Алгоритмы для наземных одометрических и разностно-дальномерных навигационных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Барабанова, Любовь Петровна

• Барабанова, Любовь Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барабанова, Любовь Петровна

Введение

1. Метод виртуальных координат и алгоритмы ориентирования топопривязчика

1.1. Постановка задачи

1.2. Виртуальная система координат регулярного топопривязчика.

1.3. Алгоритмы свободного ориентирования топопривязчика.

1.4. Прототип штатной программы для алгоритма ориентирования по четырем визированиям известных пунктов

1.5. Проблема адекватности алгоритма.

1.6. Адекватный алгоритм для прямой однократной засечки.

1.7. Поправка, учитывающая кривизну маршрута топопривязчика.

1.8. Отбраковка ложных показаний датчиков

1.9. Выводы.

2. Алгоритмы контроля точности топопривязки

2.1. Постановка задачи

2.2. Контроль точности при стандартном ориентировании.

2.3. Контроль точности при свободном ориентировании.

2.4. Теоретическое сравнение алгоритмов ориентирования по точности.

2.5. Имитационное сравнение способов ориентирования по точности.

2.6. Восстановление местоположений и эксперементальное обоснование показателя нерегулярности топопривяз-чика.

2.7. Алгоритм измерения показателя нерегулярности

2.8. Выводы.

3. Адекватный алгоритм для разностно-дальномерной навигационной задачи и его анализ

3.1. Постановка задачи и эквивалентные формулировки

3.2. Алгоритм для разностно-дальномерной задачи

3.3. Прототип штатной программы для алгоритма решения РДЗ.

3.4. Результаты компьютерного эксперемента

3.5. Вспомогательные функции для симплекса маяков

3.6. Инволюция объект - двойник для симплекса маяков.

3.7. Стратификация пространства для симплекса маяков.

3.8. Стратификация плоскости для треугольника маяков .:

3.9. Компланарное расположение маяков

3.10. Критические случаи для алгоритма решения разностно-дальномерной задачи.

3.11. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы для наземных одометрических и разностно-дальномерных навигационных систем»

Объектом настоящего исследования являются современные навигационные системы с точки зрения их математического и программного обеспечения.

В настоящее время наряду с глобальными навигационными системами продолжают сохранять свое значение локальные автономные навигационные системы, способные дублировать работу глобальной навигационной системы при ее отказах, например в случае движения по узким улицам, когда отсутствует видимость необходимой конфигурации маяков (спутников). К таким системам относится наземная одометрическая система, реализуемая так называемым топопривяз-чиком [1], [2], [3], [4], [5].

Важно, что на маршрутах небольшой протяженности накапливаемая ошибка топопривязки меньше постоянной ошибки глобальной навигационной системы. Это открывает возможность для использования топопривязчика для оперативных локальных геодезических работ, например по составлению земельного или городского кадастра. Однако для выполнения задач, подобных последней, недостаточно стандартного способа [1], [2] ориентирования топопривязчика, который предполагает одновременное центрирование топопривязчика на точке с известными координатами, визирование видимого с этой точки ориентира и табличное задание корректурного коэффициента пути. Таким образом, стандартный алгоритм ориентирования требует предварительной подготовки специальной пары геодезических пунктов, один из которых предназначен для наезда. Это значительно снижает эффективность топопривязчика как мобильного автоматического навигационного и геодезического средства. Для повышения навигационной готовности представляется актуальным оснащение топопривязчика дополнительными алгоритмами для ориентирования в произвольных навигационных условиях. Первый шаг в этом направлении сделан в работах В.А. Полевого, которым описан алгоритм мобильного ориентирования по двум центрированиям в известных точках, но с обязательной инициализацией приборных координат известными координатами первой точки маршрута [1]. Затем в работах [6], [7], [8] Л. П. Каменского и др. для изложения и анализа этого алгоритма был предложен продуктивный метод комплексных переменных.

В диссертации представлены основные из ряд« новых с/ю'-оЬг. и соответствующих им алгоритмов ориентирования, свободных от центрирования, — алгоритмов свободного ориентирования. Алгоритмы свободного ориентирования значительно повышают готовность топопривязчика и увеличивают точность топопривязчика, как навигационной системы.

Для достоверности топопривязки необходимы алгоритмы вычисления текущей среднеквадратической ошибки (СКО) местоопреде-ления. В настоящее время ошибка топопривязки в зависимости от пройденного пути приблизительно оценивается по таблице, заготовленной по результатам испытаний (такова, например, модель /Т135 топопривязчика). Известные алгоритмы вычисления текущей среднеквадратической ошибки место определения топопривязчика [1], [6], [8], [9] обслуживают только стандартный способ ориентирования и даже для него не учитывают все случайные факторы (учитываются только два фактора — точность визирования и точность корректурного коэффициента пути). Между тем, на точность топопривязки влияют еще географические ошибки ориентирного пункта и пункта центрирования, ошибка собственно центрирования и, наконец, параметр, характеризующий диффузию топопривязчика как сложной стохастической мобильной навигационной системы. В диссертации этот параметр назван показателем нерегулярности топопривязчика. В диссертации получен ряд, в определенном смысле, окончательных формул СКО топопривязчика при различных способах ориентирования с учетом основных случайных факторов. Представлены соответствующие алгоритмы.

В настоящее время разностно-дальномерная навигация активно применяется в таких областях, как транспортные коммуникации, мобильная телефония, картография, навигация самолетов и вертолетов, управление робототехническими системами и т.д. Одной из основных задач, решаемых разностно-дальномерной навигационной системой (РДНС) является разностно-дальномерная задача (РДЗ) местоопределения объекта — приемника сигналов. Кроме перечисленных приложений, РДЗ возникает также при обнаружении объекта — источника сигнала в различных системах поиска. При этом в зависимости от сферы приложений сигнал имеет электромагнитную, акустическую, сейсмическую или какую-нибудь другую изотропную природу.

Важными примерами разностно-дальномерных навигационных систем являются современные спутниковые радионавигационные системы — российская ГЛОНАСС и американская GPS. Все больше производителей автомобилей на Западе оборудуют свои машины системами спутникового позиционирования. Точность измерения координат составляет 30-50 м. Питание приборов (приемоиндикато-ров) обеспечивается постоянным током с напряжением 6 — 12В от автономного или внешнего источника. В США принят федеральный закон, по которому через несколько лет все мобильные телефоны должны быть оборудованы с-истемой GPS для обеспечения необходимого уровня безопасности владельца телефона. Абоненту достаточно будет нажать только одну кнопку, чтобы встроенный в телефон СхР5-приемник автоматически определил местонахождение хозяина, а телефон автоматически запросил помощи по данному местонахождению у службы 911. Поэтому в настоящее время все крупнейшие производители мобильных телефонов работают в тандеме с (2Р5-производителями, чтобы предложить на рынке наиболее простое, легкое и малопотребляющее устройство — мобильный телефон/СгР5-приемник 1. По данным зарубежных источников, емкость мирового рынка (2Р5-технологий и услуг составляет в настоящее время более 10 млрд. долларов в год. В ближайшие 5 лет ожидается его увеличение до 20 млрд. долларов в первую очередь за счет резкого увеличения числа гражданских индивидуальных и корпоративных пользователей.

Соответственно, и будущее ГЛОНАСС напрямую зависит от организации серийного выпуска сравнительно недорогой отечественной навигационной аппаратуры пользователей, к каковой относится СгР5-приемник [24]. СтР£>-приемник —* это высокотехнологическое устройство, которое позволяет определять координаты пользователя на основе обработки сигналов от маяков. Одной из основных задач, решаемых &Р5-приемником, является разностно-дальномерная задача для 4 маяков. Кроме того, именно элементарная конфигурация из четырех маяков служат основным рабочим звеном в современных РДНС [15], с. 271.

На основании вышеприведенных фактов можно уверенно утверждать, что в XXI веке задача разностно-дальномерного местоопре-деления (РДЗ) станет одной из самых часто решаемых в единицу времени специальных математических задач, см. также [13], [14]. С учетом того, что от качества решения этой задачи будет зависеть компьютер Пресс // N12, 1999. безопасность транспортных, в том числе и воздушных, коммуникаций, становится очевидным, что разработка соответствующих алгоритмов не должна ориентироваться только на случай общего положения, но должна и тщательнейшим образом учитывать все возможные особые случаи, как бы ни были они редки и невероятны. Между тем, разностно-дальномерная задача обладает всеми особенностями нелинейных задач (возможная неединственность решения, потеря решения в случае бесконечно малой погрешности входных данных и т.п.), и ее всестороннее исследование при любых конфигурациях источников сигнала, далее называемых маяками, представляет собой нетривиальную математическую проблему.

Для разностно-дальномерной задачи закономерно возникают вопросы относительно: существования корня, единственности корня, устойчивости корня (корней) по отношению к измерениям псевдодальностей, ошибки место определения, адекватного алгоритма решения задачи.

Обычно неявно предполагается, что корень существует [16], [20], [15], [12] и др. Будет показано, что бесконечно малые погрешности измерений могут приводить к пустому множеству корней (потере корней).

Вопрос единственности корня также недостаточно освещен в литературе. Так, согласно [15] всегда имеются два корня. Напротив, в [12], с.48 отмечается, что "в ряде случаев (из-за нелинейности) две линии положения могут пересекаться в двух точках. При этом однозначно найти мест о определение можно, только используя дополнительную информацию о местоположении объекта". В других источниках, например в [16], [20], [12] и др., второй возможный корень не упоминается. В настоящей работе вопрос единственности решения разно стно-дальномерной задачи будет исследован подробно и решен на уровне алгоритма.

Вопрос устойчивости корня (корней) тесно связан с вопросом ошибки местоопределения, но не равносилен ему. Дело в том, что, как будет показано, возможна структурная неустойчивость решения, когда вместо одного корня появляется два или бесконечное множество корней. Между тем, обычное исчисление ошибки местоопределения основано на линеаризации разно стно-дальномерной задачи

15], [20], [12] и др., которая может существенно маскировать эффекты нелинейности.

Линеаризация разностно-дальномерной задачи сводит проблему точности местоопределения к исчислению пространственного коэффициента геометрии ifr.ii. (чем он меньше, тем лучше). Коэффициент Кт.и. исследовался в [15], а также в [10], [22] и др. Однако случай, когда коэффициент Кг.и. обращается в бесконечность, что соответствует возможной потере местоопределения, исследован недостаточно. Между тем, априорные аналитические и геометрические сведения об этом критическом случае позволили бы планировать траектории объектов и конфигурации маяков с гарантированным избежанием возможной катастрофы, вызванной ложной идентификацией объекта.

В монографии [15], с.364 причиной появления больших погрешностей местоопределения названо расположение четырех маяков, близкое к компланарному. В связи с этим необходим подробный анализ случая компланарных маяков.

Далее, в соответствии с концепцией коэффициента Кт.п. необходимым и достаточным условием появления больших погрешностей служит условие видимого расположения маяков на одном круге в сечении плоскостью единичной сферы наблюдателя [15]. В связи с этим необходимо ответить на следующие вопросы: где реализуется приведенное условие; что означает факт больших погрешностей линеаризованной задачи по отношению к исходной нелинейной РДЗ?

Все вышесказанное заставляет весьма внимательно отнестись к проблеме адекватного алгоритма для РДЗ, правильно обрабатывающего все возможные, в том числе особые входы, и соблюдающего ошибку самой задачи, то есть максимально использующего всю входную навигационную информацию в рамках принятой математической модели с минимальным количеством маяков.

В диссертации представлен эффективный алгоритм решения РДЗ для приемоиндикатора разностно-дальномерной навигационной системы. Алгоритм имеет практически максимальную обусловленность и помехоустойчивость. В частности, он способен восстанавливать решение РДЗ, потерянное по причине погрешностей измерений, вблизи критической поверхности Кг.п. = Предлагаемый алгоритм можно также использовать для реализации обращенного разностно-дальномерного метода [20], [17] в задаче обнаружения. В отличие от известных алгоритмов (см., например, [18], [17]), ориентированных на случай " общего положения" объекта в условиях конкретной геометрии системы, предлагаемый алгоритм параметрически адаптивен к любой геометрии системы и предусматривает обработку произвольных, в том числе особых входов. Алгоритм способен обнаруживать нецелостность РДНС из четырёх маяков. На его основе легко построить алгоритм, в ряде случаев обнаруживающий отказавший маяк в РДНС из четырёх маяков. Представляемый алгоритм может выполнять роль модуля гарантированной инициализации универсального итеративного алгоритма [20], с.13-15 при работе с избыточной информацией, а также — модуля в алгоритмах контроля целостности РДНС с произвольным числом маяков. Перечисленные качества алгоритма решения РДЗ должны способствовать повышению универсальности, точности и надежности разностно-дальномерных навигационных систем.

Предмет исследования. Алгоритмы местоопределения и контроля точности при минимально необходимой навигационной информации 2 для топопривязчика и разностно-дальномерной навигационной системы (РДНС). Методика разработки и анализа таких алгоритмов.

Цель работы.

ДЛЯ НАЗЕМНОЙ ОДОМЕТРИЧЕСКОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ. Разработка новых алгоритмов свободного ориентирования топопривязчика с целью повышения его навигационной готовности и точности. Учет кривизны маршрута в алгоритме местоопределения топопривязчика. Разработка алгоритма удвоенной чувствительности для отбраковки выбросов показаний датчиков пути и курса топопривязчика. Разработка понятия показателя нерегулярности топопривязчика, интегрально характеризующего потенциальную точность топопривязчика, как сложной стохастической мобильной системы. Разработка алгоритма для измерения показателя нерегулярности топопривязчика. Разработка алгоритмов контроля точности топопривязчика на маршруте при различных способах его ориентирования с учетом нерегулярности топопривязчика.

Для РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ МАЯКОВ. Разработка адекватного алго

2Вопросы уравнивания в диссертации не рассматриваются ритма для РДЗ. Исследование геометрии и топологии всех особых случаев для этого алгоритма с целью априорного прогноза наихудшего расположения объекта относительно каждой возможной конфигурации маяков. Описание механизма появления второго, ложного решения — двойника. Разработка алгоритма автономного контроля целостности и обнаружения отказавшего маяка.

Общие методы исследования. В работе использовались методы математического моделирования и теории алгоритмов. В процессе разработки, анализа и верификации представленных алгоритмов широко использовался компьютерный эксперимент, методы комплексного анализа, теории вероятностей, нелинейного анализа и аналитической геометрии. Кроме того, использовался личный опыт автора по разработке штатного программного обеспечения топопри-вязчика 1Т135 и результаты натурных экспериментов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на II Международной конференции "Управление в технических системах" (Ковров, КГТА, октябрь 1998), на семинаре "Механика и управление движением робототехнических систем" академика РАН Д.Е. Охоцимского на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова (1999) и на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, август 2000).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 7 научных работах.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, 25 рисунков и списка основной использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Барабанова, Любовь Петровна

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Для наземной одометрической навигационной системы.

Разработан ряд алгоритмов свободного ориентирования топопривязчика, существенно превосходящих стандартный алгоритм по готовности без ущерба, а в типичных случаях и с превосходством в точности.

Построена поправка к стандартному алгоритму местоопределе-ния топопривязчика, учитывающая кривизну маршрута.

Построен быстрый фильтр отбраковки выбросов датчиков пути и курса топопривязчика, вдвое более чувствительный, чем традиционный.

Получены формулы точности топопривязки для различных способов ориентирования и моделей топопривязчика, учитывающие совместное влияние случайных ошибок пути и курса, геометрической формы маршрута и ошибок задания начала и конца маршрута. Они находятся в соответствии с опытными данными, допускают реализацию в реальном времени и могут быть положены в основу алгоритмов непрерывного контроля точности в цепочке последовательных переориентирований топопривязчика на маршрутах значительной протяженности.

Предложена новая характеристика топопривязчика— показатель нерегулярности топопривязчика, характеризующий диффузные качества топопривязчика. Предъявлено экспериментальное обоснование этого показателя, показано его влияние на точность топопривязки и разработан алгоритм его экспериментального определения.

2. ДЛЯ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ МАЯКОВ.

Разработан адекватный алгоритм гё решения РДЗ. Алгоритм способен восстанавливать решение РДЗ, потерянное по причине входных и цифровых погрешностей. Алгоритм способен обнаруживать нецелостность разностно-дальномерной навигационной системы. Разработана приставка к алгоритму гс1, позволяющая в ряде случаев обнаруживать отказавший маяк.

Получено аналитическое описание инволюции объект-двойник, объясняющей возникновение ложного корня на выходе гс1.

Выполнена аналитическая стратификация пространства положе 138 — " ний объекта на множества, существенно различные по отношению к решению РДЗ — страты: область единственности местоопределе-ния, критическая поверхность слияния объекта со своим двойником и т.д.

Исследованы топологические, дифференциальные и асимптотические свойства стратов, позволяющие достаточно надежно судить о качестве работы алгоритма гс! в тех или иных зонах пространства при прозвольных минимальных конфигурациях разностно-дальномерно£ системы.

3. Разработны прототипы штатных программ ДЛЯ реализации основных агоритмов из пп. 1, 2 и выполнено их тестирование, показывающее эффективность разработанных алгоритмов.

Основное направление продолжения работы предполагается в разработке и внедрении штатных программных реализаций представленных алгоритмов на базе подготовленных прототипов, а также — в применении полученных результатов к разработке усовершенствованных алгоритмов обработки избыточной навигационной информации.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барабанова, Любовь Петровна, 2000 год

1. Полевой В. А. Работа с трехкоординатным топопривязчиком. — М.: Недра, 1978, 214 с.

2. Говорухин А. М., Куприн А. М. Наземная навигация. — М.: Во-ениздат, 1970, 101 с.

3. Кузьмин Б. С., Герасимов Ф. Я., Молоканов В. М. Топографо-геодезические термины: Справочник — М.: Недра, 1989, 261 с.

4. Справочник геодезиста. Книга 2. — М.: Недра, 1985, 439 с.

5. Аппаратура навигационная наземная одометрическая (термины и определения) ГОСТ 19156-79.

6. Рудаков В. М., Кузнецова Н. Ф, Каменский Л. П. Комплексные переменные в задаче уравнивания хода, проложенного топопри-вязчиком//Геодезия и картография, 1983, N6, С. 24 26.

7. Каменский JI. П. Об уравнивании хода, проложенного топопри-вязчиком, с использованием комплексных переменных //Геодезия и картография, 1984, N6, С. 28 29.

8. Каменский Л. П. О влиянии ошибок исходных данных на точность уравнивания координат, полученных топопривязчиком// Геодезия и картография, 1985, N8, С." 39 43.

9. Каменский JI. П. Уравнивание ходов, проложенных топопривязчиком, методом статистических оценок//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1984, N4, С. 45 50.

10. Understanding GPS: principles and application, Elliotte Kaplan editor. — Artech House Publish ERs. Boston-London. 1996.

11. Pfinder User Guide. — Trimble Navigation LTD., 1993.

12. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛО-НАСС/ Под ред. В. Н. Харисова, А. И. Перова, В. А. Болдина. — М.: ИПРЖР, 1998, 400 с.

13. Соловьев Ю. А. Комплексирование глобальных спутниковых навигационных систем ГЛОНАСС и GPS с другими навигационными измерениями (обзор)// Радиотехника, 1999, N1, С. 3 21.цо —

14. Болдырев В. С., Заколдяжный В. П. Роль навигации в кораблевождении на рубеже XXI века// Гироскопия и навигация, N1 (20), 1998, С. 48 56.

15. Шебшаевич В. С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. — М.: Радио и связь, 1993, 272 с.

16. Одинцов В. А. Радионавигация летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1968.

17. Аверьянов А. В., Смирнов В. В., Орлов Г. М. Автоматическая система измерения координат источника сейсмической волны// Изв. высших учебных заведений. Приборостроение, N6,1987, С. 7 10.

18. Осадчий Ю. М., Омельченко В. А. Гидроакустическая разностно-дальномерная система определения положения // Изв. высших учебных заведений. Приборостроение, N3, 1988, С. 41 -45.

19. Урмаев М. С., Родин С. П. Алгоритмы вычисления геодезических координат пунктов при одновременном использовании навигационных систем ГЛОНАСС и GPS // Изв. высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, N1, С. 58 66.

20. Кинкулькин Н. В., Рубцов В. Д., Фабрик М. А. Фазовый метод определения координат. — М.: Сов. радио, 1979.

21. Челпанов И. Б., Сирая Т. Н. Проблемы аттестации алгоритмов обработки навигационной информации. — 5-я С.-Петербургская международная конференция по интегрированным системам, май 1998.

22. Bazarov Y. Introduction to Global Navigation Satellite Sys-tem//AGARD LECTURE SERIES 207. System implications and innovative applications of sattelite navigation. NATO AGARD, 1996.

23. Dahlen N., et al Tightly Coupled IFOG-Based GPS Guidence Package. — Navigation (USA), 1996, v.43, N 3.

24. Крамаренко В. Л. Болевая точка //Независимое военное обозрение, 2000, N 14.

25. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. К использованию виртуальных координат в работе с топопривязчиком //Изв. высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, N5, С. 58 63.

26. Барабанова Л. П. Поправка за кривизну маршрута топопривяз-чика для первой навигационной задали. — "Управление в технических системах": Материалы научно-технической конференции, Ковров, КГТА, 1998, с. 151-153.

27. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Отбраковка ложных показаний датчиков пути и курса топопривязчика // Вопросы оборонной техники, сер.9, Спец. системы управления, следящие приводы и их элементы. — М.: НТЦ "Информтехника". — 1998 — Вып.2 (222), С.21-22.

28. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Формулы ошибок положений при переориентировании/уравнивании топопривяз-чика//Изв. высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, 1988, N6, С. 71 77.

29. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Универсальный конечный алгоритм для разностно-дальномерных навигационных си-стем//Изв. высших учебных заведений. Приборостроение, т. XXXII, N5, 1989, С. 42 44.

30. Барабанова Л. П. Об условиях неединственности решения разностно-дальномерной навигационной задачи. — "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения -IX." Тезисы докладов, Воронеж, 1998, С. 20.

31. Барабанова Л. П. Инволюция объект-двойник и сценарий возможной катастрофы для спутниковых навигационных систем типа ГЛОНАСС и НАУБТАЯ. — Ковров, 2000. Деп. в ВИНИТИ 20.06.2000, N 1727-В00. 14с.

32. Арнольд В. И., Варченко А. Н, Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Наука, 1982, 304 с.

33. Берже М. Геометрия: В 2-х т. Т. 2. — М.: Мир, 1984, 366 с.

34. Хаимов 3. С. Основы высшей геодезии. — М.: Недра, 1984, 360 с.

35. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977, 444 с.

36. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980, 279 с.

37. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969, 576 с.

38. Аджи У. С., Тернер Р. X. Применение методов помехоустойчивого оценивания в анализе данных о траекториях движения// Устойчивые статистические методы оценки данных. Под ред. Р. Л. Лорнера, Г. Н. Уилкинсона. — М.: Машиностроение, 1984, 231 с.

39. Большаков В. Д., Гайдаев П. А. Теория математической обработки геодезических измерений. — М.: Недра, 1977, 367 с.

40. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980, 575 с.

41. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Москва, 1975, 431 с.

42. Берже М. Геометрия: В 2-х т. Т. 1. — М.: Мир, 1984, 560 с.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973, 469 с.

44. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986, 464 с.

45. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных), части 1-2. — М.: Москва, 1972, 624 с.

46. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационное исчисление. — М.: Мир, 1979.

47. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988, 552 с.

48. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981, 344 с.

49. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрия. — М.: Москва, 1968, 911 с.

50. Российский радионавигационный план// НТЦ "Интернавигация", М., 1994.

51. Hartmon R. Joint US/USSR Satellite Navigaition Studies// GPS Word, 1992, vol. 3, no 2.

52. International Civil Aviation Organization, Fans Committee// FANS-4 Report, Fourth Meeting, Montreal, May 2-29, 1988.

53. Report of RTCA Special Commettee-159 on Minimum Aviation System Performance Standards (MASPS) for Global Positioning.

54. ARINC 743 Characteristics, 1989.

55. ARINC 743 Characteristics, 1991.

56. Варавва В. Г., Кирейчинко В. А. Контроль целостности GNSS в бортовых навигационных системах// Проблемы безопасности полетов, 1992, N 9.

57. Brown R. G., Мс Burney P. W. Selfcontained GPS Integrity Chear Using Maximum Solutions Separation// Navigation, Summer 1988, vol. 35, no. 2.

58. Young C. Lee. Analysis of Range Position Comparison Methods as a Means to Provide GPS Integrity in the User Receiver// The MITRE Corporation, McLean, Virginia, 1986.

59. Parkinson B. W., Axelrad P. Autonomous GPS Integrity Monitoring Using the Pseudorange Residual// Navigation, Summer 1988, vol. 35, no. 2.