Адаптивная пространственная обработка сигналов с формированием оптимального решения в базисе степенных векторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Сорокин Игорь Сергеевич

• Сорокин Игорь Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Сорокин Игорь Сергеевич

Введение

Глава 1. Пространственная обработка сигналов в антенных решетках с большим количеством элементов

1.1 Метод непосредственного обращения корреляционной матрицы

1.2 Методы регуляризации корреляционной матрицы

1.3 Метод разложения весового вектора по степенным векторам

1.4 Два способа аналитического решения для весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов

1.5 Заключение по первой главе

Глава 2. Два метода адаптивной обработки сигнала

2.1 Первый этап регуляризации

2.2 Второй этап регуляризации

2.3 Вычислительная сложность формирования регуляризованного весового вектора в базисе ортонормированных степенных векторов

2.4 Заключение по второй главе

Глава 3. Эффективность обработки сигнала в ААР с произвольной диаграммообразующей схемой и сканирующим лучом

3.1 Пространственная обработка сигнала в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом

3.2 Применение ортонормированного степенного базиса в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом

3.3 Заключение по третьей главе

Заключение

Список литературы

Список сокращений

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертационной работы

В настоящее время наблюдается бурное развитие средств радиосвязи, радиолокации и радионавигации различного назначения [1-6]. Также большое внимание уделяется развитию средств связи и локации, использующих распространение акустических волн под водой [7-12]. При этом основными задачами являются повышение скорости и качества передачи информации, точности измерения координат обнаруживаемых объектов, разрешающей способности по угловым координатам и помехозащищенности. Как правило, решение этих задач связывают с необходимостью применения антенных решеток (АР) и современных методов пространственно-временной обработки сигналов. Например, в системах мобильной связи 4-го и 5-го поколений применяются системы, получившие название MIMO (Multiple Input - Multiple Output). Здесь используется много антенн для передачи и много антенн для приема, что позволяет увеличить пропускную способность, не увеличивая частотную полосу сигнала и мощность передатчика [13,14]. Современные радиолокаторы также применяют в своем составе АР с большим числом элементов, что позволяет увеличить потенциал локатора за счет усиления антенны, не увеличивая мощность передатчика. При этом достигается более высокая точность определения координат и разрешающая способность [4,5,15]. Системы, имеющие в своем составе АР, способны также обеспечить эффективную борьбу с источниками помех [6,16]. Эта проблема весьма актуальна в настоящее время. Поэтому данная диссертация посвящена решению ряда задач, направленных на разработку эффективных алгоритмов пространственной обработки сигналов и повышение эффективности подавления источников помех с помощью АР.

Эффективность применения АР напрямую зависит от величины выходного отношения сигнал-шум (ОСШ). При воздействии мощных внешних источников шума величина выходного ОСШ значительно уменьшается. Это характерно, например для систем военного назначения, когда шумовая обстановка создается искусственно с помощью некоторого количества источников шума высокой

мощности. Наиболее простым способом борьбы с источниками шума может считаться увеличение мощности излучаемого полезного сигнала. Однако этот способ является энергетически и экономически затратным. Кроме того, существуют требования экологической и биологической защиты [17,18]. Также для обеспечения требования скрытности работы системы необходимо, наоборот, минимизировать излучаемую мощность сигнала.

Известно, что увеличение числа элементов АР пропорционально увеличивает ОСШ на ее выходе. Поэтому эффективность многоканальной антенной системы можно повысить за счет увеличения числа элементов. Это позволяет концентрировать излучаемую мощность в более узком угловом секторе диаграммы направленности (ДН). Однако ДН всегда имеет боковые лепестки, которые перекрывают значительную часть телесных углов сферы, и поэтому эффективность подавления источников шума зависит от среднего уровня боковых лепестков по отношения к уровню главного луча. На практике источники шума являются дискретными, т.е. имеют малые угловые размеры. В этом случае для эффективного подавления шума нет необходимости уменьшать средний уровень боковых лепестков ДН, а достаточно создать "нули" в ДН в направлениях на источники шума. Поскольку заранее координаты источников шума не известны, то для подавления этих источников применяют адаптивную пространственную обработку сигналов в АР. Такие АР называются адаптивными антенными решетками (ААР) [19,20,21].

Сигнал на выходе ААР представляет собой взвешенную сумму сигналов, принятых отдельными антенными элементами. Набор весовых коэффициентов принято называть весовым вектором. Весовой вектор определяет ДН ААР. Если он изменяется во времени с учетом помеховой обстановки, то такой процесс называется адаптивным диаграммообразованием ААР. Обработка сигнала сводится к формированию ДН с главным максимумом в направлении полезного сигнала и провалами в направлении источников шума. Физически это означает, что сигнал, пришедший с направления главного максимума, усиливается путем

когерентного суммирования, а шумовые сигналы ослабляются путем когерентного вычитания.

Теория ААР достаточно хорошо разработана [4,5,6,15,16,22]. Принципиальным является здесь вопрос об определении корреляционной матрицы (КМ) внешних источников шума и вектора полезного сигнала. Весовой вектор, обеспечивающий максимальное ОСШ на выходе ААР, называется оптимальным. Во многих теоретических работах показано, что оптимальный весовой вектор равен с точностью до постоянного комплексного множителя произведению вектора полезного сигнала на обратную КМ внешних источников шума. Это во многом формальное решение не раскрывает физических особенностей пространственной обработки сигналов. Например, сложность этого решения, связанная с обращением КМ, определяется только числом элементов АР N и не зависит от числа внешних источников шума J. Значительно больше информации о физических особенностях задачи можно получить, если оптимальный весовой вектор представить в виде разложения в некоторой выбранной системе базисных векторов. Так в работах [22,23,24] показано, что оптимальный весовой вектор может быть представлен в базисе векторов полезного сигнала и источников помехи и в случае относительно малого числа источников шума (J<N) решение задачи упрощается. Однако при таком подходе необходимо знать параметры источников шума (направления прихода волн, мощности источников). В работах [25-34] показано, что оптимальный весовой вектор может быть представлен в базисе степенных векторов, число которых К связано с числом внешних источников помехи J следующим образом: К^+1. Принципиальная особенность такого способа состоит в том, что из всех возможных базисных систем данный базис обладает наименьшей размерностью. Степенные векторы базиса имеют физический смысл корреляционных векторов, что позволяет использовать корреляционные вычисления для их формирования. Это значит, что для вычисления степенных векторов нет необходимости вычислять КМ в явном виде. Кроме того, квазиоптимальная обработка сигналов, которая возможна за счет уменьшения размерности базиса, позволяет упростить

вычисления весового вектора при относительно небольших потерях в эффективности. В работах [25-27,29-34] также показано, что ^-размерная система уравнений сводится к К-размерной системе, что выгодно с вычислительной точки зрения при К<Л+\. Также отмечается необходимость ортогонализации системы степенных векторов. Однако следует отметить, что явного решения К-размерной системы уравнений не получено.

При построении вычислительных алгоритмов большое значение имеет объем требуемых операций. Если применять процедуру обращения КМ, то для вычисления оптимального весового вектора требуется число умножений, пропорциональное третей степени числа элементов N ААР [4,35,36]. Поэтому проблема больших вычислительных затрат особенно актуальна для ААР с большим числом элементов. Ситуация усложняется, если ААР формирует набор лучей (многолучевые ААР). В данном случае весовой вектор необходимо вычислять одновременно и независимо для каждого луча ААР. В практически важном случае J<N, вычислительные затраты существенно уменьшаются, если применять степенные векторы в качестве базисных.

На практике вместо точной КМ используют ее максимально правдоподобную оценку, полученную по набору из Ь ^размерных временных выборок случайных комплексных амплитуд входного процесса в элементах ААР [6,37,38]. Ввиду того, что оцененный весовой вектор отличается от оптимального, наблюдаются потери в ОСШ по сравнению с оптимальной обработкой [4,38]. На величину эффективности влияет количество временных выборок, по которым проводилась оценка КМ. Так, в предельном случае при числе выборок, стремящемся к бесконечности, эффективность адаптивной обработки совпадает с эффективностью оптимальной обработки. Таким образом, для достижения высокой эффективности обработки, необходимо иметь достаточно большую длину выборок входного процесса. Однако такая возможность существует не всегда. Длина выборки не должна превышать время стационарности внешних источников шума. Если она соизмерима с числом элементов ААР (Ь^), то эффективность обработки будет невысокой. Это связано с тем, что КМ становится

плохо обусловленной. При длине выборок меньше, чем число элементов ААР оцененная КМ будет вырожденной, и, как следствие, оценить весовой вектор через обратную матрицу станет невозможным. В этих случаях задача становится некорректной и для ее решения необходимо применять методы регуляризации [33,37-40]. Методы регуляризации позволяют использовать операцию обращения выборочной КМ в случае короткой выборки. Тем не менее, вычислительные затраты остаются высокими, поскольку требуемое число умножений пропорционально третей степени числа элементов ААР. В [4,6,20,33,41,42] предложен рекуррентный метод оценивания КМ. Данный метод также относится к регуляризованным и имеет вычислительную сложность пропорциональную квадрату числа элементов ААР и первой степени числа выборок входного процесса. Такая вычислительная сложность остается высокой в ААР с большим числом элементов, в связи с чем, реализация ААР оказывается технически и экономически сложной.

Регуляризация необходима и в том случае, когда весовой вектор оценивается в базисе степенных векторов. Дело в том, что в силу случайного характера шумовых выборок степенные векторы становятся случайными и число линейно независимых векторов увеличивается до N. Вопрос регуляризации решения в базисе степенных векторов в работах [25-34,40,42] не исследовался.

Во многих задачах радиолокации для увеличения эффективности обработки сигналов в АР применяют различные диаграммообразующие схемы (ДОС) [43-47]. Эти ДОС фиксированы, т.е. изменение внешней шумовой обстановки не влияет на процесс диаграммообразования. Такие схемы могут быть использованы как отдельно, так и совместно с адаптивными схемами формирования ДН.

Настоящая диссертация посвящена исследованию и созданию новых методов адаптивной пространственной обработки сигнала ААР с большим числом элементов и произвольной конфигурацией, обладающих высокой эффективностью обработки сигнала и малыми вычислительными затратами.

Особое внимание уделяется важному для практики случаю короткой выборки шума.

Актуальность выбранной темы диссертации подтверждается не только большим объемом публикаций в научно-технических изданиях, посвященных этому поросу, но также активной работой в данном направлении, проводимой в ОАО "Концерн ВКО "Алмаз-Антей", в частности, ведущей компанией производителем радиолокационного оборудования АО "ФНПЦ" Нижегородский институт радиотехники".

Основные направления исследований

1. Данная работа направлена на исследование применимости ортонормированного степенного базиса для синтеза оптимального весового вектора, обеспечивающего максимальное выходное отношение сигнал-шум (ОСШ) в ААР, и получение точного решения для этого вектора. При этом не должно требоваться априорной информации о количестве, положениях и мощностях внешних источников шума, а конфигурация ААР и волновые фронты сигналов должны быть произвольными.

2. Работа также направлена на создание физически обоснованных адаптивных методов пространственной обработки сигнала на основе полученного точного решение для оптимального весового вектора. Особое внимание должно уделяется важному для практики случаю короткой выборки входного процесса, когда Ь^ или Ь<Ж

3. Работа направлена на повышение эффективности методов адаптивного подавления внешних источников шума и снижения их вычислительной сложности, что исключительно важно для их реализации в важном для практике случае большого числа антенных элементов N.

4. Работа направлена на исследование примененимости адаптивных методов синтеза весового вектора в базисе ортонормированных степенных векторов к ААР с произвольной фиксированной ДОС и сканирующим вектором.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивная пространственная обработка сигналов с формированием оптимального решения в базисе степенных векторов»

Цель работы

Целью работы является создание и исследование адаптивных методов пространственной обработки сигнала, обеспечивающих для антенных решеток большого размера максимальное выходное ОСШ при короткой выборке и произвольной помеховой обстановке и обладающих малыми вычислительными затратами.

Задачи диссертационной работы

1. Ставится задача получить точное решение для оптимального весового вектора, обеспечивающего максимальное ОСШ на выходе ААР, и исследовать его свойства. При этом предполагается отсутствие априорной информации о количестве, положениях и мощностях внешних источников шума, а конфигурация ААР и волновые фронты сигналов считаются произвольными.

2. Ставится задача анализа эффективности методов адаптивной пространственной обработки сигнала в ААР с большим числом элементов в зависимости от числа ортонормированных степенных векторов базиса и длины выборки входного процесса.

3. Ставится задача исследования эффективности разработанных адаптивных методов обработки сигналов для использования в ААР с предварительной обработкой сигнала в фиксированной ДОС и сканирующим лучом.

4. Ставится задача сравнительного анализа вычислительных затрат, необходимых для реализации разработанных и альтернативных адаптивных методов подавления внешних источников шума в ААР.

Методы исследований

При решении поставленных задач использовались методы статистической радиофизики, высшей алгебры, векторного анализа и теории матриц, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна

1. Получены строгие аналитические решения для оптимального весового вектора ААР в базисе ортонормированных степенных векторов. Данные решения справедливы для ААР произвольной конфигурации и любым числом элементов. При этом не требуется иметь информацию о числе, ориентации и мощностях внешних источников шума.

2. Предложены физически обоснованные методы адаптивной пространственной обработки сигнала ААР с большим числом элементов, используя ортонормированный степенной базис. Данные методы не требуют априорной информации о внешней шумовой обстановке и обладают высокой эффективностью даже при короткой выборке входного процесса.

3. Предложены методы адаптивного подавления помех для многолучевых и сканирующих ААР. Эффективность подавления помех сохраняется высокой в случае ортогональных лучей и сканирования одним лучом. В случае неортогональных лучей наблюдается снижение эффективности при короткой выборке помехи.

4. Исследована вычислительная сложность адаптивных методов в зависимости от числа внешних источников шума, числа элементов ААР и длины выборки входного процесса. Вычислительная сложность для предложенных методов существенно ниже, чем для известных методов, основанных на обращении (прямом или рекуррентном) корреляционной матрицы шума.

Краткое содержание диссертации

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, приложения со списком условных обозначений.

Во введении обоснована тема диссертационной работы, освещаются современные проблемы повышения эффективности работы многоканальных антенных систем, обосновывается актуальность темы диссертации, кратко излагается содержание работы, сформулированы результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации описаны основные принципы построения многоэлементной ААР. Рассмотрены основные методы вычисления весового вектора, максимизирующего ОСШ на выходе ААР.

В разделе 1.1 рассмотрен метод вычисления весового вектора на основе обращения КМ. Проведено исследование эффективности обработки данного метода от длины выборок входного процесса.

В разделе 1.2 рассмотрены методы регуляризации весового вектора, вычисляемого на основе обращения оцененной КМ, при короткой выборке входного процесса. Приведены вычислительные затраты для определения весового вектора описанных методов.

В разделе 1.3 рассмотрен метод разложения весового вектора по степенным векторам. Определены основные свойства базиса степенных векторов.

В разделе 1.4 предложены два метода представления весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов. На основе каждого метода получено строгое аналитическое решение для вычисления оптимального весового вектора.

Во второй главе на основе аналитических решений, полученных в первой главе, строятся два метода адаптивной обработки сигналов. Проводится двухэтапная регуляризация весового вектора, позволяющая ограничить размерность базиса до корректного значения - число вспомогательных векторов базиса должно совпадать с числом внешних источников шума.

В разделе 2.1 предложен первый этап регуляризации числа базисных ортонормированных степенных векторов для каждого из двух методов адаптивной обработки сигнала. На первом этапе принимается решение о наличии или отсутствии внешних источников шума.

В разделе 2.2 предложен второй этап регуляризации ортонормированного степенного базиса для каждого из двух методов адаптивной обработки сигнала. Данный процесс осуществляется, если на первом этапе регуляризации было принято решение о наличии внешних источников шума. Регуляризация

заканчивается, когда размерность ортонормированного степенного базиса принимает корректное значение.

В разделе 2.3 оценивается вычислительная сложность формирования регуляризованного весового вектора в ортонормированном степенном базисе для каждого из методов. Проводится сравнительный анализ вычислительной сложности данных методов с альтернативными способами формирования весового вектора ААР.

В третьей главе рассматривается вопрос применимости методов представления весового вектора в ортонормированном степенном базисе для ААР с произвольной фиксированной ДОС и сканирующим лучом.

В разделе 3.1 рассмотрены ААР с фиксированными ДОС и сканирующим лучом. Дано математическое описание предварительной обработки сигнала, вносимой базисом ДОС. Показано, что предлагаемый алгоритм вычисления весового вектора позволяет обеспечивать работу ААР в различных режимах. На примере многолучевой и суммарно-разностной ДОС проводится описание процесса диаграммобразования и анализ эффективности оптимальной обработки сигнала.

В разделе 3.2 к ААР с фиксированными ДОС и сканирующим лучом применяются разработанные адаптивные методы пространственной обработки сигнала. На примере многолучевой и суммарно-разностной ДОС проводится сравнительный анализ эффективности адаптивной обработки от числа внешних источников шума и длины выборки входного процесса. Так же проводится анализ эффективности обработки сигнала ААР со сканирующим лучом.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационной работы и, исходя из них, сделаны теоретические и практические выводы.

В приложении приведен список используемых сокращений.

Практическая значимость результатов

Практическая значимость результатов работы состоит в создании эффективных методов подавления внешних источников шума в ААР произвольной конфигурации и с любым числом элементов при короткой длине выборки входного процесса.

Обоснованность и достоверность

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных в настоящей диссертации, подтверждается их сравнением с результатами компьютерного моделирования, соответствием с опубликованными ранее результатами в данной области, а также отсутствием противоречий результатов диссертации с известными теоретическими положениями статистической радиофизики.

Апробация результатов

Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

- 16-я научная конференция по радиофизике, Н. Новгород, 2012 г;

- 17-я Нижегородская сессия молодых ученых, Н. Новгород, 2012 г;

- 17-я научная конференция по радиофизике, Н. Новгород, 2013 г;

- 18-я научная конференция по радиофизике, Н. Новгород, 2014 г;

- Международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии (ИСТ-2013)», Н. Новгород, 2014 г;

- 21-я Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» (RLNC*2015), Воронеж, 2015 г;

Публикации

Основные материалы по теме диссертации опубликованы в 9 работах. Среди них 4 статьи в рецензируемых изданиях из списка ВАК («Известия вузов. Радиофизика» [62,65], «Вестник ННГУ. Серия Радиофизика» [63], «Известия

высших учебных заведений. Радиоэлектроника» [64]) и 5 работ, представляющие собой опубликованные материалы докладов [58-61,71] на научно-технических конференциях международного, всероссийского и регионального уровней.

Положения, выносимые на защиту

1. Строгое аналитическое решение для оптимального весового вектора ААР может быть представлено в ортонормированном степенном базисе. Решение справедливо при произвольной внешней помеховой обстановки, любом числе элементов ААР и произвольной конфигурации ААР. Сформированный таким образом весовой вектор обеспечивает высокое выходное ОСШ в ААР. Размерность базиса определяется числом внешних источников шума. Квазиоптимальная обработка, которая возможна за счет уменьшения размерности базиса вдвое, может быть использована для уменьшения вычислительной сложности при уменьшении эффективности обработки сигнала не более чем на 3дБ. Такое соотношение справедливо, когда число элементов N ААР гораздо больше числа внешних источников шума 3, N>>3.

2. Адаптивные методы пространственной обработки сигнала в ААР произвольной конфигурации и с любым числом элементов позволяют достичь высокого выходного ОСШ при малых вычислительных затратах и короткой выборке входного процесса, когда оцененная КМ сигналов вырождена. Методы не требуют априорной информации о внешней шумовой обстановке.

3. Разработанные адаптивные методы пространственной обработки сигнала применимы к многолучевым и сканирующим ААР. Эффективность подавления помех сохраняется высокой в случае ортогональных лучей и сканирования одним лучом. В случае неортогональных лучей наблюдается снижение эффективности при короткой выборке помехи.

4. Вычислительная сложность разработанных методов адаптивной пространственной обработки сигнала меньше чем у существующих альтернативных методов обработки, т.к. она прямо пропорционально первой

степени числу элементов ААР, числу выборок входного процесса и числу внешних источников шума.

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В АНТЕННЫХ РЕШЕТКАХ С БОЛЬШИМ КОЛИЧЕСТВОМ ЭЛЕМЕНТОВ

В данной главе дается анализ известных адаптивных методов обработки сигналов в антенных решетках, и отмечаются две проблемы, возникающие при их применении, для решеток с большим числом элементов. Первая проблема связана с вырождением корреляционной матрицы помехи, когда число выборок меньше числа элементов антенной решетки. Вторая проблема связана с резким ростом числа операций в вычислительных алгоритмах при увеличении числа антенных элементов. Для решения этих проблем предлагается метод обработки сигнала, использующий базис ортонормированных степенных векторов.

1.1 Метод непосредственного обращения корреляционной матрицы

Рассматривается адаптивная антенная решетка (ААР) произвольной конфигурации и с произвольным числом элементов N. Использование ААР позволяет увеличить отношение мощности полезного сигнала к средней мощности шума (ОСШ). Шум представляет собой смесь собственных шумов приемных устройств и шумов внешних источников. Источники будем считать точечными, сигналы и шумы - узкополосными, а волновые фронты -произвольными. Структурная схема ААР с N элементами приведена на рисунке 1.1.

\

\

\

\

\

\

\ Волновой фронт источника ^ _ полезного сигнала

У

Рисунок 1.1. Структурная схема ^элементной ААР

ААР состоит из набора антенных элементов N, объединенных в единую систему. Каждый элемент включает в себя малошумящий усилитель (МШУ) и аналого-цифровой преобразователь (АЦП). В общем случае диаграммы направленности элементов ААР могут быть отличны друг от друга. Сигнал на выходе антенного элемента есть случайная комплексная амплитуда х]-, представляющая собой сумму шумовых сигналов и собственного шума МШУ.

Этот сигнал умножается на некоторый комплексный коэффициент и>*■, где (*) -

операция комплексного сопряжения. Далее сигналы с выходов умножителей

суммируются, формируя комплексную амплитуду выходного сигнала у.

*

Комплексные коэффициенты и* должны быть подобраны таким образом, чтобы

обеспечить минимальное присутствие внешнего шума в выходном сигнале у.

Набор комплексных коэффициентов Wj обозначим весовым вектором W=[w0, w1,...,wN_1]. Оптимальный весовой вектор W, обеспечивающий максимальное ОСШ на выходе ААР, удовлетворяет уравнению[4,5,6,15,16]:

MW = %8, (1.1.1)

где М - корреляционная матрица (КМ) собственного шума и внешней шумовой помехи в элементах ААР, 8 - известный вектор комплексных амплитуд полезного сигнала в элементах ААР, % - произвольный комплексный множитель.

Вектор полезного сигнала 8 определяет амплитуду и фазу полезного сигнала в каждом канале ААР перед умножителем (см рисунок 1.1). Он фиксирован и не изменен в процессе подавления внешних источников шума. Значения элементов вектора полезного сигнала 8 зависят от направления прихода полезного сигнала, его волнового фронта и от конфигурации ААР.

Формальное решение уравнения (1.1.1) сводится к обращению КМ и имеет

вид:

W = %М"18. (1.1.2)

Выходное ОСШ в ААР не зависит от множителя % поэтому, не нарушая общности, примем его за единицу.

Максимальная величина ОСШ на выходе ААР равна[20,21]:

2

а

Лшах =

W н 8

W н MW

а8яМ"18, (1.1.3)

где а - средняя мощность полезного сигнала. Выигрыш в ОСШ за счет пространственной обработки ААР не зависит от величины мощности а, поэтому примем ее здесь и далее равной единице.

Для дискретных некоррелированных источников шума КМ определяется следующим выражением [27,28,34,48,49]:

М = ^2

I у у Ф у Ф"

. У=1

(1.1.4)

где стд - средняя мощность собственного шума в каждом антенном элементе, Фу -

вектор у-ого внешнего источника шума, элементы которого определяют амплитуду и фазу этого сигнала на выходе антенных элементов ААР, I -единичная матрица размерности NxN, у. - среднее отношение мощности шума

у-го источника к средней мощности шума в элементе, 3 - число внешних источников шума. Не нарушая общности, примем здесь и далее мощность

собственного шума равной единице, т.е. а 2 = 1.

Размерность квадратной матрицы М определяется числом элементов ААР. Так как КМ является эрмитовой, положительно определенной матрицей, то она имеет N положительных собственных чисел, которые можно расположить в порядке их убывания (А > А2 > ... >Ау). Собственные числа Ау и собственные вектора иу матрицы М находятся из решения характеристического уравнения степени N и системы N линейных уравнений [32,50,51]:

(Л) = (ЩМ - М) = 0, (1.1.5)

ми7 =Л3 и у (У = 1,2,.. N). (1.1.6)

В N мерном векторном пространстве сигналов собственные векторы иу-образуют ортонормированный базис. Используя этот базис, матрицу М можно представить в виде следующего разложения [28,32,50,51]:

N

М = ТЛУ и у иН, (1.1.7)

У=1

Некоторые собственные числа КМ могут быть кратными. Поэтому количество неравных между собой собственных чисел может оказаться меньше числа N элементов АР. Тогда размерность собственного подпространства, соответствующего некоторому собственному числу, будет определяться кратностью этого собственного числа. В частности, когда имеется один внешний источник шума с параметрами v и Ф, все, за исключением одного собственного числа, равны 1, т.е. Я2 = Яз =... = Я^ = 1. Собственное число, соответствующее внешнему шуму, вычисляется по формуле [25,32,52]:

Я1 = 1 + уФН Ф. (1.1.8)

Таким образом, (N-^-мерное и одномерное пространства соответствуют собственному и внешнему шуму, соответственно.

На практике точной априорной информации о помеховой обстановке нет. Поэтому используют максимально правдоподобную оценку КМ по L временным выборкам случайных комплексных амплитуд X входного процесса в элементах АР в виде [33,34,40,53,54,55]:

- 1 L H

M(L) = - Z X(l)XH (l), (1.1.9)

Ll=1

где X(/) (/=1,2,...,L) - l-ый выборочный вектор комплексных амплитуд входного процесса.

Вычисление весового вектора сводится к его оценке, вместо (1.1.2), по формуле:

W = M-1S. (1.1.10)

Обработка сигнала ААР с весовым вектором (1.1.10) называется адаптивной обработкой. В общем случае весовые векторы (1.1.2) и (1.1.10) отличны друг от друга. В связи с этим адаптивная обработка будет иметь потери в ОСШ перед оптимальной обработкой. Выходное ОСШ в ААР при адаптивной обработке будет определяться выражением [29,33]:

V

2

W н 8

W н мW

(1.1.11)

Эффективность обработки (р) сигнала ААР определим, как отношение ОСШ (п) на ее выходе к максимально возможному значению ОСШ:

Р = -^. (1.1.12)

Лшах

Значение р случайное и не превышает единицу. Интегральная функция вероятности величины р имеет вид ^-распределения [56]:

Ь\

Р

Е(р) =-\-\ (1 - и)И -2 иЬ+1-Ийи. (1.1.13)

(И - 2)\(Ь +1 - N)\у

На рисунке 1.2 изображена функция Е(р) для 50-ти элементной линейной эквидистантой ААР. Число выборок равно £=50 (кривая 1) и £=75 (кривая 2).

Рисунок 1.2. Интегральная функция распределения эффективности обработки р для 50-ти элементной линейной эквидистантной ААР при числе выборок £=50 (кривая 1) и £=75 (кривая 2).

Распределение (1.1.13) обладает полной информацией о потенциальных возможностях адаптивной обработки с весовым вектором (1.1.10). Среднее значение <р> и дисперсия Ор случайной величины р определяются следующими формулами [56]:

Ь + 2 - N п л ллл

<Р>= -¡-т, (1114)

Вр = (1 + 2-N^ -1). (1.1.15)

И (Ь + 1)2(Ь + 2)

При стремлении длины выборки Ь к бесконечности среднее значение эффективности асимптотически стремится к единице, а дисперсия стремится к нулю.

Решение (1.1.10) нельзя рекомендовать для практического использования по следующим причинам.

Во-первых, выборочная матрица (1.1.9) при (короткая выборка)

становится вырожденной. Такая матрица М не имеет обратной матрицы. Она имеет Ь положительных случайных собственных чисел, неравных нулю, и N-3 нулевых собственных чисел. Поэтому ^мерное векторное пространство сигналов можно разбить на два подпространства: Ь-мерное подпространство выборочных векторов и ортогональное ему подпространство размерности N-3. Это подпространство является ядром КМ М. Оно не содержит какой-либо информации о входном шуме. Оценку весового вектора представим в виде суммы двух векторов [33]:

= ^^ + ^^, (1.1.16)

где - вектор принадлежащий подпространству выборочных векторов, -вектор принадлежащий ядру КМ М .

Ядро КМ М обладает следующим свойством: при умножении матрицы М на любой ненулевой вектор из ядра матрицы М получается нулевой вектор, т.е. MW_£ = 0 [33,50,51]. Отсюда следует, что вектор может быть выбран

произвольным в пространстве ядра. Это означает, что оценивание весового вектора по формуле (1.1.10) в случае короткой выборки невозможно.

Во-вторых, выборочная матрица (1.1.9) при Ь>Ы является плохообусловленной, поскольку она имеет собственные числа, близкие к нулю. Матрица М имеет N положительных случайных собственных чисел. Такие собственные числа могут сильно отличаться от собственных чисел точной КМ (1.1.4), т.к. в общем случае они принадлежат интервалу [0;да). Продемонстрируем это на примере. Возьмем 50-ти элементную линейную эквидистантную АР. Число выборок входного процесса равно числу элементов АР, т.е. L=N. Среднюю мощность собственного шума и одной внешней помехи примем равной единице,

т.е. а2 = V = 1. В качестве нормировки скалярное произведение вектора помехи

возьмем ФHФ=N. Проведено 10 реализаций. Собственные числа для каждой реализации отложены на прямой X рисунка 1.3. При точной КМ собственные числа, соответствующие собственному и внешнему шуму, должны быть равны 1 и 51 соответственно. Вертикальными пунктирными линиями обозначены точные значения собственных чисел.

-2 -1 0 1 2 102 101 10° 101 102

я

Рисунок 1.3. Разброс собственных чисел оцененной КМ

Ввиду случайного характера собственных чисел оцененной КМ, они разбросаны на прямой X. Вместо 49-ти единичных значений собственных чисел, соответствующих собственному шуму, каждое из них принимает значение от 0 до 2. Этот эффект связан с флуктуацией элементов оцененной КМ (1.1.9). Даже небольшие изменения в элементах оцененной КМ могут вызвать значительные отклонения от оптимального весового вектора ААР (1.1.2), и, как следствие, наблюдается низкая эффективность обработки сигнала ААР. С увеличением длины выборки входного процесса L влияние этого эффекта уменьшается. На рисунке 1.4 продемонстрирована зависимость средней эффективности обработки от числа входных выборок L, отнесенных к числу элементов ААР. Рассмотрена линейная эквидистантная АР с #=50. Весовой вектор вычисляется по формуле (1.1.10).

Рисунок 1.4. Зависимость эффективности обработки от числа выборок для метода прямого обращения КМ для линейной эквидистантной АР с числом элементов N=50

Из рисунка 1.4 видно, что при малых выборках (L-N) наблюдается низкая эффективность. С помощью формулы (1.1.14) длина выборки может быть определена исходя из допустимых средних потерь в величине ОСШ. Если допустимыми считаются потери в -3 дБ (<о>=0.5), то из формулы (1.1.14) находим, что необходимо задать L=2N-3 выборки [4,56]. В АР с большим числом элементов взять такую длинную выборку не всегда представляется возможным, т.к. длина выборки не должна превышать время стационарности внешних источников шума. Кроме того, при числе выборок входного процесса L меньше чем число элементов ААР N, метод непосредственного обращения оцененной КМ не может быть использован для вычисления весового вектора (1.1.10).

В-третьих, наблюдается резкое увеличение вычислительной сложности при увеличении числа антенных элементов N. Оценим количество операций комплексного умножения для данного метода оценивания весового вектора. Так,

-5

для обращения оцененной КМ (1.1.9) требуется примерно N операций комплексного умножения. Кроме того, оценка элементов этой матрицы с учетом ее эрмитовости предполагает выполнение 0.5(N+1)NL комплексных умножений.

Л

Умножение обратной матрицы на вектор полезного сигнала требует N комплексных умножений. Таким образом, общее количество операций составляет

3 2

N +0.5NL(N+1 )+N2 комплексных умножений. Некоторое уменьшение вычислительной сложности при обращении КМ можно добиться, если использовать алгоритм Холецкого. Вычислительная сложность данного

1 3

алгоритма составляет порядка /3N комплексных умножений. [57]. Таким образом, метод прямого обращения КМ является вычислительно затратным.

1.2 Методы регуляризации корреляционной матрицы

Как было отмечено выше, для обращения плохообусловленных КМ используются методы регуляризации. Метод, предложенный в работах [33,37,40], основывается на добавлении единичной матрицы с некоторым коэффициентом к оцененной КМ.

26 1 Ь

Мг =ГI +1 -Е Х(1)хн (!), (1.2.1)

ь I=1

где у - параметр регуляризации.

Собственные числа матрицы Мг смещены по отношению к собственным числам оцененной КМ М на величину у, а собственные вектора совпадают. Оценку весового вектора можно записать следующим образом:

= М -18. (1.2.2)

В предельном случае, когда число выборок входного процесса £ стремится к бесконечности, оценка весового вектора (1.2.2) будет смещена относительно оптимального весового вектора (1.1.2). Регуляризация (1.2.1) оцененной КМ позволяет проводить операцию прямого обращения матрицы при вычислении весового вектора в случае короткой выборки входного процесса Кроме

того, эффективность обработки сигнала ААР с весовым вектором (1.2.2) будет выше, чем при весовом векторе (1.1.10). Это связано с тем, что ни одно из значений собственных чисел регуляризованной КМ не будет близко к нулю.

Вычислительная сложность оценки весового вектора данным методом соответствует вычислительной сложности метода непосредственного обращения оцененной КМ.

Другой метод в качестве регуляризованного решения системы (1.1.10) выбирает весовой вектор ^, который минимизирует функционал [31,33,39]:

2

2

Р^) = MW-8 -8 , (1.2.3)

где а - параметр регуляризации. Функционал Г(W) зависит от весового вектора

W и состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое называется функционалом невязки, а второе слагаемое - стабилизирующим функционалом. Относительный вклад этих двух функционалов регулируется параметром а. Весовой вектор, минимизирующий функционал, (1.2.3) наиболее близок оптимальному весовому

вектору. Минимум функционала Г(W) по весовому вектору W найдем из

условия СРсШн = 0. Тогда регуляризованная оценка весового вектора запишется следующим образом:

= (м 2 + а1 )- (ММ + а1 ^, (1.2.4)

где I - единичная матрица.

Проведем оценку числа комплексных умножений при вычислении весового вектора (1.2.4):

• оценка элементов матрицы М с учетом ее эрмитовости предполагает выполнение 0.5(Н+1)ЫЬ комплексных умножений;

• умножение матрицы (М + а1) на вектор 8 - N комплексных умножений;

• возведение оцененной КМ в квадрат с учетом эрмитовости - 0.5Ы комплексных умножений;

• обращение матрицы (м2 + а1) - N комплексных умножений;

• умножение матрицы (м2 +а1) 1 на вектор (М + а1 )§ -^комплексных умножений.

Общее число комплексных умножений для вычисления весового вектора

(1.2.4) составляет 3 N3 + N2

2

2 + -2

+

N1 2

V 2 /

Рассмотрим метод рекуррентного оценивания обратной КМ [20,33,41,42]. Для этого оценку КМ по (/+1)-й выборке входного процесса можно представить в следующем рекуррентном виде [41,42]:

/ 1

М(/ +1) = — М(/) + — Х(/ + 1)Хн (/ +1), / = 0,Ь -1.. (1.2.5) / +1 / +1

Данное выражение - рекуррентная оценка КМ М(/ +1) по (/+1)-й выборке входного процесса на основе полученной оценки КМ М(/) по / выборкам входного процесса и принятой (/+1)-й выборке Х(/+1). Матрица, стоящие в правой части выражения (1.2.5), называются диадной. Независимо от размерности, ее ранг всегда равен единице.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сорокин Игорь Сергеевич, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Balanis, C.A. Modern antenna handbook / C.A. Balanis. - John Wiley & Sonc, Inc, 2008. - 1704 p.

2. Hansen, R.C. Phased Array Antennas / R.C. Hansen. - John Wiley & Sonc, Inc, 2009. - 547 p.

3. Hudson, J.E. Adaptive array principles / J.E. Hudson. - Short Run Press, 1981. -253 p.

4. Монзинго, Р.А. Адаптивные антенные решётки. Введение в теорию / Р.А. Монзинго, Т.У. Миллер - М.: Радио и связь, 1986. - 448 с.

5. Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов / Б. Уидроу, С.М. Стирнз. -М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.

6. Ширман, Я.Д. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. - М.: Радио и связь, 1981. - 416 с.

7. Vernon, M.A. Underwater acoustic handbook, second edition / M.A. Vernon. -Pennsylvania State University Press, 1964. - 356 p.

8. Сташкевич, А.П. Акустика моря / А.П. Сташкевич. - Л.: Судостроение, 1966. - 354 с.

9. Простаков, А.Л. Гидроакустика и корабль / А.Л. Простаков. -Л.: Судостроение, 1967. - 200 с.

10.Malcolm, J.C. Handbook of acoustic / J.C. Malcolm. - John Wiley & Sonc, Inc, 1988. - 1488 p.

11.Multibeam Sonar Theory of Operation / L-3 Communications SeaBeam Instruments, 2000. - 107.

12.Alton, F.E. Master handbook of acoustic, sixth edition / F.E. Alton, K. Pohlmann. - McGraw hill professional, 2014. - 640 p.

13.Catreux, S. Adaptation modulation and MIMO Coding for Broadband Wireless Data Networks / S. Catreux, V. Erced, D. Gesbert , R.W. Heath // IEEE Communications Magazine. - June 2002. - P. 108-115.

14.Gershman, A.B. Space-Time Processing for MIMO Communications / A.B Gershman, N.D Sidoropoulos. // Wiley&Sons. - 2005. - 370 p.

15.Сгратонович, Р.Л. Принципы адаптивного приема / Р.Л. Стратонович. -М: Сов. радио, 1973. — 144 с.

16.Журавлёв, А.К. Обработка сигналов в адаптивных антенных решётках / А.К. Журавлёв, А.П. Лукошкин, С.С Поддубный. - Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1983. - 240 с.

17.СанПин 2.2.4/2.1.1.8.055-96. Электромагнитные излучения радиочастотного диапазона [Электронный ресурс]. - Госкомсанэпиднадзор России, 1996. -Режим доступа: http://www.docload.ru/Basesdoc/5/5138/index.htm.

18.СанПин 2.2.4.1191-03. Электромагнитные поля в производственных условиях [Электронный ресурс]. - Минздрав России, 2003. - Режим доступа: http : //docload.ru/Basesdoc/39/39144/index.htm.

19.Li, J. Robust adaptive beamforming / J. Li, P. Stoica. - John Wiley & Sons, Inc, 2005. - 422 p.

20.Godara, L.C. Smart antennas. / L.C. Godara. - CRC Press LLC, 2004. - 457 p.

21.El-Zooghby, A. Smart Antenna Engineering / A. El-Zooghby. - Artech House, 2005. - 330 p.

22.Пистолькорс, А.А. Введение в теорию адаптивных антенн. /

A.А Пистолькорс, О.С. Литвинов. - М.: Наука, 1991. - 200 с.

23.Пистолькорс, А.А. О расчете статического режима адаптивной антенной решетки / А.А Пистолькорс // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 244. - № 3. -С. 590-594.

24.Литвинов, О. С. Расчет стационарного режима адаптивных антенн на основе обращения ковариационной матрицы произвольного числа помех / О. С. Литвинов. // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 245. - № 6. - С. 1364-1369.

25.Ермолаев, В.Т. О расчете статического режима адаптивной антенной решетки на основе аналитического обращения корреляционной матрицы /

B.Т. Ермолаев, А.Г. Флаксман. // Известия вузов. Радиофизика. - 1982. -Т.25. - №4. - С.472-474.

26.Флаксман, А.Г. О расчете стационарных характеристик адаптивного трансверсального фильтра / А.Г. Флаксман.// Известия вузов. Радиофизика. - 1982. - Т.25. - № 9. - С. 1091-1093.

27.Ермолаев, В.Т. О синтезе оптимального весового распределения в адаптивных антенных решетках / В.Т. Ермолаев, Б.А. Краснов, А.Г. Флаксман // Известия вузов. Радиофизика. - 1983. - Т.26, - №7. - С. 874-880.

28.Ермолаев, В.Т. Определение весовых коэффициентов в адаптивных антенных решетках (ААР) на основе учета известных собственных чисел и диагонализации корреляционной матрицы помехи / В.Т. Ермолаев. // Известия вузов. Радиофизика. - 1983. - Т.26 - №9. - С. 1100-1104.

29.Ермолаев, В.Т. Анализ эффективности частичной адаптации в антенных решетках с адаптивными диаграммообразующими схемами / В.Т. Ермолаев, Б.А. Краснов, В.Я. Соломатин, А.Г. Флаксман. // Известия вузов. Радиофизика. - 1986. - Т.29 - №5. - С. 551-556.

30.Ермолаев, В.Т. Исследование влияния флуктуаций весового вектора на эффективность адаптивных антенных решеток / В.Т. Ермолаев, Б.А. Краснов, А.Г. Флаксман // Известия вузов. Радиофизика. - 1986. -Т. 29- № 10. - С. 1192-1199.

31.Ермолаев, В.Т. Метод определения и свойства коэффициентов минимального многочлена корреляционной матрицы помехи адаптивной антенной решетки / В.Т. Ермолаев. // Известия вузов. Радиофизика. - 1987. -Т. 30 - № 3. - С. 447-448.

32.Ermolayev, V.T. Signal processing in adaptive arrays using power basis / V.T. Ermolayev, A.G. Flaksman. // Int. J. Electronics. - 1993. - Vol.75. - №4. -P. 753-765.

33.Ermolayev, V.T. Methods of defining the vector of adaptive processing in antenna arrays at short samples case / V.T. Ermolayev, A.G. Flaksman, YU.L. Rodygin. // Int. J. Electronics. - 1994 - Vol. 76. - №3. - P. 497-510.

34.Ермолаев, В.Т. Оценивание параметров минимального многочлена сигнальной корреляционной матрицы многоканальной адаптивной приемной системы / В.Т. Ермолаев. // Известия вузов. Радиофизика. - 1995. Т.38 - №8. - С. 841-859.

35.Тропченко, А.Ю. Цифровая обработка сигналов. Методы предварительной обработки: учебное пособие / А.Ю. Тропченко, А.А. Тропченко. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. - 100 с.

36.Steven, C.C. Numerical methods for Engineers, sixth edition / C.C. Steven, P.C. Raymond. - McGraw Hill, 2010. - 960 p.

37.Абрамович, Ю.И. Регуляризованный метод адаптивной оптимизации фильтров по критерию максимума отношения сигнал-помеха / Ю.И. Абрамович // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26 - № 3. -С. 543-551.

38. Абрамович, Ю.И. Анализ эффективности адаптивной максимизации отношения сигнал/помеха, использующей обращение оценки корреляционной матрицы / Ю.И. Абрамович, Ф.И. Неврев. // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т.26 - № 12. - С. 2558-2566.

39.Тихонов, А.И. Методы решения некорректных задач / А.И. Тихонов. -М.: Наука, 1979. - 288 с.

40.Ермолаев, В.Т. Методы определения вектора пространственной обработки при малой выборке помехи / В.Т. Ермолаев, Ю.Л. Родыгин. А.Г. Флаксман.-Нижний Новгород, 1991. - Препринт №292. - 30с.

41.Baird, C.A. Recursive estimation in array processing / C.A. Baird, J.T. Rickard.// 5th Asilomar Conference on Circuits and Systems, Pacific Grove, CA. -November 1971. - P. 509-513.

42.Ермолаев, В.Т. Современные методы пространственной обработки сигналов в системах с антенными решетками: учеб. пособие / В.Т. Ермолаев А. Г. Флаксман. - Нижний Новгород, 2008. - 171 с.

43.Butler, J. Multiple beam antenna / J. Butler. - Sanders associates, 1960. - Internal memorandum RF-3849.

44.Butler, J. Beam-forming matrix simplifies design of electronically scanned antennas / J. Butler //Electronic Design. - 1961. - Vol.9. - P. 170-173.

45.Butler, J. Multiple beams from linear arrays / J. Butler // IEEE Trans. - 1961. -V. AP-9. - P. 154-161.

46.Dietrich, Jr.C.B. Adaptive arrays and diversity antenna configurations for handhead wireless communication terminals: Ph.D. Dissertation / Carl B. Dietrich. - 2000.

47.Сколник, И. Справочник по радиолокации. Книга I. Перевод с английского / И. Сколник. - М.: Техносфера, 2014. - 671 p.

48.Klemm, R. Principles of space-time adaptive processing, 3rd Edition / R. Klemm The Institution of engineering and technology. - 2006. - 644p.

49.Mallipeddi, R. Robust adaptive beamforming based on covariance matrix reconstruction for look direction mismatch / R. Mallipeddi, J.P. Lie, S.G. Razul, P.N. Suganthan, C.M.S See // Progress In Electromagnetics Research Letters. -2011. - Vol. 25. - P. 37-46.

50.Воеводин, В.В. Линейная алгебра / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1980. - 400с.

51. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988. - 552с.

52.Гершман, А.Б. Анализ собственных чисел корреляционной матрицы входных колебаний адаптивной антенной решетки и возможности углового разрешения в условиях коррелированных внешних источников излучения / А.Б. Гершман, В.Т. Ермолаев. // Известия вузов. Радиофизика. - 1988. -Т.31 - №10. - С. 1236-1240.

53.Гершман, А.Б. Анализ сверхразрешения некоррелированных источников излучения в адаптивных антенных решетках / А.Б. Гершман, В.Т. Ермолаев, А.Г. Флаксман. // Известия вузов. Радиофизика. - 1988. - Т. 31. - №11. -С. 1374-1379.

54.Гершман, А.Б. Исследование проекционного метода углового разрешения на основе анализа собственных чисел корреляционной матрицы / А.Б. Гершман, В.Т. Ермолаев. - Горький, 1989. - Препринт №272. - 30с.

55.Strobach, P. Low-rank adaptive filters / P. Strobach. // IEEE Transactions on Signal Processing. - December 1996. - Vol. 44. - № 12. - P. 2932-2947.

56.Titarenko, L. Methods of signal processing for adaptive antenna arrays / L. Titarenko, A. Barkalov. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 2013 - 230p.

57.Robert, A. Notes on Cholesky Factorization / A. Robert. - .Department of Computer Science, Institute for Computational Engineering and Sciences. The University of Texas at Austin. - March 11, 2011 - 16 p.

58.Сорокин, И.С. Эффективность алгоритма адаптации на основе базиса степенных векторов / И.С. Сорокин, В.Т. Ермолаев. // Труды (шестнадцатой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Бархатова, Нижний Новгород. - 2012. - С. 193194.

59. Сорокин, И.С. Алгоритм формирования регуляризованного весового вектора адаптивной антенной решетки / И.С. Сорокин, В.Т. Ермолаев. // Труды (семнадцатой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения В.С. Троицкого, Нижний Новгород. - 2013. -С. 203-205.

60.Сорокин, И.С. Эффективность методов адаптации в антенной решетке с большим числом элементов / И.С. Сорокин, А.В. Ястребов. // Труды (восемнадцатой) научной конференции по радиофизике, посвященная дню радио, Нижний Новгород. - 2014. - С. 190-191.

61.Сорокин, И.С. Регуляризованная оценка весового вектора адаптивной антенной решетки / И.С. Сорокин. // Международная научно-техническая коференция «Информационные системы и технологии (ИСТ-2013)», Нижний Новгород. - 2013.- С. 253-254.

62.Ермолаев, В.Т. Регуляризованная оценка весового вектора адаптивной антенной решетки / В.Т. Ермолаев, А.Г. Флаксман, И.С. Сорокин. // Известия вузов. Радиофизика. - 2012. - Т. 55. - №9. -С. 641-650.

63.Ермолаев, В.Т. Два метода оценивания весового вектора адаптивной антенной решетки / В.Т. Ермолаев, И.С. Сорокин, А.Г. Флаксман. // Вестник ННГУ. Серия Радиофизика. - 2014. -№4(1). С. 79-84.

64.Ермолаев, В.Т. Эффективность методов адаптивной обработки сигналов в многоэлементных антенных решетках / В.Т. Ермолаев, И.С. Сорокин, А.Г. Флаксман, А.В. Ястребов. // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2014. -№3. С. 14-19.

65.Ермолаев, В.Т. Регуляризация весового вектора адаптивной антенной решетки путем ограничения числа базисных векторов / В.Т. Ермолаев, В.Ю. Семенов, И.С. Сорокин, А.Г. Флаксман, А.В. Ястребов. // Известия вузов. Радиофизика. - 2015. - Т. 58. - №3. -С. 235-243.

66.Гнеденко, Б.В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин / Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1949. -264 с.

67.Ван дер Варден, Б.Л. Математическая статистика. Перевод с немецкого / Б.Л. ван дер Варден. - М.: Издательсво иностранной литературы. - 1960. -435 с.

68.Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Издательство «Наука». - 1969. - 564 с.

69.Малахов, А.Н. Кумулятный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразования / А.Н. Малахов. - М.: Советское радио. - 1978. - 376 с.

70.Евсиков, Ю.А. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах / Ю.А Евсиков, В.В. Чапурский. М.: Высшая школа. - 1977. -264 с.

71.Сорокин, И.С. Регуляризация весового вектора адаптивной антенной решетки с произвольной диаграммообразующей схемой путем ограничения числа базисных векторов / И.С. Сорокин // Двадцать первая Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» (^N0*2015), Воронеж. - 2015. - С. 486-497.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ААР - адаптивная антенная решетка АР - антенная решетка АЦП - аналого-цифровой преобразователь ДН - диаграмма направленности ДОС - диаграммообразующая схема КМ - корреляционная матрица МШУ - малошумящий усилитель ОСШ - отношение сигнал-шум

ФОЛАР - формирователь ортогональных лучей антенной решетки MIMO - multiple-input multiple-output