Устойчивость точек либрации в эллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Зимовщиков, Александр Сергеевич

• Зимовщиков, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зимовщиков, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФОТОГРАВИТАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С ДВУМЯ ИЗЛУЧАЮЩИМИ ТЕЛАМИ

§1.1 Уравнения движения. Точки либрации

§1.2 Свойство обратимости задачи.

Метод вычисления характеристических показателей линейной обратимой системы

§1.3 Параметрический резонанс в обратимых системах

ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ

§2.1 Условия существования коллинеарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Случай ц = 1/

§2.2 Общий случай ц ф 1/

§2.3 Параметрический резонанс для коллинеарных точек либрации

§2.4 Характеристики скопления частиц в устойчивых точках либрации Ь\

§2.5 Устойчивость коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче

§2.6 Случай, когда доминирует световая репульсия

§2.7 Диаграммы устойчивости

§2.8 Оценка протяженности облаков и устойчивости KTJI в реальных двойных звездных системах

ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ

§3.1 Условия существования треугольных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

§3.2 Треугольные точки либрации двойной звезды Альфа Центавра

§3.3 Устойчивость треугольных точек либрации в слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел

§3.4 Параметрический резонанс

§3.5 Рождение и эволюция зон неустойчивости

§3.6 Устойчивость треугольные точки либрации в эллиптической задаче

§3.7 Устойчивость треугольных точек либрации в конкретной двойной системе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость точек либрации в эллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел»

В задачах небесной механики часто возникает необходимость учитывать репульсивную силу светового давления, которая в некоторых случаях не только количественно соизмерима с силой тяготения, но и может быть на много превосходящей.

Попдеромоторное1 действие солнечного света на микроскопические тела впервые обнаружил и измерил Лебедев П.Н. в 1899 году. Полученные Лебедевым и более поздними исследователями экспериментальные результаты полностью согласуются с теорией давления света, которую выдвинул в рамках классической электродинамики Дж. Максвелл (1873 год). В этой теории давление света тесно связано с рассеянием и поглощением электромагнитной волны частицами вещества. Максвелл указывал, что световые лучи должны оказывать давление на все тела, на которые они падают.

В астрономических явлениях световое давление играет важную роль. В астрофизике оно вместе с давлением газа обеспечивает стабильность звезд, противодействуя гравитационному сжатию. Пондеромоторным воздействием света объясняют некоторые формы кометных хвостов. Например, из истории астрономии известно, что Иоган Кеплер, наблюдая за движением комет, установил, что их хвосты постоянно направлены в противоположную сторону от Солнца. В своем трактате "О кометах", опубликованном в 1619 году, он впервые высказал гипотезу, которая объясняет явление отклонения хвостов комет отталкивающим действием солнечного излучения.

На движение малых частиц в межпланетном пространстве оказывают влияние силы различной не гравитационной природы, среди которых наиболее значительной является сила светового давления, исходящая от звезд, например, Солнца. Результаты наблюдений в Солнечной системе [51] показали, что функция от латинского pondus - род, ponderis - тяжесть, motor - приводящий в движение распределения по размерам малых частиц в межпланетном пространстве убывает с увеличением их радиуса. Уменьшение размера частиц влечет за собой возрастание парусности (А), которая определяется отношением площади сечения частицы (5) к ее о массе (т): А = ^ [51]. Последнее приводит к возрастанию влияния на движение частиц солнечного излучения. Данный факт имеет большое значение при изучении состояния и эволюции микрометеорной материи в развитии Солнечной системы [51, 62].

Совокупность репульсивных и гравитационных сил образуют, так называемое, фотогравитационное поле. Изучению движения небесных тел в таких полях посвящено много исследований. К ним относятся, например, работы [6, 47], посвященные механике движения кометных образований; О.Ю.Шмидт [90, 91] использовал в космогонической теории эффекты светового давления; Т. А.Агекян [2] разработал теорию фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами.

Основополагающими для небесной механики являются работы В.В.Радзиевского [57-62], в которых впервые поставлены и решены некоторые задачи динамики частицы в фотогравитационных полях. В основу построения "фотогравитационной небесной механики" Радзиевский положил одновременное действие на частицу двух противоположных составляющих - силу тяготения Ньютона и отталкивающую силу светового давления Лебедева. При этом сила света не вызывает ответного действия со стороны частицы. Такой подход привел к нарушению привычных представлений и аксиом классической механики (тяжелая масса не равна инертной, действие не равно противодействию, изолированное тело не находится в состоянии покоя или равномерного движения) [60].

Основное отличие фотогравитационной проблемы трех тел от классической задачи трех тел, заключается в том, что одно или сразу оба тела являются источником световой репульсии. Данная постановка задачи применима для исследования движения частиц в фотогравитационных полях, создаваемых, например, удаленными друг от друга визуально-двойными звездными системами или в системе "Звезда-Планета". Здесь в качестве динамической модели рассматривается фотогравитационная ограниченная задача трех тел (ФГОЗТТ), в которой, как и в классической задаче, третье тело - частица Р имеет пренебрежимо малую массу и поэтому не оказывает влияние на движение двух других основных тел;2 последние обращаются относительно друг друга по кеплеровским орбитам. Дифференциальные уравнения движения частицы Р в фотогравитационной ограниченной задаче трех, также как и в классическом варианте, можно записать в форме уравнений Нехвила [10, 44].

Запись уравнений движения в фотогравитационной (с двумя излучающими телами) и в классической задачах отличается тем, что в первом случае силовая функция включает в себя коэффициенты редукции (¿1 и С}2 массы частицы, которые характеризуют суммарное действие силы гравитации и светового давления на частицу. Если основные тела не излучают световую энергию ($1 =

2 = 1), тогда имеем классическую ограниченную задачу трех тел. Следовательно, полученные результаты для классической задачи надо рассматривать с математической точки зрения как частный случай фотогравитационной задачи.

Основные тела могут двигаться по различным орбитам. В зависимости от значений эксцентриситета фотогравитационная ограниченная задача трех тел подразделяется на: 1) круговую, если основные тела обращаются вокруг центра масс по окружности (е = 0); 2) эллиптическую - движение происходит по орбите с эксцентриситетом из интервала 0 < е < 1; 3) параболическую (е = 1); 4) гиперболическую (е > 1).

Частица во вращающейся системе может занимать различные положения. Она может двигаться вместе с основными телами в одной плоскости; в этом случае исследуется плоская задача. Если частица выходит из плоскости орбит основных тел, то имеет место пространственная фотогравитационная ограниченная задача.

2Основными телами называются тела, которые имеют конечную массу и одно или оба излучают световую энергию.

Уравнения движения фотогравитациопной задачи трех тел допускают точные решения - периодические движения, которым в переменных Нехвила отвечают постоянные решения - коллинеарные и треугольные точки либрации.

Впервые точки либрации в фотогравитационной задаче трех тел изучал В.В.Радзиевский. Он нашел, что на положение точек либрации сильно влияет коэффициент редукции [57, 59, 60], и в плоском случае установил связь точек либрации с эволюцией поверхности нулевой скорости. Например, точки Ь\ и могут существовать одновременно или точка предшествует появлению точки L\. Позже, в 1966 году Colombo G. [97] с помощью построенной детальной геометрической картины сечения поверхности нулевой скорости точки либрации Ь2 в системе "Солнце - Земля - Пылевая частица", доказал, что Ь2 появляется прежде чем L\.

Если в классической задаче точки L4 и L5 образуют с основными телами равносторонний треугольник, то в фотогравитационной задаче с одним излучающим телом они формируют равнобедренный треугольник. Если оба основных тела излучают световую энергию, то треугольные точки либрации уже не составляют равнобедренный треугольник, а лежат в области ограниченной двумя окружностями с центрами, совпадающими с положением одного из основных тел [31, 34, 39, 67, 108]. Исключение составляет случай, когда коэффициенты редукции основных тел равны по своей величине.

Позже Радзиевский рассмотрел пространственный случай [58] и обнаружил новые точки либрации, получившие название компланарных точек (Lq и L-j). Эти точки находятся в плоскости xz симметрично оси х вдоль кривой, которая начинается в одном из основных тел и асимптотически подходит к оси Примечательно, что аналогов компланарным точкам либрации в классическом варианте задачи не существует.

Уравнение движения ограниченной фотогравитационной задачи трех тел с одним излучающим центром во вращающейся барицентрической системе координат впервые получено Colombo G. [97] в порядке исследования околоземных гипотетических пылевых облаков в системе "Солнце - Планета - Частица". Вслед за ним, подобные уравнения были получены Черниковым [86] для вращающейся гелиоцентрической системы.

В решении ряда космологических вопросов, например, в исследованиях проблемы образования и эволюции Солнечной системы, точки либрации имеют большое значение. Так, установлено, что в точках либрации могут накапливаться малые тела.

В 1956 году астроном краковской обсерватории Казимир Кордылевский в окрестности треугольной точки либрации системы "Земля - Луна" [104] открыл "облако подобные спутники", представляющие собой очень разрежённые скопления частиц межпланетной пыли и льда. Позже в 1961 году он сообщил об открытии аналогичного облака вблизи Ь4. В 1964 году его открытие было подтверждено наблюдениями американских астрономов. Эти образования в последствие были названы именем их первооткрывателя.

Обнаруженные Кордылевским точки Лагранжа в системы "Земля - Луна", также как и открытые в 1907 году астероиды Троянцы, образующие вместе с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник, явились практическим подтверждением аналитически найденных Лагранжем точных решений ограниченной задачи трех тел.

Открытие Кордылевского вызвало появление гипотезы, прогнозирующей постепенное сгущение этих облаков и превращение их в достаточно плотные космические тела с растущей массой. Предполагалось, что образование подобных плотных масс должно способствовать возникновению систем, например, "Земля - сгусток" и "Луна - сгусток" со своими точками Лагранжа, в которых опять же должны образовываться новые скопления вещества. Но визуальные наблюдения пока не подтвердили наличие в этих точках пылевых облаков постоянного состава и присутствие в них отдельных притягивающих тел с размерами порядка нескольких метров.

Многочисленные сообщения о попытках наблюдения "облаков Кордылевского" чередуются с удачными и безрезультатными экспериментами. Причем удачные эксперименты попадают на периоды времени, когда солнечная активность минимальна. Этот факт может свидетельствовать о том, что концентрация пыли в лагранжевых точках, коррелирует с изменениями интенсивности солнечного излучения. До появления "фотогравитационной небесной механики" исследования "облаков Кордылевского" проводились в рамках классической ограниченной треугольной задачи трех тел. Изучение "облаков Кордылевского "представляет наибольший интерес в рамках фотогравитационной ограниченной задачи трех тел.

Большое внимание к точкам либрации также вызвано и практическими потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы. Например, обсуждаются проекты размещения во внутренней коллинеарной точке либрации Ь\ системы "Солнце - Земля" защитных зеркальных экранов, слегка затеняющих Солнце с целью предохранения Земли от перегрева вследствие прогнозируемого глобального парникового эффекта [55].

Любой защитный экран обладает высокой парусностью по отношению к световому давлению от Солнца. Поэтому его положение равновесия будет находиться не строго в точке находящейся на расстоянии, равным примерно 1.5 миллиона километров от Земли, а в ее фотогравитационном аналоге. В этой точке сумма центробежных сил, силы светового давления, сил притяжения Земли и Солнца равна нулю, а ее расстояние от Земли будет определяться свойствами самого экрана. Предполагается, что защитный экран (искусственное пылевое облако, плоский зеркальный диск, сферический баллон) будет обращаться вокруг точки Ь\ по периодической орбите.

Естественно возникает вопрос: как будут вести себя подобный защитный экран, космический аппарат или частица, оказавшиеся в малой окрестности точки либрации - останутся ли они "вечно" вблизи этой точки или за конечное время покинут ее окрестность? Поэтому важное место в решении фотогравитационной задачи занимает вопрос об устойчивости положений относительного равновесия.

Впервые исследование устойчивости в линейном приближении пяти точек либрации в круговой задачи было проведено Colombo G. [96], который независимо от Радзиевского В.В. [57, 60], определил их положения. Для случая, когда излучает только одно из основных тел, Черников Ю.А. [86] получил необходимые условия устойчивости семейства треугольных точек либрации для круговой задачи. Неустойчивость коллинеарных точек либрации была установлена им по аналогии с классическим случаем задачи. Детальное аналитическое исследование, доказывающее неустойчивость коллинеарных точек либрации для системы "Солнце-Земля-Частица", было получено Филянской Е.П. [85]. Анализ устойчивости осуществлялся на основе рассмотрения линеаризованных уравнений и вычисления корней характеристического уравнения. Более простой метод, доказывающий неустойчивость коллинеарных точек либрации, при одном излучающем теле, был использован Пережогиным A.A. [49, 50]. Он показал невозможность их гироскопической устойчивости, откуда следует неустойчивость в соответствии с теоремой Кельвина-Четаева.

Schuerman D.W. [117, 118] первым провел исследование точек либрации для круговой ограниченной фотогравитационной задачи с двумя излучающими телами. Им были получены условия устойчивости в первом приближении для треугольных точек либрации и сделаны утверждения относительно неустойчивости коллинеарных точек либрации. Вывод Шуермана об неустойчивости коллинеарных точек либрации был опровергнут Куницыным A.JI. и Турешбаевым А.Т. [30, 108], которые доказали, что в круговой задаче, при равных массах основных тел и для определенных значений коэффициентов редукции Q\ и Q2, в первом приближении существуют области устойчивости внутренних точек либрации. Установлено, что внешние коллинеарные точки либрации (L2, 1/з) всегда неустойчивы. Показано, что при отрицательных значениях Q1 и Q2 все точки либрации неустойчивы. Последний факт опровергается Лукьяновым Л.Г. [38], который показал, что для плоского случая возможна устойчивость прямолинейных точек либрации, когда оба коэффициента редукции (Q\ и Q2) принимают отрицательные значения.

Практически одновременно Куницыным А.Л. и Турешбаевым А.Т. [30] и английскими учеными Simmons J.F.L., McDonald A.J.С., Brown J.С. [119] была исследована устойчивость треугольных точек либрации при двух излучающих телах для круговой задачи. Куницын А.Л. и Турешбаев А.Т. за счет введения новых переменных получили наглядное представление необходимых условий устойчивости треугольных точек либрации.

С разных позиций проблемы устойчивости точек либрации в плоской круговой задаче рассматривались так же в работах [29, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 41, 106, 111].

Полученные этими авторами результаты об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации для ограниченной фотогравитационной круговой задачи трех тел позволяют подойти к постановке задачи об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче.

В работе [111] затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации. Лукьянов Л.Г. и Кочеткова А.Ю. [41] при малых значениях эксцентриситета первыми получили области устойчивости в линейном приближении для треугольных L4, L5 и коллинеарных L\, L2, L3 точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Области устойчивости представлены диаграммой, аналогичной диаграмме устойчивости Дэнби. Для внешних коллинеарных точек либрации Li и L3 устойчивость не была обнаружена3.

Обозначения внутренней и внешних коллинеарных точек либрации, принятые у

Установлена [41] устойчивость внутренних точек либрации L2 при одинаковых значениях коэффициентов редукции Qi = Q2 = Q. Для Q — 0.1 получена область устойчивости, которая ограничена кривой, подобной "кривой Дэнби", для треугольных точек либрации. Оказалось, что при уменьшении величины Q область устойчивости сокращается, стягиваясь к началу координат. Возрастание значения Q приводит к тому, что область устойчивости увеличивается и сдвигается вправо (в сторону роста относительной массы у). Для треугольных точек либрации обнаружено [41], что при фиксированном Q\ = const с уменьшением Q2 область устойчивости уменьшается, сдвигаясь влево. Когда Q2 = 1, a Q\ уменьшается, область устойчивости, относительно области Дэнби, сдвигается влево. Авторы установили, что при одинаковых значениях параметров коллинеарные и треугольные точки либрации одновременно устойчивыми быть не могут. Показано, что треугольные точки либрации или обе устойчивы или обе неустойчивы.

В работах [37, 106] также затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации, однако соответствующий анализ там отсутствует.

Для определенных значений относительной массы fi и эксцентриситета е проведены численные исследования устойчивости коллинеарных [17] и треугольных точек либрации [18] в фотогравитационной эллиптической ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими телами. Дано графическое представление областей необходимых условий устойчивости. Установлено, что увеличение значений у и е приводит к сокращению количества устойчивых коллинеарных и треугольных точек либрации.

Куницыным A.J1. [34] с помощью перехода в конфигурационное пространство получена простая и физически ясная картина влияния эксцентриситета орбиты основных тел на положение и устойчивость треугольных точек либрации. Показана возможность появления

Лукьянова и Кочетковой, не совпадают с используемыми в диссертации. при сколь угодно малых значениях эксцентриситета новых зон неустойчивости, которые отсутствовали в круговой задаче. Эти зоны неустойчивости вызваны параметрическим резонансом; показано, что возможен только один тип такого резонанса. Заметим, что компьтерные исследования, проведенные в данной диссертационной работе позволили установить, что для достаточно малых, но не равных нулю значениях эксцентриситета неустойчивость возникает лишь при значениях ¡1 из промежутка /1* < ¡1 < 0.5, где (I* = 0.0212865.

Переход из пространства параметров системы в конфигурационное пространство в [34] позволил упростить и сделать физически более ясным анализ устойчивости коллинеарных точек либрации ограниченной круговой фотогравитационной задачи трех тел.

В работе [74] обнаружена возможность параметрического резонанса для коллинеарной точки либрации Ь\ при > 0, С}2 > 0, показано, что этот резонанс единственный и он приводит к неустойчивости в слабо-эллиптической задаче.

Изложенные выше факты привели к актуальной задаче по систематическому исследованию устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче. Результаты такого исследования отражены в [14 - 20]. В ходе анализа уравнений движения в вариациях построена картина, вполне отражающая эволюцию областей необходимых условий устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации при различных значениях эксцентриситета е, коэффициентов редукции (¿1, (¿2 и относительной массы /1. Детально прослежено возникновение зон неустойчивости, показано, как параметрический резонанс приводит к неустойчивости коллинеарные и треугольные точки либрации. Найдено максимальное числовое значение эксцентриситета, при котором еще может существовать устойчивая точка либрации. Найдены условия существования коллинеарных и треугольных точек либрации. Результаты нашли отражение в обобщающих диаграммах устойчивости.

Динамические уравнения фотогравитационной задачи трех тел обладают свойством обратимости [70, 72, 75, 79].

Теория обратимых механических систем создана в последние 15 лет проф. В.Н.Тхай и широко используется при анализе многих задач классической и небесной механики [70 - 82].

Теория параметрического резонанса для обратимых систем [71], а также метод вычисления характеристических показателей для обратимых систем [73] используется в данной работе.

Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Зимовщиков, Александр Сергеевич

Заключение

В заключении резумируем содержание проведенных в диссертационной работе исследований.

I. Найдены условия, при которых существуют коллинеарные и треугольные точки либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел с двумя излучающими телами. Проведен анализ место-положений точек либрации, в зависимости от действующих физических факторов.

Для КТЛ показано, что при положительных значениях коэффициентов редукции существуют все точки либрации L\, Ь2, ¿з, а в случае когда Q\ < О, Q2 < 0, исчезают внешние точки либрации L2, и появляются внутренние Ьц, L\2, L13. Если коэффициент редукции одного из основных тел является положительным, а у другого — отрицательным, то в этом случае, внешние точки либрации Ь2 или L3, ближайшие к телу с преобладающей световой репульсией, не существуют.

Поскольку коэффициенты редукции определяются не только физическими параметрами основных тел, но и зависят от восприимчивости частицы к световому излучению, то значения Qi и Q2 должны удовлетворять соотношению К = | Показано, что величина параметра К напрямую зависит от произведения двух отношений, которые количественно характеризуют пропорциональную соразмерность интенсивностей излучения и масс основных тел К = С^ ^ ^.

Совместное рассмотрение указанных выше двух соотношений для параметра К позволило установить, что положение КТЛ и ТТЛ определяется исключительно физическими свойствами основных тел - относительной массой ц и параметром С, который характеризует отношение мощности излучения основных тел.

Установлено, что частица может оказаться в точках либрации, если она обладает соответствующими значениями парусности и альбедо.

Получены алгебраические уравнения седьмого и двенадцатого порядков, включающие в себя только гравитационные и репульсивные свойства основных тел (Си у). Численное решение этих уравнений позволяет определить положение КТЛ и ТТЛ на плоскости.

II. Известно, что внешние коллинеарные точки либрации неустойчивы, а устойчивость свойственна только внутренним КТЛ [74]. Доказано, что для этих точек возможен эффект параметрического резонанса, приводящий к неустойчивости в слабоэллиптической задаче.

Введение в рассмотрение обобщенного параметра ак позволило исследовать задачу об устойчивости коллинеарных точек либрации только при фиксированном значении параметра аВ случае > О и д2 > 0 параметр а^ принимает положительные значения, а при

0 и < 0 - отрицательные.

Установлено, что если над гравитацией преобладает световая репульсия, то из трех решений алгебраического уравнения пятого порядка, устойчивой точке либрации соответствует только одно решение, которое дает КТЛ Ь\2.

Исследование условий возникновения параметрического резонанса для двух случаев (преобладающей гравитации и преобладающей световой репульсии) показало, что при > О о и $2 > 1 (1/1) в промежутке д < < 1 существует только один резонанс = а при < 0 и < 1 (£12) в интервале а\ < 0 Два резонанса А^ = —| и А^ = —

Подробно исследован параметрический резонанс, когда оба коэффициента редукции принимают отрицательные значения. Показано, что коллинеарные точки либрации Ь\2 устойчивы при всех значениях параметра из интервала устойчивости — ^ < сц < О, исключая значение а\ = —0.3030536. для параметрического резонанса (А^ = — приводящего к неустойчивости.

Показано, что в круговой задаче место-положение устойчивых КТЛ и точек, соответствующих параметрическому резонансу в системе двойной звезды, может быть определено численным нахождением корней алгебраического уравнения седьмого порядка, в которое в качестве исходных данных подставляются значения параметра а\ из интервалов устойчивости для точек Ь\ и Ь\2, при заданных значениях параметров Сир.

III. Исследована устойчивость внутренних коллинеарных точек либрации Ь\ и Ь\2 в эллиптической ФГОЗТТ с двумя одновременно излучающими телами.

Поставленная задача решалась численным интегрированием линеаризованной 27т - периодической по истинной аномалии у системы уравнений в вариациях. Эта система инвариантна относительно каждого из преобразований: (у,Х, У) н-> (—у,Х, —У) и (г;, X, У) н-* (—г;, —X, У) и относится к обратимым периодическим системам.

Последнее дало возможность построить только два частных решения и существенно сократило объём вычислений на ЭВМ.

Для различных значений эксцентриситета и относительных масс р = 0.1 и р = 0.5, при произвольном значении параметра С исследована задача об устойчивости КТЛ, когда притяжение превосходит световое давление. В зависимости от параметров фх, е построены диаграммы, отображающие эволюцию изменения областей необходимых условий устойчивости.

Показано, что при значениях е, близких к нулю, под влиянием параметрического резонанса внутри области устойчивости рождается зона неустойчивости. С ростом величины эксцентриситета зона неустойчивости увеличивается, а размеры двух областей устойчивости сокращаются. Количество неустойчивых КТЛ растет быстрее в сторону нижней границы о интервала д < а\ < 1, и при е > 0.4 эта часть области устойчивости пропадает.

Численно определена максимальная для устойчивости величина эксцентриситета, равная е = 0.99537414. При этом значении е устойчивой останется единственная коллинеарная точка либрации, расположенная в центре масс основных тел.

Установлено, что чем меньше величина относительной массы /л, тем шире интервал коэффициентов редукции, при котором КТЛ будут устойчивы.

Аналогично случаю доминирующей гравитации исследована устойчивость КТЛ в эллиптической задаче при преобладании отталкивающей силы светового давления.

Для значений эксцентриситета, равных 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 и 0.8, на плоскости параметров С}фг построены диаграммы УСТОЙЧИВОСТИ КТЛ При Ц = гу

При исследовании резонансных явлений в круговой задаче были найдены две резонансные кривые, которые пересекают область необходимых условий устойчивости (/Л =

Анализ эволюции области устойчивости при росте е показал, что на месте, где проходили резонансные кривые (А\ = — А\ = — развиваются зоны неустойчивости, разрастающиеся с е. Происходит деление областей устойчивости зонами неустойчивости. С ростом величины эксцентриситета области устойчивости сокращаются в размерах и при е > 0.7 остается только та область устойчивости, для которой коэффициенты редукции фь 0,2 близки к нулю.

Численно установлено, что максимальное значение эксцентриситета, при котором еще может существовать устойчивая КТЛ 1/12 равна 0.9994.

Показано, что устойчивость коллинеарных точек либрации можно исследовать независимо от конкретных значений относительной массы, коэффициентов редукции и координат точек либрации. Необходимо только знать значение эксцентриситета о е и параметра а\ из интервала д < а\ < 1 для точки Ь\ или < а>1 < 0 для точки .

Численным интегрированием уравнений в вариациях на отрезке [0, 27г] вычислялись характеристические показатели и определялись значения параметра удовлетворяющие условию устойчивости. В итоге на плоскости (а^ е) построены диаграммы устойчивости КТЛ Ь\ и Ь12. Эти диаграммы могут использованы при исследовании устойчивости и оценки протяженности облаков космической пыли и скоплений микрочастиц в КТЛ в системе реально существующей двойной звезды.

В качестве примера рассмотрены двойные звезды, которые по параметрам ц, е, С близки к Альфа Центавра и Сириусу. Полученные результаты представлены на рисунках и в виде таблиц.

IV. Подробно изучен вопрос об устойчивости треугольных точек либрации в круговой и слабо-эллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Известно, что все ТТЛ будут устойчивы при // < 0.02128644612. в круговой задаче.

Численно показано, что ТТЛ сохраняют свою устойчивость и в диапазоне значений 0.02128644612. < ¡1 < 0.02859479. При 0.02859479. < ц < 0.038520878. область устойчивости распадается на две части, которые сокращаются с увеличением значения ¡л. При 0.038520878. < \1 < ^ существует только область устойчивости, примыкающая к оси абсцисс.

Найдены условия появления параметрического резонанса. Показано, что в области устойчивости при е = 0 появляются две кривые, соответствующие параметрическому резонансу.

Исследовано зарождение зон неустойчивости при малых значениях эксцентриситета. Установлено, что при заданном значении /г в области устойчивости существуют две кривые, соответствующие параметрическому резонансу, но только из одной кривой возникает зона неустойчивости.

Дан способ численного исследования появления зон неустойчивости в слабо-эллиптической задаче, который позднее применен в исследовании вопроса об устойчивости треугольных точек либрациии в эллиптической задаче.

V. Исследована устойчивость треугольных точек либрации в эллиптической ограниченной ФГЗТТ.

Численным интегрированием уравнений в вариациях для различных значений эксцентриситета и относительной массы основных тел получены условия устойчивости ТТЛ. Определено максимальное значение эксцентриситета, равное 0.99537414., при котором еще может существовать устойчивая треугольная точка либрации.

Для случая произвольного значения параметра С построены диаграммы устойчивости, которые позволяют проследить эволюцию областей устойчивости для е = 0.02 и е = 0.1 и при изменении массового параметра /i, принимающего значения 0.01, 0.02, 0.02128645, 0.03, 0.05 и 0.5.

На примере двойных звезд, компоненты которых имеют параметры (/1, С) и эксцентриситет орбиты, конгениальные реально существующим двойным звездам - Альфа Центавра и Сириусу, исследована устойчивость ТТЛ при фиксированном параметре С.

Показано, что в системе двойной звезды, подобной Альфа Центавра, могут существовать устойчивые ТТЛ, в которых образуются облака космической пыли и микрочастиц. Дана оценка их протяженности.

Установлено, что в системе двойной звезды с параметрами, близкими к параметрам Сириуса, не существуют устойчивые треугольные точки либрации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зимовщиков, Александр Сергеевич, 2007 год

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М: Наука. 1971.

2. Агекян Т.А. Звезды, галактики, Метагалактика. М.: Наука. 1981.

3. Алъвен X., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М: Мир, 1979.

4. Биркгофф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

5. Браур Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.

6. Бредихин Ф.А. О хвостах комет. М.-Л.: 1934.

7. Брюно АД. Локальный метод анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979.

8. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1991.

9. Демин В.Г. Судьба Солнечной системы. М.: Наука, 1975.

10. Дубошип Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. 1975.

11. И. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука. 1978.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука. 1983.

13. Ефимов И.Л., Тхай В.Н. Устойчивость периодических орбит в задаче Хилла. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 45-60.

14. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Исследование устойчивости равносторонних треугольных конфигураций в задаче трех тел // Второй симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докл. М.: МАИ, 1996. С.31-32.

15. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1998. С. 117-130.

16. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Исследование устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел // Третий межд.симпозиум по классич. и небесной механике.Тезисы докл. М.: МАИ,1998.С.69-70.

17. Зимовщиков A.C. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими источниками. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 121-129.

18. Зимовщиков A.C. Об устойчивости треугольных точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел с двумя излучающими телами. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения.Ч.1. М.: ВЦ РАН, 2000. С. 68-77.

19. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Неустойчивость точек либрациии резонансные явления в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел// Астрон, вестник. 2004. Т. 38. № 2, С. 180-190.

20. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Избр. труды STAB 04.М.: ИПУ РАН, 2004. С.186-192.

21. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Параметрический резонанс взадаче об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Тез.докл.М.:ВЦ РАН, 2004. С.94-96.

22. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Устойчивость коллинеарных точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел . // Международная научная конференция по механике "Четвертые поляховские чтения"Тез.докл. С-Пб. 2006. С. 51.

23. Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел . С-Пб. 2006. С. 112-119.

24. Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел. ПММ. Т. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 783-795.

25. Кочеткова А.Ю. Об устойчивости в нелинейном приближении треугольных точек либрации в пространственной ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 1999. № 5. С. 69 71.

26. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1983, Т. 9. № 7. С. 432-435.

27. Куницын А.Л.,Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1985, Т.2. № 2. С. 145-148.

28. Куницын А.Л.,Турешбаев А. Т. Об устойчивости точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. В кн.: Темат. Сб. научн. тр. МАИ "Некоторые задачи иметоды исследования динамики механических систем. 1985. С.26-31.

29. Куницын А.Л,,Турешбаев А.Т. О компланарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел. Письма в АЖ, 1985. Т.2. № 12. С. 930-933.

30. Куницын А.Л. Об устойчивости треугольных точек либрациифотогравитационной задачи трех тел. ПММ. 2000. Т.65. Вып. 5. С. 788-794.

31. Куницын А.Л. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. ПММ. 2001. Т.65. Вып. 4. С. 720-724.

32. Лебедев П.Н. Избранные сочинения. М.-Л.: Гостехиздат. 1949.

33. Лукьянов Л.Г. Лагранжевы решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. АЖ. 1984. Т. 61. Вып. 3. С. 564-570.

34. Лукьянов Л.Г. Компланарные решения в фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. АЖ. 1984. Т. 61. Вып. 4. С. 789-794.

35. Лукьянов Л.Г. О семействе точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. АЖ. 1988. Т. 65. Вып. 2. С. 422-432.

36. Лукьянов Л. Г. Об устойчивости лагранжевых точек в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел.// АЖ. 1986. Т. 63 Вып. 6. С.1222-1229.

37. Лукьянов Л.Г., Кочеткова А.Ю. Об устойчивости лагранжевых точек либрации в ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Вестник МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1996. No 5.

38. Ляпунов A.M. Общая задача теории устойчивости движения. М.-Л.: ОНТИ, 1935.

39. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Гостехиздат, 1952.

40. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978. 312 с.

41. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. Наука. М.: 1971.

42. Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: ГИФМЛ. 1958.

43. Орлов C.B. Кометы. М.-Л.: 1935.

44. Пережогин A.A. Об устойчивости треугольных точек либрациив фотогравитационной ограниченной круговой задаче трех тел. Письма в АЖ. 1980. Т.6. № 5.С. 314-317.

45. Пережогин A.A. Об устойчивости точек либрации в ограниченной фотогравитационной круговой задаче трех тел. Космические исследования. 1982. Т.20. № 2. С. 196-205.

46. Пережогин A.A. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики с учетом светового давления. Канд. дисс. 1982.

47. Поляхова E.H. Роль эффектов солнечной радиации в теории гелиоцентрических движений пылевых частиц. В сб.: Астрометрия и небесная механика. M.-JL: 1978.

48. Поляхова E.H. Возмущающее влияние светового давления Солнца на движение ИСЗ. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Исследование косм, пространства. Т. 15. М.: ВИНИТИ. 1980.

49. Поляхова E.H. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука. 1986.

50. Поляхова E.H. Роль светового давления в астрономии и космических исследованиях. В книге Столкновения в околоземномпространстве. Под ред. Масевич А.Г. М.: Космосинформ. 1995. С. 173-251.

51. Поляхова E.H. Космический Солнечный экран в первой точке либрации и его использование для мониторинга астероидной опасности. Государственный Университет. Россия. С.- Петербург. 2000, Научно технический фонд "Космический щит", Снежинск, 1999 - 2000.

52. Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды, т. 1,2. М.: Наука, 1971.

53. Радзиевский В. В. Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления. АЖ. 1950. Т.27. № 4. С. 249-256.

54. Радзиевский В.В. Пространственный случай огр. задачи трех излучающих и гравитирующих тел. АЖ. 1953. Т.ЗО. К0- 3.

55. Радзиевский В.В. Небесная механика излучающих тел. (Проблемы ф/гр. небесной механики)-Докт. дисс., 1955.

56. Радзиевский В.В. Фотогравитационная небесная механика. -Нижний Новгород: Издатель Ю.А.Николаев, 2003.

57. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука. 1982.

58. Струве О., Линде В., Пилланс Э. Эллементарная астрономия. М.: Наука. 1967.

59. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука. 1968.

60. Титова H.H. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2000. С. 78-86.

61. Титова H.H. Фотогравитационная задача трех тел. Построение областей устойчивости по Хиллу и вычисление точек либрации. Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во НИИ Химии С.-Петербургского университета, 2000. С. 109-114.

62. Турешбаев А.Т. О точках либрации ф/гр. огр. элл. задачи трех тел. Рукопись деп. в ВИНИТИ 11 окт. 1985г. № 7207-В ДЕП. Юс.

63. Турешбаев А. Т. Об устойчивости компланарных точек либрации ф/гр. задачи трех тел. Письма в АЖ. 1986, Т. 12. № 9. С.722-725.

64. Турешбаев А.Т. Устойчивость стационарных решений ф/гр задачи трех тел. Дисс.канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ 1986.

65. Тхай В.Н. Обратимость механических систем // ПММ. 1991. Т.55. Вып. 4. С. 578- 586.

66. Тхай В.Н. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром // ПММ.1994.Т.58.Вып.1.С.3-12.

67. Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем. ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 979-991.

68. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 848-857.

69. Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивостиколлинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 112-121.

70. Тхай В.Н. Обратимые механические системы // Нелинейная механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С.131-146.

71. Тхай В.Н. Прямолинейное движение частицы в поле двойной звезды // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения.М.:ВЦ РАН,2001. 4.1. С.30-36.

72. Тхай В.Н. Резонансные ляпуновские семейства периодических движений обратимых систем//ПММ.2004.Т.68.Вып.З. С.384-401.

73. Тхай В.Н. О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Механика твердого тела. Т.34. С.3-8.

74. Тхай В.Н. Неинтегрируемость и интегрируемость в задачах механики. ДАН. 2006. т. 408. №5. С.621-624

75. Тхай В.Н. Периодические движения обратимой механической системы второго порядка. Приложение к задаче Ситникова// ПММ. Т.70. Вып.5. С.813-834

76. Тхай В.Н. Первые интегралы и семейства симметричных периодических движений обратимой механической системы// ПММ. Т.70. Вып.6. С.977-989

77. Тхай В.Н. Обратимые механические системы с первыми интегралами//Четвертые Поляховские чтения. СПб.: 2006. С.197-206

78. Уиттпекер Э. Аналитическая механика. Ред. журн. "Регулярная и хаотическая динамика". Изд. дом "Удмуртский университет". 1999.

79. Фесенкое В.Г. Метеорная материя в межпланетном пространстве. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1947. 276 с.

80. Филянская Е.П. Об устойчивости движения вблизи кол линеарных центров в огр. задаче трех тел с учетом светового давления. Бюллетень Ин-та теор. астрономии, 1972, Т.13. № 3, С. 157-160.

81. Черников Ю.А. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. АЖ. 1970, Т.47, № 1. С. 217.

82. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат. 1955.

83. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука. 1966.

84. Шкловский И.С. Звезды: их рождение, жизнь, смерть. М.: Наука. 1984. 384 с.

85. Шмидт О.Ю. Метеорная теория происхождения Земли и планет. Доклады АН СССР. 1944. Т. 45. С. 245-250.

86. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. Изд. 3-е. М.: Изд-во АН СССР. 1957. 140 с.

87. Эйлер JI. Новая теория движения Луны. Л.: Изд-во АН СССР. 1934. 208 с.

88. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука. 1987. 328 с.

89. Bhatnagar К.В., Gupta В. Resonance in the restricted problem caused by solar radiation pressure. Proc. Indian Nat. Sci. Acad. 1977, A43, N 4. P. 303-313.

90. Bhatnagar K.B., Chawla J.M. A study of the Lagrangian points inthe photogravitational restricted three-body problem. Indian Journal pure applied mathematics. 1979, V. 10. N. 11. P. 1443-1451.

91. Colombo G. The stabilization of an artificial satellite at the inferior conjunction point of the Earth-Moon system. Smitheonian Institution, SAO Special Report, N 80, Nov.l, 1961.

92. Colombo G., Lautman D., Shapiro I.I. J. Geophys. Res. V. 71. N 23. P. 5705-5717.

93. Danby J.M.A. Stability of the triangular points in the restricted problem of three bodies. Astron. J. 1964. V. 69. N 2. P. 165-172.

94. Euler L. Theoria Motuum Lunae. Petropoli: Typis Academiae Imperialis Scientarum, 1772. Reprinted in Opera Omnia, Serise 2 (Courvoisier L., ed.), v. 22, Lausanne; Orell Fussli Turicu, 1958.

95. Euler L. Conciderations de motu corporum coelestium. Novi commentarii Ac. Sei. Petropolitanse. 1766. V. 10. P. 544.

96. Flanagan R.C., Modi V.J. Attitude dynamics of a gravity oriented satellite under the influence of solar radiation pressure. Aeronaut. J. 1970. V. 74. N 718. P. 835-841.

97. Kordylewski K. Photographische Untersungen des Libration-spunktes L5 im System Erdi-Mond. Acta Astronómica, Warzawa., 1961, PP. 165-169.

98. Kordylewski K. Dust Cloud Moons of the Earth. Physics Today 2, 1967. PP. 39-46.

99. Kumar V., Choudry R.K. Nonlinear stability of the triangular libration points for the photogravitational elliptic restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 48: 299-317, 1990.

100. Kunitsyn A.L., Perezhogin A.A. On the stability of the triangular libration points of the photogravitational restricted three-bodyproblem. Celestial Mechanics. 1978. V. 18. P. 397.

101. Kunitsyn A.L., Polyakhova E.N. The restricted photogravitational three-body problem: a modern state. Astronomical and Astrophysical Transactions, 1995, Vol. 6, pp. 283-293.

102. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. On the collinear libration points in the photogravitational three-body problem. Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 105-112.

103. Manju, Choudry R.K. On the stability of libration points taking into account the light pressure for the circular restricted problem of three bodies. Celestial Mechanics. 1985. V. 36. N 2. P. 165-190.

104. Markellos V., Perdios E., Labropoulou P. Linear stability of the triangular equilibrium points in the photogravitational elliptic restricted problem. Astrophys. and Space Sci. 1992. V. 194. P. 207-213.

105. Mignard F. Stability of L4 and L5 against radiation pressure. //Celestial Mechanics. 1984. V. 34. N 1. P. 275-287.

106. Moeed N. S., Zarne J. C. Feasibility of space based observations of the Kordylewski clouds Advances in Space Research. Vol. 20. Issue 8. 1997. PP. 1527-1530.

107. Nechvil V. Sur une nouvelle forme des equations différentielles du problème restreint elliptique. Compte Rendue, T. 182. 1926.

108. Saberman R.K., Neste S.L., Lichtenbeld K. Particle concentration in the asteroid belt from Pioner 10. Science, 1974. V.183. C. 140.

109. Sharma R.K. The linear stability of libration points of the photogravitational restricted three-body problem when the smaller primary is an oblate spheroid. Astrophys. and Space Sci. 135 (1987). P. 271-281.

110. Shuerman D.W. The restricted three-body problem including radiation pressure. Astrophysical Journal. 1980. V. 238. N 1. P. 337-342.

111. Shuerman D. W. The effect of radiation pressure on the restricted three-body preblem. Solid Particles in the Solar System. 1980. N 90. P. 285-288.

112. Simmons J.F.L., McDonald A.J.C., Brown J.C. The restricted three-body problem with radiation pressure.// Celestial Mechanics. 1985. V. 35. P. 145-187.

113. Zimovschikov A.S., Titova N.N., Tkhai V.N. Periodic orbits in photogravitational three-body problem // Труды ИПА РАН. Вып. 8. Небесная механика. СПб.: ИПА РАН, 2002. С. 184.

114. Zimovschikov A.S., Tkhai V.N. Instability of Libration Points and Resonance Phenomena in the Photogravitational Elliptic Restricted Three-Body Problem. Solar Dystem Research, Vol. 38, No 2, 2004, pp. 155-163.

115. Измерение количественных и качественных характеристик звезд, http://astronomy.by.ru/lib/240-0926.htm 31.07.2006.

116. Система Альфа Центавра, http://www.astrogalaxy.ru/332.html 31.07.2006.

117. Alpha Centauri. A Candidate for Terrestrial Planets And Intelligent Life. http://homepage.sunrise.ch/homepage/schatzer/Alpha-Centauri.html 31.07.2006.

118. Главная последовательность. http://www-phys. asu. ru/stud/4course / docs / astrophysics / chapter2 / evolution/ms. htm 31.07.2006.