Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Пельцвергер, Светлана Борисовна

• Пельцвергер, Светлана Борисовна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пельцвергер, Светлана Борисовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОЦЕНИВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

1.1. Введение.

1.2. Оценивание в условиях неопределенности.

1.2.1. Фильтр Калмана.

1.2.2. Байесовские методы.

1.2.3. Метод максимума правдоподобия.

1.2.4. Минимаксный подход.

1.2.5. Минимаксно - стохастический подход.

1.3. Операции над множествами в задачах оценивания.

1.3.1. Представление информационных множеств 26 эллипсоидами.

1.3.2. Представление информационных множеств 30 многогранниками.

1.4. Постановка задачи и цели исследования.

ГЛАВА 2. МИНИМАКСНО-СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

2.1. Введение.

2.2. Определяющие соотношения в задаче фильтрации.

2.3. Рекуррентный минимаксный фильтр.

2.4. Сглаживающий и прогнозирующий минимаксные фильтры.

• 2.5. Информационные множества в задачах оценивания.

2.5.1. Линейное преобразование и сдвиг множества на 53 вектор

2.5.2. Сумма множеств по Минковскому.

2.5.3. Геометрическая разность и пересечение множеств.

2.5.4. Аппроксимация множеств.

2.5.5. Чебышевский центр множества.

Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ В ЗАДАЧАХ

ОЦЕНИВАНИЯ

3.1. Введение.

3.2. Представление информационных множеств многогранниками.

3.3. Представление многогранника в виде проекций.

3.4. Построение суммы по Минковскому и выпуклой оболочки множеств.

3.5. Построение геометрической разности многогранников.

3.6. Построения пересечения многогранников.

3.7. Построение чебышевского центра многогранника.

3.8. Линейное преобразование многогранника.

3.9. Аппроксимация информационных множеств.

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4. МИНИМАКСНО-СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ф СИСТЕМАХ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

• 4.1. Введение.

4.2. Сравнительный анализ представления информационных множеств эллипсоидами и многогранниками.

4.3. Сравнение с известными решениями.

4.4. Динамическое размещение передвижных установок беспроводной связи.

Ф 4.4.1. Технические характеристики передвижной установки беспроводной связи.

4.4.2. Моделирование сети.

4.4.3. Результаты численных экспериментов.

Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности»

Диссертационная работа посвящена разработке и практическому применению алгоритмического обеспечения процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности.

Актуальность темы. В настоящее время уделяется большое внимание проблеме построения алгоритмов оценивания состояния систем, действующих в условиях неопределенности. Это объясняется, прежде всего, тем, что рассмотрение лишь стохастических процессов дает неполное представление о системе и не позволяет получать достоверные оценки. В реальных процессах невозможно точно указать спектральные характеристики шумов, а также параметры системы, т.к. на систему и на канал измерения наряду со стохастическими могут действовать возмущения и помехи, о которых отсутствует статистическая информация, а сведения о них ограничивается описанием допустимых областей их изменения.

Наиболее адекватно реальные процессы описывает минимаксно-стохастический подход, основанный на сочетании вероятностного и игрового подходов. При этом подходе оптимальная оценка находится в результате решения минимаксной задачи на информационном множестве, которое является множеством условных средних вектора состояния. Широко известны методы, основанные на аппроксимации информационных множеств эллипсоидами и параллелепипедами, что приводит к снижению точности результатов. В связи с этим актуальной является задача более точной аппроксимации информационных множеств.

Первые попытки оценить состояние динамической системы в условиях неопределенности были сделаны немецким математиком К.Ф. Гауссом в начале 19 века. В современной теории наблюдения и управления наряду с вероятностным подходом [1] к описанию состояния динамической системы в условиях неточных измерений используется детерминированный подход, основанный на построении информационных множеств [2, 3]. Под информационным множеством понимается совокупность состояний системы, совместных с полученными измерениями.

Решение многих задач теории управления и наблюдения в условиях неопределенности в гарантированной постановке связано с построением трубок траекторий динамических систем (эволюции множеств достижимости) [3-7]. Среди численных методов построения трубок траекторий в настоящее время активно развиваются методы, основанные на аппроксимации множеств классом областей некоторой фиксированной формы (в частности, эллипсоидами, параллелепипедами). Идеи и методы подхода, предложенного А.Б. Куржанским для задач эллипсоидальной аппроксимации, в данной работе развиваются применительно к аппроксимациям мн огогранникам и.

Специфика задач оценивания связана с характером информационных предположений, при которых они решаются. При известных корреляционных функциях возмущений и помех решения были даны А.Н. Колмогоровым и Н. Винером [5, 6]. Если дано статистическое описание возмущений и помех применяется рекуррентная форма алгоритмов фильтрации полученная Р.И. Калманом [7]. Другой весьма важный круг задач возникает тогда, когда статистическое описание указанных априорных данных вообще отсутствует, а сведения о них исчерпываются лишь заданием допустимых областей изменения неизвестных величин. В этом случае решение достигается на основе теории наблюдения в условиях неопределенности [8-10] и теории игр [11, 12].

Аппроксимация является стандартным методом в теории выпуклых тел. Первые работы в этом направлении появились в 19 в. (Ф. Гаусс, П. Дирихле, Г. Минковский), в них для решения некоторых неравенств или систем неравенств в целых числах использовались их геометрические интерпретации. Г. Минковский рассматривал п неизвестных как координаты в я-мерном пространстве. Его фундаментальная теорема утверждает, что для каждого выпуклого тела можно найти сходящуюся последовательность выпуклых многогранников. Однако из-за высокой вычислительной сложности алгоритмы в основном использовалась для получения теоретических результатов.

Первые попытки применения аппроксимации выпуклых тел многогранниками на практике были сделаны Л.С. Понтрягиным и др. [13-15] для аппроксимации множеств достижимости динамических систем. Эти методы использовались для теоретических оценок. В настоящее время теоретически и экспериментально исследован и широко применяется целый ряд алгоритмов аппроксимации, оптимальных с точки зрения сложности описания аппроксимирующих множеств [16- 18]. Результаты по исследованию особенностей поведения оптимальных траекторий и построения схемы решения задач оптимального оценивания и управления основаны на процедуре продолжения оптимальных решений, разработанной А.П. Афанасьевым [19-22]. Этот подход, реализуя естественную декомпозицию задачи, позволяет использовать параллельные и распределенные вычисления [23].

Работа так же развивает подход В. И. Ширяева [24-33] построения п-мерных информационных множеств в задаче оценивания состояния линейных динамической систем, первоначальное состояние которых известно, но последующие измерения не точны из-за помех неопределенного характера и они характеризуются тем, что об одной части действующих возмущений и помех известны их области изменения, а о другой их статистические характеристики.

Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка методов и алгоритмов, позволяющих получить высокую точность минимаксно-стохастического оценивания состояния линейной динамической системы при приемлемом времени вычисления оценки.

Из цели вытекают следующие задачи:

• разработать математическую модель представления информационных множеств в виде многогранников для построения оценок вектора состояния динамической системы, функционирующей в присутствии возмущений как вероятностного, так и неопределенного характера;

• разработать алгоритмы, реализующие операции над множествами для построенной математической модели;

• сравнить разработанные алгоритмы с существующими алгоритмами;

• показать практическую целесообразность разработанных алгоритмов.

Методы исследования. Теоретические исследования основывались на применение методов математической статистики и теории случайных процессов, теории фильтрации Калмана, теории наблюдения в условиях неопределенности, теории игр и вычислительной геометрии. В работе используется геометрический подход к нахождению информационных множеств.

Все модели и методы, описанные в работе, основаны на геометрическом подходе [34, 35] позволяющем объяснить алгоритмы просто и наглядно. В тех случаях, когда первоначальная задача описана не в геометрических терминах, ее переформулировка помогает найти более эффективные алгоритмы решения.

В последнее время много внимания уделяется надежности геометрических алгоритмов, наряду с «точными вычислениями», когда результат находится до последнего значимого бита, что приводит к замедлению работы алгоритмов, развивается и подход, впервые предложенный Guibas и др. [90], основанный на сочетании интервальной арифметики и обратному анализу ошибок.

В работе особое внимание уделено эффективности и надежности работы алгоритмов для пространств большой размерности. Двухмерное пространство в иллюстрациях выбрано для наибольшей наглядности. В случаях, когда размерность п пространства мала: п < 3, анализ многогранников в значительной степени упрощается благодаря возможности «увидеть» объект изучения. Но уже при п=4 роль этого фактора существенно снижается.

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Пельцвергер, Светлана Борисовна

Результаты работы также планируется использовать в студенческих проектах, посвященных управлению мобильными коммуникациями.

Председатель комиссии подпись Симмерс В.) . Члены комиссии: подпись Курковский С.) (подпись Вайтхед С.) .

Система университетов штата Джорджия

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пельцвергер, Светлана Борисовна, 2004 год

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского.- М.: Наука, 1987. - 712 с.

2. Milanese М. and et al. Bounding Approaches to System Identification / M, Milanese, J. Norton, E. Walter.- London: Plenum Press, 1996.- 586 p.

3. Kurzhanskii A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. -Boston: Birkhauser, 1997. - 321 p.

4. Куржанский А.Б. Задачи идентификации - теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. -С.3-26.

5. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Математика. 1941. Т. 5. № 1. 3-14.

6. Winer N. Extrapolation, Inteфolation and Smoothing of Stationary Time Series. -New York: Wiley, 1949. - P. 11-23.

7. Калман P.E. 06 общей теории систем управления // Тр. 1 Конгресса ИФАК. -М.: Изд-во АН СССР, 1961.- 521-547.

8. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т.Леондеса. - М.: Мир, 1980. - 407с.

9. Зонов Н.И., Красильщиков Н.Н. Система рекуррентных байесовских алгоритмов оценивания, адаптивных к разнородным неконтролируемым факторам // Изв. РАН. Техн. киберн. 1994. № 4. - 5-16.

10. Mehra R. Approaches to adaptive filtering // IEEE Transactions on Automatic Control. 1972. V. 17 - P. 693-698.

11. Куржанский А.Б. Задачи идентификации - теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. - 3-26.

12. Кунцевич В.М. Определение гарантированных оценок векторов состояния и параметров линейных динамических систем при ограниченных возмущениях// Докл. АН СССР. 1986. №3. - 567-570.

13. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. 1933. Т.З. Вып. 3. - 165-180.

14. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Физматгиз, 1961. -391с.

15. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. - М.: Наука, 1988. Т. 11.- 575 с.

16. Бушенков В.А., Лотов А.В. Методы и алгоритмы анализа линейных систем на основе построения обобщенных множеств достижимости // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. №5.-С. 1130-1141.

17. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация обобщённой неопределённо-стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика. 1998. №11.-С. 158-171.

18. Панков А.Р., Миллер Г.Б. Минимаксная линейная рекуррентная фильтрация // Информационные процессы. 2001. Т.1. №2. - 150-166.

19. Afanasiev А. Р. Isoperimetric problem with а polylinear integrand on a polyedron // Сотр. math, and modeling. -New York:Consultations bureau, 1992.

20. Афанасьев A. П. Обобщенная изопериметрическая задача на многограннике // Дифф. ур. 1993. т.29. № 11.

21. Afanasiev А. Р. On the dual problem in the optimal trajectories continuation and Maximal principle for the linear control systems // Proceedings of ISA «Dynamics of non-homogeneous systems». M.: 1997.

22. Afanasiev A. P. Estimates of distances in many-valued mappings determined by perturbed domains admissible solutions in mathematical programming // Proceedings of ISA «Dynamics of non-homogeneous systems». M.: 2001. v. 4.

23. Ширяев В.И. Алгоритмы управления динамическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника.2001. №8. - 2-5.

24. Ширяев В.И., Халили Н.Б,, Пельцвергер СБ. Минимаксная фильтрация двумерных дискретных полей. // Системы цифровой обработки и анализа изображений: Тез. докл. межрегионального семинара. - Рига: ИЭиВТ ЛАН, 1991.-С. 97-99.

25. Ширяев В.И., Пельцвергер СБ. Синтез управления динамическими системами в статистически неопределенных ситуациях//Междунар. конф. "Актуальные проблемы фундаментальных наук". Сб. докл. -М.: Изд-во МГТУ, 1991. Т.1.-С. 86-89.

26. Shiryaev V.I., Velkova I.S. Estimation and Control of the Dynamic Systems under Uncertainty Conditions // Advances in Modeling & Analysis, C, AMSE Press, 1995. Vol.46. №3. - P. 55-63.

27. Shiryaev V.I. Prediction in fuzzy social-economic process models under incomplete and inaccurate information// SAMS. 1995. Vol. 18-19. - P. 775-778.

28. Ширяев В.И. Построение позиционного управления роботами в условиях неопределенности по неполной и неточной информации // Тр. VI-й Международной научно-технической конференции "Робототехника для экстремальных условий". - СПб, 1996. - 171-179.

29. Ширяев В.И., Панченко И.С, Шустова М.А., Сидорова Н.Б,, Схмолянский Н.Ю. АлгориТхМЫ минимаксного оценивания в условиях неопределенности // Цифровые радиоэлектронные системы (эл.журнал). 1997. -Вып.1.

30. Ширяев В.И. Алгоритмы реального времени оценивания и позиционного управления динамическими системами в условиях неопределенности // Материалы VIII НТК "Экстремальная робототехника". -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - 253-263.

31. Peltsverger В., Peltsverger S. Optimal Allocation of Wireless Points in Mobile Networks //Procedings of the 11**^ International Conference on Telecommunication Systems. - Monterei, CA, October 2003. - P.77-79.

32. Дробышевский С , Козловская A. Внутренние аспекты денежно- кредитной политики России Москва // ИЭПП. 2002. № 45. - 157 с.

33. Калман Р.Е., Бьюси Р.С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Техническая механика ( сб. переводов). 1961. Сер. Д. №1. -С . 123-136.

34. Калман Р.Е., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир , 1971. - 340 с.

35. Сейдж Э.П., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. - М.: Связь, 1976. - 496с.

36. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М: Мир. 1972, - 544с.

37. Magill D. Optimal adaptive estimation of sample stochastic processes // IEEE Trans, on Automatic Control. 1965 V.10(4). -P. 434-439.

38. Гриценко H.C. Логинов В.Д. Мальцев В.И. и др. Определение параметров движения объектов в статистически неопределенных ситуациях // Зарубежная радиоэлектроника. 1988. № 2. - 3-29.

39. Chaer W., Bishop R., Ghosh J. Hierarchical adaptive Kalman filtering for inteфlanetary orbit determination // IEEE Trans. Aero, Elec. Sys. 1998. V.34(3). -P. 883-896.

40. Bertsekas D.P., Rhodes LB. On the minimax feedback control of uncertain systems // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. 1971. - P. 451-455.

41. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1999. - 432 p.

42. Гриценко H.C., Логинов В.Д. Севостьянов К.К. Адаптивное оценивание // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. №7. - 3-27.

43. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11.-С. 74-87.

44. Калман Р.Е. Идентификация систем с шумами // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40. №4.-С. 27-41.

45. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. - М.:Наука, 1988. - 320 с.

46. Панченко И. Алгоритмы оценивания аддитивных скачкообразных возмущений в линейных динамических системах в условиях статистической неопределенности: Дисс. к-та. техн. наук. - Челябинск, 1997. - 152 с.

47. Вагапу I., Рог А. 0-1 polytopes with many facets // Advances in Math. 2001. V.161.-P. 209-228.

48. Fukuda K., Liebling T. M., Margot. F. Analysis of backtrack algorithms for listing all vertices and all faces of a convex polyhedron // Computational Geometry. 1997. V8. - P.1-12.

49. Buchta C, Muller J., and Tichy R. F. Stochastical approximation of convex bodies // Math. Ann. 1985. V.271(2). - P. 225-235.

50. Красовский H.H. Задачи управления и стабилизации динамических систем // ВРШИТИ, Итоги науки и техники, серия: Современная математика и ее приложения, тематические обзоры. 1998. Т. 60. - 24-41.

51. Кац И.Я. Задачи об устойчивости движения, оценивания и управления в системах со случайными параметрами. Дисс, д-ра физ.-мат. наук. -Свердловск, 1984. - 260 с.

52. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах // Оценивание в условиях неопределенности. -Свердловск: У Щ АН СССР, 1982. - 43-59.

53. Кац И.Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации // Эволюционные системы в задачах оценивания. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - 31- 37.

54. Кац И.Я., Куржанский А.Б. О некоторых задачах наблюдения и управления в случайных обстоятельствах // Автоматика и телемеханика. 1970. №12.-С. 15-25.

55. Кац И.Я., Куржанский А.Б. О двойственности статических задач оптимального управления и наблюдения // Автоматика и телемеханика. 1971. №3.-С. 12-22.

56. Кац И.Я., Куржанский А.Б. К задачам оптимального наблюдения // Прикладная математика и механика. 1973. Т.37. Вып. 5. - 771-786.

57. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // ДАН СССР. - 1975. - Т. 221. - № 3. - 535-538.

58. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления: Игровой подход. - Киев: Наук, думка, 1985. - 245 с.

59. Кунцевич В.М. Определение гарантированных оценок векторов состояния и параметров линейных динамических систем при ограниченных возмущениях // Докл. АН СССР. 1986. Т.288. № 3. - 567-570.

60. Красовский А.А. Общие решения задачи оптимизации управления при неклассическом функционале // ДАН СССР. 1985. Т. 284. №4. - 808-811.

61. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания // Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. - Свердловск: УВЦ УрО АН СССР, 1989.-С. 11-20.

62. Колмановский В.Б., Матасов А.И. Задача фильтрации в системах с последействием при ненулевых начальных условиях // ДАН. 2000, Т. 372. № 3. - 463-468.

63. Черноусько Ф.Л, Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. - М.: Наука, 1978. - 351 с.

64. Shiryaev V., Peltsverger, S. Algorithms for Calculation of Information Set in Discrete Systems Under Conditions of Statistical Uncertainty // SCI 2001/ISAS. 2001.-P. 1856-1859.

65. Рокафеллар P. Выпуклый анализ. - М.: Мир, 1973. - 472 с.

66. Ананьев Б.И. Минимаксные среднеквадратичные оценки в статистически неопределенных системах // Дифф.уравнения. 1984. Т.20. № 8. -С. 1291-1297.

67. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания // Аннотации докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - Ташкент, 1986.-С. 37-38.

68. Красовский А.А. Проблемы физической теории управления // Автоматика и телемеханика. 1990. №11. - 3-28,

69. Покотило В,Г. Новый метод квазиоптимальной аппроксимации пересечения эллипсоидов. Препр. // АН УССР. Ин-т кибернетики им В.М. Глушкова. - Киев, 1990. - 18с.

70. Рокитянский Д.Я. Точное решение эллипсоидов, аппроксимирующих область достижимости одного класса линейных систем // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996. №1. - 16-22.

71. Препарата Ф., Шеймос М, Вычислительная геометрия. Введение. - М.:Мир, 1989. - 478с.

72. Bazaraa, Sherali, Shetty. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. - New York: Wiley, 1993. - 656p.

73. McMullen. P. The maximum number of faces of a convex polytope // Mathematika. 1970 . V. XVII - P. 179-184.

74. Gonzalez R.C., Woods R.E, Digital Image Processing. - Boston: Addison- Wesley, 1993.-716 p.

75. Chemikova N.V. Algorithm for finding a general formula for the nonnegative solutions of a system of linear equations // Zh. vych. mat. 1964. V.4. -P. 733-738.

76. Graham R. An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Point Set // Info. Proc. Letters 1. 1972. - P. 132-133.

77. Chand D.R., Kapur S.S. An Algorithm for convex polytops // JACM. 1970. V.17(l)-P. 78-86.

78. Overmars M. H., Van Leeuwen J. Maintenance of configurations in the plane // J. Comput. Sys. Sci. 1981. V.23. - P. 166-204.

79. Hershberger J., Suri S. Off-line maintenance of planar configurations // J. Algorithms. 1996. V. 21(3). - P. 453-475.

80. Kapoor S. Dynamic maintenance of 2-d convex hulls and order decomposable problems // Manuscript. 1995. - 22p.

81. Andrew A.M. Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions // ACM Information Processing Letters. 1979. V.9. - P. 216-219,

82. Chan T.M. Random sampling, halfspace range reporting, and construction of (<k)-levels in three dimensions // SIAM J. Comput. 2001. V.30. - P. 561-575.

83. Burl J. Linear Optimal Control. -Boston: Addison Wesley, 1999. - 432 p.

84. O'Rourke J. Computational Geometry. -New York: Cambridge University Press, 1995. -376p.

85. Goodman J.E., O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. - Boca Raton, FL: CRC Press, 1997. - 991 p.

86. Elzinga D.J., Heam D.W. The Minimum Covering Sphere Problem // Management Science. 1972. V. 19(1). - P. 96-104.

87. Fischer К., Gartner В., Kutz М. Fast Smallest-Enclosing-Ball Computation in High Dimensions // Proceedings of the 11th Annual European Symposium on Algorithms (ESA). 2003. - P. 630-641.

88. Guibas L. J., Salesin D., Stolfi J. Epsilon Geometry: Building Robust Algorithms from Imprecise Computations // Symposium on Computational Geometry. 1989. - P. 208-217.

89. Хворова Л.А., Брыксин В.М. Применение математических методов и математического моделирования для оценки агроклиматического потенциала территорий // Известия АГУ. 2002. Вып. 1(23) .

90. Чеботарев В. Моделирование бизнеса: средства и методы // PC Weel</RE. 2000. № 9. - 32-34.

91. Getting I. А. The Global Positioning System // IEEE Spectrum. 1993. V. 12.-P. 36-47.

92. Малышев В.В., Куршин В.В. Адаптивный навигационный алгоритм в условиях селективного доступа к системе GPS // Изв. АН. Теория и системы управления. 2001. №5. - 134-142.

93. Каменев Г.К. Исследование итерационных методов аппроксимации выпуклых множеств многогранниками. - М.: ВЦ АН СССР, 1986. - 39с.

94. В ел нова И. С , Ширяев В.И. Операции над выпуклыми многогранниками в задачах гарантированного оценивания // Межрегиональн. научн.-техн. конф. 11-15 октября 1993г. Тез. докл. - Пермь: ПГТУ, 1993.

95. Simon D. El-Sherief Н. Fuzzy Logic for Digital Phase-Locked Loop Filter Design // IEEE Trans, on Fuzzy Systems. 1995. V. 3. - P. 211-218.

96. Simon D.A. Game Theory Approach to Contrained Minimax State Estimation // International Journal of Uncertainty, Fuzziness, and Knowledge-Based Systems. 2002. V. 10. - P. 363-384.

97. Sayed A.H. A framework for state space estimation with uncertain models // IEEE Trans, on Automatic Control. 2001. V. 46. № 7. -P. 998-1013.

98. Wu J.C., Yang J.N., Agrawal, A.K. Applications of Sliding Mode Control to Benchmark Problems // Journal of Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1998. V. 27. № 11. - P. 1247-1265.

99. Grewal M. S., Weill L. R., Andrews A. P. Global Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration. -New York: John Wiley and Sons Publication, U.S.A., 2001.-416p.

100. Jekeli. Heights, the Geopotential, and Vertical Datums // Technical Report 459, Ohio Sea Grant Development Program, NOAA, Grant No. NA86RG0053 (R/CE-7-PD), 2000. -34 p.

101. Войнич X., Малич И., Бронич А. Система позиционирования мобильных терминалов//Эрикссон Никола Тесла. 2001. Вып.13. №26 - 63-70.

102. Невдяев Л. Путеводная звезда, которая светит всегда // Сети. 1998. №6. -С. 12-20.

103. Chang X., Paige An Orthogonal Transformation Algorithm for GPS Positioning // SIAM Journal on Scientific Computing. 2003. V.24. № 5. - P. 1710-1732.

104. Bartolacci M. R., Peltsverger В., Konak A., Peltsverger S. Allocation of Multiple Wireless Access Points in Mobile Networks// Procedings of the 42* ACM Southeastern Conference. - Huntsville, AL, 2004. - P. 1-4.