Адиабатическая теория возмущений для систем с упругими отражениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Горелышев, Игорь Викторович

• Горелышев, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горелышев, Игорь Викторович

Введение

1 Теория возмущений для систем с упругими отражениями

§1. Адиабатическая динамика в модели Ферми-Улама.

§2. Трасса луча в плоском плавно нерегулярном волноводе.

§3. Динамика массивного поршня, окруженного газом легких частиц.

§4. О полном числе соударений в одной биллиардной задаче

4-1. Описание системы.

4-2. Динамика системы в адиабатическом приближении

4-3. Оценки точности.

2 О смене режимов движения в системах с упругими отражениями

§ 1. О скачке адиабатического инварианта при смене режима движения в системах с упругими отражениями.

§2. Описание динамики системы.

§3. Оценки точности.

§4. Переход через сепаратрису.

4-1. Улучшенный адиабатический инвариант.

4-2. Асимптотические разложения вблизи сепаратрисы

4 ■ 3. Асимптотическая формула для скачка улучшенного адиабатического инварианта.

4-4- Численный эксперимент

4-5. Доказательства некоторых утверждений.

3 О смене режима распространения лучей в плавно нерегулярном волноводе

§1. Гамильтонова динамика системы

§2. Переход через сепаратрису.

2.1. Улучшенный адиабатический инвариант.

2.2. Асимптотические разложения в окрестности сепаратрисы

2.3. Асимптотическая формула для значения скачка улучшенного адиабатического инварианта.

2-4- Формула для функции замены переменных в режиме с отражениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адиабатическая теория возмущений для систем с упругими отражениями»

В современной теоретической физике часто встречаются системы, отличающиеся от интегрируемых малым возмущением. В качестве возмущения может выступать зависимость системы от медленно изменяющегося со временем параметра или зависимость системы от медленно меняющихся фазовых переменных. Примерами подобных систем являются системы, описывающие движение заряженных частиц в медленно меняющихся магнитных полях [1, 2] (см. также недавние работы [3, 4]), распространение лучей в плавно нерегулярных волноводах [5], некоторые задачи небесной механики [6, 7], возмущенное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки [8]. Во всех этих задачах имеет место разделение движений на быстрые и медленные. Для исследования подобных систем и предназначена адиабатическая теория возмущений. В основе метода этой теории лежит наличие в системе приближенного интеграла движения, адиабатического инварианта (см., [9, 10]).

Несмотря на то, что понятие «адиабатический инвариант» было введено еще П. Эренфестом [11], в современном виде эта теория сформировалась со всем недавно. Методы адиабатической теории возмущений для гладких га-мильтоновых систем описаны в [12, 13]. Существует важный класс систем, в которых, не смотря на отсутствие свойства гладкости, динамика может быть описана гамильтоновой системой. Это системы с упругими отражениями. Методы адиабатической теории возмущений, разработанные для гладких систем, не могут быть непосредственно применены к этим системам. Целью написания настоящей диссертации было обобщение методов адиабатической теории возмущений на системы с упругими отражениями.

Следует отметить, что адиабатическая теория возмущений - не единственный метод, позволяющий описать динамику возмущенных систем. Однако методы этой теории позволяют описывать динамику систем наиболее полно, а вычисления при этом намного сокращаются. В системах с упругими отражениями также существует возможность использовать отображение Пуанкаре и дальше развивать теорию для этого отображения, или рассматривать систему с упругими отражениями как предел последовательности гладких систем по некоторому параметру, отвечающему за «сглаживание». При этом возникает вопрос о справедливости предельного перехода, что приводит к дополнительным громоздким выкладкам. Таким образом, адиабатическая теория возмущений для систем с упругими отражениями, разработанная в данной диссертации, позволяет не только единообразно рассматривать гладкие системы и системы с упругими отражениями, но и упрощает аналитическое исследование последних.

Опишем схему адиабатической теории возмущений для систем с медленной зависимостью от параметров. Метод адиабатической теории возмущений состоит в том, чтобы сделать замену переменных, приближенно интегрирующую задачу. В интегрируемых системах можно ввести такие переменные, что гамильтониан будет зависеть от интегралов движения и параметров, а сопряженные интегралам движения переменные будут циклическими. При исследовании возмущенной системы замена переменных ищется в виде близкой к тождественной канонической замены переменных. Возможно построение замены переменных в виде ряда по малому параметру г « 1, а также в виде композиции замен переменных. К сожалению, ряды замены переменных, как правило, не сходятся. Поэтому ряд замены переменных обычно приходится обрывать на некотором шаге. Таким образом, в результате замены переменных гамильтонова система преобразуется к почти интегрируемому виду. Так, если в исходных переменных (/, ф), где I - интегралы движения, гамильтониан интегрируемой системы имел вид Н0 = Н0(1,т), а гамильтониан возмущенной системы Я(/, ф, г, е) = Н0(1, т) + £#i(/, ф, т, е), то канонической заменой переменных (/, ф) (/, ф) с производящей функцией W = 1ф + eS(I, ф, т, е), где S = Si + ES2 + . + sr^Sr , гамильтониан задачи приводится к виду

Н = П0{1, т, е) + £ГПГ(1, ф, т, £), где г - заранее фиксированное натуральное число.

Число г можно сделать произвольно большим. При этом величины / будут сохраняться с высокой точностью. Здесь не обсуждается, когда можно осуществить подобную замену переменных, приведена лишь общая идея метода.

В системах с упругими отражениями гамильтониан задачи оказывается разрывной функцией фазовых переменных. Несмотря на это, можно заметить принципиальное родство систем с упругими отражениями и гладких систем. Действительно, для систем с упругими отражениями, равно как и для гладких систем, можно записать принцип наименьшего действия. Использование принципа наименьшего действия позволяет выписывать уравнения движения и условия на отражение в различных переменных. Это в свою очередь позволяет делать замены переменных и строить ряды теории возмущений.

Представляется затруднительным дать абстрактное определение системы с упругими отражениями и проводить исследование такой общей задачи. Поэтому был выбран другой подход: построить схему теории возмущений на примере нескольких модельных задач. Данные модельные задачи представляют собой важные модельные задачи в теоретической физике и имеют самостоятельный интерес.

В первой главе на примере трех модельных задач дается доказательство применимости формальной схемы адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями. Для каждой из задач доказывается справедливость метода теории возмущений и проводится исследование динамики системы на больших интервалах времени.

Первая задача - это хорошо известная модель Ферми - Улама. Данная модель была предложена С. Уламом [14] как попытка описать предложенный Э. Ферми [15] механизм ускорения заряженных частиц в космических лучах [16]. В этой модели рассматривается одномерное свободное движение частицы между движущимися отражающими стенками. Предполагалось, что в рамках этой модели можно получить неограниченное ускорение частицы, что в свою очередь объясняло бы ускорение частиц в космических лучах. Однако достаточно быстро было обнаружено, что при достаточно регулярном движении стенок неограниченное ускорение частицы не имеет места. Попытки получить неограниченное ускорение в этой модели продолжаются и в настоящее время, именно, подбираются специальные режимы быстрого (случайного) движения стенок. В исходной модели движение стенок предполагалось регулярным. Здесь движение стенок предполагается медленным по сравнению со скоростью частицы. Отношение характерной скорости движения стенок к скорости частицы дает малый параметр е « 1. Расстояние между стенками d считается гладкой функцией, плавно зависящей от времени, d = d(et), ограниченной вместе со своими производными на большом интервале времени t.

Эта модель является естественным объектом для построения теории возмущений. Именно, если зафиксировать положения стенок, задача становится интегрируемой. Если, теперь, стенки могут двигаться, то их медленное движение и есть возмущение интегрируемой системы. Как уже сказано выше, метод теории возмущений состоит в построении замены переменных, приближенно интегрирующей задачу. Поэтому одновременно с построением ряда теории возмущений для данной модельной задачи дается описание динамики частицы на больших интервалах времени. Полученная таким образом динамика полностью согласуется с известным результатом о том, что неограниченное ускорение частицы в подобной системе отсутствует. Новым результатом здесь является построение теории возмущений до любого наперед заданного порядка.

Вторая модельная задача - это задача о построении трассы луча в плоском плавно нерегулярном волноводе. Волноводы встречаются как в технике, так в и природе [5]. Например, оптоволоконные световоды, приповерхностные звуковые каналы в океане и атмосферные волноводы радиоизлучения. В модельной же задаче рассматривается плоский плавно нерегулярный волновод. Плавная нерегулярность означает, что расстояние между стенками и показатель преломления среды внутри волновода могут медленно меняться вдоль оси волновода. Изменение характеристик волновода может приводить, например, к изменению направления распространения лучей в волноводе. Адиабатическая теория возмущений позволяет с высокой точностью описывать трассу луча и, следовательно, возникающие физические эффекты. Если бы вдоль оси волновода характеристики последнего оставались неизменными, то задача была бы интегрируемой. Если теперь в качестве одной координаты выбрать расстояние вдоль оси волновода, то гамильтониан задачи будет плавно зависеть от этой переменной. В отличие от первой задачи, где имелась медленная зависимость от параметра, в этой модели имеется медленная зависимость от одной переменной. В этом состоит основное отличие этих двух задач. Во втором разделе первой главы построена теория возмущений для данной модельной задачи и с высокой точностью дано построение трассы луча.

Третья задача - это важная модельная задача статистической физики, задача об адиабатическом поршне [17]. В этой задаче рассматривается заполненный идеальным газом сосуд, разделенный на две части массивной перегородкой. Эта перегородка (поршень) может свободно (без трения) двигаться под действием легких частиц газа, упруго с ней соударяющихся. Задача состоит в описании движения поршня. Рассматриваемая система является замкнутой, в пей сохраняется энергия и вопрос о том, затухают ли колебания поршня, остается в настоящее время открытым. Адиабатическая теория возмущений позволяет с высокой точностью описывать динамику в данной системе. Это дает надежду на то, что именно методами теории возмущений данную задачу удастся решить.

Данной задаче посвящено много работ (см., например, [18] - [24]). Модель адиабатического поршня рассмотрена в настоящей диссертации, так как она является естественным объектом для построения теории возмущений.

Рассматриваемая модельная задача принадлежит к классу систем с быстрыми и медленными движениями: частицы газа движутся быстро, скорость поршня мала. Движение поршня возмущает описывающую движение частиц интегрируемую систему.

В отличие от двух предыдущих задач, динамика в рассматриваемой задаче будет описана только в первом приближении теории возмущений. Причиной тому служат резонансы, проявляющие себя из-за взаимодействие частиц между собой через соударения с поршнем. Именно, быстрые степени свободы (движение частиц) оказывают влияние друг на друга через медленную степень свободы (движение поршня). Поэтому в главном приближении резо-нансы отсутствуют, и можно сделать один шаг теории возмущений. Резонансы проявляют себя уже во втором порядке малости, что является препятствием на пути построения ряда теории возмущений. Вопрос о том, как преодолеть это препятствие, в настоящей диссертации не рассматривается.

Кроме описанных выше задач в первой главе рассматривается еще одна динамическая система. Рассматривается одномерное движение легкой частицы между стенкой и тяжелой частицей [25]. Соударения в системе считаются упругими. Принципиальное отличие этой задачи от предыдущих состоит в том, что тяжелая частица уходит на бесконечность. Однако и в такой системе возможно аналитическое описание динамики методами адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями [26].

Примечательна простая формула для полного числа соударений в рассматриваемой задаче при условии, что в начальный момент времени легкая частица покоится, а тяжелая налетает на нее со скоростью, отделенной от нуля положительной постоянной: оно оказывается с высокой точностью равным отношению числа 7Г и малого параметра.

Во второй и третьей главах диссертации адиабатическая теория возмущений используется для описания динамики в системах, в которых возможны различные режимы движения: на фазовом портрете невозмущенной системы существуют области движения без соударений (отражений) и области движения с соударениями. В каждом из режимов движения динамика системы с высокой точностью описывается адиабатической теорией возмущений. Задача состоит в изучении переходов от одного режима движения к другому. Явления, возникающие при таком переходе, аналогичны явлениям, возникающим в системах с переходами через сепаратрису [27, 28, 29]. В задачах с переходом через сепаратрису благодаря квазислучайному изменению адиабатического инварианта при каждом переходе возможна хаотизация движения [30]. Хаотичное движение в свою очередь приводит к важным физических эффектам, таким, например, как перемешивание [31, 32]. Поэтому аналитическое исследование подобного рода задач является важным. Детальное аналитическое исследование эффектов, связанных со сменой режимов движения, проводится впервые. Результаты, полученные во второй и третей главах диссертации, являются новыми результатами в нелинейной динамике.

Во второй главе диссертации рассмотрена обобщенная модель Ферми - Ула-ма. В этой модели рассматривается движение частицы между упруго отражающими стенками во внешнем потенциальном поле, действующем на частицу. Системы подобного рода [33, 34], как и оригинальная модель Ферми - Ула-ма, рассматривались в попытках получить неограниченное ускорение частицы. Как правило, эти исследования представляют собой подбор специального режима движения стенок, при котором частица в ходе движения может сильно ускоряться. В настоящей диссертации подобные исследования не проводятся, а рассматривается задача общего вида с регулярным движением стенок и регулярным изменением потенциала поля со временем [35].

На основании методов, разработанных в первой главе, можно утверждать, что в каждом режиме движения частицы (с соударениями или без) в системе существует приближенный интеграл движения (адиабатический инвариант). Оказывается, что при смене режима движения значение адиабатического инварианта может изменяться. Причиной служит тот факт, что формулы замены переменных, приближенно интегрирующей задачу в каждом из режимов движения, имеют особенность в области фазового пространства, где происходит смена режима движения. Чтобы описать динамику системы на больших временах, необходимо найти изменение адиабатического инварианта при смене режима движения. Во второй главе диссертации выведена асимптотическая формула, описывающая требуемое изменение адиабатического инварианта [35].

В третьей главе рассмотрена задача о смене режима распространения лучей в плавно нерегулярных волноводах с комбинированным механизмом удержания лучей (например, приповерхностный волновой канал в океане) [5, 36, 37]. Исследуется распространение лучей в плоском плавно нерегулярном волноводе, заполненном преломляющей средой. Лучи в волноводе могут отражаться от стенок волновода, а могут и распространяться без отражений, преломляясь средой внутри волновода. В этой задаче имеют место эффекты, аналогичные описанным выше для обобщенной модели Ферми - Улама. В третьей главе диссертации выведена асимптотическая формула для изменения адиабатического инварианта при сменен режима распространения луча. Кроме того получена оценка точности этой асимптотической формулы [38].

Физические следствия изменения адиабатического инварианта при смене режима распространения лучей более очевидны, чем в модели Ферми - Улама. Может, например, происходить размытие сигнала и изменение состава мод в сигнале на выходе из волновода по сравнению с входящим сигналом.

Эффекты, связанные со сменой режима распространения лучей, аналогичны эффектам, возникающим в задачах с переходом через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями [39]. Роль сепаратрисы выполняет режим распространения, когда луч касается стенки.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Горелышев, Игорь Викторович

Основные результаты, содержащиеся в настоящей диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных журналах [26, 35, 38, 48].

Заключение

Сформулируем основные результаты, содержащиеся в настоящей диссертации.

В первой главе диссертации было показано, что системы с упругими отражениями могут рассматриваться единообразно с гладкими системами. При этом единообразие заключается в схеме построения рядов теории возмущений и возможности работать с гамильтонианом системы, а не с соответствующим отображением Пуанкаре. Получение оценок точности теории возмущений основано на применении принципа наименьшего действия. В первой главе рассмотрены важные модельные задачи теоретической физики, в которых путем использования методов адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями были получены новые результаты. Новизна этих результатов состоит в том, что стало возможным рассматривать высшие порядки теории возмущений в системах с упругими отражениями. Появилась возможность исследовать системы с упругими отражениями с той же точностью, что и гладкие системы.

Во второй и третей главах настоящей диссертации было проведено исследование эффектов, связанных со сменой режима движения (распространения). Было показано, что улучшенный адиабатический инвариант испытывает скачок при переходе от режима движения без соударений (отражений) к режиму движения с соударениями (отражениями). Были получены асимптотические формулы для значений этого скачка в каждой задаче. Формулы содержат параметр £ . В обобщенной модели Ферми - Улама £ пропорционален кинетической энергии частицы при первом соударении со стенкой, деленной на малый параметр е. Параметр £ должен рассматриваться как случайная величина с равномерным распределением на интервале (0,1). Полученные формулы вместе с формулами адиабатической теории возмущений для каждого из режимов движения (распространения) дают описание динамики на больших интервалах времени. Новизна результатов здесь заключается в том, что был рассмотрен новый эффект по своей сути аналогичный эффектам, возникающим при переходе через сепаратрису в гладких системах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горелышев, Игорь Викторович, 2008 год

1. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атом-издат, 1979.

2. Алъфвен X., Фелътхаммер К.Г. Космическая электродинамика. М.: Мир, 1967.

3. Itin А.P., Vasiliev A.A., Neishtadt A.I. 2000 Captures into resonance and scattering on resonance in dynamics of a charged relativistic, particle in magnetic field and electrostatic wave. Physica D, 141, 281 296.

4. Vainshtein D.L., Zelenyi L.M., Neishtadt A.I., Rovinsky E.V. 2004 Resonances and particle stochastization in nonhomogeneous electromagnetic fields. J. Nonlinear Sci., 14, 173 205.

5. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

6. Wisdom J. 1982 The origin of the Kirkwood gaps: a mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability. Astron. J., 87, 577 593.

7. Wisdom J. 1983 Chaotic behaviour and the origin of the 3/1 Kirkwood gap. Icarus, 56, 51 74.

8. Benettin G., Fasso F., Guzzo M. 2006 Long term stability of proper rotations and local chaotic motions in the perturbed Euler rigid body. Regul. Chaotic Dyn., 11:1, 1 17.

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. Изд. 4-е М.: Наука, 1988.

10. М. Табор Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике: Пер. с англ.- М.: Эдиториал УРСС, 2001.

11. Navarro L., Perez Е. 2006 Paul Ehrenfest: The genesis of the adiabatic hypothesis 1911 1914. Arch. Hist. Exast Sci. 60, 209 - 267.

12. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал, УРСС, 2002.

13. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал, УРСС, 1999.

14. Ulam S. 1961 On some statistical properties of dynamical systems. In Proceedings of the 4th Berkley Symposium on Math., Stat, and Probability (University Press, Berkley, С A) 3, 315 320.

15. Fermi E. 1949 On the origin of the cosmic radiation. Phys. Rev. 75 , 1169- 1174.

16. Гинзбург В.Л., Сыроватский С.И. Происхождение к осмических лучей. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

17. Lieb Е. 1999 Some problems in statistical mechanics that I would like to see solved. Physica A., 263:1-4, 491 499.

18. Синай Я.Г. 1999 Динамика массивной частицы, окруженной конечным числом легких частиц. Теорет. и мат. физика., 121:1, 110 116.

19. Neishtadt A.I., Sinai Ya.G. 2004 Adiabatic piston as a dynamical system. J. Statist. Phys., 116, 815 820.

20. Чернов Н.И., Лебовиц Д.Л., Синай Я.Г. 2002 Динамика массивного поршня, погруженного в идеальный газ. УМН, 57:6, 3 86.

21. Chernov N. and Lebowitz J. L. 2002 Dynamics of a massive piston in an ideal gas: Oscillatory motion and approach to equilibrium. J. Statist. Phys., 109, 507- 527.

22. Gruber C. 1999 Thermodynamics of systems with internal adiabatic constraints: time evolution of the adiabatic piston. European J. Phys., 20, 259 266.

23. Gruber C. and Frachebourg L. 1999 On the adiabatic properties of a stochastic adiabatic wall: Evolution, stationary non-equilibrium, and equilibrium states. Phys. A, 272, 392 428.

24. Gruber C. and Piasecki J. 1999 Stationary motion of the adiabatic piston. Phys. A, 268, 412-423.

25. Galperin G.A. 2003 Playing pool with 7Г (the number 7Г from a billiard point of view). Regular and Chaotic Dynamics, 8:4, 375 394.

26. Gorelyshev I. V. 2006 On the full number of collisions in certain one-dimendional billiard problems. Regular and Chaotic Dynamics , 11 :1, 61 66.

27. Тимофеев А.В. 1978 К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения. ЖЭТФ, 75:4, 1303 1308.

28. Сагу J.R., Escande D.F., Tennyson J.L. 1986 Adiabatic invariant change due to separatrix crossing. Phys. Rev. A, 34:5, 4256 4275.

29. Нейштадт A.M. 1986 Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика плазмы, 12:8, 992 1001.

30. Neishtadt A.I. 1991 Probability phenomena due to separatrix crossing. Chaos 1, 42 48.

31. Neishtadt A.I., Vainshtein D.L. and Vasiliev A.A. 1998 Chaotic advection in a cubic Stokes flow. Physica D 111, 227 242.

32. Vainshtein D.L., Vasiliev A.A. and Neishtadt A.I. 1996 Changes in the adiabatic invariant and streamline chaos in confined incompressible Stokes flow. Chaos 6, 67 77.

33. Leonel E.D. and McClintock P.V.E. 2005 A hybrid Fermi-Ulam-bouncer model. J. Phys. A: Math. Gen. 38, 823 839.

34. Kruger Т., Pustyl'nikov L.D. and Troubetzkoy S.E. 1995 Acceleration of bouncing balls in external fields. Nonlinearity 8, 397 410.

35. Gorelyshev I. V., Neishtadt A.I. 2008 Jump in adiabatic invariant at a transition between modes of motion for systems with impacts. Nonlinearity, 21, 661 676.

36. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

37. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974.

38. Горелышев И.В., Нейштадт А.И. 2008 О смене режима распространения лучей в плавно нерегулярном волноводе. Мат. заметки, 84:3, 348 364.

39. Нейштадт A.M. 1987 Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы. ПММ, 51:5, 750 757.

40. Нейштадт А.И. 1982 Распространение лучей в плавно нерегулярных волноводах и теория возмущений гамильтоновых систем. Изв. вузов. Радиофизика, 25:2, 218 226.

41. Маркеев А.П. 1985 О движении твердого тела с идеальной неудержи-вающсй связью. ПММ, 49:5, 707 716.

42. Маркеев А.П. 1989 О качественном анализе систем с идеальной неудер-живающей связью. ПММ, 53:6, 867 872.

43. Zharnitsky V. 2000 Invariant tori in Hamiltonian systems with impacts. Comm. Math. Phys., 211:2, 289 302.

44. Нейштадт A.M. 1984 О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. ПММ, 48:2, 197 204.

45. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

46. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ. 1991.

47. Rapoport A., Rom-Kedar V., Turaev D. 2007 Approximating multidimensional Hamiltonian flows by billiards. Comm. Math. Phys., 272:3, 567 600.

48. Горелышев И.В., Нейштадт A.M. 2006 Об адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями. ПММ, 70:1, 4 17.

49. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика: Пер. с англ. М.: Мир. 1984.

50. Лифшиц И.М., Слуцкин А.А., Набутовский В.М. 1961 Об особенностях движения заряженных квазичастиц в переменном и неоднородном электромагнитном поле. ЖЭТФ, 41:3, 939 948.

51. Арнольд В. И. 1963 Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. Успехи мат. наук, 18:6, 91 192.

52. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Издание 4-е. Едиториал УРСС, 2006.

53. Neishtadt A.I., Vasiliev А.А. 2005 Phase change between separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems. Nonlinearity, 18, 1393 1406.

54. Cary John R., Skodje Rex T. 1989 Phase change between separatrix crossings. Phys. D, 36:3, 287 316.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Изд. 5-е М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.