Алгебраические структуры, связанные с интервальной математикой, как средство повышения теоретической подготовки учителей информатики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Кропотова, Елена Юрьевна

• Кропотова, Елена Юрьевна
• кандидат педагогических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Кропотова, Елена Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

1. ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 1.1. Решение численной задачи.

1. 2. Новые информационные технологии и школьное образование

2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПЕРЕХОДА К ИНТЕРВАЛЬНОМУ ВАРИАНТУ КУРСА "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

2. 1. Краткий обзор теории интервалов.

2. 2. Пути внедрения теории интервалов в учебный процесс . 24 2.3. Программа курса "Интервальный вариант численных методов"

ГЛАВА II

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

1 . Интервальная арифметика

1.1. Интервальные числа.

1. 2. Интервальные арифметические операции.

1. 3. Свойства интервальной арифметики.

1. 4. Монотонность интервальных рациональных выражений. Интервальное расширение.

2 . Элементы теории погрешностей

2. 1. Интервальные погрешности результатов арифметических операций.

2. 2. Сравнение классических и интервальных погрешностей арифметических операций.

2. 3. Интервальные погрешности значений элементарных функций.

2. 4. Выводы.

3 . Метрическое интервальное пространство

3.1. Принятые обозначения.

3. 2. Введение метрики. Необходимые леммы.

4 . Решение алгебраических уравнений

4. 1. Постановка задачи.

4. 2. Методы деления.

4. 3. Интервальный вариант метода Ньютона.

4. 4. Основные леммы и теоремы о сходимости метода.

5 . Решение систем линейных алгебраических уравнений

5. 1. Постановка задачи.

5. 2. Интервальный аналог метода Крамера.

5. 3. Матричный метод решения систем. Обращение интервальных матриц.

5. 4. Метод Гаусса.

5. 5. Пример К . Райхмана.

5. 6. О методах, заведомо порождающих оптимальное интервальное решение.

5. 7. Метод простой итерации.

5. 8. Способ коррекции границ нулевого приближения.

ГЛАВА III

ОРГАНИЗАЦИЯ, ПРОВЕДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Констатирующий эксперимент.

1. Поисковый эксперимент.

1. Формирующий эксперимент. Анализ результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические структуры, связанные с интервальной математикой, как средство повышения теоретической подготовки учителей информатики»

Многие математические модели приводят к необходимости решать те или иные задачи с приближенными значениями исходных величин. В практических задачах редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно исходные данные являются результатами измерений, а значит сопровождаются погрешностями, влияющими на точность и возрастающими с увеличением объема вычислений. Поэтому оценка погрешности состоит в поиске промежутка, заключающего искомый результат, причем этот промежуток должен учитывать все виды возникающих погрешностей.

Основным требованием к оценкам погрешностей является требование их достоверности, состоящее в запрете как их занижения, так и чрезмерного завышения. Действительно, указывая, что погрешность величины х ограничена числом А х, мы гарантируем, что в любом случае приближенное значение этой величины находится в интервале [ х- А х; х+ А х] и ни при каких условиях не может выйти за пределы этого интервала. Выполняя над приближенными числами какие-либо операции, по существу работают с отрезками, содержащими эти числа. При этом возникает задача определить операции над отрезками надлежащим образом.

Выход из этой ситуации может быть найден при использовании методов интервального анализа - теории, которая в последние десятилетия приобретает все большую популярность. В отличие от традиционных, интервальные методы позволяют получать решения задач вместе с полным и строгим учетом ошибок вычислений.

Возникает противоречие между необходимостью включить в учебные программы педагогических вузов вопросы, построенные на основе новых достижений науки и отсутствием методики их изучения. Проблема исследования состоит в поиске возможных путей усовершенствования предметной подготовки студентов.

В современной профессионально-педагогической подготовке учителей информатики приоритет отдается теоретической и технологической сторонам, на которые опирается прикладная. В соответствии с мнением В.В.Лаптева и М.В.Швецкого, к перспективным направлениям развития теоретической информатики можно отнести вычислительную математику, компьютерную алгебру, математическое моделирование и основы вычислительного эксперимента [72].

При проектировании учебной дисциплины необходима ориентация на соответствующую область научных знаний. Настоящая работа посвящена разработке и применению интервального варианта методов вычислений. Объектом нашего исследования является раздел численные методы решения прикладных задач в курсе информатики педагогических вузов. Предмет исследования составляют содержание этого раздела, ориентированное на исследование интервальных оценок погрешности вычислений, методы и формы обучения модифицированным численным методам.

Выбор темы исследования обусловлен рядом причин. Описанные выше обстоятельства делают естественным требование, состоящее в том, что исходя из достижений современной науки, школьный учитель должен владеть методикой интервальных вычислений. Сам по себе аппарат интервальной математики представляет интерес, так как дает достаточно строгие оценки результатов решения большинства прикладных задач. И, наконец, третья причина, состоит в том, что студенты физико-математических специальностей должны быть ознакомлены с современными подходами к анализу точности вычислений.

В связи с этим, нашей основной задачей явилась переработка содержания курса численных методов, заключающаяся в замене классических оценок погрешностей на интервальные, которые выгодно отличаются удовлетворением требования достоверности, относительной простотой вычислений и легко реализуются на персональных компьютерах.

Актуальность исследования мы видим в следующих аспектах.

I Во - первых, требуется пересмотр содержания и методики изложения курса численных методов, с учетом развития и достижений науки. Во - вторых, необходимо добиться, чтобы будущие учителя, оказавшись в системе школьного образования легче воспринимали различные тенденции в развитии информационных наук. В-третьих, интеграция России в мировую образовательно-информационную среду, обуславливает необходимость владения интервальной техникой научного расчета, так как на международном рынке алгоритмов и программ ей оказывается значительное внимание [81].

Учитывая актуальность и специфику исследуемой темы, основной цепью настоящей работы является разработка методики решения прикладных задач в интервальном варианте, получение оценки погрешности результатов, научное обоснование и реализация использования модифицированного метода в разделе методы вычислений в курсе информатики педагогического вуза.

Тема в науке разработана слабо, публикаций мало. Разработка темы поможет накопить положительный опыт как в теории интервальных вычислений, так и по ряду теоретических и прикладных вопросов обучения информатике, что определяет научную новизну исследования.

В исследовании впервые представлена возможность использования интервальных методов вычислений при обучении информатике в педагогических вузах.

Практическая значимость работы заключается в разработке содержания усовершенствованного варианта курса численных методов и методических рекомендаций по его использованию.

Этапы исследования.

1. Диагностический этап: выявление проблемы и обоснование ее актуальности (анализ состояния обучения, выявление противоречий, нуждающихся в ликвидации с помощью изменений, анализ литературы).

2. Прогностический этап: разработка программы исследования (постановка цели, формулирование гипотезы, прогнозирование результатов, отбор содержания курса).

3. Практический этап: проведение педагогического эксперимента (реализация разработанной программы, получение результатов, корректировка используемых методов и содержания курса).

4. Обобщающий этап: обработка полученных результатов (соотнесение результатов с поставленными целями, анализ результатов, оформление и описание исследования).

Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательской программы "Интегративная открытая развивающая система непрерывного педагогического образования" ( руководитель-действительный член РАО, профессор Г.А.Бордовский) по направлению - "Информационные технологии обучения" (руководитель- профессор В.А. Извозчиков), связанному с разработкой проектов инвариантов обучения студентов и школьников в области информационных технологий.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Кропотова, Елена Юрьевна

Результаты исследования и возможности изучения вопросов интервальной теории при обучении информатике и, в частности, численных методов позволяют проводить дальнейшую работу по рассматриваемой тематике, которая может быть как продолжением данного исследования, так и самостоятельным научным исследованием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования:

1. Накоплен положительный опыт в вопросах изучения интервальной арифметики и ее применения в курсе "Численные методы".

2. Выработано мнение о возможности использования нового научного направления в процессе обучения информатике.

3. Предложены программа и методика реализации модифицированного курса "Численные методы" в процессе обучения информатике.

4. Апробирована построенная модель курса, показана ее эффективность и преимущества перед существующими классическими методами.

Использование модифицированной методики

1) повышает теоретическую и прикладную направленность курса;

2) повышает интерес к изучению предмета, развивая тем самым творческие способности и познавательную активность;

3) позволяет довести определенные навыки до автоматизма;

4) создает возможность для самостоятельного получения знаний через решение задач и самоконтроля за ними;

5) вызывает необходимость обращаться к смежным дисциплинам, обеспечивая межпредметную связь;

6) способствует проникновению достижений науки в образовательную сферу, что положительно влияет на повышение профессионального и образовательного уровня студентов и школьников.

Как было показано в главе II, интервальная арифметика - теория, обладающая рядом особенностей, которые ограничивают ее применимость к некоторым классам прикладных задач. Несмотря на это, та часть теории , которая рассмотрена в разработанной методике, выгодно отличается от классических методов главной особенностью, состоящей в получении наиболее точных результатов решения задач и учета ошибок, возникающих при разного рода погрешностях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Кропотова, Елена Юрьевна, 1997 год

1. Агекян Т. А. Основы теории ошибок. М.: Наука, 1972. - 72 с.

2. Александров Р. Л. Информатика плюс математика. Проблемы взаимопроникновения / Математика в школе. 1987. № 3 С. 31-32.

3. Алефельд Г., Херцберг Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. - 356 с.

4. Арменский Б. В., Винокуров В. А., Дышлевой П. С. Взаимодействие математики и технологии через ЭВМ в условиях НТР /Вопросы философии. 1983. № 11. С. 51-61.

5. Архангельский С. И. Вопросы измерения, анализа и оценки результатов в практике педагогических исследований. М.: Знание, 1975.-43 с.

6. Бабанский Ю. К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: Дидактический аспект. М.: Педагогика, 1982. - 192 с.

7. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. -744 с.

8. Бабин А. В. Итерационный метод, применимый непосредственно к дифференциальным уравнениям /Вычислительная математика и математическая физика. Т. 23. 1983. №4.- С. 771-784.

9. Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика: Вводный курс: В 2 ч. / Пер. с нем. М.: Мир, 1990. - 747 с.

10. Ю.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 476 с.

11. И.Бахвалов Н. С. и др. Задачи по курсу "Методы вычислений". М.: МГУ, 1989. - 127 с.

12. Безменов И. В. Статистическое исследование погрешностей округления при вычислении на ЭВМ. М.: Наука, 1985.

13. И.Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, Т.1. М.: ГИФ-МЛ, 1962.-464 с.

14. М.Бильдюкевич Е. В., Гурачевский В. Л. ЭВМ и микропроцессор: Книга для учащихся. Минск.: Народная асвета, 1990.-207 с.

15. Блехман Н. Н., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. М.: Наука, 1983. - 624 с.

16. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев.: Наукова думка, 1976. - 272 с.

17. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1983.

18. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высш.шк., 1990. - 544с.

19. Болтянский В. Г., Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации математического образования / Математика в школе. 1988. № 3 С. 913.

20. Бузурханов В. К., Назиров М. У. Формальное интегрирование рациональных функций на ЭВМ. Алгоритмы / АН УзССР, 1984 вып. 54. С. 28-34.

21. Варга Р. С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Пер. с англ. Ю. А. Кузнецова и А. М. Мацокина. М.: Мир, 1974. - 126 с.

22. Васильев Н. С. О новом подходе к численному решению нелинейных уравнений / Вычислительная математика и математическая физика Т. 30. 1990. № 11. С. 1638-1645.

23. Васильков Г. Д., Загонов В. П. О точности одного метода численного решения обыкновеннных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / Дифференц. уравнения Т. 19. 1983. №7. -С. 1146-1154.

24. Васин В. В., Сидоров А. Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений / Изв. Вузов. Математика. 1983. № 7. С. 13-27.

25. Введение в научное исследование по педагогике: Учебное пособие для студентов педагогических вузов / Ю. К. Бабанский, В. И. Журавлев, В. К. Розов и др . М.: Просвещение, 1988. - 237 с.

26. Виленкин Н. Я. Методы последовательных приближений. М.: Наука, 1968. - С. 68-72.

27. Воеводин В. В. Ошибки округления и устойчивости в прямых методах линейной алгебры. М.: МГУ, 1969. - 103 с.

28. Воеводин В. В. Компьютерная революция и вычислительная математика. М.: Знание, 1988. - 46 с.

29. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

30. Воеводин В. В. Вычислительные методы и программирование. -М.: МГУ, 1974.-319 с.

31. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. - 296 с.

32. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

33. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике: Для техникумов. 2-е изд., перераб., доп. - М.: Высшая школа, 1990. -208 с.

34. Воскобойников Ю. Е. Эффективный алгоритм решения плохо обусловленных систем уравнений при интерпретации экспериментальных данных / Автометрия. 1988. № 5. С. 104-110.

35. Вычислительная математика: Учеб. пособие для техникумов / Данилина Н. И., Дубровская Н. С., Кваша О. П., Смирнов Т. JI. М.: Высш. шк., 1985. - 472 с.

36. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.-С. 18-20.

37. Глазунов Н. М., Карпинский Ф. Г., Корняк В. В. Решение некоторых задач алгебры, анализа и математической физики с помощью систем аналитических вычислений на ЭВМ / Кибернетика. 1991. №2.-С. 23-29.

38. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии / Пер. с англ. Л. И. Хайрусовой /. М.: Прогресс, 1976. -495 с.

39. Глебов Е. П., Потапенко А.А. О методе последовательных приближений / Изв. Высш. учебн. заведений. Математика. № 5, 1963. -43 с.

40. Головинский И. А. О методе интерполяции Коши / Ист.-мат. исслед. АН СССР, Инс-т истории естествознания и техники 1985, вып. 28. С. 26-78.

41. Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений. -Новосибирск, 1980. 177 с.

42. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. М.: Мир, 1988. - 287 с.

43. Гуляев Г. М., Земзюлина В. Д. Анализ уровня подготовленности абитуриентов на основе результатов вступительных экзаменов / Математика в школе. 1990. № 2. С. 38.

44. Д . Мордухай Болтовский. Психология математического мышления / Вопросы философии и психологии. Кн. 94. - М, 1908. - С. 491-534.

45. Дж. Тейлор. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. -272с.

46. Звенигородский Г. А. Первые уроки программирования. -М.: Наука, 1985. 208 с.

47. Изард К . Эмоции человека. М.: Наука, 1980. - 145 с.

48. Извозчиков В. А. и др. Межпредметные связи и информатика: Метод, рекомендации. Спб.: СПбГУПМ, 1992. - 43с.

49. Ильин В. П. Вычислительная информатика: открытие науки. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 198 с.

50. Ингенкамп, Карлхайнц. Педагогическая диагностика. М.: Педагогика, 1991. - 238 с.

51. Ительсон Л. Б. Математические методы в педагогике и педагогической психологии. Вып. 1. М.: Знание, 1968. - 60 с.

52. Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих / Сост. Поспелов Д. А. М.: Педагогика-Пресс, 1994. - 352 с.

53. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

54. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. Новосибирск.: Наука, 1986. 223 с.

55. Каминский Т. Э. Модификация интервальной арифметики на базе среднего арифметического / Информационно-оперативный материал. Препринт № 6, АН СССР, Сибир. отд-ние /. Красноярск, 1988.-С. 21-23.

56. Каминский Т. Э. Введение групповой структуры на множестве интервальных чисел / Конференция "Интервальная математика". Саратов, 1989.-С. 19-21.

57. Каминский Т. Э., Каминская Э. J1. Модифицированная интервальная арифметика и теория погрешност / Сб. "Вычислительная математика и математическая физика", МГПИ им. Ленина, 1982. С. 96-105.

58. Картавов С. А. Математические термины: Справ. библиогр. словарь. - К.: Выща шк., 1988. - 295 с.

59. Кастрица О. А. О построении интерполяционных формул для матричной функции / Вестник Белорусского ун-та. Сер.1. Физика, математика, механика, 1985. 1. С. 68-70.

60. Клоков Ю. А., Шкерстена А. Я. Оценка погрешности интерполяционных формул Лагранжа -Чебышева / Вычислительная математика и математическая физика. 1987. Т. 27. № 9. С. 1418-1420.

61. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2: Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. - 724 с.

62. Краевский В. В. Проблемы научного обоснования обучения. -М.: Педагогика, 1977. 187 с.

63. Кропотова Е. Ю. Интервальная арифметика и ее приложения / Дипломная работа по математике. Вологда, 1992.

64. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы, Т. 1. М.: Наука, 1976. -304 с.

65. Кузнецов Э. И. Новые информационные технологии и обучение математике / Математика в школе. 1990. № 5. С. 5-8.

66. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М.: Наука, 1990.198 с.

67. Ланцош К . Практические методы прикладного анализа. -М.:ГИФ- МЛ, 1961.-524 с.

68. Лаптев В.В.,Швецкий М.В. Содержание курса информатики для будущих учителей информатики: проблемы и перспективы // Вопросы теории и практики обучения информатике. СПб, 1996.

69. Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1989. -207 с.

70. Маргулис Л. Ф., Шагбазан А. М. Оценки относительной погрешности некоторых итерационных методов / Докл. АН ТаджССР, Т. 31 №8, 1988.-С. 492-490.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608 с.

72. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. 320 с.

73. Математика и информатика: педагогические инновации и научные разработки: Герценовские чтения 95. - Спб.: Образование, 1995.- 160 с.

74. Математика наших дней. Сборник. М.: Знание, 1976. - 64 с.

75. Математический энциклопедический словарь . М. : Сов. Энциклопедия , 1988. - 847 с.

76. Меньшиков Г. Г. Практические начала интервальных вычислений . Учебное пособие. Л.: ЛГУ , 1991 . 92 с.

77. Меньшиков Г. Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Спб , 1996 . - 36 с .

78. Мину М. Математическое программирование : Теория и алгоритмы / Пер . с фр . М .: Наука , 1990 . - 486 с .

79. Михеев В. И. Моделирование и методы теории изменений в педагогике . М .: Высшая школа , 1987 . - 198 с .

80. Михельсон В. С. Элементы вычислительной математики . -М.: Высшая школа , 1966 . 275 с .

81. Михлин С. Г. Некоторые вопросы теории погрешностей . Л.: ЛГУ, 1988.-С. 16-20.

82. Михлин С. Г. , Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения интегральных и дифференциальных уравнений . М.: Наука , 1965 . С . 19-20 .

83. Михлин С. Г. Погрешности вычислительных процессов . -Тбилиси , 1983 . 261 с .

84. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов I. / Изв . Вузов . Математика , 1981 . № 7 (230). - С . 15 .

85. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов II . / Изв . Вузов . Математика , 1981 . № 8 (231). - С. 17 .

86. Монахов В. М. Перспективы разработки и внедрения новой информационной технологии обучения на уроках математики /Математика в школе . 1991 . № 3 . С . 58-62 .

87. Назаренко Т. И. , Марченко J1. В. Введение в интервальные методы вычислительной математики . Иркутск .: ИРГУ , 1982 . - 108с.

88. Раковщик Л. С. Итерационные методы решения уравнений . -Л., 1974 . С . 50-54 .

89. Першиков В. И. Савинков В. М. Толковый словарь по информатике . М.: Финансы и статистика , 1991. - 543 с.

90. Полонский В. М. Оценка качества научно-педагогических исследований . М .: Педагогика , 1987 . - 142 с .

91. Попов Б. А. , Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ . -Киев.: Наук, думка ,1984 . 135 с .

92. Применение ЭВМ в практическом тестировании : Метод . рекомендации к сравнительной эдукологии . (Сост . Извозчиков А. В., Слуцкий А. М.). Спб .: Образование , 1992 . - 84 с .

93. Программа курса " Вариационное исчисление и методы оптимизации " для гос. ун-тов . М .: МГУ , 1977 .-6с.

94. ЮО.Программы средней общеобразовательной школы : Основы информатики и выч . техники . ( Гос . ком . по нар . обр . ) . М . : Просвещение, 1991 . - 43 с .

95. Пуанкаре А. О науке . М .: Наука , 1983 .

96. Пулькин С. П. Вычислительная математика . М . : Просвещение , 1980 . - 176 с .

97. ЮЗ.Пулькин С. П. Вычислительная математика . Пособие для учащихся 9-10 кл . по факультативному курсу . М . : Просвещение , 1974 . 239 с .

98. Рабочие программы и экз . вопросы . Высшая математика , теория вероятности , математическая статистика , математическое программирование . Для инженерно-эконом . ф-та . Рига , 1976 .-51 с.

99. Ю5.Романов В. Н. Экспериментальный курс " Прикладная математика и программирование " / Математика в школе . 1984 . № 4 . С . 38-42.

100. Юб.Рыбников К. А. Очерки методологии математики . М. : Наука , 1987. - 243 с.

101. Рыжова Н.И., Швецкий М.В. Гносеологическое определение информатики: уточнение понятия // Вопросы теории и практики обучения информатике. Спб, 1996.

102. Ю8.СаитовЕ. , Сайтов А. Е. Больше внимания методической подготовке студентов / Математика в школе . 1990 . № 4 . С . 13 .

103. Ю9.Салтыков А. И. , Семашко Г. Л. Программирование для всех. 2-е изд ., перераб . - М .: Наука , 1985 . - 176 с .

104. Ю.Самарский А. А. Введение в численные методы . М.: Наука, 1985. - 192 с.

105. Ш.Саранцев Г. И. О профессионализме в подготовке учителей /Математика в школе . 1990 . № 4 . С . 11 .

106. Скаткин М. Н. Методология и методика педагогических исследований : ( В помощь начинающему исследователю ) . М. : Педагогика , 1986 . - 150 с.

107. Советский энциклопедический словарь . М. : Сов . Энциклопедия , 1979. - 1600 с.

108. Сорокин В. К. Вычислительная математика . Конспект лекций . Калинин , 1973 . 88 с .

109. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний . -М, 1984. -254с.

110. Ташпулатова Ж. Н. Об использовании методов интервального анализа для нахождения корней полиномов . Дипломная работа . Самарканд , 1976 .

111. Теория и практика педагогического эксперимента / Под ред . А. И. Пискунова , Г. В. Воробьева . М .: Педагогика , 1979 . - 207 с .

112. Тихонов А. Н. , Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике . М .: Наука , 1984 .

113. Турчак Л. И. Основы численных методов . М.: Наука , 1987. - 320 с.

114. Фомин Ю. Т., Шокин Ю. И. Особенности интервального варианта метода простой итерации . Красноярск . : ВЦ СО АН СССР , 1984 . / Препринт № 3 АН СССР , Сиб . отд-е /. 22 с .

115. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений . М.: Мир , 1980 . -279 с .

116. Фридман Л. В. Психологический справочник учителя . М , 1990 . - 286 с .

117. Фурунжиев Р. И. и др . Применение математических методов и ЭВМ . Минск .: Вышэйш . шк ., 1988 . 189 с .

118. Черепанов В. С. Экспертные оценки в педагогических исследованиях . М .: Педагогика , 1989 . - 150 с .

119. Шаталов В. Ф. Точка опоры . Организационные основы экспериментальных исследований . Минск .: Университетское , 1990 .- 223 с.

120. Шокин Ю. И. , Захаров А. В. Алгебраическое интервальное решение систем линейных интервальных уравнений Ах=Ь и Ax+d=b .- Красноярск., 1987 .- 12с.

121. Шокин Ю. И. Интервальный анализ . Новосибирск , 1981 .- 112с.

122. Шокин Ю. И. Численный анализ и задачи интерпретации экспериментов . Красноярск , 1987 . - С . 24-30 .

123. Шокин Ю. И. Интервальный анализ .4.1,2.-Новосибирск , 1987 . 139 с .

124. Шокин Ю. И. , Калмыков С. А. Интервальные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Ташкент , 1986.-84с.

125. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения . -Красноярск , 1990 . 18 с .

126. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Введение в машинную интервальную арифметику . Новосибирск . : ИТПМ , 1983 . - 34 с . /Препринт АН СССР , Сиб . отд-е . Ин-т теорет . и прикл . механики , №12/.

127. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Интервальные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их машинная реализация . Красноярск . : ВЦ СО АН СССР , 1985 . - 30 с . / Препринт АН СССР . Сиб . отд-ние ВЦ , № 18 /.

128. Шокин Ю. И., Рогалев А . Н. Пакет интервальных операций для ЭВМ БЭСМ- 6 . Новосибирск .: ИТПМ , 1981 . - 22 с .

129. Шокин Ю. И. Интервальный анализ .4.1. Некоторые задачи анализа и алгебры в интервальной математике. Новосибирск , 1978.- 126 с.

130. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Машинная реализация интервального варианта метода прогонки . Красноярск .: ВЦ СО АН СССР , 1993 . - 33 с . (Препринт / АН СССР . Сиб . отд-ние ВЦ , № 18 ).

131. Юлдашев 3. X. Некоторые вопросы интервального анализа и применение интервальных методов для решения задач вычислительной математики : Автореф . дисс . канд . физ-мат . наук . Новосибирск, 1977 .-Юс.

132. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику . М . : Наука , 1979 .212 с.

133. Язенин А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование / Изв . Рос . АН Техн . кибернетика . 1993 . № 5 . -С. 149-155.

134. Яненко Ю. И. , Шокин Ю. И. , Рогалев А. Н. О принципах построения пакета интервальных операций . / Численные методы механики сплошной среды . 1980 Т . 11 . № 5 . С . 147-151 .

135. Forsait D. , Moler К. Numtrical solution of systems line algebraic equation . New York , Wiley and sons 1969 .

136. Kracht H. , Schsoder G. Zur Intervallrechnung in linearen Raumtn . Computing, 11 (73-79), 1973 .

137. Kracht K. , Mafred . Methods of complex analysis in partial differential equation with application . N . Y ., 1988 .

138. Mendtlson E . Introducsion to Mathematic logic . N . Y . -London , Princeton , 1971 .

139. Moor R. E. Interval analysis , Prentice Hail, Inc ., Englewood , Chiffs , N . I. , 1966 .

140. Nickel К . Intervall Mathemattic , ZAMM , 58 , 1978 . - p . 7285.

141. Nickerson , Charles . Statistical analysis for decission making . N. Y., Prenceton , 1978 .

142. Polya . Mathematical descovery . Vol . 1-2 . N. Y. London ,1965.

143. Ratsehek H. Nichtnumerisehe Aspekte der Intervall arithmetik / Ltcture Notes in Computer Scientes , 29 (1975), 48-74 .

144. Ratsehek H. Die binaren Systeme der Intervall arithmetik Computing , 6 , 295-308 (1970).

145. Schroder G. Charakterisierung der quasilineare Raumes I ( R ) und Klassifizierung der duasilinearen Raume der Dimension 1 und 2 . Cjmputing , 10 ( 111-120 ) , 1972 .

146. Strangl G. , Fix G. J. An analysis of the finit element method . -Englewood Cliffs (N. Y.): Prentice Hall, cop . 1973 У . XIV. - 306 p .

147. Wendorff B. Theoretical numerical analysis . N. Y. , Academic Press . 1966 . 225 p .

148. Wilkinson J. H. R ounding errors in algebraic processes . ( National Physical Laboratory . Notes on Applied science). London , 1963 . -161 p.