерами, расположенными в различных точках пространства, в ситуации, когда совместная обработка всего объема данных не представляется возможной;

• получить для разработанных алгоритмов экспериментальную оценку зависимости вероятности обнаружения от уровня ложных тревог;

• реализовать предложенные алгоритмы в виде программного комплекса и провести математическое моделирование обнаружения объекта.

Методы исследования

В работе использовались методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, методы теории вероятности и математической статистики, математического моделирования и теории алгоритмов.

На защиту выносится:

• двухэтапный алгоритм компенсации стационарного фона, основанный на линейной фильтрации трех последовательных изображений, который существенно увеличивает отношение сигнал/фон, что дает возможность обнаруживать объект на сложном пространственно неоднородном фоне;

• способ обнаружения объекта по синхронной паре изображений, зарегистрированных двумя камерами, расположенными в различных точках пространства, который является оптимальным в смысле метода максимального правдоподобия;

• экспериментальные зависимости вероятности обнаружения объекта от вероятности ложной тревоги для алгоритмов обнаружения объекта по изображениям, зарегистрированным двумя камерами, расположенными в различных точках пространства, которые хорошо согласуются с теоретическими расчетами;

• алгоритм обнаружения объекта по синхронной паре изображений с аэрокосмических носителей, который позволяет на порядок уменьшить объем совместно обрабатываемых данных, незначительно уменьшая вероятность обнаружения относительно оптимального алгоритма.

Обоснованность и достоверность научных положений и фактов

• вытекает из корректной постановки задач на основе современных математических методов;

• обеспечивается представительным объемом исследованных экспериментальных данных;

• подтверждается хорошим согласованием теоретических и экспериментальных результатов.

Научная новизна работы состоит в том, что:

• компенсация стационарного фона достигается за счет двухэтапной обработки, основанной на линейной фильтрации трех последовательных кадров;

• использование эпиполярной геометрии и метода максимального правдоподобия для объединения данных и проверки гипотезы о наличии объекта при совместной обработке пары изображений, зарегистрированных двумя камерами, приводит к увеличению вероятности обнаружения;

• существенное уменьшение объема совместно обрабатываемых данных при незначительном уменьшении вероятности обнаружения объекта достигается за счет предварительной пороговой обработки данных и их последующей совместной обработки.

Личный вклад автора

Основные теоретические и практические результаты получены автором лично. B.C. Киричуку принадлежит первичная постановка задачи обнаружения объекта по последовательности изображений, зарегистрированных одной и двумя камерами. В соавторстве с В. С. Киричуком получены теоретические зависимости вероятности обнаружения от вероятности ложной тревоги и максимальной интенсивности объекта. При разработке алгоритмов обнаружения были использованы достижения и опыт специалистов лаборатории цифровых методов обработки изображений (В. П. Косых, В. А. Иванов, Г. И. Перетягин, С. А. Попов и др.). Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых он принял непосредственное творческое участие на всех этапах: от постановки задач и теоретического анализа алгоритмов, до написания программ и проведения численных экспериментов.

Практическая ценность работы заключается в возможности:

• проводить обнаружение объекта по изображениям с мощной квазистационарной фоновой составляющей;

• обнаруживать слабоконтрастные объекты за счет совместной обработки изображений, зарегистрированных двумя камерами, расположенными в различных точках пространства;

• эффективно использовать преимущества наблюдения двумя камерами в ситуации, когда невозможна совместная полнокадровая обработка изображений, зарегистрированных каждой камерой;

• использовать созданное программное обеспечение в процессе разработки наземных макетов и бортовых вариантов программно-аппаратного комплекса обнаружения объектов для моделирования процесса обнаружения;

• использовать созданные программные библиотеки и модули при проектировании и создании программ для вычислительного центра наземной обработки данных.

Реализация работы. Результаты работы реализованы в многофункциональном программном исследовательском комплексе, применяющемся во ФГУП ЦНИИ «Комета» и Институте автоматики и электрометрии СО РАН.

Апробация работы. Основные научные и практические результаты докладывались и получили одобрение на международной конференции "Automation, control, and information technology " (Новосибирск, июнь 2003 г.), на международной конференции аспирантов, студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (ТПУ, Томск, март 2004 г.) и на международной конференции «Pattern recognition and image analysis: new information technologies» (Санкт-Петербург, октябрь 2004 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 6 печатных работ, отражающих основное содержание диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5-ти глав и заключения, изложенных на 107 страницах машинописного текста, содержит 15 таблиц, 36 рисунков и список литературы из 66 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шакенов, Адильбек Кобланович

Основные результаты и выводы

1. Разработан двухэтапный алгоритм компенсации квазистационарного фона, основанный на линейной фильтрации трех последовательных кадров. При разработке алгоритма были учтены специфические для рассмотренного случая условия регистрации изображений.

2. Экспериментально показано, что предложенный алгоритм компенсации стационарного фона является устойчивым к изменению статистических свойств регистрируемых изображений и к колебанию оси визирования. Применение этого алгоритма увеличивает соотношение сигнал/фон до 8 - 12 раз, что позволяет обнаруживать объект на сложном пространственно неоднородном фоне.

3. Предложен алгоритм обнаружения объектов по последовательностям изображений, зарегистрированных двумя камерами, расположенными в различных точках пространства. Алгоритм основан на суммировании значений яркости в дискретных узлах, удовлетворяющих эпиполярному соотношению, и является оптимальным в смысле метода максимального правдоподобия.

4. Показано, что применение предложенного алгоритма совместной обработки изображений, зарегистрированных двумя камерами, расположенными в различных точках пространства, позволяет на 5 -20 процентов увеличить вероятность обнаружения объекта.

5. Получены новые экспериментальные зависимости вероятности обнаружения от вероятности ложных тревог для различных алгоритмов обработки изображений зарегистрированных двумя камерами, расположенными в различных точках пространства. Полученные зависимости позволяют оценить повышение эффективности обнаружения объекта за счет наблюдения камерами, расположенными в различных точках пространства, а также могут служить руководством к выбору того или иного алгоритма в зависимости от условий регистрации данных.

6. Предложен алгоритм двойной пороговой обработки, который уменьшает в 10 - 100 раз объем совместно обрабатываемых данных, при этом уменьшение вероятности обнаружения относительно оптимального алгоритма является незначительным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе содержится решение задачи разработки алгоритма обнаружения малоразмерных динамических объектов по последовательности стереоизображений с квазистационарной фоновой составляющей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шакенов, Адильбек Кобланович, 2007 год

1. Хорн Б. К. П. Зрение роботов / Б. К. П. Хорн. М.: Мир, 1989.

2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт. М. : Мир,1982.

3. Faugeras О. Three-Dimensional Computer Vision / О. Faugeras. London : The MIT Press, 1999.

4. Киричук В. С. Прецизионное оценивание параметров абсолютной ориентации спутниковой камеры /B.C. Киричук, В. П. Косых, Г. И. Перетягин // Автометрия. 2003. - № 6. - С. 46-58.

5. Сойфер В. А. Методы компьютерной обработки изображений / В. А. Сойфер. М.: Физматлит, 2001. - 784 С.

6. Киричук B.C. Анализ изображений динамических сцен: модели, алгоритмы и системы реального времени / В. С. Киричук, И. И. Коршевер, В. В. Синельщиков // Автометрия. 1998. - № 3. - С. 3-9.

7. Kim B.-G. Novel precision target detection with adaptive thresholding for dynamic image segmentation / B.-G. Kim, D.-J. Kim, D.-J. Park // Machine Vision and Applications. 2001. - Vol. 12, № 5. - P. 259-270.

8. И. Иванов В. А. Моделирование корреляционного сопровождения объектов в реальном времени / В. А. Иванов // Автометрия. 1991. - № 3. - С. 24-30.

9. Грузман И. Г. Цифровая обработка изображений в информационных системах / И. Г. Грузман, В. С. Киричук, В. П. Косых, Г. И. Перетягин, А. А. Спектор. Новосибирск : НГТУ, 2002.

10. Braga-Neto U. Automatic target detection and tracking in forward-looking infrared image sequences using morphological connected operators / U. Braga-Neto, M. Ch. J. Goutsias // Journal of Electronic Imaging. 2004. - № 13, Vol. 4. - P. 802-813.

11. Киричук В. С. Алгоритм нелинейной фильтрации, основанный на структурном представлении изображений /B.C. Киричук, В. П. Косых // Автометрия. 1995. - № 4. - С. 68-72.

12. Pei S.-C. A morphological approach of target detection on perspective plane / S.-C. Pei, C.-L. Lai // Signal Processing. 2001. - Vol. 81, № 9. - P. 19751984.

13. Киричук В. С. Линейная фильтрация в задаче поиска объектов произвольной ориентации / В. С. Киричук, Н. С. Яковенко // Автометрия. -1991.-№3.-С. 10-13.

14. Перетягин Г. И. Об обнаружении группы объектов переменной яркости на изображении / Г. И. Перетягин // Автометрия. 1991. - № 3. - С. 1321.

15. Киричук В. С. Адаптивные алгоритмы поиска малоразмерных объектов на изображениях /B.C. Киричук, Н. С. Яковенко // Автометрия. -1994.-№2.-С. 10-15.

16. Киричук B.C. Многоканальная линейная фильтрация // Автометрия. -1988.- № 3. С. 84-90.

17. Tartakovsky A. Effective Adaptive Spatial-Temporal Technique for Clutter Rejection in IRST / A. Tartakovsky, R. Blazek // SPIE Proceedings Signal and Data Processing of Small Targets. 2000. - Vol. 4048. - P. 85 - 95.

18. Jia H. Moving object detection by a novel spatio-temporal segmentation / H. Jia, X. Mei // SPIE Visual Information Processing XIV. 2005. - Vol. 5817. - P. 312-320.

19. Nichtern O. Point target tracking in a whitened IR sequence of images using dynamic programming approach / O. Nichtern, S. R. Rotman // SPIE Proc. on Electro-Optical and Infrared Systems: Technology and Applications III. 2006. -Vol. 6395.-P. 269-280.

20. Tartakovsky A. Adaptive sequential algorithms for detecting targets in a heavy IR clutter / A. Tartakovsky, S. Kligys, A. Petrov // SPIE Proceedings Signal and Data Processing of Small Targets. 1999. - Vol. 3809. - P. 119 - 130.

21. Rozovskii B. Optimal nonlinear filtering for track-before-detect in IR image sequences / B. Rozovskii, A. Petrov // SPIE Proceedings Signal and data processing ofsmall targets / О. E. Drummond. 1999. - Vol. 3809. - P. 152 - 163.

22. Wei P. Analysis of multiframe target detection using pixel statistics / P. Wei, J. Zeidler, W. Ku // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. -1995.-Vol. 31.-P. 238-247.

23. Ffrench P. A. Enhanced detectability of small objects in correlated clutterusing an improved 2-d adaptive lattice algorithm / P. A. Ffrench, J. R. Zeidler, W. H. Ku//IEEE Trans.on Image Processing. 1997. - Vol. 6. - P. 383-397.

24. Перетягин Г. И. Исследование алгоритма обнаружения объектов на многозональном изображении / Г. И. Перетягин // Автометрия. 1993. - № 6. -С. 4-91.

25. Киричук B.C. Применение статистических методов в задаче оценивания стационарной части фона по последовательности изображений / В. С. Киричук, А. И. Пустовских // Автометрия. 1988. - № 3. - С. 74-79.

26. Киричук B.C. Структурные алгоритмы анализа последовательности изображений / В. С. Киричук, Н. С. Яковенко // Автометрия. 1995. - № 6. - С. 3-10.

27. Губанов А. В. Методы оценивания взаимного смещения фрагментов цифровых изображений / А. В. Губанов, В. М. Ефимов, В. С. Киричук // Автометрия. 1988. № 3. С. 70-79.

28. Киричук В. С. К вопросу оценивания стационарной части фона / В. С. Киричук, А. И. Пустовских // Автометрия. 1991. - № 3. - С. 24-29.

29. Davies D. Robust Tracker of Small, Fast-moving Low-contrast Targets / D. Davies, P. Palmer, M. Mirmehdi // Proceedings of IX European Signal Processing Conference. 1998. -Vol. 3. - P. 1545-1548.

30. Davies D. Detection and Tracking of Very Small Low Contrast Objects / D. Davies, P. Palmer, M. Mirmehdi // Proceedings of the 9th British Machine Vision Conference. Bristol, BMVA Press, 1998. - P. 599-608.

31. Espinal F. Wavelet-based fractal signature analysis for automatic target recognition / F. Espinal, T. Huntsberger, B. Jawerth, T. Kubota // Optical Engineering. 1998. - Vol. 37. - P. 166-174.

32. Castellano G. Regularized CDWT optical flow applied to moving-target detection in IR imagery / G. Castellano, J. Boyce, M. Sandler // Machine Vision and Applications. 2000. - № 11. - P. 277-288.

33. Patnaik L. M. Target detection through image processing and resilient propagation algorithms / L.M. Patnaik, K. Rajan // Neurocomputing. 2000. - № 35. -P.123-135.

34. Benson K. Performing automatic target detection with evolvable finite state automata / K. Benson // Image and Vision Computing. 2002. - № 20. - P. 631-638.

35. Кузьмин С. 3. Основы цифровой обработки радиолокационной информации / С. 3. Кузьмин. М.: Сов. Радио, 1974.

36. Балакришнан А. В. Теория фильтрации Калмана / А. В. Балакришнан. М.: Мир, 1988.

37. Алпатов Б. А. Оценивание параметров движущегося объекта в последовательности изменяющихся двумерных изображений / Б. А. Алпатов // Автометрия. 1991. № 3. С. 21.

38. Алпатов Б. А. Оптимальное оценивание параметров движущегося объекта в последовательности изображений / Б. А. Алпатов // Автометрия. -1994.-№2. С. 19-27.

39. Алпатов Б. А. Модели и алгоритмы обнаружения и выделения движущихся фрагментов изображений / Б. А. Алпатов, А. Н. Блохин // Автометрия. 1995. - № 4. - С. 100-104.

40. Иванов В. А. Некоторые особенности алгоритмов и программной реализации обработки траекторий / В. А. Иванов // Автометрия. 1995. - № 6. -С. 15-19.

41. Ehrman L. М. Exploiting target amplitude information to improve multi-target tracking / L. M. Ehrman, W. D. Blair // SPIE Proc. on Signal and Data Processing of Small Targets. 2006. - Vol. 6236. - P. 440-452.

42. Asada M. Target Reaching Behavior Learning with Occlusion Detection and Avoidance for A Stereo Vision-Based Mobile Robot / M. Asada, T. Nakamura //

43. Proc. of ROBOLEARN96: An International Workshop on Learning for Autonomous Robots.- 1996.-P. 1-10.

44. Sogo T. Real-Time Target Localization and Tracking by N-Ocular Stereo / T. Sogo, H. Ishiguro, M. M, Trivedi // Proceedings of the IEEE Workshop on Omnidirectional Vision. 2000. - P. 153-163.

45. Se S. Stereo Vision-based Obstacle Detection for Partially Sighted People / S. Se, M. Brady // Proceedings of the Third Asian Conference on Computer Vision. -1998.-Vol. l.-P. 152-159.

46. Popov S. A. Direct Solution of the Least Squares Matching Problem / S. A. Popov // Proc.of World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics. 2001. - Vol. XIII, Part II. - P. 49-53.

47. Битюцкий О. И. Поиск и локализация реперных фрагментов при совмещении повторных снимков / О. И. Битюцкий, Г. И. Перетягин // Автометрия. 1988. - № 3. - С. 78-83.

48. Реконструкция трехмерных поверхностей по двум проекциям при отслеживании камерой заданной точки сцены / В. В. Абрамов, B.C. Киричук, В. П. Косых, Г. И. Перетягин, С. А. Попов // Автометрия. 1998. - № 5. - С. 314.

49. Киричук В. С. Методика выделения подвижных точечных объектов при регистрации сцены с двух точек наблюдения / В. С. Киричук, В. А. Иванов, В. Ю. Ангеров, В. В. Синельщиков // Автометрия. 2000. - № 6. - С. 3-10.

50. Perlow R. B. Enhanced Target Detection Using Stereoscopic Imaging Radar / R. B. Perlow, B. D. Steinberg // IEEE transactions on aerospace and electronic systems. 1995. - Vol. 31, № 3. - P. 1139-1148.

51. Cheung К. M. Visual Detection with Hyperstereoscopic Video for Aerial Search and Rescue / К. M. Cheung, P. Milgram // Proc. of the IEA2000 / HFES 2000 Congress. 2000. - Vol. 3. - P. 472-475.

52. Киричук B.C. Алгоритмы обнаружения точечных объектов по стерео изображениям / В. С. Киричук, А. К. Шакенов //Автометрия. 2005. - № 2. С. 14-21.

53. Киричук В. С. Обнаружение точечных динамических объектов по изображениям, регистрируемым движущейся камерой / В. С. Киричук, А. К. Шакенов // Автометрия. 2004. - № 1. - С. 3-9.

54. Shakenov А. К. Software for Data Simulation and Processing in the Task of Earth Monitoring / A. K. Shakenov // Pattern Recognition and Image Analysis. -2005.-Vol. 15, №.2.-P. 443-445.

55. Леман Э. Проверка статистических гипотез / Э. Леман. М.: Наука,1964.

56. Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. -Новосибирск : Наука; Издательство института математики, 1997.