Задачи управления характеристиками систем массового обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Кондрашова, Елизавета Владимировна

• Кондрашова, Елизавета Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондрашова, Елизавета Владимировна

Содержание

Введение

Глава I. Анализ характеристик входного потока, управляемого цепью

Маркова

1.1. Вводные замечания. Обозначения

1.2.Определение входного потока, управляемого цепью Маркова

1.3. Исследование характеристик входного потока заявок (нестационарный случай)

1.4. Анализ предельных распределений (стационарный случай)

1.5. Построение стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова

1.6. Исследование структуры предельных характеристик стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова

Глава П. Исследование полумарковских систем массового обслуживания при управляемом входящем потоке

2.1. Вводные замечания, обозначения и постановка задачи

2.2. Алгоритм исследования системы с CBSMAP-входным потоком

2.3. Определение вероятностных характеристик очереди и загруженности системы

2.4. Пример исследования системы с CBSMAP-потоком

Глава Ш. Исследование систем массового обслуживания при управлении структурой системы

3.1. Исследование системы M/G*/l/N*

3.2. Исследование системы M/M/n*/N*

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи управления характеристиками систем массового обслуживания»

Введение

Модели теории массового обслуживания широко применяются в различных отраслях: экономики, производства, финансов, информационных системах, телекоммуникационных сетях. В качестве примеров систем массового обслуживания можно привести системы, представляющие собой погрузочно-разгрузоч ные комплексы, различные системы связи, предприятия сферы обслуживания, страховые организации и многое другое.

Каждая система массового обслуживания включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции, линии связи и так далее. Также каждая система характеризуется следующими особенностями: потоком требований, дисциплиной и функцией распределения длительности обслуживания, очередью. Выше указанные элементы будем называть характеристиками системы.

Модели теории массового обслуживания позволяют исследовать эффективность функционирования системы. Для достижения этой цели строятся управляемые модели массового обслуживания, устанавливаются зависимости эффективности функционирования системы от её структуры и исходных характеристик и решается оптимизационная задача.

Одной из первых работ по теории массового обслуживания считается работа А.К. Эрланга «Теория вероятностей и телефонные разговоры» («The Theory of Probabilities and Telephone Conversations») [58]. Среди учёных, уделивших внимание развитию теории массового

обслуживания, можно выделить Д. Кендалла [54], Л. Такача [66], Хинчина А.Я. [42, 43], Феллера В. [41], Гнеденко Б. В., Коваленко И.Н. [7, 8] и др.

Эрланг занимался проблемами массового обслуживания в начале XX века, когда основной задачей в области телефонии являлась организация телефонного сообщения для обеспечения гарантированного обслуживания. Несмотря на то, что прошло довольно много времени, аналогичные задачи возникают и в настоящее время. Для удовлетворения требований, поступающих в систему невозможно по экономическим причинам увеличивать ресурсы беспредельно, как например, число обслуживающих каналов, число мест в очереди, пропускную мощность и т.д.

Таким образом, выявляется одна из основных проблем, при решении которой используются методы теории массового обслуживания, а именно, поиск управления, при котором учитываются и улучшение качества обслуживания, и допустимые затраты, связанные с улучшением работы системы.

Отметим, что с помощью теории было получено большое число аналитических результатов, характеризующих различные качества систем. К этим результатам можно отнести исследования распределений вероятности потерь, распределения длины очереди, времени ожидания, среднего времени пребывания заявки в системе и т.д. [4,5,8,11,42,43,50,54,59-62] В классической теории массового обслуживания не предполагается вмешательства в процесс работы системы, то есть можно сказать, что система рассматривается без управляющих воздействий из вне.

Однако в реальной жизни часто возникает необходимость управления системой в процессе работы. Системы, в которых какие-либо из элементов допускают управление, будем относить к управляемым системам массового обслуживания. Методы теории управляемых систем массового обслуживания применяются для оптимального управления очередью, обслуживающими приборами, длительностью обслуживания и др.[15, 39,45, 46,49, 53]

Большой вклад в развитие теории, методов анализа и оптимального управления систем внесли Р. Ховард, X. Майн, С. Осаки, В. Джевелл, Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н., Рыков В.В. и другие [30, 31, 44, 57, 52, 53, 14, 39, 40, 41, 47-49]. Заметим, что при исследовании характеристик систем массового обслуживания успешно используется теория марковских и полумарковских процессов, а также теория цепей Маркова [4, 31, 32, 39, 40].

Управление характеристиками системы является рациональным методом увеличения эффективности её функционирования. Несмотря на то, что в последнее время появляются работы, в которых ставится задача управления в различных видах систем массового обслуживания, но до сих пор широко не рассматривалось управление одновременно несколькими характеристиками системы. Также представляет интерес разработка новых моделей теории массового обслуживания.

Отметим, что в последнее время в задачах массового обслуживания рассматриваются 2?М4Р-потоки заявок [37, 49, 50, 55, 56, 63]. Процесс ВМАР впервые был введён в 1991 году Лукантони

[55, 56]. Описание ВМАР-штокоъ и рассмотрение систем массового обслуживания с ВМАР-пототм было также сделано Д. Лукантони.

Данный поток - Batch Markov Arrival Process - марковский групповой входной поток характеризуется следующим образом.

Поступление заявок может происходить только в моменты изменения состояний некоторого марковского процесса с непрерывным временем и множеством состояний {0,1,...,W}. Заявки могут поступать группами различного размера. Время пребывания процесса в состоянии / имеет экспоненциальное распределение с параметром Д, где i = 0,W. Процесс переходит из состояния i в состояние j с вероятностью pk(i,j) и генерируется группа из к требований ВМАР-штош. Предполагается, что переход из состояния / в то же самое состояние при генерации требований невозможен.

Также предполагается, что вероятности удовлетворяют условию

00 w . -

нормировки X Z Pk(iJ) = 1 ПРИ любом i = 0,W.

к=О j=О

Такие потоки хорошо описывают входящие потоки данных в телекоммуникационных сетях, когда требования в систему поступают группами различного размера.

Обобщение МАР-потока введено в работах Печинкина А.В. [34, 35, 36]. Данный полумарковский поток характеризуется следующим образом.

Полумарковский входящий поток заявок определяется полумарковским процессом с конечным множеством состояний {1,2,...Д}. В каждый момент изменения состояний полумарковского процесса в систему поступает заявка. Для многоканальных систем с входным SM-потоком и марковским процессом обслуживания заявок

были получены стационарные распределения основных характеристик обслуживания [34-36].

Диссертация продолжает работы в области исследования управляемых систем массового обслуживания. Такие системы являются актуальным объектом исследований и имеют практическую ценность, так как позволяют создавать аналитические модели, применимые для моделирования систем, встречающихся в различных сферах производства и обслуживания. Отметим, что предлагается ввести входной поток, который является обобщением отмеченных выше потоков, CBSMAP-шуток, Controlled Batch Semi-Markov Arrival Process, что означает - управляемый полумарковский групповой входной поток. Входящий CBSMAP-uotok, управляемый цепью Маркова, определяется управляемым полумарковским процессом с конечным множеством состояний. Поступление заявок может происходить только в моменты изменения состояний некоторого полумарковского процесса с непрерывным временем и конечным множеством состояний. Таким образом, становится возможным использовать теорию управляемых полу марковских процессов [13, 14, 31, 52, 53] для анализа характеристик систем массового обслуживания и расширения круга моделей.

Кратко остановимся на содержании диссертации.

Глава 1 посвящена исследованию входного потока управляемого цепью Маркова. Этот входной поток определяется через управляемый полумарковский процесс X{t) = {^{t\u(t)}, у которого первая компонента принимает значения из конечного множества, = {1,2,...,7V}. Вводятся обозначения, определяется объект исследования. Рассматриваются характеристики входного потока

заявок в нестационарном случае: распределение прямого времени возвращения, распределение обратного времени возвращения, математические ожидания прямого и обратного времени возвращения. Проводится анализ предельных распределений в стационарном случае. Приводятся соотношения для всех выше перечисленных характеристик. Проводится построение стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова. Сформулирована и доказана теорема, определяющая условия, при которых входящий поток является стационарным.

Исследована структура предельных характеристик стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова. Доказано, что в стационарном случае распределения и математические ожидания прямого и обратного времени возвращения являются дробно-линейными функционалами относительно мер, определяющих стратегию управления.

Теорема 1.2. В стационарном случае распределения и математические ожидания прямого и обратного времени возвращения являются дробно-линейными функционалами относительно мер, определяющих стратегию управления.

В главе 2 исследуются системы массового обслуживания с управляемым входным потоком, СВЯМАР-потоком, структура которого представляет собой композицию N потоков заявок различных типов (по числу состояний управляемого полумарковского процесса).

В задачах управления с СВЗМАР-иотоком может проводиться управление следующими характеристиками:

- типом заявок, поступающих в систему;

-типом заявок, поступающих в систему, и временем, через которое поступает группа заявок;

-типом заявок, поступающих в систему, временем, через которое поступает группа заявок, и количеством заявок в группе.

В данной главе показано, что структура функционала накопления [9, 18] для систем массового обслуживания с СВЯМАР-потоком является дробно-линейной относительно распределений, определяющих марковскую однородную рандомизированную стратегию. Исследование проводится в предположении, что каждый тип заявок обрабатывается в своей подсистеме массового обслуживания СМО(к), к е Е = {1,2,...,Щ.

Состояния управляемого полумарковского процесса определяются вектором (/,/) = (/,/,,/2,...,/у) - типом последнего пришедшего требования и числом требований в каждой подсистеме.

Доказаны теоремы.

Теорема 2.1. Функционал удельного накопленного дохода Бкк) для СМО(к) является дробно-линейным функционалом относительно распределений, определяющих марковскую однородную рандомизированную стратегию.

Теорема 2.2. Функционал удельного накопленного дохода

N

8 = для СМО в целом является дробно-линейным

к=1

функционалом относительно распределений, определяющих марковскую однородную рандомизированную стратегию.

Определяются вероятностные характеристики очереди и загруженности системы.

и

Приведен пример вычислений оптимальной стратегии управления в случае управления типом требований, поступающих в систему.

В главе 3 исследуются марковская и полумарковская системы массового обслуживания при управлении структурой системы.

Марковская система М/М/п*/М* задаётся следующим образом: моменты поступления требований образуют простейший поток однородных событий с параметром А, длительность обслуживания распределена экспоненциально с интенсивностью обслуживания ¡и. Число каналов обслуживания является параметром управления. Количество мест для ожидания также является параметром управления.

Полумарковская система М/С*/1/Ы* задаётся следующим образом: моменты поступления требований образуют простейший поток однородных событий с параметром X, функция распределения длительности обслуживания меняется в зависимости от состояния системы, то есть является параметром управления. Система является одноканальной. Число мест для ожидания может изменяться в зависимости от состояния процесса, является параметром управления. Число мест для ожидания ограничено.

Для данных систем введены основные характеристики управляемого полумарковского процесса. На траекториях управляемого полумарковского процесса строится функционал доходов. Проводится вычисление стационарных вероятностей вложенной цепи Маркова, условных математических ожиданий времени непрерывного пребывания процесса в состоянии, условных математических ожиданий накопленного дохода за полный период

пребывания процесса в состоянии, условного математического ожидания накопленного дохода. Проводится алгоритм исследования характеристик и определения оптимальных стратегий управления для заданных систем. Также представлен вычислительный пример, показывающий эффективность управления структурой.

В Приложении 1 приведены элементы полумарковского ядра для решения задачи поиска оптимальной стратегии из Главы 2.

В Приложении 2 приведена матрица системы алгебраических уравнений для поиска стационарных распределений цепи Маркова для управляемой полумарковской системы массового обслуживания из Главы 3.

В Приложении 3 приводится часть блок-схемы исследования полумарковской системы массового обслуживания из Главы 3.

В связи с вышеизложенным целью работы является исследование управляемых систем массового обслуживания, поведение которых может быть описано управляемым полумарковским процессом. В данных системах проводится управление входным потоком, а также структурой системы. Также проводится исследование управляемого входного потока и исследование систем с данным СВЗМА Р-потоком.

Научная новизна и основные результаты диссертации.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке и исследовании свойств управляемого входного потока. Определенный выше СВ8МА Р-поток является обобщением ранее введённого ВМАР-потока. Это позволяет применять управление в системах массового обслуживания, используя теорию управляемых полумарковских процессов. Исследованы системы с управляемым

входным потоком, ранее не исследованные. Также новым является управление не одной, а несколькими характеристиками систем массового обслуживания.

Получены следующие новые научные результаты:

1. В нестационарном и стационарном случаях получены зависимости основных характеристик входного потока, управляемого цепью Маркова (распределение прямого и обратного времени возвращения, математические ожидания прямого и обратного времени возвращения) от исходных характеристик, определяющих входной поток.

2. Проводится построение стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова. Сформулирована и доказана теорема, определяющая условия, при которых входной поток стационарен. Исследована структура предельных характеристик стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова. Доказано, что в стационарном случае распределения и математические ожидания прямого и обратного времени возвращения являются дробно-линейными функционалами относительно мер, определяющих стратегию управления.

3. Проведены исследования систем массового облслуживания с С2?£М4Р-потоком, которые иллюстрируют возможности использования теории управляемых полумарковских процессов при анализе моделей массового обслуживания. Найдены основные характеристики управляемых систем с СВЗМАР-шутошт.

4. Исследованы марковская и полумарковская модель массового обслуживания, в которых управление осуществляется путем изменения структуры системы. Функционирование СМО

описывается полумарковским процессом, на траекториях которого построен функционал доходов. Получена зависимость характеристик от стратегии управления: стационарных вероятностей вложенной цепи Маркова, условных математических ожиданий времени непрерывного пребывания процесса в состоянии, условных математических ожиданий накопленного дохода за полный период пребывания процесса в состоянии, условного математического ожидания накопленного дохода.

5. Разработан алгоритм для определения функционала накопления и оптимальных стратегий управления при управлении несколькими параметрами.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории управления и теории оптимизации.

Научная и практическая ценность.

Результаты диссертации могут представлять интерес для специалистов, занимающихся изучением теоретико-вероятностных методов в различных прикладных областях, экономических, информационных и др. Исследования могут быть использованы в качестве теоретической основы для будущих исследований более сложных управляемых систем массового обслуживания.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

- Международная научная конференция ALT 2010, Accelerated Life testing, Reliability-based Analysis and Design, Университет Блеза Паскаля, Франция, Клермон-Ферран, Université Blaise Pascal, 2010;

-Пятая Международная научная конференция IMAACA 2011 International Conference on Integrated Modeling and Analysis in Applied Control and Automation, Италия, Рим, Сентябрь 12-14, 2011;

- Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов Московского государственного института электроники и математики 2009, 2010, 2011 годов;

- семинар кафедры «Исследование операций» Московского государственного института электроники и математики, 2012.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах соискателя. Из них 5 являются тезисами и расширенными тезисами докладов на международных и российских конференциях, 3 - статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией. При этом работы [14,22,26] представляют собой развёрнутые научные статьи, включающие подробное изложение и обоснование полученных результатов. В указанных публикациях содержатся основные результаты диссертации.

ТТ«\71111Аг,п7 71'* АР л литр TTiA ятт/^г» Апта пит? If аиттсзил^ ? Д А

-2. ¿UJ I11V1V1J s^j I\vSv,i4.£i I WilV jUiiVVWj.' 1 UJUiili A V tii_Ll L UiiUi-iJ JUii 1c

принадлежат постановки задач и помощь в выборе методов

А

± 1JJ ivy У

преобразования и выводы, проведение численных расчетов и

-1У-Ч V*TTnni JTjri О 7TTTTI Г> .-л ГГЛТ

ii-j 1 i »jpii j, Mii-jüi4ii/i оадй*

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

qqattautig т^ттотэ па г? ттр TTAIJIJTT v TJQ ттх m т/"т и ? о^хг тп/чп^итда г»ттт*г»тгп

iJiiV^WliXi/ij ij-?WV X iiiCliJj ^/LkJ^Wi^iiili-'i.'V ¿iU HJ iii\ X Ш* IVlIil/I, Vi 1

литературы и 3 приложений. Объем работы составляет 138 страниц, в

Т.ЛЛ,1! ТЗ"ЧТ* ТТР> ^ Г* ТЛ Г* Л 7 О ТГ г? Т¥ О Т^Яя^ТТТТТ Г^ ТТТ¥/~® ^ЛТГ TTTiTAi^iTi^HI-T р/^ттр у\ "\j_r утт1

! ». Л¥1 1 i 1 J ! V У ii!\tt Fi ¿с 1 UV/^iflLJ.DIi Ji^l 1 VyU ] f UUI f KJ KJ

наименований, в том числе 8 публикаций диссертанта по теме исследования.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Кондрашова, Елизавета Владимировна

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1. в главе I:

- получены значения для характеристик потока, управляемого цепью Маркова в нестационарном и стационарном случаях: прямое и обратное времена возвращения,

- найдены предельные характеристики входного потока, управляемого цепью Маркова - условное и безусловное распределение, совместное распределение прямого и обратного времени возвращения, математическое ожидание прямого и обратного времени возвращения,

- определены условия, при которых входящий поток является стационарным,

- исследована структура предельных характеристик стационарного входного потока, управляемого цепью Маркова.

2. в главе II рассматривается система с управляемым СВ8МАР-потоком. Данная система состоит из N подсистем (количество подсистем определяется по количеству типов требований). Для данной системы исследовано:

- структура функционала накопления (удельного дохода) в зависимости от стратегии управления входящим потоком;

- оптимальная стратегия управления, обеспечивающая максимальный удельный доход, предложено три варианта управления входным потоком;

- математическое ожидание числа заявок в подсистемах и системе в целом, математическое ожидание числа обслуженных и потерянных заявок.

3. в главе 3 для двух управляемых полумарковских систем массового обслуживания, в которых проводится управление структурой системы, построен функционал доходов, проведена алгоритмизация поиска максимального значения функционала доходов, а также оптимальной стратегии управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондрашова, Елизавета Владимировна, 2012 год

Список литературы

1. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А и др. Вопросы математической теории надежности. М. Радио и связь. 1983. 376с.

2. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Организация обслуживания при ограниченной и информации о надёжности системы. М.: «Советское радио», 1975.

3. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.: Издательство «Советское радио», 1971.

4. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. М.: изд-во РУДН, 1995.

5. Бочаров П.П. Анализ системы массового обслуживания MAP/G/1/r конечной емкости. Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ., 1995 №1, с.52-67.

6. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория вероятностей, Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н.. Введение в теорию массового обслуживания. M.: URSS, 2005.

8. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев A.A. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965 - 524 с.

9. Джевелл B.C. Управляемые полумарковские процессы. Москва: Мир, 1967.

10. Ефросинин Д.В., Рыков В.В. Численное исследование оптимального управления системой с неоднородными приборами. Автомат, и телемех., 2003, № 2,143-151.

11. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.

12. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

13. Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов. М.: МИЭМ, 2010.

14. Каштанов В.А., Кондрашова Е.В. «Анализ входного потока, управляемого цепью Маркова». Журнал «Надёжность», № 1, с. 52-68, 2012.

15. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надёжности сложных систем (теория и практика). М.: «Европейский центр по качеству», 2002.

16. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. Пер. с англ. M.: URSS, 1987.

17. Кёниг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.

18. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967.

19. Колмогоров А.Н.. К вопросу о дифференцируемое™ переходных вероятностей в однородных по времени процессах Маркова со счетным множествам состояний. Избранные труды. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.

20. Колмогоров А.Н. О суммах случайного числа случайных слагаемых. Избранные труды. А.Н.Колмогоров «Теория вероятностей и математическая статистика», Наука, 1986.

21. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа — изд. четвёртое, переработанное. М.: Наука, 1976. — 544 с.

22. Кондрашова Е.В. «Алгоритмизация исследования качества работы системы массового обслуживания». Журнал «Качество. Инновации. Образование», №8, стр. 40-46.

23. Кондрашова Е.В. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, «Исследование систем массового обслуживания при управлении несколькими параметрами», 2009.

24. Кондрашова Е.В. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, «Управляемая марковская модель массового обслуживания», 2010.

25. Кондрашова Е.В. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, «Исследование модели массового обслуживания с BSMAP-потоком», 2011.

26. Кондрашова Е.В. «Оптимизация функционала доходов в управляемой системе массового обслуживания». Управление большими системами. № 36. - М.: ИЛУ РАН, 2012 (13 стр.) (принята к публикации).

27. Kashtanov V.A., Kondrashova E.V. «Controlled semi-markov queueing model», ALT 2010 (Accelerated Life testing, Reliability-based Analysis and Design), Universite Blaise Pascal, p. 243-249, 2010.

28. Kashtanov V.A., Kondrashova E.V. «Controlled semi-markov queueing models», IMAACA 2011 International Conference on Integrated Modeling and Analysis in Applied Control and Automation, Italy, Rome, p.10-18, 2011.

29. Королюк B.C. и др. Справочник по теории вероятностей математической статистике. М.: Наука, 1985.

30. Короток B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976.

31. МайнХ., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.

32. Манита А.Д. Время сходимости к равновесию в цепях Маркова с большим числом состояний. Фундамент, и прикл. матем., 5:4,1135-1157,1999.

33. Математическая энциклопедия. Том 3. Издательство «Советская энциклопедия», Москва, 1982.

34. Печинкин A.B., Чаплыгин В.В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM/MSP/n/r. Автоматика и телемеханика №4,2004, с. 85-100.

35. Печинкин A.B., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем и ненадежными приборами. Информатика и её применения. Tl. В.1, 2007, с. 27-39.

36. Печинкин A.B., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с одновременными отказами приборов. Информатика и её применения. T.I. В.1,2007, с.39-49.

37. Печинкин A.B. Система BMAP/G/1 с дисциплиной преимущественного разделения прибора. Автоматика и телемеханика №10, 1999, с. 108-114.

38. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

39. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания. Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет., 12 (1975), 43-153.

40. Рыков В.В. Управляемые марковские процессы с конечными пространствами состояний и управлений. 7В/7,11:2 (1966), 343-351.

41. Феллер В.. Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том 2), Мир, Москва, 1967 год.

42. Хинчин А.Я. Математическая теория стационарной очереди. Матем.сб. 1932. с.73-84

43. Хинчин А .Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физ.-матгиз, 1963.

44. Ховард Р. А. Динамическое программирование и марковские процессы. М: Советское радио (перевод с английского), 1964.

45. Ширяев А.Н.. Вероятность 1,2. М.: МЦНМО, 2004

46. Banik A.D. Queueing analysis and optimal control of BMAP/G(a,b)/1/N and BMAP/MSP(a,b)/l/N systems// Computers ¿¿Industrial Engineering. - 2009. - No. 57. - P. 748-761.

47. Bellman R.A. Markovian Decision Process // J. Math, and Mech. -1957.-No. 6.-P. 679.

48. Dudin A. N, Klimenok V. I. Optimal admission control in a queueing system with heterogeneous traffic// Operations Research Letters. 2003. V. 31. C. 108-118.

49. Dudin A. N., Choi B. D., Chung Y. H. The BMAP/SM/1 retrial queue with controllable operation modes// European Journal of Operational Research. 2001. V. 131. C. 16-30.

50. Dudin A.N., Shaban A.A., Klimenok V.I.. Analysis of a queue in the BMAP/G/1/N System. I.J.of Simulation Vol. 6, No 1-2, p. 13-22.

51. Feller W. An Introdaction to Probability Theory and its Applications. Volume 1. John Wiley, 1950.

52. Jewell W.S. Markov-renewal programming//Operation Res. -1967.-No. 11.-P. 938-971.

53. Kashtanov V.A. Controlled semi-markov processes in modeling of the reliability and redundancy maintenance of queueing systems // Computer Modelling and New Technologies. - 2010. - Vol. 14, No. l.-P. 26-30.

54. Kendall D.J. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysys by the method of the embedded markov chains//Ann. Math. Stat. 1953. №24.P.338-354

55. Lucantoni D. M., Hellstem K. S., Neuts M. F. A single-server queue with server vacations and a class of non-Renewal arrival processes// Advantage of Applied Probability. 1990. V. 22. C. 676-705.

56. Lucantoni D. M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process// Communications in Statistics, Stochastic Models. 1991. V. 7(1). C. 1-46.

57. Mine H., Osaki S. Markovian Decision Processes. Elsevier, 1970. V. XI. 142 C.

58. Narayan Bhat U. An introduction to queueing theory. Birkauser Boston, 2007.

59. Neuts M. F. Markov chains with applications in queueing theory, which have a matrix-geometric invariant probability vector// Advanced Applied Probability. 1978. V. 10. C. 185-212.

60. Neuts M. F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, London, 1981. 15 C.

61. Neuts M. F. Structured stochastic matrices of M/G/l type and their applications. Marcel Dekker, New York, 1989. 28 C.

62. Neuts, M. F., Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: An Algorithmic Approach. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 1981.

63.Quan-Lin Li, Zhaotong Lian, Liming Liu. An Rg-factarization approach for a BMAP/M/1 generalized processor-sharing queue. Stochastic Models, 21, p. 507-530, 2005.

64. Pechinkin A.V., Bocharov P.P., Manzo R. Two-Phase Queueing System with a Markov Arrival Process and Blocking // Journal of Mathematical Sciences. - 2006. Vol. 132. - No.5 - P. 578 - 589; Queueing Theory. - Utrecht, Boston: VSP, 2004.

65. Revzina J. Stochastic models of data flows in the telecommunication networks. Proceedings of the 9th International Conference «Reliability and Statistics in Transportation and Communication», 2009, Riga, Latvia, p. 144-150.

66. Takacs L. Investigations of Waiting Time Problems by reduction to Markov Processes//Acta Math.Acad.Sci.Hung. 1955 V.6P. 101-129.