Алгебры бинарных изолирующих формул тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Емельянов Дмитрий Юрьевич

• Емельянов Дмитрий Юрьевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Емельянов Дмитрий Юрьевич

теорий

§ 4.5. Алгебры бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий с

условием симметрии

§ 4.6. Почти детерминированные алгебры бинарных изолирующих формул

полигонометрических теорий

§ 4.7. Расширения псев до плоскостей полигонометрий с условием симметрии до плоскостей. Псевдоевклидовы и интервальные алгебры бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий

Г л а в а 5. Алгебры бинарных изолирующих формул для операций над теориями 89 § 5.1. Алгебры бинарных изолирующих формул для теорий произведений графов . . 89 § 5.2. Алгебры бинарных изолирующих формул для композиций теорий

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры бинарных изолирующих формул»

ВВЕДЕНИЕ

Алгебры распределений бинарных изолирующих и полуизолирующих формул являются производными структурами для данной элементарной теории. Эти алгебры отражают бинарные связи между реализациями 1-типов, определяемые формулами исходной теории. Алгебры бинарных формул возникли из потребностей теории моделей и связаны с построением классификации счетных моделей полных теорий [19]. При построении счетных моделей элементарных теорий ключевую роль играют бинарные формульно определимые связи между реализациями полных типов. При описании получаемых бинарных структур и взаимосвязей между бинарными связями естественно возникают подходящие алгебры. Описание таких алгебр дает представление об общей структуре счетной модели теории. Тем самым, алгебры бинарных формул являются одними из важных производных объектов данной теории, позволяющих получать структурную информацию о данной теории. Вопросы описания таких свойств и получения классификации являются одними из центральных в теории моделей и связаны с работами А.И. Мальцева, А. Тарского, Е. Лося, С. Фефермана, Р. Во-ота, М. Морли, Ю.Л. Ершова, А.Д. Тайманова, Е.А. Палютина, С. Шелаха, С.С. Гончарова, Б. Пуаза, А. Пилая, Б.И. Зильбера, Т.Г. Мустафина, Б.С. Бай-жанова и др.

Алгебры бинарных формул тесно связаны с разделами алгебраической логики, с реляционными алгебрами [46], с мультиалгебрами [16], с полугруппами [7, 13] и моноидами. Следует отметить результаты по мультиалгебрам, полученные Н.А. Перязевым [15], С.Ф. Винокуровым [5], В.И. Пантелеевым [14] и другими.

Основным понятием, рассматриваемым в данной работе, является следующее понятие алгебры бинарных изолирующих формул.

Определение [28, 58]. Пусть Т — полная теория, М = Т. Рассмотрим типы р(х),д(у) € Б(0), реализуемые в М, а также всевозможные (р, д)-устойчивые формулы ф(х, у) теории Т, т. е. формулы, для которых найдутся элементы а € М такие, что |= р(а) и (р(а,у) Ь д(у). Определим для каждой такой формулы <р(х,у) двухместное отношение ^ {(&,Ь) | М = р(а) Л <р(а,Ь)}.

При условии (а,Ь) € тар а (а, Ъ) называется (р,р,д)-дугой. Ее ли р(а,у) —

главная формула (над а), то (р, р, д)-дуга (а, Ъ) также называется главной.

Если р(х, у) является (р ^ д)-формулой, т. е. одновременно (р,д)- и (д,р)-устойчивой, то множество [а, Ь] ^ {(а, Ъ), (Ъ, а)} называется (р, р, д)-ребром. Если (р, р, д)-ребро [а, Ь] состоит го главных (р, р, д)- и (д, ^>-1,р)-дуг, где р-1(х, у) обозначает р(у,х), то [а, Ь] называется главным, (р,р,д)-ребром.

Будем называть (р, р, д)-дуги и (р, р, д)-рёбра дугами и рёбрами соответственно, если из контекста ясно, о какой формуле идёт речь, или речь идёт о некоторой формуле р(х, у). Дуги (а, Ь)7 у которых пары (Ь,а) не являются дугами ни по каким (д, р)-формулам, называются необращаемыми.

Определение [54]. Для типов р(х),д(у) € 3(0) обозначим через РР(р,д) множество {р(х,у) | <р(а,у) — главная формула, р(а,у) Ь д(у), где = р(а)}.

Пусть РЕ(р, д) — множество пар (р(х,у),ф(х,у)) формул из РР(р,д) таких, что для любой (некоторой) реализации а типа р совпадают множества решений формул р(а,у) и ф(а,у).

Очевидно, что РЕ(р, д) является отношением эквивалентности на множестве РР(р, д). Заметим, что каждому РЕ(р, д)-классу Е соответствует либо главное ребро, либо необрагцаемая главная дуга, связывающая реализации типов р и д посредством любой (некоторой) формулы из Е. Таким образом, фактормножество РР(р,д)/РЕ(р,д) представляется в виде дизъюнктного объединения множеств РРБ(р,д) и РР^(р,д), где РР8(р, д) состоит из РЕ(р, д)-классов, соответствующих главным рёбрам, а, РР^(р,д) состоит из РЕ(р,д)-классов, соответствующих необращаемым главным дугам.

Зафиксируем полную теорию Т. Пусть и = и- и {0} и и + — некоторый алфавит мощности > (Т)1, состоящий из отрицательных элементов и- € и положительных элементов и+ € и + и нуля 0. Как обычно, будем писать и < 0 для любого элемента и € и- и и > 0 для любого элемента и € и +.1 Множество и- и {0} обозначается через и-0, а и + и {0} — через и>0. Элементы множества и будем называть метками.

Рассмотрим инъективные меточные функции

и(р,д):РР(р,д)/РЕ(р,д) ^ и,

р(х),д(у) € 5(0), при которых классам из РР~М(р,д)/РЕ(р,д) соответствуют отрицательные элементы, а классам из РРБ(р,д)/РЕ(р,д) элементы неотрицательные так, что значение 0 определяется лишь дляр = д и задаётся по формуле (х « у), V(р) ^ V(р,р). При этом будем считать, что (р) П (д) = {0}

1Если множество и те более чем счётно, то можно считать, что и является подмножеством множества целых чисел Z.

для р = д (где, как обычно, через pf обозначается область значений функции /) и РV(рд) П р„(р';Я') = 0, если р = д и (р,д) = (р', Любые меточные функции с указанными свойствами, а также семейства таких функций будем называть правильными и далее рассматривать только правильные меточные функции и их правильные семейства.

Через (х,у) будут обозначаться формулы из Р¥(р,д), представляющие метку и € р„ (р,я). Если тип р фиксирован и р = д, то формула (х,у) обозначается через 0и(х,у).

Отметим, что если вр^ч(х,у) и вд,у,р(х,у) — формулы, свидетельствующие о том, что для реализаций а и & типов р и д соответственно пары (а, Ь) и (Ь, а) являются главными дугами, то формула (х, у) Л вд,у,р(у, х) свидетельствует о том, что [а, Ь] является главным ребром. При этом обратимой метке и однозначно соответствует (неотрицательная) метка V и наоборот. Метки и и V будем называть взаимно обратными и обозначать через V-1 ж и-1 соответственно.

Для типов р1,р2,... ,Рк+1 € 31(0) и множеств меток Х1,Х2,... ,Хк С и обозначим через

Р(р1,Х1,р2,Х2,... ,рк,хк,рк+1)

множество, состоящее из всех меток и € и, соответствующих формулам @Р1,и,Рк+1 (х,у), которые для реализаций а типа р1 и некоторых и1 € Х1 П Ри(р1,р2), ...,ик € Хк П р„ (Рк,Рк+1) удовлетворяют условию

@Р1,и,Рк+1 (а,У) Ь ^р1,и1,Р2,и2,...,Рк ,ик,Рк+1 (а,У),

где

@Р1,и1,Р2 ,и2,...,Рк,ик ,Рк+1 (х, у) ^

^ Зх2, Х3,..., хк (връиър2 (х, Х2) Л вР2 ,иъРз (Х2, Хз) Л ...

... Л @Рк-1,Щ-1,Рк (хк-1,хк ) Л @рк,ик ,рк+1 (Хк ,уУ).

Тем самым, па булеане V(и) мпожества и образуется алгебра распределений бинарных изолирующих формул с ^-местными операциями

Р (Р1, •,Р2, •,... ,Рк, •,Рк+\),

где р1,... ,Рк+1 € 31(0). Эта алгебра имеет естественное обеднение на любое семейство Я С Б 1(0)- Алгебра бинарных изолирующих формул с множеством меток, связывающих 1-типы го семейства Л, сводится к частичной мультиалгебре с одной бинарной операцией перемножения меток, при которой для любых меток у, г € р„(д) результат умножения ух является подмножеством ри(ущ и для любых множеств € V(ри(р)) имеет место соотношение У • Z = У {ух | у € У,х € Z}. Полученный группоид {V (р„ (р)), •) обозначается

5

через ф(д), а если Я = {р}, то эта алгебра обозначается через ф(р). При этом при наличии малости теории алгебра ф(р) сводится к своему естественному ограничению на V(ри(р)) \ {0}-

В работе речь идет об описании алгебр бинарных изолирующих формул Pv(Д) Для ряда естественных классов теорий: теорий отношений эквивалентности, теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел, полигонометри-ческих теорий [18], различных видов упорядоченных теорий, включая слабо о-минимальные и вполне о-минимальные теории.

Определение [45]. Слабо о-минимальной структурой называется линейно упорядоченная структура М = (М; = ,<,...) такая, что любое определимое (с параметрами) подмножество структуры М является объединением конечного числа выпуклых множеств в М.

В работах Д.Макферсона, Д.Маркера и Ч.Стейнхорна получены первоначальные глубокие структурные результаты о слабо о-минимальных теориях.

В следующих определениях М — слабо о-минимальная структура, А, В С М, М является |А|+-насыщенной, р,д € 5'1(Л) — неалгебраические типы.

Определение [26]. Говорят, что тип р не является слабо ортогональным типу д (р д), если существуют А-определимая формула Н(х,у), а € р(М) и А, Р2 € д(М) такие, что р1 € Н(М,а) и € Н(М,а).

Определение [8]. Говорят, что тип р не является вполне ортогональным типу д (р д), где р,д € 51 (А), если сугцествует Л-определимая бнекцпя / : р(М) ^ д(М). Будем говорить, что слабо о-минимальная теория является вполне о-минимальной, если понятия слабой ортогональности и вполне ортогональности 1-типов совпадают.

В работе Б.Ш.Кулпешова показано, что вполне о-минимальные теории, образующие подкласс класса слабо о-минимальных теорий, наследуют многие свойства о-минимальных теорий. В работе Б.Ш.Кулпешова [10] были полностью описаны Н0-категоричные вполне о-минимальные теории. Это описание влечет их бинарность, т.е. сведение всех формул теории к булевым комбинациям формул от двух свободных переменных (аналогичный результат верен для Н0-категоричных о-минимальных теорий).

Свойство бинарности дает возможность сведения алгебр изолирующих формул к подходящим группоидам и представлениям алгебр таблицами Кэли.

Цель работы. Целью данной работы является: описание алгебр бинарных изолирующих формул для различных естественных классов теорий, их систематизация.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми, снабже-

ны полными доказательствами и своевременно опубликованы. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Методология и методы исследования. Для достижения поставленной цели исследования используются методы теории моделей, основанные на использовании классических и новых понятий общей теории моделей, а также алгебраические и теоретико-графовые методы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Описаны алгебры бинарных формул для естественных классов теорий, в частности, для теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел, поли-гонометрических теорий. Результаты для теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел получены лично и опубликованы в [65, 69, 77, 75, 78, 82, 83, 85], а для полигонометрических теорий получены в неразделимом соавторстве с Судоплатовым C.B. и опубликованы в [67, 70, 84, 86].

2. Описаны алгебры бинарных формул для различных видов теорий упорядоченных структур, включая счетно категоричные слабо о-минимальные, вполне о-минимальные, циклически упорядоченные. Охарактеризованы условия изоморфизма алгебр над данными типами, а также обобщенной коммутативности алгебр над парой типов теорий упорядоченных структур в терминах ранга выпуклости. Результаты получены в неразделимом соавторстве с Кулпешовым Б.Ш., Судоплатовым C.B. и опубликованы в [66, 68, 92, 93, 100, 101].

3. Описана взаимосвязь алгебр бинарных формул с операциями над алгебраическими системами, включая композиции, декартовы, тензорные и корневые произведения. Результаты о декартовых, тензорных и корневых произведениях получены лично и опубликованы в [22, 33,69, 88-91], а результаты о композициях получены в неразделимом соавторстве с Кулпешовым Б.Ш., Судоплатовым C.B. и опубликованы в [71, 87, 95-97, 99].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Международная научная студенческая конференция, 2016, 2018, Новосибирск, НГУ;

• Традиционная международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2014-2020;

•

в честь Дня работников науки Республики Казахстан, Ал маты, Казахстан, 2015-2021;

• Международная конференция "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", г. Казань, 2019;

теории моделей и универсальной алгебры», посвященная 75-летию профессора Б. Пуаза, Эрлагол, 2021.

СО РАН.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 37 печатных изданиях, 7 из которых изданы в рекомендованных ВАК российских рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, а также индексируемых в наукометрических системах (Scopus, Web of Science и т.д.) [65]—[71], 30 — в сборниках статей и тезисах докладов [72]—[91], [92]—[99], [100], [101]. Работы [3, 6, 17, 19, 20, 24, 25, 27] написаны в неразрывном сотрудничестве с Судоплатовым C.B. Работы [2, 4, 7, 11, 13, 18, 23, 28 32. 34] подготовлены в неразрывном соавторстве с Кулпешовым Б.Ш. и Судоплатовым C.B.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста. Библиография содержит 101 наименование.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность исследований алгебр бинарных изолирующих формул проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В первой главе приводятся необходимые определения, относящиеся к алгебрам бинарных изолирующих формул. Даны предварительные сведения и основные понятия.

Во второй главе дается описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для естественных классов теорий теорий.

В разделе 2.1 приводится описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для теорий с отношениями эквивалентности и для семейств вложенных отношений эквивалентности (теоремы 2.1.10. и 2.1.13).

В разделе 2.2 приводится описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для теории одноместных предикатов с унарной функцией.

Теорема 2.2.5. Если Т ^ теория унара f с одноместными предикатами, Pv(р) — алгебра распределений бинарных изолирующих формул для типа р € S 1(0), то алгебра P(р) задается ровно одной из следующих алгебр: группой Z, группой Zn, алгеброй An,\, алгеброй AfT,\, алгеброй (ш*;+), Bn,\u\2,..,\n,

В разделе 2.3 дается описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для теорий симплексов.

В разделе 2.4 приводится описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для теории архимедовых тел.

В третьей главе "Алгебры бинарных изолирующих формул для вариаций о-минимальных структур "описываются алгебры для различных теорий упорядоченных структур.

В разделе 3.1 приводится описание алгебр бинарных формул в счетно категоричных слабо о-минимальных структурах.

Теорема 3.1.9. Пусть Т — счетно категоричная слабо о-минимальная теория. Тогда, для любого типа г € S1 (0) и натурального числа п следующие условия эквивалентны:

(!) алгебра является (Р, ,п)-тот-моноидом;

(2) RCbin(r) = п.

Теорема 3.1.27. Пусть Т — счетно категоричная слабо о-минимальная теория, p,q € S 1(0). Тогда следующие условия эквивалентны:

(!) алгебра Pv([p,q}) — обобщенно коммутативный моноид;

(2) RCbin(p) = RCbm(q)-

В разделе 3.2 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне о-минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей.

Теорема 3.2.13. Пусть Т — вполне о-минимальная теория с малым числом счетных моделей, р € 51(0) — неалгебраический, тип. Тогда, существует п < ш такой, что:

(1) если р — изолированный тип, то алгебра (р) является (Р, H0,n)-wom-моноидом, состоящим из 2п + 1 метки;

(2) есл и р квазирациональный, вправо (влево), то алгебра Pv(p) является (P,QR,n)-w0m-M0H0ud0M ((P,QL,n)-w0m-M0H0ud0M), состоящим из 2п меток;

(3) если р иррациональный, то алгебра Pv(p) являет ся (P,I,n)-wom-моноидом, состоящим из 2п — 1 метки.

Квазирациональному вправо типу ^соответствует ал гебра изолирующих формул, состоящая из 2п меток, перемножение которых задается следующей таблицей:

0 1 2 3 4 2п - 3 2п - 2 -1

0 {0} {1} {2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2} {-1}

1 {1} {1} {0, 1, 2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2} {-1}

2 {2} {0, 1, 2} {2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2} {-1}

3 {3} {3} {3} {3} {0, 1, 2, 3, 4} {2п - 3} {2п - 2} {-1}

4 {4} {4} {4} {0, 1, 2, 3, 4} {4} {2п - 3} {2п - 2} {-1}

{-1}

2п - 3 {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {0, 1, . . . , 2п - 2} {-1}

2п - 2 {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {0, 1, . . . , 2п - 2} {2п - 2} {-1}

-1 {-1} {-1} {-1} {-1} {-1} {-1} {-1} {-1}

Заменив в структуре М' и в формулах ^ак < на >, получаем задаваемую той же самой таблицей алгебру для квазирационального влево типар(х) := {х < Л , х) | к Е и}.

Если р — иррациональный тип, то ему соответствует алгебра А1п изолирующих формул, состоящая из 2п — 1 меток, перемножение которых задается следующей таблицей:

0 1 2 3 4 2п - 3 2п - 2

0 {0} {1} {2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2}

1 {1} {1} {0,1,2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2}

2 {2} {0, 1, 2} {2} {3} {4} {2п - 3} {2п - 2}

3 {3} {3} {3} {3} {0,1,2,3,4} {2п - 3} {2п - 2}

4 {4} {4} {4} {0, 1, 2, 3, 4} {4} {2п - 3} {2п - 2}

2п - 3 {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {2п - 3} {0, 1, . . . , 2п - 2}

2п - 2 {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {2п - 2} {0, 1, . . . , 2п - 2} {2п - 2}

В разделе 3.3 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне о-минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей.

Следствие 3.2.15. Пусть Т — вполне о-минимальная теория с малым числом счетных моделей, р,д Е 51(0) — неалгебраические типы. Тогда, алгебры Р (Р) и Р изоморфны, если и толь ко если ЯС (р) = ЯС (д) и тип ы р и д одновременно являются изолированными, либо квазирациональными, либо иррациональными.

Теорема 3.2.21. Пусть Т — вполне о-минимальная теория с малым числом, счетных моделей, р,д Е 3:(0)7 р д. Тогда алгебра Р({^}) является обобщенно коммутативным моноидом.

В четвертой главе дается описание алгебр бинарных формул для полиго-нометрических теорий, включая детерминированные и почти (п-почти) детерминированные алгебры. Описаны алгебры для расширения псевдоплоскостей полигонометрий с условием симметрии до плоскостей, а также псевдоевклидовы и интервальные алгебры бинарных изолирующих формул полигонометри-ческих теорий.

Определение.[54] детерминированной, если множество щщ одноэлементно (непусто и конечно) для любых щ,щ Е (р).

10

Любая детерминированная система порождается моноидом Р^(р) =

{Ри(р)] ©Ь гДе иг! = {и © при и,у Е (р), и сама, будучи почти детерминированной системой, является моноидом.

Теорема 4.2.2. Алгебра Ри(р) бинарных изолирующих формул полигоно-метрической теорииТ(рт)7 где рт = рт(С1,С2, V), детерминирована тогда и только тогда, когда выполняется какое-либо из следующих условий:

(1) = 1 и с(рт) < 2;

(2) 1 < < и, |С21 = 1 и с(рт) = 1;

(3) > ш и |С21 = 1.

При, этом в случае (1) алгебра р^ изоморфна единичной группе или, группе Ъ2, а в случаях (2) и (3) эта алгебра изоморфна группе С1.

Теорема 4.2.4. Алгебра бинарных изолирующих формул полигоном,етри-ческой теории Т(рт) почти детерминирована тогда и только тогда, когда группа С1 одноэлементна или, группа С2 конечна.

В противовес детерминированным алгебрам рассматриваются п-поглощаюгцие алгебры, которые при перемножении п нетривиальных меток захватывают все метки данной алгебры.

Теорема 4.4.1. Для любой группы, С1 существует тригонометрия 1гт = Хгт(С1,С2, V) такая, что теорияТ^гт) обладает 2-поглощающей алгеброй бинарных изолирующих формул.

В пятой главе описаны алгебры бинарных изолирующих формул для операций над теориями, приведены примеры с таблицами Кэли.

В разделе 5.1 приводится описание алгебр бинарных изолирующих формул для теорий произведения графов, таких как декартово, корневое и тензорное произведение.

В разделе 5.2 приводится описание алгебр бинарных изолтрующих формул для комрозиций теорий.

Определение. Композиция М[Щ структур М и N называет,ся Е-определимой, если М[М] им,еет 0-определимое отношение эквивалентности Е, у которого Е-классы, являются носителями копий структуры М, образующих М [.V].

Теорема 5.1.17. Если композиция М[М] является Е-определимой, то алгебра фт бинарных изолирующих форм,ул теорииТ = ТЬ(М[Ж|) изоморфна композиции Рт1 [Рт] алгебр рТ1 и Рт бинарных изолирующих формул теорий Т1 = ТЬ(М) м Т2 = ТЬ(^).

Следствие 5.1.18. Если, композиция М[Щ являет ся Е-определимой, Т1 = ТЬ(М)7 Т2 = )7 и Т1} Т2 — транзитивные теории с алгебрами Р(р) и

11

фи'(Р') соответственно, то теория Т1 [Т2] имеет алгебруфу»(р") с единственным 1-типом р", изоморфную ком,позиции ф(р)[ф^(р>)]•

Теорема 5.2.21. Для любого 1-группоидаф, состоящего из неотрицательных меток, существует теория Т с типом р € $(Т) и правильной меточной функцией и(р) так, что (р) = ф0[ф], где ф0 — алгебра бинарных изолирующих формул теории плотного линейного порядка без концевых элементов.

Теорема 5.2.22. Для любого 1-группоидаф, состоящего из неотрицательных меток, существует теория Т с типом р € $(Т) и правильной меточной функцией и(р) так, что (р) = ф0[ф\7 гс^е ф0 — алгебра бинарных изолирующих формул неглавного 1-типа теории Эренфойхта.

Теорема 5.2.24. Для любого 1-группоидаф, состоящего из неотрицательных меток, существует теория Т с типом р € $(Т) и правильной меточной функцией и(р) так, что ф„(р) = ф^[ф\.

Теорема 5.2.28. Для любого натурального п > 1 существует Н0-категоричная слабо циклически, минимальная структура Qn с примитивной группой автоморфизмов и такая, что соответствующая алгебра ф(п бинарных изолирующих формул имеет ровно п + 1 метку.

ф( п

следующими правилами умножения:

(1) для любой ме тки к с у слови ем 0 < к < п выполняе тся 0 • к = к • 0 = {к};

(2) для любых ме ток ,к2 с условия ми 1 < к1,к2 < п справедливо:

(2а) если к1 + к2 < п, то к1 • к2 = к2 • к1 = {к1 + к2 — 1,к1 + к2};

(2Ь) если к1 + к2 — п = 1, то к1 • к2 = к2 • к1 = {0,1, п};

(2с) если + к2 — п = т для некоторого т > 2, то • к2 = к2 • к1 = {т — 1, т}.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в работе.

Глава 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Определение 1.0.1. [19, 25, 27, 28, 58, 50]. Пусть Т — полная теория, М = Т. Рассмотрим типы р(х),д(у) € 5(0), реализуемые в М, а также всевозможные (р,д)-устойчивые, или (р,д)-полуизолирующие, формулы р(х,у) теории Т, т. е. формулы, для которых найдутся элементы а € М такие, что |= р(а) и р(а,у) Ь д(у). Напомним, что если == р(а) и == ^(а, 6) для (р,д)-полуизолирующей формулы р(х, у), то говорят, что а полуизолирует Ь. Определим для каждой такой формулы р(х,у) двухместное отношение ^ {(а,Ь) | М = р(а) Л р(а, Ь)}. При условии (а,Ь) € тара (а,Ь) называется (р,р,д)-дугой. Если р(а, у) — главная формул а (над а), то (р, ^>,д)-дуга (а,Ь) также называется главной.

Если р(х, у) является (р ^ д)-формулой, т. е. одновременно (р,д)- и (д,р)-устойчивой, то множество [а, 6] ^ {(а,Ь), (Ь, а)} называется (р,р,д)-ребром. Если (р,р,д)-ребро [а, Ь] состоит го главных (р,р,д)- и (д,р—1 ,р)-дуг, где 1 (х, у) обозначает р(у,х), то [а, Ь] называется главным (р,р,д)-ребром.

Будем называть (р, р, д)-дуги и (р, р, д)-рёбра дугами и рёбрами соответственно, если из контекста ясно, о какой формуле идёт речь, или речь идёт о некоторой формуле р(х, у). Дуги (а, Ь), у которых пары (Ь,а) не являются дугами ни по каким (д, р)-формулам, будем называть необращаемыми.

Определение 1.0.2. [19, 54]. Для типов р(х),д(у) € Б(0) обозначим через РЕ(р, д) множество

{р(х,у) | р(а,у) — главная формула,

р(а,у) Ь д(у), где = р(а)}.

Пусть РЕ(р, д) — множество пар (р(х,у),ф(х,у)) формул из Р¥(р,д) таких, что для любой (некоторой) реализации а типа р совпадают множества решений формул р(а,у) и ф(а,у).

Очевидно, что РЕ(р, д) является отношением эквивалентности на множестве РР(р, д). Заметим, что каждому РЕ(р, д)-классу Е соответствует либо глав-

13

ное ребро, либо иеобращаемая главная дуга, связывающая реализации типов р и д посредством любой (некоторой) формулы из Е. Таким образом, фактормножество РЕ(р,д)/РЕ(р,д) представляется в виде дизъюнктного объединения множеств РЕБ(р,д) и PЕN(p,q), где РЕ8(р,д) состоит из РЕ(р,д)-классов, соответствующих главным рёбрам, а РЕ^р, д) состоит из РЕ(р,д)-классов, соответствующих необращаемым главным дугам.

Множества РЕ(р,р), РЕ(р,р), РЕБ(р,р) и РЕ~М(р,р) обозначаются соответственно через РЕ(р), РЕ(р), РЕ8(р) и РЕ^р).

Зафиксируем полную теорию Т, не имеющую конечных моделей. Пусть и = и— и {0} и + — некоторый алфавит мощности > (Т)|, состоящий из отрицательных элементов и- Е и—, положительных элементов и+ Е и + и нуля 0. Как обычно, будем писать и < 0 для любого элемента и Е и— и и > 0 для любого элемента и Е и+. Множество и— и {0} обозначается через и<0, а и + и {0} — через и>0. Элементы множества и будем называть метками.

Рассмотрим инъективные меточные функции

и(р,д):РЕ(р,д)/РЕ(р,д) ^ и,

р(х),д(у) Е Б(0) при которых классам из PЕN(p,g)/PE(p,g) соответствуют отрицательные элементы, а классам из РЕБ(р,д)/РЕ(р,д) элементы неотрицательные так, что значение 0 определяется лишь дляр = д и задаётся по формуле (х « у), V(р) ^ V(р,р). При этом будем считать, что р„(р) П р„(д) = {0} для р = д (где, как обычно, через р/ обозначается область значений функции /) и ри[РЛ) П р„(р/^') = 0, если р = дн (р,д) = (р', д'). Любые меточные функции с указанными свойствами, а также семейства таких функций будем называть правильными и далее рассматривать только правильные меточные функции и их правильные семейства.

Через ври,я(х,у) будут обозначаться формулы из РЕ(р,д), представляющие метку и Е р„ (р,яу Если тип р фиксирован н р = д, то формула 0ри,я (х,у) обозначается через 0и(х,у).

Отметим, что если 9ри,я(х,у) н вд,у,р(х,у) — формулы, свидетельствующие о том, что для реализаций а и & типов р и д соответственно пары (а, Ь) н (Ь, а) являются главными дугами, то формула 0рил(х, у) Л вд,у,р(у, х) свидетельствует о том, что [а, Ь] является главным ребром. При этом обратимой метке и однозначно соответствует (неотрицательная) метка V и наоборот. Метки и и V будем называть взаимно обратным,и, и обозначать через V-1 и и-1 соответственно.

Для типов р1,р2,... ,Рк+1 Е Б1 (0) и множеств меток Х1,Х2 ,...,Хк С и обозначим через

Р (Р1,Х1,Р2,Х2, . . . ,Рк ,Хк ,рк+1)

множество, состоящее из всех меток и € и, соответствующих формулам @Р1,и,Рк+1 (х,у), которые для реализаций а типа р1 и некоторых и1 € Х1 П ри(Р1,Р2), ...,ик € Хк П р„ (рк,рк+1) удовлетворяют условию

^Р1,и,Рк+1 (Ы,У) Ь 0р1,и1,Р2,П2,...,Рк ,ик,Рк+1 (а,у),

где

@Р1,и1,Р2 ,и2,...,Рк,ик,Рк+1 (х, у ) л л 3^2, Xз, . . . , Х^ (@р1,и1,р2 , %2) Л @р2 ,и2,рз (^^2, ■%3) Л ... ... Л @Рк-1,ик-1,Рк (хк—1,%к ) Л @рк,ик ,рк+1 (%к ,УУ).

Тем самым, на булеане V(и) мпожества и образуется алгебра распределений бинарных изолирующих формул с ^-местными операциями

Р (Р1, ^,Р2, •,... ,Рк, •,Рк+\),

где р1,... ,Рк+1 € 51 (0). Эта алгебра имеет естественное обеднение на любое семейство Я С 51(0).

Очевидно, что биективно заменяя множество меток, мы получаем изоморфную алгебру. В частности, имеется каноническая алгебра, у которой метки представлены элементами

и тР,д)/РЕ(Р,д). р,ч

Тем не менее, мы будем использовать абстрактное множество меток и, отражающее знаки меток и проясняющее алгебраические свойства операций на"Р(и).

Заметим, что если хотя бы одно из множеств те пересекается с ру(Р{:Р{+1) и, в частности, если оно пусто, справедливо равенство

Р (Р1,Х1,Р2,Х2, ... ,Рк ,Хк ,Рк+\) = 0. Отметим также, что если С Ру(р1 ,р{+1) Для некоторого г, то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Емельянов Дмитрий Юрьевич, 2021 год

Список литературы

[1] Александров П.С. Комбинаторная топология. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.

[2] Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников // Матем. проев. 1957. Вып. 1. С. 107-118.

[3] Байкалова К.А., Емельянов Д.Ю., Кулпешов Б.Ш., Палютин Е.А., Судоплатов С.В. Об алгебрах распределений бинарных изолирующих формул теорий абелевых групп и их упорядоченных обогащений // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2018. — N 4. — С. 3-15.

[4] В.В. Вербовский, О глубине функций слабо о-минимальных структур и пример слабо о-мини-мальной структуры без слабо о-минимальной теории // Proceedings of Informatics and Control Problems Institute, 1996. C. 207-216.

[5] Винокуров С.Ф., Францева А.С. Сложность представлений многовыходных функций алгебры логики // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2016. Т. 16. С. 30-42.

[6] Турин А. М. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями // Сиб. электрон, матем. изв. 2010. Т. 7. С. Л.5 Л.23.

[7] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. — М. : Мир, 1972.

[8] Кулпешов Б.Ш. Ранг выпуклости и ортогональность в слабо о-минимальных теориях // Известия HAH РК, серия физико-математическая. 2003. Т. 227. С. 26-31.

[9] Б.Ш. Кулпешов, Определимые функции в ^о-категоричных слабо циклически минимальных структурах // Сиб. матем. журн.. 2009. Т. 50, N 2. С. 356-379.

[10] Кулпешов Б.Ш. Счетно-категоричные вполне о-минимальные теории // Вестник ИГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, выпуск 1. С. 45-57.

[11] Кулпешов Б.Ш. Бинарный ранг выпуклости в слабо о-минимальных структурах // Известия HAH РК, серия физико-математическая. 2015. Т. 299, N 1. С. 5-13.

[12] Б.Ш. Кулпешов, О неразличимости множества в циклически упорядоченных структурах // Сиб. электрон, матем. изв. 2015. Т. 12. С. 255-266.

[13] Ляпин Е.С. Полугруппы. — М. : Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1960.

[14] Пантелеев В.И., Зинченко А.С. О классах гиперфункций ранга 2, порожденных максимальными мультиклонами // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2017. Т. 21. С. 61-76.

[15] Перязев И. А. Теория Галуа для конечных алгебр операций и мультиопераций ранга 2 // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 113122.

[16] Перязев И. А. Тождества в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности, Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 29. С. 86-97.

[17] Ряскин А.Н. Число моделей полных теорий уиаров // Теория моделей и её применения. Новосибирск : Наука. Сибирское отделение, 1988. С. 162-182.

18] Судоплатов С.В. Полигонометрии групп. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011, 2013. — 302 с.

191 Судоплатов С.В. Классификация счетных моделей полных теорий. Ч. 1. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2018. - 356 с.

20] Судоплатов С. В. Дискретная математика: учебник и практикум / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. — М. : Юрайт, 2021. — 280 с.

21] Харари Ф. Теория графов / Ф. Харари. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 300 с.

221 Шишмарев Ю.Е. О категоричных теориях одной функции // Математические заметки. 1972. Т. 11, N 1. С. 89-98.

231 Baisalov Y.R., Meirembekov К.A., Nurtazin А.Т. Definablv minimal models // Model theory and algebra, Prance-Kazakhstan Conference on model theory and algebra, Astana, July 2005. P. 8-11.

241 Baizhanov B.S. One-types in weakly o-minimal theories // Proceedings of Informatics and Control Problems Institute, Almatv. - 1996. - pp. 75-88.

251 Baizhanov B.S. Orthogonality of one types in weakly o-minimal theories // Algebra and Model Theory 2. Collection of papers / eds.: A. G. Pinus, K. N. Ponomarvov. — Novosibirsk : NSTU, 1999. - P. 5-28.

261 Baizhanov B.S. Expansion of a model of a weakly o-minimal theory by a family of unary predicates // The Journal of Symbolic Logic. 2001. Vol. 66. P. 1382-1414.

271 Baizhanov B.S., Kulpeshov B. Sh. On behaviour of 2-formulas in weaklv o-minimal theories // Mathematical Logic in Asia, Proceedings of the 9th Asian Logic Conference / eds.: S. Goncharov, R. Downey, H. Ono. — Singapore, World Scientific : 2006. — P. 31-40.

281 Baizhanov B.S., Sudoplatov S.V., Verbovskiv V.V. Conditions for non-symmetric relations of semiisolation // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2012. — Vol. 9. — P. 161-184.

291 Baldwin J. Т., Lachlan A. H. On strongly minimal sets //J. Symbolic Logic. 1971. Vol. 36, N 1. P. 79-96.

301 Cameron P.J. Orbits of permutation groups on unordered sets, II // Journal of the London Mathematical Society. 1981. Vol. 23, N 2. P. 249-264.

311 Droste M., Giraudet M., Macpherson H.D., Sauer N. Set-homogeneous graphs //J. Comb. Theory, series B. 1994. Vol. 62, No. 1. P. 63-95.

321 Fink J. F., Jacobson M. S., Kinch L. F., Roberts J. On graphs having domination number half their order // Period. Math. Hungar. 1985. Vol. 16, No. 4. P. 287-293.

331 Godsil C. D., McKay B.D. A new graph product and its spectrum // Bull. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 18, No. 1. P. 21-28.

341 Harnik V., Harrington L. Fundamentals of forking // Ann. Pure and Appl. Logic. 1984. Vol. 26, N 3. P. 245-286.

351 Herwig В., Macpherson H.D., Martin G., Nurtazin A., Truss J.K. On ^-categorical weakly o-minimal structures // Annals of Pure and Applied Logic. 2000. Vol. 101. P. 65-93.

361 Koh К. \!.. Rogers D. G., Tan T. Products of graceful trees // Discrete Mathematics. 1980. Vol. 31, No. 3. P. 279-292.

371 Kulpeshov B.Sh. Weakly o-minimal structures and some of their properties // The Journal of Symbolic Logic. 1998. Vol. 63. P. 1511-1528.

381 Kulpeshov B.Sh., Macpherson H.D. Minimality conditions on circularly ordered structures // Mathematical Logic Quarterly. 2005. Vol. 51, no. 4. P. 377-399.

391 B.Sh. Kulpeshov, On ^-categorical weakly circularly minimal structures // Mathematical Logic Quarterly. 2006. Vol. 52, no. 6. P. 555-574.

401 Kulpeshov B.Sh. Criterion for binaritv of ^-categorical weakly o-minimal theories // Annals of Pure and Applied Logic. 2007. Vol. 45, iss. 2. P. 354-367.

411 Kulpeshov B.Sh. Countablv categorical quite o-minimal theories // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 188, iss. 4. P. 387-397.

421 Kulpeshov B.Sh. On almost binaritv in weakly circularly minimal structures // Eurasian Math. J.. 2016. Vol. 7, N 2. P. 38-49.

431 Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Vaught's conjecture for quite o-minimal theories // Annals of Pure and Applied Logic, 2017. Vol. 168, N 1. P. 129-149.

441 Lachlan A.H. Countable homogeneous tournaments // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 284. P. 431-461.

451 Macpherson H.D., Marker D., Steinhorn C. Weakly o-minimal structures and real closed fields // Transactions of The American Mathematical Society. 200. Vol. 352. P. 5435-5483.

461 Maddux R.D. Relation algebras. — Amsterdam : Elsevier, 2006.

471 Mayer L.L. Vaught's conjecture for o-minimal theories // The Journal of Symbolic Logic. 1988. Vol. 53. P. 146-159.

481 Paul M. Weichsel. The Kronecker product of graphs // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1962. - T. 13, вып. 1. - С. 47-52. - doi:10.2307/2033769.

491 Palvutin E.A., Saffe J., Starchenko S.S. Models of superstable Horn theories // Algebra and Logic. 1985. Vol. 24, No. 3. P. 171-210.

501 Pillav A. Countable models of stable theories // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 89, No. 4. P. 666-672.

511 Pillav A. Steinhorn C. Definable sets in ordered structures. I // Transactions of the American Mathematical Society. 1986. V. 295, No. 2. P. 565-592.

521 Reineke J. Minimalle Gruppen // Zeitshr. Math. Log.1975. Vol. 21. P. 357-359.

531 Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models — Amsterdam : North-Holland, 1990. - 705 p.

541 Shulepov I.V., Sudoplatov S.V. Algebras of distributions for isolating formulas of a complete theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2014. Vol. 11. P. 380-407.

551 Sudoplatov S. V. Polvgonometries of pairs of groups // Siberian Mathematical Journal. 1997. Vol. 38, N 4. P. 801-806.

561 Sudoplatov S. V. Transitive arrangements of algebraic systems // Siberian Mathematical Journal. 1999. Vol. 40, Issue 6. P. 1142-1145.

571 Sudoplatov S. V. On classification of group polvgonometries // Siberian Advances in Mathematics. 2001. Vol. 11, N 3. P. 98—125.

581 Sudoplatov S.V. Hvpergraphs of prime models and distributions of countable models of small theories // J. Math. Sciences. 2010. Vol. 169, No. 5. P. 680-695.

591 Sudoplatov S.V. Deterministic and absorbing algebras // 9th Panhellenic Logic Symposium, July 15-18, 2013, National Technical University of Athens, Greece. - Athens : NTUA, 2013. - P. 91-96.

601 Sudoplatov S.V. Algebras of distributions for binary semi-isolating formulas for families of isolated types and for countablv categorical theories // International Mathematical Forum. 2014. Vol. 9, No. 21. P. 1029-1033.

611 Sudoplatov S.V. Algebras of distributions for semi-isolating formulas of a complete theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2014. Vol. 11. P. 408-433.

621 Sudoplatov S.V. Forcing of infinity and algebras of distributions of binary semi-isolating formulas for strongly minimal theories // Mathematics and Statistics. 2014. Vol. 2, N 5. P. 183-187.

631 Sudoplatov S.V. Combinations of structures // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2018. Vol. 24. P. 65-84.

641 Verbovskiv V.V. On formula depth of weakly o-minimal structures // Algebra and Model Theory, (A.G. Pinus and K.N. Ponomarvov, editors), Novosibirsk, 1997. P. 209-223.

Список работ автора по теме исследования

[65] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах распределений бинарных формул теорий унаров // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", 2016, Т. 17, С. 23-36.

[66] Емельянов Д.Ю., Кулпешов Б.Ш., Судоплатов C.B. Алгебры распределений бинарных формул в счетно категоричных слабо о-минимальных структурах // Алгебра и логика. 2017. Т. 56, N 1. С. 20-54. Перевод: Emel'yanov D.Y., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of distributions for binary formulas in countably categorical weakly o-minimal structures // Algebra and Logic. 2017. Vol. 56, iss. 1. P. 13-36.

[67] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. О детерминированных и поглощающих алгебрах бинарных формул полигонометрических теорий // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2017. Т. 20. С. 32-44.

[68] Емельянов Д.Ю., Кулпешов Б.Ш., Судоплатов C.B. Алгебры распределений бинарных изолирующих формул для вполне о-минимальных теорий // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, N 6. С. 662-683. Перевод: Emel'yanov D.Y., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of distributions of binary isolating formulas for quite o-minimal theories // Algebra and Logic. 2019. Vol. 57, iss. 6. P. 429-444.

[69] Емельянов Д.Ю. Алгебры распределений бинарных формул для теорий архимедовых тел // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 36— 52.

[70] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. Структура алгебр бинарных формул полигонометрических теорий с условием симметрии // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2020. Vol. 17. P. 1-20.

[71] Емельянов Д.Ю., Кулпешов Б.Ш., Судоплатов C.B. Алгебры бинарных формул для композиций теорий // Алгебра и логика. 2020. Т. 59, N 4. С. 432-457. Перевод: Emel'yanov D.Y., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of binary formulas for compositions of theories // Algebra and Logic. 2020. Vol. 59, iss. 4. P. 295-312.

[72] Емельянов Д.Ю. Алгебры распределений бинарных изолирующих формул теории одноместных предикатов с подстановкой // Международная конференция "Мальцевские чтения", 10-13 ноября 2014 г. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2014. — С. 126.

[73] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах распределений бинарных изолирующих формул теории одноместных предикатов с унарной функцией // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 75-летию Ю. Л. Ершова, 3-7 мая 2015 г. Тезисы докладов. - Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирский государственный университет, 2015. - С. 183.

[74] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах распределений бинарных изолирующих формул теории одноместных предикатов с унарной функцией. II // Международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и математического моделирования», посвященная 50-летию создания Института математики и механики АН КазССР, Алматы, 1-5 июня 2015 г. Тезисы докладов. Алматы: ИМММ, 2015. С. 173-174.

[75] Емельянов Д.Ю. Алгебры распределений бинарных изолирующих формул для вложенных отношений эквивалентности // Algebra and Model Theory 10: Collection of papers. Novosibirsk: NSTU Publisher, 2015. - P. 59-70.

[76] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах бинарных полуизолирующих формул для теорий решеточно упорядоченных отношений эквивалентности // Международная научная конференция «Алгебра, анализ, дифференциальные уравнения и их приложения», посвященная 60-летию академика H АН РК А.С.Джумадильдаева. Алматы, 8-9 апреля 2016 г. Тезисы докладов. - Алматы: Изд-во Института математики и математического моделирования МОИ РК, 2016. С. 22-23.

[77] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах бинарных изолирующих формул для теорий решеточно упорядоченных отношений эквивалентности — Материалы 54-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2016: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2016. 236 с. С. 7.

[78] Емельянов Д.Ю. О почти детерминированных алгебрах бинарных изолирующих формул // Международная конференция "Мальцевские чтения", 21-25 ноября 2016 г. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2016. — С. 182.

[79] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. О поглощающих алгебрах бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий // Тез. докл. Ежегодная научная апрельская Института математики и математического моделирования, посвященная Дню науки, Алматы, 7-8 апреля 2017 года. Алматы: ИМММ, 2017, с. 23-24.

[80] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. О почти детерминированных алгебрах бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий // Математика в современном мире. Международная конференция, посвященная 60-летию Института математики им. С.Л. Соболева, Новосибирск, Россия, 14-19 августа 2017 г. Тез. докл. Новосибирск: ИМ СО РАН, ИГУ, 2017, с. 77.

[81] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. Об интервальных алгебрах бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий // Международная конференция "Актуальные проблемы чистой и прикладной математики", посвященная 100-летию со дня рождения академика Тайманова Асана Дабсовича, Алматы, 22-25 августа 2017 г. Тез. докл. Алматы: ИМММ, 2017, с. 23-24.

[82] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах бинарных изолирующих формул для теорий симплексов // Меж-дунар. конф. Мальцевские чтения: Тез. докл. Новосибирск, 2017. С. 146.

[83] Емельянов Д.Ю. Алгебры бинарных изолирующих формул для теорий симплексов // Algebra and Model Theory. Novosibirsk : Edition of NSTU, 2017, pp. 66-74.

[84] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. О структуре алгебр бинарных формул полигонометрических теорий с условием симметрии // Традиционная международная апрельская научная конференция в честь Дня работников науки Республики Казахстан 10 апреля 2018, Алматы, Казахстан: тез. докл. — Алматы: ИМММ, 2018. С. 16-18.

[85] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах бинарных изолирующих формул для архимедовых тел // Меж-дунар. конф. "Мальцевские чтения" 2018: Тез. докл. Новосибирск, 2018. С. 190.

[86] Емельянов Д.Ю., Судоплатов C.B. О почти детерминированных алгебрах бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий с условием симметрии // Междунар. конф. "Мальцевские чтения" 2018: Тез. докл. Новосибирск, 2018. С. 191.

[87] Емельянов Д. Ю., Кулпешов Б. Ш., Судоплатов С. В. О композициях циклических плотных порядков со структурами и их алгебрах бинарных формул // Синтаксис и семантика логических систем [Электронный ресурс] : материалы 6-й Междунар. школы-семинара. Монголия, Ханх, 11-16 авг. 2019 г. / [редкол.: С. С. Гончаров [и др.]]; ФГБОУ ВО "ИГУ". — Иркутск : Изд-во ИГУ, 2019. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). — Загл. с этикетки диска. — С. 44-47. ISBN 978-5-9624-1734-9

[88] Емельянов Д.Ю. Алгебры бинарных изолирующих формул для теорий декартовых произведений графов // Algebra and Model Theory. Novosibirsk : Edition of NSTU, 2019, pp. 21-31.

[89] Емельянов Д.Ю. Алгебры распределений бинарных формул для декартовых произведений графов // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке: Материалы IX Международной научно-методической конференции, посвященной 75-летию профессора Е.Ы. Бидайбекова и 35-летию школьной информатики, 1-3 октября 2020 г. - Алматы, КазНПУ имени Абая, издательство "Улагат", 2020. С. 26-27. ISBN 978-601-298-715-7

[90] Емельянов Д.Ю. Об алгебрах бинарных изолирующих формул для корневых произведений графов // Международная конференция "Мальцевские чтения". Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2020. С. 218.

[91] Емельянов Д.Ю. Алгебры бинарных изолирующих формул для теорий тензорных произведений графов // Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Казахстанского дня работников науки Республики Казахстан, посвященная 75-летию академика Кальменова Тынысбека Шариповича. Алматы, Казахстан. Тез. докл. Алматы: ИМММ, 2021. С. 113-114.

[92] Emelvanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On algebras of distributions for binary formulas of quite o-minimal theories with non-maximum many countable models // Logic Colloquium 2017. Stockholm, August 14-20, 2017 Programme and abstracts. Stockholm: Edition of Stockholm University, 2017, p. 105-106.

[93] Emelvanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On algebras of distributions for binary formulas of quite o-minimal theories with non-maximum many countable models // The Bulletin of Symbolic Logic. 2018. V. 24, N 2. 2017 European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic Colloquium '17, Stockholm, August 14-20, 2017. P. 211-277. - P. 241-242. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/bsl.2018.13

[94] Emelvanov D.Yu., Sudoplatov S.V. On almost deterministic algebras of binary isolating formulas for polvgonometrical theories // Handbook of the 6th World Congress and School on Universal Logic June 16-26, 2018 Vichy, France. - Vichy: Vichy University, 2018. P. 232-233.

[95] Emel'yanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On compositions of dense linear orders with structures and their algebras of binary formulas // Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня работников науки Республики Казахстан, 3-5 апреля 2019, Алматы, Казахстан. Тез. докл. Алматы: ИМММ, 2019. С. 16-17.

[96] Emel'yanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On compositions of discrete linear orders with structures and their algebras of binary formulas // Материалы конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", (г. Казань, 24-28 июня 2019 г.). - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2019. С. 35-37.

[97] Emel'yanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On compositions of structures and compositions of theories // Logic Colloquium 2019. Book of abstracts. D. Chodounskv, S. Stejskalova, J. Verner (eds.) Published by AMCA, spol. s r.o., 2019 Printed MatfvzPress, Publishing House of the Faculty of Mathematics and Physics Charles University Sokolovska 83, 186 75 Praha 8, Czech Republic. P.94-95. ISBN 978-80-88214-19-9

[98] Emel'yanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On compositions of circular discrete orders with structures and their algebras of binary formulas // Международная конференция "Мальцевские чтения", 19-23 августа 2019 г. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2019. С. 195-196.

[99] Emel'vanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On compositions of structures and compositions of theories // The Bulletin of Symbolic Logic. 2019. V. 25, N 4. 2019 European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic Colloquium 2019, Prague, Czech Republic, August 11-16, 2019. P. 481-530. - P. 508-509. DOI: https://doi.org/10.1017/bsl.2019.56

[100] Yemelvanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On algebras of distributions for binary formulas of countablv categorical weakly o-minimal theories // Book of Abstracts. 15th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, CLMPS 2015, Logic Colloquium 2015, LC 2015, Annual European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic (ASL), Helsinki 3-8 August

2015. University of Helsinki, 2015. - P. 663.

[101] Yemelvanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. On algebras of distributions for binary formulas of countablv categorical weakly o-minimal theories // The Bulletin of Symbolic Logic.

2016. V. 22, N 2. 2015 European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic Colloquium '15, Helsinki, Finland, August 3-8, 2015. P. 366-435. - P. 407-408.