Интегральные и обобщенные фреймы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Захарова, Анастасия Александровна

• Захарова, Анастасия Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захарова, Анастасия Александровна

Введение

1 Интегральные фреймы, их свойства

1.1 Интегральные фреймы, двойственные к ним фреймы, экстремальное свойство.

1.2 Аналог теоремы Рисса-Фишера.

2 Обобщенные фреймы, их свойства

2.1 Примеры обобщенных фреймов и их основные свойства

2.2 Об измеримости обобщенных фреймов.

2.3 Экстремальное свойство обобщенных фреймов.

3 Трансобобщенные фреймы 45 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные и обобщенные фреймы»

Обзор предшествующих результатов

Пусть Н — гильбертово пространство над полем К. или С. Фрейм был впервые определен в работе [8] с целью изучения свойств экспоненциальных систем {егАп*}Т1(Ен5 I £ 7>7]> причем определение было сформулировано как для частного случая экспоненциальных систем (так называемых фреймов Габора), так и для общего случая систем в гильбертовом пространстве. После этого фреймы долгое время не встречались в исследованиях, за исключением работы Юнга [6]. Фреймы обладают многими свойствами ортонормированных базисов гильбертова пространства.

Рассмотрим множество индексов К, не более чем счетное.

Определение 1. Система {(рп}п€К С Н называется фреймом, если существуют константы а,Ь, 0 < а ^ Ъ < оо; такие что для всех д 6 Н оо п=1

Если выполнена только оценка сверху, то система называется бесселевой.

Числа а и 6 называются границами фрейма. Они не единственны. Точная нижняя грань множества всех верхних границ Ь (точная верхняя грань множества всех нижних границ а) называется соответственно оптимальной верхней (оптимальной нижней) границей фрейма. Если возможно выбрать границы а и Ь так, чтобы а — 6, то фрейм называется жестким, константа а — его границей. Если при этом а = Ь — 1, то фрейм называется фреймом Парсеваля.

Фреймы обладают большинством свойств ортонормированных базисов гильбертова пространства. В случае жесткого фрейма для всех х Е Н имеем оо п=1 откуда, используя тождество

Х>У) = \ {\\Х + У\\2 ~ \\Х~У\\2) Для всех х,увН, для случая, когда Н рассматривается над полем М или тождество поляризации

Х,У) = ^(\\Х + У\\2-\\Х~У\\2+ Ц\Х + Щ\\2-Ц\Х~Щ\\2) для всех х,у Е Я, для случая, когда Н рассматривается над полем С, получим, что для всех х,у Е Н оо п=1 а значит, для всех х £ Н в слабом смысле выполнено равенство оо х = а"1 У](ж,

71=1

Последняя формула похожа на разложение элемента по ортонормированному базису. Однако фреймы (даже фреймы Парсеваля), вообще говоря, не являются ортонормированными базисами. В качестве примера рассмотрим гильбертово пространство Н =

С2 и в нем векторы

Система очевидно, не является ортонормированным базисом, так как векторы, входящие в нее, линейно зависимы. В то же время для любого х = (жь^г) ^ С2 выполнено п=1 то есть, {<рп}п=1 ~ Фрейм Парсеваля. Заметим, что, как было показано И. Добеши, фреймы Парсеваля тогда и только тогда являются ортонормированными базисами, когда норма каждого элемента фрейма равна 1 (см. [9], стр. 100). В силу того, что фрейм не обязан состоять из линейно независимых векторов, коэффициенты разложения элемента гильбертова пространства по фрейму, вообще говоря, не единственны. Иначе говоря, фрейм является переполненной, или избыточной системой.

Есть еще один способ описать избыточность фрейма — с помощью числа фреймов, двойственных к нему. В монографии [9], с. 104, И. Добеши определяет семейство фреймов, двойственных к заданному фрейму, следующим образом:

Определение 2. Фрейм {фп}пеп С Н называется двойственным к фрейму {(/^п^ем С Н, если для любого х € Н выполняется оо х = ^2(х,-фп)(рп.

71=1

Заметим, что определение двойственности корректно в том смысле, что если {фп}п€П — фрейм, двойственный к фрейму {</?п}пем, то верно и обратное: есть двойственный фрейм к {фп}пе№- Эти требования могут быть ослаблены; достаточно, чтобы системы {т/^пек и {</?п}пеШ были бесселевыми. Именно, выполнена следующая теорема (см. [7], стр. 127):

Теорема 1. Пусть системы {фп}п&ы и {у^пек — бесселевы в гильбертовом пространстве Н. Тогда следующие условия эквивалентны: оо

1) для любого х Е Н х — ^ (ж, фп)<Рп'1

71=1 оо

2) для любого х & Н х = ^ Фп)Фп\ п=1 оо

3) для любых х,у е Н (X, у) = Фп)(<Рп, у),

11=1 и, если выполнены условия (1)-(3), то системы {'0гг}ггем и {<£>п}пем представляют собой двойственные фреймы.

Надо отметить, что требование бесселевости системы необходимо: существуют примеры систем, для которых выполняется одно из условий (1)-(3), но которые, однако, не являются фреймами.

Пример. Рассмотрим ортонормированный базис {еп}^=1 гильбертова пространства Н, и системы в2 е2 е3 е3 е3 которая является жестким фреймом в Н, и систему еь\/2е2,0,л/3ез,0,0,.

Эти системы удовлетворяют условию (1) теоремы 1, но вторая система не является бесселевой, следовательно, она не является и фреймом.

Двойственный фрейм существует у любого фрейма. Он является единственным тогда и только тогда, когда исходный фрейм является базисом пространства Н. Во всех остальных случаях двойственный фрейм единственным не является.

Среди множества двойственных к фрейму можно естественно выделить так называемый канонический двойственный фрейм. Рассмотрим оператор

Т, действующий из H в l2(N) следующим образом: (Ту)п = (у,<рп). Этот оператор называется фреймовым оператором, или оператором анализа. Вычислим Т* — сопряженный оператор к Т, называемый иногда оператором синтеза. Пусть с = {с^}^ G /2(N). Тогда для всех у G H выполняется оо оо

Т*с, у) = (с, Ту) = Сп(У, Vt») = ^

71—1 71=1 откуда следует, что в слабом смысле для любого с G l2(N) выполнено

СХЭ

Г* С = ^ Сп¥?п.

71=1

Более того, это равенство верно также и в смысле сходимости по норме (подробнее см. [9], стр. 156). Рассмотрим оператор S = Т*Т. Используя определение фрейма, Добеши (см. [9], с. 101 и далее) доказала, что оператор S обратим, и обратный к нему также ограничен. Применяя оператор S-1 = (!Т*Т)~1 к элементам фрейма {</?n}n€N, получаем систему =

51(/?п}пем- Если исходная система {^njneN являлась фреймом, то и {<Лг}пем также будет фреймом, согласно следующей лемме, доказанной Добеши ([9], с. 102):

Лемма 1. Система {^IneN является двойственным фреймом в H с константами b~l, а~1 к фрейму {(^nlneN в H с константами а, Ь.

Канонический двойственный фрейм обладает интересным и полезным свойством: /2-норма коэффициентов разложения элемента по каноническому двойственному фрейму минимальна. Именно, выполняется следующая теорема, приведенная в книге Добеши [9], с.105:

Теорема 2 (экстремальное свойство коэффициентов разложения по каноническому двойственному фрейму). Если для некоторой последовательности {с™}^ 6 /2(К) выполнено оо

У = У^/'п^п, п=1 то оо оо

П= 1 71=1 причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда сп = (у, (рп) для всех п £ N.

Заметим в заключение, что фреймы широко используются в приложениях. В книге С. Малла [13], глава 5, описаны применения фреймов в анализе сигналов для уменьшения шума, а также в анализе изображений. Другие применения теории фреймов можно найти в книгах И. Добеши [9], Ч. Чуй [14], К. Блаттера [15], О. Кристенсена [7].

Основные определения

Данная работа посвящена обобщению понятия фрейма на более широкий случай. Именно, вместо множества натуральных чисел система нумеруется некоторым множеством О, оснащенным счетно-конечной мерой р. Оказывается, что при такого рода обобщении системы сохраняют основные свойства дискретных фреймов с соответствующими изменениями.

Начнем с ранее сделанных обобщений. Т.П. Лукашенко в [16] было дано следующее определение ортоподобных систем.

Определение 3. Система элементов С Н называется ортоподобной системой разложения в Н, если любой элемент у Е Н можно представить в виде где уш — (у,еш), интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпывание пространства О, все измеримы, с 1 для к еМ и — ^Л быть может, зависящее от у и называемое подходящим для у, что функция ушеш интегрируема по Лебегу на и

Если взять О, = М, 0,к — {1,2,¡1{к) > 0 для всех к е М, то получим определение счетной неотрицательной ортоподобной системы разложения с обычной сходимостью, содержащее как частный случай счетные полные ортогональные системы. Таким образом, понятие ортоподобной системы обобщает понятие ортогональной системы, но при этом ортоподобная система не обладает свойством единственности разложения, так как ортоподобными системами являются, например, проекции ортонормированных базисов. Свойства ортоподобных систем подробно изучены в работах Т.П. Лукашенко [16], [17].

В книге Кайзера [11] и независимо автором в работах [26], [28] это определение обобщено таким образом, чтобы в качестве частных случаев получались не только жесткие фреймы, но также и фреймы с п произвольными границами а, Ъ.

Определение 4. Пусть Н — гильбертово пространство над полем ж или С, й п - пространство со счетно-аддитивной мерой ¡1. Назовем систему функций {^^ео С Н интегральным фреймом, если {д, ц-измерима для всех д £ Н и существуют а, Ь, 0 < а ^ Ь < оо, такие что для всех д Е Н

Если положить О, — N и выбрать меру ¡1 таким образом, что для любого к € N ц(к) — 1, то получим определение фрейма. Аналогично дискретному случаю, определяются верхняя и нижняя оптимальные границы как точная нижняя грань множества всех верхних границ Ь (точная верхняя грань множества всех нижних границ а) соответственно. Если возможно выбрать границы а и Ь так, чтобы а — 6, интегральный фрейм называется жестким. Жесткий интегральный фрейм Парсеваля (интегральный фрейм с константами а — Ъ = 1) — это ортоподобная система.

Заметим, что существуют системы, обладающие теми же свойствами, что и интегральные фреймы (в частности, интегральные фреймы Парсеваля), но которые не могут быть описаны как интегральные фреймы. В качестве примеров таких систем в гильбертовом пространстве Ь2(Ж) можно привести преобразование Фурье п и преобразование Гильберта f{u) = lim [ .¿С.

V У е—>+0 J тг(ш - Х) x—w\>£

Для них выполняется равенство Парсеваля: соответственно. Однако они не являются интегральными фреймами Парсеваля в 1/2(М), так как ни функции {ехр(27гг'о;а;)}а;ек , ни не принадлежат Ь2(Ж).

Т.П. Лукашенко ввел новый класс систем, названных им обобщенными ортоподобными системами, который включает в себя как ортоподобные системы, так и системы, задающие преобразование Фурье и преобразование Гильберта, а также некоторое другие системы. Вначале дадим определение обобщенной системы.

Определение 5. Пусть {Нп}™=1 — система замкнутых вложенных (Нп С Нп+\) расширяющихся подпространств в Н, объединение которых всюду плотно в Н. Пусть — система, такая что любой ее элемент еш является последовательностью {е^}^! элементов Н, е^ е Нп и е" — ортогональная проекция на Нп. Тогда — обобщенная система в Н.

В работе [19] Т.П. Лукашенко было введено следующее определение.

Определение 6. Обобщенная система называется обобщенной ортоподобной системой разложения в Н, если любой элемент у £ Нп представляется в виде п где у™ = (у, интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н.

Подробнее о свойствах обобщенных ортоподобных систем см. [18], [19]. В работе [33] это определение обобщено следующим образом:

Определение 7. Назовём обобщенную систему функций {(£>ш}ше^ С Н обобщенным фреймом, если существуют константы а, Ь : 0 < а ^ Ь < оо, такие что для любого у е Нп все функции (у, (р%) измеримы и для любого у Е Нп

Числа а и Ь называются границами фрейма. Они не единственны. Точная нижняя грань множества всех верхних границ Ъ (точная верхняя грань множества всех нижних границ а) называется соответственно оптимальной верхней (оптимальной нижней) границей фрейма. Если можно выбрать а = Ь, то обобщенный фрейм называется жестким обобщенным фреймом; если при этом а — Ь — 1, то это обобщенный фрейм Парсеваля, или обобщенная ортоподобная система.

Как дискретные, так и интегральные фреймы являются частными случаями обобщенных фреймов, что несложно проверить. Если все

1) элементы обобщенного фрейма еш — {е^}^ постоянны (для любого п £ N положив е^ = еш) и, соответственно, для любого п £ N Нп = Н, то получается определение интегральных фреймов, которое, как было отмечено во введении, охватывает дискретные фреймы. Тем не менее, класс обобщенных фреймов не исчерпывается дискретными и интегральными фреймами. Как было замечено выше, в качестве примеров жестких обобщенных фреймов, не являющихся интегральным обобщенным фреймом, можно рассмотреть преобразование Фурье и преобразование Гильберта. Подробно эти и другие примеры обсуждаются в главе 2.

Обзор результатов по главам

Первая глава диссертации посвящена свойствам интегральных фреймов. Определяются фреймы, двойственные к интегральному фрейму, в частности, определяется канонический двойственный фрейм и доказывается корректность его определения. Доказывается аналог экстремального свойства коэффициентов разложения элемента гильбертова пространства по фрейму (именно, что наименьшей Ь2-нормой обладают коэффициенты разложения элемента по каноническому двойственному фрейму) — обобщение теоремы 2:

Теорема 3 (экстремальное свойство коэффициентов разложения по интегральному фрейму). Если для некоторой с{ш) £ Ь2{0) выполнено то

I \{у,р>)\2<1ц{и>)^ I \с(и>)\Ч»(а>) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда с(ш) — (у, п.в. на О,.

Для случая интегральных фреймов Парсеваля — ортоподобных систем — теорема сформулирована и доказана в [16]. Кроме того, для интегральных фреймов доказывается следующий аналог теоремы Рисса-Фишера:

Теорема 4. Пусть {</?'"— интегральный фрейм в гильбертовом пространстве И, с{ш) — функция из пространства Лебега Ь2{0) со значениями в К или С в зависимости от того, над каким полем рассматривается Н, {А/с}^=1 — такая последовательность измеримых подмножеств что Нти^Л& — О. и с(си)(рш интегрируема по Лебегу на причем значение предела не зависит от выбранной последовательности подмножеств удовлетворяющей условиям теоремы.

Для случая жестких интегральных фреймов соответствующая теорема сформулирована и доказана в [16].

Во второй главе изучаются свойства обобщенных фреймов. Приводятся примеры систем, которые являются обобщенными фреймами, но при этом не являются ни дискретными, ни интегральными фреймами. Доказывается теорема о сходимости коэффициентов разложения элемента гильбертова пространства по обобщенному фрейму в пространстве £2(0).

Ак. Тогда в Н существует

Теорема 5. Если — обобщенный фрейм в Н, то для любого у £ Н существует единственная с точностью до эквивалентности (совпадения почти всюду) функция у (и)) на такая что последовательность функций у™ — (у, (р%) сходится к ней в смысле

Нт [ = п П

В качестве следствия этой теоремы получим, в частности, следующее утверждение:

Следствие 1. Если {у^^еп — обобгценный фрейм в Н, то для любого уен а1М12 ^ / (2)

Определение 8. Обобщенный фрейм С Н будем называть

I? -измеримым, если для любой функции с(со) 6 Е2({}) со значениями в М или С все функции измеримы как функции на Г2 со значениями в

Н.

Для обобщенных /^-измеримых фреймов доказывается теорема: Теорема 8. Пусть — обобщенный Ь2-измеримый фрейм в гильбертовом пространстве Н, тогда для любой с(ы) — функции из пространства Лебега Ь2{П) — в Н существует элемент у = Нт / п—*оо I

Доказывается аналог экстремального свойства коэффициентов разложения элемента гильбертова пространства по фрейму — дальнейшее обобщение теоремы 2:

Теорема 9. Пусть ~~ обобщенный фрейм в И. Если для некоторой последовательности функций сп(со) £ L2(Q), сходящейся в Ь2(П) к функции с(ш), для некоторого элемента у € Н выполнено у = lim / Cn{iJ)ip%dyL{uj), п—юо J П то имеет место неравенство

I |уИ|2фн < I |сН|2ФН, о п причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда c(w) = у(ш) п.в. па Я.

Заметим, что, согласно теореме 8, для любой сходящейся в L2(Q) последовательности функций Сп{и>) G L2(Q) такой элемент у € Н существует.

Как следует из примеров, приведенных в главе 2, существуют обобщенные фреймы, не являющиеся интегральными фреймами. Поэтому естественно возникает вопрос: какие условия должны выполняться, чтобы обобщенный фрейм был интегральным фреймом. Ниже приводятся условия, необходимые и достаточные для того, чтобы обобщенный фрейм являлся также и интегральным фреймом в гильбертовом пространстве.

Теорема 10. Пусть {^Iwefi — обобщенный L2 -измеримый фрейм в пространстве Н (с системой подпространств {Нпи индексами из £1). Он весь (почти весь) является некоторым интегральным фреймом в пространстве Heu, пробегающим все (почти все) значения из Vt в том смысле, что для каждого п G N и каждого (почти каждого) из £ Q, элемент — ортогональная проекция из Н на Нп, тогда и только тогда, когда для каждого (почти каждого) из € fü sup < +оо. neN

Также приводятся необходимые и достаточные условия того, что обобщенный фрейм является дискретным фреймом в гильбертовом пространстве.

Теорема 11. Пусть {v?w}weii ~~ обобщенный L2-измеримый фрейм в пространстве Н (с системой подпространств {Нп}^=1 и индексами из £1). Он весь (почти весь) является некоторым дискретным фреймом в пространстве Н сиз, пробегающим все (почти все) значения из Q в том смысле, что для каждого п £ N и каждого (почти каждого) из £ О, элемент — ортогональная проекция (рш из Н на Нп тогда и только тогда, когда для каждого (почти као/сдого) из Е Q д(^) > 0.

Как это следует из интегрального аналога формул для фреймового оператора, приведенных в первой главе, для любого интегрального фрейма фреймовый оператор является линейным ограниченным обратимым оператором из Н в L2(Q). Однако существуют линейные ограниченные операторы с ограниченным обратным из Я в L2(f2), не задающие никакого интегрального фрейма (в качестве примера можно привести преобразование Фурье в Н = Ь2(Ш)). В завершение второй главы доказывается следующая теорема:

Теорема 12. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, П — пространство с мерой ¡i, L2(Q) — пространство Лебега над Q, А — ограниченный линейный оператор с ограниченным обратным, действующей из Н в L2(Q) (то есть существуют а, b : 0 < а ^ Ъ < оо, такие что для любого х G Н а||ж||2 ^ ^

Тогда существует такая система являющаяся обобщенным фреймом в Н, что для любого х G Н выполняется равенство А(х) — (.L2) lim (яг, В качестве фреймовых констант можно взять а,Ь.

П—+00

Приведенная теорема вместе со следствием теоремы о сходимости коэфффициентов разложения элемента гильбертова пространства по обобщенному фрейму устанавливает соответствие между классом обобщенных фреймов и классом линейных ограниченных обратимых операторов в сепарабельном пространстве.

Так как при доказательстве предыдущей теоремы существенно используется сепарабельность пространства Н, возник вопрос, можно ли описать похожим образом линейные ограниченные обратимые операторы в произвольном (возможно, несепарабельном) гильбертовом пространстве. С этой целью в третьей главе диссертации вводятся трансфинитные фреймы, отличающиеся от обобщенных фреймов тем, что вместо счетного исчерпывания пространства рассматривается произвольное (возможно, несчетное) исчерпывание.

Следуя [23], обозначим Wa множество всех порядковых чисел, меньших порядкового числа а.

Определение 9. Пусть {Hk}kewa — система замкнутых расширяющихся (Hk С Нп для всех к < п) подпространств в Н, объединение которых всюду плотно в Н. {e^l^efi — система, такая что любой ее элемент ff является последовательностью {e%}kewa элементов Н и = Рнп^нк&п, где Рцп->нк — ортогональная проекция из Нп в Hk для всех к < п. Тогда — трансобобщенная система в Н.

Определение 10. Назовём трансобобщенную систему функций С Н трансобобщенным фреймом, если существуют а,Ь : 0 < а ^ Ь < оо, такие что для любого у £ Нп, п <Е \¥а, все функции (у, (р'г") измеримы и выполняются неравенства для любого у £ Нп. В частности, назовем трансобобщенную систему функций {(/^шеп С Н трансобобщенной ортоподобной системой, если для любого у £ Нп, п £ все функции (р™) измеримы и выполняется равенство для любого у £ Нп.

С помощью таких систем можно описать линейные ограниченные обратимые операторы в произвольном (в том числе несепарабельном) гильбертовом пространстве.

Теорема 13. Пусть А — ограниченный линейный оператор с ограниченным обратным, действующий из Н в L2(Q) (то есть существуют а,Ь : 0 < а ^ Ъ < оо, такие что для любого у £ Н а||у|| ^ \\Ау\\ ^ Тогда существует такая система {v^jweft, являющаяся трансобобщенным фреймом в Н с системой подпространств {Hk}kewa, что для любого у £ Н выполняется равенство А(у) = (L2) lim (у,(р%). п n&Wc а

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [25] - [33].

Они докладывались в МГУ им. М.В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством академика РАН П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко (2004, 2008), на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т.П Лукашенко, проф. В.А. Скворцова и м.н.с. А.П. Солодова (2007), на семинаре но ортогональным рядам под руководством чл.-корр. РАН проф. B.C. Кашина и проф. C.B. Конягина (2006), на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т.П. Лукашенко, доц. Т.В. Родионова и доц. В.В. Галатенко (2006-2008); на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции (Казань, 2005); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007), иа Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004 и 2006).

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задачи и руководство в подготовке работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захарова, Анастасия Александровна, 2008 год

1. Duffin R. J., Schaeffer A. C. A class of nonharmonic Fourier series. Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72. P. 341-366. [9 Добеши И. Десять лекций по вейвлегпам. М.-Ижевск: РХД, 2001. [10 Verblunsky S. Some theorems on F. A.-series. Rend. Circolo mat. Palermo, 3, (1954), 1, P. 89-105. [И Kaiser G. A Friendly Guide to Wavelets. Birkhauser, Boston, 1994. [12 Han D., Larson D.R. Frames, bases and group representations. Mem. Amer. Math. Soc, 147, 2000, 697, x+94. 51

2. Вестн. Моск. ун-та. Сер.

3. Матем. Механ. 1998. [19] Лукашенко Т.П. О свойствах подобных ортогональным. обобщенных систем разлоэюения, Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. №10(461). 33-48. [20] Семенова Т.Ю. О существовании и эквивалентности обобщенных ортоподобных систем. Вестн. Моск. ун-та. Сер.

4. Матем. Механ. 2001. №3. 10-15. [21] Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. Т.1. М.: ИЛ, 1962. [22] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Т.