Адаптивная фильтрация квазигармонических помех в информационно-измерительных системах с время-импульсным преобразованием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Бордюков, Антон Геннадьевич

• Бордюков, Антон Геннадьевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бордюков, Антон Геннадьевич

Введение.

Глава 1. Состояние вопроса и постановка задачи исследования.

1.1. Постановка задачи и решаемые вопросы.

1.2. Модели сигналов и помех.

1.3. Обзор методов фильтрации, позволяющих повысить эффективность время-импульсного преобразования в условиях квазигармонических и случайных помех.

1.4. Выбор метода спектрального анализа.

1.5. Методы получения спектра сигнала, основанные на дискретном преобразовании Фурье.

1.6. Выбор цифрового фильтра для минимизации влияния квазигармонических помех.

1.7. Основные результаты по главе 1.

Глава 2. Алгоритм обнаружения квазигармонических составляющих.

2.1. Влияние параметров окна на обнаружение квазигармонических составляющих.

2.2. Влияние фазового сдвига на обнаружение квазигармонических составляющих.

2.3. Алгоритм обнаружения квазигармонических составляющих.

2.4. Определение основных параметров алгоритма обнаружения: пороговое значение Хо и величина перехода АХ.

2.5. Определение основных параметров обнаружения: объем выборки N.

2.6. Оценка быстродействия алгоритма обнаружения.

2.7. Основные результаты по главе 2.

Глава 3. Разработка и анализ алгоритмов адаптивной фильтрации квазигармонических помех.

3.1. Оценка влияния идеальной фильтрации на полезный сигнал.

3.2. Определение схемы допусков фильтра.

3.3. Алгоритм адаптивной фильтрации.

3.4. Оценка быстродействия разработанного алгоритма адаптивной фильтрации.

3.5. Основные результаты по главе 3.

Глава 4. Имитационное моделирование и рекомендации по практической реализации метода адаптивной фильтрации.

4.1. Обобщенная схема работы системы.

4.2. Проверка аналитических результатов методами имитационного моделирования.

4.3. Оценка эффективности адаптивной фильтрации методами имитационного моделирования.

4.4. Аппаратная реализация алгоритма адаптивной фильтрации на различных аппаратных платформах.

4.5. Основные результаты по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивная фильтрация квазигармонических помех в информационно-измерительных системах с время-импульсным преобразованием»

В информационно-измерительных системах (ИИС) большое влияние на результаты измерений, кроме шумовых сигналов, оказывают квазигармонические помехи. Такие помехи возникают вследствие зашумленности эфира различными электромагнитными сигналами, перекрёстных' искажений от соседних каналов, отражений радиолокационных сигналов от волновой поверхности моря, наводок на измерительные цепи от источников питания и других причин. Достаточно большой класс таких помех может быть представлен в виде гармонических сигналов с неизвестными частотой и амплитудой или в виде суперпозиции таких сигналов. Более того, параметры таких сигналов нередко являются переменными во времени. Всё это оказывает ощутимое влияние на точность и достоверность результатов измерений.

Для ИИС, работающих в натуральном масштабе времени, важной представляется возможность, во-первых, оценивать текущие характеристики влияющих помех и, во-вторых, оперативно (адаптивно) применять согласованные методы борьбы с такими помехами. Очевидно, реализация соответствующих алгоритмов в ИИС приведет к повышению эффективности ее работы.

В литературных источниках, содержащих сведения о возможных способах борьбы с такими помехами, мало внимания уделено совместному решению указанных задач. Так книги по теории обнаружения сигналов Г. Ван Триса [11], Б.Р. Левина [16], П.С. Акимова [4], В.И. Тихонова [22] в основном рассматривают вопросы построения систем обнаружения сигналов на фоне стационарных помех с известными характеристиками, тогда как вопросу оценки параметров шума уделено недостаточное внимание. В работе Левина приведена методика оценки амплитуды и начальной фазы гармонического сигнала на фоне аддитивного шума, которая может быть использована для оценки параметров квазигармонических помех [17, стр. 402-407], однако при этом частота гармонического сигнала предполагается известной и постоянной.

Таким образом, актуальным для ИИС реального времени является разработка и исследование методов и средств оценки текущего спектра квазигармонической помехи. Известным методом борьбы с такой помехой является ее фильтрация. При этом необходимо, чтобы параметры применяемых фильтров изменялись в соответствии с текущей помехой.

Алгоритмы оценки квазигармонической помехи и требования к перестраиваемым фильтрам зависят и от вида модуляции полезного сигнала. В настоящей работе проведены исследования для ИИС, использующих в своих структурах время-импульсное преобразование.

В работах по спектральному анализу Г. Дженкинса и Д. Ваттса [14], С.М. Кея, С.Л. Марпла [15; 18], М.Б. Пристли [47] описано множество методов оценки спектра сигналов, однако вопросам выбора этих методов при решении практических задач уделено недостаточное внимание. Дело в том, что оценки, получаемые по одной и той же реализации процесса с помощью различных методов спектрального анализа, могут значительно отличаться. Поэтому очень сложно сформулировать общий алгоритм, позволяющий обнаруживать сигналы одного класса по оценке, полученной любым из методов. Таким образом, возникают задачи выбора метода оценки спектра и алгоритма обнаружения, максимально пригодных для выявления гармонических составляющих.

Другой проблемой, недостаточно освещенной в литературе, является определение характеристик процесса в условиях нестационарности входных данных. В частности, этому вопросу уделено внимание в книге Г. Ван Триса, где подробно рассматривается задача обнаружения флуктуирующей точечной цели [11, гл. 9 - 11]. При этом в рамках предлагаемой модели исследуется процесс обнаружения импульсного сигнала, отраженного от цели, скорость и направление движения которой неизвестны. В то же время задача оперативного обнаружения нестационарной квазигармонической помехи, требующая решения ряда специфических вопросов, практически не рассматривается.

Таким образом, вопрос адаптивной фильтрации нестационарных квазигармонических помех является открытым, а задача его решения актуальной.

Цель и основные задачи исследования. Целью данной диссертационной работы является разработка методов анализа и аппаратных средств адаптивной фильтрации нестационарных квазигармонических помех.

Для этой цели в диссертационной работе необходимо решить следующие задачи:

1. Дать рекомендации по выбору аппаратных средств, позволяющих наиболее эффективно реализовать предлагаемый метод адаптивной фильтрации.

2. Исследовать зависимости параметров алгоритмов от характеристик квазигармонических помех, определить границы применимости алгоритмов;

3. Обосновать выбор метода спектрального анализа и предложить алгоритмы, позволяющие оперативно, в натуральном масштабе времени, обнаруживать узкополосные и квазигармонические помехи;

4. Обосновать принципы адаптации алгоритмов к изменяющимся характеристикам измеряемых помех;

5. Разработать методику определения коэффициентов фильтра, позволяющих подавить с требуемым ослаблением квазигармонические составляющие помехи с минимальным искажением полезного сигнала;

Основные методы исследования. Результаты исследования базируются на теории вероятностей, теории математической статистики, теории ошибок, теории линейных систем, теории случайных процессов, имитационном моделировании, численных методах анализа.

Научная новизна диссертационной работы в целом заключается в разработке метода и алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных квазигармонических помех. При этом получены следующие результаты:

1. Показано, что адаптивная фильтрация, основанная на оперативной оценке текущего спектра гармонической помехи и подавлении ее в реальном времени перестраиваемым фильтром, является реализуемым и эффективным методом борьбы с квазигармонической помехой в ИИС;

2. Исследовано влияние различных факторов на результаты оценки гармонических составляющих помехи. Показано, что основными факторами, влияющими на вероятность обнаружения нескольких гармонических составляющих в рамках исследуемого процесса, являются разность фаз между квазигармоническими составляющими, ширина полосы частот и взаимное расположение составляющих в частотной области;

3. Разработан алгоритм обнаружения квазигармонических составляющих, сочетающий пороговый критерий и схему обнаружения квазигармонических помех по разности уровней спектра. Получены аналитические зависимости,, позволяющие определять параметры алгоритма для различных диапазонов измерений гармонических помех при наличии белого шума;

4. Предложен и исследован принцип адаптации алгоритма, основанный на изменении размера анализируемой выборки в зависимости от ширины спектра и скорости изменения частоты нестационарной квазигармонической помехи.

Практическая ценность работы. Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что использование результатов исследования позволяет снизить влияние квазигармонических помех на результаты измерений в ИИС.

При этом основными практическими результатами можно считать следующие:

1. Разработаны алгоритмы адаптивной фильтрации квазигармонических сигналов, позволяющие повысить эффективность время-импульсного преобразования;

2. Получены аналитические зависимости и определены количественные оценки основных характеристик алгоритмов, направленные на практическое использование при проектировании алгоритмов и их реализации;

3. Даны рекомендации по реализации алгоритмов при использовании микропроцессоров, в том числе так называемых ББР-процессоров, и программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами имитационного моделирования, а также рядом экспериментальных исследований.

Реализация результатов диссертационной работы. Результаты диссертационной работы использованы при разработке радарного процессора радиолокационной станции МР-2ПВ «Балтика-М» производства ЗАО «Морские комплексы и системы».

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Эффективным методом подавления квазигармонических помех для ИИС реального времени является адаптивная фильтрация, основанная на экспресс-анализе текущего спектра помехи и адаптивном изменении параметров подавляющих фильтров к текущему спектру помех и характеру его нестационарного изменения;

2. По точности, разрешающей способности, быстродействию и вероятности обнаружения гармонических составляющих помехи для ИИС реального времени наиболее приемлемым является метод, сочетающий пороговый отбор и обнаружение квазигармонических помех по разности уровней спектра;

3. Основными факторами, влияющими на оценку текущих характеристик спектра помех в рамках исследуемого метода, являются разность фаз между квазигармоническими составляющими, ширина полосы частот, взаимное расположение составляющих в частотной области и интенсивность шума.

Апробация результатов исследования. Основные результаты докладывались и обсуждались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, СПб, 2005-2008.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные статьи (2 статьи опубликованы в ведущих научных журналах и изданиях, определенных ВАК).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 63 наименования, и двух приложений. Основная часть работы изложена на 145 страницах машинописного текста. Работа содержит 18 рисунков и 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Бордюков, Антон Геннадьевич

4.5. Основные результаты по главе 4

1. Предложена обобщенная функциональная схема разрабатываемых средств адаптивной фильтрации, включающая блок анализа, где осуществляется обнаружение квазигармонических составляющих, блок расчета, формирующий коэффициенты фильтра, управляемый фильтр и блок адаптации, корректирующий размер анализируемой выборки в зависимости от параметров помехи.

2. Имитационным моделированием подтверждена верность аналитических формул, используемых для определения параметров алгоритма обнаружения.

3. Произведена проверка алгоритма адаптации размера выборки для различных нестационарных квазигармонических помех.

4. Рассмотрены особенностей применения различных схемотехнических архитектур для реализации разработанных алгоритмов фильтрации и получены аналитические формулы для оценки скорости работы алгоритма для универсальных процессоров, DSP и ПЛИС. Показано, что предпочтительной является реализация алгоритмов на базе ПЛИС.

Заключение

В данной диссертационной работе проведено исследование вопросов анализа и построения аппаратных средств адаптивной фильтрации квазигармонической нестационарной помехи.

В ходе теоретических и практических исследований получены следующие основные результаты: N

1. Проанализированы различные методы спектрального анализа и показано, что оптимальными с точки зрения разрешения по частоте, среднего квадрата ошибки, быстродействия и простоты реализации алгоритма являются метод периодограмм и метод модифицированных периодограмм Уэлча. Выбор одного из этих методов определяется априорными сведениями о входной помехе.

2. Предложен алгоритм обнаружения квазигармонических составляющих шума по спектру входного процесса. Алгоритм включает в себя пороговый отбор и схему обнаружения квазигармонических помех, реализующую сравнение разности уровней спектра в соседних точках дискретизации с некоторой установленной величиной, называемой величиной перехода. Определена область применимости алгоритма, устанавливающая допустимые границы диапазона частот и диапазона амплитуд квазигармонической помехи.

3. Определено, что основными факторами, оказывающими влияние на выбор параметров алгоритма обнаружения, являются дисперсия белого шума, диапазон возможных амплитуд квазигармонических составляющих помехи и форма используемого весового окна. Получены аналитические выражения, позволяющие связать указанные факторы с диапазонами возможных значений величины порога и величины перехода. Сравнение весовых функций показало, что весовое окно Ханна наиболее подходит для использования в рамках разработанного алгоритма. Установлена аналитическая зависимость между рекомендуемым размером анализируемой выборки и скоростью изменения частоты квазигармонической помехи.

4. Разработана методика получения схемы допусков фильтра. Проведено аналитическое и экспериментальное исследование различных методик определения коэффициентов фильтра и выбран метод взвешивания, как наилучший с точки зрения простоты реализации и качества фильтрации. Предложен механизм изменения коэффициентов фильтра в режиме реального времени.

5. Предложен алгоритм адаптации, который заключается в изменении длины анализируемой выборки N в зависимости от динамики изменения спектра квазигармонической помехи.

6. Методами имитационного моделирования подтверждена эффективность использования разработанного комплекса средств для адаптивной фильтрации квазигармонической помехи.

7. Проанализирована возможность реализации разработанной схемы на различных платформах: универсальных процессорах, Б8Р-процессорах, ПЛИС. Простота оптимизации, а также широкие возможности по организации параллельной обработки данных позволяют рекомендовать ПЛИС в качестве аппаратной архитектуры для реализации разработанного метода.

8. Проведен анализ быстродействия разработанных алгоритмов. Показана взаимосвязь быстродействия с размером анализируемой выборки ./V, выбранным методом получения спектра и количеством обнаруженных квазигармонических составляющих.

Таким образом, задачи, поставленные в данной работе, выполнены. Предлагаемое решение задачи снижения влияния квазигармонических помех на обнаружение импульсного сигнала предполагается в дальнейшем применить в морских радиолокационных системах для борьбы с помехами, вызванными волнением на море. Полученные в результате работы алгоритмы и методики оценки могут быть использованы для решения широкого класса задач, связанных с фильтрацией нестационарных квазигармонических помех.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бордюков, Антон Геннадьевич, 2008 год

1. Авдеев Б.Я. Оценка аппаратурного быстродействия алгоритмов определения спектра дискретизированного сигнала на основе линейной фильтрации / Б.Я. Авдеев, А.Г. Бордюков // Вестник метрологической академии. — 2007. Вып. 19.-С. 37-45.

2. Айфичер Э.С. Цифровая обработка сигналов: практический подход / Э.С. Айфичер, Б.У. Джервис ; пер. с англ. под ред. Назаренко А. В. 2-е изд. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2004. — 992 с.

3. Акимов П.С. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов и др.. М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. М.: Высшая школа, 1989. — 451 с.

5. Бендат Дж., Пирсел А. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсел ; пер. с англ. под ред. Коваленко И.Н. М.: Мир, 1989. - 540 с.

6. Болынев Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Болыпев, Н.В. Смирнов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-416 с.

7. Бордюков А.Г. Адаптивный алгоритм определения частоты гармонических сигналов по спектру дискретизированного процесса / А. Г. Бордюков // Естественные и технические науки. — 2008. — №2. — С. 387-392.

8. Бордюков А.Г. Оценка частоты гармонических сигналов на основе амплитудно-частотной характеристики процесса. / А. Г. Бордюков // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2008. - №4. — С. 221-227.

9. Ю.Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов./ И. Н. Бронштейн, К. А. Семендаев. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 976 с.

10. П.Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. В 4 т. Т. 3. Обработка сигналов в радио и гидролокации и прием случайных гауссовых шумов / Г. Ван Трис ; пер. с англ. под ред. проф. Горяинова В.Т. М.: Сов. радио, 1977. - 664 с.

11. Гольденберг JI.M. Цифровая обработка сигналов: справочник / JI.M. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.

12. Гоулд Б. Цифровая обработка сигналов / Б. Гоулд, X. Рэйдер ; пер. с англ. Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

13. М.Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения / Г. Дженкинс, Д. Ватте ; пер. Писаренко В.Ф. Выпуск 1. — М.: Мир, 1971. - 317 с.

14. Кей С. М. Современные методы спектрального анализа: Обзор / С.М. Кей, С. Л. Марпл мл. // ТИИЭР. 1981. - Т. 69. - №11. - с. 5-51.

15. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд. -М.: Сов. радио, 1968. 504 с.

16. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1989. - 656 с

17. Марпл-мл С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл-мл. М.: Мир, 1990. - 549 с.

18. Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд ; пер. с англ. под ред. Александрова Ю. Н. М.: Мир, 1978. -849 с.

19. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. М.: Сов. радио, 1966. — 680 с.

20. Уидроу Б. Адаптивная обработка сигналов / Б. Уидроу, С. Стирнз ; пер. с англ. под ред. Шахгильдяна В.В. М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.

21. Харкевич А.А. Спектры и анализ / А.А. Харкевич. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 237 с.

22. Хоскин Р. Как выбрать подходящую ПЛИС / Р. Хоскин // Электронные компоненты. 2008. - №1. - С. 38-42.

23. Черемисин А.Г. Оценка эффективности применения ПЛИС и процессоров DSP для задач цифровой обработки сигналов / А.Г. Черемисин // Информационно-управляющие системы. 2007. - С. 44-47.

24. Bartlett M.S. Smoothing Periodograms from Time Series with Continuous Spectra / M. S. Bartlett. Nature, London, 1948. - Vol. 161. - P. 686-687.

25. Blackman R.B. The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communication Engineering / R.B. Blackman, J.W. Tukey. Dover Publications, Inc., New York, 1958. - 208 p.

26. Burrus C.S. DFT/FFT and Convolution Algorithms / C.S. Burrus, T.W. Parks. -John Wiley & Sons, New York, 1985. 232 p.

27. Capon J. High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis / J. Capon // Proc. IEEE. 1969. - Vol. 57. - P. 1408-1418.

28. Cho K.M. Real-factor FFT algorithms / K.M. Cho, G.C. Temes // Proc. ICASSP -78. Tulsa, OK, April 1978. - P. 634-637.

29. Cooley J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series / J.W. Cooley, J.W. Tukey//Math. Comp.-April 1965.-Vol. 19.-P. 297-301.

30. Daniell P.J. Discussion of "On the Theoretical Specification and Sampling Properties on Autocorrelated Time-Series" / P.J Daniell // J.R.Stat.Soc. 1946. - Ser. В.-Vol. 8.-P. 88-90.

31. Djuric P.M. Spectrum Estimation and Modeling / P.M. Djuric, S.M. Kay // Digital Signal Processing Handbook. Williams Boca Raton: CRC Press LLC, 1999.

32. Duhamel P. Improved Fourier and Hartley transform algorithms. Application to cyclic convolution of real data. / P. Duhamel, M. Vetterli // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-35(6). June 1987. - P. 818-824.

33. Duhamel P. Split-radix FFT algorithm / P. Duhamel, H. Hollmann // Electron. Lett., 5 January 1984 Vol. 20. - P. 14-16.

34. Duhamel P. Fast Fourier Transforms: A Tutorial Review and a State of the Art / P. Duhamel, M. Vetterli // Digital Signal Processing Handbook. Williams Boca Raton: CRC Press LLC, 1999.

35. Elterich A. Error analysis and resulting structural improvements for fixed point FFT's / A. Elterich, W. Stammler // Proc. IEEE Internat. Conf. Acoust. Speech Signal Process., April 1988.-P. 1419-1422.

36. Good I. J. The Interaction Algorithm and Practical Fourier Analysis /1. J. Good // J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. - 1958. - Vol. 20. - P. 361-372. ; 1960. - Vol. 22. - P. 372-375.

37. Gustafsson F. Adaptive filtering and change detection / F. Gustafsson. Wiley, New York, 2000. - 500 p.

38. Harris F. J. On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform / F. J. Harris // Proc. IEEE. 1978.- Vol. 66. - P. 51-84.

39. Heideman M.T. On the number of multiplications necessary to compute alength-2n DFT / M.T. Heideman, C.S. Burrus // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-34(1). — Feb. 1986.-P. 91-95.

40. Kay S.M. Modern Spectral Estimation / S.M. Kay — Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1988.-543 p.

41. Pan V.Y. The additive and logical complexities of linear and bilinear arithmetic algorithms / V.Y. Pan // J. Algorithms. Vol. 4. - March 1983. - P. 1-34.

42. Priestley M.B. Spectral Analysis and Time Series. / M.B. Priestley. Academic Press, New York, 1981. - 890 p.

43. Proakis J.G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications / J.G. Proakis, D.G. Manolakis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1996. - 1084 p.

44. Rabiner L.R. An approach to the approximation problem for nonrecursive digital filters / L.R. Rabiner, B. Gold, C. A. McGonegal // IEEE Trans. Audio Electroacoustics. 1970. - Vol. 18. - P. 83-106.

45. Rabiner L.R. FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximations / L.R. Rabiner, J.H. McClellan, T.W. Parks // Proc. IEEE. Apr. 1975.-Vol. 63.-P. 595-610.

46. Rader C.M. Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime / C.M. Rader // Proc. IEEE. 1968. - Vol. 56. - P. 1107-1108.

47. Rader C.M. A new principle for fast Fourier transformation / C.M. Rader, N.M. Brenner // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-24 — June 1976. — P. 264-265.

48. Sorensen H.V. On computing the split-radix FFT / H.V. Sorensen, M.T. Heideman, C.S. Burrus // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-34(1). -Feb. 1986.-P. 152-156.

49. Sorensen H.V. Real-valued fast Fourier transform algorithms / Sorensen H.V. et al. // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-35(6). June 1987. - P. 849-863.

50. Thomson D.J. Quadratic-inverse spectrum estimates: applications to paleoclimatology / D.J. Thomson // Phil. Trans. R. Soc. London A. 1990. - Vol. 332.-P. 539-597.

51. Thomson D.J. Spectrum estimation and harmonic analysis / D.J. Thomson I I Proc. ШЕЕ. 1982. - Vol. 70. - P. 1055-1096.

52. Welch P. D. The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A Method Based on Time Averaging Over Short, Modified Periodograms / P. D. Welch // IEEE Trans. Audio and Electroacoustics. 1967. - Vol. 15. - P. 70-73.

53. Widrow B. Adaptive switching circuits / B. Widrow, M.E. Hoff// IRE WESCON Conv. Rec. Aug. 1960. -Vol. 4. - P. 96-104.

54. Wiener N. Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary time series, with engineering applications / N. Wiener. MIT Press, Cambridge, MA, 1949. -163 p.

55. Winograd S. On computing the discrete Fourier transform, / S. Winograd // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. April 1976. - Vol. 73. - P. 1005-1006.

56. Winograd S. Some bilinear forms whose multiplicative complexity depends on the field of constants / S. Winograd // Math. Systems Theory. 1977. - Vol. 10(2). P. 169-180.

57. FFTW Home Page Электронный ресурс.: Home Page. Электронные текстовые данные. - 19 Сентября 2008. - Режим доступа: http://www.fftw.org, свободный.

58. Fast Fourier Transform v6.0 Электронный ресурс.: Product Specification. -Электронные текстовые данные. 19 Сентября 2008. - Режим доступа: http://www.xilinx.com/support/documentation/ipdocumentation/xfftds260.pdf, свободный.